mengembangkan alternatif rpp dan lks matematika...
TRANSCRIPT
1
MENGEMBANGKAN ALTERNATIF RPP DAN LKS MATEMATIKA DALAM KONTEN, HARD SKILLS, DAN SOFT SKILLS MATEMATIK
DALAM PEMBELAJARAN INOVATIF TERTENTU
Oleh:
Prof. Dr. Hj. Utari Sumarmo
Alamat email: [email protected]
Pendahuluan
Saran Mengembangkan Alternatif RPP dan LKS Matematika untuk Penelitian
Berikut ini disajikan beberapa pertimbangan dan rasional mengembangkan
alternatif RPP dan LKS matematika untuk suatu penelitian pendidikan matematika.
Beberapa hal yang perlu dipertimbangkan di antaranya adalah:
1) Tetapkan konten matematika yang akan dibelajarkan dan tingkat kelas siswa.
Uraikan garis besar pokok bahasan dan rinciannya, serta alokasi waktu (untuk berapa
pertemuan)
2) Kembangkan Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar Matematika yang akan
dicapai sesuai Kurikulum yang berlaku.
3) Rinci kompetensi dalam Butir 1) dan Butir 2) dalam bentuk indikator pencapaian
kompetensi sesuai dengan Kurikulum dan tujuan penelitian dalam ranah kognitif dan
ranah afektif.
4) Pada dasarnya, indikator pencapaian kompetensi (ranah kognitif dan afektif) dalam
Kurikulum harus tercantum dan dilanjutkan dengan kemampuan khusus yang ingin
dikembangkan dalam penelitian yang bersangkutan. Hal ini berarti bahwa RPP dan
LKS untuk peenelitian tidak boleh merugikan target Kurikulum yang berlaku
sehingga guru harus mengulang pembelajarannya untuk keperluan kelasnya.
5) Setelah pembelajaran (selama penelitian) hendaknya guru dimohon untuk
melaksanakan asesmen kelas untuk keperluan rapor siswanya. Tes hasil penelitian
mungkin kurang sesuai untuk digunakan sebagai komponen penilaian untuk rapor,
karena kemampuan yang diukur dalam penelitian terbatas pada kemampuan
matematik tertentu yang umumnya tergolong cukup tinggi. Sedangkan untuk
asesmen kelas kemampuan dan konten matematik yang diukur sesuai dengan tujuan
dalam kurikulum yang umumnya beragam mulai dari kemampuan yang agak rendah
sampai yang tinggi.
6) Dalam pembelajaran konten matematika yang baru, harus diawali dengan konten
prasyarat matematika lalu pengenalan dan pemahaman konsep yang bersangkutan
dan kemudian diteruskan dengan pengembangan kemampuan matematik selanjutnya
sesuai dengan tujuan penelitian.
7) Pengembangan kegiatan belajar mengajar disesuaikan dengan pendekatan
pembelajaran yang akan dilaksanakan. Oleh karena itu perlu dipahami dengan benar
langkah-langkah dan prinsip-prinsip pendekatan pembelajaran yang bersangkutan.
8) Dalam tiap RPP dan LKS hendaknya tergambar dengan jelas langkah-langkah
pembelajaran dan kemampuan matematik yang akan dikembangkan. RPP dan LKS
pada tiap pertemuan bersifat khas (unik) untuk konten dan kemampuan matematik
dan ranah afektif matematik yang akan dikembangkan. Misalnya, penyajian contoh
tugas dan tugas latihan menggambarkan kompetensi ranah kognitif dan ranah afektif
yang ingin dicapai. Oleh karena itu, RPP dan LKS pada pertemuan selanjutnya tidak
cetakan ulang (copypaste) dari RPP dan LKS sebelumnya.
9) Dalam tiap RPP, kegiatan akan diawali dengan doa bersama, pemeriksanaan
kehadiran siswa dan dilanjutkan dengan apersepsi yaitu mengingat kembali konten
2
matematika prasyarat untuk konten matematika yang akan dikembangkan. Dalam
apersepsi hendaknya ditulis dengan jelas konten matematika prasyarat yang
bersangkutan dan tugas latihan yang menggambarkan penguasaan terhadap konten
prasyarat tersebut.
10) Penjelasan umum misalnya, pembentukan kelompok kecil, langkah-langkah
pembelajaran sesuai dengan pendekatan yang akan dilaksanakan, jenis tugas siswa
selama pembelajaran (diskusi kelompok, menyelesaikan soal/tugas dalam LKS,
menjelaskan hasil pekerjaan di depan kelas dll), tujuan umum pembelajaran selama
eksperimen sebaiknya disampaikan pada awal pembelajaran sebelum eksperimen
dimulai. Ketika eksperimen dimulai siswa sudah siap belajar dalam kelompok kecil.
11) Dalam kegiatan pendahuluan setelah apersepsi adalah penyampaian tujuan belajar
pada pertemuan yang bersangkutan. Lama kegiatan pendahuluan berkisar antara 10-
20 menit bergantung pada kondisi penguasaan siswa terhadap konten prsyarat.
12) Kegiatan selanjutnya adalah kegiatan inti sekitar 50 -60 menit yang diakhiri dengan
kegiatan penutup sekitat 10 menit (untuk satu pertemuan 2 x 40 menit untuk tingkat
SMP dan 2 x 45 menit untuk tingkat SMA).
13) Langkah-langkah dalam kegiatan inti disesuaikan dengan langkah-langkah
pendekatan pembelajaran yang akan dilaksanakan.
14) Pada tiap langkah kegiatan, tugas-tugas siswa dalam LKS hendaknya tergambar jelas
konten matematika serta kompetensi kognitif dan afektif yang akan dikembangkan.
15) Dalam tiap satu pertemuan tidak harus dilaksanakan tes tertulis sebagai evaluasi
atau asesemen terhadap penguasaan siswa. Kegiatan evaluasi atau asesmen dapat
dilakukan selama pembelajaran melalui observasi (pengamatan) terhadap kegiatan
belajar siswa menyelesaikan tugas-tugas dalam LKS atau melalui pertanyaan guru
dan respons siswa selama pembelajaran. Evaluasi tes tertulis perlu perancangan
khusus dalam hal tingkat kesukaran butir tes dan lama waktu. Tes yang terlalu
sederhana untuk waktu 10 menit kurang bermanfaat, dan kegiatan penutup lebih baik
untuk refleksi terhadap proses belajar yang berlangsung dan untuk informasi
mempelajari konten matematika untuk pertemuan berikutnya dan atau pemberian
tugas PR.
16) Kalau memang diperlukan adanya tes tertulis, dapat dilaksanakan setelah beberapa
pertemuan (sebagai tes unit) dan harus diinformasikan sebelumnya kepada siswa agar
mereka dalam keadaan siap untuk tes. Tes yang tiba-tiba tanpa persiapan, siswa
kurang bermanfaat, kecuali kalau sejak awal diinformasikan bahwa ketika konten
sudah memadai maka akan dilaksanakan tes tanpa pemberitahuan. Dengan demikian
siswa akan selalu dalam keadaan siap untuk tes.
17) Satu RPP dapat untuk satu pertemuan (umumnya 2 x 40 menit atau 2 x 45 menit)
atau untuk beberapa pertemuan sesuai dengan keluasan satuan bahasan. Namun, LKS
disusun untuk satu kali pertemuan karena LKS akan dikumpulkan setelah pertemuan
yang bersangkutan selesai dan akan dibahas/dirangkum/dianalisis/dipelajari oleh
peneliti untuk mendapat gambaran umum penguasaan siswa pada pertemuan yang
bersangkutan. Hasil ini akan digunakan untuk menyempurnakan RPP dan LKS atau
pelaksanaan pembelajaran berikutnya.
Berikut ini disajikan beberapa contoh alternatif RPP dan LKS matematika untuk
konten, kompetensi ranah kognitif dan ranah afektif melalui pembelajaran matematika
inovatif dan jenjang sekolah teretntu
3
CONTOH RPP DAN LKS
UNTUK PENELITIAN DENGAN JUDUL:
“Meningkatkan Kemampuan Komunikasi dan Pemecahan Masalah serta
Kemandirian Belajar Matematik Siswa SMP melalui Pembelajaran Berbasis
Masalah”
Definisi operasional tiap variabel penelitian di atas.
1) Komunikasi matematik adalah kemampuan yang meliputi:
a) Menyatakan suatu situasi atau masalah sehari-hari ke dalam bentuk model
matematika (gambar, diagram, tabel, dan atau ekspresi aljabar) dan
menyelesaikannya;
b) Menyatakan suatu model matematika (gambar, diagram, tabel, dan atau ekspresi
aljabar) ke dalam bentuk soal ceritera dan menyelesaikannya;
c) Menyusun pertanyaan dari serangkaian informasi yang diberikan dan
menjawabnya;
d) Menjelaskan dan membaca secara bermakna, menyatakan, menginterpretas i,
memahami, dan mengevaluasi suatu idea matematika dan sajian matematika
secara lisan, tulisan, atau secara visual dan mendengarkan, mendiskusikan, dan
menulis tentang matematika.
Catatan:
a) Seluruh indikator komunikasi matematik di atas merupakan pedoman dalam
mengembangkan kemampuan komunikasi matematik selama pembelajaran,
sedangkan indikator Butir a), Butir b) dan Butir c) merupakan pedoman
menyusun butir tes komunikasi matematik.
b) Butir soal untuk tes dapat disusun untuk masing-masing indikator a), b), dan c).
2) Pemecahan masalah matematik adalah kemampuan yang meliputi:
a) Mengidentifikasi unsur yang diketahui, ditanyakan, dan memeriksa kecukupan
unsur;
b) Menyusun model matematika masalah dan merancang strategi penyelesaian;
c) Melaksanakan strategi (menyelesaikan) model mateamatika masalah yang
bersangkutan;
d) Memeriksa kebenaran solusi.
Catatan: dalam tiap soal pemecahan masalah keempat indikator harus termuat.
3) Kemandirian belajar matematik adalah perilaku afektif yang meliputi:a) Inisiatif dan
motivasi belajar instrinsik; b) Kebiasaan mendiagnosa kebutuhan belajar sendiri; c)
Menetapkan tujuan/target belajar sendiri; d) Memonitor, mengatur, dan
mengkontrol belajar sendiri; e) Memandang kesulitan sebagai tantangan; f)
Memanfaatkan dan mencari sumber yang relevan; g) Memilih, menerapkan strategi
belajar; h) Mengevaluasi proses dan hasil belajar; i) Konsep diri/Kemampuan diri.
Catatan: Kegiatan siswa dalam RPP dan atau LKS harus menggambarkan upaya
mengembangkan indikator kemandirian belajar tertentu.
4
CONTOH. 1
ALTERNATIF RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)
DENGAN PEMBELAJARAN BERBASIS MASALAH
Satuan Pendidikan : SMP
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas / Semester : VIII/2
Materi : Bangun Ruang Sisi Datar
Alokasi Waktu : 4 x 40 menit (2 Pertemuan)
A. Standar Kompetensi
Memahami sifat-sifat kubus, balok, prisma, limas dan bagian bagiannya,
menentukan ukurannya, serta menyelesaikan masalah berkenaan kubus, balok,
prisma, dan limas.
B. Kompetensi Dasar
1 Mengidentifikasi sifat-sifat kubus, balok, prisma, dan limas serta bagian
bagiannya
C. Tujuan Pembelajaran dan Indikator Pencapaian Kompetensi
Pertemuan ke-1 dan Pertemuan ke-2
1. Tujuan Kognitif
Setelah pembelajaran diharapkan siswa dapat :
a) Mengidentifikasi unsur-unsur kubus, balok, prisma, dan limas serta sifat-sifatnya:
titik sudut, sisi, rusuk, diagonal bidang, diagonal ruang dan bidang diagonal;
b) Merumuskan pengertian kubus, balok, prisma, dan limas berdasarkan pengamatan
terhadap unsur-unsurnya (dalam butir a)
c) Menghitung panjang rusuk, diagonal bidang, diagonal ruang dan bidang diagonal
kubus, balok dan menuliskan rumus yang digunakan;
d) Menghitung luas bidang sisi dan bidang diagonal kubus, dan balok, dan menuliskan
rumus yang digunakan
e) Menyusun model matematika (gambar, atau ekspresi aljabar) suatu situasi matematik
atau dalam kehidupan sehari hari berkenaan dengan kubus, dan balok, dan
menyelesaikannya;
f) Menyusun pertanyaan atau menyusun soal dari serangkaian informasi atau model
matematika yang diberikan berkenaan kubus, balok, dan menyelesaikannya
g) Menyelesaikan masalah matematik tidak rutin berkenaan kubus dan balok
(mengidentifikasi data diketahui dan ditanya, memeriksa kecukupan unsur,
menyusun model matematik, dan menyelesaikannya serta memeriksa kebenaran
jawaban).
2. Tujuan afektif
Setelah pembelajaran diharapkan pada siswa tumbuh:
a) Motivasi belajar, rasa ingin tahu, sikap ulet, tangguh, dan memandang kesulitan
sebagai tantangan dalam menyelesaikan tugas-tugas belajarnya;
b) Kebiasaan menyusun target belajar yang akan dicapai dalam materi kubus dan
balok;
c) Keinginan memanfaatkan sumber belajar yang relevan dengan materi kubus dan
balok;
5
d) Kesediaan bekerja sama dalam kelompok;
e) Mengevaluasi proses dan hasil belajar;
f) Memiliki konsep diri/kemampuan diri.
D. Materi Ajar
Pengertian dan unsur-unsur kubus, balok, prisma dan limas
E. Metode Pembelajaran
Pendekatan : Pembelajaran Berbasis Masalah (PBM)
F. SumberBelajar dan Alat Bantu Pembelajaran
Sumber : Lembar Kegiatan Siswa (LKS)
Alat : Model dan kerangka kubus, balok, prisma dan limas dan benda-benda di
sekitar siswa
G. Langkah-langkah Pembelajaran
Pertemuan ke-1
Deskripsi Kegiatan
Pendahuluan (sekitar 10 menit)
a) Siswa bersama guru berdoa bersama agar pembelajaran berlangsung lancar
dan guru memeriksa kehadiran siswa
b) Siswa mengamati sejumlah bangun datar, mengidentifikasi unsur-unsur dan
sifat-sifat yang dimiliki bangun datar tersebut, serta menuliskan nama
bangun datar yang bersangkutan (segitiga, persegi, persegipanjang, jajaran
genjang, trapesium, layang-layang, segilima, dll)
c) Siswa memberikan contoh lain dari bangun datar dan mengidentifikasi sifat-
sifatnya
d) Siswa menghitung panjang diagonal dan luas beragam bangun datar
(segitiga, persegi, persegipanjang, jajaran genjang, trapesium, layang-
layang, segilima, dll)
Kegiatan Inti (sekitar 60 menit)
A,Fase I : Mengorientasi siswa pada masalah
Dalam rangka membina motivasi belajar, rasa ingin tahu siswa, dan bersedia
bekerja sama, dalam kelompok kerja masing-masing:
a.1. Melalui penyajian masalah kontekstual yaitu beberapa bentuk benda ruang
dalam kehidupan sehari-hari, siswa mengamati dan mengenali benda-benda
tersebut;
a.2. Siswa mengenali ciri-ciri benda ruang sisi datar (kubus dan balok) dan sisi
lengkung dari benda-benda pada butir a);
a.3. Siswa memberikan contoh lain benda ruang sisi datar (kubus dan balok);
B. Fase II : Mengorganisasikan siswa untuk belajar
Dalam rangka menguatkan motivasi belajar, rasa ingin tahu siswa, dan bersedia
bekerja sama, dalam kelompok kerja masing-masing:
b.1.Siswa mengamati beberapa gambar kubus dan balok serta mengidentifikasi
unsur-unsur dan sifat-sifatnya: titik sudut, rusuk-rusuk, diagonal bidang,
6
Deskripsi Kegiatan
diagonal ruang, bidang alas dan atas, bidang sisi, bidang diagonal, serta
memberi nama gambar kubus dan balok;
b.2. Siswa merumuskan definisi (pengertian) kubus dan balok;
b.3. Siswa membuat gambar kubus dan balok, memberi nama titik sudutnya
serta mengidentifikasi unsur-unsur kubus dan balok;
b.4. Siswa merangkum kesamaan dan perbedaan antara kubus dan balok.
C. Fase III : Membimbing penyelidikan individual /kelompok
Dalam rangka menumbuhkan sikap ulet, tangguh, bersedia bekerja kelompok, dan
memandang kesulitan sebagai tantangan, dalam kelompok kerja masing-masing:
c.1. Siswa berdiskusi cara menggambar kubus dan balok yang diketahui panjang
rusuknya, dan menghitung panjang diagonal bidang, diagonal ruang, luas
bidang sisi, dan luas bidang diagonal kubus dan balok;
c.2. Selama siswa bekerja dalam kelompok, guru sebagai fasilitator, berkeliling
dari kelompok yang satu ke kelompok yang lain mengamati dan memberi
bantuan melalui pertanyaan yang mengarah pada jawaban yang diinginkan.
D. Fase IV : Mengembangkan dan menyajikan hasil karya
Untuk mendorong kebiasaan menyusun target belajar dan berkeinginan
memanfaatkan sumber belajar yang relevan, dalam kelompok kerja masing-
masing:
d.1. Siswa menetapkan wakil yang akan tampil menyajikan pekerjaan kelompok
di depan kelas;
d.2. Beberapa perwakilan kelompok tampil ke depan kelas untuk
mempresentasikan jawaban mereka tentang panjang diagonal bidang,
diagonal ruang, luas bidang sisi dan luas bidang diagonal kubus dan balok;
d.3. Kelompok lain menyimak dan menanggapi pekerjaan perwakilan kelompok
dan membandingkannya dengan jawaban dari masing-masing kelompok.
E. Fase V : Menganalisis dan mengevaluasi proses pemecahan masalah
Dalam menumbuhkan kebiasaan mengevaluasi proses dan hasil belajar; serta
memiliki konsep diri/kemampuan diri, dalam kelompok kerja masin-masing:
Siswa dengan bimbingan guru menganalisis dan mengevaluasi proses pemecahan
masalah tentang menghitung panjang diagonal bidang, diagonal ruang, luas bidang
sisi dan luas bidang diagonal kubus dan balok.
Penutup ( 10 menit)
a) Siswa bersama guru membuat rangkuman tentang kubus dan balok serta
unsur-unsurnya, mengidentifikasi kesamaan dan perbedaan anatara kubus
dan balok.
b) Siswa mengidentifikasi kesulitan-kesulitan yang dialami selama
mempelajari kubus dan balok;
c) Siswa menyimak informasi materi pembelajaran untuk pertemuan
berikutnya yaitu menyusun model matematik dari suatu situasi dan
menyelesaikannya, menyusun pertanyaan dari serangkaian informasi atau
model matematik, dan menyelesaikan masalah yang tidak rutin berkenaan
dengan kubus dan balok
7
Penilaian ranah kognitif dan afektif:
Dilaksanakan melalui observasi terhadap kinerja siswa selama proses pembelajaran.
Mengetahui
Guru Kelas
(............................................................)
NIP
Peneliti
(.............................................)
NIP
Pertemuan ke-2
Deskripsi Kegiatan
Pendahuluan (10 menit)
a) Siswa bersama guru berdoa bersama agar pembelajaran berlangsung lancar
dan guru memeriksa kehadiran siswa
b) Siswa mengingat kembali persamaan dan perbedaan kubus dan balok;
c) Siswa memahami panjang diagonal bidang dan diagonal ruang kubus dan
balok
serta luas bidang sisi dan bidang diagonal kubus dan balok
Kegiatan Inti (60 menit)
A. Fase I : Mengorientasi siswa pada masalah
Dalam rangka membina motivasi belajar, rasa ingin tahu siswa, dan bersedia
bekerja sama, dalam kelompok kerja masing-masing:
a.1. Siswa mengamati situasi berkenaan dengan kubus dan balok, menyusun
model matematika masalah berkenaan dengan diagonal bidang, luas bidang
sisi kubus dan balok dan menyelesaiakannya;
a.2. Siswa mengaitkan panjang diagonal bidang dan ruang kubus dan balok serta
memberi contoh ;
a.3. Siswa menyelesaikan masalah matematik misalnya biaya pengecatan bidang
sisi balok dan masalah pengubinan bidang alas balok.
B.Fase II : Mengorganisasikan siswa untuk belajar
Dalam rangka menguatkan motivasi belajar, rasa ingin tahu siswa, dan bersedia
bekerja sama, dalam kelompok kerja masing-masing:
b.1. Siswa menyusun model matematika masalah tidak rutin berkenaan dengan
diagonal bidang, luas bidang sisi kubus dan balok;
b.2. Siswa mengaitkan panjang diagonal bidang dan ruang kubus dan balok serta
memberi contoh yang relevan
b.3. Siswa menyelesaikan masalah biaya pengecatan bidang sisi balok dan masalah
pengubinan bidang alas balok;
b.4. Siswa menyusun pertanyaan dan atau menyusun soal dari informasi dan atau
model matematika yang diberikan berkenaan kobus dan balok
C.Fase III : Membimbing penyelidikan individual /kelompok
Dalam rangka menumbuhkan sikap ulet, tangguh, bersedia bekerja kelompok, dan
memandang kesulitan sebagai tantangan, dalam kelompok kerja masing-masing:
c.1. Siswa berdiskusi menyelesaikan masalah tidak rutin berkenaan kubus dan
balok;
8
Deskripsi Kegiatan
c.2. Selama siswa bekerja dalam kelompok, guru sebagai fasilitator, berkeliling
dari kelompok yang satu ke kelompok yang lain mengamati dan memberi
bantuan melalui pertanyaan yang mengarah pada jawaban yang diinginkan
berkenaan kubus dan balok.
D.Fase IV : Mengembangkan dan menyajikan hasil karya
Untuk mendorong kebiasaan menyusun target belajar dan berkeinginan
memanfaatkan sumber belajar yang relevan, dalam kelompok kerja masing-
masing:
d.1. Siswa menetapkan wakil yang akan tampil menyajikan pekerjaan kelompok
di depan kelas;
d.2. Beberapa perwakilan kelompok tampil ke depan kelas untuk
mempresentasikan jawaban mereka tentang meyusun model matematika dan
menyelesaikan masalah tidak rutin berkenaan dengan kubus dan balok;
d.3. Kelompok lain menyimak dan menanggapi pekerjaan perwakilan kelompok
dan membandingkannya dengan jawaban dari masing-masing kelompok.
E. Fase V : Menganalisis dan mengevaluasi proses pemecahan masalah
Dalam menumbuhkan kebiasaan mengevaluasi proses dan hasil belajar; serta
memiliki konsep diri/kemampuan diri, dalam kelompok kerja masing-masing:
Siswa dengan bimbingan guru menganalisis dan mengevaluasi proses pemecahan
masalah tidak rutin berkenaan dengan kubus dan balok.
