medicion cuantica

Medicin cuntica y decoherencia:qu medimos cuando medimos?

Olmpia Lombardi & Leonardo Vanni

resumenEl problema de la base privilegiada consiste en dar cuenta de la base que define el observable medido enuna medicin cuntica, dada la supuesta ambigedad terica en la definicin de dicho observable. Elpropsito del presente artculo es analizar este problema escasamente explorado. El objetivo final es ar-gumentar que, contrariamente a la opinin ms difundida, la teora de la decoherencia no aporta unasolucin a dicho problema, no debido a su propia incapacidad, sino porque, en realidad, se trata de unpseudo-problema que no requiere solucin alguna.

Palabras-clave Aparato de medicin. Entorno. Base del espacio de Hilbert. Superposicin.

Introduccin

Entre los mltiples desafos que presenta la mecnica cuntica, el problema de la medi-cin es sin duda el ms discutido, tal vez porque es el que enfrenta el cuerpo terico conla evidencia emprica ms directa. Resumidamente, dicho problema puede expresarseen los siguientes trminos: cmo es posible explicar, en una medicin cuntica, elvalor definido de los observables del aparato macroscpico, cuando desde el punto devista cuntico el sistema se encuentra en una superposicin de estados? Cataratas detinta han corrido tras el intento de encontrar una respuesta adecuada a las dificultadesque plantea esta pregunta, e incluso muchas interpretaciones han sido diseadasespecficamente para suministrar una solucin conceptualmente admisible al proble-ma. En efecto, puede discutirse acerca de la naturaleza de las partculas elementales,del modo en que interactan a travs del espacio o de la interpretacin de la estadsticaque generan. Pero no podemos negar que, aun cuando una partcula cuntica se en-cuentre en un estado de superposicin, al efectuar una medicin sobre ella observa-mos la aguja del dispositivo de medicin en una posicin definida.

La respuesta tradicional al problema de la medicin se basa en la llamada hip-tesis del colapso, formulada por primera vez por Werner Heisenberg en su famoso art-culo de 1927 en trminos de reduccin del paquete de onda (cf. Heisenberg, 1927).

scienti zudia, So Paulo, v. 8, n. 2, p. 273-91, 2010

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Segn esta hiptesis, los sistemas cunticos desarrollan dos tipos de evolucin tem-poral: una evolucin determinista y unitaria cuando no son observados, y una transi-cin indeterminista y no-unitaria (el colapso de la funcin de onda) al ser medidos.Dicha transicin conducira al sistema de su estado de superposicin original a otroestado en el cual sistema y aparato de medicin adquieren propiedades definidas.

Actualmente, en el mbito de la fsica el problema de la medicin se aborda apartir de la teora de la decoherencia inducida por el entorno (environment-induceddecoherence). Este programa terico, desarrollado por un grupo liderado por WojciechZurek (1981, 1982, 1991, 2003) y actualmente con sede en el laboratorio de Los Ala-mos, se basa en el estudio de los efectos de la interaccin entre un sistema cuntico,considerado como un sistema abierto, y su entorno. De acuerdo con esa teora, lainteraccin sistema-entorno conduce al proceso de decoherencia que selecciona laspropiedades (observables) del sistema que adquieren valores definidos.

A su vez, con la difusin de la teora de la decoherencia, incluso el propio pro-blema de la medicin se ha reformulado, ampliando sus alcances. Tal como indicaSchlosshauer (2004, p. 1270), actualmente las dificultades conceptuales de la medi-cin cuntica pueden concentrarse en torno a dos ncleos:

El problema de la lectura definida (definite outcome), que consiste en la preguntatradicional acerca de la medicin cuntica: por qu percibimos una lecturadefinida en el dispositivo de medicin cuando su estado es una superposicinde lecturas posibles?

El problema de la base privilegiada (preferred basis): dado que existe una ambi-gedad terica en la definicin del observable medido debido a la posibilidadmatemtica de un cambio de base en la expresin del estado del sistema, qufenmeno fsico selecciona tal observable?

