Modèle d’équilibre des actifs financiers

2013/2014

Travail réalisé par : Hamid EL AISSAOUI Habib SKIOU Khalid EL IDRISSI EL JANATI Aabid MOUTIK

Travail demandé par :Mr Mounir  EL BAKOUCHI

Sommaire

Introduction...............................................................................................................................3

I. La présentation du Medaf................................................................................................4

1. Du Modèle Markowtiz au Capm................................................................................4

2. Les portefeuilles efficients : rentabilité et risque........................................................5

a. La rentabilité...........................................................................................................5

b. Le risque d’une action............................................................................................6

3. Le modèle MEDAF :......................................................................................................6

a. Le principe...............................................................................................................6

b. Le prix du risque.....................................................................................................9

II. Critiques du MEDAF.....................................................................................................13

1. Le modèle zéro bêta de black (1972)..........................................................................14

2. Modèle prenant en compte les taxes :........................................................................14

3. Version en temps continu MERTON.........................................................................14

4. Modèle prenant en compte l’inflation........................................................................15

5. Modèle basé sur la consommation..............................................................................15

6. Critique de ROLL........................................................................................................16

Conclusion...............................................................................................................................19

Le risque est un élément présent dans la plupart des décisions

d'investissement prises par une entreprise ou un épargnant. En effet, il existe

toujours une incertitude concernant les flux monétaires générés par un

investissement financier et il convient donc de chercher à estimer ce risque

supporté par l'investisseur ainsi que le rendement qui devrait lui être associé. Le

modèle d'évaluation des actifs financiers (MEDAF), appelé aussi CAPM

(Capital Asset Pricing Model) est un modèle très souvent utilisé, aussi bien par

les praticiens que par les académiciens, pour évaluer les rendements anticipés

d'équilibre sur n'importe quel actif risqué sur le marché.

Introduction

I. La présentation du Medaf

1. Du Modèle Markowtiz au Capm

Modèle de markowtz met en évidence un élément fondamentale de

la gestion des portefeuilles, la diversification. De plus, il présente un lien direct

entre risque et rendement, plus de risque attendu étant compensé par plus de

rendement attendu. Dans la pratique, la diversification va prendre de multiples

formes en fonction du profil de risque et des objectifs des investisseurs.

Diversification entre pays ou encore entre secteurs d’activité.

Cependant, la détermination du portefeuille optimale sur base du

modèle de markowitz pose quelques problèmes pratiques. Afin de déterminer la

frontière efficiente, il convient de collecter les rendements attendu de toutes les

catégories d’actifs dans lesquels l’investisseur souhaite investir. Idem pour le

risque attendu et, plus complexe encore, toutes les corrélations entre les actifs

proposés. Ce n’est que lorsque toutes ces données seront collectées qu’il sera

possible de déterminer les poids optimaux à allouer à chacun des actifs en

fonction du profil de risque de l’investisseur et de son objectif de rendement.

Le recours à des données historiques se heurte bien entendu à une

hypothèse implicite de stabilité des relations entre les différents actifs.

Empiriquement, cette stabilité n’est pas vérifiée.

Ainsi, si le concept est théoriquement solide, sa mise en pratique

risque de fournir des résultats peu cohérents (par exemple des poids excessifs

sur un ou deux actifs). Le CAMP (capital asset pricing model) va ainsi

constituer une réponse pratique à une problématique en reliant tous les actifs à

un facteur unique : le portefeuille de marcher. Ce facteur unique permet de

fortement limiter les inputs nécessaires pour déterminer la constitution du

portefeuille de l’investisseur.

2. Les portefeuilles efficients : rentabilité et risque

a. La rentabilité

La rentabilité d’une action peut être présentée Rt comme la somme

des plus-values en capital et des dividendes rapportée au cours de l’action au

début de la période.

( Pt – Pt-1 )+ Dt

Rt = ----------------------------------------

Pt-1

La rentabilité espérée sur une action (ou son espérance

mathématique) E(Rt) est simplement égale à la moyenne pondérée des

rentabilités espérée sur les différents titres qui le composent.

Le taux de rentabilité espéré d’une action peut être différent de la

performance moyenne accomplie par cette action dans le passé.

Par contre si l’on s’attend à ce que la distribution a priori des taux

de rentabilité passé soit maintenue dans le futur, la valeur espérée peut être

estimé à partir du taux de rentabilité moyen réalisé lors des périodes

précédentes.

