NÁZOV Verifikácia platnosti Bernoulliho rovnice TEMATICKÝ CELOK Mechanika kvapalín

MENO A ADRESA NAVRHOVATEĽA

Tomáš Kozík tkozik@ukf.sk

CIEĽ Meranie rýchlosti prúdenia kvapaliny

CHARAKTERISTIKY 3 hodiny vek študentov: 16+

ZDROJE Pripravené autorom PC, internet

POZNÁMKY PRE UČITEĽA

- použiť vedomosti z oblasti mechaniky kvapalín - motivácia experimentovať - zlepšiť manuálnu zručnosť v narábaní s meracími prístrojmi v praktickej situácii.

Tento projekt je podporený Európskou Úniou v rámci Programu Celoživotného vzdelávania (539234-LLP-1-2013-1-AT-COMENIUS-CAM). Za obsah tejto stránky zodpovedajú autori a komisia nenesie žiadnu zodpovednosť za použitie informácií na uverejnených na tejto stránke.

MERANIE RÝCHLOSTI PRÚDENIA PLYNNÉHO PROSTREDIA (VERIFIKÁCIA PLATNOSTI BERNOULLIHO ROVNICE)

MESUREMENT OF SPEED OF AIRFLOW (VERIFICATION OF BERNOULLI EQUATION)

KOZÍK Tomáš Katedra techniky a informačných technológií

PF UKF Nitra

Zadanie úlohy

• Upravte Bernoulliho rovnicu pre prúdenie tekutiny v horizontálnej rovine a pre tentoprípad prúdenia vyjadrite vzťah pre rýchlosť prúdenia.

• Zmerajte rýchlosť prúdenia vzduchu v trubici modelového zariadenia:a) pomocou Pitotovej trubice,b) Prandtlovej trubice ac) s využitím anemometru.

Namerané a vypočítané výsledky vyhodnoťte a vzájomne porovnajte.

• Stanovte množstvo vzduchu dodávaného do trubice za jednotku času pri menovitejhodnote priloženého elektrického napätia na pohonnej jednotke ventilátora.

• Zistite závislosť dodávaného množstva vzduchu do trubice od hodnoty napätia napohonnej jednotke (motore) ventilátora.

• Posúďte vplyv tvarových prepážok umiestnených v priereze trubice modelovéhozariadenia na rýchlosť posúdenia.

• Navrhnite alternatívne fyzikálne princípy uplatniteľne na meracie rýchlosti prúdeniatekutín a pokúste sa o vyjadrenie ich technického riešenia.

Predpokladané vedomosti a poznatky cvičiacich

Pri riešení úlohy sa predpokladajú vedomosti cvičiacich zo základných fyzikálnych pojmoch ako sú práca, energia, potenciálna a kinetická energia, tlak, sila, hmotnosť, hustota, tiaž, gravitačné zrýchlenie.

Cieľ riešenia úlohy

Riešením úloh zadania sa predpokladá u cvičiacich dosiahnuť a získať: - prehĺbenie vedomostí o vzájomných vzťahoch medzi základnými fyzikálnymi

veličinami, - schopnosť realizovať experimentálne meranie a výsledky z nich správne

zaznamenať, vyhodnotiť a interpretovať, - spôsobilosť uplatňovania tvorivého prístupu pri riešení úloh, - pozitívnu motiváciu k predmetu fyzika a k odborným technickým predmetom, - komunikatívnu spôsobilosť v prírodovednej a technickej problematike, - posilnenie kompetencie pracovať v tíme pri riešení problémových odborných

úloh.

