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HACIA UN PROPUESTA DE ENSEÑANZA DEL CONCEPTO DE MEDIDA EN UN CONTEXTO

INTERCULTURAL: MEDICION DEL ESPACIO Y EL TIEMPO.

PRESENTADO POR: MARIA ANGELICA SUAVITA R. MARIO ALBERTO CAÑON G.

DIRECTOR: JORGE RODRIGUEZ BEJARANO

UNIVERDIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACION

PROYECTO CURRICULAR DE LICENCIATURA EN MATEMATICAS BOGOTA, 2005.

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TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCION CAPITULO 1. PLANTEAMIENTO DE LA INVESTIGACION 1.1 INTRODUCCION 1.2 ANTECEDENTES 1.3 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 1.4 PREGUNTA DE INVESTIGACION 1.5 JUSTIFICACION 1.6 OBJETIVOS CAPITULO 2. REFERENTES CONCEPTALES DE LA INVESTIGACION 2.1 CONCEPTO DE CULTURA. 2.2 CULTURA INGA 2.3 EDUCACION INTERCULTURAL 2.4 ETNOMATEMATICAS 2.5 PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS METRICOS 2.6 CONCEPTO DE MEDIDA 2.7 ASPECTOS DIDACTICOS CAPITULO 3. DESCRIPCION DEL PROCESO METODOLOGICO 3.1 PRIMERA FASE DE LA INVESTIGACION 3.2 SEGUNDA FASE DE LA INESTIGACION CAPITULO 4. DESCRIPCION DE LOS PROCESOS DE RECOLECCION, SISTEMATIZACION Y ANALISIS DE LA INFORMACION 4.1 PROCESO DE RECOLECCION 4.2 PROCESO DE SISTEMATIZACION 4.3 PROCESO DE ANALISIS CAPITULO 5. ETNOMATEMATICAS Y MEDIDA EN LOS INGAS. 5.1 EL SISTEMA DE NUMERACION INGA 5.2 TRABAJO COMUNITARIO 5.3 EL TEJIDO 5.4 MEDICION DEL TIEMPO Y ASTRONOMIA 5.5 EL TRABAJO EN MADERA CAPITULO 6. APORTES DE LAS ETNOMATEMATICAS DE LA MEDIDA EN LOS INGAS A LA CONSTRUCCION DEL CONCEPTO DE MEDIDA. 6.1 CONSTRUCCION DEL CONCEPTO DE MEDIDA CAPITULO 7. REFLEXIONES Y CONCLUSIONES FINALES.

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CAPÍTULO 1.

PLANTEAMIENTO DE LA INVESTIGACIÓN 1.1. INTRODUCCIÓN El reconocimiento de la diversidad cultural, de tradiciones, lengua y conocimientos ancestrales son el eje primordial de este trabajo de investigación, que trata de tomar forma bajo los principios de la educación intercultural. Además se fundamenta en un campo de trabajo denominado ETNOMATEMATICAS, que como cuerpo teórico reciente, reconoce que las culturas aborígenes, tribus y grupos indígenas, entre otras sociedades, poseen conocimientos matemáticos, científicos y técnicos suficientemente validos que deben ser reconocidos, y que pueden ser implementados en la escuela (Gilme, 1990). También tiene claro una problemática educativa de la capital en cuanto a la convergencia de muchas culturas (indígenas, afro colombianos, etc.), que por desplazamiento, búsqueda de nuevas alternativas de vida, entre otros, llegan y vivencian una sociedad globalizada, capitalista, de educación poco preparada para satisfacer sus necesidades y expectativas y con una visión dominante donde los saberes occidentales son caracterizados como únicos y validos. Es así que se plantea la investigación interdisciplinar donde la etnografía, las matemáticas (etnomatemáticas), la didáctica de las matemáticas y la educación intercultural se interrelacionan entre sí para generar una propuesta en educación matemática donde converjan conocimientos y saberes referidos a cómo la cultura Inga mide el espacio y el tiempo. El trabajo se plantea para cuatro fases, de las cuales se llevaran a cabo las dos primeras, como trabajo de grado para optar el titulo de licenciatura en matemáticas. Primera fase : Etnográfica, referente a la recopilación de información en relación a cómo la cultura inga mide el espacio y el tiempo Segunda fase: Análisis y relación de los resultados con los supuestos de la educación intercultural, didáctica de matemáticas y pensamiento métrico. Tercera fase : Construcción de una propuesta en educación intercultural. Cuarta fase : Validación de la propuesta

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1.2. ANTECEDENTES Ubiritan Dàmbrosio1 propone lo que podrían ser las ETNOMATEMATICAS, enfocándose a desarrollarlas como teoría científica. El autor enmarca las investigaciones en Etnomatemáticas bajo cuatro direcciones: 1. Investigación en ambientes culturales. 2. Desarrollo curricular. 3. Aplicaciones extraescolares. 4. Fundamentos conceptuales y teóricos. Por otro lado, la línea de Alan Bishop2 enfoca sus trabajos desde el punto de vista socio-antropológico, intentando dar respuestas referentes a cómo se produce y en qué consiste el conocimiento matemático, y aún de manera más especifica cuestionan si hay una matemática que se presenta en diferentes manifestaciones y simbolizaciones o existen diferentes matemáticas que son practicadas teniendo en cuenta ciertas similitudes. Esta corriente reconoce tres direcciones en el campo de la investigación en Etnomatemáticas: 1. Estudio de las formas de conocimiento en sociedades tradicionales. 2. Investigación de la tradición histórica. 3. Los relacionados con actividades matemáticas que llevan acabo los estudiantes fuera del contexto escolar. Las investigaciones reconocidas sobre Etnomatemáticas Ingas se remontan a estudios realizados en la cultura Inca3 sobre instrumentos como el quipu o la Yupana y sus formas de utilización. Desde el punto de vista lingüístico encontramos trabajos del instituto Lingüístico de Verano y de la docente Ma. Teresa Chasoy en los que se comentan las particularidades gramaticales y el uso del sistema de numeración oral utilizado por los ingas. La educación intercultural tiene sus raíces en la problemática vivenciada por las comunidades indígenas en Latinoamérica ante la educación homogenizadora occidental que desconoce los saberes, conocimientos y la lengua materna de las culturas aborígenes. También surge como la adaptación del sistema educativo a la realidad, vivenciada en nuestras escuelas e institutos por la llegada de familias inmigrantes procedentes de culturas muy distintas a la mayoritaria. A partir de entonces, la interculturalidad se postula como un rasgo fundamental de la educación de todos y se convierte, por lo menos en el plano declarativo, en un eje transversal de las propuestas curriculares, como ocurre en Chile, Colombia, Ecuador, Guatemala y Perú, o en un eje de todo el sistema educativo, como es el caso de la nueva educación boliviana (López, 2000).

1 En boletines del ISGEM. Boletín Nº 3 1987. 2 En Oliveras Maria Luisa. Tesis doctoral. Etnomatemáticas y formación de profesores. Granada. 1996. 3 Es de anotar que los ingas son descendientes de los incas de la rama Mitimak es decir aquellos que conquistaban tierras para el Inca, que era la máxima autoridad.

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Los principales antecedentes nacen desde el proyecto curricular de lingüística de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas con orientación de la docente inga Antonia Agreda, en el seminario de “cultura y lengua inga”, en el seminario de Etnoeducación y en la práctica Etnoeducativa “escuela intercultural bilingüe” realizada en concentración LA ESPERANZA ubicada en el centro de Bogotá, allí se realizaron trabajos de apoyo y refuerzos en matemáticas para los niños de las diferentes etnias que residen en la capital, entre ellos, los niños Ingas y Cancuamos. 1.3. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA La convergencia a la capital de muchas personas representantes de la variedad de culturas existentes en Colombia, ya sea por desplazamientos (desplazados), búsqueda de mejores alternativas de vida, u otros factores, conlleva a una problemática social ante la cual la capital no esta totalmente preparada. Por ejemplo, desde la educación como campo que interesa a este trabajo, en la mayoría de las instituciones educativas4, no existe un trato adecuado a aquellos niños pertenecientes a alguna comunidad indígena, se desconocen sus conocimientos y saberes, su lengua, su forma de ver el mundo y de sentir, utilizando en ellos un modelo educativo globalizador y enajenador de su cultura. Resultados de trabajos relacionados con la situación actual indígena dejan ver que en las instituciones donde se ha registrado que existen niños indígenas que reciben atención, se invisibiliza su presencia porque no se interesan por incluir dentro del Proyecto Educativo Institucional un currículo y/o programas etnoeducativos que atienda mínimamente las necesidades educativas a este tipo de población. Los resultados obtenidos a las indagaciones realizadas a la Secretaria de Educación Distrital sobre políticas educativas en atención de los niños indígenas en Bogota reflejan un total desconocimiento de la realidad vivida por todos los niños en la Escuela,(…); y si bien es cierto, la Secretaría de Educación Distrital, está cumpliendo con algunos artículos generales de la Constitución Política Nacional, es claro que están violando derechos específicos en relación con los grupos étnicos (indígenas), ya que sitúan a los indígenas entre los grupos discriminados, marginados, con condiciones económicas, físicas o mentales de debilidad, manifestando y atribuyendo

4 Instituciones que desde el trabajo de Agreda y estadísticas del DANE existen indígenas recibiendo servicio educativo como lo son la Concordia, Jorge Soto del Corral, Antonio José Uribe, Candelaria, Santa Inés, entre otros.

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que el gran logro está únicamente en aumentar la cobertura, pero desconocen todo lo relacionado con los derechos específicos de los indígenas.(Agreda, 2003) Por otro lado es importante tener en cuenta lo que sucede con las Instituciones Educativas Distritales, frente al concepto de Etnoeducación, educación intercultural ya que su conocimiento del tema es completamente ignorado, además no se reconoce a la capital como una ciudad multicultural y pluriétnica. En el aula, la creciente diversidad cultural realza los problemas de socialización y relaciones entre sus integrantes hacia la discriminación, la segregación, incluso hasta el racismo. Los fracasos escolares( no solo en el área de matemáticas) de los grupos étnicos minoritarios se deben a la dificultad en la socialización (Sandin, 1999) y a la poca importancia que se le da a los conocimientos propios (conocimientos situados y culturales establecidos) de los grupos minoritarios; Respecto a las matemáticas, se le da prioridad a las de los grupos dominantes como las únicas que se deben aprender, desconociendo que existen diferentes formas de matematizar realidades y que se pueden aprovechar esas formas para mejorar la comprensión, las relaciones en el aula y mantener la identidad cultural de cada ser. Es por esto que autores como Planas (1999) afirman que es necesario reconocer y rehabilitar el conocimiento matemático asociado a toda cultura para asegurar la supervivencia de los diferentes modelos matemáticos que relativizen la unicidad de la matemática occidental. De esta manera se realiza este trabajo para abordar la problemática que interesa a la educación y en especial a la educación matemática, donde se utilizaron como instrumentos la educación intercultural y las etnomatemáticas. 1.4. PREGUNTA DE INVESTIGACIÓN ¿Qué conocimientos Etnomatemáticos de la cultura inga involucrados con el espacio-tiempo pueden contribuir a la configuración de una propuesta educativa intercultural en educación matemática, que permita desarrollar pensamiento métrico en los niños indígenas y no indígenas de Bogotá? 1.5. JUSTIFICACIÓN La Constitución Política de Colombia permite encontrar sustentos legales; desde el articulo 7º donde señala: “El estado reconoce y protege la

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diversidad étnica y cultural de la nación colombiana” y el articulo 68 que proclama“ los integrantes de los grupos étnicos tendrán derecho a una formación que respete y desarrolle su identidad cultural”; es por esto que la Ley 115 de 1994, Ley general de educación, en su capitulo 3, hace referencia a la educación para grupos étnicos, como modalidad de atención. Todo este reconocimiento, protección, formación y respeto que legitima los caracteres pluriétnico, multicultural y plurilingüe del país, deben ser aterrizados y tratados desde la educación como forma de propagación y práctica. La tarea de educar en una sociedad como la nuestra debe replantearse, redefinirse y operativizarse como educación intercultural de profunda participación democrática y arraigo multicultural (Cifuentes, 2000). El fracaso de las minorías culturales en las aulas, especialmente en matemáticas, y las situaciones de conflicto cultural que se han ido documentando hacen que esta situación ya sea insostenible de tal manera que la creciente diversidad cultural en las aulas se convierta en uno de los retos a los que nos vemos enfrentados (Planas N., 1999 Pág. 123). Esta multiculturalidad social ha generado la adecuación de determinadas prácticas pedagógicas en el mundo de la enseñanza. Pero estas prácticas se han realizado en disciplinas escolares como la música, las ciencias sociales, la literatura. Sin embargo, otras áreas aparecen inalterables ante el fenómeno de la multiculturalidad. Este es el caso de las matemáticas consideradas tradicionalmente como ciencia libre de valores y ajena a influencias culturales. (Planas N., 1999 Pág. 123). Ante el conocimiento profesional del docente, establecer las relaciones entre las etnomatemáticas, la educación intercultural y la didáctica de las matemáticas y configurar una propuesta educativa demostraría las capacidades y habilidades de los investigadores hacia el corpus de la educación matemática. Además de interesarnos y preocuparnos por los problemas educativos de nuestros entornos socioculturales y atacar las problemáticas, se cumpliría las finalidades para las cuales fuimos formados y sería consecuente con la función social de la universidad para con la sociedad bogotana. Es así que se hace necesario abordar el problema hacia esta dirección, de abrir las fronteras del saber escolar ante los conocimientos ancestrales de nuestras culturas aborígenes, para que nuestros niños sientan la identidad. Se hace necesario reflexionar y replantear las concepciones relacionadas a enseñar y aprender matemáticas, a educar matemáticamente y ser conscientes que cada vez más nos entremezclamos con las demás culturas que conforman nuestro bello país, donde la tolerancia y el respeto debe darse no solo a nivel social, sino también hacia los saberes y conocimientos

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que nos hacen ser diferentes entre los iguales. Este nivel de reconocimiento en el aula, este dialogo de saberes, seria una opción de motivación, afecto, practica de valores (tolerancia, respeto, autoestima), socialización, atención, comprensión, significación que pueda surgir con el aprendizaje de las matemáticas, entre otras; pero seria una puerta para encaminar esfuerzos para mejorar la atención y educación de la población necesitada. 1.6. OBJETIVOS Es pertinente explicar que los objetivos que se pretenden alcanzar con este trabajo de investigación para optar para el titulo de licenciado en Matemáticas corresponden a los objetivos de las dos primeras fases, aclarando que se le dará final consecución al trabajo mediante un proceso adecuado. 1.6.1. Objetivo General Configurar y validar una propuesta educativa intercultural que desarrolle pensamiento métrico, involucrando pensamiento y sistemas métricos de la cultura inga. 1.6.2. Objetivos Específicos Primera Fase: Identificar cuáles son los conocimientos etnomatemáticos presentes en la medición del espacio y del tiempo en la comunidad Inga.

• Identificar las unidades de medida del espacio y del tiempo. • Identificar los instrumentos y las técnicas de medición del espacio y del

tiempo. • Recopilar el lenguaje presente en la medición del espacio y del

tiempo. • Identificar las formas de transmisión del conocimiento referidos al

espacio tiempo en la comunidad. Segunda Fase: Identificar y establecer relaciones entre las etnomatemáticas ingas, la educación intercultural y la educación matemática, previas a la elaboración de la propuesta en educación matemática para la diversidad.

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Tercera Fase: Elaborar y poner en marcha la propuesta en educación matemática para la diversidad que desarrolle pensamiento métrico en niños indígenas y no indígenas de Bogotá. Cuarta Fase: Presentar una síntesis de la validación de la propuesta educativa intercultural que desarrolle pensamiento métrico en niños indígenas y no indígenas de bogota.

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CAPÍTULO 2

REFERENTES CONCEPTUALES DE LA INVESTIGACIÓN. La configuración de un marco conceptual consecuente y apropiado para abordar las problemáticas manifestadas hizo que acudiéramos a diversas fuentes que, debido a su pertinencia, enriquecieron cada vez más el trabajo y las interpretaciones sobre este. Se observara un direccionamiento hacia la dimensión socio-cultural, que responde a las exigencias del trabajo, sin ocasionar perdida alguna de rigor, como tampoco descuido de la parte disciplinar. Este marco conceptual ha sido reconfigurado y complementado según las necesidades que han aparecido a lo largo del ciclo metodológico. 2.1. CONCEPTO DE CULTURA. Partiendo de los diferentes significados que se le han atribuido al concepto de cultura nos permitimos citar la concepción de ésta, propuesta por Oliveras M. (1996) que comprende: � Aspectos semióticos, de simbolización, expresión y comunicación. � Aspectos sociopolíticos, de organización del trabajo y, de las relaciones sociales y de poder.

� Aspectos cognitivos de modos de conocer, ligados al entorno. � Aspectos tecnológicos, de productos o artefactos creados con fines de dominio de la naturaleza, o para facilitar el trabajo o posibilitar el ocio.

2.1.1. La Cultura Inga 2.1.1.1 Origen Los ingas descienden de los Incas del Perú, de una raza denominada MITIMAK (en lengua quechua Mitikuy: irse, Maray: pelear), es decir aquellos que por familias enteras se trasladaban a otros lugares en busca de otros territorios para el Inca. Los MITIMAK fueron creados por Kápac Yupanqui entre 1230 y 1250. La fecha de llegada de nuestros antepasados a Sibundoy y Mocoa, puede ubicarse hacia comienzos de 1492, de acuerdo con el relato que hizo la indígena

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Wachay al cronista Toribio de Ortiguera en 1552. Los incas terminaban de completar la conquista del reino de los Karas (Quito) y deseaban proseguir hacia el norte, hacia Condulmarka. Por la cordillera, las tropas del imperio lograron entrar solo hasta donde hoy quedan los municipios nariñenses de Ipiales y Córdoba; pero chocaron con una fiera resistencia de los Pastos y Kuaikeres. Los Incas pensaron rodear a sus enemigos entrando por la selva y por el oriente de la cordillera. Así, con una misión política y militar, llegaron los Ingas al Putumayo, cruzando las tierras de los Quijos (entre los ríos Coca y Aguaricó) y las tierras de los Cofanes (entre el Aguaricó y Guamúes). Se interesaron por Mocoa, donde los habitantes explotaban el oro, y por Sibundoy, desde donde podían planear y efectuar la penetración sobre la cordillera. Los indígenas Kamentzas prefirieron los acuerdos a la resistencia militar, ya que a los Incas no les interesaba tanto su región como la cordillera. El propio Inca reinante entonces, Wayna Kapak, viajó hasta Mocoa donde, según el relato de Wachay, fue mucha gente a conocerlo. Desde el Putumayo, las comunidades que hoy se conocen como Quillacingas, o lngas de la luna, ocuparon la vertiente del río Juanambú y exploraron La Cocha. Otros grupos subieron por las cabeceras del río Caquetá. Pero cada vez había más divisiones en el Imperio y se debilitaba la lucha contra los Pastos, quienes resistían con bastante éxito. Así, en 1527, murió Wayna Kapak y se desató una guerra civil entre sus dos hijos, nacidos de madres diferentes: Wáskar, del Cuzco (Perú) y Atahualpa, de Quito, hijo de una princesa Kara. En esta pugna, era lógico que los Ingas tomaran partido por el hijo del Cuzco, pues ellos procedían del sur y habían sido llevados hasta Ecuador y luego hasta el Putumayo, para servir al emperador del Cuzco. Atahualpa derrotó a Wáskar. Los Pastos aprovecharon esta guerra para sacar a los incas de su territorio. Los lngas quedaron aislados, desde entonces de los demás Quechuas del Ecuador, Perú y Bolivia, con quienes estamos relacionados. Para empeorar esta situación, el 15 de noviembre de 1532, el conquistador español Francisco Pizarro derrotó al nuevo emperador Inca, y en 1539 los es-pañoles entraron por primera vez al Valle de Sibundoy. 2.1.1.2. Ubicación Los Ingas viven en la región sur-occidental de Colombia, específicamente en el Valle de Sibundoy, que ocupa el noroccidente del departamento de Putumayo. Los montes que rodean este Valle hacen parte de la Cordillera de los Andes, destacándose los cerros de Bordoncillo, Patascoy, Cascabel y la Cordillera de Portachuelo. El clima de este Valle es frío: 2.200 metros sobre el nivel del mar a una temperatura de 16 grados centígrados. En el Valle propiamente dicho, se encuentran los municipios de Santiago, Colón, Sibundoy y San Francisco. La mayoría de los que conformamos el pueblo Inga

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vivimos entre las localidades de Santiago, San Andrés (inspección de policía) y Colón; de otra parte, los Kamentzas, un pueblo de hermanos indígenas que hablan otro idioma pero que comparten con nosotros el origen y las costumbres, viven en los alrededores de Sibundoy. San Francisco es catalogado por sus habitantes como un municipio totalmente blanco. Cabe aclarar que las cabeceras municipales, en su mayor parte, están habitadas por quienes se denominan a sí mismos "colonos blancos", mientras los Ingas y Kamentzás vivimos en los alrededores de dichos municipios. Es importante recordar que, antiguamente, Santiago y San Andrés recibian los nombres de Manoy y Putumayo respectivamente, hasta la llegada de los misioneros capuchinos catalanes quienes bautizaron a nuestras poblaciones con los nombres que hoy llevan. Aunque a Sibundoy lo llamaron San Pablo, ha prevalecido el nombre de Sibundoy o Atún Llajta (Pueblo Grande). Colón y San Francisco, parece ser, fueron fundados y denominados por los capuchinos y primeros colonos con los nombres que conservan hasta nuestros días. 2.1.1.3. Algunas consideraciones culturales. Las familias son de numerosa conformación; se encuentran matrimonios hasta con doce hijos. Los padres y abuelos, aún hoy, siguen siendo la base primordial para la existencia del pueblo lnga como grupo cultural. A sus en-señanzas, mediante la tradición oral, se tiene el hecho de mantener todavía vivas sus raíces provenientes de los lncas del Tawantisuyu (cultura de los cuatro lugares del sol). Es notable el respeto que se mantiene entre los que conformamos el pueblo Inga. El Kalusturinda (fiesta en honor al arco iris), que se realiza a mediados de fe-brero o primeros días del mes de marzo, es considerado por ellos como el evento popular más importante que se celebre cada año. Atun Puncha (el gran día como también denominamos al Kalusturinda) es para nosotros el inicio de un nuevo año: la fiesta de la alegría, la reconciliación y retorno de los que han emigrado a otras tierras. Taita Gobernador, como cabeza principal del pueblo Inga, nombra a los "caporales", quienes se encargan de invitar y llevar a los ingas de las diferentes veredas hasta la población de Santiago donde él tiene su sede de gobierno. Manoy (Santiago) es entonces, punto de reunión de todas las familias llegadas a celebrar su Atún Puncha. El encuentro entre las familias que aún vivimos en Manoy, los visitantes y las familias de diferentes veredas, es bastante emotivo. Como señal de respeto y aprecio, nos saludamos con pétalos de flores que son colocados en la

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cabeza. En Atún Puncha, desde el más niño hasta el más anciano, vestidos con lo mejor de nuestros ropajes (hombres con su Cusma, Ceñidor, Capisayo, Chaquiras y Llajtu, y mujeres con su Pacha, Chumbe, Tupulle, Chaquiras, y Baita), disfrutamos al máximo de la fiesta que se inicia en horas de la mañana en casa de Taita Gobernador. Para recorrer luego, durante todo el día, de casa en casa, y danzando con tambores, flautas, rondadores, luinas, cascabeles, butotos, todo el pueblo Inga. En cada uno de los hogares a los que llegamos, se comparte entre todos la comida (mote, ucho, uagra aicha, cuchiaicha, atahualpa aicha, cuy aicha que equivalen a mute, ají, carne de res, cerdo, gallina y cuy) y el Asua (la chicha) que se haya preparado. Dentro del Kalusturinda se incluyen también los juegos del Chilacuan (papayuelas), Chine (hortiga), y el muñeco hecho de hojas secas de maíz. 2.2. EDUCACION INTERCULTURAL. La educación intercultural tiene sus raíces en la problemática vivenciada por las comunidades indígenas en Latinoamérica ante la escuela homogenizadora occidental que desconoce los saberes, conocimientos y la lengua materna de las culturas aborígenes. Este tipo de educación surge bajo la denominación de escuela intercultural bilingüe (EIB). Pero la composición cada vez mas diversa de nuestra sociedad (indígenas, afro colombianos, ROM etc.), la concepción comprensiva de la escuela, la necesidad de proporcionar a los niños y a los jóvenes los valores éticos y el derecho a la igualdad de todos los miembros de la sociedad, independientemente de su etnia, ideología o religión, entre otras evidencias, han convertido la diversidad cultural en un elemento de reflexión de primer orden(Sabariego, 1999 ). Es de anotar que la noción de interculturalidad comienza a trascender la relación entre indígenas y no-indígenas y hace que en varios países, y en el marco de las reformas educativas en curso, se apele a la noción de interculturalidad para referirse a la necesidad de que todos los educandos desarrollen sentimientos positivos respecto de la diversidad étnica, cultural y lingüística que caracteriza a la gran mayoría de sociedades latinoamericanas. A partir de entonces, la interculturalidad se postula como un rasgo fundamental de la educación de todos y se convierte, por lo menos en el plano declarativo, en un eje transversal de las propuestas curriculares, como ocurre en Chile, Colombia, Ecuador, Guatemala y Perú, o en un eje de todo el sistema educativo, como es el caso de la nueva educación boliviana (López, 2000). La denominación de intercultural además está referida explícitamente a la

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dimensión cultural del proceso educativo y a un aprendizaje significativo y social y culturalmente situado; así como también a un aprendizaje que busca responder a las necesidades básicas de los educandos provenientes de sociedades étnica y culturalmente diferenciadas. La dimensión intercultural de la educación está también referida a la relación curricular que se establece entre los saberes, conocimientos y valores propios o apropiados por las sociedades indígenas y aquellos desconocidos y ajenos; a la búsqueda de un diálogo y de una complementariedad permanentes entre la cultura tradicional y aquella de corte occidental, en aras de la satisfacción de las necesidades de la población indígena y de mejores condiciones de vida. (López, 2000). Nuestro propósito es abordar estas situaciones de diversidad cultural apoyados en los planteamientos anteriormente descritos y en otros más puntuales respecto a lo que implica la educación intercultural. Dichos implicaciones son proporcionados por Barandita (1999): La educación intercultural implica:

• Un enfoque global (en el sentido de incorporar nuevas propuestas educativas en proyectos de carácter social) y propositivo (expresa un proyecto de establecimiento de relaciones igualitarias entre culturas).

