www.muhendisiz.net

1

MEKANİZMALARIN KİNEMATİK ANALİZİ

1. GİRİŞ

Kinematik analiz , mevcut mekanizmanın konum, hız ve ivme gibi kinematik

parametrelerin elde edilmesidir. Kinematik analiz mekanizmaların dinamik analizi

için ilk basamak teşkil ettiği gibi, mekanizmaların sentezi için de temel teşkil eder.

Mekanizmaların kinematik analizinde iki ayrı yöntem uygulanır. Bunlardan

birincisi grafik yöntem diğeri ise analitik yöntemdir. Grafik yöntemin temel dayanağı

geometri ve kinematik bağıntılardır. Kinematik bağıntılar geometrik temsil edilerek

mekanizma uzuvlarının hız ve ivmeleri, bundan önceki bölümlerde olduğu gibi,

çizim yoluyla elde edilir. Bu yöntemin bazı kolaylıkları, kolaylıkla çözüme

varılması, mekanizmanın konumlarının görülebilir olması ve yüksek dereceli cebirsel

denklemlerle ve bunların çözümleriyle uğraşılmamasıdır. Ancak bu yöntemin

uygulanmasında ölçü ve çizim hataları yapılabildiğinden pek hassas sonuçlar

beklenmemelidir. Mekanizmanın bir konumu söz konusu olduğunda yapılan hatalar

yok varsayılabilirse, bu hataları yüzde iki veya bir mertebesinde tutmak mümkün

olabilir, isteyerek grafik yöntem kullanılmaktadır. Çoğu kere mekanizmacı veya

konstrüksiyon mühendisleri mekanizmanın uzuvlarına ait hız ve ivmelerin en büyük

veya en küçük değerlerini bilmek isterler. Bu durumda mekanizmanın bir tek

konumu yerine çok konumu söz konusudur. Mekanizmanın çok konumu için, konum

sayısına bağlı olarak, grafik yöntem oldukça yorucu ve zaman alıcı olur.

www.muhendisiz.net

2

Mekanizmaların analitik yöntemle kinematik analizinde geometrik ve cebirsel

esaslardan hareketle sonunda mekanizmanın uzuvlarına ait konum, hız ve ivmeleri

için analitik bağıntılar bulunur.

Bu bağıntıların çözümlenebilmesi ve değerlendirilmesi çağımızda

computerler yardımıyla çok kolay hale gelmiştir. Hemen söylemek gerekir ki her

mekanizma için analitik bağıntıların bulunuşu sanıldığı kadar kolay değildir. Üç

çubuk mekanizması, krank biyel mekanizması ve buna benzer bazı az uzuvlu

mekanizmalar için analitik bağıntıların elde edilmesi nispeten kolay ve mümkün olsa

da, çok uzuvlu mekanizmalar için güçlükler vardır.

Elektronik hesap makinelerindeki hızlı gelişmeler mekanizmaların analitik

yöntemle analizine olan ilginin artmasına yol açmıştır. Mekanizmanın analizi için

matematik bağıntılar bir kere doğru olarak elde edildikten sonra mekanizmanın

konum, hız ve ivme bağıntılarındaki parametreler sonsuz değiştirilerek istenilen elde

edilebilir. Ayrıca bu amaçla yapılan programlar saklanıp gerektiğinde tekrar

kullanılabilir. Makinelerde mevcut mekanizma sayısının fazlalığı her mekanizma için

ayrı matematik bağıntıların önceden bulunmasını gerektirir. Tüm mekanizmaları bir

tek matematik bağıntıyla temsil etmek mümkün olamayacağına göre analitik yöntem

konum, hız ve ivmeleri için matematik bağıntıları elde edilmiş veya elde edilmesi

mümkün olan mekanizmalar için iyi sonuç verir. Hemen söylemek gerekir ki

düzlemsel ve hacmi mekanizmaları kapsamına alan programlar geliştirmek gerek

mekanizmaların analizi gerekse sentezi için çok yararlı olacaktır.

2.MAFSAL MEKANİZMALARI

www.muhendisiz.net

3

Düzgün olmayan çevrimli mekanizmalarda hız ve ivmeler belirir. Mesela bir

kol mekanizmasının biyeli muylu sayesinde düzgün hızla (çevre hızı) çevrilirken,

piston pernosundaki diğer bir yatak değişen hız ve ivmelere maruz kalmaktadır. Her

iki biyel yatağında hareket şartları farklıdır.

Bir muylunun ve piston pernosunun hareketi sorunu bir noktanın hareketi

sorunudur. Bütün bir biyelin hareketi ise bir düzlemin hareketi sorunudur. Eğer bütün

ayrı noktaların hareketleri belirli ise o zaman bir düzlemin hareketi incelenebilir.

