meetkunde met algebra aad goddijn ( fisme ) winter 2014
DESCRIPTION
Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014. Overzicht. Wat was Analytische Meetkunde? Achtergronden vroeger en nu Descartes: Meetkunde via algebra Later: coördinaten, algebra, het klassieke programma Wat wordt het nu? Vier opgaven van nu: meetkunde met Algebra - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/1.jpg)
Meetkunde met Algebra
Aad Goddijn (Fisme)
Winter 2014
![Page 2: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/2.jpg)
2
Overzicht
• Wat was Analytische Meetkunde?– Achtergronden vroeger en nu– Descartes: Meetkunde via algebra– Later: coördinaten, algebra, het klassieke programma
• Wat wordt het nu?– Vier opgaven van nu: meetkunde met Algebra– Vorm, vervorming, hoeken, beweging– Bedoeling: startpunten voor verder ontwikkelen.
• Samenvatting, – Terugblik, overzicht, achtergronden
![Page 3: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/3.jpg)
3
A: Wat was Analytische Meetkunde?
![Page 4: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/4.jpg)
4
La Géométrie
• Dover, tweetalig (F,E)(used from $0.89 (2nd)
• Voorplaat: bij oplossen 6e-graadsvergelijkingen.
• De traditie zegt:
Descartes vond de AM uit.
• Is dat zo ????????????
![Page 5: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Descartes’ filosofie achter La Géométrie uit 1637
• (elk vraagstuk dat over grootheden gaat, kan worden teruggebracht tot een meetkundig probleem)
• elk meetkundig probleem kan worden teruggebracht tot een algebraïsch probleem;
• dat kan worden teruggebracht tot het oplossen van een of meer vergelijkingen met één of meer onbekenden.
• weet je de oplossing, dan kun je de afstanden (meetkundig) construeren
• Samengevat: Meetkunde via de algebra
![Page 6: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/6.jpg)
Hoe doet ie dat?
1. De analytische methode
2. Localisering via afstanden x en y, ( ~ coördinaten)
3. Het nieuwe vermenigvuldigen
6
![Page 7: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/7.jpg)
7
Descartes 1: de analytische methodeNeem aan dat het probleem opgelost
is
Geef namen aan bekenden en
onbekenden; a, b, c, x,y,z
Ver-gelijkingenopstellen
algebra
![Page 8: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/8.jpg)
8
Vlaggemast, probleem en oplossing
Aan de top van een rechtopstaande vlaggemast zit een koord. Eén meter vanaf het losse eind zit een knoop. Als het koord los naar beneden hangt, komt de knoop precies op de grond. Je trekt aan het eind van het touw en brengt dat eind zover mogelijk van de mast naar de grond. Het koord raakt nu de grond op 5 meter van de voet van de mast.VraagHoe hoog is de vlaggemast?
Stap 1
Stap 2: x, x+1, 5
x
15
x
Stap 3: (x+1)2 = x2 + 52
Stap 4: ………. X = 12
![Page 9: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/9.jpg)
9
Descartes 2: ‘coördinaten ??’
• Curve, mechanisch beschreven door punt C
•x en y zijn afstanden tot twee vaste lijnen
• Het abc van Descartes:• x, y, z: onbekenden• a, b, c: bekenden
x
(CB) y
![Page 10: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/10.jpg)
3: Het nieuwe vermenigvuldigenvan lijnstukken
10
![Page 11: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Euclides: lijnstuk * lijnstuk is oppervlakte
Natuurlijk verband tussen graad (aantal factoren) en dimensie
![Page 12: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Descartes: lijnstuk * lijnstuk = lijnstuk
AB : BD = BC : BE
AB * BE = BD * BC
AB = 1
1
AB * BE = BD * BCBE = BD * BC
![Page 13: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/13.jpg)
13
Niet-homogene
vormen
z
q
NP =: q
QNP=TOP
SR = z3
Etc…
![Page 14: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Niet-homogene
vormen
![Page 15: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/15.jpg)
Cursus AM okt-nov 2008
Historiegaat vooraf
15
Hilbert, rond 1900
OE
B
A
C
construeer
C= OA * OB
OE = 1
OE
B
A
C
B'
A'
construeer
C= OA * OB
OE = 1
Voeg toeB' en A'met OA ::: OA'en OB' ::: OB
construeerOB' * OA'
OA * OB* = C = OB' * OA'
Waarom??Hilbert weet dat de stelling van Pappos
een noodzakelijk axioma is.