Mucho se ha discutido acerca de la capacidad de la teora de la decoherencia pararesolver el problema tradicional de la medicin, esto es, el problema de la lectura de-finida. No obstante la amplia adhesin que despierta el programa, diversas voces sehan alzado para alertar contra la confianza excesiva en el papel de la decoherencia parasuministrar una respuesta al primer problema. Por el contrario, el problema de la baseprivilegiada ha sido mucho menos discutido bajo el supuesto de que su solucin es unode los mritos ms evidentes de la teora de la decoherencia. En efecto, incluso mu-chos, de quienes impugnan la capacidad de la teora para resolver el problema de lalectura definida, admiten que la decoherencia es el proceso fsico que selecciona un-vocamente el observable a medir.


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Medicin cuntica y decoherencia: qu medimos cuando medimos?


2 *1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 ( ) ( )r t c a p a p c c r t a p a p= + +

2* *1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2+ ( )c c r t a p a p c a p a p + (3.8),

donde el factor r(t),

( )2 21 2( ) ( ) ( ) (2 ) (2 )k k k kk

r t t t cos g t i sen g t = = + (3.9),determina en cada instante el valor de los trminos fuera de la diagonal. Zurek y suscolaboradores demuestran que, para N suficientemente grande, a medida que el tiem-po transcurre los estados |1(t) y |2(t) rpidamente tienden hacia la ortogonalidad demodo que, en un intervalo muy corto,

1 2( ) ( ) ( ) 0r t t t= (3.10).Esto significa que, para un tiempo de decoherencia extremadamente pequeo, eloperador densidad reducido r(t) converge a

2 2

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2r c a p a p c a p a p= + (3.11),donde los trminos fuera de la diagonal han desaparecido. Segn Zurek, r denota unestado mezcla que slo contiene los trminos correspondientes a las correlacionesclsicas y, por lo tanto, puede interpretarse en trminos de ignorancia: el sistema com-puesto S + M se encuentra en alguno de los estados |a1|p1 o |a2|p2, y las proba-bilidades |c1|2 y |c2|2 miden nuestra ignorancia acerca del estado definido del sistema.En consecuencia, la decoherencia inducida por el entorno conducira al mismo estadom introducido por la hiptesis del colapso (ecuacin (2.4)), pero sin suponer un pro-ceso fsico adicional a la evolucin unitaria descripta por la ecuacin de Schrdinger.Segn Zurek, es precisamente la interaccin entre S + M y su entorno E el proceso quehace que la funcin de onda parezca haber colapsado (1981, p. 1517).

Algunos autores consideran que, con la teora de la decoherencia, se ha alcanza-do finalmente la respuesta que demandaba el problema de la medicin. Por ejemplo,bajo el supuesto de que una teora fsica slo debe dar cuenta de nuestras percepcionessensibles (las apariencias), dEspagnat sostiene que la decoherencia explica las re-cin mencionadas apariencias [las del mundo clsico], y ste es su resultado ms im-portante (2000, p. 136). De un modo ms explcito, en su libro sobre fundamentos demecnica cuntica, Auletta afirma que la decoherencia es capaz de resolver prctica-mente todos los problemas de la medicin que han sido discutidos en los captulosprevios (2000, p. 289).


