medidas de sensibilidade : duração
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Guia de aula sobre Medidas de Sensibilidade na Renda Fixa. Essa primeira parte foca nas diversas medidas de Duration (Duração).TRANSCRIPT
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Medidas de Sensibilidade:Duração
José Augusto Carvalho FilhoAgosto 2013
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Proposta do Curso
2
Aula Tema Conteúdo
1 Princípios Gerais • Mercado Futuro de DI e a estimacao da Estrutura a Termo da Taxa de Juros;
2 Estrutura a Termo da taxa de juros
• Metodos de estimacao da curva de juros - Modelos de Nelson-Siegel, Nelson- Siegel-Svenson e Supoerbell;
3 Estrutura a Termo da taxa de juros • Metodos de estimacao da curva de juros - Modelos de Nelson-Siegel, Nelson- Siegel-Svenson e Supoerbell;
4 Sensitividade da taxa de juro
• Aproximacoes de primeira ordem, Duracao de Macaulay, Duracao modificada, Outras medidas de duracao: Valor e Fischer, Limites de duracao, Aproximacoes de ordem superior, Convexidade, Outras medidas;
• Casos Especiais – modelos de taxas de juro (Black, Black-Derman-Toy e Outros modelos);
5 Sensitividade da taxa de juro • Aproximacoes de primeira ordem, Duracao de Macaulay, Duracao modificada, Outras medidas de duracao: Valor e Fischer, Limites de duracao, Aproximacoes de ordem superior, Convexidade, Outras medidas;• Casos Especiais – modelos de taxas de juro (Black, Black-Derman-Toy e Outros modelos);
6 Sensitividade da taxa de juro • Aproximacoes de primeira ordem, Duracao de Macaulay, Duracao modificada, Outras medidas de duracao: Valor e Fischer, Limites de duracao, Aproximacoes de ordem superior, Convexidade, Outras medidas; • Casos Especiais – modelos de taxas de juro (Black, Black-Derman-Toy e Outros modelos);
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AgendaAula 4
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Prazo Médio
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Motivacao
t0
T
P
Fn
F1 F2 F3 F4
t1 t2 t3 t4
Qual é o prazo do título de renda fixo apresentado abaixo?
a) T
b) t1
c) t2
d) t3
e) t4
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Prazo Médio
O fato de haver fluxos espalhados temporalmente cria uma
dificuldade natural na comparação com outros títulos.
Faz-se necessário, portanto, definir alguma medida (um único
número) que nos dê uma idéia sobre o prazo da aplicação;
Uma medida inicial, bastante intuitiva, é o prazo médio,
calculado como a média ponderada pelos prazos.
Medidas de Sensibilidade
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Prazo Médio
Medidas de Sensibilidade
t0
T
P
Fn
F1 F2 F3 F4
t1 t2 t3 t4
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Prazo Médio
Medidas de Sensibilidade
t0
T
P
Fn
F1 F2 F3 F4
t1 t2 t3 t4
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Prazo Médio
Perceba que uma vez calculada a média do prazo, tem-se um fluxos similar ao
de um título de cupom zero:
Medidas de Sensibilidade
t0
d
P
FV
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Prazo Médio Exemplo: Considere a seguinte carteira de duplicatas que será
descontada na data t0:
Medidas de Sensibilidade
Valor Duplicata
Dias para o Vencimento
R$150.000 25 R$200.000 30 R$250.000 38 R$300.000 33 R$100.000 35
R$1.000.000 d = ?
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Prazo Médio Exemplo:
Calculando-se os produtos dos Fluxos pelos seus respectivos
prazos, tem-se:
Medidas de Sensibilidade
Valor Duplicata
Dias para o Vencimento
Fd
R$150.000 25 R$3.750.000 R$200.000 30 R$6.000.000 R$250.000 38 R$9.500.000 R$300.000 33 R$9.900.000 R$100.000 35 R$3.500.000
R$1.000.000 d = ? R$32.650.000
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Prazo Médio Exemplo:
Finalmente, tem-se o valor do prazo médio d:
Medidas de Sensibilidade
Valor Duplicata
Dias para o Vencimento
Fd
R$150.000 25 R$3.750.000 R$200.000 30 R$6.000.000 R$250.000 38 R$9.500.000 R$300.000 33 R$9.900.000 R$100.000 35 R$3.500.000
R$1.000.000 d = ? R$32.650.000
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Prazo Médio Exemplo:
Supondo que o valor da taxa de desconto seja de 4% a.m.,
podemos calcular o valor do desconto D:
Com o valor do desconto, podemos calcular o valor do a ser
recebido PV:
Medidas de Sensibilidade
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Prazo Médio Exemplo:
Finalmente, podemos calcular o valor do retorno efetivo:
Se tivéssemos calculado o retorno, como YTM, que valor
teríamos encontrado ?