Teoretické východiská Plyn, kvapalina a tekuté látky. Plyny sú látky, ktoré nemajú tvarovú a objemovú stálosť. Každý plyn dokonale vyplňuje priestor nádoby, v ktorej sa nachádza. Kvapaliny sú látky, ktoré sa vyznačujú objemovou stálosťou, ale podobne ako plyny nemajú tvarovú stálosť. Spoločnou vlastnosťou plynov a kvapalín je ich tvarová nestálosť, ktorá spôsobuje, že tieto látky môžu tiecť. Dôsledkom tejto vlastnosti je i podobnosť zákonov, ktoré popisujú ich chovanie. ( Zákony hydromechaniky a aeromechaniky). Kvapaliny a plyny sa preto často označujú spoločným názvom tekuté látky (tekutiny). [1], [2]. Bernoulliho rovnica Jedným zo vzťahov, ktorý je platný pre kvapaliny a plyny je Bernouliho rovnica, ktorá bola Bernoullim vyjadrená v jeho práci Hydrodynamika už v roku 1738. [4]. Pri jej odvodení skúmajme stacionárne laminárne prúdenie nestlačiteľnej tekutiny (plynu alebo kvapaliny) v prúdotrubičke podľa obr. 1. V riešení predpokladáme, že vnútorné trenie v tekutine je zanedbateľné a nebude dochádzať ani k zmene vnútornej energie uvažovaného elementu. [3] [5].

Obr. 1

Schéma prúdotrubičky ∆V – objemový element s mernou hmotnosťou ρ

V takomto prípade, pri pohybe elementu s objemom ∆V a s hmotnosťou ∆M z miesta 1 do miesta 2 sa bude meniť jeho celková energia

∆E = ∆Ek + ∆Ep (1) kde ∆Ek vyjadruje zmenu kinetickej energie a ∆Ep zmenu potenciálnej energie. V prípade nestlačiteľnej tekutiny pre mernú hustotu ρ v každom mieste objemu prúdiacej kvality platí ρ = const. Za čas ∆t tekutina prúdiaca v prúdotrubičke cez prierez S1 v mieste 1 vyplní priestor medzi prierezmi S1 a Ś1 s hmotnosťou ∆M, ktorú určuje vzťah:

tS ∆=∆=∆ 11vVM ρρ (2) Rovnaké množstvo tekutiny musí pretiecť aj prierezom S2 v mieste 2 a vyplní priestor medzi prierezmi S2 a S´2 s objemom ∆V. Potom v mieste 2 musí rovnako platiť vzťah: ∆M = ρ∆V = ρ S2 v2 ∆t (3) kde ρ je merná hmotnost (hustota) a v1 a v2 sú rýchlosti tekutiny v priereze 1 a 2. Z rovnosti vzťahov (2) a (3) dostaneme rovnosť: ρ S1 v1 ∆t = ρ S2 v2 ∆t (4) čo je vyjadrením zákona kontinuity prúdiacej tekutiny. Po vyjadrení zmeny kinetickej energie ∆Ek a zmeny potenciálnej energie ∆Ep pri prúdení tekutiny medzi miestami 1 a 2 dostávame pre celkovú zmenu energie prúdiacej tekutiny vzťah:

( )

M v21gh v

21ghM

MghMgh vM21 vM

21

EE)EE( E

211

222

122

12

2

p1p2k1k2

∆

+−

+∆=

=∆−∆+∆−∆=

=∆−∆+∆−∆=∆

(5)

kde h1 a h2 sú výšky uvažovaných elementov prúdotrubičky v mieste 1 a 2 a g je gravitačné zrýchlenie. K prúdeniu tekutiny v prúdotrubičke dochádza v dôsledku pôsobenia gravitačnej sily na prúdiaci element tekutiny, teda v dôsledku rozdielnych tlakov v mieste 1 a 2 prúdotrubičky.

V mieste 1 prúdotrubičky v priereze S1 pôsobí sila F1 = S1p1, ktorá za čas ∆t vykoná prácu: tvpSt vF1 A1 111 1 ∆=∆= (6) Podobne možno napísať vzťah pre prácu v mieste 2 prúdotrubičky

tvpSt vF2 A2 222 2 ∆=∆= (7) Celková zmena energie tekutiny sa rovná práci vykonanej gravitačnou silou (vonkajšou silou) ( ) tvpSvpS A2-A1A 222111 ∆−==∆ (8) Po zohľadnení vzťahu (2) (3) a (4) pre prácu dostaneme vzťah:

M

ppA 21 ∆

−=∆

ρρ (9)

Z rovnosti ∆A = ∆E vyplýva:

.const v21ghp

:alebo

v21ghpv

21ghp

Mv21ghv

21ghM MppA

EA

2

222

22

11

1

211

222

21

=++

++=++

∆

+−

+∆=∆

−=∆

∆=∆

ρρ

ρρ

ρρ

(10) čo je vyjadrením Bernoulliho rovnice pre prúdiacu kvapalinu alebo plynu, ktorá hovorí, že súčet kinetickej a potenciálnej energie objemového elementu a tlaku je v prúdiacom prostredí všade rovnaký. Bernoulliho rovnica je platná pri splnení už uvedených obmedzujúcich podmienok na prúdiacu tekutinu (laminárnosť prúdenia, nestlačiteľnoť tekutiny).

Riešenie úlohy Prúdenie tekutiny (plynu a kvapaliny) v horizontálnej rovnice. Ak tekutina prúdi v rovnakej výške rýchlosťou v, potom člen v rovnosti (10) vyjadrujúci príspevok potenciálnej energie je rovnaký a Bernoulliho rovnicu možno napísať v tvare:

.v21p 2 const=+ ρ (11)

Podľa tohto vzťahu, so vzrastom rýchlosti prúdenia v trubici klesá tlak prúdiaceho prostredia v danom mieste a naopak. Meranie rýchlosti prúdenia vzduchu v trubici Meranie rýchlosti prúdenia vzduchu realizujeme v plexisklovej trubici, ktorá je na jednom konci upravená nástavcom na pripojenie výstupu z ventilátora. V trubici sú vyhotovené otvory na zasunutie meracích prvkov (sondy). Konštrukcia trubice umožňuje tiež vkladanie prepážok do smeru prúdenia vzduchu a sledovať ich vplyv na rýchlosť prúdenie média. Trubica s držiakom pre uchytenie meracích prvkov je umiestnená na základovej doske, obr. 2.

Obr. 2 Celkový pohľad na usporiadanie merania

Rýchlosť prúdenia vzduchu je regulovaná rýchlosťou otáčok ventilátora, ktoré sa menia zmenou napájacieho napätia motora ventilátora sériovým pripojením regulovateľného odporu. Meranie rýchlosti pomocou Pitotovej trubice Princíp merania je zobrazený na obr. 3.

Obr.3

Podľa Bernoulliho rovnice v mieste A1 a A2 platí rovnosť (platí vzťah (10))

222

211 v

21pv

21p ρρ +=+ (12)

kde p1, p2 a v1, v2 sú tlaky a rýchlosti v mieste 1 a 2. V dôsledku ohnutého konca Pitotovej trubice rýchlosť prúdenia v mieste 1 sa rovná nule, tlaky p1 a p2 sú dané výškami hladín v trubiciach h1 a h 2. Po zvážení uvedeného, rovnosť (12) nadobúda tvar:

22221 v

21v

21pp ρρ ==− (13)

pretože v2 = v . Vyjadrením tlaku pomocou výšky hladín dostávame vyjadrenie vzťahu (13) v tvare:

221 v

21gh-gh ρρρ = (14)

Z čoho pre rýchlosť platí:

( )21 hh 2gv −= (15)

Meranie v usporiadaní so sklenenými trubičkami, obr.4

Obr.4 Zostava a usporiadanie trubičiek k meraniu rýchlosti

K určeniu zmeny tlaku v miestach sklenených trubičiek je použitý U – manometer, naplnený technickým liehom. Z hodnôt rozdielu ∆h = h1 – h2 určeného na U – manometri možno vypočítať rýchlosť prúdenia podľa vzťahu (15) Meranie rýchlosti pomocou Prandtlovej trubice Technické riešenie trubice je zobrazené na obr. 6 s vyznačením pripojenia U – manometra.

Obr. 6

Reálna Prandtlová trubica použitá na meranie prúdenia v trubici je zobrazená na obr. 7.