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Sin embargo, muchos especialistas no comparten este entusiasmo, y se mues-tran escpticos respecto de la supuesta solucin proporcionada por la teora de ladecoherencia. Por ejemplo, Adler (2003) afirma que, aun cuando el operador densi-dad reducido r carezca de trminos cruzados (ecuacin (3.11)), ello no nos autoriza aafirmar que lo que se observa al final del proceso de medicin es o bien el evento aso-ciado con |a1|p1, o bien el evento asociado con |a2|p2; sobre esta base el autor con-cluye: no creo que ni los detallados clculos tericos ni los recientes resultados expe-rimentales muestren que la decoherencia ha resuelto las dificultades asociadas con lamedicin cuntica (2003, p. 136). De acuerdo con Bub (1997), las dificultades sonan ms serias: el operador densidad reducido r no slo es incapaz de dar cuenta de laocurrencia de slo un evento asociado con un valor definido del puntero, sino que, enrealidad, es inconsistente con dicha ocurrencia. En efecto, la lectura de r en trmi-nos de ignorancia equivale a su interpretacin como un estado tpico de la mecnicaestadstica clsica, donde las probabilidades pueden ser concebidas como medidas denuestra ignorancia acerca de un estado subyacente bien definido que determina losvalores precisos de los observables del sistema. Pero este supuesto es inconsistentecon la interpretacin estndar de la mecnica cuntica, en particular, con el vnculoautoestado-autovalor (eigenstate-eigenvalue link), de acuerdo con el cual un observabletiene valor definido si y slo si el estado del sistema es un autoestado de dicho observa-ble. Puesto que el estado del sistema compuesto no es un autoestado del observabledefinido por los |ai|pi, tal observable no posee valor definido. stas y otras conside-raciones han conducido incluso a algunos fsicos, cuyos aportes fueron centrales en eldesarrollo del programa de la decoherencia, a manifestar su escepticismo acerca de lapertinencia de la decoherencia como respuesta al tradicional problema de la medi-cin. Por ejemplo, Joos afirma explcitamente: resuelve la decoherencia el proble-ma de la medicin? Claramente no (2000, p. 14).

3 El problema de la base privilegiada

Mientras contina el debate acerca del papel que cumple la decoherencia en el proble-ma de la lectura definida (el tradicional problema de la medicin), un nuevo problemase ha instalado en las discusiones sobre el tema: el problema de la base privilegiada (cf.Schlosshauer, 2007, p. 53-5). La dificultad residira en la ambigedad terica en ladefinicin del observable medido, debida a la posibilidad matemtica de expresar elestado del sistema en diferentes bases del espacio de Hilbert. Veamos el problema talcomo es formulado por el propio Zurek (1981).


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to. Pero este modo de hablar es slo una analoga con la medicin clsica, donde lacorrelacin entre un observable A del sistema a medir y el puntero P del aparato demedicin permite conocer el valor de A a travs del valor de P: cuando la columna demercurio del termmetro coincide con la marca 37, medimos el valor 37 C de latemperatura. Pero el fsico experimental sabe que el objetivo de una medicin cunticano es descubrir el valor del observable A en cada deteccin singular: bien conocidasson las dificultades tericas que acarrea la adjudicacin de un valor preciso a un obser-vable cuando el estado del sistema no es un autovector de dicho observable. El prop-sito de una medicin cuntica es reconstruir el estado S en el que se encontraba el siste-ma S antes de la interaccin. Y para ello sern necesarias muchas detecciones, de modotal que la frecuencia con la que se detecta cada autovalor pi del puntero P brinde el valor|ci|2 correspondiente.1 Por lo tanto, el aparato de medicin se disea para obtener losvalores |ci|2 para cualesquiera valores ci, esto es, para cualquier |S . En otras palabras,es precisamente el estado inicial |S = ci |ai el elemento en principio desconocido yque se pretende reconstruir a partir de la medicin cuntica.

Una vez que se ha comprendido la especificidad de la medicin cuntica y se re-cuerda el resultado del teorema de Schmidt, el argumento de la ambigedad de la basepierde su plausibilidad original. En efecto, el arreglo experimental se disea para re-construir el estado inicial del sistema S, sea cual sea ese estado inicial. El hecho de que,para algunos casos particulares de |S (casos degenerados que tienen medida nula enel espacio de todos los posibles estados |S ) pueda efectuarse el cambio de base notrivial indicado en la ecuacin (5.6) no implica ambigedad alguna. La medicin no sedisea para medir un estado particular del sistema S, sino que debe ser efectiva paracualquier |S . Por lo tanto, el legtimo puntero P queda unvocamente determinadoen los casos en que |S no es degenerado, casos donde, por el teorema de Schmidt, lasdescomposiciones en bases diferentes, tales como las expresadas en la ecuacin (5.5),no son posibles.