Penutup (sekitar 10 menit)
a) Siswa bersama guru membuat rangkuman tentang masalah kubus dan
balok;
b) Siswa mengidentifikasi kesulitan-kesulitan yang dialami selama
menyelesaikan masalah kubus dan balok;
c) Siswa menyimak informasi materi pembelajaran untuk pertemuan
berikutnya yaitu prisma dan limas serta unsur-unsurnya.
Penilaian ranah kognitif dan afektif:
Dilaksanakan melalui observasi terhadap kinerja siswa selama proses pembelajaran.
Mengetahui
Guru Kelas
(............................................................)
NIP
Peneliti
(.............................................)
NIP
9
CONTOH LEMBAR KERJA SISWA
PERTEMUAN 1
PENGERTIAN DAN UNSUR-UNSUR KUBUS DAN BALOK
Nama Kelompok : Nama Anggota Kelompok :
Hari :
Tanggal :
Petunjuk :
1. LKS ini berisi uraian dan masalah tentang kubus dan balok serta unsur-unsurnya
2. Pelajari dan selesaikan masalah bersama-sama teman sekelompokmu!
3. Gunakan berbagai sumber belajar
4. Jika menemui kesulitan, kalian dapat bertanya kepada guru.
A. Kegiatan 1
1. Pendahuluan (apersepsi) tentang beragam bangun datar
a) Amati gambar-gambar bangun datar di bawah ini!
Coba ingat lagi nama, unsur dan sifatnya, serta kesamaan dan perbedaan masing-masing
gambar di atas.
Kelompokan gambar-gambar di atas berdasarkan keserupaan unsur-unsurnya.
Kemudian beri nama kelompok gambar yang bersangkutan.
a) Kelompok 1: (kelompokan gambar yang serupa, tulis keserupaannya, dan tulis
nama bangun datar tersebut)
Jawab:
b) Kelompok 2: (kelompokan gambar yang serupa, tulis keserupaannya, dan tulis
nama bangun datar tersebut)
Jawab:
10
c) Kelompok 3: (kelompokan gambar yang serupa, tulis keserupaannya, dan tulis nama
bangun datar tersebut)
Jawab:
d) Adakah gambar lain yang tidak termasuk Kelompok 1, Kelompok 2, dan Kelompok
3? Kalau ada tuliskan gambar tersebut dan beri penjelasan.
Jawab:
e) Buatlah gambar lain untuk tiap kelompok bangun datar di atas, dan tuliskan unsur-
unsurnya, hitung panjang diagonalnya, dan luas daerah bidang datar yang
bersangkutan.
Jawab:
2. a) Amati dan tuliskan beberapa jenis bangun datar yang ada di sekitar kelas.
Jawab:
b) Tuliskan ciri-ciri bangun datar pada butir a) dan berdasarkan ciri-ciri tersebut,
rumuskan pengertian bangun datar tadi.
Jawab:
B. Kegiatan 2.
1) Sekarang amati gambar-gambar bangun ruang sisi datar di bawah ini!
(a) (b)
(c)
(d)
11
(e)
(f) (g) (h)
(i)
(j)
(k)
(l)
Kelompokan gambar-gambar di atas berdasarkan keserupaan unsur-unsurnya.
Kemudian beri nama kelompok gambar yang bersangkutan.
Jawab
a) Kelompok 1:
b) Kelompok 2:
c) Kelompok 3:
2) Berdasarkan sifat-sifat unsur-unsurnya, rumuskan pengertian kubus dan balok!
Coba rangkum kesamaan dan perbedaan antara kubus dan balok.
Jawab:
c) Berikan contoh bangun kubus dan balok yang dapat kalian temukan dalam kehidupan
sehari-hari!
Jawab:
12
C. Kegiatan 3
1. Unsur-unsur Kubus
Perhatikan gambar dua kubus ABCD.EFGH di atas, kemudian jawablah perintah
berikut.
a) Titik A, titik B adalah titik sudut kubus. Tuliskan titik sudut yang lainnya!
Jawab:
b). AB adalah rusuk kubus dan misalkan panjangnya a cm . Tuliskan rusuk kubus yang
lainnya! Berapa panjang rusuk kubus lainnya? Mengapa demikian?
Jawab:
d) Bidang ABCD adalah bidang sisi kubus. Tuliskan bidang sisi yang lainnya, dan
hitung luas tiap bidang sisi kubus disertai rumus yang digunakan.
Jawab:
e) Ruas garis DB adalah diagonal bidang. Tuliskan diagonal bidang lainnya, dan
hitung panjang diagonal bidang kubus, disertai rumus yang digunakan.
Jawab:
f) Ruas garis HB adalah diagonal ruang. Tuliskan diagonal ruang lainnya, dan hitung
panjang diagonal ruang kubus, disertai rumus yang digunakan. Mungkinkah
diagonal ruang kubus lebih pendek dari diagonal bidang kubus? Mengapa?
Jawab:
g) Bidang ACGE adalah bidang diagonal. Tuliskan bidang diagonal lainnya, dan
hitung luas bidang diagonal kubus disertai dengan rumus yang digunakan.
Jawab:
13
h) Mungkinkah diagonal bidang kubus lebih panjang dari diagonal ruangnya?
Mengapa?
Jawab:
i) Diberikan dua kubus, kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 3 cm dan kubus
PQRS.TUVW dengan panjang rusuknya 4 cm. Ajukan beberapa pertanyaan
berkenaan dengan kedua kubus tersebut, kemudian jawablah.
Jawab:
2. Unsur-unsur Balok
Amati balok PQRS.TUVW di atas, dan lengkapi panjang unsur-unsur balok di atas!
a. Titik P, titik Q adalah titik sudut balok. Tuliskan titik sudut yang lainnya!
Jawab:
b. PQ adalah salah satu rusuk balok. Tuliskan rusuk yang lainnya, dan hitung
panjangnya masing-masing rusuk balok disertai alasan yang mendasarinya.
Jawab:
c. Bidang PQRS adalah bidang sisi balok. Sebutkan bidang sisi yang lainnnya, dan
hitunglah luas bidang sisi yang bersangkutan disertai dengan rumus yang digunakan.
Jawab:
d. Ruas garis PR adalah diagonal bidang balok. Tuliskan diagonal bidang balok yang
lainnya dan hitunglah panjangnya disertai dengan rumus yang digunakan.
Jawab:
14
e. Ruas garis TR adalah diagonal ruang balok. Tuliskan diagonal ruang yang lainnya ,
dan hitunglah panjangnya disertai dengan rumus yang digunakan.
Jawab:
f. Bidang PQVW adalah bidang diagonal balok. Tuliskan bidang diagonal lainnya, dan
hitunglah luas bidang diagonal yang bersangkutan disertai dengan rumus yang
digunakan.
Jawab:
3) Mungkinkah diagonal bidang suatu kubus lebih panjang dari diagonal bidang
balok? Mengapa, beri contoh. Manakah yang lebih luas antara bidang diagonal
kubus dan bidang diagonal balok? Jelaskan.
Penyelesaian:
4) Diberikan balok PQRS.TUVW dengan ukuran 8,5 cm x 6 cm x 10 cm dan sejumlah
kubus kecil dengan panjang rusuk 1 cm. Ke dalam balok disusun kubus-kubus
sampai penuh. Gambar sketsa balok PQRS.TUVW dan kubus kecil di atas. Susun
model matematika untuk menghitung banyak kubus kecil dapat disusun ke dalam
balok dan beri penjelasan cara menyelesaikannya.
Penyelesaian:
15
CONTOH LEMBAR KERJA SISWA
PERTEMUAN 2
UNSUR-UNSUR KUBUS DAN BALOK
Nama Kelompok : Nama Anggota Kelompok :
Hari :
Tanggal :
Petunjuk :
1. LKS ini berisi beberapa masalah tentang kubus dan balok serta unsur-unsurnya
2. Pelajari dan selesaikan masalah tersebut bersama-sama teman sekelompokmu!
3. Gunakan berbagai sumber belajar yang relevan
4. Jika menemui kesulitan, kalian dapat bertanya kepada guru.
Kegiatan 1
Amati lagi kubus ABCD.EFGH dan balok PQRS.TUVW pada gambar di bawah ini.
Lengkapi gambar kubus dan balok tersebut dengan ukuran unsur-unsurnya (panjang
rusuk kubus, dan panjang, lebar, dan tinggi balok)
1. Kemudian hitunglah: panjang diagonal bidang BG, luas bidang diagonal ACGE,
panjang diagonal QV, diagonal ruang PV, dan luas bidang diagonal PQVW disertai
rumus yang digunakan.
Penyelesaian:
2. Susun beberapa pertanyaan lain berkenaan dengan kubus dan balok di atas, dan
kemudian jawablah pertanyaan tersebut.
Penyelesaian:
16
Kegiatan 2:
Selesaikanlah permasalahan berikut!
1. Sebuah tempat mainan berupa kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuknya 10
cm. Bidang sisi kubus bagian luar yang berhadapan masing-masing ditempeli kertas
berwarna merah, biru, dan kuning. Buatlah sketsa gambar kubus tersebut kemudian
susun model matematika untuk menghitung luas kertas masing-masing warna.
Sertakan rumus yang mendasari perhitungan di atas.
Penyelesaian :
2. Suatu balok PQRS.TUVW berukuran panjang 12,5 cm, lebar 9,2 cm dan tinggi 10
cm.
Tersedia sejumlah kubus kecil dengan rusuk 2 cm. Susun beberapa pertanyaan
berkenaan informasi di atas dan kemudian jawablah.
Penyelesaian:
Kegiatan 3:
3. Suatu ruang kelas berbentuk balok ABCD.EFGH memiliki panjang 12,5 m, lebar
9 m dan tinggi 6 m. Andi akan menghias ruang kelas tersebut dengan pita berwarna.
Tiap diagonal bidangnya sisinya dipasang pita warna merah, dan diagonal sisi bidang
atasnya dipasang pita warna biru. Bidang lantai tidak dipasang pita tetapi dipasang
keramik ukuran 30 cm x 30 cm. Keempat bidang sisi kelas dicat dengan warna merah
muda, bidang atap dicat dengan warna putih. Jawablah pertanyaan berikut, dan
sertakan rumus yang digunakan.
a) Buatlah sketsa gambar ruangan kelas tersebut.
b) Harga pita merah adalah Rp 10.000, 00/ m dan pita biru satu setengah kali harga
pita merah. Susun model matematika untuk menghitung uang yang harus
disediakan untuk membeli kedua jenis pita tersebut dan selesaikan.
c) Harga 1 kaleng cat putih Rp 25.000,00 dan harga 1 kaleng cat merah muda Rp.
30.000,00. Tiap kaleng cat dapat mengecat 2 m2 dinding. Susun model
matematika untuk menghitung uang yang perlu disediakan untuk membeli cat
dan selesaikan.
d) Susun model matematika untuk menghitung banyaknya keping keramik yang
perlu disediakan dan selesaikan.
17
Penyelesaian :
4. Ada satu kotak besar berukuran 50 cm x 35 cm x 25 cm akan diisi dengan kotak
minuman 4 macam jus (mangga, apel, jambu dan jeruk). Tiap kotak jus berukuran
10 cm x 5 cm x 3,5 cm. Buat model matematika untuk menghitung banyaknya kotak
jus yang dapat dimuat ke dalam kotak besar. Jus tersebut akan disediakan untuk
menjamu tamu sebanyak 100 orang. Urutan jus yang disukai tamu adalah mangga,
jeruk, apel dan jambu. Berapa kotak besar minuman yang harus disediakan, dan
berapa banyak tiap jenis jus yang dapat tersedia? Selesaikan dan beri penjelasan.
Penyelesaian:
Kegiatan 4:
1. Susun beberapa soal baru yang tidak rutin berkenaan kubus dan balok atau pilih soal
tidak rutin dari buku lain, dan kemudian selesaikan.
Jawab:
2. Rangkumkan hal-hal penting dalam LKS ini
Jawab:
3. Setelah kalian mengerjakan tugas-tugas di atas, tuliskan kesulitan yang kalian
temukan.
Jawab:
18
CONTOH 2
RPP DAN LKS UNTUK PEMBELAJARAN KONTEKSTUAL
“Meningkatkan Kemampuan Berpikir Kritis Dan Kreatif Matematik, Serta Kebiasaan Berpikir (Habits Of Mind) Siswa SMA melalui Pembelajaran
Kontekstual”
Indikator variabel dalam judul penelitian di atas.
1. Indikator berpikir kritis matematik:
a) Memeriksa kebenaran pernyataan, proses solusi atau langkah-langkah
penyelesaian masalah berkenaan dengan aturan sinus dan aturan kosinus
b) Mengidentifikasi data relevan dan tidak relevan suatu masalah aturan sinus dan
aturan kosinus dalam suatu segitiga
c) Melaksanakan analogi dan generalisasi berkenaan dengan aturan sinus dan aturan
kosinus
d) Melakukan pembuktian berkenaan dengan aturan sinus dan aturan kosinus
2. Indikator berpikir kreatif matematik
a) Kelancaran meliputi: i) Mencetuskan banyak ide, banyak jawaban, banyak
penyelesaian masalah, banyak pertanyaan; ii) Memberikan banyak cara atau saran
untuk melakukan berbagai hal;
b) Kelenturan meliputi:i) Menghasilkan beragam gagasan, jawaban, atau pertanyaan;ii)
melihat suatu masalah dari sudut pandang yang berbeda; iii) Mencari banyak
alternatif yang berbeda; iv) Mengubah cara pendekatan atau cara pemikiran.
c) Keaslian meliputi: i) Melahirkan ungkapan yang baru dan unik; ii) Memikirkan
cara yang tidak lazim ; iii) Membuat kombinasi-kombinasi yang tidak lazim
dari bagian-bagiannya;
d) Elaborasi meliputi: i) Memperkaya dan mengembangkan suatu gagasan atau produk;
ii) menambah atau memperinci detil-detil dari suatu obyek, gagasan, atau situasi
3. Indikator Habits of Mind (kebiasaan berpikir):
a) Bertahan atau pantang menyerah; b) mengatur kata hati; c) berempati terhadap
perasaan orang lain; d) berpikir luwes; e) berpikir metakognitif; f) bekerja teliti dan
tepat; g) bertanya secara efektif; h) memanfaatkan pengalaman lama; i) berfikir dan
berkomunikasi secara jelas; j) memanfaatkan indera dengan tajam; k) mencipta,
berkayal, dan berinovasi.; l) bersemangat dalam merespons; m) berani bertanggung
jawab; o) berpikir saling bergantungan; q) belajar berkelanjutan.
4. Langkah-langkah pendekatan kontekstual:
Menyusun hubungan yang bermakna; melakukan kegiatan yang signifikan,
kemandirian belajar ; bekerjasama ; berpikir kritis dan kreatif; mengasuh pribadi
siswa; mencapai standar yang tinggi; dan asesmen otentik.
19
CONTOH
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)
PERTEMUAN 1
Satuan Pendidikan : SMA
Mata Pelajaran : Matematika
Pokok Bahasan : Trigonometri
Sub-pokok Bahasan : Aturan Sinus dan Aturan Kosinus
AlokasiWaktu : 2 x 45 menit (1 pertemuan)
A. Standar Kompetensi
1. Memahami dan menurunkan aturan sinus dan cosinus
2. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan aturan sinus dan cosinus
B. Tujuan Pembelajaran dan Indikator keberhasilan
Ranah Kognitif
a) Memahami dan menurunkan rumus aturan sinus dan aturan kosinus.
b) Memeriksa kebenaran pernyataan, proses solusi (langkah-langkah penyelesaian
masalah) berkenaan dengan aturan sinus dan aturan kosinus
c) Mengidentifikasi data relevan dan tidak relevan suatu masalah berkenaan dengan
aturan sinus dan aturan kosinus
d) Menarik analogi dan generalisasi berkenaan dengan aturan sinus dan aturan kosinus.
e) Menyelesaikan masalah berkenaan aturan sinus dan aturan kosinus dengan cara yang
beragam
f) Merinci penyelesaian masalah berkenaaan dengan aturan sinus dan kosinus.
g) Menyusun pertanyaan dari informasi yang diberikan berkenaan dengan aturan sinus
dan aturan kosinus
Ranah Afektif
a) Bertahan atau pantang menyerah;
b) Bekerjasama dan berempati terhadap perasaan orang lain;
c) Berpikir luwes dan metakognitif, bekerja teliti dan tepat;
d) Bertanya, berfikir dan berkomunikasi secara jelas;
e) Bersemangat dan berani bertanggung jawab;
f) Berpikir saling bergantungan;
g) Mengatur belajar sendiri.
C. Pendekatan Pembelajaran: Pendekatan Kontekstual
D. Materi Ajar: Aturan sinus dan aturan kosinus
E. Sumber belajar : Lembar Kerja Siswa (LKS), Buku Paket Matematika Erlangga
untuk
kelas X semester 2, Buku Paket Matematika Kementerian
Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia 2016 kelas X.
20
Langkah-langkah Pembelajaran
Pertemuan 1:
No Kegiatan Pendahuluan (sekitar 10 Menit)
1. a. Siswa dan guru mengawali belajar dengan membaca doa bersama
b. Siswa belajar secara berkelompok (4- 5 orang) mengingat kembali pengertian
perbandingan trigonometri, rumus-rumus fungsi terigonometri sudut penyiku
dan dan sudut pelurus.
c. Melalui pertanyaan, siswa dibiasakan menyertakan rumus atau konsep yang
digunakan pada tiap langkah pengerjaan tugasnya.
Kegiatan Inti (70 Menit)
2. A. Tahap membuat keterkaitan dan melaksanakan tugas yang bermakna
dan tahap bekerjasama.
Untuk menumbuhkan kesediaan bekerjasama dan berempati terhadap perasaan
orang lain, berpikir saling bergantungan, bekerja teliti dan tepat, dalam
kelompok kerjanya masing-masing:
a.1. Siswa, mengamati situasi kontekstual yang tersaji dalam LKS mengenai
gambar jam besar yang di dalamnya ada segitiga yang terbentuk dari titik-titk
pada jam tertentu.
a.2. Siswa menelaah kaitan antara besar sudut keliling dalam lingkaran, kaitan
sinus dan kosinus suatu sudut dinyatakan dalam unsur-unsur lain yang relevan
dalam suatu segitiga.
B. Tahap melakukan pembelajaran yang diatur sendiri
Untuk menumbuhkan kesediaan bekerjasama dan berempati terhadap perasaan
orang lain, berpikir saling bergantungan, berpikir luwes dan metakognitif, bekerja
teliti dan tepat, mengatur belajar sendiri, dalam kelompok kerja masing-masing:
b.1. Siswa mengatur belajar mereka, memilih cara sendiri dalam menjawab
pertanyaan dan menyelesaikan soal dalam LKS. Misalnya merumuskan
definisi/aturan rumus sinus, menurunkan rumus panjang diameter dalam
sinus sudut yang relevan dalam suatu segitiga dengan cara serupa
(menggunakan analogi)
C. Tahap berpikir kritis dan kreatif,
Untuk menumbuhkan sikap bertahan atau pantang menyerah, berpikir luwes dan
metakognitif, bekerja teliti dan tepat, berfikir dan berkomunikasi secara jelas,
bersemangat dan berani bertanggung jawab, dalam kelompok kerja masing-
masing:
Siswa berlatih menyusun pertanyaan, mengidentifikasi data relevan atau tidak
relevan, menyelesaikan masalah berkenaan dengan aturan sinus dan kosinus
dengan cara beragam disertai dengan alasan yang relevan.
D. Melalui bantuan guru sebagai fasilitator, siswa didorong untuk tumbuh
dan berkembang;
Untuk menumbuhkan sikap bertahan atau pantang menyerah, berpikir luwes dan
metakognitif, bekerja teliti dan tepat, berfikir dan berkomunikasi secara jelas,
bersemangat dan berani bertanggung jawab, dalam kelompok kerja masing-
masing:
21
Melalui pertanyaan/tugas dari guru siswa didorong menyusun pertanyaan,
memilih cara penyelesaian yang beragam, yang unik (tidak standar) atau cara
lain yang berbeda dengan cara teman lainnya.
E. Mencapai standar yang tinggi;
Untuk menumbuhkan sikap bertahan atau pantang menyerah, berpikir luwes dan
metakognitif, bekerja teliti dan tepat, berfikir dan berkomunikasi secara jelas,
bersemangat dan berani bertanggung jawab, dalam kelompok kerja masing-
masing:
Siswa didorong untuk bersedia memilih atau menyusun sendiri soal latihan
berkenaaan aturan sinus dan kosinus yang tidak rutin agar mencapai standar
yang tinggi.
F. Menggunakan penilaian autentik.
Untuk menumbuhkan sikap bekerjasama dan berempati terhadap perasaan orang
lain; bertahan atau pantang menyerah, berpikir luwes dan metakognitif, bekerja
teliti dan tepat, berfikir dan berkomunikasi secara jelas, bersemangat dan berani
bertanggung jawab, dalam kelompok kerja masing-masing:
Siswa dibiasakan untuk memantau dan menilai kemajuan belajarnya sendiri
berkenaan dengan aturan sinus dan kosinus melalui beragam cara.
Kegiatan Penutup (sekitar 10 Menit)
3. a. Dalam bimbingan guru, siswa merangkum bahasan tentang aturan sinus dan
kosinus.
b. Siswa mengidentifikasi kesulitan menyelesaikan masalah kritis dan kreatif
tentang aturan sinus dan kosinus.
c. Siswa menyimak materi yang akan dipelajari pada pertemuan selanjutnya
yaitu tentang luas segitiga dan penerapan aturan sinus dan kosinus dan tugas
(PR) yang diberikan oleh guru.
Penilaian dalam ranah kognitif dan afektif
Dilaksanakan memalui observasi terhadap kegiatan siswa selama proses pembelajaran
Mengetahui
Guru Kelas
__________________
NIP
Peneliti
____________________
NIP
22
CONTOH 2
LEMBAR KEGIATAN SISWA (LKS)
PERTEMUAN 1
Kelompok: ............................ Tanggal: ............................
1. ..............................
2. ..............................
3. ..............................
4. ..............................
Diskusikan masalah berikut dalam kelompok kerja masing-masing dan selesaikan
bersama-sama.
A. Kegiatan 1:
1. Tuliskan beberapa perbandingan trigonometri utama dalam suatu segitiga siku-siku
dan dalam lingkaran satuan.
Jawab:
2. Tuliskan rumus-rumus fungsi trigonometri utama sudut penyiku dan sudut pelurus.
Jawab:
3. Perhatikan segitiga ABC sembarang di bawah ini.
Tarik garis tinggi CD dalam segitiga ABC .
a) Nyatakan semua perbandingan trigonometri A, dan B, dalam sisi-sisi segitiga ADC dan segitiga BDC yang relevan. Kemudian nyatakan CD dalam unsur-unsur
yang relevan.
b) Temukan rumus luas segitiga ABC dinyatakan dalam dua sisinya dan perbandingan
trigonometri salah satu sudutnya. Perluas rumus luas segitiga ABC tersebut dalam
a
c
b
D
C
B A
23
bentuk lainnya, tuliskan proses penalaran matematik yang digunakan disertai dengan
penjelasan.
Jawab:
c) Tuliskan cara untuk menyatakan semua perbandingan trigonometri C disertai dengan alasan yang mendasarinya!