• Facilitar y promover procesos de intercambio, interacción, cooperación entre culturas, con un tratamiento igualitario de estas.

• Poner acento no solo en las diferencias, sino también en las similitudes. • Partir de un modelo dinámico de cultura y de identidad cultural. • Un rechazo de las ideas de vacíos culturales y de jerarquización de las

culturas. • Extender la educación intercultural a todas las escuelas, no solo a

aquellas con presencia de minorías étnico-culturales. • La diversidad cultural en el proceso educativo, no como elemento

segregador o diferenciador, sino como elemento enriquecedor, integrador y articulador.

• El principio dialógico entre culturas y la comprensión, aceptación de la alteridad como fundamento de modelo de interacción entre estas en el aula y en el centro escolar.

• No una hibridación cultural (por yuxtaposición de asignaturas o amalgama de materias), sino el enriquecimiento y la comprensión mutua mediante aprendizajes basados en lo fondos culturales de cada una.

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2.3. ETNOMATEMATICAS Aunque su aparición es muy reciente, las Etnomatemáticas se consolidan como un campo de investigación que no solo necesita teorizarse e investigar en educación matemática, sino como una alternativa de los pueblos indígenas que buscan el reconocimiento, recuperación y desarrollo de sus conocimientos y saberes. (Oliveras, 1996) Vale la pena hacer referencia a lo que pueden ser las Etnomatemáticas, pues se consideran como el estudio de las prácticas matemáticas de grupos culturales específicos al tratar con problemas y actividades de su medio ambiente:

“El prefijo 'etno' se refiere a grupos culturales identificados, tales como sociedades nacionales de tribus, grupos de trabajo, niños de una cierta edad y clase, clases profesionales, etc. e incluye sus ideologías, sus prácticas diarias y su forma específica de razonar e inferir. 'Matema' significa explicar, entender y manejar realidades específicas por medio de calcular, contar, medir, clasificar, ordenar, inferir y modelar patrones que nacen del medio ambiente. El sufijo 'tics' significa arte o técnica. (Boletín ISGEM, 1986)”

Por otro lado Alan Bishop (1988) explica que existen actividades matemáticas UNIVERSALES independientemente de la cultura que las realice. Dichas actividades fundamentan el quehacer matemático de cada cultura y desarrollan diferentes saberes, técnicas y conocimientos influenciado por su entorno. Las seis actividades en las que se fundamenta este trabajo son: Contar: contar implica muchos aspectos, con sutiles variaciones en los tipos de lenguaje y las formas de representación empleados para comunicar los productos de contar. Esta estimulada por los procesos cognitivos de clasificar y buscar pautas. Los estudios revelan que no existen dos sistemas de números - civilizados y primitivos - pero una rica variedad de sistemas en todas las sociedades varían de acuerdo a las necesidades del medio ambiente físico como social. Se desarrolla una tecnología simbólica en respuesta a las necesidades percibidas. Localizar: Este término caracteriza las actividades relacionadas a encontrar el camino de alguien alrededor, conociendo el área en que está su hogar, viajando sin perderse y relacionando los objetos entre sí. Todas las sociedades han desarrollado diferentes formas de codificar y simbolizar su medio ambiente espacial y, que para diferentes sociedades, se ha encontrado que diferentes aspectos son más significativos para unas que para otras. La cartografía, la navegación y la organización espacial de los objetos

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desarrollan ideas matemáticas importantes en todas las culturas. Medir La medición es otra actividad universalmente significativa para el desarrollo de las ideas matemáticas. La medición está relacionada con la comparación, la ordenación y la valoración; y en todas las sociedades se valoran ciertas cosas. Aunque la precisión y los sistemas de unidades se desarrollan en relación a necesidades particulares del medio ambiente y en contextos sociales particulares. Muchas medidas en varias culturas tienen un elemento de inexactitud que permite su uso en negociaciones sociales y comerciales De este modo la exactitud no necesita ser valorada altamente, dependiendo solamente de la importancia y del propósito de la medición. Diseñar Otra fuente importante y universal de ideas matemáticas son los múltiples aspectos del diseño empleados por todas las culturas. Las actividades de diseño están todas relacionadas con la confección de objetos y artefactos hechos por el hombre, los cuales cada cultura ha creado para su vida de hogar, comercio, ornamentación, bienestar, juegos y con propósitos religiosos. En suma, existe una gran escala de diseños, tales como casas, villas, jardines, campos, caminos y pueblos. Lo que es importante desde el punto de vista matemático es la estructura del plan, la forma imaginada, las relaciones espaciales percibidas entre el objeto y el propósito, las formas y procesos abstractos. El objeto diseñado a menudo sirve como representación de un diseño por medio del cual otros objetos pueden ser construidos. Los dibujos en la arena, la construcción de modelos, los dibujos sobre papel y sobre pantallas electrónicas son todos desarrollos creados por la necesidad de considerar aspectos de la forma diseñada sin tener que hacer el objeto, por ahora. Esto a su vez ha desarrollado ideas matemáticas importantes relacionadas con la forma, el tamaño, la escala, las proporciones, la razón y muchos otros conceptos geométricos. Jugar El jugar puede parecer más que una forma extraña de actividad para incluir en una colección de actividades culturales consideradas relevantes al desarrollo de ideas matemáticas, hasta que uno se da cuenta de cuantos juegos están vinculados a la matemática. Todas las culturas juegan y, lo que es más importante, ellas toman sus juegos muy seriamente. Aunque las características de jugar puedan ser vistas como las descripciones de los juegos, la noción de juego es más restringida que la noción de jugar. Jugar es la actividad y la idea de juego es la formalización de la actividad de jugar. Una vez que la acción de jugar llega a ser el foco y el juego se desarrolla, entonces las reglas, los procedimientos, las tareas y los criterios llegan a estar formalizados y ritualizados. Los juegos frecuentemente son considerados por los matemáticos debido a que su comportamiento regulado por reglas es muy parecido a la matemática en sí. Así, no es difícil imaginar como los

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criterios matemáticos regulados por reglas se han desarrollado de los placeres y la satisfacción de las conductas reguladas por reglas en los juegos. Explicar La actividad universal llamada explicación eleva el conocimiento humano por encima del nivel asociado exclusivamente a la experiencia en el medio ambiente. La explicación es la actividad de exponer conexiones entre los diferentes fenómenos. La cuestión para la teoría explicativa es básicamente la cuestión de unir la aparente diversidad, de simplificar la aparente complejidad, de ordenar el desorden aparente, de regularizar la aparente anormalidad. Es la seguridad de las cosas familiares que nos hacen buscar las igualdades o las similitudes. Aquí, la representación fundamental y universal es la "fábula". Mirando las matemáticas desde el ángulo de la cultura, su característica más importante es la habilidad del lenguaje para conectar expresiones o textos en tan variadas y ricas formas. En términos investigativos, la atención ha sido enfocada sobre las conexiones lógicas en lenguajes que permiten combinar proposiciones, oponerlas, extenderlas, restringirlas, ejemplificarlas, elaborarlas, etc. De aquí que las ideas probatorias se han desarrollado plenamente con criterios de consistencia, elegancia y convicción. La investigación pretendía observar en la primera fase las Etnomatemáticas presentes en la medición del espacio y el tiempo, es decir, estudiar las técnicas matemáticas utilizadas por la comunidad Inga para entender, explicar y manejar problemas y actividades que nacen de la medición del espacio y tiempo. Las seis actividades universales propuestas por Bishop fueron aquellas que nos permitieron encontrar conexiones entre las matemáticas que nosotros conocemos y las de la cultura inga, cuidándonos de no llegar a una hibridación cultural, sino al enriquecimiento y la comprensión mutua de conocimientos y saberes culturales de cada una. 2.4. PENSAMIENTO Y SISTEMAS MÉTRICOS Para poder contextualizar la propuesta se hace necesario referirnos a los sistemas métricos y al pensamiento métrico para enmarcar los conocimientos referidos a espacio y tiempo. Para esto recurrimos a los lineamientos curriculares para el área de matemáticas, pues profundizan y orientan en cierta manera sobre las características relevantes a la hora de desarrollar pensamiento métrico:

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En cuanto a la medida se refiere, los énfasis están en comprender los atributos medibles (longitud, área, capacidad, peso, etc.) y su carácter de invarianza, dar significado al patrón y a la unidad de medida, y a los procesos mismos de medición; desarrollar el sentido de la medida (que involucran la estimación) y las destrezas para medir, involucrar significativamente aspectos geométricos como la semejanza en mediciones indirectas y los aspectos aritméticos fundamentalmente en lo relacionado con la ampliación del concepto de numero. Es decir el énfasis esta en desarrollos del pensamiento métrico. ( L C M / M. E .N.)

Tomamos los siguientes lineamientos como un sistema base para la comprensión de la información puesto que se utilizarán en la conformación de la propuesta de enseñanzas:

• La construcción de los conceptos de cada magnitud: empieza a construirse cuando se sabe que hay algo que es más o menos que otra cosa y se pregunta: ¿más qué o más de qué? Y se tiene en cuenta la relación “ser más grande o ser más pequeño”

• La comprensión de los procesos de conservación de magnitudes: es de suma importancia en la construcción del concepto de medida, en cuanto a que hace referencia a la captación de aquello que permanece invariante a pesar de las alteraciones de espacio y tiempo, porque permite la conservación de los conceptos de longitud, área, peso y tiempo.

• La estimación de magnitudes y los aspectos del proceso de capturar lo continúo con lo discreto: esta íntimamente relacionado con los conceptos de medida y conteo, donde se utiliza una unidad patrón que muchas veces al reiterarla para hallar la medida no esta un número exacto de veces, apareciendo la necesidad de buscar una nueva unidad de medida.

• La apreciación del rango de las magnitudes: se prioriza sobre hacer una estimación perceptual del rango en que se halla una magnitud concreta, teniendo en cuenta que el rango es una franja más amplia que orden de magnitud, ya que mientras que la primera se refiere a las unidades de medida que se utilizan, la segunda hablara de las unidades de orden.

• La selección de las unidades de medida, de patrones y de instrumentos: la selección de unidades no se hace tan necesaria durante el proceso de medición en una primera instancia, ya que en esta se trabaja desde la percepción, comparando magnitudes, que luego necesitaran estar dentro de un rango y es allí donde se tendrá

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que seleccionar una unidad adecuada que, finalmente se utilizara junto con un sistema numérico.

• La diferencia entre la unidad y el patrón de medición: Es importante tener en cuenta que la unidad de medida no esta sujeta a un único patrón puesto que este resulta de una convención que tiene en cuenta las unidades de medida tomadas, por ejemplo: al medir en cuartas, la cuarta de un niño es mas chica que la cuarta de un adulto, de ahí que se tenga que convenir un patrón (que puede ser alguna de estas dos) para medir.

• La asignación numérica: hace referencia a la parte final, aunque no necesaria, en donde la asignación numérica depende del proceso de medición, ya que existen situaciones 5 en las que los instrumentos, las unidades y los rangos no son viables para medir.

• El papel del trasfondo social de la medición: enfatiza en que no es necesario tener el dominio de medidas que nunca utilizaremos, por otro lado el contexto social en que nos encontremos determina el grado de precisión que se requiere y así mismo las unidades de medida y los instrumentos que se escojan para lograrlo.

2.5. CONCEPTO DE MEDIDA 2.5.1. Conjunto de objetos y la relación de equivalencia. Una magnitud casi siempre responde a una característica física, a un atributo observable de los objetos (como la longitud, masa, capacidad, etc.,). Para construir el concepto de magnitud se clasifican los objetos con respecto a esa característica, esto es, se define una relación de equivalencia que proporcionara dicha clasificación, se dice que el objeto “m esta relacionado con el objeto m` si son iguales respecto a la propiedad que se esta estudiando”, esta relación cumple las siguientes propiedades:

• Reflexiva: m R m, para cualquier objeto m • Simétrica: Si m R m`, entonces, m` R m • Transitiva: Si m R m` y m` R m``, entonces, m R m``

5 Medir el espesor de una hoja de papel con una regla graduada en centímetros y milímetros

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2.5.2. Conjunto cociente y ley de composición interna De manera que se esta estableciendo una relación de equivalencia que permite hacer una clasificación entre los objetos que viene inducida por una partición del conjunto de objetos. Se puede tomar un objeto m y se forma el conjunto de todos los objetos relacionados con el, es decir, todos los objetos equivalentes a m respecto a esa propiedad estudiada. Se puede hacer esto con todos los objetos y obtener una colección de conjuntos de manera conjunto de conjuntos donde sus elementos serán conjuntos de objetos con la misma propiedad a estudiar (masa o longitud), llamándole a cada elemento cantidad de magnitud, es decir; este conjunto de conjuntos es el que va a definir la magnitud que vendría siendo el conjunto formado por todas las cantidades de magnitud. En este conjunto que define un atributo medible es posible definir una ley de composición interna (que, por semejanza con una ley definida en los conjuntos numéricos se le llama normalmente suma) y que responda a una realidad física. El conjunto que define la magnitud, esta dotado de una ley de composición interna que llamaremos *, esta ley cumple con las siguientes propiedades: Asociativa: Cuando se componen tres elementos a, b, c del conjunto A, el resultado no varia si componemos primero a y b y el resultado lo componemos con c como si efectuamos la composición de a con el resultado de componer b y c. a * (b * c) = (a * b) * c Conmutativa: El resultado de componer dos elementos a y b del conjunto A es independiente del orden en que los pongamos, es decir: a * b = b * a Estas dos propiedades son inmediatas si se revisa el proceso físico, es decir manipulativo, que defina la composición. Existencia del elemento neutro: Hay que hacer notar que esta propiedad no es imprescindible para la construcción matemática de magnitud, pero al

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igual que en el conjunto de los números naturales, tomamos el elemento 0 perteneciente a los naturales como el cardinal del conjunto vacío, en el conjunto A podemos aceptar existencia, al menos matemática, de un elemento de A, que llamaremos e, que al componer con cualquier otro nos resulte este ultimo. Es decir: a * e = e * a = a Sí el conjunto A, con la ley de composición *, resultas ser un semigrupo conmutativo con elemento neutro. Otras propiedades que cumple la operación *, que se derivan de su construcción que permiten definir un orden en A son: • a* c = b * c, entonces a = b.Esta propiedad recibe el nombre de

cancelativa. • Dados a, b que pertenecen a A, existe c que pertenece a A que verifica

a = b * c, o bien; b = a * c. Con esto se dice que el semigrupo es absoluto. 2.5.3. Relación de orden Se puede definir ahora la relación de orden en A. Sean a y b dos elementos de A. Se dice que a ~ b si existe un e pertenece a A de manera que b = a. e (Se escribe a < b si a ~ b y a ~ b). Esta relación es, matemáticamente, una relación de orden. Hay que ver que cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva. Reflexiva: Todo elemento de A está relacionado consigo mismo. Sea a pertenece A. Si e es el elemento neutro a. e = a, luego por la defi-nición a ~ a. Antisimétrica: El significado de esta propiedad es que si un objeto m tiene menos cantidad de magnitud que otro m', m' no puede tener menos cantidad de magnitud que m. Pasando esto al conjunto A, se tiene: si a ~ b y a ~ b entonces b = a. Transitiva: Si un objeto m tiene menor o igual cantidad de magnitud que otro m', y ese m', a su vez tiene menor o igual cantidad de magnitud que otro m"

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entonces, m tiene menor o igual cantidad de magnitud que m". Su expresión matemática en el conjunto A es: Si a ~ b y b ~ c, entonces a ~ c. Conviene también resaltar que este orden «es respetado» por la composición de cantidades de magnitud. Es decir, sea a ~ b y e ∈ A, entonces a � e ~ b. e. Matemáticamente se dice que la composición es compatible con el orden. Con lo anteriormente expuesto, se tiene que el conjunto A, que define la magnitud, con la composición � y el orden ~ es un semigrupo conmutativo con elemento neutro, absoluto y totalmente ordenado. 2.5.4. Producto de una cantidad de magnitud por un número. La magnitud como semi módulo. La construcción hecha hasta ahora sólo justifica afirmaciones como: «Este objeto tiene más masa» o «más longitud». Lo característico de una magnitud medible es el poder afirmar cuanto mas tiene un objeto que otro. Se comienza a definir el producto de una cantidad de magnitud por un número natural y se termina por un número real positivo. 2.5.4.1. Producto de un número natural por una cantidad de magnitud Se define, en general: Sea a ∈ A y n ∈ N. Se llama n* a = a *a*� a………….. a n veces. También se define, por coherencia con la definición anterior:

0 * a = e De esta manera queda definido el producto de cualquier número natural por una cantidad de magnitud. Una vez definido este producto y antes de pasar al producto de un número racional, conviene enunciar una propiedad que«tiene» el orden definido, en el conjunto A, que se deriva de la misma construcción del conjunto A y de la de los números naturales. Sean a y b dos elementos de A, siendo b distinto del elemento neutro. Se puede afirmar que existe un número natural n que cumple:

n * b ≤ a < (n + 1) * b Esta propiedad se denomina propiedad Arquimediana del orden en A. Una serie de propiedades importantes que cumple el producto son:

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Para a, b ∈ A y m, n∈ N: • 1* a = a • (m • n) * a = (m *a) • (n * a) • (m * n) * a = m * (n * a) • m* (a•b) = (m * a) • (m * b) • Si a ≤ b entonces n * a ≤ n * b

2.5.4.2. Producto de un número racional positivo por una cantidad de magnitud Se comenzará definiendo el producto por números racionales de la forma I/n con n natural distinto de cero, y después se pasará a definirlo por un racional positivo cualquiera: Sea a ∈ A, se sabe que, por ejemplo, 6 ' a = a � a � a � a � a � a. Si se llama b = 6a, se dice que b tiene 6 veces más cantidad de magnitud que a, o lo que es lo mismo, que a tiene la sexta parte de cantidad de magnitud que b. Así, se escribe: a = (1/6) *b. Entonces se define: Sea b ∈ A, y sea l/n ∈ Q con n ∈No. Se dice que (1/n) * b = a si b = n * a. O lo que es lo mismo: l/n es multiplicable por b si existe un a ∈ A de manera que b = n *a. En general: de dice que m/n ∈ Q + es multiplicable por un elemento b de A, si existe otro elemento a de A de manera que m *b = n * a y se tiene entonces: (m/n) * b = a Al igual que en el producto por un número natural se cumplen también las siguientes propiedades: Sean r, s ∈ Q + multiplicables por todos los elementos de A. Sean a, b ∈ A:

• (r • s) * a = (r * a) • (s * a) • r * (s * a) = (r * s) * a • r * (a • b) = (r * a) • (r * b) • Si a ≤ b entonces r * a ≤ r * b

Y aunque definido el producto de un racional por una cantidad de magnitud, es posible seguir la construcción del producto de un número real por una cantidad de magnitud, no la retomamos en este trabajo.

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2.6. ASPECTOS DIDACTICOS Para los niños no es nada fácil concebir la medida en la magnitud de una manera natural, de ahí que practiquen la medición hasta avanzada la enseñanza elemental, ya que previo a estas prácticas debe haber un manejo de clasificaciones, seriaciones y estimaciones, luego de tener claro lo que es atributo o magnitud respecto a lo que se va a medir. 2.6.1. Génesis De La Idea De Magnitud Chamorro y Belmonte (1994) recopilan algunos planteamientos sobre la génesis de la idea de magnitud en el niño anotando que se tendrá que superar varios estadios: 1. Consideración y percepción de una magnitud como una propiedad que posee una colección de objetos, sin tener en cuenta otras propiedades que pueden presentar tales objetos. 2. Conservación de una magnitud, estadio que se considerará superado en el momento en que el estudiante haya adquirido la idea de que, aunque el objeto cambie de posición, forma o tamaño o alguna otra propiedad, sin embargo hay algo que permanece constante: ese algo es, precisamente, aquella magnitud con respecto a la cual pretendemos que el niño sea conservador. 3. Ordenación respecto a la magnitud dada: solo cuando el alumno sea capaz de ordenar objetos teniendo en cuenta únicamente la magnitud considerada, se considerará que ha superado esta etapa, necesaria para el dominio de esa magnitud. 4. El ultimo tramo coincide con el momento en que el niño sabe establecer una relación entre la magnitud y el número, momento en que es capaz de medir. Además del desarrollo psicológico adecuado que debe tener el niño es necesario que pueda experimentar, probar y verificar según las experiencias en que se encuentre sumergido (vividas por él) para conseguir pasar por estos estadios satisfactoriamente. Existen unas comparaciones de tipo perceptivo, que precisamente hacen referencia al acto de comparar objetos. En una primera instancia se hace desde la parte sensorial, visualmente por ejemplo, posterior a esto, si se tienen dos objetos y su atributo a observar es la longitud, se intentara acercar el uno

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al otro para observar que el mayor es igual al menor más otro trozo, según lo cual estarían interviniendo desplazamientos y particiones, y se estaría haciendo una aproximación a la noción de medida. De esta manera se sigue evolucionando hasta que aparece la necesidad de crear una unidad movible que permitirá tener más exactitud a la hora de medir. 2.6.2. Idea De Medida Piaget también habla de estas evoluciones de la idea de medida y propone una serie de estadios para ello:

1. Comparación perceptiva directa entre dos objetos: no hay desplazamiento ni medida común, en este estadio se pueden distinguir dos fases:

• Se realiza un primer acercamiento desde los sentidos,

prioritariamente utilizando la vista y señalando cual es mayor según la impresión obtenida a través de la mirada.

• Las estimaciones son más analíticas ya que no solamente utiliza el transporte visual, sino también los transportes manual y corporal.

2. Desplazamiento de objetos: en este estadio se pueden distinguir dos

etapas:

• Se aproximan los objetos para tratar de realizar una comparación. • Se utiliza un termino medio, inicialmente corporal (manos, dedos, etc) y

con este termino medio se empiezan a comparar los dos objetos enfrentados, finalmente se busca un objeto simbólico que se desplaza de uno de los elementos a comparar hacia el otro, abandonando la utilización de partes corporales.

3. Estadio en donde la propiedad transitiva se hace operativa: se

caracteriza por razonamientos deductivos del tipo A = B y B = C implican A = C, donde se nota la intervención de un termino medio operativo: B. esta se verificará en dos fases:

• En la primera el sujeto se sirve de un término medio demasiado

grande, porque no evalúa todavía cuál sería el término más conveniente para llegar a la medida adecuada.

• En la segunda fase se sirve de un termino medio muy pequeño, dada la experiencia adquirida en la fase anterior, y el

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convencimiento progresivo de que la medida será más exacta cuanto menor sea la unidad escogida para medir.

2.6.3. Constitución De La Unidad Por lo anteriormente descrito se puede ver que al final del tercer estadio se desarrolla y se perfecciona la idea de unidad. A continuación enunciaremos cinco pasos para la constitución de la unidad:

a. Ausencia de unidad: inicialmente se realiza la medición desde lo visual y lo comparativo. Así se pueden comparar dos objetos directamente entre sí, pero se complica la comparación si introducimos un tercer objeto y aunque se puedan obtener avances en la comparación entre ellos, no se supone nunca la idea de una unidad de medida.

b. Unidad objetal: esta ligada únicamente a un objeto y claramente relacionada con lo que debe medirse, formando incluso parte de la misma función que tiene el objeto, por ejemplo, ante dos medidas supuestamente iguales el niño puede errar su estimación, suponiendo que se rompa esa relación existente entre esa unidad y el objeto a medir. Sin embargo, esa falta de independencia no le impedirá utilizarla como una especie de unidad para la medida de otros objetos, una vez que ha sido usada en su primera función.

c. Unidad situacional: Esta depende todavía fuertemente del objeto a medir, pero que cambia o puede cambiar de un objeto a otro, siempre que para cada uno se realice la medición y se conserve una cierta relación, al menos en orden de magnitud, entre las unidades respectivas.

d. Unidad figural: La unidad a construir va perdiendo toda relación con el objeto a medir, incluso en el orden de magnitud, permaneciendo en sí, una cierta tendencia a medir objetos grandes con unidades grandes, y objetos pequeños con pequeñas unidades. La adecuación de la unidad a la magnitud de lo medible (condición indispensable) hace que el avance hacia la consecución de la unidad sea importante.

e. Unidad propiamente dicha: la unidad se ve totalmente libre de la figura u objeto considerado, tanto en forma como en tamaño, y es cuando se consigue una unidad propiamente interfigural, la misma para todas las figuras u objetos, llegados a ese extremo se tendrá como resultado medida y número, se enriquecen entre sí al tratar de medir con una misma unidad objetos de diferente tamaño, forma, textura o densidad.

Se ha cambiado de una unidad en principio ligada totalmente al objeto a medir (intraobjeto) a una unidad que no depende en absoluto del objeto a medir (interobjeto).

