1

Medidas de Risco

Análise de Risco (3)R.Vicente

2

Resumo

O que é uma medida de RiscoMedida de risco derivada da Teoria de UtilidadeAxiomatizaçõesMedidas CoerentesDownside RiskMedidas CondicionaisVaRCVaR

Bibliografia

3

Qual carteira é mais arriscada ?CARTEIRA A CARTEIRA B

RETORNO PROBABILIDADE PROBABILIDADE -10 0,01 0,01-7,5 0,04 0,04-5 0,05 0,25

-2,5 0,1 0,250 0,5 0,3

2,5 0,15 0,15 0,15 0,05

RET ESPERADO 0,225 -1.775DESVIO PADRAO 3,124 3,128

1% VaR -10 -105% VaR -7,5 -7,5

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

1 2 3 4 5 6 7

CARTEIRA ACARTEIRA B

4

O que é uma medida de risco ?

Relação de preferência: ( ) ( )BA

A B X X⇔ Φ > Φ

Relação de risco:

( ) ( )R BAA B R X R X⇔ >

(.)R = medida de risco

5

O que é uma medida de risco ?

Relação de preferência: ( ) ( )BA

A B X X⇔ Φ > Φ

Carteira Eficiente (Markowitz):

( ) var[ ], [ ]A A AX H X E X⎡ ⎤Φ = ⎢ ⎥⎣ ⎦

é o retorno da carteira A.AX

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Dois Tipos de Medidas de Risco

Tipo 1: Amplitude de desvios em relação a uma meta.

Tipo 2: Capital necessário ou Prêmio a ser cobrado.

7

Medidas de Risco Derivadas da Teoria de Utilidade

( )( )=− −R X E U X E XMedida de Risco Padrão (Jia e Dyer ’96):

Se :2( )U x ax bx= −

( ) ( )2( )

var

=− − − −

=

R X E a X E X b X E X

b X

8

Medidas de Risco Derivadas da Teoria de Utilidade

2( )U x ax bx= −

(7,0)

(6,0)

(5,0)

(4,0)

(3,0)

(2,0)

(1,0)

-

1,0

(2,0

)

(1,7

)

(1,4

)

(1,1

)

(0,8

)

(0,5

)

(0,2

)

0,1

0,4

0,7

1,0

1,3

1,6

1,9

2,2

2,5

2,8

9

Medidas de Risco Derivadas da Teoria de Utilidade

Se :2 3( )U x ax bx cx= − +

( ) ( ) ( )32

2 3

3

( )

var varλ

=− − − − + −

= −

R X E a X E X b X E X c X E X

b X c X

(20,0)

(15,0)

(10,0)

(5,0)

-

5,0

10,0

15,0

20,0

(2,0

)

(1,7

)

(1,4

)

(1,1

)

(0,8

)

(0,5

)

(0,2

)

0,1

0,4

0,7

1,0

1,3

1,6

1,9

2,2

2,5

2,8

10

Medidas de Risco Derivadas da Teoria de Utilidade

( )U x ax x= −

( )( )=− − − −

=

R X E a X E X X E X

DMA X

Se :

(7,0)(6,0)(5,0)(4,0)(3,0)(2,0)(1,0)

-1,02,03,04,0

(2,0

)

(1,7

)

(1,4

)

(1,1

)

(0,8

)

(0,5

)

(0,2

)

0,1

0,4

0,7

1,0

1,3

1,6

1,9

2,2

2,5

2,8

11

Axiomatizações

1 2 1 2

( 1) ( ) 0( 2) ( ) ( ) 0( 3) ( ) ( ) ( )( 4) ( ) ( )

≥= ≥+ ≤ ++ ≤ ∀

PS R XPS R cX cR X cPS R X X R X R XPS R X c R X c

Pedresen-Satchell ‘98 :

Risco como desvio.

Proporcional ao tamanho.

Diversificável.

Risk-free não altera a medida.