Biz mekanizmaların kinematik analizini yapmadan önce maddesel noktanın

hareketini inceleyeceğiz. Ayrıca mekanizma mafsallarını hareketli noktalar şeklinde

düşünüceğiz.

2.1 Maddesel noktanın hareketi

Maddesel nokta bir doğru üzerinde hareket ediyorsa buna maddesel

noktanın doğrusal hareketi denir. Verilmiş olan bir t anında maddesel nokta, doğru

üzerinde belirli bir yerde bulunur. Maddesel noktanın P yerini tanımlamak için doğru

üzerinde sabit bir O noktası ve bir pozitif yön seçilirse, P noktasının konumu

tamamen belli olur (Şekil 1.a). OP = u nun t zamanına göre değişme şekli P nın

hareketini belirleyecektir. P nın hareketi, u ile t arasındaki matematik ilişki verildiği

takdirde, belirli bir harekettir. Bu ilişki ;

(1) u = f (t)

bağıntısı ile ifade edilir.

www.muhendisiz.net

4

Burada noktanın başlangıç konumu P0 büyük önem taşır. Bu konum

başlangıç zamanı olarak isimlendirilen t0 anında işgal ettiği konumdur. P0 başlangıç

konumu bu durumda ;

OP0 = u0 = f (t0)

ile belirlidir. OP0 = u0 , OP = u ve alınan yol PP0 ise, s = u – u0 dir. Bilindiği

gibi hız ve ivme yolun zamana göre 1. ve 2. türevleridir :

(2) v =dtds m / s (Hız)

(3) b =dtdv = 2

2

dtsd (m /s2) (İvme)

2.2 Bir noktanın eğrisel hareketi

Bir nokta herhangi bir a eğrisi boyunca hareket ediyorsa nokta eğrisel

hareket yapıyor denir. Noktanın verilen bir t zamanında P yerini tanımlamak için

eksenleri sabit bir x, y, z karşılaştırma takımı seçer ve 0 başlangıç noktasını P ye

bağlayan r vektörünü çizeriz (Şekil 1.b). Bu r vektörüne konum vektörü denir.

Konum vektörü zamanın bir fonksiyonudur, yani r = r (t) dir. Ox, Oy, Oz

eksenlerinin birim vektörleri i, j, k, P noktasının koordinatları, x, y, z olursa, r

konum vektörü,

www.muhendisiz.net

5

(4) r = xi + yj + zk

yazılabilir. OP veya r in yönündeki birim vektör e, ise gösterilirse,

(5) r = r er

dir. Burada

(6) r = 222 zyx ++

dır.

Şimdi D t zaman aralığında nokta P den P1 e gelmiş olsun, (Şekil 1c). Bu

esnada r vektörü D r kadar değiştirilmiştir, yani

D r = r1 – r

dir. Maddesel noktanın Dt zaman aralığındaki ortalama hızıtr

DD oranı olarak

tanımlanır. Burada Dr bir vektör ve Dt bir skaler olduğundan Dr / Dt oranı, P den

geçen ve Dr ile aynı doğrultuda ve yönde olan bir vektördür. Maddesel noktanın t

anındaki ani hızı;

v =dtdr

tr

t=

DD

®D 0lim = r

www.muhendisiz.net

6

v hız vektörü ile gösterilir. Görülmektedir ki Dr / Dt limiti bize r (t) vektör

fonksiyonunun türevini vermektedir. Şimdi hız vektörünün yönünü inceleyelim. PP1

yaz uzunluğunu Ds olarak tanımlayalım. Buradan;

==DD

®D dsdr

sr

s 0lim et

yazabiliriz. Burada et birim vektör olup P noktasında yörüngeye teğettir. Diğer

taraftan v = =dtdr r eşitliğinden

v = ÷øö

çèæ÷øö

çèæ=

dtds

dsdr

dtdr

(7) v = tt esedtds ·

=×

yazılabilir.

www.muhendisiz.net

7

Şekil 1

www.muhendisiz.net

8

Eğer Dt zaman aralığında hızda Dv değişimi meydana geliyorsatvDD oranı

bize maddesel noktanın bu Dt zaman aralığındaki ortalama ivmesini verir. Maddesel

noktanın t anındaki ivmesi

(8) b =··

®D===

DD r

dtrd

dtdv

tv

t 2

2

0lim

dir. r = xi +yj +zk konum vektörünün zamana göre türevi

v =dtdkzk

dtdz

dtdjyj

dtdy

dtdixi

dtdxr

dtdr

+++++==·

dir. Burada

0===dtdk

dtdj

dtdi

olduğundan

v = kdtdzj

dtdyi

dtdx

dtdr

++=

veya

(9) v = kzjyix···

++

www.muhendisiz.net

9

dır. İvme ise

(10) b = kdt

zdjdt

ydidt

xdrdt

rddtdv

2

2

2

2

2

2

2

2

++===··

veya kzjyixb······

++=

dır. İvme büyüklüğü

(11) b =······

++ 222 zyx

dır.