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CAPÍTULO 3

DESCRIPCIÓN DEL PROCESO METODOLÓGICO Las pretensiones de elaborar una propuesta educativa para ambientes interculturales, que desarrolle pensamiento métrico y a la vez evite el desarraigo cultural, involucrando pensamiento, saberes y sistemas métricos de la cultura inga, hace que este trabajo en su primera fase tome un carácter etnográfico al tener como finalidad un estudio cultural de los saberes Etnomatemáticos construidos por ésta comunidad. Se hizo necesario realizar este trabajo en los sitios donde se encontrara un sistema de referencia fuerte en conocimientos, lengua, tradiciones y costumbres de la comunidad Inga y para esto se eligió la comunidad Ingana de San Andrés y Santiago, en el valle de Sibundoy, Putumayo, en donde se hizo presencia en los años 2003 Y 2004 en los meses de noviembre, diciembre y enero. Acorde a los objetivos que se pretenden alcanzar con este trabajo de investigación para optar el titulo de licenciado en Matemáticas, el presente apartado muestra la metodología referida a la consecución de los objetivos de las dos primeras fases. 3.1. PRIMERA FASE DE LA INVESTIGACIÓN Es preciso abordar una metodología que admita la utilización de una pluralidad de instrumentos, la interacción entre estos hacia la recolección de datos, posibilitando así dar un sentido a la realización, construcción y reconstrucción de hipótesis, además de precisar, modificar y profundizar, a medida que avance el ciclo metodológico, nuestra interpretación de la realidad objeto de investigación, y conformar un marco conceptual sobre sistemas y pensamiento métrico de espacio-tiempo. Una metodología acorde a los requerimientos establecidos en nuestro trabajo en la comunidad inga, fue la investigación etnográfica6. Para poder abordar y lograr los objetivos propuestos para la primera fase entorno a los saberes sobre espacio y tiempo de la comunidad inga, fue necesario realizar no solo una mera descripción, sino una comprensión e interpretación de los fenómenos observados por medio de una reflexión

6 Goetz, J. P. y Lecompte, M. D. Etnografía y Diseño Cualitativo en investigación educativo. ED. Morata. Madrid. 1988.

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constante y profunda sobre la realidad vivenciada, asignándole significaciones a lo que se observó, se oye y se hace en relación con las vivencias ingas oídas, vistas y compartidas. Previo a esto se realizará una revisión bibliográfica que nos permitirá elaborar una serie de preguntas orientadoras como herramienta primaria que, durante el desarrollo del ciclo metodológico etnográfico serán precisadas dependiendo del contexto. Pero la consecución de los objetivos planteados en la identificación de unidades de medida, instrumentos, técnicas, lenguaje y formas de adquisición del conocimiento acerca del espacio tiempo, no pueden estar aislados de las experiencias, creencias, actitudes, pensamientos y reflexiones de los participantes como integrantes de la comunidad, pues son ellos y sus relaciones los que dan vida y significados en sus acciones a los saberes que la comunidad han construido históricamente. Es decir, es preciso trabajar con las personas integrantes de la comunidad para compartir usos, costumbres, modalidades de vida y de cierta manera apropiarnos e identificarnos con los sentidos y significantes que estos dan a los conceptos de medición del espacio y el tiempo. Para esto utilizaremos los siguientes instrumentos metodológicos organizados en el cuadro 7.1.1. Teniendo en cuenta los objetivos específicos que orientan nuestro trabajo en su primera fase, han sido elaboradas una serie de preguntas orientadoras (instrumento para la primera fase) que ayudarán en el proceso de recolección de información, ya que permitirán más precisión en el momento de realizar las entrevistas. (VER ANEXO 1) 3.2. SEGUNDA FASE DE INVESTIGACION 3.2.1. Sistematización Y Organización De La Información La materializaron de la información recopilada en diarios de campo audio y/o video y registros fotográficos será seleccionada por categorías de información que puedan responder a los objetivos propuestos para la primera fase. Dentro de las acciones metodológicas para esta fase tuvimos en cuenta: Trascripción de las entrevistas: que consistió en registrar en un documento las ideas e informaciones de los registros de audio y video dejados durante la fase de recopilación de los datos.

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Selección de la información por categorías de análisis: una vez elaborado el documento resultado de la trascripción, se procedió a elaborar un documento en donde se clasificó toda la información por categorías adjuntando los registros fotográficos, materiales, etc.,. Estas categorías fueron organizadas a partir del marco teórico y el instrumento a utilizar bajo el cuadro 7.2.1 que además se utilizó como referencia para el análisis de la información. 3.2.2. Análisis De La Información La organización y clasificación de los datos fue una tentativa a priori al análisis de los datos y una de las acciones previas hacia la creación de una propuesta de enseñanza intercultural. Se utilizaron las categorías de selección de información mencionadas en la fase anterior y se configuró una matriz pertinente para su análisis. En este proceso existieron tres momentos que desde nuestro punto de vista, fueron precisos para la culminación del trabajo: 1. Análisis hacia las etnomatemáticas y la medida en la cultura Inga.

Desde los presupuestos adoptados por la educación intercultural, específicamente para lograr un verdadero “dialogo de saberes”, fue relevante para nuestro trabajo unificar conceptos desde la diferencia, la alteridad y conocimientos etnomatemáticos que complejicen y complementen la noción y desarrollo del concepto de medida.

Para esto, optamos por el análisis de las categorías de información organizadas, y el marco teórico referido a aspectos teóricos de la medida.

La pregunta orientadora hacia la consecución de este análisis fue:

• ¿Cuáles son las características que posee la cultura inga que permitan

generar un sistema métrico? 2. Su finalidad fue observar cómo las prácticas, procesos, saberes, significaciones, visiones de vida, técnicas e instrumentos encontrados en la comunidad aportan al mejoramiento de los procesos de enseñanza. Una parte importante correspondió a la revisión bibliográfica de tipo documental de textos relacionados con la enseñanza-aprendizaje de la

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medida, iniciando con los siguientes:

• El problema de la medida. • La educación matemática en la educación primaria de la escuela intercultural bilingüe. • ¿Cómo enseñar las magnitudes, la medida y la proporcionalidad? 4. Enfocado hacia la consecución del objetivo de la segunda fase de

investigación Identificar y establecer relaciones entre las etnomatemáticas ingas, la educación intercultural y la educación matemática, previas a la elaboración de la propuesta en educación matemática para la diversidad.

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INSTRUMENTO ¿PARA QUÉ? ¿QUÉ SE REGISTRARÁ? ¿A QUIÉN ENTREVISTAR? USO DE CONCEPCIONES

DIARIO DE CAMPO Organizar una bitácora de actividades. Seguimiento de proceso de investigación. Puntualizar y corroborar información. Complementar la entrevista y ser más específicos en la descripción

Las concepciones de tiempo y espacio en la determinación de ciertas prácticas Construcción de los procesos de conservación de magnitudes. Actitudes, ambientes y situaciones relevantes para nuestro trabajo que no pueden ser registrados por otro instrumento. El papel del trasfondo social en la medición. Acciones naturales que ellos no hacen explícitos en su dialogo, pero se pueden deducir de lo que manifiestan.

Generar criterios para establecer a quién, cuándo, cómo y en dónde realizar las entrevistas.

Estimación de magnitudes. Desplazamiento de objetos. Comparación directa entre objetos Pensamiento métrico. Procesos y conceptos Aspectos didácticos de la medición. Atributos medibles. Relación medición – cosmovisión. Técnicas Instrumentos

ENTREVISTA SEMIESTRUCTURADA

Registrar elementos mucho más precisos, específicos y técnicos de la profesión que los entrevistados ejerzan.

Información relacionada con medición y objetivos propuestos. ¿Cuáles son las formas de enseñanza-aprendizaje y los procesos de transmisión de los saberes relacionados con la medición en la cultura inga?

Exponentes de cada profesión (manifestación cultural). Agricultores, carpinteros, talladores de madera, artesanos, tejedores.

ENTREVISTA HISTORIA DE VIDA

Generar diálogos relacionados con las experiencias vividas por las personas de la comunidad. Establecer un primer contacto

¿Cómo adquirieron el conocimiento que ahora tienen? ¿Cómo era utilizado este conocimiento anteriormente? ¿Cómo han cambiado estas concepciones? Proceso de enseñanza-aprendizaje y procesos de transmisión.

Mayores. Taitas. Gobernadores

VIDEO -FOTOGRAFÍA-ACOPIO DE ARTEFACTOS CULTURALES

Para tener un registro visual que complemente y verifique la información recolectada. Para tener un apoyo tangible en el análisis, que nos permita recrear situaciones y así tener una mejor interpretación.

Instrumentos y usos Formas y técnicas de medición

Los registros se realizaran a aquellos que lo permitan.

Cuadro 2.1.1

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Categoría. Instrumentos

PROCESOS Y CONCEPTOS GENESIS DE LA IDEA DE UNIDAD

IDEA DE MEDIDA CONSTITUCIÓN DE LA UNIDAD

PENSAMIENTO MÉTRICO INSTRUMENTOS Y TÉNICAS

Diario de campo * Procesos de conservación de magnitudes. * Estimación de magnitudes. * El papel del trasfondo social de la medición. * Diferenciación entre unidad y patrón de medida.

* Consideración y percepción de cada magnitud.

* Comparación directa entre dos objetos. * Desplazamiento de objetos. * Propiedad transitiva.

* Está sujeta a los resultados obtenidos

* Desarrollar el sentido de la medida. * Desarrollo de las destrezas para medir.

* dependen de la información obtenida

Registros gráficos y acopio de artefactos culturales

*Construcción de los proceso de cada magnitud. * Estimación de magnitudes. * Selección de unidades de medida. * Patrones e instrumentos. * Proceso de asignación numérica.

* Consideración y percepción de magnitud. * Conservación de una magnitud. * Organización respecto a una magnitud dada. * Relación entre magnitud y número.

* Operatividad de la propiedad transitiva

* Está sujeta a los resultados obtenidos

* Atributos medibles. * Patrón y unidad de medida. * Ampliación del concepto de número.

* dependen de la información obtenida

Entrevista historia de vida.

* Construcción de los procesos de cada magnitud. * El papel del trasfondo social de la medición. * Proceso de asignación numérica.

* Consideración y percepción de cada magnitud.

* Desarrollo de la idea de medida.

* Está sujeta a los resultados obtenidos

* dar significación a los procesos de medición. * dar significación al patrón y unidad de medida. * Desarrollo de destrezas para medir.

* Dependen de la información obtenida

Entrevista semiestructurada

* Selecciones de unidades de medida, patrones e instrumentos. * El papel del trasfondo social de la medición. * Apreciación del rango de magnitudes.

* Consideración y percepción de cada magnitud. * Relación entre magnitud y número.

* Comparación directa entre dos objetos.

* Está sujeta a los resultados obtenidos

* Atributos medibles. * Carácter de Invarianza * Patrón y unidad de medida. * Desarrollo de destrezas para medir. * Desarrollo del sentido de la medida.

* Dependen de la información obtenida

CONCLUSIONES

Cuadro 2.2.2

Énfasis categorial asociado a los instrumentos utilizados

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CAPÍTULO 4 DESCRIPCIÓN DE LOS PROCESOS DE RECOLECCIÓN, SISTEMATIZACIÓN Y ANÁLISIS. La pertinencia de mostrar el proceso de recolección, organización, sistematización y análisis de la información recolectada, orienta la validación de las inferencias logradas en el que la meditación exhaustiva, la responsabilidad, la honestidad y el respeto actuaban hacia los resultados manifestados en nuestra interpretación y reconstrucción cultural. Fue en la triangulación de la información donde se concentraban esfuerzos hacia la no tergiversación de los saberes, conocimientos, filosofías, procedimientos, significaciones y todas esas características que configuran la cultura inga en relación con la medida. 4.1. Procesos de recolección de la información. La recolección de la información se dio en dos lapsos de tiempo: durante los meses de noviembre, diciembre y enero de los años 2003 y 2004. La entrada a la comunidad, en el año 2003, se vio facilitada por una carta de recomendación de la docente Inga Antonia Agreda dirigida al cabildo Inga de santiago. Con el apoyo del grupo de docentes de la comunidad y el Taita gobernador Ángel Mojomboy ampliamos este contacto con el cabildo de San Andrés. Las acciones mas relevantes registradas en el diario de campo en este proceso son:

1. Entrevista con los gobernadores de los cabildos de Santiago y San Andrés para exponer y solicitar permiso para desarrollar nuestro trabajo.

2. Presentación de una carta de compromiso ante el cabildo y la comunidad de informar sobre los resultados de la investigación y presentación del documento final de investigación bajo el principio de reciprocidad cultural.

3. Presentación ante los docentes de la comunidad y compromiso de brindar una charla sobre actualidad en el campo de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.

4. Presentación ante la comunidad en las asambleas del cabildo de santiago y san Andrés la finalidad de la investigación y la muestra de

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un CD interactivo del cuento la CHULUPSI, cuento de tradición oral inga.

5. A partir de las asambleas, realizar una bitácora de entrevistas con los mayores que estaban dispuestos a colaborar (profesión, fecha y hora de las entrevistas). Para organización en entrevistas semi estructurada o historia de vida.

6. Ubicación de un guía-orientador de la comunidad. 7. Delegación de funciones en las entrevistas: debido a los aparatos de

recolección de la información (videograbadora, grabadora, foto cámara) y las limitaciones de genero en las actividades diarias de la comunidad (por ejemplo, el tejer y cocinar son espacios femeninos), existió un funcionamiento operativo dentro del grupo en cuanto a turnarnos en la utilización de los aparatos y la ejecución de las entrevistas de acuerdo a la exigencias de las situaciones.

8. Análisis diarios de las informaciones recolectadas para reorganizar y reconfigurar la orientación del trabajo etnográfico.

9. Solicitar nuevas entrevistas con los mayores ya entrevistados. 10. Entrega de un informe parcial a los cabildos de la información

recolectada (ver anexo 2). Las entrevistas y el trabajo realizado estaban afectados por la imagen dejada por antiguos investigadores a la comunidad. Visión de cansancio hacia colonizadores, trasgresionistas, saqueadores intelectuales y materiales. Esto dificultó el desarrollo de las entrevistas así como la colaboración de muchos mayores que entonaron su voz de inconformismo en las asambleas hacia estos trabajos académicos sin retribución alguna visible hacia la comunidad. Otro factor de dificultad fue el idioma, aunque todos los mayores entrevistados hablan español muchas veces no comprendían las preguntas que se planteaban. Es importante resaltar la cordial colaboración de los maestros de la comunidad como la maestra mercedes Jacanamijoy, Jesús Carlosama, Conchita Tisoy y en especial a Simón Puetchambú quienes con sus orientaciones fueron un apoyo incondicional durante el desarrollo de las entrevistas. Además el soporte fraternal del taita ex-gobernador Agustín Tisoy y su familia. Entre los entrevistados encontramos: Entrevistas por historia de vida: Entrevista semi estructurada: Juan Satiaka Juan Mavisoy Albina Jajoy Isidoro Chasoy

Isidoro Chasoy (agricultor y tallador). Dominga Tisoy (tejedora) Juan Mavisoy (tupudor)

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Antonio y su esposa Josefina, Agustín Tisoy, Francisco Cuatindioy, Lucia Tisoy,

Lucia Tisoy (agricultora) Sra. Jesusa (madre comunitaria) Mercedes Jacanamijoy (Docente) Simón Puetchambú. (Docente)

Otras entrevistas son de carácter informal, por ejemplo, con Marcos Mojomboy (tallador), se obtuvo información al encargarle unos banquitos para la compra, puesto que en un primer momento se mostró reacio a la entrevista hacia su trabajo. Dentro de los videos artefactos recolectados encontramos:

• Fotografías, video grabaciones, banquitos, mascaras, sayos, chumbes. Además documentos de vocabulario matemático y calendario Inga realizado por los docentes de la comunidad. (ver anexos)

4.2. Procesos de sistematización y análisis. La sistematización comienza por la selección y trascripción de entrevistas semi estructuradas y por historia de vida. Luego se le asignó a cada categoría establecida, un color que nos permitiera identificar el tipo de información presente en cada instrumento (ver anexo 3). Durante este proceso se evidenció cómo algunas anotaciones y entrevistas dentro de los instrumentos arrojaban información que podía ser clasificada en más de una categoría, de la misma manera se observó (en las trascripciones y demás instrumentos de recolección de información) que la información provenía de tres contextos específicos (trabajos comunitarios, trabajo de la madera y trabajo con tejidos) y la medición del tiempo. 1. Trabajos comunitarios 3. Trabajo con tejidos. 2.Trabajo de la madera: banquitos 4. Medición del tiempo A partir de estos 4 contextos (los tres primeros refieren a magnitudes de espacio longitud y área, y el cuarto al tiempo) y los instrumentos, se comienza la configuración de la información en un nuevo esquema de análisis: Contextos vs. Categorías; y se utiliza como base el cuadro 2.2.2 del Capitulo tres. En cada categoría el énfasis esta en: Categoría 1: Procesos y conceptos: se refiere a los procesos epistemológicos que subsisten en el trato de cada concepto de medida, sobre todo

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percepción de magnitudes medibles en relación con el papel del trasfondo social en la medición. Categoría 2: Génesis de la idea de unidad: es un sistema de orientación hacia formas de ver la conservación y orden en el origen de la idea de unidad. Categoría 3: Idea de medida: nos ubica en la comparación como base de la estimación. Categoría 4: Constitución de la unidad: brinda la disposición hacia la conformación de la unidad y la asignación numérica. Categoría 5: Pensamiento métrico: nos ayuda a situarnos en las significaciones, desarrollos y ampliaciones de los conceptos involucrados a la medida. Categoría 6: Instrumentos y técnicas. Encasilla la información hacia los instrumentos de medición y las técnicas utilizadas para medir.

La matriz de análisis (ver 4.2) que relaciona cada categoría establecida con los cuatro contextos mencionados y permitirá una mejor organización y lectura es:

Cuadro 4.2 Matriz de análisis

Categoría

1. Procesos y conceptos

2. Génesis de la idea de unidad

3. Idea de medida

4.Constitución de la unidad

5.Pensamiento métrico

6.Instrumentos y técnicas

Actividad cultural

1. Trabajo comunitario

1.1. 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

2. Medición del tiempo

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

3. Tejidos de sayos

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

4. Elaboración de banquitos

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

Tener organizada la información bajo el cuadro 2.2.2 permitió dar un paso sencillo a la matriz de análisis, donde se le asigno una numeración pertinente para la identificación de la información proveniente de cada instrumento. Por ejemplo 1.1 para todas las informaciones del cuadro 2.2.2 que tenga que ver con trabajo comunitario y procesos y conceptos independientemente del instrumento de recolección.

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4.3 Procesos De Análisis De La Información Describimos aquí los procesos que llevaron a la consecución de los análisis, conclusiones y resultados, aclarando de antemano que estos fueron organizados en los siguientes capítulos del informe de investigación:

Capitulo 5. Etnomatemáticas y la medida en los Ingas. Para la estructuración de este capitulo fue necesario el estudio documental sobre el sistema de numeración oral inga para relacionar y dar sentido a los procesos e ideas de conservación, ordenación, estimación, asignación numérica, entre otros, presentes en las actividades culturales encontradas en la comunidad. La organización en el texto sigue el orden establecido en la matriz 4.2.

Capitulo 6. Aportes de las etnomatemáticas de la medida Inga a la construcción del concepto de medida. Se realiza el estudio documental para el segundo momento sobre los textos relacionados con la didáctica de la medida en sus aspectos pedagógicos, didácticos y Etnomatemáticos. La finalidad es observar como las prácticas, procesos, saberes, significaciones, visiones de vida, técnicas e instrumentos encontrados en la comunidad pueden aportar al mejoramiento de los procesos de enseñanza. Los ejes propuestos para este análisis son: Capitulo 7. Reflexiones y Conclusiones Finales donde se realiza una recapitulación de los aspectos más relevantes de los procesos de investigación, dificultades y aportes metodológicos, problemáticas, alcances de los objetivos de la investigación y el pronunciamiento sobre líneas de investigación en el tema.

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CAPÍTULO 5

ETNOMATEMÁTICAS Y LA MEDIDA EN LOS INGAS 5.1. EL SISTEMA DE NUMERACIÓN INGA. Como anotamos en capítulos anteriores, los ingas descendientes de los Incas, compartían las mismas prácticas, vestidos, costumbres, saberes, lengua etc., pero con el transcurrir de los años y el intercambio cultural con otras etnias se han manifestado notables variaciones en algunas de sus costumbres y lengua, Un trabajo de gran importancia en este campo es el estudio de la numeración en lengua Inga hecho por Maria. Teresa Chasoy7 (1999), quien recopila las prácticas y conformación del sistema de numeración oral desde el área del saber de la lingüística. Su estudio, además de compararlo con textos sobre numeración en la colonia incaica, problematiza sobre la pérdida cultural y práctica de las numeraciones amerindias en donde se da prioridad a la numeración con lenguaje occidental. Su estudio comienza por la convergencia en la significación entre distintos diccionarios del termino yupai como “numerar, contar, enumerar, que se puede contar, contabilizar”, incluso hasta semejarlo al termino quipu. Establece tres particularidades validas hasta ese momento en cuanto a la numeración oral del inga del Valle de Sibundoy:

1. El vocabulario de los números no ha sido analizado hasta ahora como compuesto, ni referido a partes del cuerpo, ni a otros dominios de la experiencia.

2. Los términos básicos para los números son exclusivamente referidas a cantidades.

3. El sistema numérico inga es decimal, por lo tanto, las cantidades mayores a diez, a cien y a mil son construidas a partir de dichas cantidades.

Desde apreciaciones de Cauty, la numeración oral inga se dejaría analizar como un sistema muy regular de tipo aritmético. Estableceremos una descripción mas detallada de lo expuesto en el trabajo de Chasoy este

7 La numeración en lengua Inga. Chasoy M. Teresa. U. Nacional de Colombia. 2000. En Rev. Forma y función.

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trabajo enfocándolo mucho mas hacia la matemática sin descuidar el carácter lingüístico allí presentado pues es un sistema de numeración oral. Los primeros números o unidades de primer orden en lengua Inga son: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Sug Iskay Kimsa Chusku Pichka Sugta Kanchis Pusag Iskun

Es importante anotar que no existe dentro del estudio una denominación lingüística que implique la existencia del cero como parte del sistema de numeración. El análisis de aquí en adelante que se le hará al sistema es una representación polinómica, que encaja con las formas lingüísticas establecidas. La obtención de las unidades de segundo orden: las decenas, parten de la palabra CHUNGA (diez). Su expresión polinómica general esta dada por: c10 + n ó (c.10^1 + n.10^0).

Numero Expresión polinómica

11 = 10 1 (1.10) +1

Chunga Sug

12 = 10 2 (1.10) +2

Chunga Iskay

13 = 10 3 (1.10) +3

Chunga Kimsa

14 = 10 4 (1.10) +4

Chunga Chusku

……. ……… …………. …………..

19 10 9 (1.10) +9

Chunga Iskun

Aunque no se ve tan claramente en la conformación de los números de 10 al 19, en la conformación de los demás unidades de segundo orden se puede percibir con mucha más facilidad “las veces” que antecede las unidades de segundo orden por ejemplo: se dice Iskay chunga para decir dos unidades de orden dos. Esta regla se pierde en la conformación de lo numerales 10-19 ya que no se dice Sug chunga para decir una unidad de orden dos.

Numero Expresión polinómica 20 = 2 10 (2.10) +0 Iskay Chunga

21 = 2 10 1 (2.10) +1 Iskay Chunga Sug

22 = 2 10 2 (2.10) +2 Iskay Chunga Iskay

23 = 2 10 3 (2.10) +3 Iskay Chunga Kimsa

……. ……… …………. ………….. 29 2 10 9 (2.10) +9 Iskay Chunga Iskun

Dos unidades de segundo orden mas algo (2.10) + n

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Otro ejemplo con la conformación de números de 90 al 99.

Numero Expresión polinómica 90 = 9 10 (9.10) +0 Iskun Chunga

91 = 9 10 1 (9.10) +1 Iskun Chunga Sug

92 = 9 10 2 (9.10) +2 Iskun Chunga Iskay

93 = 9 10 3 (9.10) +3 Iskun Chunga kimsa

……. ……… …………. ………….. 99 9 10 9 (9.10) +9 Iskun Chunga Iskun

Nueve unidades de segundo orden mas algo (9.10) + n

Para la construcción de las unidades de tercer orden se utiliza Patsa (100). La expresión polinómica a utilizar sería:

b.100 + c10 + n. ó (b.10^2 + c.10^1 + n.10^0).

Numero Expresión polinómica 101 = 100 1 (1.100) + 0(10) +1

Patsa Sug 102 = 100 2 (1.100) + 0(10) +2

Patsa Iskay 103 = 100 3 (1.100) + 0(10) +3

Patsa Kimsa ……… …………. …………..

109 100 9 (1.100) + 0(10) +9 Patsa Iskun

Una vez cien mas algo (1.100) + 0(10) +n

Para los números de 100 a 109 es de notar que lingüísticamente las unidades de segundo orden no se manifiestan. Además al igual que en caso de conformación de los números 10-19, “una vez cien” es patsa y no antecede “sug”,es decir no se dice “sug patsa” como si sucede en las construcciones de las demás unidades de tercer orden, por ejemplo 234, seria Iskay patsa (dos veces cien) kimsa chunga (tres veces diez) chusku(cuatro).

Numero Expresión polinómica 110 = 100 10 (1.100) + (1.10) + 0

Patsa Chunga 121 = 100 2 10 1 (1.100) + (2.10) + 1

Patsa Iskay Chunga Sug 234 = 2 100 3 10 4 (2.100) + (3.10) + 2

Iskay Patsa Kimsa Chunga Chusku 586 = 5 100 8 10 6 (5.100) + (8.10) + 3

Pichka Patsa Pusag Chunga Sugta 700 = 7 100 (7.100) + (0.10) + 0

Kanchis Patsa ……. ……… …… ………….. 999 9 100 9 10 9 (9.100) + (9.10) +9

iskun Patsa Iskun Chunga Iskun

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Para las unidades de cuarto orden se presentan las mismas regularidades antes vistas donde el término utilizado es Uaranga (1000) la expresión polinómica para las unidades de cuarto orden correspondería:

a.1000 + b.100 + c10 + n ó (a.10^3+ b.10^2 + c.10^1 + n.10^0).

