PRIMENJENA MEHANIKA FLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA FLUIDAPredavanje Xj

dr Živojin Stamenković docentdr Živojin Stamenković, docent

Zakon o promeni količine kretanjap j• U tehničkoj praksi često se koristi

k i k liči k t jzakon o promeni količine kretanjakoji se naziva zakonom impulsa.

š k ž k• Pošto ovi zakoni važe za svakisistem materijalnih tačaka oni se

i iti i fl id i tmogu primeniti i za fluide i tokako savršene, tako i za viskozne.

• Posmatra se u strujnom poljumasa m fluida koja se nalazi u

i i V ( ) V V k j jzapremini Vm(t)=Vm=V, koja jeograničena zatvorenom glatkom

ši A (t) A Apovrši Am(t)=Am=A

Zakon i promeni količine kretanjap j• Ovde se razmatra tzv.

t ij l i k jmaterijalna zapremina koja utoku svog premeštanja sadržiuvek istu masu fluidauvek istu masu fluida.

• Zakon promene zapremine ut k d đ jtoku vremena određen jebrzinom pomeranja tačaka

ič ši k j jgranične površi koja jejednaka brzini v=v(r,t)perifernih fluidnih delića tjperifernih fluidnih delića tj.delića koji se nalaze na površiAm(t)=Am=AAm(t)=Am=A

Zakon i promeni količine kretanjaZakon i promeni količine kretanja

• U posmatranoj zapremini brzine se razlikuju odtačke do tačke, kojima su pridruženi fluidni delićikao nosioci brzine v=v(r,t), odnosno kao nosiocikoličine kretanja.j

• Prema tome fluid prestavlja sistem materijlalnihtačaka pri čemu delići mase dm=dV igrajutačaka, pri čemu delići mase dm=dV igrajunjihovu ulogu.l k liči k j j• Elementarna količina kretanja je:

dK vdm v dV dK vdm v dV

Zakon i promeni količine kretanjap j• Ukupna količina kretanja K, celokupne mase m koja ispunjava materijalnu zapreminu V je:m, koja ispunjava materijalnu zapreminu V je:

K vdm v dV

• Gde veličina v=(r,t)v(r,t) predstavlja tzv. i k ti k liči k t j

m V

zapreminsku gustinu količine kretanja.• Elementarni moment količine kretanja mase dm (za tačku O) iznosi:

OdL r dK r v dV r v dV

• Gde je r vektor položaja. dL r dK r v dV r v dV

r xi yj zk

Zakon o promeni količine kretanjap j• Ukupni moment količine kretanja je:

OL dV

• Kao što je poznato iz mehanike ovi zakoni glase:

O

V

L r v dV

j p g• Izvod količine kretanja K po vremenu jednak je zbiru

svih sila koje deluju na sistemj j• Izvod momenta količine kretanja LO (za tačku tj. osu

O) po vremenu jednak je zbiru momenata (za istutačku) svih silaMR

O koje deluju na sistem.• Ovim zakonima u mehanici fluida odgovaraju sledeći

analitički izrazi:

dK d d

OOdL d dV M

RV

dK d v dV Fdt dt

O

RV

r v dV Mdt dt

Zakon i promeni količine kretanjaZakon i promeni količine kretanja• Rezultujuću silu F čine spoljašnje sile (sila Zemljine• Rezultujuću silu FR čine spoljašnje sile (sila Zemljineteže), sile trenja, sile pritiska na graničnim

ši il k ij ( k ih i )površinama, sile reakcija veza (ako ih ima).• Površinske sile u samom fluidu uzajamno seponištavaju.

• Za slučaj ustaljenog strujanja prethodne jednačineZa slučaj ustaljenog strujanja prethodne jednačinemogu se transformisati na oblike koji su znatnopogodniji za rešavanje praktičnih zadatakapogodniji za rešavanje praktičnih zadataka.

Zakon o promeni količine kretanjai promeni momenta količine kretanja• Zakon o promeni količine kretanja pri ustaljenomstrujanju ima analitički zapis:

RdK v vdA Fdt

Adt

O

OR

dL r v vdA M

• Iz ovih opštih izraza mogu se dobiti analitički

RA

r v vdA Mdt

Iz ovih opštih izraza mogu se dobiti analitičkiizrazi za slučaj strujnog vlakna i za slučaj strujnecevicevi.

Zakon i promeni količine kretanjai promeni momenta količine kretanja• Opšti integral se primenjuje na strujnu ili tehničku cev između preseka 1‐1 i 2‐2 površina A1 i A2.

• U ovom slučaju integral se svodi na tri integrala pa važi:pa važi:

A

v vdA v v

OMA

dA

OM

A A

v vdA v vdA

1 2A A

1 2v vdA Qv Qv

A

Zakon o promeni količine kretanjai promeni momenta količine kretanja

• Sada se promena količine kretanja može napisati u sledećem obliku:

dK

2 1 RdK Q v v Fdt

• Gde su v1 i v2 srednje brzine u posmatranim presecima.• FR je rezultujuća sila koja deluje na uočenu masu.FR je rezultujuća sila koja deluje na uočenu masu.

