meritev stohastiˇcne resonance s pomoˇcjo laserske pinceteosterman/diplomanatan2.pdf · smer...

UNIVERZA V LJUBLJANIFAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO

ODDELEK ZA FIZIKO

Natan Osterman

Meritev stohasticne resonance s pomocjolaserske pincete

Diplomsko delo

Mentor: doc. dr. Igor PoberajSomentor: dr. Dusan Babic

Ljubljana, 2004

Za nastanek pricujocega dela se zahvaljujem mentorju dr. Igorju Poberaju, ki me je vodilv negotovih trenutkih raziskovanja. V veliko pomoc mi je bilo svetovanje dr. DusanaBabica. Zahvaljujem se tudi dr. Mihi Skarabotu za obilo koristnih nasvetov ter dr. SilviPirs, ki me je naucila izdelovati vzorce.

Smer studija: matematicno-fizikalna

Povzetek

V delu je opisana meritev stohasticne resonance s pomocjo laserske pincete. V potencialdveh opticnih pasti smo ujeli 0.97µm kroglico iz kvarcnega stekla. Globino potenciala smosibko modulirali z razlicnimi frekvencami in pri tem opazovali odvisnost porazdelitve casovpobega (cas nahajanja delca v eni pasti preden pobegne v drugo) od periode modulacije.Porazdelitev je pri nemoduliranem potencialu eksponentno padajoca, pri moduliranempotencialu pa se najboljsa sinhronizacija pojavi, ko je polovica modulacijske periode enakaKramersovem casu (povprecni cas nahajanja v eni potencialni jami pri nemoduliranemsistemu). Vsi eksperimentalni rezultati se ujemajo z napovedmi teorije.

Predmetne oznake: stohasticni procesi, Brownovo gibanje, koloidi, laserska pinceta

Abstract

In this diploma thesis the measurement of stochastic resonance in colloidal system withlaser tweezers is presented. A 0.97µm silica sphere is trapped in a periodically modulateddouble-well potential. The probability distribution of residence times within a given wellis exponential in case of non-perturbed potential. Temporal modulation of the potentialleads to synchronization between modulation and noise-induced interwell hopping. Thebest synchronization occurs when half-period of modulation is equal to Kramers time(average residence time within one well). All experimental results are in good agreementwith theory.

Keywords: stochastic processes, Brownian motion, colloids, laser tweezers

PACS: 02.50.Ey, 05.40.Jc, 82.70.Dd

Kazalo

Povzetek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 Uvod 6

2 Opis stohasticne resonance 8

2.1 Osnovni model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Model dveh stanj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Lastnosti modela dveh stanj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3.1 Casovno odvisen odziv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3.2 Avtokorelacijska funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.3 Spektralna gostota moci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.4 Porazdelitev casov pobega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Opis eksperimenta 15

3.1 Principi delovanja opticne pincete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Eksperimentalna postavitev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.1 Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.2 Vodenje zarka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2.3 Optika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Priprava vzorcev in metode merjenja 24

4.1 Priprava vzorcev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2 Izbira koloidnih delcev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.3 Dolocanje lege delcev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.4 Karakterizacija pasti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.4.1 Dolocanje oblike in globine potenciala . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.5 Karakterizacija bistabilnega potenciala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.5.1 Dolocanje oblike in globine potenciala . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.5.2 Teoreticni Kramersov cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5 Meritve 30

KAZALO 5

5.1 Karakterizacija potenciala opticne pasti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.1.1 Dolocanje koeficienta potenciala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.2 Bistabilni potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.2.1 Oblika in globina potenciala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.2.2 Izracun relaksacijskega in Kramersovega casa . . . . . . . . . . . . 35

5.3 Porazdelitev casov pobega pri nemoduliranem potencialu . . . . . . . . . . 36

5.4 Moduliran potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.4.1 Spektralna gostota moci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.4.2 Porazdelitev casov pobega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6 Diskusija 43

6.1 Karakterizacija ene pasti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.2 Bistabilni potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.2.1 Asimetrija potenciala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.2.2 Nemoduliran potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.2.3 Moduliran potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7 Zakljucek 47

Poglavje 1

Uvod

Idejo stohasticne resonance (SR) je prvi predlagal Benzi leta 1981 [7] ob preucevanjuperiodicno ponavljajocih se ledenih dob. Statisticna analiza variacij prostornine konti-nentalnega ledu v zadnjem milijonu let razkrije, da se poledenitve pojavljajo povprecnovsakih sto tisoc let. Ta ugotovitev je zanimiva, ker je edina primerljiva znana astronom-ska casovna skala modulacijska perioda ekscentricnosti Zemljine orbite, ki jo povzrocajogravitacijske perturbacije drugih planetov. Posledicna sprememba moci Sonca na Zemljinipovrsini (solarna konstanta) je izredno majhna, okoli 0.1%. S pojavom stohasticne res-onance lahko pojasnimo mocno obcutljivost klime na tako majhno zunanje periodicnovsiljevanje.

Prvo eksperimentalno potrditev stohasticne resonance sta izvedla Fauve in Heslot [8], kista preucevala odvisnost spektra izmenicno vzbujanega Schmittovega diskriminatorja odsuma. Eksperimentalno podrocje SR se je zacelo mocneje razvijati po eksperimentu zbistabilnim laserskim obrocem [9], za tem pa so se razvile pomembne dinamicne teorije vadiabatski limiti in v celotnem neadiabatskem rezimu.

Skozi cas so pojav SR odkrili v stevilnih razlicnih sistemih. Njihova skupna lastnost je,da se pri ustreznem nivoju suma poveca obcutljivost sistema na male motnje. Povecanodziv sistema v prisotnosti suma je posledica sinhronizacije med preklopi sistema in sibkomotnjo. V brezsumnem sistemu mala motnja nima dovolj energije, da bi povzrocila prehodv drugo stanje. Ko v sistem dodamo sum, korelacija suma in motnje omogoca preklopev drugo stabilno lego, kar povzroci povecan odziv. Po drugi strani pa povecanje nivojasuma nasprotuje prej omenjeni korelaciji, saj se preklopi z vecanjem suma zacnejo dogajativedno bolj neodvisno od zunanje motnje. Amplituda odziva sistema v odvisnosti odintenzitete suma ima zvoncasto obliko, zato ime stohasticna resonanca.