No Expresión polinómica

1010 = 1000 10 (1.1000) + (0.100) + (1.10) + 0 Uaranga Chunga

1141 = 1000 100 4 10 1 (1.1000) + (1.100) + (4.10) + 1 Uaranga Patsa Iskay Chunga Sug

2345 = 2 1000 3 100 4 10 5 (2.1000) + (3.100) + (4.10) + 5 Iskay Uaranga Kimsa Patsa Iskay Chunga Pichka

6786 = 6 1000 7 100 8 10 6 (6.1000) + (7.100) + (8.10) + 6 sugta Uaranga Kanchis Patsa Pusag Chunga Sugta

8000 = 8 1000 (8.1000) + (0.100) + (0.10) + 0 Pusag Uaranga

……. ……… …… ………….. 9999 9 1000 9 100 9 10 9 (9.1000) + (9.100) + (9.10) +9

Iskun Uaranga Iskun Patsa Iskun Chunga Iskun

Las conformaciones de los demás órdenes pueden ser construidas por las cantidades anteriores, ya que para las unidades de quinto orden no existe un término lingüístico preciso para designarlo. Para diez unidades de mil chunga Uaranga, (10.000) la expresión polinómica (ver cuadro 5.1) estaría dada por:

x.(10.1000)+ a.1000 + b.100 + c10 + n ó

(x.10^4+ a.10^3+ b.10^2 + c.10^1 + n.10^0). Para las unidades de sexto orden, también se hace una combinación cien unidades de mil, Patsa Uaranga (100.000) la expresión polinómica (ver cuadro 5.2) dada es:

y. (100.1000)+ x. (10.1000)+ a.1000 + b.100 + c10 + n ó (y.10^5 +x.10^4 + a.10^3+ b.10^2 + c.10^1 + n.10^0).

Se puede construir unidades más grandes bajo este mismo procedimiento pero lingüísticamente seria tedioso, además de no conocerse y utilizarse un número mayor a 999.999 dentro de la cultura.

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Cuadro 5.1 Numero Expresión polinómica 10000 = 10 1000 1.(10.1000) + (0.1000) + (0.100) + (1.10) + 0

Chunga Uaranga 40641 = 4 10 1000 6 100 4 10 1 4.(10.1000) +(0.1000) + (6.100) + (4.10) + 1

Iskay Chunga Uaranga sugta Patsa Iskay Chunga Sug 62345 = 6 10 1000 2 1000 3 100 4 10 5 6.(10.1000) +(2.1000) + (3.100) + (4.10) + 5

Surta Chunga Uaranga iskay uaranga Kimsa Patsa Iskay Chunga Pichka 70000 = 7 10 1000 8(10.1000) + (0.100) + (0.10) + 0

Kanchis Chunga Uaranga ……. ……… …… ………….. 99999 9 10 1000 9 1000 9 100 9 10 9 9.(10.1000) + (9.1000) + (9.100) + (9.10) +9

Iskun Chunga Uaranga iskun uaranga iskun Patsa Iskun Chunga Iskun

Cuadro 5.2

Numero 100000 = 100 1000

Patsa Uaranga Expresión polinómica: 1.(100.1000) + 0.(10.1000) + (0.1000) + (0.100) + (0.10) +0

240641 = 2 100 1000 4 10 1000 6 100 4 10 1 iskay Patsa Uaranga Iskay Chunga Uaranga sugta Patsa Iskay Chunga Sug

Expresión polinómica: 2.(100.1000) + 4.(10.1000) + (0.1000) + (6.100) + (4.10) +1 462345 = 4 100 1000 6 10 1000 2 1000 3 100 4 10 5

Iskay Patsa Uaranga sugta Chunga Uaranga iskay uaranga Kimsa Patsa Iskay Chunga Pichka Expresión polinómica: 4.(100.1000) + 6.(10.1000) + (2.1000) + (3.100) + (4.10) +5

87000 = 8 100 1000 7 10 1000 Pusag Patsa Uaranga Kanchis Chunga Uaranga

Expresión polinómica: 8.(100.1000) + 7.(10.1000) + (0.1000) + (0.100) + (0.10) +0 999999 9 100 1000 9 10 1000 9 1000 9 100 9 10 9

iskun Patsa Uaranga iskun Chunga Uaranga iskun uaranga iskun Patsa Iskun Chunga Iskun Expresión polinómica: 9.(100.1000) + 9.(10.1000) + (9.1000) + (9.100) + (9.10) +9

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Chasoy en su trabajo manifiesta la ausencia de prácticas gestuales y uso de partes del cuerpo asociadas al hecho de contar, pero aclara que existen importantes prácticas de aprendizaje, nemotecnia y apoyo al cálculo.

Se usan nudos cuerdas de colores, semillas y tablas de conteo. Estas cuerdas pueden ser de colores son amarillo, rojo, blanco o negro, colores de la cultura inga. Cada cuerda tiene igual numero de nudos en la disposición (2 + 3 + 5) los cuales se cuentan de abajo hacia arriba y de derecha a izquierda (…)

Otro medio utilizado para operaciones son tablas que permiten suma y restar; éstas están organizadas de la misma manera que las cuerdas (2+3+5). Una característica de esa tabla es la existencia de una casilla inferior en la cual se pueden introducir cantidades para efectuar operaciones de manera más ágil y sencilla:

No es claro en el texto el uso de las tablas ni lo nudos a la hora de hacer operaciones, aunque manifiesta que según textos del imperio incaico de la colonia se puede proceder de la misma manera.

2 + 3 + 5

M C D U

Miles Centenas Decenas Unidades

Tabla de cálculo. Representación de 3598

Disposición de cuentas por cuerda Representación del numero 6.839

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5.2. TRABAJO COMUNITARIO.

…Antes, era bonita costumbre que teníamos… Mamita Rosita Mojomboy

5.2.1 Procesos Y Conceptos Uno de los quehaceres primordiales en la cultura inga es el trabajo comunitario. Este era únicamente de naturaleza agraria, es decir, se trataba de las labores del campo en cuanto a arreglo de la tierra, siembra y cuido de los cultivos. La agricultura era practicada por todos los Inganos independientemente de la profesión u oficio dentro de la comunidad, la gran mayoría se dedicaban únicamente a esta actividad. Asistían familias enteras, padres e hijos de todas las edades, lo que generaba un espacio de reunión, convivencia y solidaridad que mantenía la unión y la fraternidad de la comunidad entorno al trabajo de la madre tierra. El trabajo comunitario era solicitado en el cabildo en las asambleas. El interesado solicitaba, con permiso de los mayores, la ayuda para arreglar su terreno bajo varias formas de trabajo como el divichido, la minga, la Chichaminga, etc., y se establecía una especie de trato verbal. Las formas de trabajo comunitario estaban determinadas por las condiciones de lo que podía ofrecer la familia que solicitaba ayuda. Las distintas entrevistas muestran lo referido a estas formas de trabajo comunitario: Mario: ¿Descontar?, ese era el divichido Rosita: eso era divichido en cuadrilla, pero si se ruega, minga es aparte, es con carne pa`comer, devuelta chicha minga dicen, eso es pues en carne con mote no mas, con mote se cocina con fríjol, pues sabroso así, pero ya es chicha minga, pero minga es con carne, y pues, cuadrilla es divichido. Mario: o sea, uno pagaba el trabajo, el divichido tenia que devolver a hacer el trabajo a quien le prestaba, la Chichaminga solo se pagaba con carne y chicha, como con comida. Rosita: Aja, eso, eso ya no se descuenta, entonces ahí, pues chicha minga le hacían trabajar doce chacladas, minga hacia trabajar 18.si ha prestado divichido pues aparte tiene que ir a descontar Mario: pero entonces se demoraban bastante tiempo? Rosita: a si pero en compañía de varios acaba rápido. En la siembra y en el rastrojo es mas duro. Toca rastrojar, quitar raíz, cortar árbol, cortar caña, toca acomodar es mas trabajoso ahí que la siembra. Mario: como hacían para ala hora? Rosita: pa´ trabajar nosotros salíamos así a las nueve o diez comenzábamos. Cando es divichido a eso si toca madrugar mas, alas cinco de la mañana sabíamos andar. Mario: a las cinco de la mañana?

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Rosita: sabíamos llegar a la casa alas dos y toca llegar con leña, hierba de curí y cargar, ya llegar a hacer la comidita, el que era personas que ya llega comidito, sino toca llegar y preparar. ……………………. Mario: hay una cosa que no me ha quedado clara, ¿el divichido es todo lo que corresponde a trabajo comunitario y la minga y la Chichaminga son formas de divichido? Simón: a ver ó sea, trabajo comunitario tiende a ser toda la clase de trabajo que se viene desarrollando en el pueblo inga, entonces esta incluido la chicha minga, el divichido, esta la cuadrilla, el Iamtaminga, esta Aswaminga, entonces eso son trabajo comunitario, el divichido es solamente la forma de trabajo en donde una persona va a trabajar a donde el vecino u otra persona, pero para que se la devuelva nuevamente el trabajo en esa misma clase de trabajo, divichido, yo voy le trabajo esa cantidad y usted viene me devuelve en la misma cantidad de trabajo. Entonces ahí se ha de utilizar la chacla, tanta chacla tiene que venirme a descontar acá en mi chagra, ó sea divichido es una clase de trabajo. …………………………….. Juan: eso de antes y el que teníamos así finca como ahora, conforme que antes los abuelos habían ollas de chicha cuatro hasta cinco ollas no? Para la minga tocaba matar es una res, eso la gente venia y ahora cuales muchachos van a trabajar así, nosotros hemos sufrido, ahora eso estamos así y entonces había varas, dos brasas dos cuartas y tres dedos no? Y así tiene que salir es huacho a dieciocho cuando es minga. Cuando es Chichaminga era a doce, cuando es Chichaminga, cuando es capacidad se le daba motecito con calzón que decimos, motecito que cocina así no mas, no como maíz pelao, no maíz así no mas y tocaba de dar el mote cuando no es minga motecito esta con aji** no mas y cuando es en minga se le daba hasta con cuatro pedazos a ha y en partes había gente y mujeres y hombres y niños, había hasta setenta, ochenta peones y tocaba de cocinar ollas de mote, necesitaba leña, y ese tiempo de aquí nos tocaba de ir a las cinco, alas cinco de la mañana o cuatro y media nos tocaba ir, a cargar el agua al río y todavía quedaba mas ollas así, había boquita así no mas se llamaba Guascana Se puede, entonces, hablar de ellos de la siguiente manera: Divichido: consistía en “prestar la mano” con el fin de devolver, es decir, se trabaja arreglando cierta cantidad de tierra para la siembra y esa misma cantidad hay que devolver en trabajo a quien ayudó. Se caracteriza además por que se trabaja en cuadrilla de 50 o 60 personas y se comienza a las 5 ó 5:30 madrugada y se sigue trabajando el resto de día, hasta las cuatro aproximadamente, según los tratos que se hallan echo. Minga: Es donde el trabajo se paga con carne. Se mataba una res, se prepara y se brinda como remuneración al trabajo realizado. En el trato, socialmente establecido, se hacia trabajar 18 chaclas. Se comenzaba a trabajar a las 9 o 10 a.m. Chichaminga: es el trabajo comunitario donde se remunera con comida: carne, mote (maíz y fríjol) y chicha. Socialmente establecido, el trabajo a 12 chaclas y paga con cinco pedazos de carne y plato de mote y chicha.

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Iamtaminga: los registros que se tienen son informales en cuanto a la Iamtaminga, pero hace referencia al pago del trabajo con madera. No se encuentra especificaciones por la cantidad de madera u horario de trabajo como los otros. Aswaminga: al igual que la anterior en cuanto a pocos registros encontrados sobre su existencia, se dice que la remuneración por el trabajo era únicamente con chicha. Existen otras apreciaciones sobre el trabajo comunitario como en “los ingas”8, donde manifiestan que son tres las formas de trabajo comunitario: mingas, donde se intercambia trabajo por chicha y comida; los divichidos, donde se intercambia fuerza de trabajo; y conchavos, donde se pacta precio por el trabajo. 5.2.2. Génesis De La Idea De Magnitud De la anterior información también podemos afirmar que la necesidad se saber cuanto se debe “devolver” en trabajo, por ejemplo en el divichido, ó trabajar en las otras formas de labor comunitario para recibir remuneración, hace que nazcan ciertas caracterizaciones con relación a la medida. Una de ellas es la medición del trabajo. Se hace necesario cuantificar y cualificar el trabajo para recibir una retribución en comida o en la misma forma de trabajo por la ausencia de dinero. Pero éste se visibiliza en la cantidad de tierra arreglada para la siembra, estableciendo culturalmente unos parámetros en términos de “equivalencia” para una retribución. Desde este punto de vista puede percibirse una magnitud que debe ser tratada. La información recolectada puede vislumbrar en un principio cuales son los conceptos que se utilizan al hablar de medición en el trabajo comunitario como lo son varas, uachos y las chaclas como por ejemplo: Mario: nos podría comentar del trabajo en agricultura referida a su vida. Rosita: bueno, como yo soy pobre desde pequeñito entonces era un machetito pa trabajar, trabajábamos, salíamos a andar cuadrilla divichido, andamos midiendo con varas, si no se puede, trabajan en chacla de 25 hasta 30 o 10, así como es midiendo trabajan todos por filas Mario:¿Por filitas? Rosita: aja, unos cogen un uacho o dos uachos, se va, y otro lo mismo, y el caporal tiene que medir pues el uacho, después cuando salen toca medirlo.

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Este atributo observable nacido de una necesidad de “medir el terreno trabajado” y aun más general “medir un terreno” se manifiesta, a diferencia de nuestra visión sobre la magnitud área (propiedad que tienen varios objetos desde una hoja de papel, pasando por una pared o una cobija, hasta un terreno y todas éstas se pueden medir con una unidad de medida y un patrón como lo es el metro),que aquí la unidad y el patrón de medición solo se utiliza para la medición de terrenos y no de otros objetos que puedan tener este mismo atributo, como por ejemplo una tela. Es decir que al realizar una clasificación de objetos bajo un mismo atributo para establecer una relación de equivalencia, parece que solo correspondería a terrenos, y no permitiría otros objetos como paredes, tela, tabletas, laminas de madera, etc. 5.2.3 Idea De Medida Para los terrenos a trabajar es Importante la manifestación de una figura quien se encargara de este tipo de mediciones. Esta persona denominada tupudor era quien media, repartía el terreno para cada trabajador, y además llevaba las cuentas de deudas en los divichidos. Mario: en el trabajo de la tierra, agricultura, como se trabajaba? Juan: Ahí señalando la hierba pues, cada uno tenemos que llevar el uacho, uno que era medidor, tupudor que decíamos, yo era tupudor. La tarea era con una minga de carne, ahí le daban sus cinco pedazos de carne, chicha y cuando ahora ya hay minga de chicha eso ya es guacho, guacho, doce medidas, doce. Mario: Doce chaclas? Juan: Doce chaclas, doce, cada uno trabajar con su Uacho, el que era pues, eso iba adelante la tarea de ir señalando hasta el doce. A cada uno le entregábamos uacho para que así fuera más guapo y estuviera delante de todos. Mario: que es uacho? Juan: En la línea de esto (señalando de un punto a otro punto de tierra de su chagra), tupo, tupo señalaba uacho, señalando pues cada uno guacho tiene que bolearse. M: O sea que uno con el tupo mide el guacho T: Claro con varadas, con varadas aquí se van hasta 20 chaclas de lo largo, sea rastrojo, sea deshoje, como quiera. ………………….. Mario: de una vez arreglaban, sembraban y ¿había una persona específica que media? Lucía: claro si, por ejemplo mi papá era para eso, el media todo legal, no aumentaba ni disminuía los guachos, así iban todo por igual y él, conforme ellos hacían, pues así mismo iba mirando a ver si estaba bien el guacho o no, si no los hacia repetir a los que no hacían bien y después de todo eso se acabo ese divichido Del instrumento utilizado para medir tupo (vara de bambú con ciertas características especiales), se derivan tupudor (quien mide, otros lo llaman caporal) y especialmente el verbo medir tupuy. El tupo, instrumento para medir los terrenos, era en bambú y debía cumplir ciertas características, puesto que se relacionaba con otras medidas como la cuarta y la brazada,

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es decir, este instrumento de dos brazadas y dos cuartas (aproximadamente 3 mts) debía tener entre nudo y nudo una cuarta de distancia del tupudor. (Ver Fig. y foto)

Juan: 3 brasas, eso es un guacho, entonces uno llega para una cantidad de gente donde dos brasas y ¾ o sea que vendrían desde aquí, llega una chacla. Mario: O sea, son 3 brazadas o 2 brazadas Juan: dos brazadas y ¾ debe tener una vara de estas y así cuadrada, entonces cuando usted le pide, si usted va a hacer con los de antes eran muy duros, muy ligeros para trabajar, entonces unas personas hacen 30 varas de estas o sea 30 chaclas (...) y una varada de ancho. …………………………………… Mario: como median? Agustín: con las chaclas Mario: por ejemplo cuanto hay de aquí a allá? Agustín: 12 chacladas. Mario: cuanto mide una chacla mas o menos en metros? Agustín: tres metros. Mario: tres metros. ¿y a este lado se le denomina uacho? Agustín: están aquí, y así van midiendo y eso en menos de lo que canta un gallo lo sacaban y el de aquí también lo tenía que sacar parejito. ………………………….. Mario: ¿El guacho es como una línea o una zanja? Taita: Si, si, con una vara se mide pues, así, y es de dos metros o de tres metros, entonces eso hay que colocarle ese guacho y salen, después lo hacen medir, es como prestarlo, así mismo toca ir a descontar …………………… Mario: No utilizaban de pronto varas largas? Taita: No, en ese tiempo eran unas chaclas de tres metros que tenían 15 cuartas de 3 metros, con eso median. Para medir una cuadra o media cuadra

Las magnitudes utilizadas en la agrimensura inga hacen referencia a la longitud y área. En la magnitud longitud la unidad de medida y el patrón de medición son utilizados únicamente como apoyo para medir áreas de terrenos, pues como se verá en los demás apartados se habla de porciones de tierra (uachos) en función del largo y no del ancho. 5.2.4. Constitución De La Unidad Unidad de longitud: la chacla como unidad para medir terrenos El tupo es el instrumento para medir la longitud (el largo) de los terrenos. La unidad de medida (y medida del instrumento) se denomina chacla. El

Una cuarta

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patrón de medición esta dado por la figura de tupudor, por la necesidad que alguien mida y lleve las cuentas en términos de igualdad para todos. El tupo mide una chacla y esta es equivalente a dos brazadas y dos cuartas. En algunos relatos se adicionan tres dedos, pero eso varia según el tupudor y sus medidas de brazos y manos. La equivalencia actual con el metro esta establecida: una chacla tiene de dos y medio a tres metros aprox. Juan: eso de antes y el que teníamos así finca como ahora, conforme que antes los abuelos habían ollas de chicha cuatro hasta cinco ollas no? Para la minga tocaba matar es una res, eso la gente venia y ahora cuales muchachos van a trabajar así, nosotros hemos sufrido, ahora eso estamos así y entonces había varas, dos brasas dos cuartas y tres dedos no? Y así tiene que salir es huacho a dieciocho cuando es minga… ……………………………….. Mario: de una vez arreglaban, sembraban y ¿había una persona específica que media? Lucía: claro si, por ejemplo mi papá era para eso, el media todo legal, no aumentaba ni disminuía los guachos, así iban todo por igual y él, conforme ellos hacían, pues así mismo iba mirando a ver si estaba bien el guacho o no, si no los hacia repetir a los que no hacían bien y después de todo eso se acabo ese divichido ……………………………….. Mario: y cuando le daba sed? Rosita: toca tomar chichita no más. Cada uno anda en divichido con chicha. También la patrona tiene que cuidar, es según el trato que se hace. Mario: ah ya Rosita: pero ahora es buena costumbre que se tiene todos saben llevar chichita, porque nosotros trabajamos 9 años en un grupo, trabajamos fuerte para una cuadra, trabajamos todos iguales, todos llevan chichita. Yo hago trabajar con vara, trabajar iguales, no unos trabajemos menos y otros yo trabajo mas. Entonces si es medido trabajamos igualitico. Mario: mejor trabajar igual. Rosita: aja así mismo la comidita se reparte por igual. Trabajemos igual y partimos igual como pa` trabajar mas.

De la triangulación de la información con el diario de campo podemos aseverar que existen otras unidades de medición antropomorfas que se relacionan con la chacla como suglla (dedo), el geme (medida desde el índice al pulgar cuando están extendidos), la cuarta (mano extendida) y la brazada (brazos extendidos). Las unidades y formas de medición y su numeración son:

Una brazada Una brazada Cuarta Cuarta

Suglla: un dedo. Iskay suglla: dos dedos. Kimsa suglla: tres dedos Chusku suglla: cuatro dedos

Cuarta: una cuarta Iskay cuarta: dos cuartas. Kimsa cuarta: tres cuartas Chusku cuarta: cuatro cuartas

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Las equivalencias encontradas con la chacla son: Cuarta = Chunga Iskay suglla Geme = Pusag suglla Una brazada = sugta cuartas y chaugpe cuarta (aprox.) Una chacla = Iskay brazadas y iskay cuartas. Una chacla = chunga pichka cuartas. (El tupo debía tener 15 secciones, 14 nudos). Establecido la diferencia entre tupo (vara-instrumento con que se mide) y chacla (unidad-patrón de medida de la magnitud longitud), profundizaremos en la medición del terreno a trabajar. Enfatizando que la chacla es una unidad-patrón de longitudes que solo se utiliza para terrenos y chagras pero existen equivalencias con otras unidades de medida de longitud. Unidad de área: El uacho Los terrenos eran divididos en secciones rectangulares denominados uachos. Estos son una porción de tierra que tiene una medida fija (ancho) y una variable (largo). Esta variabilidad depende del trabajo realizado.

uacho

Geme: un geme. Iskay geme: dos gemes. Kimsa geme: tres gemes Chusku geme: cuatro gemes

Brazada: una brazada Iskay brazada: dos brazadas Kimsa cuarta: tres brazadas Chusku cuarta: cuatro brazadas

Fig. Chagra en perspectiva

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Un uacho tiene una chacla de ancho por n-chaclas trabajadas de largo.

Juan: 3 brasas, eso es un guacho, entonces uno llega para una cantidad de gente donde dos brasas y ¾ o sea que vendrían desde aquí, llega una chacla. Mario: O sea, son 3 brazadas o 2 brazadas Juan: dos brazadas y ¾ debe tener una vara de estas y así cuadrada, entonces cuando usted le pide, si usted va a hacer con los de antes eran muy duros, muy ligeros para trabajar, entonces unas personas hacen 30 varas de estas o sea 30 chaclas (...) y una varada de ancho. Mario: ¿Una varada de ancho?, ¿ó sea el guacho es como el ancho? Juan: si, este es un guacho de treinta varas, por ejemplo, viene de allá a acá una chacla (señala un ancho en un terreno) y treinta varas hasta pa`alla (señalando un largo) …………………….. Mario: veníamos a ver si nos puede colaborar y explicar un poco sobre el trabajo comunitario, cómo es de pronto la medición, cómo es que hacen para repartir lo de los guachos y lo de las chagras y lo del tupo Lucía: eso pues yo lo que alcance a mirar cuando era niña, cuando yo tenía otros años, yo andaba con mi papacito en divichido, esas horas era cuando yo miraba lo que era el uacho, el uacho completo era de dos brazadas y ½ , pues a lo ancho digamos así, ya lo largo pues hasta donde llegaba, unos hacían como bien trabajadito, pues hacían sus 20, así, lo que diosito les ayudaba, pero otros como lo hacían medio, medio, medio, medio, entonces alcanzaban a hacer 50 ó hasta 60 chaclas y eso era un guacho pues largo, después de eso ya se libraban del guacho ……………………………………….. Mario: a lo que le dicen guacho, ¿guacho es la porción de tierra? Simón: guacho hay dos conceptos, el primero guacho es que se alza tierra de un lado y de otro lado es un guacho, es cuando vamos a sembrar la chagra entonces le dan tarea, tarea de que usted tiene que sembrar tantos guachos, por decir 5 de tarea, tiene 5 guachos y termino la tarea y gano el día por decirlo así y otro concepto de guacho, guacho es el que se le da como tarea pero al momento de rastrojo cuando todo se ha cosechado y quedado monte y se dice: nos vamos al guacho, es una medida que se le ponen con chaclas, el tupo y este es lo que tiene es una chacla de alto, entonces ese es el guacho de la persona que tiene que trabajar el área, a trabajar, y guacho es que yo no me meto para allá y usted no se mete para acá y va a hacer rastrojo. Uno es cuando ya se ha trabajado que le arregla para sembrar el maíz, la papa, el fríjol, es la tierra de acá, es el guacho y otro, o sea hablando es el surco, guacho, cuando ya se esta sembrando para no mas de cuidar y el otro concepto de guacho es cuando se va a trabajar con chacla, esa es el área que tiene que trabajar cada uno.

Como unidad de medida, un uacho arroja medidas dependiendo del tipo de trabajo comunitario:

1 chacla uacho

n- chaclas

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En divichido: Uacho = una chacla de ancho por n chaclas según el trato. En minga: uacho = una chacla de ancho por 18 chaclas de largo. En Chichaminga uacho = una chacla de ancho por 12 chaclas de largo. Desde el trabajo comunitario uacho tiene dos consideraciones:

1. Como terreno para arreglar para la siembra: consistía en rastrojo, quitar raíces, cortar árboles, cortar caña y acomodarla y sembrar.

2. Como terreno (surcos) para el cuido del cultivo. Mario: estamos en la chagra tradicional Lucía: el guacho se compone de tres surcos (uno, dos, tres) Angélica: ¿hasta la otra cuerda? Esposa taita A: dos metros y ½ aproximadamente, uno dice: dos brazas y medio, entonces aproximadamente tenía dos metros y ½ la vara. Leo: ¿dos metros y medio? Y así se hacían los sectores Esposa taita A: y entonces mida, ¿cuántas chaclas hacía comadre? Lucía: no digo que en ese tiempo era pequeña Esposa taita A: pero más o menos sabía cuántas chaclas Lucía: una chaclita Esposa taita A: aquí da por ejemplo, aquí da, daría dos metros y 1/2 , ahora si de aquí a arriba 100 metros, la persona tiene que trabajar de aquí derecho, de aquí 100 metros hasta aquí, no tiene que pasar de allá, ya va otro. Angélica: igual atrás no? Atrás hay también un… Esposa taita A: igual arriba, esa misma distancia, la persona va igualito, el no tiene que irse a trabajar de aquí a allá, no. Es de resaltar que las unidades referidas en el caso de la medición agraria, están claramente sujetas a esta actividad, su utilidad se refiere singularmente a la distribución de terrenos para el trabajo, sin embargo, como en el caso del tupo, se pueden establecer algunas equivalencias con otras unidades más utilizadas como la brazada y la cuarta. 5.2.6 Instrumentos, Técnicas y Pensamiento Métrico. Como se ha visto anteriormente, el instrumento para la medición es el tupo (vara). Para arreglar el terreno era a machete y hacha. Y para la siembra se utilizaba el Chaquil, con el cual se hacia un hueco en la tierra se ponían las semillas con abono y se tapaba con tierra. Mario: se siembra así, ¿y qué herramientas tienen para sembrar? Lucía: pues esto dicen que es Chaquil, pero debe ser más gruesito y más largo si, no como este nomás entonces se abre en la tierra y se echa el maicito.