Jawab:
d) Nyatakan besar C dalam besar A dan besar B dan tuliskan prinsip atau sifat
yang mendasari jawaban tersebut.
Kemudian nyatakan sin C dalam sin A, cos A, sin B dan cos B.
Nyatakan juga cos C dalam sin A, cos A, dan sin B dan cos B.
Tuliskan sifat/prinsip yang digunakan pada tiap langkah pengerjaan.
Jawab:
e) Berdasarkan cara menyelesaikan pertanyaan pada butir d), nyatakan perbandingan
trigonometri sudut A dan perbandingan trigonometri sudut B dalam dua sudut
lainnya. Tuliskan konsep/rumus yang digunakan.
Jawab:
24
Kegiatan 2:
4. Menemukan Aturan Sinus
a) Perhatikan gambar jam berbentuk lingkaran berjari-jari R di bawah ini.
Pada gambar jam di atas, titik-titik A, B, dan C berada di angka 8, angka 4, dan angka
11 membentuk segitiga ABC. Garis AO memotong keliling jam di titik D. Panjang AO
= panjang OD = R (jari-jari lingkaran). Garis AD dinamakan diameter dan panjang AD =
2R. Lengkapi uraian berikut ini dengan alasan yang relevan.
Segitiga ACD adalah siku-siku di C, karena .....................................................................
Dalam segitiga ACD, nyatakan sin ADC dalam sisi b dan R dan tulis alasannya.
Jawab:
sin ADC = ......................................................................................................................1)
Alasan..................................................................................................................................
Dalam lingkaran luar segitiga ABC, besar B sama dengan besar D,................2) karena ..................................................................................................................................
Dari 1) dan 2) diperoleh sin ADC = sin ABC = ..............................................................
Jadi dalam segitiga ABC, sin B = ....................... atau 2 R = .......................................3)
Dengan cara serupa akan diperoleh sin A = ........... atau 2R = .................................... 4)
dan sin C = ....................... atau 2R = ......................................................................... 5)
Dari 3) , 4) dan 5) maka diperoleh ..................................................................................6)
Bentuk 6) dinamakan aturan sinus dalam segitiga ABC.
Coba tuliskan ciri-ciri khusus aturan sinus tersebut.
Jawab:
b) Carilah cara lain untuk menemukan aturan sinus dalam suatu segitiga.
Tuliskan dan jelaskan rumus dan atau aturan yang digunakan pada tiap langkah
pengerjaan di atas.
Jawab:
12
R a
c
A
A
A
A
A
A
11
4 8
O
A
D
C
A
B
b
25
B. Kegiatan 3:
Aplikasi Rumus Sinus dalam suatu segitiga
1. Diberikan segitiga PQR, dengan panjang PQ = 10 satuan dan sin R = 0,6.
Periksa cukupkah data untuk menggambar segitiga PQR? Kalau cukup gambarlah
segitiga PQR, kalau tidak cukup lengkapi data dan kemudian gambarlah segitiga PQR.
Kemudian susun pertanyaan berkenaan dengan rumus sinus dalam segitiga PGR dan
jawablah disertai dengan sifat atau prinsip yang digunakan.
Jawab:
2. Sebuah gambar jam berjari-jari 14 cm. Titik A, titik B dan titik C masing-masing
berada di angka 8, di angka 3 dan di angka 11.
a) Buatlah sketsa dari gambar di atas !
b) Buatlah model matematika untuk menghitung besar unsur-unsur segitiga ABC,
dan luas segitiga ABC kemudian selesaikanlah. Sertakan rumus yang digunakan.
Jawab :
3. Diketahui segitiga sembarang dengan besar satu sudutnya adalah 60° dan panjang satu sisinya 12 cm. Buatlah pertanyaan yang relevan dengan data di atas! Cukupkah data
yang diberikan untuk menjawab pertanyaan yang baru disusun? Kalau data cukup,
jawablah pertanyaan tadi! Kalau data tidak cukup, lengkapi dulu data dan kemudian
jawablah pertanyaan tadi.
Jawab :
4. Dari segitiga PQR diketahui PQ = 10 cm, ∠Q=60°. Garis QS adalah garis bagi ∠Q dan
panjang QS = 15 satuan.
a) Gambarlah sketsa segitiga PQR.
b) Tentukan unsur-unsur lain segitiga PQR dan sertakan rumus atau prinsip yang
digunakan
Jawab :
Kegiatan 5:
1. Rangkumlah hal-hal penting berkenaan dengan aturan sinus dalam suatu segitiga.
26
Jawab:
2. Susun soal baru yang tidak rutin berkenaan dengan aturan sinus dalam suatu segitiga
atau pilih soal lain dari buku/sumber lain dan selesaikan.
Jawab:
3. Susun kesulitan yang dialami dalam menyelesaikan LKS ini.
Jawab:
27
CONTOH
LEMBAR KEGIATAN SISWA (LKS)
PERTEMUAN 2
Kelompok: ............................ Tanggal: ............................
1. ..............................
2. ..............................
3. ..............................
4. ..............................
Diskusikan masalah berikut dalam kelompok kerja masing-masing dan selesaikan
bersama-sama.
A. Kegiatan 1
Mengingat kembali aturan sinus dalam suatu segitiga
Gambarlah satu segitiga ABC, dan tuliskan aturan sinus dalam segitiga ABC tersebut.
Jawab:
B. Kegiatan 2
1. Menemukan Rumus Kosinus
Perhatikan segitiga ABC dibawah ini.
Dalam segitiga ABC, CD adalah garis tinggi.
Dalam segitiga ADC berlaku:
AC2 = CD2 + AD2 ........................ (alasan: ..............................................................)
= (BC2 – BD2) + (AB – BD)2 (alasan: .....................................................................)
= BC2 – BD2 + AB2 – 2 AB.BD + BD2
(alasan: ............................................................................................................................)
= BC2 + AB2 – 2 AB.BD
Dalam BCD, BD = ..........................................(nyatakan dalam sis BC dan sudut B) Jadi, b2 = a2 + c2- 2 c. (a. cos B) (alasan: ..............................................................)
Atau b2 = a2 + c2- 2.a.c. cos B ........................................................................... 1)
Ekspresi 1) yaitu: b2 = a2 + c2- 2.a.c. cos B dinamakan aturan kosinus.
Dengan menggunakan analogi, tuliskan aturan kosinus untuk sisi-sisi segitiga ABC
lainnya.
Tuliskan ciri khusus aturan kosinus dalam suatu segitiga.
a
c
b
D
C
B A
28
Jawab:
5. Kegiatan 3:
Kaitan antara aturan sinus dan aturan kosinus dalam suatu segitiga dan segiempat.
1. Dalam segitiga ABC, BC = 10 cm dan besar B = 600. Garis BD adalah garis bagi
B . Gambarlah sketsa situasi tersebut. Cukupkah data untuk menghitung unsur-
unsur lain segitiga ABC? Bila data cukup, unsur-unsur tersebut. Bila data belum
cukup, lengkapilah data dan kemudian hitunglah unsur-unsur tersebut dan sertakan
rumus yang digunakan.
Jawab:
2. Sebuah kapal mulai bergerak dari pelabuhan A pada pukul 06.00 dengan arah 30°dari
sumbu X positif dan tiba dipelabuhan B setelah 4 jam bergerak. Pukul 11.00 kapal
bergerak kembali dari pelabuhan B menuju pelabuhan C dengan memutar haluan
120°dari sumbu X positif dan tiba di pelabuhan C pukul 19.00. Kecepatan rata-rata kapal 50 mil/jam
a) Buatlah sketsa dari perjalanan kapal di atas !
b) Buatlah model matematika untuk menghitung jarak dari pelabuhan A ke pelabuhan
C, kemudian selesaikanlah. Sertakan rumus yang digunakan.
Jawab :
3. Perhatikan kembali aturan sinus dan aturan kosinus dalam suatu segitiga.
Susun serangkaian data tentang suatu jajaran genjang dan kemudian susun pertanyaan
berkaitan dengan aturan sinus dan aturan kosinus terhadap data yang diajukan. Periksa
cukupkah data yang diketahui untuk menjawab pertanyaan yang diajukan. Kalau
cukup, susun model matematik pertanyaan tadi dan kemudian jawablah pertanyaan
itu disertai dengan rumus atau konsep yang digunakan. Kalau data tidak mencukupi,
29
tambahkan atau lengkapi data agar pertanyaan dapat dijawab, kemudian susun model
matematikanya dan selesaikan.
Jawab:
6. Kegiatan 4
1. Rangkumlah kondisi data yang diberikan dan ditanyakan dalam suatu masalah agar
dapat menerapkan aturan sinus dan aturan kosinus, dan sertakan penjelasan.
Jawab:
2. Susun soal baru tentang penerapan aturan sinus dan atau kosinus atau pilih dari buku
atau sumber lain, kemudian selesaikan.
Jawab:
3. Susun kesulitan yang dialami dalam menyelesaikan LKS ini.
Jawab:
30
CONTOH RPP DAN LKS
UNTUK PENELITIAN DENGAN JUDUL:
“Meningkatkan Kemampuan Penalaran dan Berpikir Kritis, Serta Disposisi
Matematik Siswa SMA Melalui Pembelajaran Generatif ”
Indikator variabel dalam judul penelitian di atas.
Indikator Penalaran Matematik:
a) Melaksanakan analogi dan generalisasi berkenaan dengan integral tak tentu, dan
integral tertentu;
b) Melaksanakan perhitungan dengan aturan tertentu tentang integral tak tentu, dan
integral tertentu;
c) Melaksanakan penalaran proporsional, kombinatorik, dan probabilistik tentang
integral tak tentu, dan integral tertentu;
d) Melakukan pembuktian berkenaan dengan integral tak tentu dan integral tertentu,
Indikator berpikir kritis matematik:
a) Memeriksa kebenaran pernyataan, proses solusi atau langkah-langkah
penyelesaian masalah, dan solusi berkenaan dengan integral tak tentu dan integral
tertentu,
b) Mengidentifikasi data relevan dan tidak relevan suatu masalah integral tak tentu
dan integral tertentu,
c) Mempertimbangkan berbagai kemungkinan proses penyelesaian suatu masalah dan
menarik kesimpulan yang berkenaan dengan integral tak tentu dan integral tertentu,
Indikator Percaya Diri
a) Percaya pada kemampuan sendiri, tidak cemas, merasa bebas, dan bertanggung
jawab atas perbuatannya
b) Bertindak mandiri dalam mengambil keputusan
c) Memiliki konsep diri yang positif, hangat dan sopan, dapat menerima dan
menghargai orang lain
d) Berani mengungkapkan pendapat dan memiliki dorongan untuk berprestasi
e) Mengenal kelebihan dan kekurangan diri sendiri
Langkah-langkah pendekatan Generatif:
a) Orientasi,
b) Pengungkapan ide,
c) Tantangan dan restrukturisasi,
d) Penyerapan, dan melihat kembali
31
CONTOH 3
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)
PERTEMUAN KE 1
Satuan Pendidikan : SMA
Mata Pelajaran : Matematika
Pokok Bahasan : Integral
Sub-pokok Bahasan : Integral tak tentu dan integral tertentu
AlokasiWaktu : 2x 2 x 45 menit (2 pertemuan)
A. Standar Kompetensi
1. Memahami integral tak tentu dan integral tak tentu
2. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan integral tak tentu dan integral tak
tentu
B. Tujuan Pembelajaran dan Indikator keberhasilan
Pertemuan 1 dan Pertemuan 2
Ranah Kognitif
a) Memahami dan dapat menerapkan konsep integral tak tentu dan integral tak tentu;
b) Melaksanakan analogi dan generalisasi berkenaan dengan integral tak tentu dan
integral tertentu;
c) Melaksanakan perhitungan dengan aturan tertentu tentang integral tak tentu dan
integral tertentu;
d) Melaksanakan penalaran proporsional, kombinatorik, dan probabilistik tentang
integral tak tentu dan integral tertentu;
e) Memeriksa kebenaran pernyataan, proses solusi atau langkah-langkah
penyelesaian masalah, dan solusi berkenaan dengan integral tak tentu dan integral
tertentu;
f) Mengidentifikasi data relevan dan tidak relevan suatu masalah integral tak tentu
dan integral tertentu;
g) Mempertimbangkan berbagai kemungkinan proses penyelesaian suatu masalah dan
menarik kesimpulan yang berkenaan dengan integral tak tentu dan integral
tertentu,
Ranah Afektif
a) Percaya pada kemampuan sendiri, tidak cemas, merasa bebas, dan bertanggung
jawab atas perbuatannya
b) Bertindak mandiri dalam mengambil keputusan
c) Memiliki konsep diri yang positif, hangat dan sopan, dapat menerima dan
menghargai orang lain
d) Berani mengungkapkan pendapat dan memiliki dorongan untuk berprestasi
e) Mengenal kelebihan dan kekurangan diri sendiri
C. Pendekatan Pembelajaran: Pendekatan Generatif
D. Materi Ajar: Integral tak tentu dan integral tertentu
32
E. Sumber belajar : Lembar Kerja Siswa (LKS), Buku Paket Matematika Erlangga
untuk kelas X semester 2, Buku Paket Matematika Kementerian
Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia 2016 kelas X.
Langkah-langkah Pembelajaran
Pertemuan 1:
No Kegiatan Pendahuluan (sekitar 10 Menit)
1. a.. Siswa dan guru mengawali belajar dengan membaca doa bersama
b. Siswa belajar secara berkelompok (4- 5 orang) mengingat kembali turunan fungsi,
rumus-rumusnya, arti geometri turunan fungsi, dan penerapan rumus turunan fungsi;
c. Melalui pertanyaan/tugas, siswa dibiasakan menyertakan rumus atau konsep yang
digunakan pada tiap langkah pengerjaan tugasnya.
Kegiatan Inti (sekitar 70 Menit)
2. A. Tahap Orientasi:
Untuk menumbuhkan sikap percaya diri/memiliki konsep diri yang positif, hangat dan
sopan, menghargai orang lain, dalam kelompok kerjanya masing-masing:
a.1. Siswa, mengamati situasi kontekstual yang tersaji dalam LKS mengenai rumus -
rumus turunan fungsi dan invers dari proses tersebut;
a.2. Siswa menelaah kaitan antara turunan fungsi dan invers proses mencari turunan
fungsi (mengenal istilah dan notasi anti derivatif atau integral tak tentu, ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥) .
B. Tahap Pengungkapan Ide:
Untuk menumbuhkan sikap percaya diri/memiliki konsep diri yang positif, hangat dan
sopan, menghargai orang lain, berani mengungkapan pendapat, dalam kelompok
kerjanya masing-masing:
b.1.Siswa mengidentifikasi rumus turunan fungsi dan inversnya serta menyelesaikan
soal berkenanaan integral tak tentu atau menentukan anti derivatif (mencari persamaan
fungsi atau fungsi asal bila diketahui persamaan garis singgungnya) disertai alasan tiap
langkah pengerjaan;
b.2.Melalui pengamatan pada tahap b.1 dan beberapa contoh siswa memahami bahwa
mencari turunan fungsi umumnya mudah diselesaikan. Namun tidak sembarang fungsi
dapat dicari anti derivatifnya (menyelesaikan integral tak tentu).
C. Tahap Tantangan dan Restrukturisasi,
Untuk menumbuhkan sikap percaya diri/,tidak cemas, hangat dan sopan, menghargai
orang lain, berani mengungkapan pendapat, terdorong untuk berprestasi, dalam
kelompok kerjanya masing-masing:
c.1. Siswa menyelesaikan soal penalaran proporsional tentang integral tak tentu,
memeriksa kebenaran pernyataan, proses solusi atau langkah-langkah
penyelesaian masalah, dan solusi berkenaan dengan integral tak tentu,
mengidentifikasi data relevan dan tidak relevan suatu masalah integral tak tentu;
c.2. Siswa mempertimbangkan berbagai kemungkinan proses penyelesaian suatu
masalah dan menarik kesimpulan yang berkenaan dengan integral tak tentu dan
penerapannya.
D. Penyerapan, dan Melihat Kembali
33
Untuk menumbuhkan sikap percaya diri/,tidak cemas, hangat dan sopan, menghargai
orang lain, berani mengungkapan pendapat, terdorong untuk berprestasi, dan mengenal
kelebihan dan kekurangan sendiri, berani mengambil keputusan, dalam kelompok
kerjanya masing-masing:
d.1.Melalui pertanyaan/tugas dari guru siswa didorong memeriksa kembali kebenaran
proses yang telah dilakukan pada langkah Tantangan dan Restrukturisasi dan
menyertakan rumus dan atau konsep yang digunakan pada tiap langkah pengerjaan;
d.2. Siswa berlatih menyusun soal sendiri berkenaan integral tak tentu dan atau memilih
sendiri soal latihan integral tak tentu dari sumber lain.
Kegiatan Penutup (10 Menit)
3. a. Dengan bimbingan guru, siswa merangkum bahasan tentang integral tak tentu dan
penerapannya;
b. Siswa mengidentifikasi kesulitan menyelesaikan masalah integral tak tentu dan
penerapannya;
c. Siswa menyimak materi yang akan dipelajari pada pertemuan selanjutnya yaitu
tentang integral tertentu dan penerapannya atau tugas (PR) berkenaan integral tak
tentu yang diberikan oleh guru.
Penilaian dalam ranah kognitif dan afektif
Dilaksanakan melalui observasi terhadap kegiatan belajar siswa selama proses
pembelajaran
Mengetahui
Guru Kelas
__________________
NIP
Peneliti
____________________
NIP
34
CONTOH
LEMBAR KEGIATAN SISWA (LKS)
PERTEMUAN 1
Kelompok: ............................ Tanggal: ............................
5. ..............................
6. ..............................
7. ..............................
8. ..............................
Diskusikan masalah berikut dalam kelompok kerja masing-masing dan selesaikan
bersama-sama.
A. Kegiatan 1:
1. Mengingat kembali rumus fungsi turuan beragam fungsi.
Perhatikan fungsi pada kolom sebelah kiri dan tuliskan fungsi turunannya pada kolom
di sebelah kanan (Tabel 1)
Tabel 1
Fungsi aljabar dan fungsi
trigonometri
Fungsi Turunannya (Notasi dan rumusnya)
y = f(x)
..................................(umum) y’ =
𝑑𝑦
𝑑𝑥 = f’(x)
y = k .................................(k
konstan)
....................................................................
y = x ....................................................................
y = kx ....................................................................
y = x n ....................................................................
y = f(x) + g(x) ....................................................................
y = f(x) - g(x) ....................................................................
y = f(x) . g(x) ....................................................................
y = f(x) /g(x) ....................................................................
y = sin x ....................................................................
y = cos x ....................................................................
y = f (g(x)) (fungsi majemuk) ....................................................................
2. Berdasarkan rumus/aturan pada Tabel 1, carilah turunan fungsi berikut dan tuliskan
aturan yang digunakan:
a) y = 5 x3 – 7 x2 + 2 x + 4
Jawab:
b) y = (3x2 – 7x +1) (2x – 3)
Jawab:
35
c) y = (𝑥3−2 𝑥+1)
(2 𝑥+7)
Jawab:
d) y = sin (3x2 – 2x +7)
Jawab:
e) y = cos (2x3– 3x2 +7x -1)
Jawab:
f) Apa arti geometri turunan pertama suatu fungsi? Berdasarkan arti geometri tersebut,
tentukan dua persamaan garis singgung g dan h terhadap kurva f(x) = x 2 + 1 dalam
selang (-5, 5)
1) g yang sejajar dengan garis y = 2x -3. Ada berapa g yang memenuhi? Adakah
data yang tidak relevan? Jelaskan.
2) h yang melalui titik (1,2). Ada berapa h yang memenuhi? Adakah data yang
tidak relevan? Jelaskan.
Jawab:
B. Kegiatan 2
1. Invers dari proses mencari fungsi turunan atau anti derivatif atau integral tak
tentu
Perhatikan lagi Tabel 1
Proses fungsi pada kolom kiri menjadi fungsi pada kolom kanan dinamakan proses
menurunkan fungsi atau mencari derivatif suatu fungsi. Jadi kalau diketahui fungsi pada
kolom kanan, inversnya adalah fungsi pada kolom kiri. Proses tersebut dinamakan anti
turunan atau anti derivatif dan diberi notasi ∫ 𝑓(𝑥)𝑑 𝑥 (baca integral f(x) dx)
36
Perhatikan lebih seksama kasus di bawah ini:
Proses dari f(x) diperoleh f ‘(x), dinamakan proses mencari derivatif suatu fungsi
Sebaliknya proses dari f ‘(x) berasal dari f(x) dinamakan proses anti derivatif suatu
fungsi
Proses anti derivatif di atas diberi notasi 𝑓(𝑥) = ∫ 𝑓′(𝑥). 𝑑𝑥 ........................................
1)
f (x) = x maka f ‘(x) = 1
f (x) = x + 2 maka f ‘(x) = 1 (alasan: ............................................................)
f (x) = x – 5 maka f ‘(x) = 1 (alasan: .............................................................)
Umum f (x) + k maka f ‘(x) = 1 (alasan: ............................................................)
Jadi jika f ‘x) = 1 maka f (x) = x +k (k bilangan konstan sembarang)
Dengan kata lain jika diberikan satu fungsi derivatif maka diperoleh banyak sekali
fungsi anti derivatifnya. Dengan kata lain bentuk 1) yaitu ∫ 𝑓 ′(𝑥)𝑑𝑥 dinamakan
integral tak tentu karena jawabnya banyak.
C. Kegiatan 3:
1. Perhatikan kasus-kasus berikut.
a) y = x , maka y’ = 1 .
Inversnya y’ = 1 maka y = ∫ 1 𝑑𝑥 = x + k (tuliskan alasannya
.........................................)
b) y = x2 , maka y’ = 2 x
Inversnya y’ = 2x , maka y = ∫ 2𝑥 𝑑𝑥 = 2
1+1 x 1+1 + k =
2
2 x2 + k = x2 +k
c) Dari contoh a) dan Contoh b) kemudian diperumum untuk xn
y = xn , maka y’ = n xn-1
Inversnya y’ = n xn-1, maka y = ∫(n xn−1) 𝑑𝑥 =𝑛
𝑛−1+1 𝑥𝑛−1+1 + 𝑘 = xn +k
Jadi secara umum ∫ xn 𝑑𝑥 = 1
𝑛+1 𝑥𝑛+1 + k (asalkan n -1)
Berdasarkan proses pada Kegiatan 2, tuliskan rumus integral tak tentu berikut pada
kolom kanan:
Fungsi aljabar dan fungsi
trigonometri
Fungsi Anti turunan (Anti Derivatif)
y ‘ = f ‘(x)
..................................(umum) 1. y = ∫ 𝑓 ′(𝑥). 𝑑𝑥 = f (x) + k
y’ = c .................................(c
konstan) 2. y = ∫ 𝑐 𝑑𝑥 = cx + k
y ‘= x 3. ∫ 𝑥 𝑑𝑥 =.................................................
y ‘ = kx 4....................................................................
y ‘ = x n 9. y = ∫( 𝐱𝐧) 𝑑𝑥 = (
1)
𝑛+1 x(n+ 1)
+ k
y ‘ = f ‘(x) + g ‘(x) 6.y = ∫(𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)) dx
= ∫ 𝑓 ′(𝑥) 𝑑𝑥 +∫ 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 + k
y’ = f ‘(x) – g ‘(x) 7. ...................................................................