Medidas de Sensibilidade
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Duration
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Duration Sabendo-se que o preço de um título pode ser expresso como
uma função da yield e do tempo, podemos escrever a seguinte
expressão de diferenças infinitesimais:
onde o primeiro termo da direita refere-se a variação do preço em
relação a uma pequena variação do valor da Yield y.
Medidas de Sensibilidade
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Duration Portanto, podemos calcular o primeiro termo de diferença para
um preço de um título:
Medidas de Sensibilidade
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Duration Seguindo com as derivadas internamente:
que é o mesmo que
Medidas de Sensibilidade
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Duration Dividindo ambos lados por P:
Se considerarmos apenas o termo entre colchetes, tem-se a
conhecida Duration de Macaulay (DM).
Medidas de Sensibilidade
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Duration A função Duration de Macaulay pode ser expressa de forma mais
geral, como sendo:
Medidas de Sensibilidade
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Duration Se decidirmos por considerar todo o termo, temos a chamada
duration modificada D:
Portanto, temos que a variação infinitesimal relativa de preço é
igual a –D.
Medidas de Sensibilidade
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Duration Exemplo: Considere o seguinte fluxo de um título de renda fixa, a
3,5 anos de seu vencimento com notional de R$100, cupom anual
8% e considerando uma yield de 11% a.a.
Medidas de Sensibilidade
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Duration Exemplo: Considere o seguinte fluxo de um título de renda fixa, a 3,5 anos de
seu vencimento com notional de R$100, cupom anual 8% e considerando uma
yield de 11% a.a.
Com base nas informações, temos o seguinte fluxo de caixa, e seus respectivos
valores presentes:
Medidas de Sensibilidade
Períodos F(t) PV
0,5 R$3,9230 3,72361,0 R$3,9230 3,53431,5 R$3,9230 3,35462,0 R$3,9230 3,18402,5 R$3,9230 3,02223,0 R$3,9230 2,86853,5 R$103,9230 72,1243
Price 91,81
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Duration Exemplo: Considere o seguinte fluxo de um título de renda fixa, a 3,5 anos de
seu vencimento com notional de R$100, cupom anual 8% e considerando uma
yield de 11% a.a.
Com base nas informações, temos o seguinte fluxo de caixa, e seus respectivos valores
presentes;
Em seguida, podemos calcular as ponderações dos fluxos em relação ao
tempo e descontá-los pela yield:
Medidas de Sensibilidade
Períodos F(t) PV PV*t/P
0,5 R$3,9230 3,7236 0,02031,0 R$3,9230 3,5343 0,03851,5 R$3,9230 3,3546 0,05482,0 R$3,9230 3,1840 0,06942,5 R$3,9230 3,0222 0,08233,0 R$3,9230 2,8685 0,09373,5 R$103,9230 72,1243 2,7495
Price 91,81 Duration 3,108
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Duration Exemplo: Considere o seguinte fluxo de um título de renda fixa, a 3,5 anos de
seu vencimento com notional de R$100, cupom anual 8% e considerando uma
yield de 11% a.a.
Com base nas informações, temos o seguinte fluxo de caixa, e seus respectivos valores
presentes;
Em seguida, podemos calcular as ponderações dos fluxos em relação ao
tempo e descontá-los pela yield. De forma análoga, podemos a duration
modificada DM.