Tri osnovne sestavine SR so:

• neka oblika praga

• vir suma

• sibek vhodni signal

Ker so vse tri pogosto prisotne, ni presenteljivo, da se SR pojavi v siroki mnozici razlicnih

1 Uvod 7

sistemov.

Eden od taksnih sistemov so tudi koloidni sistemi1. Za studij SR so posebno ugodni, kerje v njih inherentno prisoten sum. Ce v koloidnem sistemu ustvarimo primeren bistabilenpotencial in vanj ujamemo koloidni delec, le ta zaradi termicnega suma preskakuje medobema stabilnima legama.

Bistabilni potencial v koloidu lahko ustvarimo z opticno pinceto. To je naprava, kiomogoca manipulacijo majhnih delcev s pomocjo mocno fokusiranega laserskega zarka.Delec pri tem zaide v t.i. opticno past, ki se nahaja blizu gorisca zarka. Odmik delcaod ravnovesne lege povzroci nasprotujoco silo, ki delec spet potegne v sredisce pasti. Cezarek dovolj pocasi premikamo, ujeti delec sledi zarku, tako da sistem deluje kot pinceta,ki zagrabi in vodi posamezne delce. Opticno pinceto je za pospesevanje in ujetje delcevprvi uporabil Ashkin leta 1969 [1].

Sistem opticne pincete v grobem sestavljata laser moci od nekaj mW do nekaj W inobjektiv mikroskopa z veliko numericno aperturo. Objektiv fokusira laserski zarek, hkratipa omogoca opazovanje ujetega objekta. Tipicna sila, ki jo dosezemo z opticno pinceto,je velikosti do sto pN.

Prvi eksperiment z Brownovim delcem, ujetim s pomocjo opticne pasti, sta izvedla Simonin Libchaber [2]. Preucevala sta pobege in sinhronizacijo gibanja 1µm-steklene kroglicev bistabilnem potencialu. Izmerila sta eksponentno padajoco porazdelitev casov pobegaiz pasti. Pri zelo kratkih casih sta zaradi relaksacije znotraj pasti dobila manj pobegovkot jih napoveduje eksponentna porazdelitev. Eksperimentalno sta potrdila, da casovnamodulacija globin potencialov vodi do sinhronizacije.

Za diplomsko delo sem izvedel podoben eksperiment. Z opticno pinceto sem v vodi ust-varil bistabilni potencial za 0.97µm-kroglico iz kremenovega stekla, ki se je v potencialuBrownovo gibala. Racunalnik je z analizo slike iz mikroskopa dolocal in belezil lego delca.Iz teh podatkov sem izracunal porazdelitev casov pobega (cas, ki ga delec prebije v eni po-tencialni jami preden pobegne v drugo), nato pa sem potencial periodicno sibko moduliralz razlicnimi frekvencami in pri tem opazoval sinhronizacijo med preskakovanjem kroglicein modulacijo.

Diplomsko delo je razdeljeno na pet delov. V prvem delu je razlozen preprost diskretendvostanjski model stohasticne resonance in njegove lastnosti. Drugi del obsega pred-stavitev eksperimenta in vkljucuje teorijo delovanja opticne pincete. V tretjem delu jeopisana priprava vzorcev in metode merjenja. Ta del vkljucuje tudi teorijo za izracundolocenih kolicin iz izmerjenih vrednosti. V cetrem delu diplome so predstavljeni rezul-tati meritev in izracunov, zadnji del pa je diskusija o rezultatih.

1Za koloidne oz. Brownove delce stejemo take, pri katerih termicna energija kBT povzroca znatnepremike, primerljive z velikostjo delca, na casovni skali t = a2

6De, kjer je a premer delca, De pa Einstein-

Stokesov difuzijski koeficient.

Poglavje 2

Opis stohasticne resonance

2.1 Osnovni model

Mehanizma stohasticne resonance ni tezko razumeti. Najpreprostejsi primer je gibanjemocno dusenega delca mase m s koeficientom vizkoznega upora γ, ki se premika v simetricnembistabilnem potencialu (slika 2.1a)

V (x) =1

4bx4 − 1

2ax2. (2.1)

Delec je izpostavljen fluktuacijskim silam, npr. termicnemu sumu F (t). Gibalna enacbav tem primeru je

mx + γx + V ′(x) = F (t). (2.2)

Fluktuacijske sile povzrocajo prehod med sosednjima stabilnima legama potenciala sKramersovo pogostostjo [3]

rK =mω0ωb

2πγexp

(− ∆V

D

). (2.3)

Pri tem je ω20 = V ′′(xm)/m kvadrat kotne frekvence potenciala v minimumu ±xm in ω2

b =|V ′′(xb)/m| kvadrat kotne frekvence na vrhu pregrade, pri xb; ∆V je visina potencialnepregrade, ki locuje oba minimuma. Intenziteta termicnega suma je D = kBT .

Ce vkljucimo dodatno sibko zunanje periodicno vzbujanje, se prvotni simetricni bistabilnipotencial spremeni v asimetricnega - visina potencialne pregrade se periodicno spreminja(slika 2.1). Ceprav je vzbujanje presibko, da bi delec skakal iz ene v drugo stabilno lego,se lahko zgodi, da se preskakovanje zaradi suma sinhronizira z zunanjim vzbujanjem. Dosinhronizacije pride, ko je povprecen cas caknja med dvema prehodoma zaradi suma -Kramersov cas - τK(D) = 1/rK primerljiv s polovico periode τΩ periodicnega vzbujanja.To nam da pogoj casovnega ujemanja za stohasticno resonanco,

2τK(D) = τΩ. (2.4)

2.2 Model dveh stanj 9

Slika 2.1: SR v simetricnem bistabilnem potencialu. (a) Shema potenciala V (x) = (1/4)bx4 −(1/2)ax2. Minimuma sta pri ±xm, kjer je xm =

√a/b. Locena sta s pregrado visine ∆V =

a2/(4b). (b) Ciklicna sprememba potenciala. Ustrezna kolicina suma bo razveselila ’zalosten’obraz z omogocanjem sinhroniziranega skakanja v globalno stabilno stanje. Povzeto po [5]