37
y ‘ = k.f ‘(x) 8. y = ∫ 𝑘 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 = k ∫ 𝑓 ′(𝑥)𝑑𝑥 y ‘ = sin x 9. y = ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = ........................................
y ‘ = cos x 10. y = ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = .................................... 2. Contoh menentukan integral tak tentu.
Tentukan integral tak tentu berikut dan sertakan rumus yang digunakan.
a)Selesaikan ∫(5 𝑥3- 2 𝑥2+ 7 x + 1) dx =
Jawab:
b) Selesaikan ∫ sin 2𝑥 𝑑𝑥
Jawab:
∫ sin 2𝑥 𝑑𝑥 = cos 2x + k ......... (alasan: menggunakan rumus dasar no 9 pada Kegiatan
2.)
Benarkah jawab di atas? Mengapa?
Alternatif keterangan: Jawab di atas tidak benar karena soal di atas tidak memenuhi
rumus dasar, yaitu variabel (2x) dalam fungsi integran-nya (sin 2x) tidak sesuai dengan
perubahan variabelnya (dx).
Dalam kasus seperti ini harus dilakukan pemisalan variabel baru, agar diperoleh bentuk
rumus dasar dalam variabel baru.
Misalkan u = 2x, jadi du = 2 dx atau dx = 1
2 du
Jadi ∫ sin 2𝑥 𝑑𝑥 = ∫ sin𝑢 .1
2 du =
1
2 ∫ sin 𝑢 𝑑𝑢 = -
1
2cos 𝑢 +k = -
1
2cos 2𝑥 +k
c) Coba susun soal latihan integral tak tentu yang baru dalam kelompokmu. Kemudian
selesaikan disertai dengan rumus atau aturan yang digunakan.
Jawab:
d) Dari contoh-contoh pada Kegiatan1, Kegiatan 2, dan Kegiatan 3 dapat disimpulkan
bahwa mencari turunan sembarang fungsi pada umumnya dapat diselesaikan dengan
relatif lebih mudah. Sebaliknya mencari anti derivatif atau menyelesaikan integral tak
tentu sembarang fungsi khususnya yang tidak memenuhi rumus dasar tidak mudah
bahkan kadang-kadang tidak dapat diselesaikan secara manual.
D. Kegiatan 4:
Contoh soal penerapan anti derivatif.
1. Diketahui fungsi derivatif adalah f ‘(x) = 3x2 -2x +1. Fungsi f melalui titik (2,5).
Tentukan fungsi f yaitu anti turunan (anti derivatif) fungsi f ‘(x) di atas dan tuliskan
rumus yang digunakan.
Jawab:
Diketahui f ‘ (x) = 3x2 -2x +1. Maka anti derivatif f adalah
f (x) = ∫( 3x2 − 2x + 1) 𝑑𝑥
(alasan:..................................................................................)
38
= 3
3 x3 -
2
3 x2 + x + k
(alasan:..................................................................................)
= x3 - 2
3 x2 + x + k
(alasan ............................................................................................................................)
f melalui titik (2,5), jadi (2,5) memenuhi persamaan fungsi f (alasan ....................
.........................................................................................................................................)
f(2) = 5 = 23 - 2
3 22 + 2 + k (alasan ......................................................................)
5 = 8 - 8
3 + 2 + k
Jadi k = 8
3 - 5 = -
7
3
(alasan............................................................................................................................)
Jadi persamaan fungsi f adalah y = f(x) = x3 - 2
3 x2 + x -
7
3
2. Coba susun soal latihan penerapan anti derivatif yang baru, kemudian selesaikan
disertai dengan rumus atau aturan yang digunakan.
Jawab:
E. Kegiatan 5:
Memeriksa kebenaran langkah-langkah penyelesaian integral tak tentu disertai
alasan.
Diskusikan dalam kelompok kerjamu dan rundingkan wakil dari kelompok untuk
tampil mewakili kelompok ke depan kelas.
1. Perhatikan langkah-langkah penyelesaian soal berikut. Periksa kebenaran tiap
langkahnya. Bila terdapat langkah yang salah, tuliskan pada langkah mana kesalahan
tersebut dan tuliskan yang langkah yang seharusnya disertai alasan.
∫ 4(3x + 2)3 dx = 4∫(3x + 2)3 dx ...................1).(rumus ∫ kf(x)dx = k∫ f(x)dx )
= 4. 1
3+1 (3x + 2)3 +1 + k ............2).(rumus ∫ 𝑥𝑛 dx =
1
𝑛+1 xn+ 1 + k)
= 4
4 (3x + 2)4 + k ................3).(penyederhanaan)
= (3x + 2)4 + k ...........................4) (penyederhanaan)
Jawab:
Kesalahan terjadi pada langkah ke-2).
Seharusnya ada pemisalan variabel baru, misal u = (3x + 2), jadi du = 3 dx atau dx = 1
3
du
Jadi ∫ 4(3x + 2)3 dx = 4∫(3x + 2)3 dx
39
= 4 ∫ 𝑢3 (1
3 du) ..............(alasan .................................................)
= 4. 1
3 ∫ 𝑢3 du ................( alasan… … … … … … … … …................)
= 4
3 .
1
4 u4 + k ....................(alasan ....................................................)
= 1
3 (3x + 2)4 + k ............(alasan.....................................................)
3. Periksalah kebenaran pernyataan di bawah ini, dan sertakan alasannya atau
rumus yang digunakan.
a) Jika f(x) = 3 g(x) maka ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 3 ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
b) Jika f(x) = (g(x))3 maka 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = (∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 )3
c) Jika f(x) = g(x) . h(x) maka ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 . ∫ ℎ(𝑥)𝑑𝑥
Jawab:
4. Susun beberapa soal latihan sendiri tentang mencari anti derivatif atau
menyelesaikan integral tak tentu dan kemudian selesaikan.
Jawab:
F. Kegiatan 6:
Merangkum dan mengidentifikasi hal-hal penting dan kesulitan yang dialami
siswa
Diskusikan dengan teman dalam kelompokmu kemudian rangkumlah hal-hal penting
dalam tiap kegiatan dan tuliskan kesulitan yang dialami
Jawab:
40
Langkah-langkah Pembelajaran
Pertemuan 2:
No Kegiatan Pendahuluan (sekitar 10 Menit)
1. a. Siswa dan guru mengawali belajar dengan membaca doa bersama
b. Siswa belajar secara berkelompok (4- 5 orang) mengingat kembali rumus-
rumus dasar dan penerapan integral tak tentu (anti derivatif)
c. Melalui pertanyaan, siswa dibiasakan menyertakan rumus atau konsep yang
digunakan pada tiap langkah pengerjaan tugasnya.
Kegiatan Inti (sekitar 70 Menit)
2. A. Tahap Orientasi:
Untuk menumbuhkan sikap percaya diri/memiliki konsep diri yang positif,
hangat dan sopan, menghargai orang lain, dalam kelompok kerjanya masing-
masing:
a.1. Siswa berdiskudi dan mengamati situasi kontekstual yang tersaji dalam LKS
mengenalkan konsep integral tertentu melalui masalah luas daerah yang
dibatasi Sumbu X, kurva f(x), x = a dan x = b.
a.2. Siswa menelaah kaitan antara integral tak tentu dan integral tertentu
B. Tahap Pengungkapan Ide:
Untuk menumbuhkan sikap percaya diri/memiliki konsep diri yang positif,
hangat dan sopan, menghargai orang lain, berani mengungkapan pendapat, dalam
kelompok kerjanya masing-masing:
Siswa mengidentifikasi rumus –rumus dasar integral tertentu dan
penerapannya
C. Tahap Tantangan dan Restrukturisasi,
Untuk menumbuhkan sikap percaya diri/,tidak cemas, hangat dan sopan,
menghargai orang lain, berani mengungkapan pendapat, terdorong untuk
berprestasi, dalam kelompok kerjanya masing-masing:
c.1. Siswa menyelesaikan soal penalaran proporsional tentang integral tertentu;
memeriksa kebenaran pernyataan, proses solusi atau langkah-langkah
penyelesaian masalah, dan solusi berkenaan dengan integral tertentu, disertai
alasan yang mendasari tiap pengerjaan;
c.2. Siswa mengidentifikasi data relevan dan tidak relevan suatu masalah integral
tertentu, dan mempertimbangkan berbagai kemungkinan proses penyelesaian
suatu masalah dan menarik kesimpulan yang berkenaan dengan integral
tertentu dan penerapannya, disertai dengan aslasan yang mendasari tiap
pengerjaan.
D.Penyerapan, dan Melihat Kembali
Untuk menumbuhkan sikap percaya diri/,tidak cemas, hangat dan sopan,
menghargai orang lain, berani mengungkapan pendapat, terdorong untuk
berprestasi, dan mengenal kelebihan dan kekurangan sendiri, berani mengambil
keputusan, dalam kelompok kerjanya masing-masing:
d.1.Melalui pertanyaan/tugas dari guru siswa didorong memeriksa kembali
kebenaran proses yang telah dilakukan pada langkah Tantangan dan
41
Restrukturisasi dan menyertakan rumus dan atau konsep yang digunakan pada
tiap langkah pengerjaan;
d.2.Siswa berlatih menyusun soal sendiri berkenaan integral tertentu atau
memilih sendiri soal latihan integral tak tentu dari sumber lain.
Kegiatan Penutup (sekitar 10 Menit)
3. a. Dengan bimbingan guru, siswa merangkum bahasan tentang integral tertentu
dan penerapannya;
b. Siswa mengidentifikasi kesulitan menyelesaikan masalah integral tertentu
dan penerapannya
c. Siswa menyimak materi yang akan dipelajari pada pertemuan selanjutnya
yaitu tentang penerapan integral tertentu masalah luas daerah antara dua
kurva, dan tugas (PR) berkenaan integral tertentu yang diberikan oleh guru
(kalau ada)
Penilaian dalam ranah kognitif dan afektif
Dilaksanakan melalui observasi terhadap kegiatan belajar siswa selama proses
pembelajaran
Mengetahui
Guru Kelas
_____________
NIP
Peneliti
______________
NIP
42
CONTOH
LEMBAR KEGIATAN SISWA (LKS)
PERTEMUAN 2
Kelompok: ............................ Tanggal: ............................
1 ..............................
2 ..............................
3 ..............................
4 ..............................
Diskusikan masalah berikut dalam kelompok kerja masing-masing dan selesaikan
bersama-sama.
A. Kegiatan 1:
1 Mengingat kembali rumus-rumus dasar integral tak tentu dan penerapannya.
Tuliskan beberapa rumus dasar integral tak tentu .
Jawab:
1. ∫ k dx =
2 ∫ x dx =
3 ∫ kx dx =
4 ∫ 𝑥𝑛 dx =
5 ∫(f(x) + g(x)) dx =
6 ∫(f(x) − g(x)) dx =
7 ∫ sin𝑥 𝑑𝑥 =
8 ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 =
B. Kegiatan 2
Mengenalkan konsep integral tertentu dan notasinya
1. Perhatikan gambar dan uraian di bawah ini
Y J I f(x)
F E H
D C
O X
Daerah D dibatasi oleh kurva y = f(x) > 0, sumbu X,
x = a dan x = b. Akan dihitung luas daerah D.
Bagi selang [a,b] dalam n bagian yang sama, masing-
masing berjarak x, sehingga membentuk partisi-partisi.
Gambar pada tiap partisi, segiempat dalam (misal
ABCD dan BGHE) dan segiempat luar (misal ABEF
dan BGIJ).
a x x b
A B G b
43
Jadi Luas ABCD < Luas partisi ABED < Luas ABEF
f(x). x < Luas partisi ABED < f(x+ x) . x
Luas daerah D sama dengan jumlah luas tiap partisi. Misalkan n maka x 0.
Maka f(x). x Luas partisi ABED f(x+ x) . x
Jadi Luas daerah D = l i m ∑ 𝑓(𝑥𝑖) x𝑛𝑖=1 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
n
Diketahui bahwa f(x) > 0, dengan demikian tiap f(xi) > 0, sedang x > 0.
Jadi f(xi). x > 0, demikian pula ∑ 𝑓(𝑥𝑖) x𝑛𝑖=1 > 0.
Dengan demikian ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎 > 0
Bentuk ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒃
𝒂 dinamakan integral tertentu f(x) dari x = a sampai dengan x = b;
a dinamakan batas bawah dan b dinamakan batas atas integral tertentu.
Didefinisikan Luas D = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎 = F(x) ]a
b = F(b) – F(a) dengan F adalah anti
derivatif f.
Pertanyaan:
Bagaimana rumus luas daerah D jika f(x) < 0 dalam selang [a, b]. Beri penjelasan.
Jawab:
C. Kegiatan 3:
Beberapa catatan penting.
1. Rumus-rumus dasar anti derivatif dalam perhitungan integral tak tentu berlaku dalam
perhitungan integral tertentu.
2. Perhatikan rumus-rumus dasar integral tertentu berikut.
a) 𝑃𝑒𝑛𝑢𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙: ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒃
𝒂= − ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝒂
𝒃
b) Merinci integral tertentu: Jika c (a, b) maka ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒃
𝒂= ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝒄
𝒂+
∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒃
𝒄
c) Karena luas daerah bernilai positif, jadi secara umum rumus luas daerah yang
dibatasi oleh kurva f, sumbu X, x = a dan x = b adalah:
Luas D = ∫ |𝒇(𝒙)|𝒅𝒙𝒃
𝒂
d) Dengan demikian untuk menghitung luas daerah D yang dibatasi oleh kurva f,
sumbu X, x = a dan x = b, harus ditentukan dulu pada selang mana f > 0 dan
pada selang mana f < 0. Untuk itu perlu digambar dulu sketsa kurva f tersebut.
3. Contoh: menentukan luas daerah D yang dibatasi oleh kurva f, sumbu X, x = a
dan x = b
Tentukan luas daerah D yang dibatasi oleh kurva f(x) = x2, sumbu X, x = -2 dan x =
3.
Gambar dulu sketsa grafik kurva f(x) = x2 – 2 tersebut, dan jelaskan tiap langkah
penyelesaiannya.
44
Jawab:
a) Gambar dulu sketsa f(x) = x2 - 2 dalam selang [-2,3]
Y
b) Titik potong f dengan sumbu X, f(x)
memotong sumbu X di titik:
x2 – 2 = 0
(x-2)(x + 2) = 0
yaitu pada x = - 2 dan pada x = 2
Jadi f(x) > 0 pada selang (-2, -2) dan (2, 3) dan
f(x) < 0 pada selang (-2, 2).
c) Jadi luas daerah D yang dibatasi f(x) = x2 – 2, sumbu X, x= -2 dan x = 3
LD = ∫ |3
−2 x2 – 2| dx = ∫ (
−2
−2 x2 – 2) dx - ∫ (
2
−2 x2 – 2) dx +∫ (
3
2 x2 – 2) dx
(alasan: .....................................................................................................................)
= ( 1
2 x3- 2)]-2
-2 - ( 1
2 x3- 2)]-2
2 +( 1
2 x3- 2)]2
3
(alasan: .......................................................................................................................)
= ..................................................................................................................................
...................................................................................................................................
(alasan: .......................................................................................................................)
= ..................................................................................................................................
Jadi LD = ........................................... satuan luas
D. Kegiatan 4
1. Kaitan antara integral tertentu dengan masalah luas daerah.
Selesaikan soal berikut disertai dengan rumus yang digunakan pada tiap langkahnya.
Proses dan hasil perhitungan integral tertentu dan masalah luas daerah
a) Luas daerah D yang dibatasi oleh f(x) = x3, sumbu X, x = 0 dan x = 3 sama
dengan
∫ 𝑥33
0 dx. Benarkah pernyataan tersebut? Jelaskan alasannya, dan selesaikan
disertai dengan rumus yang digunakan.
𝐉𝐚𝐰𝐚𝐛:
x -2 -1 0 1 2 3
f(x) 2 -1 -2 -1 2 7
-2 -1 0 1 2 3
45
b) Luas daerah D yang dibatasi oleh f(x) = sin x, sumbu X, x = 0 dan x = 2 sama
dengan ∫ sin𝑥2
0 dx. Benarkah pernyataan tersebut? Jelaskan alasannya dan
selesaikan disertai dengan rumus yang digunakan.
Jawab:
2. Susun beberapa soal latihan tentang integral tertentu dan luas daerah yang baru.
Kemudian selesaikan disertai dengan rumus yang digunakan pada tiap langkah
pengerjaan.
Jawab:
E. Kegiatan 5
a) Tuliskan hal-hal penting dalam Kegiatan 1, Kegiatan 2, Kegiatan 3, dan Kegiatan 4.
Jawab:
b) Tuliskan kesulitan yang dialami dalam menyelesaikan LKS ini.
Jawab:
46
CONTOH
RPP DAN LKS UNTUK PEMBELAJARAN GENERATIF
“Meningkatkan Kemampuan Penalaran dan Berpikir Kritis Serta Disposisi
Matematik Siswa SMA Melalui Pembelajaran Generatif ”
Indikator variabel dalam judul penelitian di atas.
Indikator Penalaran Matematik:
a) Melaksanakan analogi dan generalisasi berkenaan dengan integral tak tentu, dan
integral tertentu,
b) Melaksanakan perhitungan dengan aturan tertentu tentang integral tak tentu, dan
integral tertentu,
c) Melaksanakan penalaran proporsional, kombinatorik, dan probabilistik tentang
integral tak tentu, dan integral tertentu,
d) Melakukan pembuktian berkenaan dengan integral tak tentu dan integral tertentu,
Indikator berpikir kritis matematik:
a) Memeriksa kebenaran pernyataan, proses solusi atau langkah-langkah
penyelesaian masalah, dan solusi berkenaan dengan integral tak tentu dan
integral tertentu,
b) Mengidentifikasi data relevan dan tidak relevan suatu masalah integral tak tentu
dan integral tertentu,
c) Mempertimbangkan berbagai kemungkinan proses penyelesaian suatu masalah
dan menarik kesimpulan yang berkenaan dengan integral tak tentu dan integral
tertentu,
Indikator Percaya Diri
a) Percaya pada kemampuan sendiri, tidak cemas, merasa bebas, dan bertanggung
jawab atas perbuatannya
b) Bertindak mandiri dalam mengambil keputusan
c) Memiliki konsep diri yang positif, hangat dan sopan, dapat menerima dan
menghargai orang lain
d) Berani mengungkapkan pendapat dan memiliki dorongan untuk berprestasi
e) Mengenal kelebihan dan kekurangan diri sendiri
Langkah-langkah pendekatan Generatif:
a) Orientasi,
b) Pengungkapan ide,
c) Tantangan dan restrukturisasi,
d) Penyerapan, dan melihat kembali
47
CONTOH
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)
PERTEMUAN KE 1
Satuan Pendidikan : SMA
Mata Pelajaran : Matematika
Pokok Bahasan : Integral
Sub-pokok Bahasan : Integral tak tentu dan integral tertentu
AlokasiWaktu : 2x 2 x 45 menit (2 pertemuan)
A. Standar Kompetensi
1. Memahami integral tak tentu dan integral tak tentu
2. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan integral tak tentu dan integral tak
tentu
B. Tujuan Pembelajaran dan Indikator keberhasilan
Pertemuan 1 dan Pertemuan 2
Ranah Kognitif
a) Memahami dan menerapkan konsep integral tak tentu dan integral tak tentu
b) Melaksanakan analogi dan generalisasi berkenaan dengan integral tak tentu dan
integral tertentu,
c) Melaksanakan perhitungan dengan aturan tertentu tentang integral tak tentu dan
integral tertentu,
d) Melaksanakan penalaran proporsional, tentang integral tak tentu dan integral
tertentu,
e) Memeriksa kebenaran pernyataan, proses solusi atau langkah-langkah
penyelesaian masalah, dan solusi berkenaan dengan integral tak tentu dan integral
tertentu,
f) Mengidentifikasi data relevan dan tidak relevan suatu masalah integral tak tentu dan
integral tertentu,
g) Mempertimbangkan berbagai kemungkinan proses penyelesaian suatu masalah dan
menarik kesimpulan yang berkenaan dengan integral tak tentu dan integral tertentu,
Ranah Afektif
a) Percaya pada kemampuan sendiri, tidak cemas, merasa bebas, dan bertanggung
jawab atas kegiatan yang dilakukannya;
b) Bertindak mandiri dalam mengambil keputusan;
c) Memiliki konsep diri yang positif, hangat dan sopan, dapat menerima dan
menghargai orang lain;
d) Mengenal kelebihan dan kekurangan diri sendiri.
C. Pendekatan Pembelajaran: Pendekatan Generatif dengan langkah-langkah:
orientasi, pengungkapan ide, tantangan dan restrukturisasi, penyerapan, dan melihat
kembali
D. Materi Ajar: Integral tak tentu dan integral tertentu
48
E. Sumber belajar : Lembar Kerja Siswa (LKS), Buku Paket Matematika Erlangga
untuk kelas X semester 2, Buku Paket Matematika Kementerian Pendidikan dan
Kebudayaan Republik Indonesia 2016 kelas X.
Langkah-langkah Pembelajaran
Pertemuan 1:
No Kegiatan Pendahuluan (sekitar 10 Menit)
1. a. Siswa dan guru mengawali belajar dengan membaca doa bersama;
b. Siswa belajar secara berkelompok (4- 5 orang) mengingat kembali turunan
fungsi, rumus-rumusnya, arti geometri turunan fungsi, dan penerapan rumus
turunan fungsi;
c. Melalui pertanyaan, siswa dibiasakan menyertakan rumus atau konsep yang
digunakan pada tiap langkah pengerjaan tugasnya.
Kegiatan Inti (sekitar 70 Menit)
2. a. Tahap Orientasi:
Dalam rangka membangun rasa percaya diri, tidak cemas, dan bertanggung jawab
atas kegiatan yang dilakukannya, dan menunjukkan kerjasama dan dapat
menghargai pendapat temannya dalam kelompok kerjanya masing-masing:
a.1. Siswa berdiskusi dan mengamati situasi kontekstual yang tersaji dalam
LKS mengenai rumus-rumus turunan fungsi dan invers dari proses tersebut
dan memberikan alasan yang dikerjakannya.
a.2. Siswa menelaah kaitan antara turunan fungsi dan invers proses mencari
turunan fungsi (mengenalkan istilah dan notasi anti derivatif atau integral tak
tentu, ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥) )
b. Tahap Pengungkapan Ide:
Untuk membina agar siswa berani mengungkapkan pendapatnya dan mendorong
agar mereka berprestasi, dalam kelompok kerja masing-masing:
b.1.Siswa mengidentifikasi rumus mencari turunan dan inversnya dan
menyelesaikan soal berkenaan integral tak tentu atau menentukan anti
derivatif (mencari persamaan fungsi bila diketahui persamaan garis
singgungnya) disertai alasan tiap langkah pengerjaan.
b.2.Melalui pengamatan pada tahap b.1 dan beberapa contoh siswa memahami
bahwa mencari turunan fungsi umumnya mudah diselesaikan. Namun tidak
sembarang fungsi dapat dicari anti derivatifnya (menyelesaikan integral tak
tentu)
c. Tahap Tantangan dan Restrukturisasi:
Untuk menyadarkan atas kelebihan dan kekurangan diri, dalam kelompok kerja
masing-masing:
c.1. Siswa didorong menyelesaikan soal penalaran proporsional tentang integral
tak tentu, memeriksa kebenaran pernyataan, proses solusi atau langkah-
langkah penyelesaian masalah, dan solusi berkenaan dengan integral tak tentu,
mengidentifikasi data relevan dan tidak relevan suatu masalah integral tak
tentu disertai alasan yang mendasarinya;
c.2. Siswa didorong mempertimbangkan berbagai kemungkinan proses
penyelesaian suatu masalah dan menarik kesimpulan yang berkenaan dengan
integral tak tentu dan penerapannya.