1 2RF P P G R

P sila pritiska tečnosti u preseku 1 1P1‐sila pritiska tečnosti u preseku 1‐1P2‐sila pritiska tečnosti u preseku 2‐2G‐sila Zemljine težejR‐Reakcija omotača cevi (koja je rezultanta sile pritiska i sile trenja po omotaču)

Kretanje viskoznog fluidaj g• Navije‐Stoksova jednačina za nestišljiv fluid• Za kretanje savršenog fluida ranije je izvedenapoznata Ojlerova jednačina:poznata Ojlerova jednačina:

1dv f grad pd

• U kojoj f{X,Y,Z} predstavlja zapreminsku silu

f g pdt

j j f{ , , } p j pkoja deluje na jedinicu mase fluida

• dv/dt sila inercije na jedinicu mase fluida• dv/dt sila inercije na jedinicu mase fluida• (1/)gradp‐sila pritiska na jedinicu mase fluida

Navije‐Stoksova jednačina za šl fl dnestišljiv fluid

• Za razilku od savršenog fluida realni fluid segsuprotstavlja smicanju jednih slojeva u odnosu nadruge.druge.

• Njutn je ustanovio da sila suprotstavljanja smicanjui i d ši k j j ši i j i d b izavisi od površine po kojoj se vrši smicanje i od brzine

smicanja.• Matematički zapis Njutnovog zakona glasi:

dvR A dvR Adn

R‐sila otpora, A‐površina smicanjap , p jdv/dn‐izvod brzine po normali na pravac strujanja‐dinamička viskoznost

Tangencijalni napong j p• Tangencijalni napon je: dv

• Njutnov zakon omogućava da se formiraju opštedn

Njutnov zakon omogućava da se formiraju opštediferencijalne jednačine uzimajući u obzir sileotpornosti, koje se nazivaju viskoznim silama.p , j j

• Onda jednačina kretanja realnog fluida može dase napiše u obliku:se napiše u obliku:

1dv f grad p F

• Gde je Fv sila otpora (viskoznosti)po jedinci masek j b d di i

vf grad p Fdt

koju treba odrediti.

Sila viskoznosti• Sila viskoznostu u prethodnoj jednačini određuje se 

ći ipomoći izraza:vF v v

• Gde su: ‐dinamička viskoznost fluida, ‐gustina fluida i ‐kinematička viskoznost fluida

• Jednačina kretanja viskoznog nestišljivog fluida u vektorskom obliku glasi:

1dv f grad p vdt

• Ovoj jednačini treba pridružiti jednačinu kontinuiteta nestišljivog fluida:

v 0yx zvv vx y z

Navije‐Stoksova jednačina za nestišljiv fluid

• Skalarni oblik Navije‐Stoksovih  jednačina glasi:

2 2 21 d 2 2 2

2 2 21x x x xv v v vdpX

t dx x y z

2 2 2

2 2 21y y y yv v v vdpY

t dy x y

t dy x y z 2 2 21z z z zv v v vdpZ

2 2 2

z z z zZt dz x y z

d x x x x x

x y zdv v v v vv v vdt t x y z

Laminarno i turbulentno strujanjej j• Posmatranjem kretanja tečnosti u kanalima i rekamamogu se zapaziti dve vrste kretanja tečnosti: jedno jemogu se zapaziti dve vrste kretanja tečnosti: jedno jemirno i pravilno, a drugo haotično. Prvo nazivamolaminarnim, a drugo turbulentnim., g

• Laminarno kretanje je takvo kretanje kod koga sestrujnice ne mešaju i određene su oblikom prostoraj j pkroz koji tečnost struji.

• Na primer kod pravolinijske cevi konstantnogp p j gpoprečnog preseka one su paralelne osi cevi tj.strujnice su paralelne linije.

• Slobodna površina tečnosti, ukoliko postoji je ravna.• Kod ovakvog strujanja nema poprečnog kretanjag j j p p g jtečnosti, brzina i pritisak ne pulsiraju.

Turbulentno strujanjej j• Turbulentno strujanje je uzburkano i haotično, na

l b d j ši i t č ti ( k t ji) j lj jslobodnoj površini tečnosti (ako postoji) javljajuse ispupčenja i udubljenja, koja su vidljiva i kojanemaju stalan obliknemaju stalan oblik.

• Kod ovakvog kretanja postoji i poprečno kretanjena pravac glavnog toka, kaoi kružna kretanjana pravac glavnog toka, kaoi kružna kretanjaposebnih zapremina tečnosti uz intenzivnomešanje delića tečnosti.

• Kod turbulentnog strujanja brzina i pritisakpulsiraju za sve vreme strujanja.

• Ovo strujanje ostavlja utisak potpunenepravilnosti.

Laminarno i turbulentno strujanjej j• Oba načina strujanja mogu se ostvariti u cevima ik likanalima.