Technická realizácia Prandtlovej trubice Obr. 7

Meranie s využitím anemometra Na meranie rýchlosti prúdenia vzduchu v trubici je možné využiť aj komerčné prístroje ako napríklad digitálny anemometer 4500, ktorý priamo číselne určuje rýchlosť prúdiaceho média. Obr. 8

Obr. 8 Komerčný digitálny anemometer 4500 a jeho umiestnenie v trubici

Postup merania 1. Po kontrole usporiadania aparatúry merania nastavíme hodnotu napájacieho napätia

zdroja ventilátora pomocou reostatu. 2. Postupne sú merané hodnoty ∆h v usporiadaní s Pitotovou a Prandtlovou trubicou.

Rýchlosť prúdenia sa nakoniec určí digitálnym anemometrom. Meranie sa opakuje minimálne 5 krát. Z nameraných hodnôt sa vypočítajú rýchlosti prúdenia vzduchu v trubici a zaznamenajú do tabuľky.

Pitotova trubica Prandtlova trubica Por. číslo merania

∆h/mm v/m s-1 ∆h/mm v/m s-1 Anenometer

m s-1

1 2 3 4 5

Tabuľka nameraných a vypočítaných hodnôt Obdobne sa postupuje pri zistení závislosti hodnoty napájacieho napätia ventilátora (otáčky ventilátoru sú úmerné napätiu) na rýchlosti prúdenia a vplyvu umiestnenia rôznych prepážok do trubice. Určenie dodaného množstva vzduchu ventilátora do trubice za jednotku času je úloha, ktorú by mali cvičiaci bez problémov vyriešiť. Záver, hodnotenie nameraných výsledkov a splnenie úloh Meraním cvičiaci preukážu, že všetky tri použité postupy určenia rýchlosti prúdenia vedú približne k rovnakému výsledku stanovenia rýchlosti prúdenia „v“. V rámci diskusie k výsledkom meraní je vhodné poukázať na pôvod a príčiny zistených rozdielov. Od vedomostnej úrovne cvičiacich a ich záujmu, môže pedagóg v rámci diskusie ukázať prístup štatistického hodnotenia rozdielov v nameraných výsledkov. Rovnako môže venovať pozornosť problematike presnosti merania a jeho stanovenia.. V úlohe, v ktorej sa požaduje navrhnutie iných metód merania rýchlosti prúdeniu tekutín, by mali cvičiaci preukázať schopnosť aplikovať im známe fyzikálne základy z častí fyziky ako napríklad z mechaniky, elektriny a iných. Splnenie úlohy by malo preukázať tvorivosť cvičiacich, ich pripravenosť a schopnosť pracovať jednotlivo a v tíme.

Poznámka: Pri meraní rýchlosti prúdenia vzduchu v trubici podľa vzťahu (13) platí:

p

p 2v ∆=

kde za ρ treba dosadiť mernú hmotnosť vzduchu ρvzd, ktorej hodnota sa dá nájsť v špecializovaných tabuľkách. V prípade použitia U – trubice na meranie rozdielu tlakov, v ktorej rozdiel hladín určuje rozdiel tlakov medzi meranými miestami, je potrebné urobiť korekciu nameranej hodnoty na použitú náplň v trubici podľa vzťahu: ∆p = p1 – p2 = ρ g h1 - ρ g h2 = ρ g ∆h kde ρ v danom vzťahu je merná hmotnosť (hustota) použitej kvapaliny v U manometri. Literatúra: [1] ILKOVIČ, D.: Fyzika, SVTL Bratislava, SNTL Praha, 1959, s. 892. [2] ILKOVIČ, D.: Fyzika 1. Bratislava. Vyd. Technickej a ekonomickej literatúry,

1972, s. 496. [3] VEIS, Š – MAĎAR, J – MARTIŠOVITŠ, V. : Všeobecná fyzika I, ALFA

Bratislava, SNTL Praha, 1978, s. 466. [4] KELLER, J.F. – GETTYS, W.E – SKOVE, M.J.: PHYSICS. McGraw – HiII, Inc.

Second Edition, 1993, s. 988. ISBN 0-07-023461-2. [5] BUECHE, F.J.: Principles of Physics. The McGraw Companies, Inc. Fifth Edition,

1988, s. 743. ISBN 0-07-303579-3.