Maddesel noktanın v hızı

(12) v = v et

şeklinde bilinmektedir. Maddesel noktanın ivmesini elde etmek için bu ifadenin t ye

göre türevini almamız gerekir.

(13) b =dtde

vedtdv

dtdv t

t +=

dir. Bilindiği gibi ,

www.muhendisiz.net

10

dtds

dsd

dde

dtde tt ××=

qq

dir.dtds = v , n

t edde

=q

ver

q 1=

dsd olduğundan (burada r eğrilik yarıçapıdır),

nt ev

dtde

r=

bulunur. Buradan

(14) b = nt evedtdv

r

2

++

elde edilir. Şu halde ivmenin skaler bileşenleri

(15) bt = dtdv , bn =

r

2v

dir. Buradan anlaşılacağı gibi ivmenin teğetsel bileşeni maddesel noktanın hızının

şiddetinin değişimini, normal bileşeni ise doğrultusundaki değişimi ifade etmektedir.

Limitte (Ds ® 0) et ile et + Det vektörlerinin tanımlandığı düzleme

oskülatör düzlemi denir. Dq 0® için limitte Det vektörü, et birim vektörüne normal

olmaktadır. Bu sebepten şimdi Det , ile aynı özelliklere sahip olan bir birim vektör

tanımlamak gerekecektir. Bu vektör yörüngeye teğet olmakta ve oskülatör düzlemi

www.muhendisiz.net

11

içinde bulunmakta ve Det ile aynı doğrultuya sahip olmaktadır. P1 ve P2 yöründe

normalleri C noktasında kesişirler (Şekil1c). Birim vektör tanımlandığı gibi

yörüngeye normaldir ve oskülatör düzleminde bulunmaktadır ve ayrıca eğrinin

merkezine yönelmiştir. Bu birim vektöre asal normal en adı verilir. Eb = et xen birim

vektörü et , en , eb sağ takımını tamamlar ve P deki binormal adını alır. Bu durumda

binormal oskülatör düzlemine diktir.

2.3 Grafik türev

2.3.1 Metotlar

Yolun zamana göre türevini almakla hız ve teğetsel ivme bulunabilir. Bu

hem analitik olarak hem de grafik olarak yapılabilir. Analitik metod daha

dolambaçlıdır, çünkü -özel haller dışında- yol-zaman değişiminin denklemi her

zaman basit bir şekilde karşımıza çıkmaz. Bu denklemin ayrıca iki kat türevi de

oldukça zahmetlidir. Örneğin santrik krank biyel mekanizması için yol-zaman

değişimi

(15) ( )úú

û

ù

êê

ë

é÷øö

çèæ--±-=

2

sin11cos1 aababas

eşitliği ile belirlidir. Burada :

www.muhendisiz.net

12

www.muhendisiz.net

13

Şekil 2

s – iç ölü noktaya nazaran alınan yol

a - kol uzunluğu

b - biyel uzunluğu

a - kol dönme açısı (iç ölü noktadan ibaret)

¾ işaret ileri strok,

+ işaret ise geri strok içindir.

Buna karşılık grafik metot kısa zamanda sonuca ulaşır. Sonucun emniyetli

olması ilk planda çizimin hassaslığına bağlıdır. Çizim hassaslığına ise seçilen ölçek

ve keza serbest seçilebilir aralık bağlıdır. Çizim hassaslığına ise seçilen ölçek ve keza

serbest seçilebilir aralık taksimatı ile etki yapılabilir.

Şekil 2a ve şekil 2d de iki farklı metot gösterilmiştir. Birinci örnekte (Şekil

2a) eğrinin eğimi nokta nokta tespit edilir. Bunun için önce n normali aranır ve buna

bir dik çıkılır. Resim düzlemine dik olarak resmin üzerine konulmuş bir cam normal

www.muhendisiz.net

14

doğrultusunun bulunmasını sağlar. Cam önce tahmin edilen doğrultuya getirilir ve

eğri ile kesişme noktası etrafında olmak üzere cam önünde bulunan eğri parçasının

simetri dirsek (büküm) teşkil etmeksizin bu eğriye ekleninceye kadar döndürülür

Bundan önce yol-zaman eğrisinin altında planlanan hız eğrisinin apsis ekseni tespit

edilir. Bu eksen koordinat başlangıcından sol tarafa doğru p mesafesi kadar (pol

ağırlığı) uzatılır. Yol-zaman eğrisinin normali üzerine, hız-zaman eğrisinin apsis

ekseni üzerine işaretlenen bu p mesafesinin kestiği nokta bulunur. Bu ordinat değeri

yol-zaman eğrisinin muhtelif teğet eğimleri ve dolayısıyla hızlarla orantılıdır.