• Laminarno kretanje se ostvaruje obično kada jereč o viskoznijim tečnostima i pri manjimreč o viskoznijim tečnostima i pri manjimbrzinama.

• Mendeqejev je došao do zaključka da otpor usled• Mendeqejev je došao do zaključka da otpor usledtrenja, pri kretanju tečnosti, bitno zavisi odrežima kretanja.j

• Kriterijum za utvrđivanje režima kretanja fluidapostavio je Rejnolds 1883. godine vršeći oglede sap j j g gcevima različitog prečnika, kroz koje je proticalatečnost različitim brzinama.

Laminarno i turbulentno strujanjeLaminarno i turbulentno strujanje

• Rejnolds je ustanovio da se kod jedne cevi i istetečnosti prelaz iz laminarnog u turbulentnokretanje javlja pri određenoj srednjoj brzinistrujanja, koju je nazvao kritičnom brzinom.j j j j

• Kasnije se pokazalo da se pri pažjivom vršenjuogleda može laminarno strujanje da održi i priogleda, može laminarno strujanje da održi i privećim brzinama strujanja od kritične, ali jenestabilno i pri najmanjem poremećaju prelazi unestabilno i pri najmanjem poremećaju prelazi uturbulentno.

Kritična brzina strujanjaj j• Prelaz turbulentnog strujanja u laminarno uvek sed š i i t j b i i t k d i d d đdešava pri istoj brzini, tako da se ispod određenebrzine nikako ne može postići turbulentnostrujanjestrujanje.

• Zato se za kritičnu brzinu uzima najmanja brzinai k j j d l i d l jd žipri kojoj dolazi do prelaza jdneog režima

strujanjau drugi.• Rejnolds je vršeći dalje oglede sa cevima različitogprečnika i različitim fluidima ustanovio da jek i ič b i i l ki ičk jkritična brzina proporcionalna kinematičkojviskoznosti i obrnuto proporcionalna prečniku

i D tj ži cevi D tj. važi:krv k

D

Rejnoldsov brojj j• Ovaj faktor ima vrednost 2320 i u čast Rejnoldsa

i k itič i R j ld b jnaziva se kritični Rejnoldsov broj.• Tako važi: Re krv D

• Za svako posmatrano kretanje fluida u cevima

Re kkr

Za svako posmatrano kretanje fluida u cevimamože da se ustanovi vrednost Rejnoldsovog broja:

vD

• gde je v srednja brzina strujanja fluida kroz

Re vD

• gde je v srednja brzina strujanja fluida krozkonkretni cevovod.k lik j d R R j j j l i• Ukoliko je vrednost ReRekr strujanje je laminarno,

dok je za veće vrednosti turbulentno.

Rejnoldsov brojRejnoldsov broj

O k d fi i j ld b j i j k i ič• Ovako definisan Rejnoldsov broj i njegova kritičnavrednost odnose se na cevi kružnog poprečnog

kpreseka.• Za slučaj cevi drugačijeg poprečnog presekaRejnoldsov broj se definiše drugačije, a i njegovakritična vrednost je različita od kritične vrednosti

i k ž č kza cevi kružnog poprečnog preseka.• Eksperimentima je pokazano da je laminarnostrujanje fluida sasvim korektno opisano Navije‐Stoksovim jednačinama.

Turbulentno strujanjej j• Osnovno svojstvo turbulentnog strujanja fluida jemešanje strujnica.mešanje strujnica.

• Brzina i pritisak u jednoj istoj tački strujnog prostorastalno osciluju oko neke vremenski srednjestalno osciluju oko neke vremenski srednjevrednosti.

• Transport količine kretanja dovodi do pojavep j p jturbulentnog trenja, odnosno turbulentnih napona,koji ne postoje kod laminarnog strujanja.

• Turbulentno strujanje se odlikuje vrtložnomstrukturom strujnog toka.

• Stvoreni vrtlozi uzimaju energiju iz glavnog strujnogtoka, što na kraju ima za posledicu povećanjerasipanja strujne energijerasipanja strujne energije.

Turbulentno strujanjej j• Pri proučavanju turbulentnog strujanja koriste se

poluempirijske metode ili se koriste razni obracsipoluempirijske metode ili se koriste razni obracsidobijeni čisto eksperimentalnim putem.

• Turbulentno strujanje sa razdvaja na dva Strujanje• Turbulentno strujanje sa razdvaja na dva. Strujanjeopisano osrednjenim vrednostima zove se osrednjenoili primarno, dok se strujanje koje zavisi od pulsirajućegp , j j j p j g(fluktuaciong) dela zove se dodatno ili sekundarno.

• Za proučavanje turbulentnog strujanja koriste sej g j jRejnoldsove jednačine koji predstavlja prošireneNavije‐Stoksove jednačine.

• Naime Navije‐Stoksove jednačine se definišu zaprosečne vrednosti projekcija brzina i pritiska, a dodajese devet novih članova koji zavise od pulsacionihse devet novih članova koji zavise od pulsacionihbrzina.