2.2 Model dveh stanj

Za razumevanje teoreticnega ozadja SR si bomo ogledali malo bolj zapleten model SR- model dveh stanj. V modelu dveh stanj obravnavamo simetricni nemoteni sistem, kipreklaplja med dvema diskretnima stanjema ±xm s pogostostjo W±. Definirajmo verjet-nost n±(t), da je sistem v stanju + oz. -. V prisotnosti periodicnega vhodnega signalaA(t) = A0 cos(Ωt), ki izmenicno nagiba stanji, sta verjetnosti za prehod iz enega v drugostanje W∓(t) periodicno odvisni od casa. Ustrezen sistem enacb za evolucijo verjetnostise glasi

n±(t) = −W∓(t)n± + W±(t)n∓ (2.5)

ali, ce upostevamo normalizacijo n+ + n− = 1,

n±(t) = −[W±(t) + W∓(t)]n± + W±(t). (2.6)

2.2 Model dveh stanj 10

Slika 2.2: Primer vhodno/izhodne sinhronizacije v simetricno bistabilnem sistemu. Levo:variacija intenzitete suma D pri konstanti vrednosti Ω. Vhodni signal je oznacen s pikcastocrto, izhodni signal je neprekinjena crta. D narasca od spodaj navzgor. Desno: variacija Ω prikonstanti intenziteti suma D. Ω narasca od zgoraj navzdol. [5]

Resitev enacb za evolucijo verjetnosti (2.5) je dana z

n±(t) = g(t)[n±(t0) +

∫ t

t0W±(τ)g−1(τ)dτ

], (2.7)

g(t) = exp(−∫ t

t0[W+(τ) + W−(τ)]dτ

), (2.8)

z nedolocenim zacetnim stanjem n±(t0). Za verjetnostno gostoto prehodov W∓(t) staMcNamara in Wiesenfeld [9] predlagala uporabo periodicno modulirane pogostosti pobegaArrheniusovega tipa

W∓(t) = rKexp[∓ A0xm

Dcos(Ωt)

]. (2.9)

Pri tem mora biti frekvenca vzbujanja Ω v primerjavi z relaksacijskim casom sistema takomajhna, da lahko privzamemo, da je sistem zmeraj v stacionarnem stanju. Mislimo silahko, da se verjetnostna porazdelitev ’adiabatno’ prilagaja spreminjanju potenciala. Ceprivzamemo, da je amplituda modulacije majhna, A0xm D, lahko (2.9) razvijemo popotencah A0xm/D,

W∓(t) = rK

[1∓ A0xm

Dcos(Ωt) +

1

2

(A0xm

D

)2

cos2(Ωt)∓ ...]

W+(t) + W−(t) = 2rK

[1 +

1

2

(A0xm

D

)2

cos2(Ωt)− ...]. (2.10)

2.3 Lastnosti modela dveh stanj 11

Integrale v enacbi 2.8 lahko izracunamo analiticno do prvega reda v A0xm/D.

n+(t|−, t0) = 1− n−(t|−, t0) =1

2exp[−2rK(t− t0)]× [1− κ(t0)]− 1 + κ(t), (2.11)

kjer je

κ(t) = 2rK(A0xm/D) cos(Ωt− φ)√

4r2K − Ω2 (2.12)

in φ = arctan[Ω/(2rK)]. Kolicina n+(t|−, t0) je pogojna verjetnost, da je x(t) ob casu t vstanju +, ce je bil na zacetku sistem v stanju -.

2.3 Lastnosti modela dveh stanj

2.3.1 Casovno odvisen odziv

Iz enacbe 2.11 lahko izracunamo katerokoli statisticno kolicino v prvem redu. Za karak-terizacijo SR je najbolj primerno spremljanje casovno odvisnega odziv < x(t)|x0, t0 > naperiodicno vsiljevanje. Iz definicije

< x(t)|x0, t0 > =∫

xP (x, t|x0, t0)dx (2.13)

P (x, t|x0, t0) ≡ n+(t)δ(x− xm) + n−(t)δ(x + xm) (2.14)

v staticni limiti t0 → −∞ neposredno sledi

< x(t) >as= x(D) cos[Ωt− φ(D)], (2.15)

kjer je

x(D) =A0x

2m

D

2rK√4r2

K + Ω2(2.16)

in fazni zamik

φ(D) = arctan(

Ω

2rK

). (2.17)

Amplituda x v odvisnosti od nivoja suma D pri konstantni frekvenci vsiljevanja Ω imaresonancno obliko. Ce je nivo suma v sistemu prenizek, so preklopi med stanji prevecredki, da bi se poznal vpliv modulacije. S povecevanjem suma se povecuje Kramersovapogostost preklopov rK zaradi suma in pri nekem nivoju suma se rK ujame s frekvencomodulacije Ω/π - amplituda odziva je tu najvecja. Ko nivo suma se dodatno povecamo,se v eni pol periodi modulacije zgodi vec preklopov med stanjema, zato se sinhronizacijazgubi.

V nasem sistemu nivoja suma D ni moc spreminjati, saj je dolocen s sobno temperaturo,zato ni mogoce izmeriti resonancne oblike x(D). SR zato karakteriziramo na druge nacinein sicer s spektrom fluktuacij delca in porazdelitvijo casov pobega.


2.3.2 Avtokorelacijska funkcija

Iz avtokorelacijske funkcije bomo kasneje z uporabo Wiener-Kinchine teorema izracunalispektralno gostoto moci. Splosna definicija avtokorelacijske funkcije

< x(t + τ)x(t)|x0, t0 >=∫ ∫

xyP (x, t + τ |y, t)P (y, t|x0, t0)dxdy (2.18)

se v stacionarni limiti t0 → −∞ zelo ponostavi,

limt0→−∞

< x(t + τ)x(t)|x0, t0 >≡< x(t + τ)x(t) >as=

= x2m exp(−2rK |τ |)[1− κ(t)2] + x2

mκ(t + τ)κ(t). (2.19)

V enacbi 2.19 lahko zlahka locimo eksponentno pojemajoco vejo, ki nastane zaradi na-kljucnosti procesa in periodicno oscilirajoci rep, posledico periodicnega vhodnega signala.Tudi v stacionarni limiti t0 → −∞, je izhodni signal avtokorelacijske funkcije odvisen takood casa t kot tudi t + τ . V realnih eksperimentih so povprecja, ki nastopajo v definicijiavtokorelacijske funkcije racunana cez veliko vzorcenj signala x(t), prozenega mnogokratv eni periodi vsiljevanja τΩ. Tako so pripadajoce faze vhodenga signala Θ = Ωt + ϕenakomerno porazdeljene po intervalu med 0 in 2π. To ustreza povprecenju 〈x(t+τ)x(t)〉as

po t enakomerno po celotni periodi vsiljevanja.