Bundan sonra muhtelif ordinat değerleri yatay olarak ait olduğu apsis taksimatı

üzerine aktarılır. Aynı tarzda ivme değişimi eğrisi de tespit edilir (Şekil 2a).

Diğer bir metotta eğrinin muhtelif doğrularının teğetleri kullanılmayıp

sadece eğrinin iki noktasının sınırladığı dilim ele alınır. Bu dilimin eğimi iyi bir

yaklaşımla aralık ortasının teğet eğimi olarak alınabilir (Şekil 2b ve 2c). Bazı defa

teğet ve dilim eğimleri birbirleriyle uyuşmayabilir. Yeteri derecede dar aralık

atmakla bu fark çok küçük tutulabilir. Bu metodun faydası şudur: Bir dilimin eğimi

bir eğrinin bilinen iki noktası vasıtasıyla tamamen belirlidir. Halbuki teğetin eğimi

tahmine bağlıdır.

Bu metot, bundan önce anlatılanda olduğu gibi aynı tarzda uygulanabilir.

Türev almada, sola doğru uzatılmış apsis üzerinde alınan sabit bir noktadan her aralık

dilimine paralel çizilir. Unutulmamalıdır ki, ait olduğu eksen mesafeleri aralık

ortasındaki eğime tekabül etmektedir. Buradan şu zorunluluk ortaya çıkmaktadır: Hız

eğrisi taksimatını yarım aralık kaydırılmış çizmek gerekir. İkinci türevde taksimatı

tekrar kaydırmak gerekeceğinden yol-zaman eğrisi taksimatı ile ivme eğrisi taksimatı

birbirine böylece tekrar uyuşacaktır.

www.muhendisiz.net

15

Bu metodun karakteristik tarafı ilk iki eğrinin (Şekil 2d ve s ve v eğrileri)

poligon gibi kesikli çizgi şeklinde görünmesidir. Bütün köşe noktalar tam tespit

edilmiş değerlerdir.

2.3.2 Ölçekler :

Her iki metodun sonucu v hız ve bt teğetsel ivmenin nasıl değiştiğidir.

Eğrilerin sayısal değerlendirilmesi şu bilgilere bağlıdır:

1. Mekanizma şemasının M resim ölçeği, yani yol-zaman eğrisi için

ordinat ölçeği.

2. Mekanizmanın devir sayısı n (d/d)

3. Grafiğin uzunluğu T (cm) (örneğin 1 döngü için zaman)

4. Hız grafiğinde p pol uzaklığı (cm)

5. İvme grafiğinde q pol uzaklığı (cm)

Buna göre şu ölçekler meydana gelmektedir:

Zaman ölçeği Yol ölçeği

(17) mt = tn ×60 s / cm (18) ms = M100

1 m / cm

Hız ölçeği

mv = npT

Mmpm

t

s ×××

=× 60100

1

www.muhendisiz.net

16

(19) mv = npT

M×

×× 31061

cmsm /

İvme ölçeği

mb= 23 60106

nq

TpM

Tmq

m

t

v

××××=

×

(20) mb = 25

2

1063n

pqMT

××××× cm

sm 2/

Örnek : Şekil 2d’de araştırılan krank-biyel mekanizması için şu değerler kabul

edilsin:

M = 1:5 = 0,2 n = 300 d-d T = 6 cm

q = q = 0,7 cm

Buna göre şu ölçekler ortaya çıkar:

mt = 033,06300

60=

× s/cm

ms = 05,02,0100

1=

×m/cm

www.muhendisiz.net

17

mv = 14,27,0033,0

05,0=

× cmsm /

mb = 927,0033,0

14,2=

× cmsm 2/

Hız ve ivmenin tespitinde eşit büyüklükte pol aralıkları alınırsa, yani p = q , böylece

Hız ölçeği içinpT

ve ivme ölçeği için2

÷÷ø

öççè

æpT emsali ortaya çıkar.

RAUH’a göre T diyagram uzunluğu için kol dairesinin çevresi a××p2 ve

pol aralığı için de kol uzunluğu (a) alınırsa, hız ölçeği için 2p ve ivme ölçeği için 4p2

olur.

Bu şu ölçek eşitliklerini vermektedir.

(21) mv = nM×× 3103

pcm

sm /

(22) mb = 24

2

109n

M××p

cmsm 2-

www.muhendisiz.net

18

Buna göre v ve b için ölçekler sadece M resim ölçeğine yani yol-zaman

diyagramına ve devir sayısına bağlıdır.

Pol aralığını her iki halde de 0,1 T olarak almak şayanı tavsiye olduğundan,

emsaller hız ölçeği için 10 ve ivme ölçeği için 102 olur ve formüller,

(23) mv = nM×× 2106

1cm

sm /

(24) mb = 23106,3

1 nM×× cm

sm 2/

şeklini alır.