![Page 16: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/16.jpg)
Cursus AM okt-nov 2008
Geometrisch of papagaai?
16
(a + b)( c + d)
![Page 17: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/17.jpg)
17
Later …
• Coördinatengebruik kenmerkt de AM. Figuur en vergelijking zijn gelijkwaardig. Maar …
figuur Vergelijking
F(x, y) = 0
snijden Los x en y op uitG(x, y) = H(x, y) =0
figuur
snijden
![Page 18: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/18.jpg)
18
Uw meetkundeboek ziet er voortaan zo uit
![Page 19: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/19.jpg)
19
Mijn zelftoets: Torus analytisch doorsnijden
• Torus: wentel cirkel (r, (R,0,0)) om z-as.
y
x
z
![Page 20: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/20.jpg)
20
Twee aanzichten,
• Snijden met dubbelraakvlak
• Op de wijze van BM(anno 1939)
• In het bovenaanzicht zie je twee cirkels !!!!!!!!
• Bewijs dat met algebra!
![Page 21: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/21.jpg)
Speeltuin? Martelkamer?
21
![Page 22: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/22.jpg)
22
Vroeger op school:
Noodgedwongen bijna geheel beperkt tot 1e- en 2e-graadsvergelijkingen.
Microscopie van de tweedegraadsvergelijking, die allemaal kegelsneden als figuur hebben.
Hoogste punt:
Determineer (gegeven A, B, C) de aard van :
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
![Page 23: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/23.jpg)
23
Inhoud, overzicht van de boeken
• (Grondslagen)• Lijnen • Cirkels• (Macht en machtlijn)• (Meetkundige plaatsen)• Ellipsen• Parabolen• Hyperbolen• (Bundels, coordinaat-
transformaties)
• (Grondslagen)• Lijnen • Cirkels• (Macht en machtlijn)• (Meetkundige plaatsen)• Parabolen• Ellipsen• Hyperbolen• (Bundels, coordinaat-
transformaties)
Revolutievariant:
![Page 24: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/24.jpg)
Standpunt nu
• Wel algebra gebruiken!
• Liefst geïntegreerd
• Focus op conceptverwerving meetkunde MET algebra.
• Vandaag: – dit standpunt verkennen via vier (drie, één) opgaven en
discussie.
24
![Page 25: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/25.jpg)
Opgave 1:Vierkanten voltooien
25
Eerst berekening invullen, later pas resultaat!
![Page 26: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/26.jpg)
26
Twee liggingen
![Page 27: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/27.jpg)
Berekening als gids naar formules voor xD en yD
27
(Rood óók !!)
![Page 28: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/28.jpg)
Rode resultaat als controle voor groene formule xD
28
![Page 29: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/29.jpg)
Punten van overweging en discussie (1)
• Rekenen met absolute verschillen uitgelokt door numeriek voorbeeld.
• Algebraformule blijkt mooi onafhankelijk van ligging.• Verschillen als Gerichte Grootheden.• P, Q, R op één lijn:
Afst(P,Q) + Afst(Q,R) =? Afst(P,R) GG(P,Q) + GG(Q,R) = GG(P,R)
• Gerichte grootheden maken het huwelijk van meetkunde en algebra gelukkig.
• Descartes begreep hier nog niet veel van!• Freudenthal:
– Algebraisch-meetkundig permanentie-principe
• Waarom dit niet met vectoren? ……. 29
![Page 30: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/30.jpg)
Punten van overweging en discussie (2)
• Is één karakteristiek numeriek voorbeeld genoeg?
• xD = xA + (yA – yB) is betekenisvoller dan 91 = 58+ 52-19
• Namen maken algebra betekenisvol, getallen niet.
• Alle niet-wiskundigen weten dat beter dan wij..
30
![Page 31: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/31.jpg)
31
Intermezzo: Cirkelvergelijking opstellen
D: Waarom doe je dat?
l: “Ik dacht dat ‘t moest.”
D: Welke regel vertelt het best dat het een cirkel is?
l: De eerste.
Stel de vergelijking op van de cirkel met middelpunt (4,1) die door (6,2) gaat.
Commentaar: Met de haakjes mee wordt de wiskunde verdreven.
![Page 32: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/32.jpg)
Opgave 2: een cirkel vervormen.