〈〈x(t + τ)x(t)〉〉 =

= x2m exp(−2rK |τ |)

[1− 1

2

(A0xm

D

)24r2

K

4r2K+Ω2

]+ x2

m

2

(A0xm

D

)24r2

K

4r2K+Ω2 cos(Ωτ), (2.20)

kjer zunanji oklepaji 〈...〉 pomenijo 1/τΩ

∫ τΩ0 [...]dt.

2.3.3 Spektralna gostota moci

Spektralna gostota moci je definirana kot Fourierova transformacije fazno povpreceneavtokorelacijske funkcije (enacba 2.20):

S(ω) =∫ +∞

−∞e−iωτ 〈〈x(t + τ)x(t)〉〉dτ, (2.21)

kjer notranji oklepaji pomenijo povprecenje po vseh moznih realizacijah suma, zunanjioklepaji pa povprecenje po vseh zacetnih fazah ϕ.

S(ω) =[1− 1

2

(A0xm

D

)2 4r2K

4r2K + Ω2

]4rKx2

m

4r2K + ω2

+

π

2

(A0xm

D

)2 4r2Kx2

m

4r2K + Ω2

[δ(ω − Ω) + δ(ω + Ω)] (2.22)

V zgornjem izrazu prepoznamo dva clena. Prvi predstavlja spektralno gostoto brez peri-odicne motnje, ki predstavlja cisto stohasticno dinamiko dvojnega potenciala, drugi clenpa predstavlja delta funkcijo pri frekvenci vzbujanja Ω. Natancen racun pokaze, da ne


Slika 2.3: Karakterizacija SR. Spektralna gostota moci v odvisnosti of frekvence v primerubistabilnega potenciala. Delta-vrhovi se pojavijo pri (2n + 1)νΩ (n = 0, 1, 2). Vzeto iz [5].

dobimo samo ene spektralne konice, temvec celo druzino. Njihove lege so pri veckratnikihosnovne frekvence Ω. Simetrija potenciala doloca, kateri harmoniki so prisotni.

Na sliki 2.3 je prikazan tipicen simulirani spekter S(ν) (ω = 2πν) za bistabilni sistem.Kvalitativno lahko S(ω) opisemo kot superpozicijo spektralne gostote moci ozadja instrukture δ-vrhov, lociranih na ω = (2n + 1)Ω z n = 0,±1,±2... Rod samo lihih visjihharmonikov vhodne frekvence je znacilen znak periodicno vsiljevanih simetricnih nelin-earnih sistemov.

Izraziti delta vrhovi, ki se pojavijo v spektralni gostoti moci, so posledica periodicne mod-ulacije. Zaradi nakopicene moci v vrhovih se nivo sumnega ozadja spektra pri modulacijizniza, tako da sibka motnja izboljsa razmerje signal-sum.

2.3.4 Porazdelitev casov pobega

Kot alternativo opisu s spektralno gostoto lahko uporabimo opis s porazdelitvijo casovpobega, tj. casom zadrzevanja sistema v enem stanju preden ’pobegne’ v drugo stanje.V odsotnosti periodicne modulacije ima porazdelitev casov pobega eksponentno padajocoobliko N(t) = (1/τK) exp(−t/τK), saj so posamezni preklopi sistema med sabo neod-visni dogodki. Z vkljucenim periodicnim vzbujanjem dobimo v porazdelitvi vrsto vrhov,lociranih na lihih veckratnikih polovicne periode modulacije τΩ = 2π/Ω, tj. pri casihtn = (n− 1

2)τΩ z n = 1, 2, ... (slika 2.4).

Vrhove lahko pojasnimo na preprost nacin: najugodejsi cas, da sistem preklopi med obemastabilnima stanjema, je pri najmanjsi potencialni pregradi (spreminjanje potenciala jeilustrirano na sliki 2.2). Ce se ob tem casu zgodi preklop sistema iz stabilnega stanja 1v stanje 2 (z manjso potencialno energijo), je potrebno pocakati pol periode modulacijeτΩ/2, da se potencialna energija stanj ravno zamenja. Po preteku pol periode ima namrec


Slika 2.4: Porazdelitev casov pobega N(t) za simetricni bistabilni sistem. Levo: variacijaintenzitete suma D (narasca od spodaj navzgor) pri konstanti vrednosti Ω; vlozek: jakost P1

prvega vrha N(t) v odvisnosti od D (v enotah ∆V ). Desno: variacija Ω (narasca od spodajnavzgor) pri konstanti intenziteti suma D; vlozek: P1 v odvisnosti od νΩ (Ω je v enotah rK).Vzeto iz [5].

stanje 2, v katerem se sistem nahaja, najvecjo potencialno energijo, stanje 1 pa najmanjso,torej je spet ’ugodna’ priloznost za preklop. Tako je τΩ/2 najpogostejsi cas pobega.

Ce sistem ’zamudi dobro priloznost’ za preklop, mora pocakati naslednjo polno periodomodulacije. Takrat ima njegovo trenutno stanje spet najvecjo potencialno energijo, karpomeni veliko verjetnost za preklop. Ce se tudi v tej periodi ne zgodi preklop, sistem spetcaka eno periodo in tako naprej do preklopa sistema. V porazdelitvi casov pobega je takodrugi vrh pri 3/2τΩ, tretji pri 5/2τΩ, n-ti pri (2n − 1)/2τΩ ... Visina vrhov se zmanjsujeeksponentno z redom n, saj s casom eksponento pada verjetnost, da je sistem se vedno vistem stanju.