Medidas de Sensibilidade
Períodos F(t) PV PV*t/P
0,5 R$3,9230 3,7236 0,02031,0 R$3,9230 3,5343 0,03851,5 R$3,9230 3,3546 0,05482,0 R$3,9230 3,1840 0,06942,5 R$3,9230 3,0222 0,08233,0 R$3,9230 2,8685 0,09373,5 R$103,9230 72,1243 2,7495
Price 91,81 Duration 3,108Duration Modif. 2,800
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Duration Exemplo: Considere o seguinte fluxo de um título de renda fixa, a 3,5 anos de
seu vencimento com notional de R$100, cupom anual 8% e considerando uma
yield de 11% a.a.
O valor da Duration nos dá uma idéia de prazo médio do título.
No nosso exemplo, teríamos 3,108 anos como sendo o prazo médio do título.
Logo, é muito comum associar todo fluxo do título apresentado a um título
sintético de prazo 3,108 anos cujo valor de face é R$ 100.
Medidas de Sensibilidade
Períodos F(t) PV PV*t/P
0,5 R$3,9230 3,7236 0,02031,0 R$3,9230 3,5343 0,03851,5 R$3,9230 3,3546 0,05482,0 R$3,9230 3,1840 0,06942,5 R$3,9230 3,0222 0,08233,0 R$3,9230 2,8685 0,09373,5 R$103,9230 72,1243 2,7495
Price 91,81 Duration 3,108Duration Modif. 2,800
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Duration como Medida de Variação do Preço Até o momento, as medidas de Duration (Macaulay e Modificada) nos deram
idéia de prazo médio.
Consideremos mais uma vez a expressão da Duration:
Multiplicando-se ambos lados da equação por dy temos a seguinte relação:
Medidas de Sensibilidade
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Duration como Medida de Variação do Preço Essa equação nos diz a variação relativa do preço em função de uma
determinada taxa de retorno dy.
No caso de nosso título de renda apresentado anteriormente, onde tínhamos
uma duration de 3,108 anos, poderíamos a variação do preço do título em
função de uma variação da taxa de retorno de 11% para 12% (100bp).
Medidas de Sensibilidade
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Duration como Medida de Variação do Preço Portanto, é imediato perceber que a Duration pode ser usada para calcular
uma medida aproximada do de um título de renda Fixa.
Lembrando que quanto menor for o valor de dy, menor é a estimação do
preço baseado apenas na duration.
Medidas de Sensibilidade
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Duration como Medida de Variação do Preço
Medidas de Sensibilidade
Erro
Erro
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Duration como Medida de Variação do Preço No caso de nosso título de renda apresentado anteriormente, onde tínhamos
uma duration de 3,108 anos, calcule:
a) os valores dos preços com base em variações da taxa de retorno e os compare
com os preços obtidos a partir da fórmula do preço de um título.
b) faça um gráfico mostrando as diferenças entre as duas abordagens.
Medidas de Sensibilidade
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Duration de Carteiras e o Título Sintético
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Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1 Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:
Com base nas informações acima, podemos usar a Duration como forma de representar a carteira como um título sintético de cupom zero e prazo T.
Medidas de Sensibilidade
Titulo LTN CDB DebêntureFace R$1.580,00 R$1.300,00 R$2.700,00 Prazo (du) 29 42 125Taxa Spot (% a.a.) 1,60% 1,70% 1,75%Titulo LTN CDB Debênture
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Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1 Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:
Nossa carteira pode ser representada da seguinte forma:
Medidas de Sensibilidade
Titulo LTN CDB DebêntureFace R$1.580,00 R$1.300,00 R$2.700,00 Prazo (du) 29 42 125Taxa Spot (% a.a.) 1,60% 1,70% 1,75%Titulo LTN CDB Debênture
t0t
LTN
t1 t2 t3
CDB
Debênture
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Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1 Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:
Nosso objetivo é encontrar um título sintético que represente toda a carteira, com apenas um prazo e uma taxa de retorno.
Medidas de Sensibilidade
Titulo LTN CDB DebêntureFace R$1.580,00 R$1.300,00 R$2.700,00 Prazo (du) 29 42 125Taxa Spot (% a.a.) 1,60% 1,70% 1,75%Titulo LTN CDB Debênture
t0t
FV
PV
D
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Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1 Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:
Primeiramente, devemos calcular os valores presentes de cada um dos fluxos.