1 n

R = n ∑ Rt

t-1

En effet, tout investisseur préférera certainement des opportunités

d’investissement qui offrent les perspectives les plus intéressantes, toutes choses

étant égale par ailleurs. Le taux de rentabilité, pris isolement, ne suffit pas pour

caractériser une opportunité d’investissement. Il est aussi nécessaire de

considérer des déviations possibles de taux de rentabilité par rapport à leurs

valeurs espérées, ce qui nous ramène au concept d’incertitude ou de risque.

b. Le risque d’une action

Le risque d’un investissement en valeurs mobilières provient de ce

que les espérances de rentabilité ne sont pas toujours réalisées.

Certes, ces espérances peuvent être dépassées, mais il peut arriver

également que la rentabilité d’un titre ou d’un portefeuille soit nettement

inférieure aux anticipations, voir même fortement négative.

La dispersion des rentabilités autours de la rentabilité moyenne ou

espérée traduit donc la rentabilité moyenne ou espérée traduit donc l’incertitude

( ou le risque du placement) .

L’écart type ou son carré la variance est faible. Au niveau de la

mesure, il nous faudrait calculer le risque ex ante ; or la variance ne peut être

calculée que sur les fluctuations passées des taux de rentabilité. Toutefois ,

Blume (1970 ) , Altman , Jacquillat , Levasseur ( 1974 ) et Pogue , Solnik ( 1974

) ont mon – tré empiriquement que la volatilité des variations de cours d’actions

et portefeuilles est relativement stable . On peut donc utiliser une mesure du

risque passé pour évaluer le risque d’un placement actuel.

3. Le modèle MEDAF :

a. Le principe

Le modèle d’équilibre des actifs financiers ou MEDAF, qui va être

développé ici, se propose de déterminer les prix des valeurs mobilières qui

permettent à l’offre et à la demande pour chacun des titres de s’équilibrer et

donc de dégager l’équilibre général du marché.

Il convient tout d’abord de rappeler que l’analyse précédente ne

considérait que les placements risqués. Or il est possible de placer son argent

dans un actif dénué de risque au taux Rf (taux d’intérêt à court terme). Le

modèle d’équilibre suppose que ce taux sans risque est le même pour l’emprunt

et le prêt. Il s’agit là d’une hypothèse peu réaliste pour un investisseur privé

mais qui peut être relaxée dans une version plus sophistiquée de cette théorie.

Un certain nombre d’autres hypothèses sont nécessaires au développement de

cette théorie proposée par SHARPE (1964) et LINTNER (1965) :

le marché est composé d’investisseurs qui essaient d’éviter le

risque et de maximiser leur espérance d’utilité sur la période. En particulier,

pour un niveau de rentabilité espérée chaque investisseur essaye de minimiser la

variance en fin de période. Cette période est la même pour tous les

investisseurs ;

les anticipations de rentabilité et de risque sont les mêmes pour

tous les investisseurs ;

les marchés de capitaux sont parfaits en ce sens que tous les

actifs sont indéfiniment divisibles ; il n’y a aucun frais de transactions et pas

d’impôts, aussi les taux d’emprunts et de prêt sont égaux et les mêmes, quelque

soit l’investisseur.

En conséquence, la frontière efficiente des portefeuilles d’actifs

risqués est identique pour chaque investisseur.

Choisissons un portefeuille de référence P

En combinant un placement dans l’actif sans risque (rentabilité Rf )

et un portefeuille d’actions (rentabilité espérée E(Rp ), risque σ p ),

l’investisseur anticipe une rentabilité E(R) sur l’ensemble de ses placements,

telle que :

E(R) = (1-x) Rf + xE(Rp) Et

σ 2 = x2σ p2

x est la proportion de la fortune investie en actions.

La frontière efficiente et le portefeuille de marché

Les points situés sur RfP à droite de P sont obtenus pour x> 1, c'est-

à-dire en empruntant pour accroître son investissement dans le portefeuille

d’actions. Toute droite joignant le taux d’investissement sans risque à un point

situé sur ou au dessous de la frontière efficiente constitue un ensemble

d’opportunités d’investissement. Celle qui aura la plus forte pente sera celle qui

est tangente à la frontière efficiente des actifs risqués (ligne Rf M sur la figure).

Ainsi, tous point de cette droite domine les autres portefeuilles de

même risque. un investisseur qui désirerait prendre peu de risque allouerait une

partie de ses ressources au placement sans risque et une autre partie au

portefeuille M. Un investisseur plus spéculateur emprunterait au taux sans risque

et investirait tous ses fonds disponibles dans le portefeuille M.