Poglavje 3

Opis eksperimenta

3.1 Principi delovanja opticne pincete

Na naboje in tokove v EM polju deluje sila

~Ftot =∫

ρ ~EdV +∫

~j × ~BdV + ε0∂

∂t

∫~E × ~BdV. (3.1)

Ce v snovi ni nabojev oziroma tokov, deluje sila, ki je posledica spreminjanja EM polja.Imenujemo jo radiacijska oz. sipalna sila in kaze v smeri razsirjanja valovanja

~Fs = ε0∂

∂t

∫~E × ~BdV

(3.2)

~Fs =∂

∂t~GEMP , (3.3)

kjer je ~GEMP gostota gibalne kolicine elektromagnetnega polja. Za zarek z mocjo P jetrenutna sipalna sila

~Fs = ε0∂

∂t

∫E

E

c~kdV =

~k

c

∂

∂tWEMP =

P

cc. (3.4)

Zanima nas povprecna sipalna sila v snovi z lomnim kolicnikom n. Povprecenje po casuprinese dodaten faktor 1/2, zato je povprecna sipalna sila

< ~Fs >=nP

2c0

c. (3.5)

Ce se v gradientu EM polja nahaja dielektricni delec, se poleg sipalne pojavi kot posledicapolarizacije snovi zaradi zunanjega elektricnega polja se gradientna sila. Polarizacija ~P jevsota dipolnih momentov molekul in atomov ~pi, ki sestavljajo snov

~P = ε0(ε− 1) ~E =N∑

i=1

~pi = N < ~p > . (3.6)

3.1 Principi delovanja opticne pincete 16

V Rayleighovem rezimu1 (valovna dolzina EM polja je mnogo vecja od velikosti delca),lahko delec obravnavamo kot en sam dipol, ki je v fazi z vpadnim valovanjem. Dipolnimoment delca je tako ~p = α~E, kjer je α polarizabilnost delca. Ta se v primeru krogliceizraza [12] kot

α = 4πε0a3 ε− 1

ε + 2, (3.7)

kjer je a polmer kroglice, ε pa dielektricna konstanta snovi. Energija dipola v EM poljuje W = −~p · ~E, sila na delec pa je enaka gradientu energije. Ce je frekvenca EM valovanjadovolj dalec pod frekvenco resonance, je polarizacija v fazi z elektricnim poljem in zatrenutno gradiento silo velja

~Fg = −~∇W = ~∇(~p · ~E) =1

2α~∇E2. (3.8)

Povprecenje po casu prinese dodaten faktor 1/2, tako da je povprecna gradientna sila

< ~Fg >=1

4α~∇E2. (3.9)

Sila EM polja na dielektricen delec je torej sestavljena iz dveh komponent - sipalne, kikaze v smeri razsirjanja valovanja, in gradientne, ki kaze v smeri gradienta intenzitete EMpolja. Obe komponenti sile dobimo tudi v limiti geometrijske optike.

Slika 3.1: Vektorska vsota sil Fa in Fb je pri vzdolznem (A,B) in precnem odmiku (C)gorisca glede na sredisce kroglice vedno usmerjena nazaj proti goriscu. Povzeto po [4].

V geometrijski optiki lahko celotno silo na dielektricno kroglico dolocimo s pomocjo dvehkarakteristicnih konvergentnih zarkov a in b, ki vpadata na povrsino kroglice. V tempriblizku sta sili Fa in Fb posledici loma in kazeta v smeri spremembe gibalne kolicine

1Valovna dolzina laserske svetlobe v nasem sistemu je λ = 1064nm, velikost delca reda d = 1µm, takoda je delec v resnici na meji med Rayleighovim in Mievim rezimom. Princip delovanja pincete zaradipreprostosti pojasnimo v Rayleighovem rezimu, dejansko silo pasti pa izmerimo pri kalibraciji.

3.1 Principi delovanja opticne pincete 17

zarka. Past je stabilna pri poljubni postavitvi gorisca glede na sredisce kroglice, saj jevektorska vsota sil vedno usmerjena nazaj proti goriscu.

Silo na kroglico povzroca sprememba gibalne kolicine fotonov v vpadnem zarku. Gibalnakolicina fotona s frekvenco ω je g = hω/c. Celotna gibalna kolicina zarka je vsota gibalnihkolicin posameznih fotonov G = Nhω/c, pri cemer je N stevilo fotonov. Sila je posledicaspremembe gibalne kolicine na casovno enoto

F = ∆G/dt

F = Qhω

c

dN

dt= Q

P

c. (3.10)

Tu je velikost sile izrazena z mocjo laserskega zarka P = hωdN/dt. Faktor Q je odvisenod smeri zarka po odboju oz. lomu. Najvecja mozna sila ustreza vrednosti Q = 2v primeru, ko se zarek pravokotno odbije od zrcala. Pri dolocanju sile je pomembnorazmerje n = n2/n1 med lomnim kolicnikom kroglice n2 in obdajajocega medija n1, saj jesila sorazmerna z n

F = QnP

c0

, (3.11)

hkrati pa sila deluje v smeri proti srediscu pasti samo, ce je n > 1. Del vpadnega zarkase na kroglici odbije in povzroca sipalno silo, del pa se ga lomi, kar povzroci gradientnosilo. Celokupi sili se izracunata z integracijo sil posameznih zarkov po celotnem obmocjuvpadnih kotov.

Slika 3.2: Vektorji sipalne sile Qs (A), gradientne sile Qg (B) in celotne sile Qt (C) naravnini Y Z za n = 1.2 kot funkcije lege gorisca zarka, ki vpada iz smeri z. Izhodiscekoordinatnega sistema 0 je v srediscu kroglice. Vsak vektor kaze smer in velikost sile, kideluje na kroglico, ce je gorisce zarka v zacetni tocki vektorja. Crta EE ′ na (C) predstavljatocke, v katerih ima celotna sila Qt samo horizontalno komponento. Povzeto po [4].

3.2 Eksperimentalna postavitev 18

Na sliki 3.2 so prikazani velikost in smer gradiente sile Qg, sipalne sile Qs in celotnesile Qt kot funkcije lege gorisca na levi polovici ravnine Y Z (zarek vpada v smeri osiz). Gradientna sila (3.2A) je povsem radialna v smereh Y in Z (odstopanje do 2%).Sipalna sila (3.2B) je po velikosti precej manjsa in je povsem aksialna v smereh Y in Z,ter prevladujoce aksialna drugod, razen v najbolj oddaljenih tockah glede na osi Y in Z.Zaradi prevlade gradientne nad sipalno silo je narava celotne sile radialna (3.2C).

Krivulja EE ′ na sliki 3.2C predstavlja mnozico tock za katere je Z komponenta sile enaka0 oz. je celotna sila orientirana horizontalno. Ce kroglica ne cuti nobene druge zunanjesile, je gorisce pincete v ravnovesni tocki E. Kadar na kroglico deluje precna zunanjasila v smeri Y , se bo ravnovesna tocka pomikala po krivulji EE ′, dokler ne bo prislo doravnovesja med zunanjo silo in silo svetlobnega curka. Z narascanjem zunanje sile pridegorisce nazadnje do tocke E ′ z najvecjo horizontalno silo, od tu naprej pa kroglica pobegneiz pasti.