49
d. Penyerapan, dan Melihat Kembali
Untuk membina rasa memiliki konsep diri dalam mengambil keputusan, dalam
kelompok kerja masing-masing:
d.1.Melalui pertanyaan/tugas dari guru siswa didorong memeriksa kembali kebenaran
proses yang telah dilakukan pada langkah Tantangan dan Restrukturisasi dan
menyertakan rumus dan atau konsep yang digunakan pada tiap langkah pengerjaan;
d.2. Siswa berlatih menyusun soal sendiri berkenaan integral tak tentu dan atau
memilih sendiri soal latihan integral tak tentu dari sumber lain
Kegiatan Penutup (sekitar 10 Menit)
3. a. Dalam bimbingan guru, siswa merangkum bahasan tentang integral tak tentu dan
penerapannya;
b. Siswa mengidentifikasi kesulitan menyelesaikan masalah integral tak tentu dan
penerapannya;
c. Siswa menyimak materi yang akan dipelajari pada pertemuan selanjutnya yaitu
integral tertentu dan penerapannya atau PR berkenaan integral tak tentu
Penilaian ranah kognitif dan afektif:
Dilaksanakan melalui observasi terhadap kinerja siswa dan ketika memberi bantuan
kepada mereka yang memerlukan selama proses pembelajaran.
Mengetahui
Guru Kelas
__________________
NIP
Peneliti
__________________
NIP
50
CONTOH
LEMBAR KEGIATAN SISWA (LKS)
PERTEMUAN 1
Kelompok: ............................ Tanggal: ............................
1. ..............................
2. ..............................
3. ..............................
4. ..............................
Diskusikan masalah berikut dalam kelompok kerja masing-masing dan selesaikan
bersama-sama.
A. Kegiatan 1:
1. Mengingat kembali rumus fungsi turuan beragam fungsi.
Perhatikan fungsi pada kolom sebelah kiri dan tuliskan fungsi turunannya pada kolom
di sebelah kanan (Tabel 1)
Tabel 1
Fungsi aljabar dan fungsi
trigonometri
Fungsi Turunannya (Notasi dan rumusnya)
y = f(x)
..................................(umum) y’ =
𝑑𝑦
𝑑𝑥 = f’(x)
y = k .................................(k
konstan)
....................................................................
y = x ....................................................................
y = kx ....................................................................
y = x n ....................................................................
y = f(x) + g(x) ....................................................................
y = f(x) - g(x) ....................................................................
y = f(x) . g(x) ....................................................................
y = f(x) /g(x) ....................................................................
y = sin x ....................................................................
y = cos x ....................................................................
y = f (g(x)) (fungsi majemuk) ....................................................................
2. Berdasarkan rumus/aturan pada Tabel 1, carilah turunan fungsi berikut dan tuliskan
aturan yang digunakan:
a) y = 5 x3 – 7 x2 + 2 x + 4
Jawab:
b) y = (3x2 – 7x +1) (2x – 3)
Jawab:
51
c) y = (𝑥3−2 𝑥+1)
(2 𝑥+7)
Jawab:
d) y = sin (3x2 – 2x +7)
Jawab:
e) y = cos (2x3– 3x2 +7x -1)
Jawab:
3) Apa arti geometri turunan pertama suatu fungsi? Berdasarkan arti geometri
tersebut, tentukan dua persamaan garis singgung g dan h terhadap kurva f(x) = x 2 +
1 dalam selang (-5, 5).
a) g yang sejajar dengan garis y = 2x -3. Ada berapa garis singgung g yang
memenuhi? Adakah data yang tidak relevan? Jelaskan.
b) h yang melalui titik (1,2). Ada berapa garis singgung h yang memenuhi?
Adakah data yang tidak relevan? Jelaskan.
Jawab:
C. Kegiatan 2
Pengertian integral tak tentu sebagai invers proses mencari fungsi turunan;
Perhatikan lagi Tabel 1
Proses fungsi pada kolom kiri menjadi fungsi pada kolom kanan dinamakan proses
menurunkan fungsi atau mencari derivatif suatu fungsi. Jadi kalau diketahui fungsi pada
52
kolom kanan, inversnya adalah fungsi pada kolom kiri. Proses tersebut dinamakan anti
turunan atau anti derivatif dan diberi notasi ∫ 𝑓(𝑥)𝑑 𝑥 (baca integral f(x) dx)
Perhatikan lebih seksama kasus di bawah ini:
Proses dari f(x) diperoleh f ‘(x), dinamakan proses mencari derivatif suatu fungsi
Sebaliknya proses dari f ‘(x) dan mencari fungsi asalnya yaitu f(x) dinamakan proses
anti derivatif suatu fungsi atau mengintegralkan.
Proses mencari anti derivatif atau mencari fungsi asal dinamakan juga
mengintegralkan di atas diberi notasi 𝑓(𝒙) = ∫ 𝒇′(𝒙). 𝒅𝒙 ........... 1)
Sekarang perhatikan
f (x) = x maka f ‘(x) = 1
f (x) = x + 2 maka f ‘(x) = 1 (alasan:
..................................................................................)
f (x) = x – 5 maka f ‘(x) = 1 (alasan:
..................................................................................)
Secara umum dari f (x)= x + k maka f ‘(x) = 1 (alasan:
............................................................)
Jadi, untuk fungsi turunannya f ‘x) = 1 maka fungsi asalnya adalah f (x) = x +k (k
bilangan konstan sembarang). Hal tersebut menunjukkan bahwa dari satu fungsi turunan
atau derivatif akan diperoleh banyak sekali fungsi asalnya atau anti derivatifnya.
Keadaan tersebut menunjukkan bahwa bentuk 1) yaitu ∫ 𝑓 ′(𝑥)𝑑𝑥 mempunyai banyak
jawab, oleh karena itu bentuk ∫ 𝑓 ′(𝑥)𝑑𝑥 dinamakan integral tak tentu.
C. Kegiatan 3:
Rumus-rumus dasar anti derivatif (integral tak tentu)
1. Berdasarkan rumus-rumus fungsi turunan dan invernya (mencari anti turunan/anti
derivatif/mengintegralkan), perhatikan kasus-kasus berikut dengan seksama dan
tuliskan rumus yang digunakan untuk pernyataan/kalimat di bawah ini.
a) y = x , maka y’ = 1 .
Inversnya y’ = 1 maka y = ∫ 1 𝑑𝑥 = x + k (rumus yang digunakan:
.............................................................................................................................................
......)
b) y = x2 , maka y’ = 2 x
Inversnya y’ = 2x , maka y = ∫ 2𝑥 𝑑𝑥 = 2
1+1 x 1+1 + k =
2
2 x2 + k = x2 +k (rumus yang
digunakan:
..................................................................................................................................)
d) Dari Contoh a) dan Contoh b) kemudian diperumum untuk xn
y = xn , maka y’ = n xn-1
Inversnya y’ = n xn-1, maka y = ∫(n xn−1) 𝑑𝑥 =𝑛
𝑛−1+1 𝑥𝑛−1+1 + 𝑘 = xn +k
Jadi secara umum ∫ xn 𝑑𝑥 = 1
𝑛+1 𝑥𝑛+1 + k (asalkan n -1. Mengapa? Tulis
alasannya............................................................................................................................
.....)
53
Berdasarkan proses pada Kegiatan 2, lengkapi rumus integral tak tentu berikut pada
kolom kanan:
Fungsi Turunan Fungsi anti turunan (anti derivatif, integral tak
tentu)
y ‘ = f ‘(x)
..............................(umum) 3. y = ∫ 𝑓 ′(𝑥). 𝑑𝑥 = f (x) + k
y’ = c ...............................(c
konstan) 4. y = ∫ 𝑐 𝑑𝑥 = cx + k
y ‘= x 3. ∫ 𝑥 𝑑𝑥 =.................................................
y ‘ = kx 4. ∫ 𝑘𝑥 𝑑𝑥 = ..............................................
y ‘ = x n 5. y = ∫( 𝐱𝐧) 𝑑𝑥 = (
1)
𝑛+1 x(n+ 1) +
k (n -1)
y ‘ = f ‘(x) + g ‘(x) 6.y = ∫(𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)) dx
= ∫ 𝑓 ′(𝑥) 𝑑𝑥 +∫ 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 + k
y’ = f ‘(x) – g ‘(x) 7. ...................................................................
y ‘ = k.f ‘(x) 8. y = ∫ 𝑘 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 = k ∫ 𝑓 ′(𝑥)𝑑𝑥
y ‘ = sin x 9. y = ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = ........................................ y ‘ = cos x 10. y = ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = ......................................
5. Contoh soal latihan menentukan integral tak tentu.
Diskusikan dalam kelompok kerja masing-masing, kemudian tentukan integral tak tentu
berikut dan sertakan rumus yang digunakan. Rundingkan wakil dari kelompok yang
akan menyajikan hasil kerja kelompok di depan kelas.
𝑎) ∫(5 𝑥3- 2 𝑥2+ 7 x + 1) dx =
b) Selesaikan ∫ sin 2𝑥 𝑑𝑥
Jawab:
∫ sin 2𝑥 𝑑𝑥 = cos 2x + k ......... (alasan: menggunakan rumus dasar no 9 pada Kegiatan
2.)
Benarkah jawab di atas? Mengapa?
Jawab di atas tidak benar karena soal di atas tidak memenuhi rumus dasar, yaitu
variabel (2x) dalam fungsi integran-nya (sin 2x) tidak sesuai dengan perubahan
variabelnya (dx).
Dalam kasus seperti ini harus dilakukan pemisalan variabel baru, agar diperoleh bentuk
rumus dasar dalam variabel baru.
Misalkan u = 2x, jadi du = 2 dx atau dx = 1
2 du
Jadi ∫ sin 2𝑥 𝑑𝑥 = ∫ sin𝑢 .1
2 du =
1
2 ∫ sin 𝑢 𝑑𝑢 = -
1
2cos 𝑢 +k = -
1
2cos 2𝑥 +k
54
e) Coba susun soal latihan integral tak tentu yang baru dalam kelompokmu.
Kemudian selesaikan disertai dengan rumus atau aturan yang digunakan.
Jawab:
f) Dari contoh-contoh pada Kegiatan1, Kegiatan 2, dan Kegiatan 3 dapat
disimpulkan bahwa mencari turunan sembarang fungsi pada umumnya dapat
diselesaikan dengan relatif lebih mudah. Sebaliknya mencari anti derivatif
atau menyelesaikan integral tak tentu sembarang fungsi khususnya yang tidak
memenuhi rumus dasar tidak mudah bahkan kadang-kadang tidak dapat
diselesaikan secara manual.
D. Kegiatan 4:
1. Contoh soal penerapan anti derivatif.
a) Diketahui fungsi derivatif adalah f ‘(x) = 3x2 -2x +1. Fungsi f melalui titik
(2,5).
Tentukan fungsi f yaitu anti turunan (anti derivatif, integral) fungsi f ‘(x) di
atas dan tuliskan rumus yang digunakan.
Jawab:
Lengkapi uraian berikut.
Diketahui f ‘ (x) = 3x2 -2x +1. Maka anti derivatif f atau integral tak tentu
∫ 𝑓 ′(𝑥). 𝑑𝑥 adalah
f (x) = ∫( 3x2 − 2x + 1) 𝑑𝑥
(alasan:..................................................................................)
= 3
3 x3 -
2
3 x2 + x + k
(alasan:..................................................................................)
= x3 - 2
3 x2 + x + k (alasan
................................................................................ .
............................................................................................)
f melalui titik (2,5), jadi (2,5) memenuhi persamaan fungsi f (alasan
..................................
............................................................................................)
f(2) = 5 = 23 - 2
3 22 + 2 + k (alasan
................................................................................)
5 = 8 - 8
3 + 2 + k
Jadi k = 8
3 - 5 = -
7
3
(alasan.................................................................................)
Jadi persamaan fungsi f adalah y = f(x) = x3 - 2
3 x2 + x -
7
3
55
2. Coba susun soal latihan penerapan anti derivatif yang baru, kemudian selesaikan
disertai dengan rumus atau aturan yang digunakan.
Jawab:
E. Kegiatan 5:
Memeriksa kebenaran langkah-langkah penyelesaian integral tak tentu disertai alasan.
Diskusikan dalam kelompok kerjamu dan rundingkan wakil dari kelompok untuk tampil
mewakili kelompok ke depan kelas.
1. Perhatikan langkah-langkah penyelesaian soal berikut. Periksa kebenaran tiap
langkahnya. Bila terdapat langkah yang salah, tuliskan pada langkah mana
kesalahan tersebut dan tuliskan yang langkah yang seharusnya disertai alasan.
∫ 4(3x + 2)3 dx = 4∫(3x + 2)3 dx .......... ................1).(rumus ∫ kf(x)dx = k∫ f(x)dx
)
= 4. 1
3+1 (3x + 2)3 +1 + k ....................2).(rumus ∫ 𝑥𝑛 dx =
1
𝑛+1 xn+ 1 + k)
= 4
4 (3x + 2)4 + k ........................3).(penyederhanaan)
= (3x + 2)4 + k ....................................4) (penyederhanaan)
Jawab:
Kesalahan terjadi pada langkah ke-2).
Seharusnya ada pemisalan variabel baru, misal u = (3x + 2), jadi du = 3 dx atau dx = 1
3
du
Jadi ∫ 4(3x + 2)3 dx = 4∫(3x + 2)3 dx
= 4 ∫ 𝑢3 (1
3 du) (alasan ...................................................................)
= 4. 1
3 ∫ 𝑢3du (alasan ..................................................................)
= 4
3 .
1
4 u4 + k (alasan ..................................................................)
= 1
3 (3x + 2)4 + k (alasan ..................................................................)
2. Periksalah kebenaran pernyataan di bawah ini, dan sertakan alasannya atau rumus
yang digunakan.
a) Jika f(x) = 3 g(x) maka ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 3 ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
b) Jika f(x) = (g(x))3 maka 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = (∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 )3
c) Jika f(x) = g(x) . h(x) maka ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 . ∫ ℎ(𝑥)𝑑𝑥
Jawab:
3. Susun beberapa soal latihan sendiri tentang mencari anti derivatif atau
menyelesaikan integral tak tentu dan kemudian selesaikan.
Jawab:
56
F. Kegiatan 6:
Merangkum dan mengidentifikasi hal-hal penting dan kesulitan yang dialami
siswa
Diskusikan dengan teman dalam kelompokmu kemudian rangkumlah hal-hal penting
dalam tiap kegiatan dan tuliskan kesulitan yang dialami dalam melaksanakan kegiatan-
kegiatan di atas.
Jawab:
Langkah-langkah Pembelajaran
Pertemuan 2:
No Kegiatan Pendahuluan (sekitar 10 Menit)
1. a. Siswa dan guru mengawali belajar dengan membaca doa bersama;
b. Siswa belajar secara berkelompok (4- 5 orang) mengingat kembali
rumus-rumus dasar dan penerapan integral tak tentu (anti derivatif);
c. Melalui pertanyaan, siswa dibiasakan menyertakan rumus atau konsep
yang digunakan pada tiap langkah pengerjaan tugasnya.
Kegiatan Inti (sekitar 70 Menit)
2. A. Tahap Orientasi:
Dalam rangka membangun rasa percaya diri, tidak cemas, dan bertanggung
jawab atas kegiatan yang dilakukannya, dan menunjukkan kerjasama dan dapat
menghargai pendapat temannya dalam kelompok kerjanya masing-masing:
a.1. Siswa mengamati situasi kontekstual yang tersaji dalam LKS mengenalkan
konsep integral tertentu melalui masalah luas daerah yang dibatasi sumbu
X, kurva f(x), x = a dan x = b, dan melengkapi dengan alasan yang
mendasari pengerjaan yang bersangkutan;
a.2. Siswa menelaah kaitan antara integral tak tentu dan integral tertentu dan
memberi penjelasan yang relevan .
B. Tahap Pengungkapan Ide:
Untuk membina agar siswa berani mengungkapkan pendapatnya dan
mendorong agar mereka berprestasi, dalam kelompok kerja masing-masing:
Siswa mengidentifikasi rumus –rumus dasar integral tertentu dan
menuliskannya dalam tabel yang tersedia. Kemudian siswa berlatih
menerapkan rumus dasar integral tertentu disertai dengan menuliskan rumus
yang digunakan.
57
C. Tahap Tantangan dan Restrukturisasi,
Untuk menyadarkan atas kelebihan dan kekurangan diri, dalam kelompok kerja
masing-masing:
c.1. Siswa menyelesaikan soal penalaran proporsional tentang integral tertentu;
memeriksa kebenaran pernyataan, proses solusi atau langkah-langkah
penyelesaian masalah, dan solusi berkenaan dengan integral tertentu,
disertai dengan rumus yang digunakan pada tiap langkah pengerjaan;
c.2. Siswa mengidentifikasi data relevan dan tidak relevan suatu masalah
integral tertentu, dan mempertimbangkan berbagai kemungkinan proses
penyelesaian suatu masalah dan menarik kesimpulan yang berkenaan
dengan integral tertentu dan penerapannya dan menuliskan rumus yang
mendasari pengerjaan yang bersangkutan.
d.Penyerapan, dan Melihat Kembali
Untuk membina rasa memiliki konsep diri dalam mengambil keputusan, dalam
kelompok kerja masing-masing:
d.1.Melalui pertanyaan/tugas dari guru siswa didorong memeriksa kembali
kebenaran proses yang telah dilakukan pada langkah Tantangan dan
Restrukturisasi dan menyertakan rumus dan atau konsep yang digunakan
pada tiap langkah pengerjaan;
d.2.Siswa berlatih menyusun soal sendiri berkenaan integral tertentu atau memilih
sendiri soal latihan integral tertentu dari sumber lain.
Kegiatan Penutup (sekitar 10 Menit)
3. a. Dalam bimbingan guru, siswa merangkum bahasan tentang integral tertentu dan
penerapannya;
b. Siswa mengidentifikasi kesulitan menyelesaikan masalah integral tertentu dan
penerapannya
c. Siswa menyimak materi yang akan dipelajari pada pertemuan selanjutnya yaitu
tentang penerapan integral tertentu masalah luas daerah antara dua kurva, dan tugas
(PR) berkenaan integral tertentu (kalau ada)
Penilaian dalam ranah kognitif dan afektif
Dilaksanakan melalui observasi terhadap kinerja siswa dan ketika memberi bantuan
kepada mereka yang memerlukan selama proses pembelajaran
Mengetahui
Guru Kelas
_____________
NIP
Peneliti
__________________
NIP
58
CONTOH
LEMBAR KEGIATAN SISWA (LKS)
PERTEMUAN 2
Kelompok: ............................ Tanggal: ............................
1 ..............................
2 ..............................
3 ..............................
4 ..............................
Diskusikan masalah berikut dalam kelompok kerja masing-masing dan selesaikan
bersama-sama.
A. Kegiatan 1:
1 Mengingat kembali rumus-rumus dasar integral tak tentu dan penerapannya.
Tuliskan beberapa rumus dasar integral tak tentu .
Jawab:
1. ∫ k dx =
2 ∫ x dx =
3 ∫ kx dx =
4 ∫ 𝑥𝑛 dx =
5 ∫(f(x) + g(x)) dx =
6 ∫(f(x) − g(x)) dx =
7 ∫ sin𝑥 𝑑𝑥 =
8 ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 =
B. Kegiatan 2
Mengenalkan konsep integral tertentu dan notasinya.
Pelajari uraian di bawah ini dalam kelompok kerja masing-masing. Bila ada yang
kurang dipahami diskusikan dan atau tanyakan kepada guru.
3. Perhatikan gambar dan uraian di bawah ini
Y J I f(x)
F E H
D C
O X
Daerah D dibatasi oleh sumbu X, kurva y = f(x) > 0,
x = a dan x = b. Akan dihitung luas daerah D.
Bagi selang [a,b] dalam n bagian yang sama, masing-
masing berjarak x, sehingga membentuk partisi-partisi.
Gambar pada tiap partisi, segiempat dalam (misal
ABCD dan BGHE) dan segiempat luar (misal ABEF
dan BGIJ).
a x x b
A B G b
59
Jadi Luas ABCD < Luas partisi ABED < Luas ABEF
f(x). x < Luas partisi ABED < f(x+ x) . x
Luas daerah D sama dengan jumlah luas tiap partisi. Misalkan n maka x 0.
Jadi Luas daerah D (LD) sama dengan limit jumlah tiap partisi.
LD = l i m ∑ f(xi) x𝑛𝑖=1 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
n
Diketahui bahwa f(x) > 0, dengan demikian tiap f(xi) > 0, sedang x > 0.
Jadi f(xi). x > 0, demikian pula ∑ 𝑓(𝑥𝑖) x𝑛𝑖=1 > 0.
Dengan demikian ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎 > 0
Bentuk ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒃
𝒂 dinamakan integral tertentu f(x) dari x = a sampai dengan x = b;
a dinamakan batas bawah dan b dinamakan batas atas integral tertentu.
Didefinisikan Luas D = ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒃
𝒂 = F(x) ]a
b = F(b) – F(a) dengan F adalah anti
derivatif f.
Pertanyaan:
Bagaimana rumus luas daerah D jika f(x) < 0 dalam selang [a, b]. Beri penjelasan.
Jawab:
C. Kegiatan 3:
Perhatikan beberapa catatan penting berikut.
1. Rumus-rumus dasar anti derivatif dalam perhitungan integral tak tentu berlaku dalam
perhitungan integral tertentu.
2. Rumus-rumus dasar integral tertentu berikut.
a) Penukaran batas integral: ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒃
𝒂= − ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝒂
𝒃
b) Merinci integral tertentu: Jika c (a, b) maka ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒃
𝒂= ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝒄
𝒂+
∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒃
𝒄
c) Karena luas daerah bernilai positif, jadi secara umum rumus luas daerah yang
dibatasi oleh kurva f, sumbu X, x = a dan x = b adalah:
Luas D = ∫ |𝒇(𝒙)|𝒅𝒙𝒃
𝒂
d) Dengan demikian untuk menghitung luas daerah D yang dibatasi oleh kurva f,
sumbu X, x = a dan x = b, harus ditentukan dulu pada selang mana f > 0 dan pada
selang mana f < 0. Untuk itu perlu digambar dulu sketsa kurva f tersebut.