Cuando el argumento de la ambigedad de la base se analiza a la luz de estas con-sideraciones, es fcil comprobar que Zurek construye el problema de la base privile-giada ignorando la naturaleza de la medicin cuntica y suponiendo que el problema sereduce a elegir una base para un estado cuntico. Pero una medicin involucra un arregloexperimental diseado para reconstruir (al menos parcialmente) el estado inicial delsistema a medir, sea cual sea ese estado, y por tanto existe una nica base |aipi que

1 Este objetivo debe poder lograrse incluso en el caso de una medicin no-ideal, esto es, una medicin en la cual lacorrelacin entre los autovectores del observable A y los autovectores del puntero P no es perfecta, puesto que lamedicin ideal es una situacin terica que nunca se cumple en la prctica experimental (cf., para una discusinsobre el tema, Lombardi & Castagnino, 2008; Castagnino & Lombardi, 2008).


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conserva la correlacin necesaria para cualesquiera valores ci. En consecuencia, el pun-tero P queda unvocamente definido, y los detectores debern ser diseados espe-cficamente para registrar los valores de ese puntero P y no los valores de cualquierotro puntero P.

En definitiva, la pregunta cmo sabemos que estamos midiendo el observableA o el observable A? puede fcilmente responderse: sabemos que medimos el estadodel sistema en la base de A mediante el puntero P, y no en la base de A mediante elpuntero P, porque slo la base |ai|pi conserva la correlacin entre los valores deambos observables para cualquier estado inicial |S del sistema S. En otras palabras, loque el observador de la medicin desconoce antes de la deteccin es el estado inicialdel sistema a medir, y no el puntero cuyos valores debe detectar o el observable delsistema correlacionado con dicho puntero.

5 La medicin como proceso

El argumento de la ambigedad de la base privilegiada se presenta como una conse-cuencia de un resultado matemtico: la posibilidad de expresar un vector de un espa-cio de Hilbert en cualquier base de dicho espacio. Sin embargo, esta presentacin delproblema ignora que la medicin cuntica es un proceso que se origina en el estadoinicial del sistema a medir y, en tanto proceso, debe estar regido por el postulado din-mico de la mecnica cuntica, esto es, la ecuacin de Schrdinger. Veamos, entonces,qu conclusiones pueden extraerse del argumento de la ambigedad de la base cuandola medicin se concibe como un proceso cuntico.

Recordemos que, segn el modelo de von Neumann, el sistema compuesto S + Mse encuentra inicialmente en un estado |0. A travs de la interaccin, |0 evolu-ciona hasta un nuevo estado |f donde los autovectores del observable A en el siste-ma S quedan correlacionados con los autovectores del observable P en el aparato M.De acuerdo con la ecuacin de Schrdinger, tal evolucin se encuentra determinadapor un operador de evolucin unitario Ut:

0 0 0i i f t i i ii ic a p U c a p = = = (6.1).

Segn el argumento de la ambigedad de la base, en este caso decimos que medimos elobservable mediante el puntero P. Sin embargo, prosigue el argumento, dado que |f puede tambin expresarse en la base {|ai|pi}, podramos igualmente decir que he-mos medido el observable A mediante el puntero P.