3.2 Eksperimentalna postavitev

Meritev sem izvedel na laserski pinceti zgrajeni okrog kontinuiranega diodno crpanegaNd-YAG laserja z valovno dolzino λ = 1064nm in invertnega mikroskopa. Shema eksperi-mentalne postavitve je prikazana na sliki 3.3. Lega laserskega zarka na vzorcu je kontroli-rana z akusto-opticnim deflektorjem (AOD), krmiljenim z namensko razvito elektroniko,ki omogoca premikanje in casovno multipleksiranje laserskega zarka za generiranje vecihpasti. Sistem nadzira osebni racunalnik, ki hkrati tudi zajema sliko s CCD kamere in joanalizira. V nadaljevanju bodo opisane posamezne komponente merilnega sistema.

3.2.1 Laser

Izvor laserskega zarka je laserski sistem Compass 1064-2500 proizvajalca Coherent. To jezvezno delujoc (CW) diodno crpan trdninski Nd:YAG laser z valovno dolzino λ = 1064nmin najvecjo mocjo 2500 mW. Laser je linearno polariziran. Zarek je osnovni Gaussov snop(TEM00) s premerom grla 2w0 = 0.4mm in divergenco 3.5 mrad.

Intenziteto precnega profila lahko zapisemo kot

I(r, z) =2P

πw(z)exp

(− 2r2

w(z)

), (3.12)

kjer je w(z) karakteristicni polmer, pri katerem intenziteta pade za faktor 1/e2. Polmerzarka z valovno dolzino λ se z razdaljo z povecuje po enacbi

w(z) = w0

[1 +

(λz

πw20

)2]1/2

. (3.13)


Slika 3.3: Eksperimentalna postavitev. Laserski zarek se razsiri s teleskopom in nato spomocjo zrcala usmeri v AOD, ki zarku spreminja smer. Tocka, okoli katere se zareknavidezno vrti, se preko zrcala in afokalnega sistema lec L1 in L2 z goriscnicama 250mmpreslika v sistem lec L3 in L4 z goriscnima razdaljama 100mm in 164mm, ki zarek dodatnorazsiri na velikost vstopne zenice mikroskopskega objektiva. Mikroskop hkrati sluzi tudiza opazovanje vzorca - slika preko dikroicnega zrcala in IR filtra potuje v CCD kamero.

Slika 3.4: Osnovni Gaussov snop (TEM00). Levo: intenzitetni profil, desno: razsirjanjepremera zarka z razdaljo.


3.2.2 Vodenje zarka

Lego zarka na vzorcu spreminjamo s pomocjo akusto-opticnega deflektorjem (AOD), kizarku spreminja smer razsirjanja. Odklon zarka s pomocjo sestava lec prevedemo v razlicnelege grla zarka v ravnini vzorca. Odklon na AOD je dolocen s frekvenco akusticnega vala,ki jo lahko nastavljamo z relativno natancnostjo 10−9. To nam omogoca, da lego pastispreminjamo v subnanometrskih korakih.

Osnove delovanja AOD

Ce se po prozorni snovi siri akusticno valovanje, se zaradi akustoopticnega pojava, kimodulira lomni kolicnik, v njej ustvari mrezica, ki uklanja vpadni laserski zarek. Obstajatadva rezima: Raman-Nathovo sipanje, pri katerem zarek vpada pravokotno na smer sirjenjaakusticnga valovanja in nastane mnogo redov uklonjenih zarkov, in Braggovo sipanje, kjerdobimo samo uklon prvega reda, zato je kot nalasc za usmerjanje laserskega zarka.

Slika 3.5: Braggovo sipanje svetlobnega zarka na akusticnem valovanju. Vzeto iz [11]

Pri Braggovem nacinu delovanja zarek vstopa v akusticno polje pod Braggovim kotom

ΘB = λ/2Λ, (3.14)

kjer je λ valovna dolzina vpadne svetlobe v mediju, Λ = v/f pa valovna dolzina akusticnegavalovanja. Najvecji izkoristek uklanjanja dosezemo, ce vpadni zarek in prvi red uklonaglede na valovne fronte akusticnega valovanja tvorita simetricen kot. Pri tem se lahko v


prvi red ukloni do 90% vpadne svetlobe. Sprememba ∆f frekvence akusticnega valovanjadodatno odkloni zarek za kot

∆θ = λ∆f/v. (3.15)

Zarek lahko z AOD tudi amplitudno moduliramo, saj je delez uklonjene svetlobe odvisentudi od moci akusticnega valovanja. Delez svetlobe, ki se ukloni v prvi red (uklonskiizkoristek), se izraza kot

η = I1/I = sin2(2.22√

1/λ2(L/H)M2Pa), (3.16)

kjer je Pa akusticna moc, M2 koeficient akusto-opticne interakcije snovi in L/H razmerjemed dolzino in visino akusticnega polja. Ker je uklonski izkoristek sorazmeren s kvadratomsinusa akusticne moci, moramo paziti, da ne moduliramo s preveliko mocjo, saj lahkoizkoristek pade.

Slika 3.6: Umeritvena krivulja akusto-opticnega deflektorja. Na osi x je razmerje s am-plitude akusticnega valovanja proti maksimalni amplitudi, na osi y pa intenziteta pre-puscenega laserskega zarka. Tocke predstavljajo izmerjene vrednosti, s crto pa je narisanakrivulja y = sin2(1.685x) po enacbi 3.16.


Karakteristike AOD

V sistemu je za krmiljenje zarka uporabljen dvoosni akusto-opticni deflektor DTD-274HA6podjetja IntraAction. Sestavljata ga dva ortogonalno namescena deflektorja, ki odklan-jata laserski zarek v smereh x in y. S spreminjanjem amplitude akusticnega valovanjaomogocata tudi modulacijo njegove intenzitete.

Aktivna snov v deflektorju je telurijev dioksid z akusticno hitrostjo v = 0.632mm/µs.Na aktivni snovi je dielektricen antirefleksijski nanos za valovno dolzino 1.06µm. Vi-sokofrekvencno akusticno valovanje ustvarjajo piezoelektricni elementi iz litijevega nio-bata.