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Axiomatizações

1 2 1 2

0 1( 2) ( 3) ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( )≤ ≤

+ − ≤ + −c

PS e PS R cX c X cR X c R X

A medida de Risco é convexa :

13

Axiomatizações

1 2 1 2

( 4) ( ) ( )( 3) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0

( 1) ( ) 0 ( ) 0

+ ≤ ∀+ ≤ +

+ ≤ ⇔ + ≤ ⇒≤

≥ ⇒ =

PS R X c R X cPS R X X R X R X

R X c R X R X R c R XR cPS R c R c

De (PS4), (PS 3) e (PS 1) :

14

Axiomatizações: Medidas Coerentes

1 2 1 2( 1) ( ) ( ) ( )( 2) ( ) ( ) 0( 3) ( ) ( )( 4) ( ) ( )

+ ≤ += ≥+ = − ∀

≤ ⇒ ≤

ADEH R X X R X R XADEH R cX cR X cADEH R X c R X c cADEH X Y R Y R X

Artzner-Delbaen-Eber-Heath ‘99 :

Redução de Risco por Alocação.

Proporcional ao tamanho.

Diversificável.

+ arriscado = maior perda

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Axiomatizações: Medidas Coerentes

( 3) ( ) ( )( ) ( ( )) 0

+ = −= ⇒ + =ADEH R X c R X c

c R X R X R X

Artzner-Delbaen-Eber-Heath ‘99 :

Tipo 2: Redução de Risco por alocação de capital.

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Medidas Tipo 1: Desvio Padrão

Markowitz ’52:

Vantagens:

(1) Fácil de calcular e manipular;

(2) Fácil de otimizar.;

(3) Fácil de estimar.

( ) var( )=R X X

Desvantagens:

(1) Trata perdas e ganhos igualmente;

(2) Insensível a caudas pesadas;

(3) Fácil de estimar.

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Medidas Tipo 1: Desvio Padrão

Kijima e Ohnishi ’93:1

( )= −kkR X E X E X

-

200,0

400,0

600,0

800,0

1.000,0

1.200,0

(2,4

)

(2,1

)

(1,8

)

(1,5

)

(1,2

)

(0,9

)

(0,6

)

(0,3

)

0,0

0,3

0,6

0,9

1,2

1,5

1,8

2,1

2,4

18

Downside Risk

Risco de queda em relação a um determinado benchmark.

Momentos parciais de grau k (Fishburn ’77):

( )( ; ) max ,0= − kkLPM X b E b X

Caso k=0 (Probabilidade de Queda): { }( ) ( )bSP X P X b F b= ≤ =

Caso k=1 (Queda Esperada): ( )max ,0= −bSE E b X

Caso k=2 (Dispersão da Queda): ( )2max ,0= −bSV E b X

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Downside RiskEscolhendo :

Semi Desvio Absoluto Esperado: ( )( ) max ,0= −R X E E X X

Semi Variância: ( )2( ) max ,0= −R X E E X X

b E X=

20

Medidas Condicionais

Queda Condicional Esperada:

( )

( )

( ) ( )

( )( )( )

max ,0 ( )( ) ( )

= − ≤

= − ≤

∧ ≤= −≤

−= =

≤

∫∫

b

b

b

MEL X E b X X b

dx b X p x X b

p x X bdx b xP X b

E b X SE XP X b SP X

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Classe Geral de Medidas de Risco

( ) [ ]( ) ( ) ( )−∞

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∫bz a

R X x c w F y f y dy

Satisfazem os Axiomas PS

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Medidas Tipo 2: Value-at-Risk

−= −t t hL V V

O VaR no nível de confiança é implicitamente definido através de:

( )α α> =P L VaR

A perda potencial na janela de tempo h é:

α

Assim: 1(1 )α α−= −VaR F

23

Medidas Tipo 2: Value-at-Risk

Propriedades:

( 2) ( ) ( ) 0( 3) ( ) ( )( 4) ( ) ( )

α α

α α

α α

= ≥+ = − ∀

≤ ⇒ ≤

ADEH VaR cX cVaR X cADEH VaR X c VaR X c cADEH X Y VaR Y VaR X

No entanto:

1 2 1 2( 1) ( ) ( ) ( )α α α+ ≤ +ADEH VaR X X VaR X VaR X

Vale para distribuições normais mas não vale em geral.

O Value-at-Risk não é uma medida coerente !

24

VaR Condicional

Pode ser decomposto como:

( )α α= >CVaR L E L L VaR

Medida coerente na maioria dos casos práticos.

( ) ( )α α α α= + − >CVaR L VaR L E L VaR L VaR

25

Bibliografia

• Alexander, C. Market Models 2001

• Albrecht, P., Risk Measures, preprint 2004

Leitura ComplementarJia, J. Dier, J.S. : A Standard Measure of Risk and Risk-Value Models, Management Science 42, 1691-1705 (1996)