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Mario: el maicito? Lucía: si, si hay abonito pues al mismo tiempo con abono, sino en cuando sea así nomás, después se le tapa así bonito y listo.

La figura del tupudor era de vital importancia, ya que además de repartir los terrenos, debía llevar las cuentas del trabajo. El procedimiento para la repartición consistía en medir junto con la persona que se iba a encargar de su uacho, el ancho de una chacla (por lo general siempre se le daba el primer uacho al más trabajador de la cuadrilla, quien iba punteando y llevando la cuenta en chaclas del largo trabajado). Luego se media el largo del uacho según el trabajo comunitario. Mario: en el trabajo de la tierra, agricultura, como se trabajaba? Juan: Ahí señalando la hierba pues, cada uno tenemos que llevar el uacho, uno que era medidor, tupudor que decíamos, yo era tupudor. La tarea era con una minga de carne, ahí le daban sus cinco pedazos de carne, chicha y cuando ahora ya hay minga de chicha eso ya es guacho, guacho, doce medidas, doce. Mario: Doce chaclas? Juan: Doce chaclas, doce, cada uno trabajar con su Uacho, el que era pues, eso iba adelante la tarea de ir señalando hasta el doce. A cada uno le entregábamos uacho para que así fuera más guapo y estuviera delante de todos.

Mostramos aquí el procedimiento grafico del proceso de repartición de los terrenos y chagras:

Uacho

Tupo

Repartición del terreno de una chacla de ancho.

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El tupudor media el largo según el tipo de trabajo comunitario: en minga el uacho debía medir de largo 18 chacladas; para Chichaminga se media 12 chacladas y en divichido según el trato. Los Tupudores se enfrentaban a mediciones y reparticiones de terrenos no exactos de donde surgían varias técnicas y métodos que exigían precisión en la medición para solucionar los problemas, pero estas soluciones dependían del tipo de trabajo comunitario y del tamaño del terreno.

Primer uacho

Tupo Segundo uacho

Tercer uacho

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Los ejemplos son por suposición hablada con el tupudor Juan Mavisoy registrada en el diario de campo. El primero una repartición del terreno exacta, además, en una situación de Chichaminga donde cada trabajador tiene un uacho de tarea de 12 chacladas. El rectángulo sombreado es el uacho que le corresponde al primer trabajador. Las líneas punteadas muestran las subdivisiones del terreno total; se comienza a repartir la zona 1 por uachos de trabajo, luego se miden el largo a 12 chacladas como indican las flechas, de donde salen las secciones 2 y 3.

12 chacladas

1 2 3

Terreno sobrante

30 chaclas

Uacho

Repartición exacta en largo y en ancho.

Repartición inexacta en largo

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Es interesante observar que cuando se refiere al divichido, nace la necesidad de ser mas preciso, puesto que se tiene que devolver el trabajo en la misma cantidad. En algunas situaciones se cogían los pedazos de tierra sobrante y se formaban uachos de chaclas enteras. Otra simulación, es la situación de divichido a 30 chaclas (Fig. anterior), donde se muestra una parte sobrante. Una solución a la repartición del terreno sobrante es acomodar el largo a 30 chaclas como lo muestra el dibujo:

Muchas veces los pedazos sobrantes eran trabajados entre todos, o se los contabilizaban a quien lo trabajaba para el descuento por chacla entera. Mario: de una vez arreglaban, sembraban y ¿había una persona específica que media? Lucía: claro si, por ejemplo mi papá era para eso, el media todo legal, no aumentaba ni disminuía los guachos, así iban todo por igual y él, conforme ellos hacían, pues así mismo iba mirando a ver si estaba bien el guacho o no, si no los hacia repetir a los que no hacían bien y después de todo eso se acabo ese divichido Mario: chaclas hacia allá, los pedazos que sobran, ¿habían pedazos que sobraban, que no media? Lucía: si, al que faltaba pues, la hierba digamos entonces tenía que coger esos y todo conjunto tenía que ser una chacla de los pedazos que sobraban. Esposa taita A: para pasar a otro. Por ejemplo, si yo invito a las personas a trabajar en la chacla lo terminan todo, luego usted invita de los mismos que están trabajando al suyo, entonces terminaron, limpiaron, sembraron y se fueron a la otra finca y así sucesivamente donde cada uno, por ejemplo a la comadre le dejan sembradito todo y ahora ella si tiene que ir a descontar lo que a ella le trabajaron del otro y del otro, no había plata,, solo cambio con el trabajo, ese pa complementar el primero. …………………………………. Se puede rescatar aquí procesos de conservación, ya que como se puede ver, cambia la forma del uacho pero se conserva el terreno para trabajar.

30 chaclas

Uacho Uacho de 30 chaclas de largo

Uacho de 30 chaclas de largo

Uacho sobrante

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En situaciones donde el trabajo comunitario no era divichido, la precisión no era relevante puesto que se podía arreglar dicho pedazo sobrante por un plato de mote, por chicha o por Iamta (madera). Mario: como median? Agustín: con las chaclas Mario: por ejemplo cuanto hay de aquí a allá? Agustín: 12 chacladas. Mario: cuanto mide una chacla mas o menos en metros? Agustín: tres metros. Mario: tres metros. ¿y a este lado se le denomina uacho? Agustín: están aquí, y así van midiendo y eso en menos de lo que canta un gallo lo sacaban y el de aquí también lo tenía que sacar parejito. Agustín: por chacladas, 12 chaclas, 24 chaclas….. Mario: y siempre salían exactas? Agustín: si claro Mario: y si sobraban entonces como hacían? Agustín: eso trabajaban entre todos, y entonces el dueño, al dueño se le decía: “le arreglamos pero nos da un plato de mote” y se lo arreglaban.

Otras soluciones para terrenos no cuadrados, sobre todo para terrenos grandes, era la cuadra. Este era un tipo de trato donde el tupudor media el terreno para cuadrarlo (ó rectangularlo) de tal manera que las chacladas fueran enteras a lo largo y a lo ancho.

30 chaclas

Uacho

=

=

Con el terreno sobrante se tratan de armar uachos de chaclas enteras.

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La denominación de cuadra también tiene connotaciones no solo a la forma sino también hacia la medida. No hay indicios de las medidas exactas en chaclas de una cuadra, pero en las entrevistas se habla de ellas sin certeza, algunos hablan de chaclas, otros en metros (100x 100). Únicamente por la triangulación de los datos, podemos aseverar que se utilizaban fracciones del terreno como un cuarto, un quinto, media cuadra. Mario: Y las cuadras qué son? Taita: Cuadra en eso cuando contratan por cuadra, por terreno cuadro, cien de cada lado pa´cuadrar. Mario: Pero antes, pero eso lo usaban antes también los abuelos?, hablaban también de cuadra? Taita: Pues eso median como le dije, ahora tenían medida de cinco cuartas, entonces era un metro, eso median cien metros cuadrados pa´todo lado, pa´ca pa´lla por cuadrado. Mario: No utilizaban de pronto varas largas? Taita: No, en ese tiempo eran unas chaclas de tres metros que tenían 15 cuartas de 3 metros, con eso median. Para medir una cuadra o media cuadra. …..………………… Mario: cuando en los divichidos, trabajo comunitario, de prestar el servicio ¿se demoraban mucho? Rosita: para trabajar? Mario: aja. Habían terrenos grandísimos? Rosita: pues así, otros de una cuadra otros de a cuadra otros tenia un lote. Mario: una cuadra es? Rosita: una cuadra es…. No es 100 x 100. Mario: ah, es 100 x 100. Rosita: porque una cuadra tiene cuatro cuartos, y por quinta tiene…. Un cuarto… tiene dos quintas

Terreno cuadrado

Terreno original

Cuadrada de terreno.

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5.3. EL TEJIDO 5.3.1 Procesos Y Conceptos

Es el arte una de las manifestaciones más importante que recoge las formas de vida y pensamiento de una cultura. El tejido del Chumbe, la confección de sayos y capisayos elaborado por las mujeres de la comunidad; constituye la expresión del arte más importante. Las maestras de tejido plasman en sus trabajos una serie de diseños rela-cionados con la historia y las vivencias del pueblo Inga. Allí se demuestra la filosofía, creencias, y significados que tienen los ingas hacia la naturaleza, la familia, la mujer y la fertilidad.

Chumbe: Arte Inga

Para tejer los sayos y capisayos se utiliza el guango (o guanga), que es un telar de piso movible y recostado sobre cualquier pared. Esta hecho de madera de chonta.

Cuando uno va a mandar a hacer un sayo, para la tejedora entran variables en juego según la constitución y gusto de la persona. De la constitución de la

Soporte de chonta

Helecho

Guasca fija

Hilador

Soporte de chonta

Tupido

Chonta organizador

Guasca

Constitución del guango

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persona se tiene en cuenta la altura y el grosor. El gusto personal se ve afectado desde las variables anteriores (si lo quiere más largo ó corto, mas ancho, etc.) a partir de una medida de referencia (sayos de referencia que tiene la tejedora o a medidas por estimación). En toda cultura, en la confección de prendas de vestir, se crean sistemas de referencia de medidas del cuerpo humano a partir de variables de edad, altura, espesor, gusto, entre otras. 5.3.2. La Idea De Magnitud Y Génesis De La Idea De Unidad Al querer confeccionar un sayo se verifica la necesidad de un sistema de referencia, para poder hablar en términos de él. De tal manera, podemos observar una situación donde se puede considerar y percibir una magnitud. Mario: y ¿Cuánta lana se le va para un capisayo? Dominga: bueno, según la medida eso Mario: ¿Y tu cómo haces para las medidas? Dominga: eso según las medidas, este es grande no!, ya esta pedido, pues eso yo se medir la medida entonces cuando acaba ya, esas horas yo pongo precio.

En un primer momento, como veremos en el transcurso del capitulo, hablar de medición se refiere al largo del sayo, manifestándose en él sus respectivas unidades de medida Mario: por ejemplo para mi un capisayo,¿Cómo tomas la medida?,si yo me voy a mandar a hacer un capisayo ¿Cómo tomas la medida? Para saber como de grande va a ser. Dominga: con una guasca, guasca tengo ahí la medida (señalando el telar). Mario: ¿la podemos ver? Dominga: hay tengo una guasca, esa es la medida Angélica: ¿esta, es esta? Dominga: aja, esta es la medida Mario: esa es la guasca

En la guasca recae el sistema de referencia, la medida, para las tallas de los capisayos. Ella tiene tres medidas estándar que corresponden al promedio de las tallas de los mayores, mujeres y niños. Mario: y hay guascas de otras medidas… ¿Hay otras medidas de guascas o esa es la única?, ó sea ¿Hay más de estas para hacer capisayos chiquitos? Dominga: aquí tengo otro más corto, un poco pues ahora…cuando me pedían para los pequeños, pues eso tenía vuelta así mismo cortitos, este es más corto un poco más corto (comparando las guascas en el telar) pues eso como sacan la medida pues así, pues entonces lo que piden eso sacan la medida con la guasca.

Estas medidas relacionadas con las cuerdas denominadas guascas tienen a su vez relación con una de las partes que esta constituido el guango:

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Las tres medidas son: Atun guasca: guasca grande. Chaugpe guasca: guasca mediana. Uchulla guasca: guasca pequeña

Se teje primero una mitad Luego la otra mitad

Sayo

Uchulla guasca en el guango Chaugpe guasca en el guango

Atun guasca en el guango

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5.3.3. Constitución De La Unidad ¿Cómo se llegó a obtener esas tres medidas? Es interesante ver como el traspaso de las medidas del largo del sayo que se quiere al guango, configura un conocimiento propio de la profesión: Mario: y hay guascas de otras medidas… ¿Hay otras medidas de guascas o esa es la única?, ó sea ¿Hay más de estas para hacer capisayos chiquitos? Dominga: aquí tengo otro más corto, un poco pues ahora…cuando me pedían para los pequeños, pues eso tenía vuelta así mismo cortitos, este es más corto un poco más corto (comparando las guascas en el telar) pues eso como sacan la medida pues así, pues entonces lo que piden eso sacan la medida con la guasca. Mario: ¿y ese cómo se llama?,¿telar? Dominga: chonta, ese es chonta, ésta (señalando abajo) se llama macana, este también es chonta Mario: y ¿Cómo sacaste esas medidas?,¿Cómo sacaste el largo? Dominga: pues eso es lo que se mide…uno acá (señalando el hombro) y otro allá (señalando el intermedio entre rodilla y talón) y cuando acaba pues ya (compara el largo del sayo), lo saca (señalando la guasca), esta me esta saliendo más larga, porque nomás había hecho más templado entonces sale más larga (extiende una cuarta), pero cuando acaba eso se hace más corto. Mario: se encoge Dominga: un poquito nomás se hace más corto, entonces este es todavía el primero decimos: un sayo, de un lado nomás. Acabando este pues me toca, pues toca hacer otro Explica la tejedora que el largo de los sayos corresponde a la distancia que hay entre el hombro y el punto medio entre la rodilla y el tobillo. Y que es importante tener en cuenta que el tejido una vez terminado recoge a lo largo, teniendo que alistar el tejido más o menos una cuarta más largo.

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Una vez tomada la medida de largo del sayo se traspasa la medida al guango, para obtener la medida de la guasca. El grafico trascrito del diario de campo, muestra en el guango como es el procedimiento para la obtención de la medida del largo de los sayos.

Luego se tiene la siguiente relación: Español Tamaño del sayo Guasca requerida Capisayo grande Atun sayo Uchulla guasca Capisayo mediano Chaugpe sayo Chaugpe guasca Capisayo pequeño Uchulla sayo Atun guasca

Si se necesitaban sayos mas cortos o largos, se tenían como base esas tres medidas, se fabricaban guascas más grandes o más pequeñas. Para el lograr el ancho del sayo se alistaba el tejido por pares de colores. Dependiendo del ancho, estaba distribuida la cantidad de pares. Mario: ¿cómo se llama este? Dominga: helecho Mario: y ¿Cuántas pones de aquí a acá? (ver video) Dominga: ¿les parece fácil? Angélica: no, difícil. Pero abajo ya va quedando bien tejidito Mario: ¿Le has enseñado a alguien a tejer? Dominga: más antes no, pues ahora ya se hace de memoria Mario: por ejemplo aquí van unas líneas,¿Cuántas van de rojo?

Medida largo del sayo

Medida que recoge

Medida de la guasca

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Dominga: tres pares, esta es a dos pares, poniendo más así mismo sale más ancho no! Mario: si pero ¿siempre se maneja de a pares la liniecita?, esto por ejemplo, ¿un par? Dominga: este es de a tres, a veces cuando es bien ancho me toca poner tres pares, pero como este me dijo que no haga muy ancho y este ponía 15 pares, esto. Mario: cuantos pares se van para un sayo grande? Dominga: pues depende de cómo lo quieran En lo referido al ancho del sayo no se pudo encontrar unas medidas estándar en cuanto a pares de cada medida, el cálculo por estimación de la tejedora se impone ante el gusto de la persona que lo manda hacer. Es evidente la manera como la unidad de medida cuarta aparece nuevamente en esta actividad, como una unidad que, a diferencia de la guasca (propia del tejido), se libera de los objetos a medir para ponerse al servicio de todos. 5.3.5. Instrumentos, Técnicas y Pensamiento Métrico El instrumento para tejer como ya se mostró es el guango, con una estructura propia. Así mismo el instrumento de medida es la guasca y la técnica de obtención de las medidas ya fueron explicadas en apartados anteriores. El proceso de elaboración del sayo comienza por montar el tejido a partir de los pares, teniendo en cuenta que se teje primero la mitad del sayo uniéndolo luego a al otra mitad tejida.

Para alistar el tejido se necesitan de dos ovillos de lana:

Helecho

Proceso inicio del tejido por pares

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Mario: ¿Y cómo haces para saber el ancho?,¿Siempre es el mismo? Dominga: eso va más o menos, para ser hacia dentro va más también Dominga: en esto grande pues dos ovillos entran para tejer Mario: y ¿Tu mamá te enseño a tejer?,¿aprendiste a tejer de tu mamá? Dominga: si, mi mamá sabía tejer, pero esas horas no hacíamos esto, que es esta manta se hacia de lana de oveja, ahora ya se compra, ahora ya no se conoce lana de oveja Dominga: pues antes como sólo había lana de oveja eso para hacer eso como que compraban tinta y se teñía, pues ahora pues como ya se compra así nomás

Son varios los motivos lineales que se pueden sacar intercalando pares y colores. Los colores de la cultura son rojo, blanco, azul y negro, colores de los sayos. Una vez montado el tejido por pares lineales se coloca el helecho para distinguirlos, pues este permite el movimiento de pares hacia delante y hacia atrás para la conformación del tejido.

Mario: ¿cómo se llama este? Dominga: helecho

Helecho

3 par

2 par

3 par

3 par

2 par

6par

Distintas formas de disposición de pares.

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Mario: y ¿Cuántas pones de aquí a acá? (ver video) Dominga: ¿les parece fácil? Angélica: no, difícil. Pero abajo ya va quedando bien tejidito Mario: ¿Le has enseñado a alguien a tejer? Dominga: más antes no, pues ahora ya se hace de memoria Mario: por ejemplo aquí van unas líneas,¿Cuántas van de rojo? Dominga: tres pares, esta es a dos pares, poniendo más así mismo sale más ancho no! Mario: si pero ¿siempre se maneja de a pares la liniecita?, esto por ejemplo, ¿un par? Dominga: este es de a tres, a veces cuando es bien ancho me toca poner tres pares, pero como este me dijo que no haga muy ancho y este ponía 15 pares, esto. Mario: cuantos pares se van para un sayo grande? Dominga: pues depende de cómo lo quieran ………………………………. Mario: ¿y esto siempre va así o cuando vas a tejer haces lazaditas?,¿siempre que vas a tejer haces estas lazaditas? (refiriéndome al helecho) Dominga: esta se despega de atrás XXX Mario: unas estas cogidas de atrás, ¿con esa? Dominga: aja, midiendo así mismo, este e de ancho más de una cuarta nomás, según pues no!, una cuarta o un poquito más, como unos kilos más de ancho y otros no tan gordo, eso se hace puro blanco, ese es de los hombres

Alistado el tejido por pares, se desenvuelve el hilo de la madeja y se traspasa al hilador. Al ver éste movimiento de traspaso, se puede observar una sincronía en la cantidad de lazadas a lado y lado (tres lazadas) para conservar la forma del hilador.

Las medidas del largo del sayo no sugieren asignación numérica. Es decir, no existe una cuenta numérica asociada a las guascas, solo se puede realizar comparaciones y estimaciones cuando se exige sayos cortos y largos. Además entre las guascas existe a una serie de ordenación (grande – mediano - pequeño). Por el contrario sí existe asignación numérica en lo referido al ancho del sayo al existir los pares como unidad-patrón de medida.

3 lazadas

3 lazadas

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5.4. MEDICION DEL TIEMPO Y ASTRONOMIA. Los registros de las entrevistas muestran que existieron conocimientos astronómicos que fueron desapareciendo con la muerte de los mayores. Las prácticas en la agricultura son las que han permitido mantener algunos de esos conocimientos vivos. Ellos, los mayores, protegen esos pocos saberes, conocimientos y significados que vivieron los Inganos en el pasado. Los datos recogidos en las entrevistas en torno a la medición del tiempo pueden clasificarse en dos categorías:

• Orientación Espacio - Temporal Diaria. Ciclo de luz. • Orientación Espacio-Temporal Por Lunas. Ciclo lunar • Calendario anual de la naturaleza. Ciclo natural.

5.4.1. ORIENTACIÓN TEMPORAL DIARIA. 5.4.1.1 Procesos Y Conceptos La orientación en el tiempo diario era regida por el astro sol y la relación de este con el cuerpo humano. Esta se manifestaba físicamente por la sombra proyectada en el suelo, y que por cálculo aproximado y proporcional al cuerpo de cada individuo se podía establecer qué lapso del día se encontraba. Mario: y digamos uno ahorita mide el tiempo con el reloj para saber que hora es, ¿Los de antes cómo hacían sin reloj? Taita Isidoro: los de antes como nadies tienen el reloj, nadies, nadies, entonces yo decía: ¿pero cómo voy a saber las horas?, me decían “es fácil” me dijo, hay que pararse de frente por donde camina el sol, por donde nace el sol, de frente, hay que mirar la sombra y la sombra en esta parte y cuando ya va acercando a la costilla ya van siendo las 10, las 11, las 12. Hay que pararse bien derechito, entonces la sombra es ___________, a la sombra esta pisando uno mismo, dice entonces son las 12 Antiguamente para orientarse temporalmente, los Inganos dividieron el día en varios lapsos de tiempo. Esto se manifiesta en que para cada lapso de tiempo se tiene una asignación lingüística específica. 5.4.1.2. La Idea De Magnitud E Idea De Medida Ellos denominan puncha al día, y tuta a la noche. Manejan lapsos de tiempo dividiendo al día total (dia-noche) en dos (puncha: dia, luz y tuta: noche,

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oscuridad); luego en cuartos (pakari: amanecer, Chaugpuncha: medio día; Conachise: por la tarde y Chaugpetuta: media noche); después una división en octavos un poco mas precisa, donde aparecen las mitades de los cuartos en que fue divido el día. Angélica: ¿Cómo hago para saber los instantes del día? Simón: son los instantes del día y de la misma manera que como el sol paso al medio día, entonces toca dar la vuelta, mejor dicho dar un giro y entonces se mira la sombra a donde vaya y se aproxima, ya más lejos pues ya van a ser las cinco y van a ser las seis. lo otro es, frente al uso horario se utiliza chaugpuncha que es medio día entonces se dice pacaripuncha que eso es hablando de las cinco a las seis de la mañana, dice ya chaugpepuncha eso quiere decir entre las seis y las doce: es las nueve, van a ser las nueve, o bueno; si vamos a hablar de la tarde pues eso si utilizamos chaugpechize, quiere decir entre las doce y las seis de la tarde que son las tres de la tarde, entonces es como si dividiéramos el día en cuatro partes,, entonces las seis es la mañanita, las nueve de la mañana, es media mañana, las doce viene a ser ya medio día, las tres de la tarde viene a ser la mitad de la tarde y entonces hablamos de eso y las seis ya tarde. Ya cuando decimos tuta, tuta ya es de noche, siete de la noche en adelante y utilizamos también lo que es la mitad de la noche entonces decimos chaugpetuta, eso quiere decir la mitad de la noche y a veces hay mayores que dicen chaugpeparray hablando de las tres de la mañana y se divide la noche nuevamente en cuatro partes, entonces como que utilizan como que cuartos, a ver , desde las seis a las doce pues son seis horas y la mitad o sea son las nueve de la noche, ya se dice chaugpetuta. ………………….. Mario: ¿cómo se dice en inga amanecer? Taita Isidoro: amane… ¿para decir amanecer?, pacarres…pacarrengama, pacarrengama y cuando ya es amanecido pacarresca Mario: y después cómo, ¿el otro lapso de tiempo cómo se dice?, después de que es pacarresca Taita Isidoro: decimos, ya miramos al cielo, decimos allipuncha, entonces ese día ya ve a ser verano, tamiapucha, entonces ese va a hacer lluvia, llovizna, tamiapuncha Mario: y digamos ¿medio día cómo se dice? Taita Isidoro: chaugpuncha Mario: y antes de medio día es…digamos como entre amanecer y el medio día, ó sea digamos el alpso de por la mañana ¿es agpuncha?, por la mañana Leo: entre el amanecer y el medio día, como decir media mañana o algo así Taita Isidoro: ah si, ingap imasa meka, inga chaugpuncha, ah, came…came chungape, cosagpe, chungape, iscompe, chungasogpe, chungasogpe es 11, si, cerca a las 12 Leo: y ¿entre el medio día y el atardecer? Taita Isidoro: chunga sog, ese es a la una, chunga iscai, las dos de la tarde, chunga quimsa, las tres de la tarde, chumga chusco, las cuatro de la tarde, chumga pizca, las cinco de la tarde y así para abajo, así, las seis chunga sogta Mario: y en inga, atardecer por ejemplo, pacarri______ y ¿Por la tarde cómo se dice?, ó sea para atardecer cuando ya esta bajando el sol Taita Isidoro: miachice, chumgasogta mka, miachice, totaiasca, ese ya no, anocheció Mario: y medio noche es… Taita Isidoro: chaugpetota Mario: ¿tota es noche? Taita Isidoro: ajam, es mitad de la noche. Puede haber tantos lenguajes no!, yo no me acuerdo cuántos, ¿En cada departamento será que habemos indígenas,o…?

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M: Y en inga cómo se dice amanecer cuando canta el gallo. T: Pacarico M: Eso es cuando esta amaneciendo? T: Claro M: Y cuando por la mañana después de que sale el sol cómo se dice? T: Media tococo M: Ah ya! ¿Y al medio día? T: Chaugpuncha M: Y por la tarde T: Coñachice M: ¿Y por la noche? T: Tutallado M: ¿Y media noche? T: Chaugpetota En algunas de las entrevistas se presenta una manifestación de la temporalidad occidental en lengua propia de la cultura, por ejemplo cuando se habla de chunga Sug como las once de la mañana. Los siguientes diagramas muestran el proceso de división del día, que en un análisis conjunto con gente de la comunidad fueron aclarados y explicados.