Centralna akusticna frekvenca v nasem sistemu je 25MHz, spreminjamo pa jo v razponuod 17 do 33MHz. Centralni odklon zarka je

θ = 2θB =1064nm · 25MHz

0.632mm/µs= 42mrad, (3.17)

sprememba frekvence ∆f = ±8MHz pa ga dodatno odkloni za ∆θ = ±13 miliradianov.To omogoca premikanje zarka v ravnini vzorca na polju velikosti 35x35µm.

Krmilnik AOD

Signal za AOD generira krmilna elektronika, sestavljena iz digitalnega sintetizatorja frek-vence in ojacevalca RF signala. Vse nadzira mikrokontroler, ki je povezan z osebnimracunalnikom. Krmilnik omogca hkratno generacijo do osmih pasti z individualno lego injakostjo.

Jakost pasti kontroliramo z nastavitvijo amplitude RF valovanja. Intenziteta laserskegazarka je sorazmerna s kvadratom sinusa amplitude akusticnega valovanja (enacba 3.16),zato je AOD potrebno umeriti. Amplitudo spreminjamo od nic do maksimuma in pritem s fotodiodo merimo intenziteto prepuscenega zarka. Rezultati meritve so na sliki 3.6.Umeritev AOD je potrebno upostevati pri modulaciji globine potenciala.

Krmilniku je moc programsko nastaviti frekvenco multipleksiranja pasti od 11-50000Hz.Vecja kot je frekvenca, bolj staticen potencial cuti delec, zato je dobro imeti cim vecjofrekvenco multipleksiranja. Hkrati pa ta ne sme biti prevelika - med vsako menjavo pastimora biti zarek ugasnjen, dokler akusticno valovanje popolnoma ne izgine iz AOD. Vnasprotnem primeru bi se zarek hkrati uklanjal na ostanku starega valovanja in novega zdrugo frekvenco, kar bi povzrocilo generacijo pasti na nezazelenih legah.

Mejna frekvenca odziva mikronskih delcev v vodi je fc = k2πγ

, kjer je k koeficient pasti, γ pakoeficient upora. V primeru mikronskih delcev v vodi, ujetih v past s koeficientom nekajpN/µm znasa fc ≈ 300Hz, zato spremembe potenciala z visjo frekvenco delec obcuti kotstaticne. V eksperimentu smo izbrali frekvenco multipleksiranja pasti fAOD = 5000Hz,ki dobro zadovoljuje obe zahtevi.


3.2.3 Optika

Iz laserja prihaja zarek s premerom grla 2w0 = 0.4mm. Zarek najprej s teleskopomrazsirimo za faktor 5 na 2w0 = 2mm in ga na ta nacin prilagodimo na vstopno odprtinoAOD. Zarek gre preko zrcala v AOD, ki odklanja v smeri y, nato pa skozi drugi AOD, kiskrbi za odklon v smeri x in amplitudno modulacijo. Med obema deflektorjema se nahajatocka, okoli katere se zarek navidezno vrti. To tocko preko ogledala sistem afokalnopostavljenih lec L1 in L2 z goriscnicama f = 250mm preslika v skupno gorisce lec L2 inL3. Afokalni sistem skupaj z zaslonko pred leco L2 uporabimo za izbor pravega zarkaiz AOD. Zarek se nato pri prehodu skozi L3 z f3 = 100mm in mikroskopsko leco (angl.tube lens) L4 z f4 = 164mm razsiri za faktor 1.6. Na 2.7m dolgi poti od teleskopa doobjektiva se zarek zaradi divergence dodatno razsiri, tako da zapolni vstopno zenico vodnoimerzijskega objektiva Zeiss IR Achroplan 63/0.9W s premerom 4.8mm.

V celotni poti laserskega zarka do vzorca se izgubi okoli 90% moci. Vec kot pol moci seizgubi pri prehodu skozi AOD, ostale izgube pa so posledica izgub na lecah, saj so njihoviantirefleksni nanosi optimizirani za vidni del spektra. Ce je vklopljenih vec pasti hkrati(casovno multipleksiranje zarka), se moc porazdeli med vec pasti. V tekstu so povsodnavedene moci zarka v eni pasti. Da na eni pasti dosezemo zeleno moc, je torej potrebnomoc laserja nastaviti na desetkratnik te moci, pomnozen s stevilom aktivnih pasti.

Poglavje 4

Priprava vzorcev in metode merjenja

4.1 Priprava vzorcev

Pred izvedbo meritve je potrebno pripraviti celice s kroglicami. Na objektno steklo se zUV lepilom prilepi dva vzporedna distancnika primerne debeline, nanju pa krovno steklo(najboljse rezultate sem dobil pri celicah debeline d = 150µm). Pri tem se lepilo ne nanesena stranska robova krovnega stekla, kjer ni distancnikov. Krovno steklo in distancnika jena objektno steklo potrebno pritisniti, da se iz spojev iztisne odvecno lepilo in sta steklicim bolj vzporedni. Nato celico priblizno pet minut obsevamo z UV svetlobo, da se lepilostrdi. Med stekelci kanemo koloidno raztopino (destilirano vodo z ustrezno koncentracijodielektricnih kroglic), nato pa dobro zalepimo se preostali dve rezi med stekelcema.

Slika 4.1: Prerez vzorca. Krovno steklo je z distancniki loceno od objektnega stekla, vmespa je koloidna raztopina. Laserski zarek vpada iz spodnje strani skozi krovno steklo,osvetljevanje pa je od zgoraj skozi objektno steklo.

Zelo pomembno je, da izberemo pravo koncentracijo kroglic v destilirani vodi. Tu hitrozaidemo v eno izmed obeh skrajnosti - ce je vzorec pregost, pinceta med poskusom polegujete hitro zagrabi se kaksno nezazeleno kroglico, ce pa je koncentracija prenizka, je prostokroglico zelo tezko najti. Za optimalno koncentracijo se je izkazala tista, pri kateri se medpregledom vzorca na obmocju med zgornjim in spodnjim stekelcem v vidnem obmocjupojavita ena do dve kroglici. Pri taksni koncentraciji kroglico sorazmerno lahko najdemo,hkrati pa je koncentracija dovolj redka, da se med izvajanjem meritve zelo redko v pastujame se ena kroglica.