P

Quelle va donc être la composition de ce portefeuille M ? Il est

facile de répondre à cette question puisque désormais le choix du risque peut

être séparé de la sélection des valeurs mobilières. Le niveau de risque est obtenu

en prêtant ou empruntant plus ou moins, mais tout le monde investit dans le

même portefeuille d’action M. il en résulte que ce portefeuille ne peut être formé

que de l’ensemble des valeurs cotées ; c’est le portefeuille de marché. Tout

investisseur détient donc une combinaison de l’actif sans risque et de

portefeuille du marché. Tout portefeuille ainsi constitué est, par définition,

parfaitement diversifié puisqu’il inclut toutes les actions dans les proportions de

leurs capitalisations boursières. C’est là le théorème de séparation.

Revenons un instant à la figure précédente. L’équation de la droite Rf M s’écrit :

E(R) = Rf + E ( Rm )– Rf σ

σ m

La pente de cette droite E ( Rm )– Rf donne une mesure de la rémunération du risque.

σ m

Toutefois, cette formule ne s’applique qu’aux portefeuilles situés sur cette droite.

b. Le prix du risque

Il est montré en annexe qu’il doit exister une relation entre la

rentabilité espérée sur chaque action ou chaque portefeuille et sa covariance

entre le marché plus précisément, on démontre que pour une action ou un

portefeuille i :

E(Ri) - Rf = σim / σ2m

( E (Rm) – Rf)

Sachant que bêta est le rapport σim / σ2m. Donc

E(Ri) - Rf = βi ( E (Rm) – Rf)

M

Rf

RE

β

Si nous voulons comparer cette relation à celle uniquement valable pour les

portefeuilles efficients, on peut la réécrire sous la forme:

E(Ri) - Rf = E (Rm) – Rf / σim *βi σim

On retrouve bien la pente de la droite précédente E (Rm) – Rf /

σim mais le risque qui est rémunéré n’est pas le risque total de l’action : c’est

son risque systématique, tel qu’il a été défini précédemment βi σim. Ainsi, tout

investisseur qui sera prêt à couvrir un risque plus élevé devrait obtenir une

rentabilité plus forte, mais il ne sera compensé que pour le risque systématique

qu’il assumera et non pour le risque diversifiable.

Tous les risque de la droite Rf M sont parfaitement diversifiés et

pour ceux-là le risque total se réduit au risque systématique (ou de marché).

Intuitivement on pourrait dire qu’il n’y a pas de raison que le marché rémunère

le risque non systématique puisqu’on peut l’éviter par une bonne diversification

de son portefeuille.

Beaucoup préfèrent désormais parler en termes de bêta et utilisent

la formulation de détermination des rentabilités des actions

E(Ri) - Rf = βi ( E (Rm) – Rf)

Le bêta d’une action est son risque systématique exprimé en unités

de risque de marché. Ainsi, les rentabilités espérées sur chaque action et

portefeuille sont proportionnelles à leur bêta, le coefficient de proportionnalité

étant égal à la rentabilité espérée sur le marché en excès du taux d’intérêt sans

risque. Seul le bêta devrait ainsi déterminer le cours d’une action. Cela peut être

représenté par le graphique suivant qui aurait le taux de rentabilité escompté en

ordonnée et le bêta en abscisse.

La droite Rf M dans le plan rentabilité - bêta s’appelle la droite de

marché. Tous les portefeuilles et actions figurent sur cette droite. On appelle

généralement prime de risque la différence de rentabilité entre un actif risqué et

un actif sans risque. E (Rm) - Rf est la prime de risque du marché.

Cette théorie a un contenu intuitif évident. Il est toujours facile de

choisir un portefeuille qui se situe sur la droite de marché. Il suffit de placer son

argent en partie dans l’actif sans risque. Par exemple un portefeuille investi pour

moitié dans un fonds indiciel et pour la moitié dans un fonds de trésorerie (actif

sans risque) aura un bêta de 0,5 et une rentabilité égale à la moyenne de celle sur

le marché et l’actif sans risque. Dès lors, n’importe quel investisseur «passif »

peut se situer sur la droite de marché pour le niveau de risque désiré. Dans un

marché efficient, la théorie nous dit qu’on ne peut pas faire mieux en termes de

rentabilité / risque. C’est au gérant de montrer que par des qualités de gestion

particulières ou de meilleure information il peut créer des portefeuilles qui se

situent au dessus de la droite de marché.