Türev almada her iki pol hali için Şekil 3 de bir grafik verilmiştir. Bu

grafikten hız ve ivme grafiklerinin değerlendirilmesinde beher cm ve beher cm d

değerleri devir sayısına bağlı olarak alınabilir. Hız ve ivme tespitinde aynı pol şartını

kullanmak gereklidir. Ölçek grafiği (Şekil 3) bütün devir sayısı alanları için üniversal

kullanışlıdır ve (21), (22), (23) ve (24) formüllerindeki ilişkileri ifade eder.

2.4 Mekanizmadaki hareket seyri üzerinde uzuv uzunluğunun etkisi

Daha önce de işaret edildiği gibi, en az bir tam dönme hareketli uzva sahip

mekanizma teknik uygulama açısından büyük öneme sahiptir. Pistonlu makinelerde

tam döner uzuv krank koludur. Krank-biyel mekanizması, kol-sarkaç kol

mekanizmasının özel bir halidir. Tam dönebilir mafsal için şart bu durumda kol-

www.muhendisiz.net

19

sarkaç kol mekanizmasında açıklanabilir. Bu şart bütün dört mafsallı zincir

mekanizmaları için geçerlidir.

2.5 GRASHOF Teoremi

Tam dönebilirlik esasen bütün dört mafsalda da mümkündür, ancak kol

uzunluklarının belirli şartı sağlaması gerekir (Şekil 4-m). Herhangi bir uzunluk hali

için GRASHOF teoremi :

En küçük ve en büyük uzvun uzunlukları toplamı,diğer iki uzvun

uzunlukları toplamından küçük olursa dört köşe mafsallısında en küçük uzuv

komşu uzuvlar karşısında tam dönme hareketine sahiptir. Bu arada en büyük

uzuv, en küçük uzvun komşusu ve karşısında bulunabilir.

Şekil 4 de karakteristik kol uzunlukları kol-sarkaç mekanizması örneğinde

açıklanmıştır. Üst iki sıra (Şekil 4a-f) ile en alt sırada (Şekil 4k-m) verilen

mekanizmalar GRASHOF şartını gerçekleştirirler.

Ancak örnekte gösterilen a-c mekanizmaları belirliliği haiz

mekanizmalardır. Diğer şekillerde uzuvların toplamı birbirine eşittir ve böylece

belirsizliği haiz mekanizmalar hasıl olmaktadır (Şekil 4d-f).

Şekil 4g, h ve i de gösterilen mekanizmalar GRASHOF şartını

sağlamaktadır. Bu sebepten bu mekanizmalarda tam dönme hareketine sahip uzuv

bulunmamaktadır. Eğer dört uzvun en küçüğü tam dönme hareketi yapabilirse, bu

dönme iki komşu uzva göre izafidir, yani bu durumda 2 tam dönebilir mafsal söz

konusudur. Aynı hal, c karşıt uzvun hareketi için de geçerlidir. Özel bir hal olarak bu

c uzvu da tam bir dönme hareketi yapıyorsa (Şekil 4-m), bu durumda ayrıca iki adet

www.muhendisiz.net

20

tam dönme hareketi yapabilen mafsal var demektir. Bu durumda dört köşe mafsal

mekanizmasında tam dönebilir mafsalların sayısı

0 veya 2 veya 4

dür.

www.muhendisiz.net

21

Şekil 3

www.muhendisiz.net

22

www.muhendisiz.net

23

Şekil 4

3. ÜÇ ÇUBUK MEKANİZMASININ ANALİTİK YÖNTEMLE ANALİZİ

3.1 Konum analizi

Önce üç çubuk mekanizmasının analitik yöntemle analizinde izlenecek yol,

önce mekanizmanın diğer uzuvlarının tahrik uzvuna göre konumlarını belirleyen

parametrelerin geometrik, trigonometrik ve vektörel cebir esaslarından veya

hepsinden yararlanarak tespitinden ibarettir.

Elde edilen konum denkleminin zamana göre birinci türevi hızı ve ikinci

türevi de ivme denklemini verir. Bir mekanizmanın analitik yöntemle kinematik

analizinde bu mekanizmanın tahrik ve sabit uzvu dışında diğer bütün uzuvlarının

konumu bilinmeyen olarak karşımıza çıkar. Bu nedenle her uzvun konum denklemi

ayrı ayrı bulunmak mecburiyetindedir.

Önce şekil 5.1’deki üç çubuk mekanizmasının 3 ve 4 uzuvlarının

konumlarını belirleyelim. Bu amaçla da karmaşık sayılardan yararlanalım.

(5.1) r1 + r2 + r3 – r4 = 0

vektörel eşitliği yazılabilir.

www.muhendisiz.net

24

Bu vektörleri karmaşık sayılarla ifade edelim.

r1 = r1 eij11

r2 = r2 eij21

r3 = r3 eij31

r4 = r4 eij41

buna göre (5.1) denklemi

(5.3) r1 eij11 + r2 eij21 + r3 eij31 – r4 eij41 = 0

olacaktır. Diğer taraftan genel olarak

(5.4) eij = cos j + i sin j

olduğu hatırlanıp (5.3) denkleminden

(5.5) r1 cos j11 + r2 sin j21 + r3 cos j31 – r4 cos j41 = 0

(5.6) r1 sin j11 + r2 sin j21 + r3 sin j31 – r4 sin j41 = 0

elde edilir. Bu bağıntıda j11 = 180° olduğundan

(5.7) -r1 + r2 cos j21 + r3 cos j31 – r4 cos j41 = 0

www.muhendisiz.net

25

(5.8) r2 sin j21 + r3 sin j31 – r4 sin j41 = 0

elde edilir. (5.7) ve (5.8) denkleminden j31 yok edilirse

(5.9) k1 cos j41 – k2 cos j 21 + k3 – cos (j21 - j41) = 0

olur. Burada

k1 =2

1

rr

(5.10) k2 =4

1

rr

k3 =44

21

24

23

22

2 rrrrrr ++-

tanımlanmıştır.

(5.11) sin j41 =( )( )2/tan1

2/tan2

412

41

jj

+

(5.12) cos j14 =( )( )2/tan1

2/tan1

412

412

jj

-+

www.muhendisiz.net

26

trigonometrik dönüşümlerle (5.9) bağıntısı

(5.13) A tan2 (j41 / 2) 9 B tan (j41 / 2) +C = 0

olur. Bu bağıntıda

A = (1 – k2) cos j21 – (k1 – k3)

(5.14) B = - 2 sin j21

C = k1 + k3 – (1 + k2) cos j21

olarak tanımlanır. (5.13) denkleminin çözümü

(5.15) j41 = 2 arctan ÷÷ø

öççè

æ -±-A

ACBB2

42

olur.

www.muhendisiz.net

27

Şekil 5.1 Üç çubuk mekanizmasının konum vektörleri

Eğer (5.7) ve (5.8) denklemlerinden j41 yok edilirse,

(5.16) k4 cos j21 + k1 cos j31 + k5 – cos (j21 - j31) = 0

bulunur. Burada k4 ve k5;

(5.17) k4 =3

1

rr

(5.18) k5 =( )

32

23

22

21

24

2 rrrrrr ++-

bağıntılarından hesaplanır. j31 parametresini veren denklem;

(5.19) D = (k4 + 1) cos j21 + k5 – k1

(5.20) E = (k4 – 1) cos j21 + (k1 + k5)

www.muhendisiz.net

28

üzere

(5.21) D tan2 (j31 / 2) + B tan (j31 / 2) + E = 0

Bu denklemin çözümü;

(5.22) j31 = 2 arctan ÷÷ø

öççè

æ --D

DEBB2

42m

3.2 Hız analizi

Şekil 5.1 deki üç çubuk mekanizması matematik pozitif yönde j31 açısıyla

A0A uzvundan tahrik edilsin. (5.3) denklemini t zamanına göre getirsek ve j11 =180°

yazılırsa

(5.23) r2 w21 eij21 + r3 eij31 – r4 w14 eij41 = 0

elde edilir. Buradan da reel ve karmaşık kısımların sıfıra eşit olduğu yazılırsa

(5.24) r4 w41 sin j41 = r2 w21 sin j21 + r3 j31 sin j31

(5.25) r4 w41 cos j41 = r2 w21 cos j21 + r3 j31 cos j31

eldeedilir.Bu denklemden

www.muhendisiz.net

29

(5.26) w41 =( )( )3141

3121

4

212

sinsin

jjjjw

--

rr

(5.27) w31 =( )( )4131

2141

3

212

sinsin

jjjjw

--

rr

3.3 İvme analizi

Burada (5.23) ile verilen bağıntı t zamanına göre bir kere daha türetilirse

ir2 a21 eij21 + i2r2 w21 eij21 + ir3 a31 eij31 +i2 r3 w231 eji31 =

(5.28) = ir2 a41 eij41 + i2r4 w41 eij41 + eij41 = 0

buradan da

(5.29) a31 = NRMSMUPR

--

(5.30) a41 = NRMSNUPS

--

olarak hesaplanır. Burada

M = r4 sin j41

www.muhendisiz.net

30

N = r3 sin j31

P = r2 (a21 sin j21 + w221 cos w21) + r3 w2

31 cos j31 – r4 w241 sin j41

R = r4 cos j41

S = r3 cos j31

U = r2 (a21 cos j21 - w221 sin w21) - r3 w2

31 sin j31 + r4 w241 sin j41

olarak tanımlanmıştır.

4. KRANK-BİYEL MEKANİZMASININ ANALİTİK YÖNTEMLE ANALİZİ

4.1 Konum analizi

Şekil 5.2’de gösterilen eksantrik krank-biyel mekanizmasında A0A kolu w21

açısal hızıyla tahrik edilsin. Verilen herhangi bir konumda uzuvların 1 uzvuna göre

konumlarını belirleyen açıları j11 , j21 , j31 , j41 ile gösterelim.

www.muhendisiz.net

31

Şekil 5.2

r2 = r2 eij21 = A0A

r4 = r4 eij41 = HB

r3 = r3 eij31 = BA

r1 = r1 eij11 = HA

ve şekil 5.2’den

(5.31) r1 + r2 – r3 – r4 = 0

buradan da

(5.32) r2 eij21 + r1 eij11 – r3 eij31 r4 eij41 = 0

bulunur. 5.32 bağıntısı reel ve sanal kısımlarına ayrılarak

www.muhendisiz.net

32

(5.33) r2 cos j21 + r1 cos j11 – r3 cos j31 – r4 cos j41 = 0

(5.34) r2 sin j21 + r1 sin j11 – r3 sin j31 – r4 sin j41 = 0

olur. Bu bağıntıda j11 = 180° ve j41 = 90° yazarsak 5.33 ve 5.34 bağıntısı

(5.35) r2 cos j21 – r1 – r3 cos j31 = 0

(5.36) r2 sin j21 – r4 – r3 sin j31 = 0

elde edilir. 5.35 ve 5.36 denklemlerinden j31 yok edilir ve r1 yerine de s yazılırsa

(5.37) s2 + 2 l2 s + l3 = 0

elde edilir. Burada

(5.38) l2 = - r2 cos j21

(5.39) l3 = r22 + r4

2 – r32 –2r2 r4 sin j21

olarak tanımlanmıştır. (5.37) denklemi çözülürse B noktasının A0 mafsalından geçen

dik eksene göre apsisi, diğer bir kelimeyle stroku

www.muhendisiz.net

33

(5.40) s = 32

22 lll -- m

bulunur. r2, r4, r3 belirlendiğinden her j21 konumu için s kolaylıkla bulunur. Biyel

uzvunun konumunun belirlenmesi ise

(5.41) j31 =sr

rr--

212

4212

cossin

arctanjj

bağıntısı ile olur. Önce j21 konumuna karşı gelen s stroku 5.40 yardımıyla

hesaplanıp elde edilen değer 5.41’de aynı j21 için yerleştirilerek j31 açısı bulunur.

4.2 Hız analizi

Vektörel eşitliği karmaşık sayılar tarzında yazılırsa

(5.42) r2 ej21 + r1 ej11 – r3 eij31 – r4 eij41 = 0

ve bu eşitlik zaman göre türetilirse,

(5.43) iw21 r2ij21 +

·

r 1 eij11 - iw31 r3 eij31 = 0

elde edilir. Bu denklemde sanal ve karmaşık kısımları ayıralım ve (dr1 / dt) =·

s

yazalım.

www.muhendisiz.net

34

(5.44) r2 w21 sin j21 -·

s cos j11 – r3 w31 sin j31 = 0

(5.45) r2 w21 cos j21 +·

s sin j11 – r3 w31 cos j31 = 0

Ayrıca (5.45) denkleminde j11 = 180° yazılırsa

(5.46) w31 =313

21212

coscosjjw

rr

bulunur.

Buradaki j31 açısının nasıl hesaplanacağı konum analizinde açıklanmıştı.

j21, r2, r3 ve w21 verildiğinden w31 açısal hızı 5.46 ile hesaplanır. B noktasının hızı

(5.47)·

s( )

31

2131212 cos

sinjjj

w-

×== rdtds

olarak elde edilmiş olur.

4.3 İvme analizi

(5.43) denkleminden zaman göre bir defa daha türevini alalım.

www.muhendisiz.net

35

(5.48) ir2 a21 eij21 – r2 w221 ej21 +

··

s eij11 – ir3 a31 ej31 + r3 w231 . eji31 = 0

bağıntısı bulunur. Bu ifadenin reel ve karmaşık kısımlarını ayırırsak,

(5.50) r2 (a21 cos j21 - w221 sin j21) – r3 (a31 cos j31 - w2

31 sin j31) = 0

elde ederiz. Burada a21 = dw21 / dt ve a31 = dw31 / dt dir.

(5.51) a31 =( )

313

31231321

22121212

cossinsincos

jjwjwja

rrr +-

ve (5.50) bağıntısından da

(5.52) a21 =( ) ( )

11

312313131321

22121213

coscossincossin

jjwjajwja +-+ rr

5. MEKANİZMALARDA DÖNÜŞÜM (TAHVİL) ORANI

Mekanikte dönüşüm oranı tahrik eden uzvun devir sayısının tahrik

edileninkine oranı olarak tanımlanır.