3. Contoh: menentukan luas daerah D yang dibatasi oleh kurva f, sumbu X, x = a dan x
= b
Tentukan luas daerah D yang dibatasi oleh kurva f(x) = x2, sumbu X, x = -2 dan x =
3.
60
Gambar dulu sketsa grafik kurva f(x) = x2 – 2 tersebut, dan jelaskan tiap langkah
penyelesaiannya.
Jawab:
d) Gambar dulu sketsa f(x) = x2 - 2 dalam selang [-2,3]
Y
e) Titik potong f dengan sumbu X, f(x)
memotong sumbu X di titik:
x2 – 2 = 0
(x-2)(x + 2) = 0
yaitu pada x = - 2 dan pada x = 2
Jadi f(x) > 0 pada selang (-2, -2) dan (2, 3) dan
f(x) < 0 pada selang (-2, 2).
f) Jadi luas daerah D yang dibatasi f(x) = x2 – 2, sumbu X, x= -2 dan x = 3
LD = ∫ |3
−2 x2 – 2| dx = ∫ (
−2
−2 x2 – 2) dx - ∫ (
2
−2 x2 – 2) dx +∫ (
3
2 x2 – 2) dx
(alasan: .....................................................................................................................)
= ( 1
2 x3- 2)]-2
-2 - ( 1
2 x3- 2)]-2
2 +( 1
2 x3- 2)]2
3
(alasan: .......................................................................................................................)
= ..................................................................................................................................
...................................................................................................................................
(alasan: .......................................................................................................................)
= ..................................................................................................................................
Jadi LD = ........................................... satuan luas
D. Kegiatan 4
1. Kaitan antara integral tertentu dengan masalah luas daerah.
Diskusikan dalam kelompok kerja masing-masing dan pilih wakil kelompok untuk
tampil menjelaskan hasil kerja kelompok di depan kelas.
Selesaikan soal berikut disertai dengan rumus yang digunakan pada tiap langkahnya.
Proses dan hasil perhitungan integral tertentu dan masalah luas daerah.
a) Luas daerah D yang dibatasi oleh f(x) = x3, sumbu X, x = 0 dan x = 3 sama dengan
∫ 𝑥33
0 dx. Benarkah pernyataan tersebut? Jelaskan alasannya, dan selesaikan disertai
dengan rumus yang digunakan.
x -2 -1 0 1 2 3
f(x) 2 -1 -2 -1 2 7
-2 -1 0 1 2 3
61
𝐉𝐚𝐰𝐚𝐛:
b) Luas daerah D yang dibatasi oleh f(x) = sin x, sumbu X, x = 0 dan x = 2 sama
dengan
∫ sin 𝑥) 2
0 dx. Benarkah pernyataan tersebut? Jelaskan alasannya dan selesaikan
disertai dengan rumus yang digunakan.
Jawab:
c) Susun beberapa soal latihan tentang integral tertentu dan luas daerah yang baru.
Kemudian selesaikan disertai dengan rumus yang digunakan pada tiap langkah
pengerjaan.
Jawab:
F. Kegiatan 5
a) Tuliskan hal-hal penting dalam Kegiatan 1, Kegiatan 2, Kegiatan 3, dan Kegiatan 4
Jawab:
b) Tuliskan kesulitan yang dialami dalam menyelesaikan LKS ini.
Jawab:
62
CONTOH
RPP DAN LKS UNTUK PEMBELAJARAN SAINTIFIK
Judul Penelitian:
Meningkatkan Kemampuan Komunikasi, Pemecahan Masalah dan Disposisi
Matematik Siswa SMP melalui Pembelajaran Sainstifik
Indikator variabel dalam judul penelitian di atas.
1. Komunikasi matematik adalah kemampuan yang meliputi:
a) Menyatakan suatu situasi atau masalah sehari-hari ke dalam bentuk model
matematika (gambar, diagram, tabel, dan atau ekspresi aljabar) dan
menyelesaikannya;
b) Menyatakan suatu model matematika (gambar, diagram, tabel, dan atau
ekspresi aljabar) ke dalam bentuk soal ceritera dan menyelesaikannya;
c) Menyusun pertanyaan dari serangkaian informasi yang diberikan dan
menjawabnya;
d) Menjelaskan dan membaca secara bermakna, menyatakan, menginterpretasi,
memahami, dan mengevaluasi suatu idea matematika dan sajian matematika
secara lisan, tulisan, atau secara visual dan mendengarkan, mendiskusikan,
dan menulis tentang matematika.
Catatan:
Seluruh indikator komunikasi matematik di atas merupakan pedoman dalam
mengembangkan kemampuan komunikasi matematik selama pembelajaran, sedangkan
indikator Butir a), Butir b) dan Butir c) merupakan pedoman menyusun butir tes
komunikasi matematik.
Butir soal untuk tes dapat disusun untuk masing-masing indikator a), b), dan c).
2. Pemecahan masalah matematik adalah kemampuan yang meliputi:
a) Mengidentifikasi unsur yang diketahui, ditanyakan, dan memeriksa kecukupan
unsur;
b) Menyusun model matematika masalah dan merancang strategi penyelesaian;
c) Melaksanakan strategi (menyelesaikan) model mateamatika masalah yang
bersangkutan;
d) Memeriksa kebenaran solusi.
Catatan: dalam tiap soal pemecahan masalah keempat indikator harus termuat.
Indikator Disposisi Matematik
a) Rasa percaya diri
b) Bersifat fleksibel mencari beragam strategi memecahkan masalah;
c) Bersifat tekun, menunjukkan minat dan rasa ingin tahu;
d) Cenderung memonitor, dan berpikir metakognitif;
e) Menerapkan matematika dalam bidang studi lain dan masalah sehari-hari;
f) Menunjukkan apresiasi peran matematika.
.
Langkah-langkah pendekatan Saintifik
a) Mengamati;
b) Mengumpulkan informasi;
c) Mengasosiasikan;
d) mengkomunikasikan
63
CONTOH
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)
DALAM PEMBELAJARAN SAINTIFIK
Satuan Pendidikan : SMP
Mata Pelajaran : Matematika
Pokok Bahasan : Lingkaran
Sub-pokok Bahasan : Unsur-unsur lingkaran; hubungan sudut pusat dan sudut
keliling, nilai (baca phi), rumus keliling dan luas lingkaran, dan menyelesaikan masalah berkenaan lingkaran.
Alokasi Waktu : 2x 2 x 45 menit (2 pertemuan)
A. Standar Kompetensi
1. Memahami pengertian lingkaran dan unsur-unsurnya, hubungan sudut pusat dan
sudut keliling, nilai (baca phi), rumus keliling dan luas lingkaran;
2. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan lingkaran, dan unsur-unsurnya.
B. Tujuan Pembelajaran dan Indikator keberhasilan
Pertemuan 1 dan Pertemuan 2
Ranah Kognitif
a) Memahami dan menerapkan konsep lingkaran dan unsur-unsurnya, hubungan sudut
pusat dan sudut keliling; keliling dan luas lingkaran;
b) Menyatakan suatu situasi ke dalam model matematika dan menyelesaikannya
berkenaan dengan lingkaran dan unsur-unsurnya;
c) Menyatakan suatu model matematik ke dalam bentuk soal ceritera dan menyelesai-
kannya berkenaan dengan lingkaran dan unsur-unsurnya;
d) Menyusun pertanyaan dari serangkaian informasi berkenaan dengan lingkaran dan
unsur-unsurnya dan menjawabnya;
e) Menyelesaikan masalah: mengidentifikasi data diketahui, ditanyakan, dan memeriksa
kecukupan data berkenaan lingkaran dan unsur-unsurnya
Ranah Afektif (Disposisi Matematik)
a) Rasa percaya diri,
b) Bersifat fleksibel mencari beragam strategi memecahkan masalah;
c) Bersifat tekun, menunjukkan minat dan rasa ingin tahu;
d) Cenderung memonitor, dan berpikir metakognitif;
e) Menerapkan matematika dalam bidang studi lain dan masalah sehari-hari;
f) Menunjukkan apresiasi peran matematika.
.
C. Pendekatan Pembelajaran:
Pendekatan Saintifik dengan langkah-langkah: mengamati, menanya, mengumpulkan
informasi, mengasosiasikan, mengkomunikasikan.
D. Materi Ajar: Lingkaran dan unsur-unsurnya
E. Sumber belajar : Lembar Kerja Siswa (LKS), Buku Paket Matematika Erlangga
untuk
kelas VIII, Buku Paket Matematika Kementerian
Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia 2016 kelas VIII
64
Langkah-langkah Pembelajaran
.
Pertemuan 1:
No Kegiatan Pendahuluan/Apersepsi (sekitar 10 Menit)
1. a. Siswa dan guru mengawali belajar dengan membaca doa bersama
b. Siswa belajar secara berkelompok (4- 5 orang) mengingat kembali bangun
datar (segitiga, segiempat, luas dan kelilingnya)
c. Melalui pertanyaan, siswa dibiasakan menyertakan rumus atau konsep yang
digunakan pada tiap langkah pengerjaan tugasnya.
Kegiatan Inti (sekitar 70 Menit)
2. A. Tahap Mengamati:
Dalam rangka membina rasa percaya diri, tekun, menunjukkan minat dan rasa
ingin tahu, dalam kelompok kerjanya masing-masing:
a.1. Siswa mengamati situasi kontekstual gambar jam besar sseperti tersaji
dalam LKS mengenai lingkaran dan unsur-unsurnya;
a.2. Siswa mengamati dan menelaah kaitan antara unsur-unsur lingkaran, nama
dan notasinya.
B. Tahap Menanyakan:
Untuk mengembangkan kebiasaan memonitor, dan berpikir metakognitif,
dalam kelompok kerja masing-masing:
b.1. Melalui pertanyaan yang diajukan dalam LKS, siswa mengidentifikasi
sifat-sifat unsur lingkaran dan menyelesaikan masalah sederhana
berkenaan unsur-unsur lingkaran disertai alasan tiap langkah pengerjaan;
b.2. Melalui pengamatan pada Tahap b.1 dan beberapa contoh, siswa
menyusun model matematika (gambar, diagram, ekspresi aljabar) suatu
situasi berkenaan unsur-unsur lingkaran dan menyelesaikannya ;
b.3. Siswa menyusun pertanyaan berkenaan unsur-unsur lingkaran dan
menjawabnya;
C. Tahap Mengumpulkan informasi dan mengasosiasikan:
Untuk membina sifat fleksibel/terbuka dalam mencari beragam strategi
memecahkan masalah, dalam kelompok kerja masing-masing:
c.1. Siswa mengumpulkan informasi mengenai data yang diketahui, yang
ditanyakan, dan memeriksa kecukupan unsur; Kemudian dari data yang
terkumpul siswa dengan cara beragam menyusun model matematika
masalah dan menyelesaikan, memeriksa kebenaran solusi) berkenaan
dengan unsur-unsur lingkaran;
c.2. Berdasarkan data dalam bentuk model matematika (gambar, diagram,
ekspresi aljabar) siswa mengasosiasikan dan menyatakannya ke dalam
bentuk ceritera dan menyelesaikannya.
65
D. Tahap Mengkomunikasikan:
Untuk menumbuhkan rasa percaya diri, menunjukkan apresiasi peran matematika,
dan menerapkan matematika dalam beragam konteks, dalam kelompok kerja
masing-masing:
d.1. Siswa mengkomunikasikan hasil pengujian kebenaran proses yang telah dilakukan
pada langkah-langkah kegiatan sebelumnya dan mengidentifikasi rumus dan atau
konsep yang terlibat pada tiap langkah pengerjaan;
d.2. Kelompok belajar siswa mendiskusikan satu perwakilan siswa untuk
menyampaikan hasil kerja kelompok di depan kelas, sementara teman lainnya
menelaah dan memberikan komentar/pendapat mereka.
d.3.Siswa menyusun/memilih soal latihan sendiri berkenaan lingkaran dan unsur-
unsurnya dari sumber lain.
Kegiatan Penutup (10 Menit)
3. a. Dalam bimbingan guru, siswa merangkum bahasan dan hal-hal penting tentang
lingkaran dan unsur-unsurnya;
b. Siswa mengidentifikasi kesulitan yang dialami dalam menyelesaikan masalah
lingkaran dan unsur-unsurnya;
c. Siswa menyimak materi yang akan dipelajari pada pertemuan selanjutnya yaitu
tentang luas dan keliling lingkaran dan bagian-bagiannya serta penerapannya dan
atau tugas (PR) berkenaan lingkaran dan unsur-unsurnya.
Penilaian dalam ranah kognitif dan afektif
Dilaksanakan melalui observasi terhadap kinerja siswa dan ketika memberi bantuan
kepada mereka yang memerlukan selama proses pembelajaran
Mengetahui
Guru Kelas
__________________
NIP
Peneliti
____________________
NIP
66
CONTOH
LEMBAR KEGIATAN SISWA (LKS)
PERTEMUAN 1
Kelompok: ............................ Tanggal: ............................
1 ...................................
2 ..................................
3 ..................................
4 ..................................
Diskusikan masalah berikut dalam kelompok kerja masing-masing dan selesaikan
bersama-sama.
A. Kegiatan 1:
a. Mengingat kembali gambar dan sifat-sifat beragam segitiga dan segiempat
(segitiga sembarang, segitiga sama-kaki, segitiga sama-sisi, segitga lancip, segtiga
tumpul, persegi, persegi panjang, jajaran genjang, layang-layang, trapesium)
b. Gambar beberapa jenis segitiga dan segiempat dan tuliskan sifat-sifat khususnya.
Jawab:
c. Berdasarkan sifat-sifat khusus segitiga dan segiempat pada butir a, carilah
panjang/besar unsur-unsurnya, luas dan keliling segitiga dan segiempat serta
bagian-bagiannya.
Jawab:
B. Kegiatan 2
Mengenal dan memahami pengertian serta notasi lingkaran dan unsur-unsurnya
melalui situasi/masalah kontekstual
a. Perhatikan gambar sebuah jam besar di
sebelah kiri. Pada gambar jam tersebut jarak
tiap titik pada keliling lingkaran terhadap satu
titik tertentu adalah sama yaitu R. Jadi
lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik
yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu.
Titik tersebut dinamakan titik pusat lingkaran
dan jarak yang sama tersebut dinamakan jari-
jari. Lingkaran tersebut diberi simbol
(O,R) (baca lingkaran dengan pusat titik O
dan berjari-jari R)
b. Titik A, titik B, dan titik C berada pada
keliling lingkaran pada angka 8, angka 4, dan
angka 11, membentuk segitiga ABC.
Gambar 1: Lingkaran (O, R) dan unsur-unsurnya
12
E
F
6
R
R
3
11
O
A B
C
4
2
8
D
9
67
c. Garis OA dinamakan jari-jari lingkaran dan panjangnya R. Perpanjangan garis OA
memotong lingkaran di D, dan garis AD dinamakan diameter dan panjangnya
2R;
d. Garis lurus AB, garis lurus BC, dan garis lurus CA masing-masing dinamakan tali
busur AB, BC, dan CA lingkaran. Garis lengkung yang melalui titik A, E, dan B
pada lingkaran dinamakan busur kecil lingkaran AEB, dan dinotasikan dengan
simbol AEB;
e. Daerah yang dibatasi tali busur AB dan AEB dinamakan tembereng AEB;
f. Daerah yang dibatasi dua jari-jari OA dan OB dan AEB, dinamakan juring OAEB;
g. Garis OE AB dan memotong AB di titik F. Garis OF dinamakan apotema;
h. Berdasarkan uraian pada butir-butir di atas, gambarkan dan tulis jari-jari,
diameter, tali busur, temberang, juring, dan apotema lingkaran yang lainnya.
Jawab:
C. Kegiatan 3:
Jenis sudut- sudut dalam lingkaran.
.
b) Besar sudut pusat satu lingkaran penuh adalah 360o. Pada keliling lingkaran
angka-angka 1, 2. 3, .... 12, membagi keliling lingkaran sama panjang. Jadi tiap
sudut pusat lingkaran antara dua jari-jari pada angka jam yang berurutan
membentuk sudut pusat yang sama besar yaitu 1
12 x 360o = 30o (karena:
.............................................................)
Jadi besar AOE = 2 x 30o = 60o (karena: ...............................................................)
E
F
6
R
R
3
11
O
A B
C
4
2
8
D
9
Amati gambar jam besar di sebelah kiri. a) Sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari, misal-
nya AOE dinamakan sudut pusat
lingkaran;
Gambar dan tuliskan sudut pusat lingkaran
lainnya;
Jawab:
Gambar 2: Lingkaran (O, R) dan
unsur-unsurnya
68
Gambar sudut pusat lain dan tentukan besar sudutnya.
Jawab:
c ) Sudut keliling lingkaran
Sudut yang dibentuk oleh dua buah tali busur yang berpotongan, misalnya ACB dinamakan sudut keliling lingkaran;
Gambarlah dan tuliskan beberapa sudut keliling lainnya:
Jawab:
d) Hubungan besar sudut pusat dan sudut keliling lungkaran.
Perhatikan OAB, besar AOB = ......... karena
...........................................................................................................................................
Besar BOD = 1800 - AOB = .............(karena ...........................................................
.............................................................................................................................................
AOB adalah samakaki karena
...........................................................................................
Jadi besar OAB = OBA = ............. (karena................................................................................................................................)
Jadi besar BOD = ............. dan besar OAB = ....................................................
Jadi besar sudut pusat BOD = .............. besar sudut keliling OAB = 300
Tariklah kesimpulan tentang hubungan besar sudut pusat dan sudut keliling
lingkaran.
Jawab:
e) Tunjukkan beberapa contoh lain yang menyatakan hubungan besar sudut pusat dan
besar sudut keliling lingkaran yang menghadapi busur lingkaran yang sama disertai
dengan penjelasan.
Jawab:
D. Kegiatan 4
Diskusikan uraian di bawah ini dan selesaikan dalam kelompok kerja masing-masing.
Rundingkan wakil kelompk yang akan menyajikan hasil kerja kelompok di depan kelas.
69
1. Gambarlah lingkaran (O, 5 cm). Kemudian tentukan titik-titik pada keliling
lingkaran sehingga membentuk:
a) Segitiga samasisi ABC. Amati gambar dan tulislah bagian mana dari lingkaran
tersebut yang merupakan:
a.1. Sudut pusat dan sudut keliling lingkaran, dan tentukan besar sudut masing-masing
disertai dengan penjelasan.
Jawab:
a.2. Tembereng lingkaran, juring lingkaran, dan apotema.
Jawab:
b) Trapesium sama kaki ABCD. Amati gambar dan tulislah bagian mana dari
lingkaran tersebut yang merupakan:
b.1 Sudut pusat dan sudut keliling lingkaran, dan tentukan besar sudut masing-masing
disertai dengan penjelasan.
Jawab:
b.2. Tembereng lingkaran, juring lingkaran, dan apotema.
Jawab:
2. Diberikan satu lingkaran (O, 6cm). Manakah di antara bangun datar sisi empat:
persegi, persegipanajang, trapesium sama kaki, jajaran genjang, belah ketupat, dan
layang-layang yang dapat dilukis sehingga titik-titik sudutnya pada keliling
lingkaran. Jelaskan atau sertakan alasan.
Jawab:
3. a. Sekarang diketahui sembarang segitiga ABC. Dapatkah dibuat lingkaran yang
melalui
titik-titik sudutnya? Coba gambar dan jelaskan cara menggambarnya.
Jawab:
70
b. Contoh lain, diberikan sembarang persegipanjang ABCD dan layang-layang PGRS.
Dapatkah dibuat lingkaran yang melalui titik-titik sudut kedua segiempat tersebut?
Tuliskan unsur utama yang harus dicari bila ingin menggambar sebuah lingkaran
yang mengelilingi suatu bangun datar sisi-3 atau sisi-4, disertai alasan atau
penjelasan.
Jawab:
71
CONTOH
RPP DAN LKS UNTUK PEMBELAJARAN GENERATIF
“Meningkatkan Kemampuan Penalaran dan Berpikir Kritis, Serta Disposisi
Matematik Siswa SMA Melalui Pembelajaran Generatif ”
Indikator variabel dalam judul penelitian di atas.
Indikator Penalaran Matematik:
a) Melaksanakan analogi dan generalisasi berkenaan dengan integral tak tentu, dan
integral tertentu,
b) Melaksanakan perhitungan dengan aturan tertentu tentang integral tak tentu, dan
integral tertentu,
c) Melaksanakan penalaran proporsional, kombinatorik, dan probabilistik tentang
integral tak tentu, dan integral tertentu,
d) Melakukan pembuktian berkenaan dengan integral tak tentu dan integral tertentu,
Indikator berpikir kritis matematik:
a) Memeriksa kebenaran pernyataan, proses solusi atau langkah-langkah
penyelesaian masalah, dan solusi berkenaan dengan integral tak tentu dan integral
tertentu,
b) Mengidentifikasi data relevan dan tidak relevan suatu masalah integral tak tentu
dan integral tertentu,
c) Mempertimbangkan berbagai kemungkinan proses penyelesaian suatu masalah dan
menarik kesimpulan yang berkenaan dengan integral tak tentu dan integral tertentu,
Indikator Percaya Diri
a) Percaya pada kemampuan sendiri, tidak cemas, merasa bebas, dan bertanggung
jawab atas perbuatannya;
b) Bertindak mandiri dalam mengambil keputusan;
c) Memiliki konsep diri yang positif, hangat dan sopan, dapat menerima dan
menghargai orang lain;
d) Berani mengungkapkan pendapat dan memiliki dorongan untuk berprestasi;
e) Mengenal kelebihan dan kekurangan diri sendiri
Langkah-langkah pendekatan Generatif:
a) Orientasi,
b) Pengungkapan ide,
c) Tantangan dan restrukturisasi,
d) Penyerapan, dan melihat kembali
72
CONTOH
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)
PERTEMUAN KE 1
Satuan Pendidikan : SMA
Mata Pelajaran : Matematika
Pokok Bahasan : Integral
Sub-pokok Bahasan : Integral tak tentu dan integral tertentu
AlokasiWaktu : 2x 2 x 45 menit (2 pertemuan)
A. Standar Kompetensi
1. Memahami integral tak tentu dan integral tak tentu
2. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan integral tak tentu dan integral tak
tentu
B. Tujuan Pembelajaran dan Indikator keberhasilan
Pertemuan 1 dan Pertemuan 2
Ranah Kognitif
a) Memahami dan menerapkan konsep integral tak tentu dan integral tak tentu;
b) Melaksanakan analogi dan generalisasi berkenaan dengan integral tak tentu dan
integral tertentu,
c) Melaksanakan perhitungan dengan aturan tertentu tentang integral tak tentu dan
integral tertentu,
d) Melaksanakan penalaran proporsional, tentang integral tak tentu dan integral
tertentu,
e) Memeriksa kebenaran pernyataan, proses solusi atau langkah-langkah
penyelesaian masalah, dan solusi berkenaan dengan integral tak tentu dan integral
tertentu,
f) Mengidentifikasi data relevan dan tidak relevan suatu masalah integral tak tentu
dan integral tertentu,
g) Mempertimbangkan berbagai kemungkinan proses penyelesaian suatu masalah
dan menarik kesimpulan yang berkenaan dengan integral tak tentu dan integral
tertentu,
Ranah Afektif
a) Percaya pada kemampuan sendiri, tidak cemas, merasa bebas, dan bertanggung
jawab atas kegiatan yang dilakukannya;
b) Bertindak mandiri dalam mengambil keputusan;
c) Memiliki konsep diri yang positif, hangat dan sopan, dapat menerima dan
menghargai orang lain;
d) Berani mengungkapkan pendapat dan memiliki dorongan untuk berprestasi;
e) Mengenal kelebihan dan kekurangan diri sendiri.