Medidas de Sensibilidade
Titulo LTN CDB DebêntureFace R$1.580,00 R$1.300,00 R$2.700,00
Prazo (du) 29 42 125Taxa Spot (% a.a.) 1,60% 1,70% 1,75%
Total DurationPV (dc/22) R$1.547,66 R$1.258,56 R$2.445,75 R$5.251,96 76,98
![Page 37: Medidas de Sensibilidade : Duração](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062313/55831df0d8b42ae55d8b4d41/html5/thumbnails/37.jpg)
Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1 Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:
Primeiramente, devemos calcular os valores presentes de cada um dos fluxos. Com base nos valores presentes, podemos ponderá-los pelos respectivos prazos;
Medidas de Sensibilidade
Titulo LTN CDB DebêntureFace R$1.580,00 R$1.300,00 R$2.700,00
Prazo (du) 29 42 125Taxa Spot (% a.a.) 1,60% 1,70% 1,75%
Total DurationPV (dc/22) R$1.547,66 R$1.258,56 R$2.445,75 R$5.251,96 76,98
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Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1 Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:
Primeiramente, devemos calcular os valores presentes de cada um dos fluxos. Com base nos valores presentes, podemos ponderá-los pelos respectivos prazos;
Medidas de Sensibilidade
Titulo LTN CDB DebêntureFace R$1.580,00 R$1.300,00 R$2.700,00
Prazo (du) 29 42 125Taxa Spot (% a.a.) 1,60% 1,70% 1,75%
Total DurationPV (dc/22) R$1.547,66 R$1.258,56 R$2.445,75 R$5.251,96 76,98
![Page 39: Medidas de Sensibilidade : Duração](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062313/55831df0d8b42ae55d8b4d41/html5/thumbnails/39.jpg)
Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1 Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:
Primeiramente, devemos calcular os valores presentes de cada um dos fluxos. Com base nos valores presentes, podemos ponderá-los pelos respectivos prazos; Portanto, essa carteira pode ser representada (de forma aproximada) como um título
sintético de prazo de 77 dias úteis.
Medidas de Sensibilidade
Titulo LTN CDB DebêntureFace R$1.580,00 R$1.300,00 R$2.700,00
Prazo (du) 29 42 125Taxa Spot (% a.a.) 1,60% 1,70% 1,75%
Total DurationPV (dc/22) R$1.547,66 R$1.258,56 R$2.445,75 R$5.251,96 76,98
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Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1 Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:
Primeiramente, devemos calcular os valores presentes de cada um dos fluxos. Com base nos valores presentes, podemos ponderá-los pelos respectivos prazos; Portanto, essa carteira pode ser representada (de forma aproximada) como um título
sintético de prazo de 77 dias úteis Finalmente, podemos levar cada um dos fluxos à data da duration encontrada. Com
isso saberemos o valor ‘a ser resgatado’ do título sintético e, consequentemente, a taxa de retorno da carteira.
Medidas de Sensibilidade
Titulo LTN CDB DebêntureFace R$1.580,00 R$1.300,00 R$2.700,00
Prazo (du) 29 42 125Taxa Spot (% a.a.) 1,60% 1,70% 1,75%
Total DurationPV (dc/22) R$1.547,66 R$1.258,56 R$2.445,75 R$5.251,96 76,98
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Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1 Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:
Primeiramente, devemos calcular os valores presentes de cada um dos fluxos. Com base nos valores presentes, podemos ponderá-los pelos respectivos prazos; Portanto, essa carteira pode ser representada (de forma aproximada) como um título
sintético de prazo de 77 dias úteis Finalmente, podemos levar cada um dos fluxos à data da duration encontrada. Com
isso saberemos o valor ‘a ser resgatado’ do título sintético e, consequentemente, a taxa de retorno da carteira.