Puncha: día

Puncha: día

Tuta: noche

Pacariko Amanecer

Chaugpuncha Medio día

Conachise Tarde

Chaugpetuta Media noche

Chaugpetotoko: media mañana

Chaugpuncha: medio día

Chaugpechise: Media tarde Conachise: Tarde Tuta aido: por la noche

Chaugpetuta: Media noche

Chaugpeparray: Media madrugada

Pacariko: Amanecer

Proceso de división del día

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5.4.1.2 Instrumentos, Técnicas Y Pensamiento Métrico El instrumento utilizado para saber que lapso del día es, es el propio cuerpo. Una forma utilizada para saber el lapso del día, es la sombra, que como ya anotamos es la relación sol – cuerpo humano. Mario: y digamos uno ahorita mide el tiempo con el reloj para saber que hora es, ¿Los de antes cómo hacían sin reloj? Taita Isidoro: los de antes como nadies tienen el reloj, nadies, nadies, entonces yo decía: ¿pero cómo voy a saber las horas?, me decían “es fácil” me dijo, hay que pararse de frente por donde camina el sol, por donde nace el sol, de frente, hay que mirar la sombra y la sombra en esta parte y cuando ya va acercando a la costilla ya van siendo las 10, las 11, las 12. Hay que pararse bien derechito, entonces la sombra es ___________, a la sombra esta pisando uno mismo, dice entonces son las 12 ………………………….. Angélica: hablamos de que en la escuela, de cómo se mide, digamos el espacio, es decir; las longitudes, las áreas, cierto ¿El tiempo cómo lo manejan, ¿Cómo hacen para enseñar a los niños? Simón: con relación al tiempo, bueno, en eso si hemos trabajado un poquito más, porque los mayores siempre no han dicho cuidemos la comunidad, pues en eso si hemos trabajado la sombra, con relación al sol, eso entonces siempre nos ponemos en contraposición a la dirección del sol, como gira el sol, eso se dice más o menos, en este momento nos pondríamos con relación al tamaño de nosotros y hay que hacer así (ver video), a medida que la sombra esta más lejana quiere decir que es más temprano y a medida que la sombra se aproxima a los pies de nosotros quiere decir que se va aproximando al medio día.

Chaugpuncha

Chaugpetuta

Pacaripuncha Conachise Pacariko ó

Media totoko ó chaugpetotoko

Chaugpechise

Tuta aido Chaugpeparray

División del día

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Cuando apenas llega y uno alcanza que la sombra es solamente la vista superior, entonces es medio día, son las doce entonces son aproximaciones.

Para esto en la mañana se coloca uno de espalda al sol, es decir mirando al occidente y con los brazos extendidos y observa la proyección de la sombra en el suelo. La distancia entre los pies y el final de la sombra proyectada me indica que lapso de la mañana es., entre mas lejos de los pies mas temprano, y entre mas cerca de los pies se acerca al medio día.

Existen aproximaciones (que en sus explicaciones algunos por aproximación habló de pasos) correspondientes a cada instante antes del medio día. Las proyecciones estaban dadas por: Entre uno y cero pasos: Chaugpuncha: ya es medio día. Primer semicírculo. Entre uno y tres pasos: chaugpetotoko, media mañana. Segundo semicírculo. Mayor a tres pasos: Pacariko, mañana. Ultimo semicírculo.

Oriente

Occidente 1 2 3

Disposición para saber el lapso de la mañana

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Análogamente para los lapsos de la tarde. De espalda al sol, mirando al oriente, y se guarda la misma relación. Entre uno y cero pasos: Chaugpuncha: ya es medio día. Primer semicírculo. Entre uno y tres pasos: Chaugpechise, media tarde. Segundo semicírculo. Mayor a tres pasos: Conachise, la tarde. Ultimo semicírculo. Los procedimientos de orientación diaria son utilizados por los maestros en la escuela con dos objetivos: uno es el mantener las prácticas ancestrales y otro de tipo cognitivo en la enseñanza del tiempo Otras formas de ubicación temporal: las proyecciones de luz. Esta la utilizaban las mamitas cuando permanecían en sus casas. Aunque las casas que visitamos no eran propias de su cultura, sino de construcciones dadas por la colonización, eran echas en madera acomodadas paralelamente para conformar las paredes y con techo de tejas de Zinc. Antiguamente, según relatos las casas eran echas de paja y con algunos árboles, que en tiempos de lluvia no resistían mucho. Todas las casas están construidas cerradamente, es decir, eran pocas y muy pequeñas las ventanas que tenia cada una. Las señoras que trabajaban en tejidos con estera ó con lana, se orientaban en el tiempo por las proyecciones de luz solar que entraba a la casa por las ventanas o por las puertas. Basta observar en la respuesta a la pregunta realizada por el entrevistador:

Occidente

Oriente 1 2 3

Disposición para saber el lapso de la tarde

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Mario: pero, entonces ¿en las casa no había ventana chiquita por donde entraba el sol y así saber que horas eran? Albina: …o si , en las siete (refiriéndose a las siete) que no está bien cerca, ni siquiera aquí dentro, cuando esta aclarando el sol se ve, eso se sabía, desde acá pasa (señalando una parte del suelo), y ya lo sabíamos y ahorita ya va a ser por ahí la una. A las dos ya se va entrando…de carrera para acá (señala el suelo hacia el lado opuesto a lo señalado antes), y acá se ve y arriba ya va entrar el sol. Hay unas paredes que, eso ahí parece estar viendo, ya esta haciendo tarde, se va entrando más y más,…… … eso se sabía desde antes…

No todas las casas tienen las mismas dimensiones o posiciones, ni las ventanas mencionadas por alguna dirección en particular; pero si existe una distribución general para ellas. Estas están conformadas por dos cuartos: uno la cocina de tamaño menor en relación al otro cuarto; y el otro, una sala grande. Existen variaciones sobre lo que hay en uno y en otro. En algunas viviendas la cama queda en el mismo cuarto que la cocina, y el otro cuarto una sala de recibimiento. En otros la cama queda en el mismo cuarto de recibimiento. Una generalidad es que la cría de curies, que es común entre los Inganos, se realiza en las cocinas.

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5.4.2. ORIENTACIÓN ESPACIO-TEMPORAL POR LUNAS. 5.4.2.1 Procesos Y Conceptos La orientación espacio-temporal por las lunas tiene aplicabilidad a la agricultura, pues solo se podían “coger las matas” en determinadas lunas, dependiendo del efecto que se quería dar en la planta. En cuanto a las fases de la luna, solo se distinguen claramente dos lunas: Atun killa (luna llena, luna grande) y wawa killa (primera manifestación de la luna luego de la luna nueva, luna niña, tierna) las demás fases se nombran pero son causa de la occidentalización. Se nombran de la siguiente forma:

Luna llena ATUN KILLA

Cuarto menguante

Luna nueva

Cuarto creciente

Comienzo de menguante

Fin de creciente

Fin de menguante

Comienzo de creciente. UCHULLA KILLA

De las fases de la luna solo se reconocen dos como importantes puntos de referencia para la siembra.

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La influencia de la luna era tan determinante en la vida agraria de los Inganos que estaba por encima de las necesidades, en el relato de una entrevista se manifiesta: Simón: Dependiendo de la luna sabemos cuando hay que ver las matas, cuando hay que trabajar, cuando hay que sembrar, cuando hay que cosechar, sobre todo en la cosecha, así tenga una gran necesidad y vengan los compradores, nosotros no vendemos, no hacemos tocar las matas porque se dice “hoy es luna mala y no muevo las matas”. En lo de las frutas silvestres, pues por ejemplo, las granadillas, melón, kapulitos, se avisa ” por favor que no se suba nadie porque hoy es mala luna, si hoy se sube y agarra luego ya no carga nada”.

5.4.2.2 Génesis De La Idea De Magnitud E Idea De Medida Para la siembra, se realizaba en determinadas lunas, y una vez en el proceso de crecimiento de la planta dependiendo de lo que se quisiera provocar en ésta, se tocaba, recortaba, regaba, cosechaba, etc.

Luna llena: Atun killa

Menguante: menguante killa

Luna nueva: Cuco shibujo

Creciente: Uchulla killa

Luna de referencia

Uchulla killa

Atun killa

Menguante killa

Ciclo lunar

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Mario: y los de la siembra? Lucía: y eso de sembrar el maíz, era el mes escogido, eran dos meses: sembrar en abril y mayo, entonces daban buen maicito, cultivándolo en otros meses no. Mario: Y ¿tiene algo que ver lo de la luna? Mario: es que nos contaban que hacían unas cuentas con la luna, que eran 12 lunas al año, por ahí nos comentaron Lucía: no sé, ahí si no se, eso dice la gante antigua, yo no le sé decir porque yo no soy de antigua, somos gentes nuevas y por eso solo lo que he visto, mas antes ¿cómo sería? Esposa taita A: bueno, aquí la siembra, siempre se siembra y según la tierra uno siembra, siempre en la gente campesina y mucha gente indígena yo he oído decir eso, luna tierna le crea mucho gusano al choclo o al maíz, dos de luna muy tierna la luna y tres de luna siembra la papa, maíz, repollo, cualquier mata, todo esas cosas el quinto de luna para las frutas, pa´que enflore y para las flores, el quinto, el sexto, el que ya no sembró el tres entonces siembra el tres de luna y el siete de luna, de ahí para arriba hay mucha creciente y empieza a hacerse la rama muy grande y el fruto es más poco. Mucha gente utiliza (como el cambio de luna son dos lunas) la creciente, por ejemplo ahorita estamos en luna media, luna llena, pasa recién la luna grande, entonces empezamos a menguar, entonces ahorita todo el que siembra la papa por ejemplo, siembra en este tiempo, pa sembrar papas, coles, matas bajitas pa’que no se hagan grandes y en la creciente se utiliza más el tres de luna, seis de luna, siete de luna y más no porque eso se hace mucha rama. ……………………………………………….. Leo: una pregunta: ¿Las lunas también tienen que ver con la forma de cultivar? Taita Isidoro: luna, luna nueva y pues luna tierna, entonces pa’que perder los jornales ahí, ni a trabajar ni a sembrar. Toda mata era por luna nomás, paso de luna tierna iban contando, ahora si seis de luna de ahí a ____________________, hasta vísperas de menguante. Paso menguante, ya va para abajo la luna, merma dicen, merma, entonces ¼ y ahí es cuando dicen, después decían: ya va cerca la luna tierna, faltando dos días ni pa que, faltando dos días pa luna tierna, ahí ya no siembran, trabajar sí, pero sembrar no. Taita Isidoro: ah si!, por eso es menguante pues menguante no hay que sembrar Leo: ¿por qué no se siembra en menguante? Taita Isidoro: porque se envicia la mata, sea papa o fríjol o maíz Leo: que pena ¿qué es envicia? Taita Isidoro: pues se hace un matojo grande pero no carga la papa Leo: ah, no crece Taita Isidoro: si, no cargan las papitas…y si es (y si es_______la misma cosa, la rama nomás) puro raiza y si siembran maíz, vara nomás, puro capacho, tusa. Si, no carga el granito. …………………………… Mario: como hace para saber que fecha es buena para sembrar? Juan: iamrraucha tococo es menguante….. mala luna… es cuando se pudre, la luna , en tres de luna, cinco de luna es mala luna, quinto de luna es ver ese maizal asi y se van a desyerbar y se va amarilleando, amarilleando y no se da nada, probando no mas. Mario: cuando es buena luna? Juan: ese es el primero y segundo de luna, tres es malo y cuatro todavía, cinco es aun peor, como echar veneno a las matas, eso acaso la gente blanca no tienen que tocar, sea papa, se amarillean, como potrero amarilleando se pierde. Mario: como se sabe que es primera luna? ¿Qué es primera luna?

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Juan: ese el primero y segundo es buena luna. Mario: pero como la identifica? Juan: wawa quilla ya puro. Mario: ya puro? Juan: por eso, ya esta arriba. Ahora ya se puede trabajar maizales, deshoje, pero donde primero y segundo, eso son de la luna pa<ra las matas. La luna que¡¡¡¡ eso no. Tenemos experiencia por las matas. Ya ve el cuanto se va en esas horas en menguante hay que cortarse a ver que luna es buena o fecha buena también tenemos fechas escogidas ……………………..

A partir de las dos lunas, Atun killa y wawa (Uchulla) killa, se realizaban unas cuentas en donde según el numero de luna se podía sembrar, regar, podar, etc. Estas cuentas es un sistema de regularidades abstraídas del ciclo natural lunar donde que asemeja la gestación, el nacimiento, desarrollo, plenitud y maduración, fuerza, y poco a poco, una manera de decaimiento de la vida hasta la muerte. Estos ciclos son propios de toda especie viviente medidas por fractales de mayor o menor grado. Es por esto que el hombre, con poder armonizador o desarmonizador, dependiendo de su tacto con el mundo natural logra embellecerlo o degradarlo. Y que para embellecerlo y aprovecharlo sin daño alguno, manteniendo un equilibrio, debe abstraer y conocer del lenguaje natural inmersos en los ciclos. La idea de magnitud en las lunaciones, nace como una forma de controlar el ciclo regular lunar, en poder identificar el estado del ciclo para estar armonizado y obtener beneficios de las plantas, buenas cosechas y buenos frutos. En la idea de medida, la medida de esta magnitud, se toma como instrumento a la madre luna y se identifica su estado por una estimación perceptual al mirar la cantidad de región lunar iluminada, es así que se llega a orientarse dentro del ciclo. Mas adelante en el apartado instrumentos, técnicas y pensamiento métrico, se muestra un registro sobre la identificación del estado lunar. Junto con la información registrada en el diario de campo elaboramos el siguiente cuadro explicativo del proceso lunar, en cada estado del ciclo. Denominamos primer proceso lunar del ciclo a los estados desde luna nueva a luna llena, y segundo proceso lunar del ciclo a los estados de luna llena a luna nueva.

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Cuco shibujo: final y comienzo. Gestación de la luna. No es buena para la siembra.

Primero de luna. Sug Uchulla killa: nacimiento de la luna. No es buena luna para las matas. Salen débiles, con gusano.

Dos de luna. Iskay Uchulla killa: luna nacida. No es buena para sembrar. tiene la mismas propiedades que la anterior.

Tres de luna. Kimsa Uchulla killa: luna nacida. Luna que comienza a crecer con fuerza. Buena luna. Se puede sembrar de todo.

Cuatro de luna. Chusku wawa killa: luna que crece. Apta para siembra.

Cinco de luna. Pichca wawa killa: luna buena para sembrar trigo y cereales.

Seis de luna. Sugta wawa killa: luna buena para sembrar flores. Fuertes, duraderas, buen color

Siete de luna. Kanchis wawa killa: sino se siembra tres de luna, se siembra en ésta luna. Tubérculos, maíz, frutas.

Ocho de luna. Pusag Wawa killa: luna tocar o sembrar en ésta luna produce muchas ramas. Apto para ver árboles o matas frondosas. Apaga frutos y tubérculos.

Nueve de luna. Iskun wawa killa: luna de crecimiento.

Diez de luna. Chunga wawa killa: luna de crecimiento.

Once de luna. Chunga sug wawa killa: luna maduración.

Doce de luna. Chunga Iskay wawa killa: luna de maduración.

Trece de luna. Chunga Kimsa wawa killa:. Luna de maduración.

Catorce de luna. Chunga chusku killa: luna previa a luna llena. Luna de maduración.

Primer proceso lunar.

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Atun killa: luna adulta. Final y comienzo de un ciclo. (Medio ciclo). Buena luna para el cuido de tubérculos y todo lo que s e da bajo tierra. Coge fuerza.

Primero de luna. Sug menguante killa: luna aun buena. Merma. Buena para sembrar papas, coles, y matas bajitas, para que no echen rama.

Dos de luna. Iskay menguante killa: luna para mermar cultivos tubérculos, coles matas pequeñas. Aun buena

Tres de luna. Kimsa menguante killa. Comienzo de lunas malas.

Cuatro de luna. Chusku menguante killa: luna mala para todas matas.

Cinco de luna. Pichca menguante killa: luna que envenena cultivos.

Seis de luna. Sugta menguante killa: luna mala

Siete de luna. Kanchis menguante killa: luna mala

Ocho de luna. Pusag menguante killa: luna mala

Nueve de luna. Iskun menguante killa: luna mala

Diez de luna. Chunga menguante killa: luna mala

Once de luna. Chunga sug menguante killa: luna mala

Doce de luna. Chunga Iskay menguante killa: luna mala

Trece de luna. Chunga Kimsa menguante killa: luna mala

Catorce de luna. Chunga chusku menguante killa: luna previa a luna nueva. Luna de final de ciclo.

Segundo proceso lunar.

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5.4.2.3 Constitución De La Unidad Angélica: y antes cuando no había lo del reloj, para digamos contar las horas del día, ¿Cómo hacían para llevar la cuenta de los días que iban pasando?,¿de los meses? Mario: ó sea ¿Cuántos días había cuando no había calendario? Angélica:¿Cómo hacían la cuenta de los días? Taita Isidoro: pues eso es en los dedos ya, pa hacer uno la cuenta…sog quilla, iscai quilla, Kimsa quilla, chusco quilla, pizca quilla, chunga quilla, pusag chunga quilla, patsa quilla Mario: ¿Patsa es cien? Taita Isidoro: si, ¿Cien meses cuánto es? Mario: ¿Cuántos días había por ejemplo de luna tierna a otra luna tierna Taita Isidoro: 30 días Mario: 30 días hay de una luna hasta que vuelve otra vez el ciclo Taita Isidoro: aja, 30 días, si es menguante también, da la vuelta de menguante a menguante es de 30 días, un mes, un mes y cambia

Cada unidad manifestada en cada cuenta lunar es un estado del ciclo, que adquiere sus propiedades, causas y consecuencias. Se hereda además un orden, es decir, ésta da cuenta del estado entre otros estados del ciclo, y su manifestación, se visibiliza en la región iluminada de la luna. Y es a esta región a la que por percepción se le asigna un número. Por lo tanto la asignación numérica, cuando uno habla de números lunares en ciclo lunar, no se refiere únicamente a la cantidad de lunas que han pasado, sino a un estado dentro del proceso. La asignación numérica es una forma de controlar el ciclo lunar y darle duración. La unidad de medida depende fuertemente de la luna, es a ella a la que hay que medir cuando no se lleva un registro juicioso y ordenado, tal vez la ausencia de estos registros han llevado a calcular con exceso de dos días cada ciclo lunar. 5.4.1.2 Instrumentos, Técnicas Y Pensamiento Métrico Importantes conocimientos, instrumentos y técnicas utilizaban nuestros ancestros que demostraban en el estudio de la naturaleza capacidades y procesos de pensamiento fuertes, estos saberes se fueron perdiendo con la colonización, la acogida de técnicas de la cultura mayoritaria y con la muerte uno a uno de cada mayor. Angélica: y yo quería saber, por ejemplo si a través del mes no miraban la posición de las estrellas o si se fijaban para algo en eso, digamos en los astros en…por la noche las estrellas como estuvieran, ¿Según la posición para qué utilizaban eso? Taita Isidoro: ah ya, ya, ya, ujum, es lo mismo que contar los días no, entonces nosotros ya dejamos ese curiosidad porque los de antepasado, los mayores, eso tenían un lienzo, un

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pedazo de lienzo pa’no más de mirar, entonces tapaban en la vista y miraban a la luna, entonces ahí iban contando sug, iskai, kimsa, pishka, sugta, entonces pues ahí dizque ven hilos, como tejiditos no, eso pues ya tiene tejido hasta un mes y cambia el mes y empieza otra vez, entonces ellos cuando empieza, sea menguante, ellos pues por aquí (señala cabeza a altura de los ojos) amarraban y después miraban a la luna y cada rayita pues ese es cuenta de los días. No ve, ahora eso también se perdió, ahora no, no hacen caso porque ya salió el almanaque, mas antes no necesitaban almanaques Mario: era con la telita y la telita era digamos… ¿Se alcanzaba a ver la transparencia? Taita Isidoro: aja, todo y ahí iban contando, eso es como pelitos pues, entonces eso iban contando Angélica: y ¿Para qué más utilizaban las cosas que observaban en el cielo? Taita Isidoro: pues ese es para no perder la siembra, los que han olvidado la cuenta pues hacen de otra manera, más bien tenían el lienzo, amarraban y miraban a la luna, entonces decían “tienen tantos días”. Mario: ¿Y ahorita ya no hay nadie, nadie, ni siquiera un mayor que maneje eso? Taita Isidoro: por ahí eso ya no manejan no ve que salió el almanaque Mario: el Bristol Taita Isidoro: aja, con eso manejan, no ve pa’sacar la cuenta, no ve, ahora salió el aparato, eso en los graneros tas, tas, tas y ya sacaron la cuenta y mas antes no, mas antes era la memoria nomás pa’sacar las cuentas, ahora es a puro aparato sacan la cuenta.

Esta forma de orientación del estado lunar verifica las aseveraciones referidas a la medida y asignación numérica dependientes de la cantidad de región lunar iluminada. Además aparece como consecuencia de la necesidad de modelar, tangibilizar y comprender el comportamiento del universo, dando significación a estos procesos de medición.

Técnica del lienzo para saber el día (estado) lunar

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5.4.3 CICLO DE LA NATURALEZA Es importante resaltar la labor de los maestros ingas de la comunidad al querer rescatar muchas de las tradiciones, cosmovisión y saberes de la comunidad. Una muestra de ello es el trabajo de reconstrucción del calendario anual (ver anexo 4). Este trabajo muestra una relación estrecha de las lunaciones con los fenómenos atmosféricos, los ciclos agrícolas, las festividades y la filosofía que rige y une a la comunidad Ingana

“Mama killa orienta nuestras actividades en relación con la tierra y territorio, olvidándonos de ellos nos llevará al desequilibrio” Nuestra madre luna al igual que para los quechuas del Perú y de Bolivia “señala el principio y el fin del ciclo agrícola”. En nuestro pueblo inga de igual manera señala la época y el tiempo oportuno para realizar las actividades agrícolas como son: el rastrojo, la siembra, las deshierbas el deshoje y la cosecha. Actividades que se ritualizan en el carnaval en señal de gratitud.

Fundamentos del Currículo Inga

La información recolectada apunta a la duración de una lunación a 30 días aproximadamente (quince días de proceso lunar a ciclo proceso lunar). Además este se asocia al calendario anual de los meses y se hace corresponder la cuenta lunar de 30 días a un mes (enero, febrero, etc.,). Las cuentas comienzan con Sug killa, denominada también Sug wata (comienzo de año debido al año ya cumplido) continuando hasta chunga Iskay killa (doce ciclos lunares). Cumpligarresca wata (ya cumplió un año) es un ciclo cumplido por la naturaleza, que además por estar nosotros dentro de ella, es heredado, por eso cuando uno dice los años dice la cantidad de ciclos naturales que ha tenido. Isidoro: sug killa, tarspui killa, wawa killa, pues calendario. Mario: habían números de luna, iskay killa …..? Isidoro: sug killa. Mario: sug killa? Isidoro: aja Mario: cuando era sugkilla? Después del kalusturinda? Isidoro: sugkilla kaiares es cuando, por ejemplo, calendario decimos por ejemplo, primero,…sugwata. Mario: sugwata es? Isidoro: el principio del año, isakaikilla es dos meses y asi va hasta acabar. Mario: Cuando se acaba? Cuantas lunas hay? Isidoro: chunga iskay killa

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Mario: chunga iskay? Isidoro: doce meses Esposa: cada uno va de acuerdo, enero,febrero marzo, en febrero es carnaval que decimos. Mario: pero ese carnaval es el final de un año y es el comienzo de otro en los ingas. Isidoro: aja, también el comienzo y el final, se dice kalusturinda killa hasta tukurringa killakama, tukurringa killa kama es hasta enero allí empieza. Esposa: ese es el calendario Mario: ese es el que manejaba los de antigua? Isidoro: sugkilla, iskay killa, chuskukilla hasta que se termine. Cuando ya estaba chunga iskay killa ya es un año, a ese año le decimos wata: cumpligarresca wata. Esposa: doce meses ya se cumplió. Isidoro: cuando se mueren en una familia entonces se dice ña toco chunga wata, de los que han muerto, chunga wata, tonces, 10 años hace que murió. Ña tococo chunga wata. Mario: chunga wata. Isidoro: nuka yukane chunga pusag wata. Eso es yo tengo 80 años. Mario: pusag, ocho, chunga wata. Isidoro: chunga pusag wata. Luego mis compañeros, andan con un viejo. Gerardo: no parece que tuviera esos años, se ve mas joven. Isidoro: ah si? Mario: nuka yukane iskay chunga kimsa wata. Isidoro: veintitrés. Las cuentas lunares de 30 días, tienen un calculo por exceso en dos días, ya que una lunación, un ciclo lunar, tiene una duración mas precisa de 28 días, y la correspondencia al calendario anual es de 13 ciclos lunares.

28 días x 13 meses lunares = 364 días. Con un margen de error de 1 día.

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7 x 4 = 28 días de una lunación completa. Mes lunar.

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La información recolectada permite hacer un análisis sobre la existencia de varios ciclos naturales en la vida cultural de los Inganos. Del día como totalidad (día - noche) se manifiesta un “ciclo de luz” movido por el astro sol y un “ciclo lunar” por la madre killa. En el ciclo de luz se manifiesta los procesos de gestación – nacimiento – crecimiento – fuerza – descenso – muerte, este ultimo como una lucha – nueva gestación. Es así que en esta onda manifestada en las subdivisiones que se le hace al día (puncha), cada proceso corresponde a un lapso de tiempo dado, como el regar la siembra y las plantas entre Pacariko y Chaugpuncha (proceso nacimiento – crecimiento - fuerza). Del segundo ciclo, el lunar, se puede vislumbrar que está dado en un fractal de mayor dimensión. Se manifiestan los mismos procesos (gestación – nacimiento – crecimiento – fuerza – descenso – muerte) con lapsos de tiempo mayores y características de cada proceso como las mencionadas en el apartado anterior. El tercer ciclo, que relaciona los dos anteriores, en un grado de dimensionalidad mayor, se refiere a la naturaleza terrenal, a la madre tierra en su conjunto con todos los seres vivientes. Muestra las relaciones del hombre con el hombre, y del hombre con los demás seres de la naturaleza, como parte del ciclo, medidor y mediador de la armonía. Se manifiestan los mismos procesos, estos van encaminados a los fenómenos atmosféricos, los periodos de siembra y cosecha, el ciclo de los animales y las plantas como conjunto y la vida sociocultural del hombre. Es importante como a partir de los ciclos y sus regularidades se manifiestan:

• Una orientación espacial: como son los puntos cardinales, salida de los dos astros por el oriente y ocultamiento por el occidente.