C. Pendekatan Pembelajaran: Pendekatan Generatif dengan langkah-langkah:
orientasi, pengungkapan ide, tantangan dan restrukturisasi, penyerapan, dan melihat
kembali
73
D. Materi Ajar: Integral tak tentu dan integral tertentu
E. Sumber belajar : Lembar Kerja Siswa (LKS), Buku Paket Matematika
Erlangga untuk
kelas X semester 2, Buku Paket Matematika Kementerian
Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia 2016 kelas X.
Langkah-langkah Pembelajaran
Pertemuan 1:
No Kegiatan Pendahuluan (sekitar 10 Menit)
1. a. Siswa dan guru mengawali belajar dengan membaca doa bersama;
b. Siswa belajar secara berkelompok (4- 5 orang) mengingat kembali turunan
fungsi, rumus-rumusnya, arti geometri turunan fungsi, dan penerapan rumus
turunan fungsi;
c. Melalui pertanyaan, siswa dibiasakan menyertakan rumus atau konsep yang
digunakan pada tiap langkah pengerjaan tugasnya.
Kegiatan Inti (sekitar 70 Menit)
2. a. Tahap Orientasi:
Dalam rangka membangun rasa percaya diri, tidak cemas, dan bertanggung jawab
atas kegiatan yang dilakukannya, dan menunjukkan kerjasama dan dapat
menghargai pendapat temannya dalam kelompok kerjanya masing-masing:
a.1. Siswa berdiskusi dan mengamati situasi kontekstual yang tersaji dalam LKS
mengenai rumus-rumus turunan fungsi dan invers dari proses tersebut dan
memberikan alasan yang dikerjakannya.
a.2. Siswa menelaah kaitan antara turunan fungsi dan invers proses mencari
turunan fungsi (mengenalkan istilah dan notasi anti derivatif atau integral tak
tentu, ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥) )
b.Tahap Pengungkapan Ide:
Untuk membina agar siswa berani mengungkapkan pendapatnya dan mendorong
agar mereka berprestasi, dalam kelompok kerja masing-masing:
b.1.Siswa mengidentifikasi rumus mencari turunan dan inversnya dan
menyelesaikan soal berkenaan integral tak tentu atau menentukan anti
derivatif (mencari persamaan fungsi bila diketahui persamaan garis
singgungnya) disertai alasan tiap langkah pengerjaan.
b.2.Melalui pengamatan pada tahap b.1 dan beberapa contoh siswa memahami
bahwa mencari turunan fungsi umumnya mudah diselesaikan. Namun tidak
sembarang fungsi dapat dicari anti derivatifnya (menyelesaikan integral tak
tentu)
c.Tahap Tantangan dan Restrukturisasi:
Untuk menyadarkan atas kelebihan dan kekurangan diri, dalam kelompok kerja
masing-masing:
c.1. Siswa didorong menyelesaikan soal penalaran proporsional tentang integral
tak tentu, memeriksa kebenaran pernyataan, proses solusi atau langkah-
langkah penyelesaian masalah, dan solusi berkenaan dengan integral tak
tentu, mengidentifikasi data relevan dan tidak relevan suatu masalah integral
tak tentu disertai alasan yang mendasarinya;
74
c.2. Siswa didorong mempertimbangkan berbagai kemungkinan proses
penyelesaian suatu masalah dan menarik kesimpulan yang berkenaan
dengan integral tak tentu dan penerapannya.
d. Penyerapan, dan Melihat Kembali
Untuk membina rasa memiliki konsep diri dalam mengambil keputusan, dalam
kelompok kerja masing-masing:
d.1.Melalui pertanyaan/tugas dari guru siswa didorong memeriksa kembali
kebenaran proses yang telah dilakukan pada langkah Tantangan dan
Restrukturisasi dan menyertakan rumus dan atau konsep yang digunakan
pada tiap langkah pengerjaan;
d.2. Siswa berlatih menyusun soal sendiri berkenaan integral tak tentu dan atau
memilih sendiri soal latihan integral tak tentu dari sumber lain
Kegiatan Penutup (sekitar 10 Menit)
3. a. Dalam bimbingan guru, siswa merangkum bahasan tentang integral tak tentu
dan penerapannya;
b. Siswa mengidentifikasi kesulitan menyelesaikan masalah integral tak tentu
dan penerapannya;
c. Siswa menyimak materi yang akan dipelajari pada pertemuan selanjutnya
yaitu integral tertentu dan penerapannya atau PR berkenaan integral tak tentu
Penilaian ranah kognitif dan afektif:
Dilaksanakan melalui observasi terhadap kinerja siswa dan ketika memberi bantuan
kepada mereka yang memerlukan selama proses pembelajaran.
Mengetahui
Guru Kelas
__________________
NIP
Peneliti
__________________
NIP
75
CONTOH
LEMBAR KEGIATAN SISWA (LKS)
Pertemuan 1
Kelompok: ............................ Tanggal: ............................
6. ..............................
7. ..............................
8. ..............................
9. ..............................
Diskusikan masalah berikut dalam kelompok kerja masing-masing dan selesaikan
bersama-sama.
A. Kegiatan 1:
Mengingat kembali rumus fungsi turuan beragam fungsi.
Perhatikan fungsi pada kolom sebelah kiri dan tuliskan fungsi turunannya pada kolom
di sebelah kanan (Tabel 1)
Tabel 1
Fungsi aljabar dan fungsi
trigonometri
Fungsi Turunannya (Notasi dan rumusnya)
y = f(x) .................................
umum) y’ =
𝑑𝑦
𝑑𝑥 = f’(x)
y = k ..............................(k
konstan)
....................................................................
y = x ....................................................................
y = kx ....................................................................
y = x n ....................................................................
y = f(x) + g(x) ....................................................................
y = f(x) - g(x) ....................................................................
y = f(x) . g(x) ....................................................................
y = f(x) /g(x) ....................................................................
y = sin x ....................................................................
y = cos x ....................................................................
y = f (g(x)) (fungsi majemuk) ....................................................................
2. Berdasarkan rumus/aturan pada Tabel 1, carilah turunan fungsi berikut dan tuliskan
aturan yang digunakan:
a) y = 5 x3 – 7 x2 + 2 x + 4
Jawab:
b) y = (3x2 – 7x +1) (2x – 3)
Jawab:
76
c) y = (𝑥3−2 𝑥+1)
(2 𝑥+7)
Jawab:
d) y = sin (3x2 – 2x +7)
Jawab:
e) y = cos (2x3– 3x2 +7x -1)
Jawab:
f) Apa arti geometri turunan pertama suatu fungsi? Berdasarkan arti geometri
tersebut, tentukan dua persamaan garis singgung g dan h terhadap kurva
f(x) = x 2 + 1 dalam selang (-5, 5)
1) g yang sejajar dengan garis y = 2x -3. Ada berapa garis singgung g yang
memenuhi? Adakah data yang tidak relevan? Jelaskan.
2) h yang melalui titik (1,2). Ada berapa garis singgung h yang memenuhi?
Adakah data yang tidak relevan? Jelaskan.
Jawab:
B.Kegiatan 2
1. Pengertian integral tak tentu sebagai invers proses mencari fungsi turunan;
Perhatikan lagi Tabel 1
Proses fungsi pada kolom kiri menjadi fungsi pada kolom kanan dinamakan proses
menurunkan fungsi atau mencari derivatif suatu fungsi. Jadi kalau diketahui fungsi pada
kolom kanan, inversnya adalah fungsi pada kolom kiri. Proses tersebut dinamakan anti
turunan atau anti derivatif dan diberi notasi ∫ 𝑓(𝑥)𝑑 𝑥 (baca integral f(x) dx)
77
Perhatikan lebih seksama kasus di bawah ini:
Proses dari f(x) diperoleh f ‘(x), dinamakan proses mencari derivatif suatu fungsi
Sebaliknya proses dari f ‘(x) dan mencari fungsi asalnya yaitu f(x) dinamakan proses
anti derivatif suatu fungsi atau mengintegralkan.
Proses mencari anti derivatif atau mencari fungsi asal dinamakan juga
mengintegralkan di atas diberi notasi 𝑓(𝒙) = ∫ 𝒇′(𝒙). 𝒅𝒙 ........... 1)
Sekarang perhatikan
f (x) = x maka f ‘(x) = 1
f (x) = x + 2 maka f ‘(x) = 1 (alasan: .......................................................................)
f (x) = x – 5 maka f ‘(x) = 1 (alasan: .......................................................................)
Secara umum dari f (x)= x + k maka f ‘(x) = 1 (alasan: .................................................)
Jadi, untuk fungsi turunannya f ‘x) = 1 maka fungsi asalnya adalah f (x) = x +k (k
bilangan konstan sembarang). Hal tersebut menunjukkan bahwa dari satu fungsi turunan
atau derivatif akan diperoleh banyak sekali fungsi asalnya atau anti derivatifnya.
Keadaan tersebut menunjukkan bahwa bentuk 1) yaitu ∫ 𝑓 ′(𝑥)𝑑𝑥 mempunyai banyak
jawab, oleh karena itu bentuk ∫ 𝑓 ′(𝑥)𝑑𝑥 dinamakan integral tak tentu.
C. Kegiatan 3:
Rumus-rumus dasar anti derivatif (integral tak tentu)
1. Berdasarkan rumus-rumus fungsi turunan dan invernya (mencari anti turunan/anti
derivatif/mengintegralkan), perhatikan kasus-kasus berikut dengan seksama dan
tuliskan rumus yang digunakan untuk pernyataan/kalimat di bawah ini.
a) y = x , maka y’ = 1 .
Inversnya y’ = 1 maka y = ∫ 1 𝑑𝑥 = x + k (rumus yang digunakan:
............................................................................................................................................)
b) y = x2 , maka y’ = 2 x
Inversnya y’ = 2x , maka y = ∫ 2𝑥 𝑑𝑥 = 2
1+1 x 1+1 + k =
2
2 x2 + k = x2 +k (rumus yang
digunakan: .........................................................................................................................)
c) Dari Contoh a) dan Contoh b) kemudian diperumum untuk xn
y = xn , maka y’ = n xn-1
Inversnya y’ = n xn-1, maka y = ∫(n xn−1) 𝑑𝑥 =𝑛
𝑛−1+1 𝑥𝑛−1+1 + 𝑘 = xn +k
Jadi secara umum ∫ xn 𝑑𝑥 = 1
𝑛+1 𝑥𝑛+1 + k (asalkan n -1. Mengapa? Tulis
alasannya...........................................................................................................................)
Berdasarkan proses pada Kegiatan 2, lengkapi rumus integral tak tentu berikut pada
kolom kanan:
78
Fungsi Turunan Fungsi anti turunan (anti derivatif, integral tak
tentu)
y ‘ = f ‘(x)
...........................(umum) 5. y = ∫ 𝑓 ′(𝑥). 𝑑𝑥 = f (x) + k
y’ = c ............................(c
konstan) 6. y = ∫ 𝑐 𝑑𝑥 = cx + k
y ‘= x 3. ∫ 𝑥 𝑑𝑥 =.................................................
y ‘ = kx 4. ∫ 𝑘𝑥 𝑑𝑥 = ..............................................
y ‘ = x n 10. y = ∫( 𝐱𝐧) 𝑑𝑥 = (
1)
𝑛+1 x(n+ 1) +
k (n -1)
y ‘ = f ‘(x) + g ‘(x) 6.y = ∫(𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)) dx
= ∫ 𝑓 ′(𝑥) 𝑑𝑥 +∫ 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 + k
y’ = f ‘(x) – g ‘(x) 7. ...................................................................
y ‘ = k.f ‘(x) 8. y = ∫ 𝑘 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 = k ∫ 𝑓 ′(𝑥)𝑑𝑥
y ‘ = sin x 9. y = ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = ........................................ y ‘ = cos x 10. y = ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = ......................................
2. Contoh soal latihan menentukan integral tak tentu.
Diskusikan dalam kelompok kerja masing-masing, kemudian tentukan integral tak tentu
berikut dan sertakan rumus yang digunakan. Rundingkan wakil dari kelompok yang
akan menyajikan hasil kerja kelompok di depan kelas.
𝑎) ∫(5 𝑥3- 2 𝑥2+ 7 x + 1) dx =
b) Selesaikan ∫ sin 2𝑥 𝑑𝑥
Jawab:
∫ sin 2𝑥 𝑑𝑥 = cos 2x + k ......... (alasan: menggunakan rumus dasar no 9 pada Kegiatan
2.)
Benarkah jawab di atas? Mengapa?
Jawab di atas tidak benar karena soal di atas tidak memenuhi rumus dasar, yaitu
variabel (2x) dalam fungsi integran-nya (sin 2x) tidak sesuai dengan perubahan
variabelnya (dx).
Dalam kasus seperti ini harus dilakukan pemisalan variabel baru, agar diperoleh bentuk
rumus dasar dalam variabel baru.
Misalkan u = 2x, jadi du = 2 dx atau dx = 1
2 du
Jadi ∫ sin 2𝑥 𝑑𝑥 = ∫ sin𝑢 .1
2 du =
1
2 ∫ sin 𝑢 𝑑𝑢 = -
1
2cos 𝑢 +k = -
1
2cos 2𝑥 +k
c). Coba susun soal latihan integral tak tentu yang baru dalam kelompokmu. Kemudian
selesaikan disertai dengan rumus atau aturan yang digunakan.
79
Jawab:
d) Dari contoh-contoh pada Kegiatan1, Kegiatan 2, dan Kegiatan 3 dapat disimpulkan
bahwa mencari turunan sembarang fungsi pada umumnya dapat diselesaikan
dengan relatif lebih mudah. Sebaliknya mencari anti derivatif atau menyelesaikan
integral tak tentu sembarang fungsi khususnya yang tidak memenuhi rumus dasar
tidak mudah bahkan kadang-kadang tidak dapat diselesaikan secara manual.
D.. Kegiatan 4:
Contoh soal penerapan anti derivatif.
1. Diketahui fungsi derivatif adalah f ‘(x) = 3x2 -2x +1. Fungsi f melalui titik (2,5).
Tentukan fungsi f yaitu anti turunan (anti derivatif, integral) fungsi f ‘(x) di atas dan
tuliskan rumus yang digunakan.
Jawab:
Lengkapi uraian berikut.
Diketahui f ‘ (x) = 3x2 -2x +1. Maka anti derivatif f atau integral tak tentu
∫ 𝑓 ′(𝑥). 𝑑𝑥 adalah
f (x) = ∫( 3x2 − 2x + 1) 𝑑𝑥 (alasan:.........................................................................)
= 3
3 x3 -
2
3 x2 + x + k (alasan:.........................................................................)
= x3 - 2
3 x2 + x + k (alasan .......................................................................
. ..................................................................................)
f melalui titik (2,5), jadi (2,5) memenuhi persamaan fungsi f (alasan ........................
........................................................................................................................................)
f(2) = 5 = 23 - 2
3 22 + 2 + k (alasan .......................................................................)
5 = 8 - 8
3 + 2 + k
Jadi k = 8
3 - 5 = -
7
3 (alasan..........................................................................)
Jadi persamaan fungsi f adalah y = f(x) = x3 - 2
3 x2 + x -
7
3
2. Coba susun soal latihan penerapan anti derivatif yang baru, kemudian selesaikan
disertai dengan rumus atau aturan yang digunakan.
Jawab:
80
E.Kegiatan 5:
Memeriksa kebenaran langkah-langkah penyelesaian integral tak tentu disertai alasan.
Diskusikan dalam kelompok kerjamu dan rundingkan wakil dari kelompok untuk tampil
mewakili kelompok ke depan kelas.
1. Perhatikan langkah-langkah penyelesaian soal berikut. Periksa kebenaran tiap
langkahnya. Bila terdapat langkah yang salah, tuliskan pada langkah mana kesalahan
tersebut dan tuliskan yang langkah yang seharusnya disertai alasan.
∫ 4(3x + 2)3 dx = 4∫(3x + 2)3 dx ........................1).(rumus ∫ kf(x)dx = k∫ f(x)dx )
= 4. 1
3+1 (3x + 2)3 +1 + k ....................2).(rumus ∫ 𝑥𝑛 dx =
1
𝑛+1 xn+ 1 + k)
= 4
4 (3x + 2)4 + k ........................3).(penyederhanaan)
= (3x + 2)4 + k ....................................4) (penyederhanaan)
Jawab:
Kesalahan terjadi pada langkah ke-2).
Seharusnya ada pemisalan variabel baru, misal u = (3x + 2), jadi du = 3 dx atau
dx = 1
3 du
Jadi ∫ 4(3x + 2)3 dx = 4∫(3x + 2)3 dx
= 4 ∫ 𝑢3 (1
3 du) (alasan ..................................................................)
= 4. 1
3 ∫ 𝑢3du (alasan ..................................................................)
= 4
3 .
1
4 u4 + k (alasan ..................................................................)
= 1
3 (3x + 2)4 + k (alasan .................................................................)
2. Periksalah kebenaran pernyataan di bawah ini, dan sertakan alasannya atau rumus
yang digunakan.
a) Jika f(x) = 3 g(x) maka ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 3 ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
b) Jika f(x) = (g(x))3 maka 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = (∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 )3
c) Jika f(x) = g(x) . h(x) maka ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 . ∫ ℎ(𝑥)𝑑𝑥
Jawab:
3. Susun beberapa soal latihan sendiri tentang mencari anti derivatif atau menyelesaikan
integral tak tentu dan kemudian selesaikan.
Jawab:
81
F. Kegiatan 6:
Merangkum dan mengidentifikasi hal-hal penting dan kesulitan yang dialami
siswa
Diskusikan dengan teman dalam kelompokmu kemudian rangkumlah hal-hal penting
dalam tiap kegiatan dan tuliskan kesulitan yang dialami dalam melaksanakan kegiatan-
kegiatan di atas.
Jawab:
Langkah-langkah Pembelajaran
Pertemuan 2:
No Kegiatan Pendahuluan (sekitar 10 Menit)
1. a. Siswa dan guru mengawali belajar dengan membaca doa bersama;
b. Siswa belajar secara berkelompok (4- 5 orang) mengingat kembali rumus-
rumus dasar dan penerapan integral tak tentu (anti derivatif);
c. Melalui pertanyaan, siswa dibiasakan menyertakan rumus atau konsep yang
digunakan pada tiap langkah pengerjaan tugasnya.
Kegiatan Inti (sekitar 70 Menit)
2. a. Tahap Orientasi:
Dalam rangka membangun rasa percaya diri, tidak cemas, dan bertanggung
jawab atas kegiatan yang dilakukannya, dan menunjukkan kerjasama dan dapat
menghargai pendapat temannya dalam kelompok kerjanya masing-masing:
a.1. Siswa mengamati situasi kontekstual yang tersaji dalam LKS mengenalkan
konsep integral tertentu melalui masalah luas daerah yang dibatasi sumbu
X, kurva f(x), x = a dan x = b, dan melengkapi dengan alasan yang
mendasari pengerjaan yang bersangkutan;
a.2. Siswa menelaah kaitan antara integral tak tentu dan integral tertentu dan
memberi penjelasan yang relevan .
b. Tahap Pengungkapan Ide:
Untuk membina agar siswa berani mengungkapkan pendapatnya dan
mendorong agar mereka berprestasi, dalam kelompok kerja masing-masing:
Siswa mengidentifikasi rumus –rumus dasar integral tertentu dan
menuliskannya dalam tabel yang tersedia. Kemudian siswa berlatih
menerapkan rumus dasar integral tertentu disertai dengan menuliskan rumus
yang digunakan.
c. Tahap Tantangan dan Restrukturisasi,
Untuk menyadarkan atas kelebihan dan kekurangan diri, dalam kelompok kerja
masing-masing:
82
c.1. Siswa menyelesaikan soal penalaran proporsional tentang integral tertentu;
memeriksa kebenaran pernyataan, proses solusi atau langkah-langkah
penyelesaian masalah, dan solusi berkenaan dengan integral tertentu,
disertai dengan rumus yang digunakan pada tiap langkah pengerjaan;
c.2. Siswa mengidentifikasi data relevan dan tidak relevan suatu masalah
integral tertentu, dan mempertimbangkan berbagai kemungkinan proses
penyelesaian suatu masalah dan menarik kesimpulan yang berkenaan
dengan integral tertentu dan penerapannya dan menuliskan rumus yang
mendasari pengerjaan yang bersangkutan.
d.Penyerapan, dan Melihat Kembali
Untuk membina rasa memiliki konsep diri dalam mengambil keputusan, dalam
kelompok kerja masing-masing:
d.1.Melalui pertanyaan/tugas dari guru siswa didorong memeriksa kembali
kebenaran proses yang telah dilakukan pada langkah Tantangan dan
Restrukturisasi dan menyertakan rumus dan atau konsep yang digunakan
pada tiap langkah pengerjaan;
d.2.Siswa berlatih menyusun soal sendiri berkenaan integral tertentu atau
memilih sendiri soal latihan integral tertentu dari sumber lain.
Kegiatan Penutup (sekitar 10 Menit)
3. a. Dalam bimbingan guru, siswa merangkum bahasan tentang integral tertentu
dan penerapannya;
b. Siswa mengidentifikasi kesulitan menyelesaikan masalah integral tertentu
dan penerapannya;
c. Siswa menyimak materi yang akan dipelajari pada pertemuan selanjutnya
yaitu tentang penerapan integral tertentu masalah luas daerah antara dua
kurva, dan tugas (PR) berkenaan integral tertentu (kalau ada)
Penilaian dalam ranah kognitif dan afektif
Dilaksanakan melalui observasi terhadap kinerja siswa dan ketika memberi bantuan
kepada mereka yang memerlukan selama proses pembelajaran
Mengetahui
Guru Kelas
_____________
NIP
Peneliti
__________________
NIP
83
CONTOH
LEMBAR KEGIATAN SISWA (LKS)
Pertemuan 2
Kelompok: ............................ Tanggal: ............................
1. ..............................
2. ..............................
3. ..............................
4. ..............................
Diskusikan masalah berikut dalam kelompok kerja masing-masing dan selesaikan
bersama-sama.
A. Kegiatan 1:
Mengingat kembali rumus-rumus dasar integral tak tentu dan penerapannya.