En effet de conclusion peuvent se dégager du MEDAF qui a été

développé dans le cadre d’un marché efficient.

La première conclusion est purement normative et montre que tout

investisseur rationnel devrait détenir une combinaison d’actifs sans risque et du

portefeuille de marché. Comme toute règle normative, celle-ci ne peut être

soumise à une vérification de mesure empirique.

La deuxième conclusion fondamentale est que le taux de rentabilité

de chaque action en excès du taux d’intérêt sans risque dépend uniquement de

son bêta. Un tel résultat peut paraître surprenant, d’autant qu’il est fondé sur des

hypothèses de rationalité du marché que le praticien n’est souvent pas prêt

d’accepter. Il convient donc de soumettre la relation de prix du risque à

l’épreuve de la vérification statistique.

c. Utilisation du Medaf et le coefficient de bêta :

Le medaf Permet de déterminer qu’elle sera la prime de risque exigé pour une

action donné.

On peut déduire le coût des capitaux propre ou l’exigence de

rentabilité des actionnaires d’une société, ce coût des capitaux propre sert de

taux d’actualisation pour les évolutions des actions.

Medaf permet d’établir la relation entre le risque encouru (la

proportion d’actions risquées dans le portefeuille et la rentabilité de portefeuille.

A l’équilibre du marché; le taux de rentabilité espéré d’un actif

financier est déterminé par l’équation suivante :

 : mesure du risque systématique de l'actif.  :la rentabilité espérée sur le marché.  : taux d'intérêt sans risque (généralement des emprunts d'État).

 : Représente la prime de risque du marché, c'est-à-dire le surplus

de rentabilité exigé par les investisseurs lorsque ces derniers placent leur argent

sur le marché, plutôt que dans un actif sans risque.

-le coefficient de bêta :

Le est la volatilité de la rentabilité de l'actif considéré

rapportée à celle du marché. Mathématiquement parlant, elle correspond au

rapport entre la covariance de la rentabilité de l'actif et de la rentabilité du

marché et la variance du risque du marché.

Dans le modèle MEDAF (ou CAPM), on peut montrer que ce

coefficient correspond à l'élasticité financière du risque du marché par rapport au

risque de l'actif:

où représente le risque du marché (l'écart-type de ) et le risque de l'actif (l'écart-type de la rentabilité attendue de l'actif). Ainsi, un actif représentant le marché aura un égal à 1. Pour un actif sans risque, il sera égal à 0.

II. Critiques du MEDAF

La version d’origine du MEDAF est donc basée sur des hypothèses

qui ne peuvent absolument pas être vérifiées complètement.

L’irréalisme de ces hypothèses de base a conduit plusieurs auteurs à

formuler des critiques en étudiant les conséquences du non respect de ces

hypothèses en les reconsidérant, mais ces études n’ont porté que sur une seule

hypothèse à la fois.

Parmi l’ensemble des critiques formulées qui ont contre verser le

MEDAF ainsi développé, celle qui présente plus d’intérêt pour les applications

pratiques sont les suivant :

1. Le modèle zéro bêta de black (1972)

Ce modèle est le plus utilisé après la version d’origine. Cette version a été

développée pour mettre en cause deux hypothèses de modèle :

L’existence d’un actif sans risque et donc la possibilité de prêter ou

d’emprunter à ce taux ;

Et l’hypothèse d’un même taux pour le prêt et l’emprunt.

Black a montré que la théorie du CAPM est encore valable sans

l’existence de l’actif sans risque, et a développé une version du modèle, en le

remplaçant par un portefeuille ou un actif de bêta nul. Donc au lieu de prêter ou

d’emprunter au taux sans risque, il est possible de prendre à la place des

positions à découvert sur les actifs risqués.

2. Modèle prenant en compte les taxes :

Le modèle de base du CAPM suppose qu’il n’existe pas de taxes.

L’investisseur est alors indifférent au fait de recevoir un revenu en dividende en

gain de capital, et les investisseurs détiennent le même portefeuille d’actifs

risqués.

Or la taxation des dividendes et des gains en capitaux est en générale

différente et ceci est susceptible d’influencer la composition d’actifs risqués des

investisseurs et donc la prise en compte des taxes peut modifier le prix

d’équilibre des actifs.

Et c’est en réponse à ce problème que BERNNAN a développé une

version du MEDAF permettant de prendre en compte l’impact des taxes sur le

modèle.

3. Version en temps continu MERTON

Le modèle de MERTON est désigné sous le nom de Inter temporel

Capital Asset Pricing Model (ICAPM). C’est une version en temps continu de

CPAM et donc réfutant la stabilité sur la période d’investissement.