• La ordenación de los ciclos dada por la observación constante y continua que lleva al desciframiento de la duración de cada ciclo, de nombrarlo para identificarlo y codificar esas regularidades.

• Clasificación de los ciclos por estado del proceso del ciclo. Por ejemplo, el día como totalidad tiene dos estados (puncha y tuta), y cada uno de estos dos tienen otros estados del proceso del ciclo. (ver división del día).

• La significación de unidad de medida y numero esta dada por los estados. En el primer ciclo, hay fraccionamientos del estado del proceso como chugpepuncha ó chaugpetuta, no hay número. En el ciclo lunar, la unidad de medida esta dada por la percepción visual, es

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la región iluminada y la estimación que se le da a dicha región para llegar a darle un valor numérico, sabiendo de antemano que debe entenderse esa asignación a un estado del proceso del ciclo, por ejemplo, Kimsa wawa killa (tres de luna niña) es el estado del proceso cíclico, estado lunar de fuerza de crecimiento y gestación apta para sembrar. (ver proceso lunar).

• En el ciclo natural la unidad de medida esta dada por la duración lunar (30 días). El número es un estado natural del hombre dentro del ciclo, por ejemplo, Sug (uno) es musu killa estado lunar de nacimiento, gestación de la organización socio-cultural Ingana por la elección de un nuevo gobernante líder, quien dirigirá a los miembros de la comunidad durante la duración del ciclo (12 lunas).

4.6. El Trabajo De La Madera. Naturaleza y círculo

“Fue entonces cuando vi el péndulo. La esfera móvil en el extremo de un largo hilo sujeto de la bóveda del coro, describía sus amplias oscilaciones con isócrona

majestad.

Sabía, aunque cualquiera hubiese podido percibirlo en la magia de aquella plácida respiración, que el periodo obedecía a la relación entre la raíz cuadrada de la

longitud del hilo y ese número que, irracional para las mentes sublunares, por divina razón vincula necesariamente la circunferencia con el diámetro de todos los círculos posibles, por lo que el compás de ese vagar de una esfera entre uno y otro polo era

el efecto de una arcana conjura de las más incontemporales de las medidas, la unidad del punto de suspensión, la dualidad de una dimensión abstracta, la

naturaleza ternaria de π, el tetrágono secreto de la raíz, la perfección del circulo.”

(Humberto Eco, El péndulo de Foucault)

Uno de los contactos del hombre con las diversas formas que se considerara más importante, es el que surge a partir de su relación con la naturaleza y la observación de la misma, en donde a menudo aparecen replicas casi perfectas o aproximadas a la forma circular. Es quizá por esto que no parece extraña la sorpresa de Escher por la falta de creación de la rueda dentro de la naturaleza si se piensa en su estrecha relación con el círculo, relación que supieron aprovechar quienes para suplir sus necesidades de transporte de cargas de gran peso y comenzar sus tantos recorridos de un lugar a otro inventaron la rueda. Ahora bien, ¿Qué es esta regular, sencilla e importante figura?

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Al hablar de circunferencia la tomaremos como una relación entre varios puntos F, G, H, I…, determinada únicamente por la igual distancia desde cada uno de estos punto hasta otro llamado centro Q, característica que comparten y que permite asegurar que forman un lugar geométrico. En este lugar geométrico podemos construir segmentos que pasen por el centro tocando la circunferencia en dos puntos que serán los extremos del segmento correspondiente al cual llamaremos diámetro. Una de las construcciones de Euclides durante su axiomatización de la geometría, hace referencia a una técnica para encontrar el centro y el diámetro de ésta:

1. Trace una cuerda cualquiera AB 2. Determine su punto medio M 3. Trace una perpendicular por M a la cuerda y prolónguela hasta que

corte la circunferencia en P y Q 4. Halle el punto medio de PQ. Este punto medio es el centro

buscado.9

9 Tomado de Circulando por el circulo .Reyes Manuel Fernández

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4.6.1 Procesos Y Conceptos Como se ha mencionado anteriormente, el trabajo con la madera es una de las actividades más importantes realizada por algunos miembros de la comunidad Ingana, ésta se divide en el tallado de máscaras, bateas y cucharas, la creación de instrumentos musicales como la flauta y el labrado de bancos (en donde haremos énfasis). Los banquitos se caracterizan por su forma circular y dos patas similares a trapecios que lo sostienen. Al indagar sobre la elaboración de éstos encontramos varios tamaños. Que al triangular la información nos hace pensar en tres tamaños, grande (Atun), mediano (Chaugpe) y pequeño (Uchulla).

Angélica: y ¿Cómo es lo del los banquitos? Taita Isidoro: ah, el banquito Mario: dos cuartas, ó sea del centro hay una cuarta y de ahí a allá hay otra y hacia el otro lado tiene lo mismo Taita Isidoro: la misma Angélica: ah, entonces se marca el centro y del centro para acá se mide una cuarta, ó sea que el radio de esta cosa acá para todo el borde va a ser lo mismo Taita Isidoro: aquí sabemos medir antes, después doblamos la guasquita y aquí ponemos un clavitos y con el clavo mismo vamos rayando hacia el rededor Mario: ¿La guasquita es una pitica? Que va del centro a… Taita Isidoro: sí, y rayamos y por ahí va el hacha de labrar Angélica: y acá esto si…¿para hacer la otra parte? Taita Isidoro: esto también, esto ya lo mismo, eso es en cuadro, unos en cuadro quedan, este es cuarta y geme, sino cuarta y, vea, cinco dedos Mario: y ¿para este?, ¿la base? Taita Isidoro: cuarta y geme Mario: y aquí este, y este ladito que queda mas angostico, ¿ese es geme? Taita Isidoro: este ya estaba quebrado, cinco dedos Angélica: ¿Hay una técnica para que no se parta la banquita cuando uno se siente? Taita Isidoro: eso pues, queriendo más grande o desde chiquitico también se puede labrar, este es pequeño, más grande también Angélica: y para uno más grande, entonces digamos es una…dos cuartas…

Uchulla banquito Chaugpe banquito Atun banquito

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Taita Isidoro: hasta tres cuartas saben medir Mario: y éste, el labrado, el hondito, ¿Ese es natural o le trabaja? Taita Isidoro: ¿Qué? Angélica: este… (Señalando la parte honda del banquito) Taita Isidoro: no, ese es vaciado con hacha ya, con hacha y después pa’pulir es un aparato, curva decimos, entonces con ese pues, alrededor ya va saliendo el banquito

4.6.2. Génesis de la idea de magnitud e idea de medida Para la elaboración de esta artesanía los Inganos utilizan, desde luego, estrategias propias de medición, que se describen a continuación:

1. Sobre la guasca se miden una cuarta para Uchulla banquito, dos cuartas para Chaugpe banquito, o tres cuartas para Atun banquito. A partir de una de estas tres medidas se efectúa un corte.

2. Este trozo de guasca obtenido se dobla en dos partes iguales (cada

mitad de ½, 1 y 1 ½ cuartas, según el tamaño) para así colocar en la mitad un clavo que garantiza un punto fijo y otro clavo más en uno de los extremos para “rayar hacia el rededor” y por esta marca labrar utilizando el hacha.

Una cuarta

Uchulla

Cuarta más cinco dedos

Chugpe

Atun

Dos cuartas

Guasca doblada Clavo que dibuja

Clavo que asegura el centro

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3. Para elaborar la base se utilizan las unidades cuarta, cinco dedos y geme, así:

4.6.3 Instrumentos, técnicas y pensamiento métrico En esta técnica para la elaboración de bancos se pueden evidenciar procedimientos que posibilitan realizan algunas interpretaciones. Al momento de la creación de un instrumento reproductor de círculos (pasos 1-2), al que nosotros llamaríamos compás primitivo, se establece de manera inmediata una relación entre el diámetro y el radio (r) del circulo a construir, mediante la acción “doblar” que pone al descubierto la equivalencia d = 2r incluso antes de la construcción del círculo. El interés de mantener un centro fijo y un extremo, deja ver la necesidad de conservar una medida para rayar la circunferencia de tal manera que todos los puntos rayados por el clavo tengan, en lo posible que esta estimación lo permita, igual distancia al clavo que determina el centro. Al momento de labrar la base, se busca ubicar los soportes simétricamente con relación al círculo terminado, de tal manera que entre ellas, a cada lado, se encuentren distancias iguales. Esto conduce a una interpretación en relación con un fraccionamiento del círculo en dos partes delimitadas por un segmento que pasa por el centro de la circunferencia (previamente marcado por el clavo), y que asegura la igualdad de estas. El segmento trazado es utilizado, en cada extremo para establecer lo que debe ser la mitad de cada pata a labrar.

Una cuarta

Una cuarta

Cinco dedos

Una cuarta

Cuarta +cinco dedos

Cinco dedos

Una cuarta + cinco dedos

Dos cuartas

Cuarta +geme

Geme

Chaugpe banquito Atun banquito Uchulla banquito

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4.6.4 Constitución de la unidad Como ha sido mencionado anteriormente, para la construcción de los banquitos se utilizan las unidades cuarta, geme y cinco dedos, sin embargo estas unidades no están únicamente ligadas a esta actividad ya que también son útiles, por ejemplo, al momento de la elaboración de tejidos. El tamaño o la forma de los objetos considerados pasan a un segundo plano, obteniéndose estas unidades estándar cómodas y asequibles para medir diferentes figuras u objetos, evidenciándose la idea de unidad propiamente dicha.

“La naturaleza, como nuestra mejor maestra nos enseña en la redondez de algunas de sus formas y movimientos, uno de los paradigmas universales más evidentes; basta observar la forma de los planetas, de los frutos, de la tierra, de las piedras o de los huevos. El hombre, desde sus orígenes, ha representado a la unidad, al todo, con un círculo, o con un cuadrado abarcando un círculo. Y el centro de todo círculo es el punto de referencia donde el núcleo se concentra, de donde parte, se irradia y se difunde todo, y hacia el cual todo se encamina, como origen y meta, como centro de atracción. Sin un centro, sin un apoyo, el círculo mismo carecería de importancia. El punto siempre ha sido considerado como principio, origen o elemento creador. Es así, punto y círculo dejan plasmados uno de los arquetipos más relevantes que se conocen”

(Nepoualtzitzin, Romero M.Maria)

2 ½ dedos

2 ½ dedos

La misma distancia circular

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CAPÍTULO 6

APORTES DE LAS ETNOMATEMÁTICAS DE LA MEDIDA EN LOS INGAS A LA CONSTRUCCION DEL CONCEPTO DE MEDIDA. En el siguiente capitulo realizamos algunas apreciaciones sobre cómo las prácticas, procesos, saberes, significaciones, visiones de vida, técnicas e instrumentos encontrados en la comunidad Ingana pueden aportar al mejoramiento de los procesos de enseñanza de la medida.

Realizamos un estudio documental sobre los textos relacionados con la medida10 en sus aspectos matemáticos, pedagógicos, didácticos y Etnomatemáticos como sistema de referencia para poder manifestar dichos aportes.

Manifestamos de antemano que todos los instrumentos, técnicas y saberes sobre medición encontrados en la cultura Inga son potenciales a utilizar en el contexto escolar. 6.1. CONSTRUCCIÓN DEL CONCEPTO DE MEDIDA. En el complejo y difícil acto de medir se requiere un análisis profundo de sus procesos, paralelo al carácter didáctico y matemático. Es importante la visión de Chamorro (1994, 49) donde se manifiesta una progresión acompañada de una serie de recomendaciones, sin cuyos seguimientos la autora cree que pueda funcionar:

• Ir de lo concreto a lo abstracto, de lo fácil a lo difícil, según las fases: manipulativa, verbal, grafica y simbólica.

• Cuidar los procesos de reversibilidad. • Seguir una enseñanza no lineal. • Permitir a alumno que descubra y aprenda de sus errores. • Fomentar las discusiones en grupo o colectivas, permitiendo el

aprendizaje en dialogo y la confrontación de ideas. • Utilizar la vida como fuente de situaciones problemáticas. • Usar y fomentar el sentido común.

Además enfatiza sobre el especial tratamiento de los procesos de clasificación y seriación como parte fundamental en la construcción de conceptos matemáticos no solo concerniente a la medida: 10 Algunos manifestados en el marco conceptual (Capitulo 2).

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Muchos conceptos importantes en matemáticas se construyen sobre los procesos de clasificación y seriación entre los más importantes cabe destacar los de magnitud y numero natural…

Es entonces que se hace necesario analizar como se construye una magnitud y a que modelo matemático corresponde. Chamorro retoma los procesos en el siguiente esquema (tomado de Ermel, 1978,31):

Y aun desde la cimentación matemática, el esquema para la construcción del concepto esta dado de la siguiente manera (Chamorro, 1994):

Conjunto de objetos M

Relación de equivalencia en M: I

Conjunto cociente M/I=A Cantidad de magnitud

Ley de comp. Interna en A: * Orden total en A: ≤

(A,*, ≤) es un semugrupo ordenado

Producto de una cantidad de magnitud por un número.

(A,*, .) Es un semumodulo sobre un conjunto de reales positivos

(A,*, .) es un semimodulo monogeneo

Magnitud escalar absoluta

Definición de unidad Definición de medida

Una magnitud escalar absoluta es isomorfa a un subconjunto de números reales positivo que forman un semianillo.

Lenguaje matemático

Partición E: P E Orden en P

Actividades (objetos y procedimientos)

Objetos a comparar

Comparación de objetos dos a

dos. Constitución de

clase de equivalencias

Clases de objetos de la misma magnitud.

Ordenación de las clases.

(Deducida de la comparación de

objetos)

Clases ordenadas

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Optamos por el siguiente esquema, atendiendo a los procesos que subsisten de fondo en cada uno de los pasos en la construcción del concepto de medida. Este análisis tendrá en cuenta la información recolectada según los propósitos de este capitulo aclarando que solo se realizara hasta producto de una cantidad de magnitud por un número. unidad de medida y asignación numérica (correspondiente a los números naturales) y que se tomara medidas del espacio únicamente referido a áreas (extensión de terrenos) y la medida del tiempo:

Conjunto de objetos M

Relación de equivalencia en M: I

Conjunto cociente M/I = A

Ley de comp. Interna en A: * Orden total en A: ≤

(A,*, ≤) es un semugrupo ordenado

Producto de una cantidad de magnitud por un número.

(A,*, .) Es un semumodulo sobre un conjunto de reales positivos

(A,*, .) es un semimodulo monogeneo

Magnitud escalar absoluta

Definición de unidad Definición de medida

Una magnitud escalar absoluta es isomorfa a un subconjunto de números reales positivo que forman un semianillo.

Reconocimientos de atributos en objetos y situaciones.

Conservación e Invarianza en la comparación de objetos dos a dos. Constitución de clase de

equivalencia. Propiedades

Cantidad de magnitud. Ordenación por comparación (estimación) de las clases.

Propiedades de la composición. Propiedades de la relación de orden.

Unidad de medida y Asignación numérica.

Orden numérico.

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6.2.1. Reconocimiento de atributos medibles y no medibles: génesis de la percepción de Magnitud

El reconocimiento de los atributos que poseen los objetos es una primera aproximación hacia la construcción del concepto de medida, de tal manera que es importante desde un primer momento presentar gran variedad de objetos, procesos naturales o situaciones reales que nos permitan encontrar propiedades muy diferentes y así establecer el mayor número de relaciones y atributos medibles y no medibles con posibilidad de conformar colecciones. Esta orientación tiene como finalidad complementar los materiales convencionales utilizados en el aula.

“Como consecuencia, limitar los materiales a los bloques lógicos o variantes de lo mismos, costumbre bastante extendida en la escuela, reduce los atributos observables y desecha propiedades de los objetos que se encuentran a menudo en múltiples situaciones reales” (Chamorro, 1994, 110)

Es importante, además, que en la génesis de ese reconocimiento se le de su natural origen y significación, que de un solo objeto, procesos o situaciones se puedan reconocer varios atributos, que no sean solo los típicos. Durante el desarrollo de este trabajo se ha observado como la construcción de la idea de magnitud manifiesta diferentes orígenes según la actividad que se practique. En primera instancia hay un reconocimiento de “un atributo medible” que en cada contexto se manifiesta de forma diferente, pero se tiende a tener en cuenta otras propiedades del objeto que tienen significación cultural y que son dejadas de lado por las matemáticas y la educación de la cultura mayoritaria.

6.2.1.1. Medidas De Espacio En el caso de la medición de terrenos se percibe lo medible como consecuencia de una necesidad social de cuantificar el terreno trabajado, es decir, el atributo “extensión” del terreno tiene origen y significación por la acción social de trabajo. Sin embargo otros atributos de carácter más cualitativo tienen una gran importancia al momento de medir este trabajo, por ejemplo; arreglar un terreno virgen requiere mayor exigencia física a la de un terreno ya antes sembrado. O aun en la compra-venta de terrenos para la siembra, existen atributos que juegan un papel importante a la hora de elegir cual comprar o vender, como el lugar ó la fertilidad del terreno.

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6.2.1.2. Medida del tiempo

Por otro lado, en las construcciones hacia el concepto medida del tiempo, su objeto como atributo es intangible. La percepción de la magnitud nace de las regularidades cosmológicas (de los astros) que influyen en los ciclos naturales y el hombre. La observación e interpretación del lenguaje de la naturaleza dentro de estas relaciones, conlleva a la necesidad de tener un sistema de referencia que permita comprender y ejercer control para obtener beneficios hombre-naturaleza. Este sistema de referencia utiliza los animales, las plantas y los astros, pues es en estos donde se tangibiliza el tiempo. Es en este sentido que proponemos elementos naturales donde se pueden ver una gran cantidad de atributos: en las plantas (tamaño, hojas, flores, frutos, tallos, etc.), los animales (tamaño, género, pelo, plumas, etc.,), los astros (luminosidad, tamaño, entre otras) 6.2.2. Conservación e Invarianza: hacia la constitución de las clases de equivalencia Una vez identificado los atributos, se procede a hacer una colección de todos los objetos bajo ese atributo (conjunto M). La conservación y la Invarianza toman fuerza debido a la rigurosidad en la conformación de dicho conjunto, porque el atributo en el objeto debe conservarse, ser invariante ante los cambios como forma, color, posición, entre otros. La presentación de la gran variedad de objetos y situaciones para encontrar en ellos diversidad de atributos, toma un significado relevante en la conformación de las colecciones, puesto que se puede distinguir con más facilidad cuales son los objetos que hacen parte del conjunto bajo el atributo escogido. Además se puede clarificar que un mismo objeto puede pertenecer a diferentes colecciones dependiendo de la característica que puede tener. La relación de equivalencia busca en un primer momento la “igualdad” de objetos distintos o iguales, bajo el atributo. En la colección se pasa de ser un mero atributo de un solo objeto a una relación entre objetos. Es decir la relación de equivalencia en cada propiedad que la configura manifiesta: La propiedad reflexiva: guarda el atributo que tiene el objeto con él mismo. La propiedad simétrica: relaciona dos objetos distintos bajo el mismo atributo. Hace iguales a los diferentes. La propiedad transitiva: relaciona dos objetos distintos bajo el mismo atributo a partir de un termino medio que tiene el mismo atributo. Hace iguales a diferentes.

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6.2.2.1. Medida De Espacio En los contextos vivenciados en la comunidad, se puede afirmar que un mismo objeto puede tener varios atributos, por ejemplo, en la tierra ellos reconocen atributos como extensión, fertilidad, arborizado, fangoso y que a partir de ellos se trabaja mas o se trabaja menos en cuestión de rendimiento. En la conformación de las colecciones de objetos bajo un atributo, parece que los elementos de ese conjunto solo fueran de un contexto específico. Por ejemplo un terreno, una estera, un sayo, una tela, una cobija, entre otros objetos no se pueden relacionar bajo el mismo atributo “extensión” porque son de naturaleza diferente, no se comparte las mismas necesidades, unidades, instrumentos ó técnicas de medición. La conservación e Invarianza hacia la conformación de las colecciones solo se dan en objetos de la misma naturaleza, terrenos con terrenos, tejidos con tejidos. Análogamente sucede con la relación de equivalencia en cuanto a que no se pueden relacionar un terreno con una tela que tenga la misma extensión, porque a pesar que posean el mismo atributo, los objetos no se libran de los otros atributos, una tela no puede ser fértil. Luego la significación de conservación e Invarianza esta dada porque: a pesar que un objeto tenga tal atributo, no deja de tener los demás. Otra forma de conservación e Invarianza la podemos ver en el momento que hacen la medición de sus terrenos dividiéndolos en uachos, tienen la idea de que aunque el uacho tenga otra forma o esté fragmentado (varias partes que forman un uacho), permanece constante la magnitud a medir, en cuanto a la sección de terreno. 6.2.2.2. Medida del tiempo Para el tiempo, se observan los atributos de los seres vivientes y los astros en cuanto a estado del ciclo que tiene cada uno, es decir, se trata de tangibilizar el tiempo por medio de los astros, las plantas, los animales y los fenómenos atmosféricos. Por tanto la colección de objetos que se configura esta dada por la relación duración del ciclo. La conservación y la Invarianza pueden verse, por ejemplo, en las plantas donde los cambios de tamaño, color, tipos de frutos o flores son irrelevantes a la hora de mirar el estado del ciclo en que se encuentran. En la relación de equivalencia en el mismo ejemplo, la propiedad reflexiva es inmediatamente comprensible. La propiedad simétrica relaciona dos plantas que tengan el mismo ciclo. El maíz y el fríjol, así no se siembran el mismo día, tienen la misma duración y estados del ciclo (conservación e Invarianza)

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aunque tengan otros atributos distintos como forma del tallo, hojas, flores distintas. En la propiedad transitiva se puede proceder de forma análoga. Esta experiencia puede colaborar en la conformación del concepto de medida y mucho más en la medida del tiempo en su génesis, en el reconocimiento de atributos de los objetos, ya que es en este donde se presentan más dificultades. Se puede ver en Prada (1990,54).

En este caso el conjunto de donde se parte es intangible y no se puede manipular, es un conjunto de sucesos o acontecimientos que suceden en cierto tiempo.

En chamorro (1996,88) igualmente se expresa esa dificultad: La dificultad de esta magnitud radica en que no puede ser observada directamente como propiedad de los objetos, sino que hemos de servirnos de los instrumentos de medida convencionales o no, para apreciarla.

Pero como podemos observar las plantas y los animales incluso el hombre y otros objetos pueden tener atributos donde el tiempo tiene influencia y son en estos donde se manifiesta, luego en objetos (seres) como los mencionados anteriormente si se pueden ver atributos. 6.2.3. Clasificación hacia el conjunto cociente y Ordenación como un primer acercamiento a la relación de orden. Es en esta parte del proceso donde se puede iniciar la comprensión y diferenciación de atributos medibles de los no medibles, además de establecer diferencias entre clasificación y ordenación, a partir de los atributos que necesitan de una cuantificación de los que no la necesitan para ser ordenados a partir del criterio seleccionado. Ya que como menciona Chamorro (1994,52):

Para facilitar el concepto de magnitud hay que realizar muchas actividades de clasificación y seriación. Destacamos entre las primeras aquellas clasificaciones que permitan una ordenación posterior de las clases, lo que no es siempre posible (píensese en la relación estar hecho del mismo material). Interesa este tipo de clasificaciones porque son las que aparecen en el proceso de construcción de la magnitud y lógicamente en el número natural.

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También en Maza (1994, 24) se enuncian características respecto a esto:

Mientras que la clasificación tiene como aspecto fundamental la agrupación en subconjuntos en base a uno o más criterios (atributos), en la ordenación de los elementos de un concepto o conjunto inicial se toma en consideración la variación de uno o más criterios. Cada elemento no pierde su individualidad sino que entre en relación con los otros al mismo nivel de concreción. Se ordenan elementos concretos o se ordenan conjuntos pero todo aquello que se ordena se encuentra al mismo nivel, excluyéndose, por tanto, las relaciones de pertenencia a un conjunto, que eran propias de las clasificaciones.

Matemáticamente el proceso para llegar a una clasificación y ordenación donde se tenga como criterio medición del atributo, comienza luego de establecerse la relación de equivalencia en las colecciones, donde es posible hacer una clasificación entre los objetos (clases de equivalencia) que viene inducida por una participación de dicho conjunto (conjunto M/I). Se puede tomar un objeto m y se forma el conjunto de todos los objetos relacionados con el, es decir, todos los objetos equivalentes a m respecto a esa propiedad estudiada (clases de equivalencia). Se puede hacer esto con todos los objetos y obtener una colección de conjuntos (conjunto cociente) donde sus elementos serán conjuntos de objetos con la misma propiedad a estudiar (masa, longitud, tiempo), llamándole a cada elemento (clase de equivalencia) cantidad de magnitud, es decir; este conjunto de conjuntos es el que va a definir la magnitud que vendría siendo el conjunto formado por todas las cantidades de magnitud. En muchos casos se prioriza sobre la operatividad numérica para definir la relación de orden. Pero ¿esto es consecuente con el trato natural que se le ha dado a la medida? Nosotros encontramos en la experiencia vivenciada que en un principio todo es perceptivo y dado a la estimación, de tal manera, proponemos un primer acercamiento a la ordenación sin asignación numérica (ordenación de las clases), con intuición de la relación de orden por estimación del atributo y el surgimiento de esa asignación, operatividad numérica y ordenación con significación y necesidad ante situaciones problema. De todas formas es posible verificar las tres propiedades de la relación de orden dependiendo de lo restrictivo que sea el atributo. Según maza la definición más laxa (y más común) es la que defiende la existencia de tres propiedades fundamentales de esta relación de orden:

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1. Todo elemento del conjunto considerado es menor o igual a si mismo. 2. Si un elemento de a de conjunto es menor ó igual que otro elemento

b, también sucede lo contrario, entonces lo dos elementos son iguales (respecto a la variable considerada, naturalmente).

3. Si un elemento a del conjunto es menor o igual que otro elemento b y este a su vez, es menor o igual que otro elemento c del mismo conjunto, entonces a es menor o igual a c.