Tuliskan beberapa rumus dasar integral tak tentu .
Jawab:
1. ∫ k dx =
2. ∫ x dx =
3. ∫ kx dx =
4. ∫ 𝑥𝑛 dx =
5. ∫(f(x) + g(x)) dx =
6. ∫(f(x) − g(x)) dx =
7. ∫ sin𝑥 𝑑𝑥 =
8. ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 =
B. Kegiatan 2
Mengenalkan konsep integral tertentu dan notasinya.
Pelajari uraian di bawah ini dalam kelompok kerja masing-masing. Bila ada yang
kurang dipahami diskusikan dan atau tanyakan kepada guru.
1.Perhatikan gambar dan uraian di bawah ini
Y J I f(x)
F E H
D C
O X
Daerah D dibatasi oleh sumbu X, kurva y = f(x) > 0,
x = a dan x = b. Akan dihitung luas daerah D.
Bagi selang [a,b] dalam n bagian yang sama, masing-
masing berjarak x, sehingga membentuk partisi-partisi.
Gambar pada tiap partisi, segiempat dalam (misal
ABCD dan BGHE) dan segiempat luar (misal ABEF
dan BGIJ).
a x x b
A B G b
84
Jadi Luas ABCD < Luas partisi ABED < Luas ABEF
f(x). x < Luas partisi ABED < f(x+ x) . x
Luas daerah D sama dengan jumlah luas tiap partisi. Misalkan n maka x 0.
Jadi Luas daerah D (LD) sama dengan limit jumlah tiap partisi.
LD = l i m ∑ f(xi) x𝑛𝑖=1 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
n
Diketahui bahwa f(x) > 0, dengan demikian tiap f(xi) > 0, sedang x > 0.
Jadi f(xi). x > 0, demikian pula ∑ 𝑓(𝑥𝑖) x𝑛𝑖=1 > 0.
Dengan demikian ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎 > 0
Bentuk ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒃
𝒂 dinamakan integral tertentu f(x) dari x = a sampai dengan x = b;
a dinamakan batas bawah dan b dinamakan batas atas integral tertentu.
Didefinisikan Luas D = ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒃
𝒂 = F(x) ]a
b = F(b) – F(a) dengan F adalah anti
derivatif f.
Pertanyaan:
Bagaimana rumus luas daerah D jika f(x) < 0 dalam selang [a, b]. Beri penjelasan.
Jawab:
C. Kegiatan 3:
Perhatikan beberapa catatan penting berikut.
1. Rumus-rumus dasar anti derivatif dalam perhitungan integral tak tentu berlaku dalam
perhitungan integral tertentu.
2. Rumus-rumus dasar integral tertentu berikut.
a) Penukaran batas integral: ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒃
𝒂= − ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝒂
𝒃
b) Merinci integral tertentu: Jika c (a, b) maka ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒃
𝒂= ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝒄
𝒂+
∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒃
𝒄
c) Karena luas daerah bernilai positif, jadi secara umum rumus luas daerah yang
dibatasi oleh kurva f, sumbu X, x = a dan x = b adalah:
Luas D = ∫ |𝒇(𝒙)|𝒅𝒙𝒃
𝒂
d) Dengan demikian untuk menghitung luas daerah D yang dibatasi oleh kurva f,
sumbu X, x = a dan x = b, harus ditentukan dulu pada selang mana f > 0 dan pada
selang mana f < 0. Untuk itu perlu digambar dulu sketsa kurva f tersebut.
85
4. Contoh:
Menentukan luas daerah D yang dibatasi oleh kurva f, sumbu X, x = a dan x = b
Tentukan luas daerah D yang dibatasi oleh kurva f(x) = x2, sumbu X, x = -2
dan x = 3.
Gambar dulu sketsa grafik kurva f(x) = x2 – 2 tersebut, dan jelaskan tiap langkah
penyelesaiannya.
Jawab:
a) Gambar dulu sketsa f(x) = x2 - 2 dalam selang [-2,3]
Y
b) Titik potong f dengan sumbu X, f(x)
memotong sumbu X di titik:
x2 – 2 = 0
(x-2)(x + 2) = 0
yaitu pada x = - 2 dan pada x = 2
Jadi f(x) > 0 pada selang (-2, -2) dan (2, 3) dan
f(x) < 0 pada selang (-2, 2).
c) Jadi luas daerah D yang dibatasi f(x) = x2 – 2, sumbu X, x= -2 dan x = 3
LD = ∫ |3
−2 x2 – 2| dx = ∫ (
−2
−2 x2 – 2) dx - ∫ (
2
−2 x2 – 2) dx +∫ (
3
2 x2 – 2) dx
(alasan: .....................................................................................................................)
= ( 1
2 x3- 2)]-2
-2 - ( 1
2 x3- 2)]-2
2 +( 1
2 x3- 2)]2
3
(alasan: ....................................................................................................................)
= ..................................................................................................................................
...................................................................................................................................
(alasan: ...................................................................................................................)
= ................................................................................................................................
Jadi LD = ........................................... satuan luas
D. Kegiatan 4
1. Kaitan antara integral tertentu dengan masalah luas daerah.
Diskusikan dalam kelompok kerja masing-masing dan pilih wakil kelompok untuk
tampil menjelaskan hasil kerja kelompok di depan kelas.
Selesaikan soal berikut disertai dengan rumus yang digunakan pada tiap langkahnya.
Proses dan hasil perhitungan integral tertentu dan masalah luas daerah.
x -2 -1 0 1 2 3
f(x) 2 -1 -2 -1 2 7
-2 -1 0 1 2 3
86
a) Luas daerah D yang dibatasi oleh f(x) = x3, sumbu X, x = 0 dan x = 3 sama
dengan
∫ 𝑥33
0 dx. Benarkah pernyataan tersebut? Jelaskan alasannya, dan selesaikan disertai
dengan rumus yang digunakan.
𝐉𝐚𝐰𝐚𝐛:
b) Luas daerah D yang dibatasi oleh f(x) = sin x, sumbu X, x = 0 dan x = 2 sama dengan
∫ sin 𝑥2
0 dx. Benarkah pernyataan tersebut? Jelaskan alasannya dan selesaikan disertai
dengan rumus yang digunakan.
Jawab:
2.. Susun beberapa soal latihan tentang integral tertentu dan luas daerah yang baru.
Kemudian selesaikan disertai dengan rumus yang digunakan pada tiap langkah
pengerjaan.
Jawab:
G. Kegiatan 5
a) Tuliskan hal-hal penting dalam Kegiatan 1, Kegiatan 2, Kegiatan 3, dan Kegiatan 4
Jawab:
b). Tuliskan kesulitan yang dialami dalam LKS ini.
Jawab:
87
CONTOH
RPP DAN LKS UNTUK PEMBELAJARAN SAINTIFIK
Judul Penelitian:
Meningkatkan Kemampuan Komunikasi, Pemecahan Masalah dan Disposisi
Matematik Siswa SMP melalui Pembelajaran Sainstifik
Indikator variabel dalam judul penelitian di atas.
1. Komunikasi matematik adalah kemampuan yang meliputi:
a) Menyatakan suatu situasi atau masalah sehari-hari ke dalam bentuk model
matematika (gambar, diagram, tabel, dan atau ekspresi aljabar) dan
menyelesaikannya;
b) Menyatakan suatu model matematika (gambar, diagram, tabel, dan atau
ekspresi aljabar) ke dalam bentuk soal ceritera dan menyelesaikannya;
c) Menyusun pertanyaan dari serangkaian informasi yang diberikan dan
menjawabnya;
d) Menjelaskan dan membaca secara bermakna, menyatakan, menginterpretasi,
memahami, dan mengevaluasi suatu idea matematika dan sajian matematika
secara lisan, tulisan, atau secara visual dan mendengarkan, mendiskusikan, dan
menulis tentang matematika.
Catatan:
a) Seluruh indikator komunikasi matematik di atas merupakan pedoman dalam
mengembangkan kemampuan komunikasi matematik selama pembelajaran,
sedangkan indikator Butir a), Butir b) dan Butir c) merupakan pedoman menyusun
butir tes komunikasi matematik.
b) Butir soal untuk tes dapat disusun untuk masing-masing indikator a), b), dan c).
2. Pemecahan masalah matematik adalah kemampuan yang meliputi:
a) Mengidentifikasi unsur yang diketahui, ditanyakan, dan memeriksa kecukupan
unsur;
b) Menyusun model matematika masalah dan merancang strategi penyelesaian;
c) Melaksanakan strategi (menyelesaikan) model mateamatika masalah yang
bersangkutan;
d) Memeriksa kebenaran solusi.
Catatan: dalam tiap soal pemecahan masalah keempat indikator harus termuat.
3. Indikator Disposisi Matematik
a) Rasa percaya diri
b) Bersifat fleksibel mencari beragam strategi memecahkan masalah;
c) Bersifat tekun, menunjukkan minat dan rasa ingin tahu;
d) Cenderung memonitor, dan berpikir metakognitif;
e) Menerapkan matematika dalam bidang studi lain dan masalah sehari-hari;
f) Menunjukkan apresiasi peran matematika.
.
Langkah-langkah pendekatan Saintifik
a) Mengamati;
b) Mengumpulkan informasi;
c) Mengasosiasikan;
d) Mengkomunikasikan
88
CONTOH
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)
DALAM PEMBELAJARAN SAINTIFIK
Satuan Pendidikan : SMP
Mata Pelajaran : Matematika
Pokok Bahasan : Lingkaran
Sub-pokok Bahasan : Unsur-unsur lingkaran; hubungan sudut pusat dan sudut
keliling, nilai (baca phi), rumus keliling dan luas lingkaran, dan menyelesaikan masalah berkenaan lingkaran.
Alokasi Waktu : 2x 2 x 45 menit (2 pertemuan)
A. Standar Kompetensi
1. Memahami pengertian lingkaran dan unsur-unsurnya, hubungan sudut pusat dan
sudut keliling, nilai (baca phi), rumus keliling dan luas lingkaran;
2. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan lingkaran, dan unsur-unsurnya.
B.Tujuan Pembelajaran dan Indikator keberhasilan
Pertemuan 1 dan Pertemuan 2
Ranah Kognitif
a) Memahami dan menerapkan konsep lingkaran dan unsur-unsurnya, hubungan
sudut pusat dan sudut keliling; keliling dan luas lingkaran;
b) Menyatakan suatu situasi ke dalam model matematika dan menyelesaikannya
berkenaan dengan lingkaran dan unsur-unsurnya;
c) Menyatakan suatu model matematik ke dalam bentuk soal ceritera dan
menyelesai-kannya berkenaan dengan lingkaran dan unsur-unsurnya;
d) Menyusun pertanyaan dari serangkaian informasi berkenaan dengan lingkaran
dan unsur-unsurnya dan menjawabnya;
e) Menyelesaikan masalah: mengidentifikasi data diketahui, ditanyakan, dan
memeriksa kecukupan data berkenaan lingkaran dan unsur-unsurnya
Ranah Afektif (Disposisi Matematik)
a) Rasa percaya diri,
b) Bersifat fleksibel mencari beragam strategi memecahkan masalah;
c) Bersifat tekun, menunjukkan minat dan rasa ingin tahu;
d) Cenderung memonitor, dan berpikir metakognitif;
e) Menerapkan matematika dalam bidang studi lain dan masalah sehari-hari;
f) Menunjukkan apresiasi peran matematika.
.
C. Pendekatan Pembelajaran:
Pendekatan Saintifik dengan langkah-langkah: mengamati, menanya, mengumpulkan
informasi, mengasosiasikan, mengkomunikasikan.
D. Materi Ajar: Lingkaran dan unsur-unsurnya
Sumber belajar : Lembar Kerja Siswa (LKS), Buku Paket Matematika Erlangga untuk
kelas VIII, Buku Paket Matematika Kementerian
Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia 2016 kelas VIII
89
Langkah-langkah Pembelajaran
Pertemuan 1:
No Kegiatan Pendahuluan/Apersepsi (sekitar 10 Menit)
1. a. Siswa dan guru mengawali belajar dengan membaca doa bersama;
b. Siswa belajar secara berkelompok (4- 5 orang) mengingat kembali bangun
datar (segitiga, segiempat, luas dan kelilingnya);
c. Melalui pertanyaan, siswa dibiasakan menyertakan rumus atau konsep yang
digunakan pada tiap langkah pengerjaan tugasnya.
2. Kegiatan Inti (sekitar 70 Menit)
a. Tahap Mengamati:
Dalam rangka membina rasa percaya diri, tekun, menunjukkan minat dan rasa
ingin tahu, dalam kelompok kerjanya masing-masing:
a.1. Siswa mengamati situasi kontekstual gambar jam besar sseperti tersaji dalam
LKS mengenai lingkaran dan unsur-unsurnya;
a.2. Siswa mengamati dan menelaah kaitan antara unsur-unsur lingkaran, nama
dan notasinya.
b. Tahap Menanyakan:
Untuk mengembangkan kebiasaan memonitor, dan berpikir metakognitif, dalam
kelompok kerja masing-masing:
b.1. Melalui pertanyaan yang diajukan dalam LKS, siswa mengidentifikasi sifat-
sifat unsur lingkaran dan menyelesaikan masalah sederhana berkenaan unsur-
unsur lingkaran disertai alasan tiap langkah pengerjaan;
b.2. Melalui pengamatan pada Tahap b.1 dan beberapa contoh, siswa menyusun
model matematika (gambar, diagram, ekspresi aljabar) suatu situasi
berkenaan unsur-unsur lingkaran dan menyelesaikannya ;
b.3. Siswa menyusun pertanyaan berkenaan unsur-unsur lingkaran dan
menjawabnya;
c. Tahap Mengumpulkan informasi dan mengasosiasikan:
Untuk membina sifat fleksibel/terbuka dalam mencari beragam strategi
memecahkan masalah, dalam kelompok kerja masing-masing:
c.1. Siswa mengumpulkan informasi mengenai data yang diketahui, yang
ditanyakan, dan memeriksa kecukupan unsur; Kemudian dari data yang
terkumpul siswa dengan cara beragam menyusun model matematika
masalah dan menyelesaikan, memeriksa kebenaran solusi) berkenaan dengan
unsur-unsur lingkaran;
c.2. Berdasarkan data dalam bentuk model matematika (gambar, diagram,
ekspresi aljabar) siswa mengasosiasikan dan menyatakannya ke dalam
bentuk ceritera dan menyelesaikannya.
90
d.. Tahap Mengkomunikasikan:
Untuk menumbuhkan rasa percaya diri, menunjukkan apresiasi peran
matematika, dan menerapkan matematika dalam beragam konteks, dalam
kelompok kerja masing-masing:
d.1. Siswa mengkomunikasikan hasil pengujian kebenaran proses yang telah
dilakukan pada langkah-langkah kegiatan sebelumnya dan mengidentifikasi
rumus dan atau konsep yang terlibat pada tiap langkah pengerjaan;
d.2. Kelompok belajar siswa mendiskusikan satu perwakilan siswa untuk
menyampaikan hasil kerja kelompok di depan kelas, sementara teman
lainnya menelaah dan memberikan komentar/pendapat mereka.
d.3.Siswa menyusun/memilih soal latihan sendiri berkenaan lingkaran dan unsur-
unsurnya dari sumber lain.
3. Kegiatan Penutup
a. Dalam bimbingan guru, siswa merangkum bahasan dan hal-hal penting
tentang lingkaran dan unsur-unsurnya;
b. Siswa mengidentifikasi kesulitan yang dialami dalam menyelesaikan
masalah lingkaran dan unsur-unsurnya;
c. Siswa menyimak materi yang akan dipelajari pada pertemuan selanjutnya
yaitu tentang luas dan keliling lingkaran dan bagian-bagiannya serta
penerapannya dan atau tugas (PR) berkenaan lingkaran dan unsur-unsurnya.
Penilaian dalam ranah kognitif dan afektif
Dilaksanakan melalui observasi terhadap kinerja siswa dan ketika memberi bantuan
kepada mereka yang memerlukan selama proses pembelajaran
Mengetahui
Guru Kelas
__________________
NIP
Peneliti
____________________
NIP
91
CONTOH
LEMBAR KEGIATAN SISWA (LKS)
Pertemuan 1
Kelompok: ............................ Tanggal: ............................
1. ...................................
2. ..................................
3. ..................................
4. ..................................
Diskusikan masalah berikut dalam kelompok kerja masing-masing dan selesaikan
bersama-sama.
A. Kegiatan 1:
a. Mengingat kembali gambar dan sifat-sifat beragam segitiga dan segiempat (segitiga
sembarang, segitiga sama-kaki, segitiga sama-sisi, segitga lancip, segtiga tumpul,
persegi, persegi panjang, jajaran genjang, layang-layang, trapesium)
b. Gambar beberapa jenis segitiga dan segiempat dan tuliskan sifat-sifat khususnya.
Jawab:
c. Berdasarkan sifat-sifat khusus segitiga dan segiempat pada butir a, carilah
panjang/besar unsur-unsurnya, luas dan keliling segitiga dan segiempat serta
bagian-bagiannya.
Jawab:
B. Kegiatan 2
Mengenal dan memahami pengertian serta notasi lingkaran dan unsur-unsurnya
melalui situasi/masalah kontekstual
a. Perhatikan gambar sebuah jam besar di
sebelah kiri. Pada gambar jam tersebut jarak
tiap titik pada keliling lingkaran terhadap satu
titik tertentu adalah sama yaitu R. Jadi
lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik
yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu.
Titik tersebut dinamakan titik pusat lingkaran
dan jarak yang sama tersebut dinamakan jari-
jari. Lingkaran tersebut diberi simbol
(O,R) (baca lingkaran dengan pusat titik O
dan berjari-jari R)
Gambar 1: Lingkaran (O, R) dan unsur-unsurnya
12
E
F
6
R
R
3
11
O
A B
C
4
2
8
D
9
92
b.Titik A, titik B, dan titik C berada pada keliling lingkaran pada angka 8, angka 4, dan
angka 11, membentuk segitiga ABC.
c. Garis OA dinamakan jari-jari lingkaran dan panjangnya R. Perpanjangan garis OA
memotong lingkaran di D, dan garis AD dinamakan diameter dan panjangnya 2R;
d. Garis lurus AB, garis lurus BC, dan garis lurus CA masing-masing dinamakan tali
busur AB, BC, dan CA lingkaran. Garis lengkung yang melalui titik A, E, dan B
pada lingkaran dinamakan busur kecil lingkaran AEB, dan dinotasikan dengan
simbol AEB;
e. Daerah yang dibatasi tali busur AB dan AEB dinamakan tembereng AEB;
f. Daerah yang dibatasi dua jari-jari OA dan OB dan AEB, dinamakan juring OAEB;
g. Garis OE AB dan memotong AB di titik F. Garis OF dinamakan apotema;
h. Berdasarkan uraian pada butir-butir di atas, gambarkan dan tulis jari-jari,
diameter, tali busur, temberang, juring, dan apotema lingkaran yang lainnya.
Jawab:
C. Kegiatan 3:
Jenis sudut- sudut dalam lingkaran.
.
E
F
6
R
R
3
11
O
A B
C
4
2
8
D
9
Amati gambar jam besar di sebelah kiri.
a) Sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari,
misal-nya AOE dinamakan sudut pusat
lingkaran;
Gambar dan tuliskan sudut pusat lingkaran
lainnya;
Jawab:
Gambar 2: Lingkaran (O, R) dan
unsur-unsurnya
93
b) Besar sudut pusat satu lingkaran penuh adalah 360o. Pada keliling lingkaran angka-
angka 1, 2. 3, .... 12, membagi keliling lingkaran sama panjang. Jadi tiap sudut pusat
lingkaran antara dua jari-jari pada angka jam yang berurutan membentuk sudut pusat
yang sama besar yaitu 1
12 x 360o = 30o (karena: ..................................)
Jadi besar AOE = 2 x 30o = 60o (karena: ...............................................................) Gambar sudut pusat lain dan tentukan besar sudutnya.
Jawab:
c ) Sudut keliling lingkaran
Sudut yang dibentuk oleh dua buah tali busur yang berpotongan, misalnya ACB
dinamakan sudut keliling lingkaran;
Gambarlah dan tuliskan beberapa sudut keliling lainnya:
Jawab:
d) Hubungan besar sudut pusat dan sudut keliling lungkaran.
Perhatikan OAB, besar AOB = karena ........................................................... ......................................................................................................................................
Besar BOD = 1800 - AOB = (karena ...........................................................
......................................................................................................................................
AOB adalah samakaki karena .................................................................................
Jadi besar OAB = OBA = ............. (karena...................................................
.....................................................................................................................................)
Jadi besar BOD = ............ dan besar OAB = .................................................
Jadi besar sudut pusat BOD = .............. besar sudut keliling OAB = 300
Tariklah kesimpulan tentang hubungan besar sudut pusat dan sudut keliling
lingkaran.
Jawab:
f) Tunjukkan beberapa contoh lain yang menyatakan hubungan besar sudut pusat dan
besar sudut keliling lingkaran yang menghadapi busur lingkaran yang sama disertai
dengan penjelasan.
Jawab:
94
D. Kegiatan 4
Diskusikan uraian di bawah ini dan selesaikan dalam kelompok kerja masing-masing.
Rundingkan wakil kelompk yang akan menyajikan hasil kerja kelompok di depan kelas.
1. Gambarlah lingkaran (O, 5 cm). Kemudian tentukan titik-titik pada keliling lingkaran
sehingga membentuk:
a) Segitiga samasisi ABC. Amati gambar dan tulislah bagian mana dari lingkaran
tersebut yang merupakan:
a.1 Sudut pusat dan sudut keliling lingkaran, dan tentukan besar sudut masing-
masing disertai dengan penjelasan.
Jawab:
a.2. Tembereng lingkaran, juring lingkaran, dan apotema.
Jawab:
2. Trapesium sama kaki ABCD. Amati gambar dan tulislah bagian mana dari
lingkaran tersebut yang merupakan:
a.1 Sudut pusat dan sudut keliling lingkaran, dan tentukan besar sudut masing-
masing disertai dengan penjelasan.
Jawab:
a.2. Tembereng lingkaran, juring lingkaran, dan apotema.
Jawab:
3. Diberikan satu lingkaran (O, 6cm). Manakah di antara bangun datar sisi empat:
persegi, persegipanajang, trapesium sama kaki, jajaran genjang, belah ketupat, dan
layang-layang yang dapat dilukis sehingga titik-titik sudutnya pada keliling
lingkaran. Jelaskan atau sertakan alasan.
Jawab:
95
4. Sekarang diketahui sembarang segitiga ABC. Dapatkah dibuat lingkaran yang
melalui titik-titik sudutnya? Coba gambar dan jelaskan cara menggambarnya.
Jawab:
5. Contoh lain, diberikan sembarang persegipanjang ABCD dan layang-layang PGRS.
Dapatkah dibuat lingkaran yang melalui titik-titik sudut kedua segiempat tersebut?
Tuliskan unsur utama yang harus dicari bila ingin menggambar sebuah lingkaran
yang mengelilingi suatu bangun datar sisi-3 atau sisi-4, disertai alasan atau
penjelasan.
Jawab: