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Amaldi, Dalla mela di Newton al bosone di Higgs CAPITOLO 17 • LA MECCANICA DEI FLUIDI

1 ©Zanichelli 2015

Problemi di paragrafo

1 Tracciamo le forze che agiscono sul liquido da parte delle superfici laterali dei recipienti e scomponiamole nei componenti orizzontali e verticali. Si vede che controbilanciano il peso del liquido in più o in meno rispetto al recipiente cilindrico.

2 I punti A, B e C sono alla stessa profondità, perciò la pressione è uguale in ciascuno di essi.

3 La pressione esercitata da una zampa dell'elefante è:

La pressione esercitata da un tacco a spillo è:

4 Applicando la legge di Stevino:

5 • La pressione minima si ottiene appoggiando il blocco sulla faccia di massima area.

• La componente della forza che provoca una pressione sul piano è quella perpendicolare al piano:

6 • Si applica la legge di Stevino:

• Dalla definizione di pressione:

• Quadruplicherebbe, perché la forza è proporzionale al quadrato del diametro.


2 ©Zanichelli 2015

7 • Applicando la legge di Stevino si trova:

• All'aumentare della temperatura aumenta il volume, ma la massa del liquido non cambia. Perciò

la forza sul fondo non cambia e poiché non varia l'area del fondo, non cambierà neppure la pressione su di esso.

• Se viene sciolto del sale nell'acqua, aumenta la forza-peso e quindi aumenta anche la pressione sul fondo.

8 • Applichiamo la definizione di pressione:

• Applichiamo il principio di Pascal:

• Dalla definizione di lavoro:


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9 • Applicando la legge di Pascal si ha:

3N • Si tratta di una leva di II genere, sempre vantaggiosa. • Applicando l'equilibrio dei momenti si ha:

10 Se il baricentro a cui è applicato il peso della nave e del carico non si trova sulla stessa retta su cui si trova il baricentro dell'acqua spostata dalla carena della nave, si crea una coppia che fa ruotare la nave attorno a un asse orizzontale lungo la linea prua-poppa.

11 • La spinta di Archimede sarà pari alla differenza tra la forza-‐peso in aria e la forza-‐peso in

acqua: Fp − Fp ' = FA . Siccome il corpo è completamente immerso nel liquido, la spinta di Archimede è data da: A lF Vd g= e uguagliando le due formule si ottiene

• Sostituendo i valori di massa, volume e peso in acqua della biglia si ottiene:

12 •

• In condizioni di equilibrio, la spinta d'Archimede, data dal peso dell'aria spostata dal dirigibile, deve uguagliare la somma del peso del carico e del peso dell'elio contenuto nell'involucro:

13 • La densità del cilindro è:


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• Per la condizione di galleggiamento:

14 Per la condizione di galleggiamento:

da cui:

15 Per la condizione di galleggiamento:

Dato che il volume è proporzionale alla massa:


5 ©Zanichelli 2015

16 •

• Per calcolare il volume, considerando la

statuetta fatta unicamente di bronzo e trascurando la massa dell'aria contenuta nelle cavità, applichiamo la definizione di densità:

• Per trovare il volume totale della statuetta si ricava prima la spinta di Archimede, come differenza tra il peso in aria e il peso in alcool:

il volume delle cavità sarà:


6 ©Zanichelli 2015

17 Quando il sistema è in equilibrio la forza-peso del blocchetto di legno (rivolta verso il basso) è uguale e opposta alla spinta di Archimede (rivolta verso l’alto) che agisce su di esso:

.

Ciò significa che i moduli delle due forze devono essere uguali:

.

Indichiamo con x la lunghezza della parte emersa del blocchetto e con S l’area (che non conosciamo) della superficie di base del blocchetto. Così il volume del blocchetto è V = Sl e la sua massa è m = dV = dSl. Quindi il modulo Fp della forza-peso che agisce sul blocchetto è Fp = mg = dSl g. Il volume dell’acqua spostata dal blocchetto è minore di quello del blocchetto stesso (infatti, una parte di esso non è immersa) e vale V0 = S(l-x). L’intensità della spinta di Archimede è

sostituendo nell’uguaglianza tra le due forze Fp = FA,

.

Dividendo i due membri di questa uguaglianza per Sg la condizione

.

Si tratta di un’equazione di primo grado nella variabile x. Risolvendola, troviamo

. Quindi la parte emersa del blocchetto è alta circa 2,7 cm. L’area di base S che era stata introdotta per potere scrivere la formula Fp = FA si è semplificata nel calcolo. Quindi non era necessario conoscere tale valore numerico per giungere alla soluzione dell’esercizio.


7 ©Zanichelli 2015

18 Perché un liquido non è comprimibile.

19 Significa che c’è un aumento del diametro del vaso sanguigno.

20 Per l’equazione di continuità, l’aria aumenta la sua velocità quando attraversa un condotto a sezione minore (il tunnel) dell’aria aperta.

21 Poiché la portata deve essere la stessa in tutte le sezioni (equazione di continuità) la velocità cresce man mano che l’acqua scende assottigliando la sezione lungo la caduta.

22

23

24 • La portata del tubo è:

• La velocità del fluido in B vale:

25

26

Infatti la velocità è inversamente proporzionale al quadrato del diametro.

27


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28 • Per l’equazione di continuità, nell’ugello e nel tubo abbiamo:

• Si tratta di calcolare la gittata di un corpo lanciato orizzontalmente da una certa quota x = vt con

; dalla seconda equazione

29 • Per la legge di continuità Calcoliamo le sezioni dei condotti e isoliamo Per A

Per B

Per C

Per D

Quindi

• Le portate nei rami secondari sono:


9 ©Zanichelli 2015

30 • La portata si ottiene calcolando la differenza di volume d’acqua nel bacino:

• Il tempo per far defluire l’acqua è:

31 •

•

• Il tempo in cui il canale riesce a defluire è:

32 •

Punto N° Distanza (m) Tempo(s) Velocità (m/s) 1 4,10 17,3 0,237 m/s 2 4,10 8,23 0,498 m/s 3 4,10 7,33 0,559 m/s

•

33 • La portata dell’erogatore per auto vale:

• La portata dell’erogatore per TIR vale:

• Per rifornire un TIR ci vogliono:


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34

Calcoliamo le sezioni , e successivamente il rapporto .

Allora

35 La legge di Bernoulli. Se la palla ruota su se stessa, la velocità dell’aria non è la stessa su due lati della palla rispetto alla direzione del lancio; dove è maggiore, la pressione diminuisce e quindi la palla sente una forza risultante che la fa deviare.

36 L’aria all’interno dello spazio doccia, trascinata dall’acqua che cade, ha una velocità maggiore rispetto all’aria all’esterno della cabina. Ciò produce, secondo l’equazione di Bernoulli, una depressione che risucchia la tenda verso l’interno dello spazio doccia.

37 Quando il corpo è orizzontale, testa e cuore sono alla stessa altezza e quindi la pressione del sangue nell’aorta e nella testa sono uguali. Quando si passa dalla posizione orizzontale a quella eretta la pressione nella testa scende di circa 35 mmHg. Per mantenere costante il flusso del sangue al cervello e compensare questa caduta di pressione, le arterie si dilatano. Questo aggiustamento non è istantaneo; pertanto se la persona si alza troppo velocemente può essere soggetta a capogiri.

38

39 Ricordando che

e trasformando la portata in m3/s

(per l’equazione di continuità la portata non varia). Dall’equazione di Bernoulli, scegliamo come riferimento il punto A, quindi Isoliamo yB e otteniamo:



40

Per l’equazione di continuità vA = vB quindi

41 Applicando l’equazione di Bernoulli, prendendo come quota di riferimento quella del frantoio, abbiamo:

42 • La portata vale:

quindi per l’equazione di continuità:

• Applicando l’equazione di Bernoulli:



43 Durante il sorpasso, l’aria che si trova tra il camion e il ciclista, trascinata dal camion, ha una velocità maggiore rispetto a quella sull’altro lato, quindi la pressione diminuisce dal lato del camion e il ciclista si sente risucchiato verso il veicolo.

44 Grazie al profilo di un’ala rovesciata producono portanza negativa (cioè una forza diretta verso il basso), che va a ostacolare la portanza positiva (diretta verso l’alto) dovuta alla forma dell’auto in corsa. Ciò consente quindi di mantenere l’aderenza tra l’asfalto e le ruote.

45 La forma della tela è tale da curvarsi sotto l’azione del vento. Sulla parte convessa della vela la velocità del vento è maggiore rispetto alla parte concava. In questo modo la differenza di pressione che si crea permette alla barca di avanzare.

46 • Indicando con A la zona sopra il tetto e con B quella all’interno della casa (vB = 0):

• La differenza di pressione è negativa, cioè la pressione che si esercita sul tetto dall’interno verso

l’esterno è maggiore di quella esterna: si corre il rischio di far esplodere il tetto verso l’alto.

47

48 • La portata vale:

• Dall’equazione di Bernoulli:

ma



49 • Usando l’equazione di Bernoulli si calcola la differenza di pressione tra l’interno e l’esterno della

casa:

La forza agente sul tetto della casa sarà: • Se si aprono le finestre, la differenza di pressione si riduce perché la velocità del vento all’interno

della casa non è più nulla.

50 Per l’equazione di continuità:

Il tubo è orizzontale, quindi per l’equazione di Bernoulli:

= 1,6 ×106 Pa

51 Perché ad alte velocità la forza d’attrito (e quindi il lavoro compiuto dall’attrito) è proporzionale al quadrato della velocità.

52 Per ridurre la forza di attrito viscoso dovuta alla forma del corpo in moto nel fluido, occorre conformarlo in modo da evitare la formazione di vortici d’aria.

53



54

Poiché

da cui

55 • «Regime laminare» significa che il fluido si muove come se fosse composto da lamine

infinitesimali che scorrono l’una sull’altra senza mai mescolarsi.

• • Dall’equazione di continuità:

56 • Il coefficiente di viscosità vale:

• Olio d’oliva.

57

58 Quando un corpo cade in un fluido, solo la fase iniziale è caratterizzata da un moto accelerato. Rapidamente la forza viscosa aumenta fino a equilibrare il peso effettivo del corpo che scende. Da questo istante in poi la risultante delle forze è uguale a zero e il corpo si muoverà a velocità costante (velocità limite).



59

60

61 • Poiché la velocità è costante, la risultante delle forze è nulla.

• •

62 Combinando

si ottiene:

63 Poiché le due densità sono confrontabili è importante tener conto della spinta di Archimede. In queste condizioni:

Da cui



Problemi generali

1 •

• • Non si rompe perché nella parte interna del timpani è presente la pressione atmosferica. La

pressione risultante risulta allora solamente di , cui corrisponde una forza risultante di 2,3 N.

2 Combinando

si ottiene, con :

3 Combinando la e la si ottiene, con :

• L’altezza della parte immersa senza il ragazzo a bordo è:

• L’altezza della parte immersa con il ragazzo a bordo è:

4 • La differenza di pressione sarebbe:

• In realtà la differenza vale:



5

All’interno della casa la velocità dell’aria è nulla.

6 • Calcoliamo il volume del serbatoio:

Calcoliamo la sezione del tubo:

La portata del tubo di alimentazione sarà:

• Ricordando che:

7

8 • La velocità della strettoia vale:

• E la pressione:

9



10 Utilizziamo l’equazione di continuità:

Ricaviamo dall’equazione di Bernoulli:

11 • La velocità con cui esce l’acqua si ricava da:

• Dall’equazione di Bernoulli si ottiene la pressione:

12 • Il volume di acqua di mare vale:

• L’imbarcazione sarà immersa di:

13

14 • La forza risultante sul pallone è la differenza tra il peso e la spinta di Archimede:

Il moto del pallone è uniformemente accelerato, quindi:



• La velocità finale del pallone vale:

e la velocità media quindi:

15 • da cui ricavo:

• Il moto è uniforme poiché una volta raggiunta la velocità limite, questa si mantiene costante.

• Se si pone la provetta in una centrifuga si ottiene:

16 • Il raggio della sfera vale:

• Se la sfera fosse immersa nell’olio d’oliva:



17 • Per applicare la formula del moto laminare e calcolare la forza viscosa sull'anello abbiamo

bisogno di conoscere S, la superficie di contatto tra i due anelli. Questa superficie non è altro che la superficie laterale del cilindretto di raggio R e altezza H, perciò:

che passando da unità astronomiche a metri diventa:

A questo punto possiamo calcolare la forza viscosa sull’anello, considerando la larghezza orizzontale dell’anello come la distanza dalla “parete” (l’anello precedente) che esercita l’attrito:

• La decelerazione che tale forza imprime all’anello è:

Infatti la viscosità molecolare considerata qui nell’esercizio, cioè quella dovuta solo alle forze tra le particelle che formano il fluido, è troppo piccola per giustificare il fenomeno di rallentamento in tempi “ragionevoli” (circa centomila anni). Nella realtà la viscosità è dovuta principalmente ad effetti di turbolenza nel fluido (vortici, schizzi, e altri fenomeni complessi), che producono effetti 1010 volte maggiori.

18 Sia vT la velocità limite di una sfera che cade nell’atmosfera terrestre e vM l’analoga velocità su Marte. Indichiamo inoltre con ηT la viscosità dell’atmosfera terrestre e con ηM quella dell’atmosfera marziana.

Per Marte scriveremo: 6 η

MM

M

m gvrπ

= ; per la Terra, analogamente: 6 η

TT

T

mgvrπ

= .

Ricordando che m e r non cambiano, avremo: 6 η η

η6 η

M

M M M T

TT T M

T

mgv r g

mgv gr

π

π

= =

Recuperiamo ora l’espressione dell’accelerazione di gravità sulla Terra ( 29,8 m/sTg = ) 2T

TT

GMg

R=

Sostituendo otteniamo:

22

2

η ηη η

M

M M T M T T

TT M T M M

T

GMv R M R

GMv M RR

⎛ ⎞= = × ×⎜ ⎟

⎝ ⎠

Si noti che i primi due termini dipendono dalle caratteristiche globali del pianeta rispetto alla Terra, mentre il secondo dal tipo di atmosfera. Inserendo i valori numerici otteniamo:

( )5

2

5

1,7 100,107 2 0,61,3 10

M

T

vv

−

−

×= × × =×



Test 1 D 2 C 3 A 4 D 5 D 6 B 7 B 8 D 9 A 10 D 11 B 12 D 13 C 14 B 15 A 16 B 17 A; B; C 18 B 19 B 20 C 21 A 22 B 23 C 24 C

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