(5.53) i =te

t

te

t

nn

ww

=

www.muhendisiz.net

36

Gerçel anlamdaki dönüşüm oranı düzgün dönüşümlü olmayan

mekanizmaların kinematik analizi için oldukça önemli kavramdır. (5.53) ile

tanımlanan dönüşüm oranı yalnızca dişli çark, zincir ve kayış-kasnak mekanizmaları

içindir. Bu kavramın herhangi bir mekanizmanın kinematik analizinden

yararlanılacak tarzda genişletilmesi gerekir.

Mekanizma tekniğinde dönüşüm oranı herhangi iki açısal hızın birbirine

oranı olarak düşünülecek. Bu iki açısal hız aynı yöndeyse i oranı pozitif, zıt yönde

iseler negatiftir.

Dönüşüm oranı için iki durum söz konusudur;

Basit dönüşüm oranı, iki açısal hızın müşterek uzvun varsa bu çevrim oranı

basit dönüşüm oranıdır. Örneğin,

(5.54)21

412141 w

w=-i dir.

Köşegen dönüşüm oranı, farklı uzuv çiftlerine ait açısal hızların oranıdır.

(5.55)21

342123 w

w=-i olur.

www.muhendisiz.net

37

Şekil 5.3 Kol –Sarkaç kol mekanizmasında basit dönüşüm oranı

www.muhendisiz.net

38

Şekil 5.4 Dönüşüm oranlarına örnekler

5.1 Basit dönüşüm oranının bulunuşu

Genel dönüşüm oranı için burada da üç çubuk mekanizması örnek

alınacaktır (Şekil 5.5).

4 uzvunun 1 uzvuna göre hareketinde w41 açısal hızı verilsin, bu konumda 3

uzvunun 2 uzvuna göre hareketindeki w32 açısal hızı istensin.

www.muhendisiz.net

39

Şekil 5.5 Üç çubuk mekanizmasında genel dönüşüm oranı

Burada müşterek bir uzuv yoktur. Dönüşüm oranı

(5.57) i41-32 = w41 / w32

şeklinde olacak, alt rakamların düşey eşleştirilmesiyle elde edilecek polleri

birleştiren kolineasyon ekseni k12-34 yardımıyla bulunacaktır. Polleri gösterirken alt

rakamlar çiftinde rakamların sırasının önemi yoktur. Bu sebepten önce küçük rakam

sonra da büyük rakam yazılır. Fakat hızların ve kuvvetlerin gösterilmesinde rakam

değişikliği hız ve kuvvetin yönünün değişmesi demektir.

Örneğin:

(5.58) w23 = - w32

olur. 12 ve 34 pollerini birleştiren k12-34 ekseni ile k14-23 ekseni R noktasında

kesişirler. Buna göre

(5.59) i14-32 = w41 / w32 = | R,23 | / | R,14 |

olmak zorundadır, yani köşegen üzerindeki, pollerin açısal hızlarının oranı

kolineasyon eksenlerinin R kesim noktasının bu pollere olan mesafelerinin oranı

gibidir. (5.59) ile verilen dönüşüm oranı negatiftir. 4 uzvu saat göstergesi yönünde

dönerken ters yönde döner. (5.59) dan w32 bulunur.

www.muhendisiz.net

40

w23 = - w32 olduğundan

(5.60) i41-23 = w41 / w23

olur.

Şimdi de i43-21 = (w43 / w21) dönüşüm oranını bulalım:

Açısal hızlara ait rakamların düşey eşleştirilmesiyle k13-24 kolineasyon

ekseni bulunur.

K12-34 Ç k12-34 = íSý

olsun,

(5.61) i43-21 = w43 / w21 = | 12,S | / | 34,S |

olacak ve S noktası 12 ve 34 pollerinin dışında olduğundan i43-21 > 0 olur. Bunun

sonucu w41 açısal hızı ile w23 açısal hızı aynı yöndedir.

Krank-Biyel mekanizmasında dönüşüm oranı (Şekil 5.6), 4 pistonu 1

uzvuna açılmış kanal içinde doğrusal hareketli olduğundan w41 = 0 olup

(5.62) i41-21 = w41 / w21 = 0

www.muhendisiz.net

41

Şekil 5.6

Buna rağmen bunlarda 4 uzvunu VB = V41 hızı ile 2 krankının w21 açısal hızı

arasında

(5.63) V41 / w21 = | 12,24 | = < r > / M

bağıntısı bulunmaktadır. Burada M şekil ölçeğidir.

6. KAYNAKÇA

www.muhendisiz.net

42

1. Mekanizma tekniği, Doç. Dr. Galip KEÇECİOĞLU, 1975

2. Mekanizma tekniği, Bekir DİZİOĞLU, çev. Fuat PASİN

3. Mekanizma tekniği, Mustafa SABUNCU