Dans ce modèle, il est supposé qu’une variable d’état, par le taux

d’intérêt sans risque, évolue aléatoirement au cours du temps.

Dans ce cas MERTON montre que les investisseurs détiennent des

portefeuilles issus de trois fonds ; l’actif sans risque, le portefeuille de marché et

un troisième portefeuille, choisi de telle sorte que sa rentabilité soit corrélée

négativement et de façon parfaite avec la rentabilité de l’actif sans risque.

Le troisième fonds inclus permet de se couvrir contre le risque de

changement non anticipé de la valeur future de taux sans risque.

Il s’agit la aussi d’un modèle multi périodique, mais qui s’éloigne

du modèle de base par le fait que les rentabilités sont expliquées à l’aide de taux

de croissance de la consommation et non plus de la rentabilité du marché.

4. Modèle prenant en compte l’inflation

Ce modèle est un exemple simple de la généralisation du CAPM à

plusieurs facteurs. On suppose ici que l’inflation incertaine, ce qui constitue un

facteur de risque supplémentaire, qui vient s’ajouter au facteur de risque de

marché du modèle de base.

5. Modèle basé sur la consommation

La présentation de ces versions du MEDAF a permis de constater que la

structure générale du modèle de base était assez respectée. Mais il faut souligner

que les modèles ont été élaborés on ne modifiant qu’une seule hypothèse à la

fois.

Que se passerait-il alors si on en modifie plusieurs à la fois ou on en

intégrant d’autres facteurs ? C’est ce à quoi vont répondre d’autres modèles, tels

que APT .

6. Critique de ROLL

Efficience et équilibre de marche

En fait un modèle d’équilibre ne peut exister que dans un contexte

d’efficience des marchés .en effet l’étude de l’efficience de marché permet

d’analyser la façon dont les prix des actifs financiers évoluent vers leur valeur

d’équilibre.

Comment peut on alors définir l’efficience du marche et quelles

sont se différentes formes ?

Définition 1   (fama 1970)   :

Les marchés sont efficients si le prix des actifs reflètent

immédiatement toute l’information disponibles.

Définition 2 (Jensen)   :

Dans un marché efficient une prévision dégage un profit nul, c'est-

à-dire que les frais liés a la recherche d’information et à sa mise en œuvre

viennent annuler le bénéfice supplémentaire procuré.

Il existe différents degrés dans l’efficience des marches :

L’efficience faible : si l’information ne contient que les cours passés ;

L’efficience semi forte   : si l’information contient en plus l’information les

informations publiques

L’efficience forte : si toute l’information, publique et privée, est contenue dans

les cours présent des actifs.

Les marchés vérifient plutôt la forme faible ou semi forte de

l’efficience , mais

l’hypothèse du marche parfait du MEDAF se réfère en fait a la

forme forte .

La démonstration du MEDAF repose sur l’efficience du

portefeuille du marché à l’équilibre. Cette efficience est une conséquence

l’hypothèse selon laquelle les investisseurs font tous les mêmes prévisions

concernant les actifs. En effet ils construisent tous alors la même frontière

efficiente d’actifs risqués et choisissent uniquement d’investir dans les

portefeuilles efficients de cette frontière.

Le marché étant l’agrégation des portefeuilles des investisseurs

individuels, c'est-à-dire d’un ensemble de portefeuille efficient, le portefeuille de

marché est efficient.

Dans l’absence de cette hypothèse d’anticipation homogène des

investisseurs, on est plus assuré de l’efficience du portefeuille de marché, et par

conséquent on est plus sur de la validité du modèle d’équilibre.

La théorie de l’efficience des marchés est donc étroitement liée à

celle du MEDAF. Il n’est pas possible de tester la validité de l’une sans l’autre.

Ce problème constitue un point important de la critique de ROLL

sur le modèle. L’essentiel de sa critique concerne l’impossibilité de mesurer le

vrai portefeuille de marché.

Ces criques ont conduit au développement d’autres models par la suite, et

qui vont permettre surtout un meilleur calcul du bêta. Et c’est le cas du

model APT.Conclusion

Le MEDAF est un modèle qui établit une relation linéaire

entre le rendement espéré d'un actif et son risque systématique mesuré

par le bêta. Ce modèle repose sur un certains nombre d'hypothèses qui

semblent difficilement acceptables. Notons que plusieurs extensions

du MEDAF ont été établies afin de rendre le modèle plus général.