Además aclara que éstas son convenientes según la situación, sobre todo en cuestiones algebraicas, pero en la mayoría de veces es necesaria la relación de orden estricto, ya que vienen a caracterizar una ordenación en la que, entre aquellos elemento comparables, pueden determinar cual es mayor y cual menor. Evidentemente, son condiciones más fuertes que las anteriores, y por ello, de más valor en el terreno de la ordenación (1994, Pág.24).

• Un elemento cualquiera a no es menor que él mismo. • Si un elemento de a del conjunto es menor que otro elemento b, no

se cumple que b sea menor que a. • Si un elemento a del conjunto es menor que otro elemento b y este a

su vez, es menor que otro elemento c del mismo conjunto, entonces a es menor que c.

Mas adelante plantea la afinidad de la medida con las relaciones de orden lineales, al afirmar que la medida es un aspecto fundamental en la observación y descripción de la naturaleza. La ordenación lineal encuentra su contexto mas apropiado en la medida de la variación de la magnitud: masa, tiempo, longitud y todas las asociadas…

6.2.3.1. Medidas De Espacio

Siguiendo el hilo del discurso anterior sobre la medición de los terrenos en el trabajo comunitario, existen objetos distintos con propiedades similares que no se pueden relacionar por su naturaleza. Solo se relacionan objetos del mismo origen de significación. La clasificación de estos objetos se realiza a partir de la propiedad estudiada, “extensión de terreno trabajado”. Es posible tomar un objeto, el uacho, y formar el conjunto de los uachos equivalentes a él. Es permisible, además, tomar uachos de distinta extensión e ir conformando conjuntos de uachos equivalentes a ellos. El conjunto de todos los conjuntos de uachos es el que me defina la magnitud extensión, donde los elementos son cada conjunto de uachos y ellos vendrían a ser cantidad de magnitud. Hasta este momento se establece cantidad de

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magnitud (clases de equivalencia) listos a ser ordenados.

Por ser extensión de terreno trabajado, es decir área del terreno trabajado, se cumplen las propiedades de la relación de orden (reflexiva, antisimétrica y transitiva), relación que en un primer momento proponemos sea comparativa no numérica. Se muestra la existencia lingüística de esta relación en los clasificadores de orden: Uchulla (pequeño), Chaugpe (mediano), Atun (grande). Podríamos decir que es en estos tres clasificadores o comparadores que la comunidad domina independientemente del contexto, es decir existe algo mas grande que, algo igual que, algo mas pequeño que. Ponemos algunos ejemplos: En tejidos con respecto a las guascas y a los sayos: Español Tamaño del sayo Guasca requerida Capisayo grande Atun sayo Uchulla guasca Capisayo mediano Chaugpe sayo Chaugpe guasca Capisayo pequeño Uchulla sayo Atun guasca En los banquitos:

Uchulla banquito Chaugpe banquito Atun banquito

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En volumen: Ñañu (delgado), Chaugpewirra (término medio), Raku (grueso)

6.2.3.2. Medida del tiempo

Establecida la relación de equivalencia, la clasificación esta dada por la relación duración del ciclo. Se puede tomar un objeto y se forma el conjunto de todos los objetos que sean equivalentes a él en duración del ciclo. Se pueden hacer esto con todos los objetos y obtener un conjunto de conjuntos. Estos elementos (clases de equivalencia de objetos con determinada duración de ciclo) son lo que determinan la cantidad de magnitud (cantidad de tiempo); el conjunto de conjuntos (conjunto de partes), por su parte, establece y define la magnitud tiempo.

La clasificación de los objetos que tengan igual duración del ciclo es un trabajo adecuado para la trandisciplinariedad (en las ciencias sociales y las ciencias naturales), ya que en el determinar cuales son los objetos (plantas, animales, astros, sucesos) que tengan el mismo ciclo es un trabajo de observación y descripción de la naturaleza que necesita de un proceso largo, pero rico y significativo, que apoyado puede mejorar comprensión no solo del concepto de tiempo sino de otros temas matemáticos como la ordenación en la organización taxonómica o en la construcción de herbarios.

De las actividades de ordenamiento referidas al tiempo y propuestas en los textos analizados, se puede complementar con los saberes encontrados. En un principio en el estudio de ciclos cortos como en el de algunas plantas, hongos, animales (como la oruga y la mariposa), y en especial del ciclo de luz. Como tipo de medición del tiempo indirecta, es posible, además, poner en práctica los saberes encontrados para determinar los lapsos de los días antes de llegar a la asignación numérica.

La ordenación de eventos puede realizarse a partir de los estados del ciclo de luz (diario), comenzando con la construcción de los lapsos (estados) del ciclo de luz:

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Todo suceso tiene un ciclo de duración (sucesión): gestación, el nacimiento, desarrollo, plenitud y maduración, fuerza, y poco a poco, un descenso, una manera de decaimiento de la vida hasta la muerte. Luego para ordenar sucesos el criterio estaría dado por estados del ciclo o por duración del ciclo. Por ejemplo, para ordenar acciones diarias se asociarían con estados del ciclo diario, acorde a las subdivisiones. Estaría manejándose aquí la noción de simultaneidad de eventos, característica importante para el desarrollo del concepto de tiempo tal como cita Prada (1990) sobre Piaget: De los estudios de Piaget se deduce que no habrá adquirido la noción de tiempo hasta que no consiga las de sucesión, seriación y simultaneidad (…) Para ampliar la comprensión de la noción de tiempo se utilizarían ciclos de plantas, animales o astros, en mayor medida al anterior. Como los ciclos del maíz, fríjol, floración de ciertas plantas del jardín, cosecha de frutos, entre otros. En el estudio del ciclo lunar se encontraría un proceso dinámico de observación y descripción del astro, logrando ser asociado a las dinámicas reguladoras de animales y plantas y tratarlo paralelamente a los conocimientos de la cultura mayoritaria. Es posible asociarlo con los instrumentos, técnicas, saberes y significaciones encontrados en la cultura. Se verificarían las propiedades de la relación de orden, teniendo como criterio los estados del ciclo o a la duración del ciclo. Análogamente sucedería con la duración de ciclos más largos, con las manifestaciones anuales correspondientes a las estaciones, ciclos de animales domésticos y otras plantas, con la posibilidad de complementarlo con saberes de la cultura mayoritaria.

Pacariko Amanecer

Chaugpuncha Medio día

Conachise Tarde

Chaugpetuta Media noche

Puncha: día

Puncha:

Tuta: Tuta aido: por la noche

Chaugpuncha: medio día

Chaugpetuta: Media noche

Chaugpeparray: Media madrugada

Conachise: Tarde

Chaugpechise: Media tarde

Chaugpetotoko: media mañana

Pacariko: Amanecer

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6.2.4. Las Composiciones Entre Clases De Equivalencias En este conjunto de conjuntos (conjunto cociente) que define un atributo medible es posible definir una ley de composición interna (que, por semejanza con una ley definida en los conjuntos numéricos se le llama normalmente suma) y que responda a una realidad física. Se deben hacer énfasis en las propiedades de cerradura, asociativa, conmutativa, y la existencia del elemento neutro. Tal como afirma Chamorro (1996, 113) algunas magnitudes como longitud, masa y tiempo reciben el nombre de magnitudes extensivas, sumables o medibles, porque en dichas magnitudes tiene sentido sumar, puede definirse la suma de cantidad de magnitud, y además, la medida respeta esa suma, de tal forma que la medida de la suma de dos cantidades es la suma de sus medidas respectivas. Muchas veces se define la suma a partir de una asignación numérica, pero es posible definir tal suma sin recurrir al campo numérico como intermediario, sirviéndose de procedimientos y la utilización de los instrumentos apropiados. 6.2.4.1. Medidas De Espacio Definir la suma a partir de uachos, donde el área esta en función de su largo, facilitaría en un primer momento debido a su forma, en la composición grafica de áreas y en encontrar determinada clase de equivalencia. Es decir tomo dos uachos los compongo y busco en otra clase de equivalencia para verificar la cerradura.

Análogamente se puede comprobar las demás propiedades sin la necesidad de asignaciones numéricas.

= *

Uacho de otra clase de equivalencia

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6.2.4.2. Medidas De Tiempo Como mencionamos anteriormente, es esta la magnitud que tiene muy poco trato a comparación de las demás como longitud, área, volumen ó masa. Podemos encontrar sugerencias y posibles procesos sobre percepción de la magnitud a través de instrumentos indirectos y a partir de estos observar el paso del tiempo, la estimación, la construcción de escalas y la ordenación. Pero la composición no se manifiesta de manera clara y son pocos, casi nulos, en libros de didáctica de la medida los pronunciamientos entorno a ella. En Prada (1990, 55) se manifiesta la intangibilidad del conjunto de objetos, puesto que estos son sucesos o acontecimientos que se producen en cierto tiempo. El criterio de selección es el de ser simultáneos. La adición, bajo esta perspectiva, de dos sucesos, será otro suceso que ocurra simultáneamente a la ocurrencia de estos dos. De esta forma podemos ver que las comprensiones hacia la composición del tiempo no son fáciles, incluso para nosotros. En un sentido más filosófico, el tiempo es un verdadero problema, basta ver algunos filósofos y científicos, que durante toda su vida entregaron esfuerzos hacia esta noción. Entonces nos nace el interrogante ¿como componer el tiempo sin una asignación numérica? Una pregunta que desde nuestro discurso no es posible por el momento dar respuesta. Aunque podemos utilizar, como se ha venido haciendo, instrumentos indirectos como relojes digitales, de arena, cintas magnetofónicas, entre otros, y entregarnos a la medición del tiempo indirectamente. 6.2.5. Idea de medida, constitución de la unidad y asignación numérica:

producto de una cantidad de magnitud por un número. La asignación numérica muchas veces entorpece la comprensión del sentido de la suma de elementos bajo el atributo, puesto que se remite solo a proceder numéricamente dejándolo de lado. Es por esto importante tener en cuenta la composición de los atributos sin asignación numérica y llevar el proceso de éste con significación del número contextualmente. La construcción anteriormente descrita solo justifica afirmaciones como “este objeto tiene mas……..”, se ha establecido un orden y se puede decir si un objeto determinado tiene mas cantidad de magnitud que otro. Pero esto es un primer paso como afirma chamorro (1996,136). Lo característico de una magnitud medible es poder afirmar no solo si el objeto m tiene mas cantidad

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de magnitud que el objeto m`, sino cuanto más en relación a m. A continuación se define el producto de un número positivo por una cantidad de magnitud empezando por los números más sencillos, los números naturales. Para la asignación numérica se hace necesario primero establecer una unidad de medida. En un principio se hace corresponder a un elemento del conjunto de conjuntos. El proceso para la consecución de la unidad de medida supone superar la comparación perceptual, la comparación indirecta o directa entre objetos, entre otros, para concluir en la unidad propiamente dicha. 6.2.5.1. Medidas De Espacio La necesidad de medir los uachos trabajados, para devolverlos ó recibir retribución en comida, hace que nazca la unidad de medida. La unidad de medida “uacho” se considera como unidad objetal porque: • Está sujeta al objeto y al contexto (solo se utiliza para medir terrenos). • Depende de la forma, se mide (reparte) el terreno por extensiones

rectangulares, muy apropiadas para medir, hacer los surcos y sembrar.

La constitución del uacho como unidad de medida del trabajo realizado sobre terrenos, está determinada por la chacla, medida socialmente establecida específicamente para la medición de terrenos, puesto que se maneja otro orden de magnitud diferente al que puede dar la brazada, la cuarta, el geme. Como vimos el apartado anterior un uacho esta constituido por dos dimensiones: una variable y una fija. Lo que hace que se hable en las entrevistas de la medida del uacho en términos del largo:

Uacho

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Entonces, la medición de terrenos y de terreno trabajado es cuantificada a partir de la chacla, unidad patrón de extensión de terreno, utilizándose el tupo como instrumento. 6.2.5.2. Medidas De Tiempo. En esta magnitud, la unidad de medida varía dependiendo del ciclo. La asignación numérica aparece y toma significado, como lo mencionamos en el apartado anterior, como estado de un ciclo (gestación, el nacimiento, desarrollo, plenitud y maduración, fuerza, y poco a poco, un descenso, una manera de decaimiento de la vida hasta la muerte). En el ciclo de luz (diario), no aparece una unidad de medida ni una asignación numérica. En el ciclo lunar, la unidad de medida es percibida a través de la forma y posición de la luna. Se utiliza el lienzo especial para determinar su estado del proceso y asignarle un número (ver capitulo 5). Es decir, por cada línea del lienzo, se contabiliza un día lunar. Por tanto es posible asignar la medida indirecta a cuentas de líneas.

1 chacla uacho

n- chaclas

Uacho general

Uacho de una chacla

Uacho de dos chaclas

Uacho de tres chaclas

Uacho de cuatro chaclas

n = a

n = a * a

n = a * a * a

n = a * a * a * a

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Teniendo en cuenta la existencia de dos procesos (Atun killa y wawa killa) y que la cuenta lunar es finita (15 en cada proceso 30 de cada luna). En el ciclo natural (anual), existe una unidad de medida denominado killa (mes lunar). Esta al igual que la anterior es finita (chunga Iskay killa). Y en otro orden de magnitud estaría Wata (año cumplido) de tipo infinito (ver capitulo 5).

Línea de referencia

Iskay killa Kimsa killa

n = a * a n = a * a * a

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CAPÍTULO 7

REFLEXIONES Y CONCLUSIONES FINALES En este último apartado se realiza una recapitulación de los aspectos más relevantes de los procesos de investigación, dificultades y aportes metodológicos, problemáticas, alcances de los objetivos de la investigación y el pronunciamiento sobre líneas de investigación en el tema. Sobre la importancia de la formación investigativa Desde un comienzo se tenía claridad respecto a las temáticas que se abordarían en el trabajo y lo que queríamos lograr con él. Una primera dificultad apareció cuando tuvimos que enfrentarnos a ese ¿Cómo lo haríamos?, ¿Utilizando cuáles métodos?, ¿Bajo qué técnicas?, desde ese momento se identifico cierta debilidad en nuestra formación como investigadores, debilidad que con la ayuda de nuestro tutor y un pertinente análisis bibliográfico, fue superada momentáneamente (para lo que se requería) Esta situación, esta falencia, nos preocupo bastante, no porque una ley (30 de 1992) haga explicito que las universidades tienen como característica el compromiso con la investigación de alto nivel y su puesta en marcha, sino porque no es posible concebir una educación de calidad para todos, sin establecer relaciones enseñanza-investigación. Cuando se comienza a escudriñar en este campo se abren las posibilidades de innovación y desarrollo a nivel educativo y por consiguiente a nivel social. La preocupación es entonces hacia los cientos de maestros y egresados para quienes sus currículos no han sido tocados de manera concienzuda por esta componente, cientos de nuevas aportes en investigación sin concebir. Es de resaltar que: “los trabajos de grado son oportunidad clara para hacer investigación formativa, cuando el estudiante cuenta con un asesor exigente y riguroso que cumple en verdad la función de asesorar la investigación(como es este caso), esto es, cuando hace comentarios sesudos, cuando obliga a rehacer partes, a refinar la conceptualización y la argumentación, cuando orienta la comparación…pero no hay que esperar a que el estudiante este a punto de culminar sus estudios para inducirlo en esta práctica” (Restrepo Bernardo-CNA,Colombia)

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Estas reflexiones hicieron que nuestro trabajo tuviera un sentido cada vez más significativo y especial, direccionado (entre tantas cosas) a sentar un precedente fuerte en investigación, particularmente en etnomatemáticas, también a manera de ejemplo y fuente para que otros, que esperamos sean muchos se inclinen por esta línea de investigación, que ya ha sido conformada y adherida a los semilleros de la U.D. A propósito de los Objetivos propuestos Durante el seguimiento del trabajo se puede notar cómo en el transcurso del capítulo 5 se desarrolla el análisis correspondiente a las unidades de medida, instrumentos, formas de transmisión y técnicas de medición encontradas. Es evidente también, cómo en el capítulo 6, una de las pretensiones hace referencia a la caracterización y establecimiento de relaciones entre las etnomatemáticas ingas, la educación intercultural y la educación matemática. En la parte final del trabajo, aparece un anexo a manera de glosario, en donde se busca recopilar gran parte del lenguaje que ha estado presente en la medición del espacio y tiempo inga. Estos apartados mencionados están claramente relacionados y corresponden con los objetivos propuestos para las dos primeras fases, que gracias a la flexibilidad de la metodología fueron alcanzados con éxito. La metodología de investigación adoptada fue relevante a la hora de alcanzar estos objetivos, su flexibilidad nos permitió utilizar diferentes herramientas y técnicas para la recolección y análisis de la información. Anotaciones importantes sobre la metodología empleada En el trabajo de campo Uno de los aciertos más importantes ha sido la enriquecedora experiencia de compartir con la comunidad Ingana y así introducirnos en su mundo de conocimientos, tradiciones, lengua y costumbres, lo que hizo posible este trabajo. Sin embargo, en este acercamiento a la comunidad se presentaron grandes dificultades, por serios antecedentes de trabajos (antropológicos, etnográficos y lingüísticos) donde otros investigadores habían acudido a ellos en busca de información sobre su cultura sin tomar en serio su trabajo, con beneficio personal y académico, y sin ni siquiera, retribuirles en algo; incluso

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algunos llegando al punto de canjearles, o mejor, quitarles algunos de sus legados artesanales. En el momento en que hablamos en el cabildo, el taita gobernador mostró preocupación por este precedente, sobre todo en el aspecto educativo en cuanto a la falta de aportes a la educación ingana en relación con los trabajos realizados de los que no había evidencia alguna. Así, surgió un compromiso que nos permitió entrar en contacto con la comunidad y comenzar con nuestra investigación. Al iniciar con las entrevistas, nos enfrentamos con varias dificultades de distinta naturaleza. La principal nace de los antecedentes mencionados anteriormente, que predispuso a los integrantes de la comunidad, hacia el apoyo a la hora de concretar las entrevistas, y en el rechazo hacia algunos instrumentos de recolección de la información como las grabaciones de audio y los registros de video. Es por esto que surgieron algunas objeciones que en algunos casos fueron superadas, y en casos mas extremos se debió optar por entrevistas informales que no estaban presupuestadas en los instrumentos, pero que trataron de registrarse lo mas fiel posible en el diario de campo. Otra dificultad importante es de origen lingüístico, y a pesar que los mayores hablen castellano, en las entrevista se puede notar cómo era necesario hacer una misma pregunta de diversas formas hasta que fuera entendida o acudir a las personas inganas que nos estaban apoyando para explicarles a los entrevistados a qué se hacia referencia con la pregunta. En esta instancia fueron significativas las preguntas orientadoras diseñadas previamente, ya que muchas veces se tendía a desviar el objetivo de la entrevista a causa de la manera particular en que los entrevistados tornaban ésta en una conversación sobre anécdotas de su historia de vida. Para obtener un completo registro, fue pertinente asignar diferentes funciones dentro de este proceso de recolección de información, entre estas se encuentra la aplicación de la entrevista según género, ya que estando allá conseguimos comprobar nuestra hipótesis en relación con que las mujeres mostraban mayor comodidad hablando con una mujer sobre actividades propias de estas, análogamente sucedió con las practicas entre los hombres. A pesar de la figura que de cierta manera se nos asignó dentro de la comunidad, el apoyo de los docentes fue incondicional, así como el apoyo de algunas familias, y en general la comunidad poco a poco nos invitaba a hacer parte de sus actividades, practicas y festividades más visibles.

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En la selección y organización de la información. Existió dificultad en la trascripción de las entrevistas puesto que se encontraban en los registros de audio y video expresiones en lengua, producto de explicar cosas que el castellano no les permitía, al no encontrar términos para designar sus pensamientos. Además la falta de conectores (en, con, para, entre otros) persuadía la conformación de las oraciones y proposiciones. Una vez realizada la trascripción, la información proveniente de cada instrumento tendía a ubicarse en más de una categoría, donde la pertinencia hacia una previa estructuración del análisis permitió ubicarla en una o en varias de éstas. En el análisis de la información En un principio la mirada recae en la comprensión. Esta se encuentra mediada por las interpretaciones y significaciones vivenciadas en el trabajo de campo, y por otras que nacen y se complementan a partir de las informaciones de las trascripciones. Aspectos sobre los significados que ellos dan a las palabras en castellano (por ejemplo: los de antigua, refieren a un contexto temporal de tipo ancestral, donde las personas y saberes ni siquiera corresponden al rango de abuelos de los mayores entrevistados.) y otros encontrados en registros de video y en el diario de campo, de los gestos faciales y corporales (que los mayores expresaban en sus explicaciones al realizárseles preguntas más profundamente sobre los tema) tuvieron trato especial y cuidadoso. Éticamente, al hacer las aseveraciones sobre los resultados en la configuración del trabajo de investigación, nos llevó a una reflexión profunda sobre el manejo de la información puesto que esta en nuestras manos reconstruir, de cierta manera, significados de una cultura para ponerla al servicio de la educación. Es en este sentido, los esfuerzos se encaminaron a presentar el origen de la información como sustento de los resultados obtenidos de tal manera que se lograran articular coherentemente con las ideas finales y que los registros de representación fueran lo mas fiel posible con la información recolectada y con los significados que la comunidad les da. Claro esta, esta es solo una interpretación de una realidad contada y vivenciada.

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Algunas problemáticas De la comunidad Es inevitable compartir, aprender, convivir, reír, relacionarse con la comunidad sin darse cuenta de algunos de sus problemas, de hecho, en las entrevista y en “diálogos no académicos” con los mayores nos comentaban la preocupación que tienen sobre el futuro de su comunidad. A pesar de haber trascurrido más de 500 años de colonización, sigue el proceso de aculturación (no solo vivenciada por esta comunidad en particular), que poco a poco deteriora y degrada a la naturaleza humana y a la madre tierra. La aculturación comienza por el olvido o canje de ciertas prácticas culturales comunitarias por otras de la cultura dominante lideradas por el dinero, la televisión, la música, la tecnología, entre otros, que como peores colonizadores ponen precio y afectan los saberes y la cosmovisión indígena. Pero es en la perdida de lengua, donde los mayores ven la mayor preocupación. Los jóvenes están dejando de lado la lengua materna, ya no quieren hablar inga, en gran parte la educación recibida en ellos parece tener la culpa. Y hasta hace poco con grandes esfuerzos los maestros de Etnoeducación de la comunidad vienen trabajando con el concejo de los mayores sobre las necesidades educativas de la comunidad. En la investigación Desde la visión de investigadores, se nos hace necesario denunciar los actos de los anteriores investigadores y poner en cuestionamiento las prácticas etnográficas y la ética en el de trabajo de campo en las comunidades indígenas ante las insatisfacciones, las inconformidades, las agresiones y el despojo de sus elementos y legados materiales. Perspectivas dejadas por el trabajo Una de las consecuencias de realizar una investigación es abrir horizontes para aquellas personas interesadas en el tema, como antecedentes de trabajos afines o la continuación del trabajo de nuestro interés, entre otros. Planteamos a partir de nuestra problemática social la cual sustenta este trabajo: la creciente diversidad étnica y lingüística en el aula, como una

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posible ruta de trabajo transdisciplinar, un estudio similar al nuestro extendido a las demás culturas que configuran nuestra nación plurietnica y multicultural, de tal manera que, no solo en casos de desplazamiento forzado que hacen converger a las grandes capitales las diferentes etnias, se puedan tener referentes fuertes ante la presencia de diversidad en el aula. A partir de análisis de la información, lo expuesto en los últimos capítulos y el alcance de nuestra investigación, apreciamos la viabilidad de enriquecer nuestros conocimientos sobre procesos y técnicas de clasificación y seriación en la comunidad Inga. Además de profundizar, ante la falencia intelectual, didáctica y experimental, sobre la enseñanza aprendizaje de la medida del tiempo. Sobre la educación matemática Durante el proceso de investigación se hizo cada vez más evidente para nosotros el abismo existente entre muchas de las investigaciones en educación matemática y la realidad que se vivencia al interior de la clase, mientras que la primera, como diría Bishop, “se vuelve cada vez más sofisticada”, para muchos maestros la clase se torna a su vez más complicada. Esta dificultad para los maestros esta dada por la falta de un esfuerzo mayor, de un compromiso efectivo hacia una mejor comprensión de la clase y esto incluye además de conocer el contexto del que viene cada estudiante, conocer sus interés individuales, expectativas, formación previa, aspectos significativos para el, entre otros. De esta manera seguramente se podrá tener una mejor visión, lectura e interpretación de la clase que permitirán tener un mejor manejo de esta y enriquecer los procesos de enseñanza-aprendizaje.

“Un corolario de importancia para el profesor es que cada individuo de la clase crea su propia y única interpretación acerca del resto de participantes, de sus metas, de las interacciones entre el y los otros y de todos los eventos, tareas y contenidos matemáticos que ocurren en la clase. “objetos” tales como las habilidades de los estudiantes, el significado matemático, el conocimiento del profesor y las reglas de comportamiento no existen como hechos objetivos sino que son los productos individuales de la interpretación de cada persona.”(Bishop A, 2002)

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El aporte de la educación para la diversidad, esta precisamente direccionado a reconocer las diferencias de los activos de la clase, explorar y compartir sus experiencias sobre una temática determinada que pueden conectarse a esta, hacia la construcción de conocimiento. Sin embargo la educación actual desconoce la diversidad de culturas minoritarias, imponiéndose como una educación de la cultura mayoritaria (mal llamada occidental) para todos, pero bajo estas condiciones: ¿Será posible compartir y desarrollar significado matemático?

“Si al constructo de comunicación se le añade la dimensión del compartir, entonces el proceso de tres vías, de alumno a profesor, lo mismo que de profesor a alumno, y de alumno a alumno, nos muestra que tan ignorantes somos acerca de las analogías, metáforas, contextos, ejemplos, etc. de los estudiantes y acerca de los métodos que posibilitan que todo ello se exponga y se comparta.” (Bishop A, )

Llegamos a evidenciar la pertinencia de este trabajo para la educación matemática, en la medida que permite que se empiece a gestar una idea, una propuesta hacia la perdida de la ignorancia mencionada y el encuentro académico entre culturas, con lo que se espera hacer un aporte, no a la educación occidental, sino a la nuestra en pro de una educación para la diversidad.

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