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Ciertamente, este resultado no debera sorprendernos. En efecto, el hecho deque la base privilegiada quede determinada por la forma del hamiltoniano deinteraccin no es ms que una formulacin terica general de un hecho emprico bienconocido por cualquier fsico experimental: la base que define los coeficientes del es-tado a medir viene determinada por la construccin del aparato de medicin. Por ejem-plo, en el caso de la medicin tipo Stern-Gerlach, si en lugar de colocar los detectoresen direccin z (arriba-abajo), se los coloca en direccin x (derecha-izquierda),con el propsito de medir el spin Sx en direccin x, el resultado de esta medicin serque no habr deteccin alguna. Y esto se debe a que el imn genera un campo magnti-co en direccin z y no en direccin x: el aparato ha sido diseado de modo tal que elmomento Pz cumpla el papel de puntero. Si en lugar de medir el estado en la base delspin Sz deseamos medirlo en la base del spin Sx, debemos rotar el imn 90 de modo talque el nuevo campo magntico correlacione Sx con Px en lugar de Sz con Pz. En trminosprecisos y generales, si en un proceso de medicin cuntica deseamos medir los coefi-cientes ci del estado expresado en la base del observable A mediante el puntero P, enlugar de los coeficientes ci de |S expresado en la base de A mediante el puntero P,debemos cambiar el aparato de medicin, esto es, reemplazar el aparato original consu hamiltoniano de interaccin Hint = f(A,P) por un nuevo aparato con Hint = f(A,P).Y, ciertamente, el entorno no ha jugado papel alguno en la seleccin de la base privile-giada determinada por A y P.

Conclusiones

Durante las ltimas dcadas se ha producido una explosin en los estudios sobredecoherencia en el mbito de la fsica. En particular, la investigacin de este fenme-no ha cobrado una especial importancia en la llamada computacin cuntica, dondela decoherencia constituye el mayor obstculo al que debe enfrentarse la implementa-cin de sistemas de informacin que aprovechan las superposiciones cunticas. Sinembargo, las discusiones tericas en torno a los fundamentos de la teora continanpresentando algunos ngulos oscuros.

En el presente trabajo hemos analizado el problema de la base privilegiada, unproblema que comienza a admitirse como tal desde el mismo momento en que la teo-ra de decoherencia se propone como su solucin. Mediante diferentes argumentoshemos sostenido que, en realidad, se trata de un pseudo-problema, construido ad hocsobre la base de una incorrecta concepcin de la medicin cuntica. Cuando, por elcontrario, la medicin cuntica se concibe como un proceso que involucra el estadoinicial del sistema a medir y el arreglo experimental mediante el cual se efecta la me-


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dicin, el problema de la base privilegiada se disuelve: no existe ambigedad algunarespecto de la base de medicin y, por tanto, la decoherencia inducida por el entornono resulta necesaria para la seleccin de dicha base. Los fsicos experimentales puedencontinuar efectuando sus mediciones cunticas sin preocuparse por el problema de labase privilegiada, tal como de hecho han venido hacindolo desde hace casi un siglo.

Agradecimientos. Agradecemos a los rbitros annimos por sus atentas lecturas del trabajo y sus oportunassugerencias. El presente trabajo ha sido posible gracias a subsidios otorgados por la Agencia de Promocin Cient-fica y Tecnolgica (ANCyT), el Consejo Nacional de Investigaciones Cientficas y Tcnicas (CONICET), la Universidadde Buenos Aires (UBA) y la Sociedad Argentina de Anlisis Filosfico (SADAF).

Olmpia LombardiInvestigadora del Consejo Nacional de Investigaciones Cientficas y Tecnolgicas,

Universidad de Buenos Aires, Argentina.

[email protected]

Leonardo VanniProfesor del Instituto AFE,

Universidad de Buenos Aires, Argentina.

[email protected]

abstractThe problem of the preferred basis consists in accounting for the basis that defines the measured ob-servable in a quantum measurement, given the supposed theoretical ambiguity in the definition of suchan observable. The purpose of this paper is to analyze this scarcely explored problem. The final aim con-sists in arguing that, contrary to a widespread opinion, the theory of decoherence does not supply a solu-tion to this problem, not due to its own inability, but because the problem is actually a pseudo-problemwhich does not require a solution.

Keywords Measuring apparatus. Environment. Basis of the Hilbert space. Superposition.

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