Medidas de Sensibilidade
Titulo LTN CDB DebêntureFace R$1.580,00 R$1.300,00 R$2.700,00
Prazo (du) 29 42 125Taxa Spot (% a.a.) 1,60% 1,70% 1,75%
Total DurationPV (dc/22) R$1.547,66 R$1.258,56 R$2.445,75 R$5.251,96 76,98
FV (t=D) R$1.636,05 R$1.335,03 R$2.598,83 R$5.569,91
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Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1 Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:
Primeiramente, devemos calcular os valores presentes de cada um dos fluxos. Com base nos valores presentes, podemos ponderá-los pelos respectivos prazos; Portanto, essa carteira pode ser representada (de forma aproximada) como um título
sintético de prazo de 77 dias úteis Finalmente, podemos levar cada um dos fluxos à data da duration encontrada. Com
isso saberemos o valor ‘a ser resgatado’ do título sintético e, consequentemente, a taxa de retorno da carteira.
Medidas de Sensibilidade
Titulo LTN CDB DebêntureFace R$1.580,00 R$1.300,00 R$2.700,00
Prazo (du) 29 42 125Taxa Spot (% a.a.) 1,60% 1,70% 1,75%
Total DurationPV (dc/22) R$1.547,66 R$1.258,56 R$2.445,75 R$5.251,96 76,98
Taxa EfetivaFV (t=D) R$1.636,05 R$1.335,03 R$2.598,83 R$5.569,91 1,694%
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Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1 Portanto, a seguinte carteira de renda fixa
pode ser aproximada através de um título sintético, conforme o seguinte fluxo:
Medidas de Sensibilidade
= R$5.569,91
= R$5.251,96
= 77 dias úteis
= R$1.580,00 = R$1.300,00
= R$2.700,00
= 29 = 42 = 125
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Duration de Carteiras e o Título SintéticoEstudo de Caso
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Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:
Além disso, considere a seguinte curva de taxas Spot dos títulos:
Medidas de Sensibilidade
Titulo LTN CDB_1 CDB_2 Debênture
Face R$150.000,00 R$90.000,00 R$120.000,00 R$100.000,00
Prazo (du) 27 65 43 73
Curva Spot (%a.a.252)du LTN CDB_1 CDB_2 Debêntures
1 9,500% 10,140% 10,647% 11,925%10 9,673% 10,165% 10,673% 11,954%20 9,618% 10,190% 10,700% 11,983%30 9,643% 10,215% 10,726% 12,013%40 9,870% 10,240% 10,752% 12,042%50 9,798% 10,265% 10,778% 12,072%60 9,899% 10,290% 10,805% 12,101%70 9,957% 10,315% 10,831% 12,130%80 10,147% 10,340% 10,857% 12,160%
![Page 46: Medidas de Sensibilidade : Duração](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062313/55831df0d8b42ae55d8b4d41/html5/thumbnails/46.jpg)
Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:
Com base nas informações disponíveis, calcule:
a) A Duration da carteira;
b) O valor presente da carteira;
c) O valor futuro da carteira;
d) A taxa de retorno da carteira baseada na Duration;
e) Para fins de interpolação, responda as questões acima considerando o método exponencial e o spline spectral.
Medidas de Sensibilidade
Titulo LTN CDB_1 CDB_2 Debênture
Face R$150.000,00 R$90.000,00 R$120.000,00 R$100.000,00
Prazo (du) 27 65 43 73
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Mercados, Análise e Estrategias de Bônus; Fabozzi,
Frank J. ed. Qualitymark, 2000.
Securato, Jose Roberto, 1947, Cálculo Financeiro das
Tesourarias: Bancos e Empresas.
Fortuna, Mercado Financeiro – Produtos e Serviços.
Mercado Aberto no Brasil – Aspectos Históricos e
Operacionais; Araújo, Carlos H. , in Notas Tecnicas do
Banco Central do Brasil, nº 12 – Jan/2002.
BibliografiaBásica
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Hull, C. John, Options, Futures and Other Derivatives,
6th Edition.
Yield Curve Modelling at the Bank of Canada; Bank of
Canada Technical Report #84, 1999.
Understanding the Yield Curve; Salomon Brothers –
United States Research Portfolio Strategies, 1995
(mimeo).
BibliografiaComplementar
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http://www.anbima.com.br/
http://www.tesouro.fazenda.gov.br/
http://www.bcb.gov.br/
http://www.bmfbovespa.com.br
http://www.wolframalpha.com
Fontes Eletrônicas
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Prof. Augusto Carvalho