• Onderwerp:
Verwantschap figuur en vergelijking
• Van figuur 1 naar figuur 2en van vergelijking 1 naar vergelijking 2
• Inleidende voorbeelden met vaste structuur.
32
![Page 33: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/33.jpg)
Algebra, transformaties, terugkijken
Vergelijking origineel: F(x, y ) = 0
Verschuiven over (16, 5).
Vergelijking beeld: F(x-16, y-5 ) = 0
Dus (x-16, y-5) in origineel.
(x, y)
![Page 34: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/34.jpg)
34
Para-I draait 90 graden om O naar para-II
I: y= x (x-4)/4
(x, y) op II komt van (y, -x) op I.Die ligt op het origineel. Dus:
II: (-x) = y(y-4)/4
x = y(4-y)/4
(x, y)
(y, -x)
![Page 35: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/35.jpg)
35
Cirkel: x2 + y2 = 36
(x, y) komt van (x, 2y).
(x, 2y). ligt op de originele cirkel. Dus:
Ellips: x2 + (2y) 2 = 36
Terzijde: is dat dezelfde ellips als de echte?
![Page 36: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/36.jpg)
Opgave 2 (pittig ..)
• Transformeer in enkele stappen de vergelijking van de eenheidscirkel naar die van deze ellips met assen 2 en 4.
(laatste schuifstap misschien als huiswerk)36
![Page 37: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/37.jpg)
Discussie …..
• Terugkijkmethode generiek aanbieden.
• Per transformatiesoort oefenen lijkt aardig
• .. Maar helpt niet bij methode-transfer van schuiven naar draaien (bij para I>>II)
• ‘Uitwerken’ van vergelijkingen hier niet echt van belang.
37
![Page 38: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/38.jpg)
38
![Page 39: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/39.jpg)
Opgave 3: Hoeken en spiegelen
39
![Page 40: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/40.jpg)
Commentaar
• Hoeken, ook graag georienteerd bij AM• Hoek van een lijn: rc, en 0 -180. De tangens heeft
periode 180.• Hoek van een straal: volle cirkel. Dit is de GGB-
hoek. • In de formule staat de factor 2 bij de hoek die zelf
maar tot 180 mag gaan!• Antwoord toegevoegde vraag c:
JA. Georienteerde hoeken en algebra gaan net zo samen als georienteerde afstanden en algebra.
40
![Page 41: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/41.jpg)
Opgave 4: Bewegen en vectoren
41
![Page 42: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/42.jpg)
GGB-ontwerp, schuifjes, glijden
42
![Page 43: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/43.jpg)
Schuivende lijn
43
Onderzoek het verband tussende snelheden van boven- en onderkant van de glijdende ladderlijn.
P(t)
Q(t)
![Page 44: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/44.jpg)
Vragen
• Wat ga je meer vastleggen in de vraagstelling?
• Intuitief: als de ladder stil staat de bovenkant … maar met .. Toepassingen hiervan?
• Vectoren? Probeer.
• Of: de lengte verandert niet in de tijd.
• Afgeleide gebruiken?
44
![Page 45: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/45.jpg)
Mogelijke antwoorden
• Projecteer de bewegingen op de ladderlijn zelf.
• P(t)2 + Q(t)2 is vast. Differentieëer dat.
45
![Page 46: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/46.jpg)
Nadere discussie vectoren
• Vectoren: optimaal bij beweging. Minder bij positie.
• Wezen van de vector: een verplaatsbaar verschil. Zie opgave 1; snelheid is ook een verschil, een tijdgeschaald verschil.
• Samenstellen én verdelen. (Zoals hier)
• Kracht van inproduct eigenlijk pas in 3D.• In 2D kan al het belangrijke evengoed zonder:
Loodrechte standen, lengte, cosinusregel.
46
![Page 47: Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062321/56813266550346895d98ff54/html5/thumbnails/47.jpg)
C: Terugblik, samenvatting
• Historische inleiding met didactisch accent: de methode Descartes.
• Algebra is betekenisvol in de meetkunde via zijn eigen structuur. (Dat is heel wat meer dan het lijken van de eb-vloed grafiek op een sinuslijn)
• Relativering van de waarde van losse numeriek voorbeelden om tot generalisatie te komen. Formules liever opstellen via variabelen met namen.
• Vier voorbeelden met centraal idee. Mogelijk verder ontwikkelbaar …
47