4.2 Izbira koloidnih delcev 25

Optimalno koncentracijo kroglic lahko ocenimo na sledec nacin: povrsina vidnega obmocjakamere je priblizno S ≈ 0.01mm2, povrsina celice pa Sc = 10mm · 10mm = 100mm2, izcesar izracunamo, da je optimalno stevilo kroglic v vzorcu 10000. Prostornina celice jeVc ≈ 150µm · Sc ≈ 15µl, prostornina ene kroglice pa Vs = 4/3πr3

s ≈ 0.5µm3, tako daje zazelena volumska koncentracija kroglic v vodi 1 : 3 · 106. V nasem primeru zacetnekoncentracije kroglic v steklenicki nismo poznali, zato smo najprej naredili testen vzorec,ga pogledali pod mikroskopom in se na podlagi tega odlocili za faktor redcenja.

4.2 Izbira koloidnih delcev

Z opticno pinceto lahko premikamo delce, ki imajo lomni kolicnik vecji od obdajajocegamedija. Ko pinceta delec dobro drzi na celotnem obmocju med zgornjim in spodnjimstekelcem, pravimo, da delec drzi tri dimenzionalno (3D). Izkaze pa se, da je sipalnasila pri nekaterih kroglicah vecja od gradientne, zato lahko kroglico dobro zagrabimo inpremikamo samo v ravnini tik pod povrsino vzorca, ne moremo pa je 3D drzati. Teoreticnobi lahko opazovali tudi preskakovanje kroglice, ki se dotika povrsine (upostevati bi bilotreba trenje), toda v poskusu se pokaze, da povrsine celice kljub ciscenju z alkoholom nisodovolj ciste, da bi dobili ponovljive rezultate. Kroglice se na povrsino rade lepijo, kar jeverjetno posledica polimerov, ki ostanejo na steklu. Zaradi motecih vplivov umazanije(nehomogena difuzija) je poskus potrebno izvajati dalec od zgornje in spodnje povrsinecelice.

Tudi pri nekaterih vrstah kroglic, ki jih pinceta dobro 3D drzi v eni pasti, nastane tezavapri preskoku iz ene v drugo past. Ko termicni sum kroglico pozene proti drugi pasti, segradientna sila zmanjsa bolj kot sipalna sila, zato kroglico odnese iz ravnine pasti protipovrsju vzorca. V spodnji tabeli so zbrani podatki o stirih vrstah kroglic, ki sem jihpreskusil.

material n premer opombepolistiren 1.59 1.1µm nezanesljiv prijem v 3Dlateks 1.59 1.1µm pri preskakovanju v 3D jo odneseSiO2 1.37 0.2µm zaradi majhnosti se jih zelo tezko najdeSiO2 1.37 0.97µm relativno dobro vidne, preskakujejo v 3D

Od razpolozljivih so se najbolje izkazale kroglice iz kremenovega stekla (SiO2) premera2r = 0.97µm. Silicijev dioksid ima lomni kolicnik ns = 1.37 in gostoto ρs = 1960kg/m3.Prostornina ene kroglice je V = 4/3πr3 = 3.8 ·10−18m3, masa pa m = ρsV = 7.5 ·10−15kg.

4.3 Dolocanje lege delcev

Ob mojem zacetku dela na opticni pinceti se ni bil narejen sistem za dolocanje polozajevopazovanih delcev. Najpogosteje uporabljena sistema za to sta analiza s kamero posneteslike, ki se uporablja za pocasne eksperimente (omejuje nas frekvenca vzorcenja kamere)

4.4 Karakterizacija pasti 26

in detekcija s kvadrantno fotodiodo, ki omogoca visoko casovno locljivost. Za nas poskusje hitrost 20 slik na sekundo povsem zadostovala, zato sem razvil programsko opremo zaanalizo slike in sledenje delcu v realnem casu s pomocjo kamere.

Z zajemalcem slike (angl. frame grabber) iz CCD kamere racunalnik dobi dvajset 8-bitnihslik dimenzij 768x576 pik (angl. pixel) na sekundo. Kamera snema obmocje 119x89.6µm,tako da ena pika na sliki ustreza razdalji 206nm. Obmocje delovanja laserske pincete je35x35µm, kar ustreza 170x170 pikam, a se zaradi prikladnosti zajema obmocje 200x200pik. Na sliki so kroglice in madezi temni, ozadje pa je svetlo.

Izkazalo se je, da za dolocanje lege zadostuje relativno preprost algoritem. Najprej seza dano osvetlitev vzorca izracuna povprecno vrednost pike Π = 1

40000

∑200i=1

∑200j=1 Π(i, j)

(osvetlitev nastavimo tako, da je Π ≈ 160, saj je pri tej vrednosti kontrast med kroglicoin ozadjem najvecji). Nato sliko diskriminiramo - ce je vrednost pike manj kot za 5zmanjsana povprecna vrednost pripada ta tocka krogli, sicer je ozadje.

Ko imamo vse kroglici pripadajoce pike, izracunamo njihovo tezisce. Tezisce racunamoutezeno - temnejsa pika prispeva k vsoti vec kot svetla pika, ki se tipicno pojavi na robuslike kroglice. Tako je formula za dolocanje polozaja kroglice

xs =1∑N

k=1(Π− 5− Πk)

N∑k=1

(Π− 5− Πk)xk

ys =1∑N

k=1(Π− 5− Πk)

N∑k=1

(Π− 5− Πk)yk (4.1)

pri cemer k tece po vseh pikah, ki pripadajo slikam krogel, Πk je vrednost pike, xk in yk

pa sta koordinati x in y pike k.

Na zacetku meritve uporabnik oznaci kroglico, ki ji zeli slediti. Program nato analiziraobmocje 20x20 pik okoli trenutnega polozaja. Na ta nacin se zmanjsa racunska zahtevnostpostopka, hkrati pa madezi in kroglice, ki se pojavljajo drugje na sliki, ne motijo sledenja.

Natancnost dolocanja lege je odvisna od stevila pik, ki predstavljajo kroglico. Za neutezenoracunanje ene koordinate sredisca absolutna napaka, izrazena v pikah pada kot 1/

√N ,

kjer je N stevilo pik na premeru krogle. V konkretnem primeru je premer sence delca okoli10 pik, tako da bi napaka primitivne diskretne detekcije znasala okoli σD = 206nm/

√10 =

65nm. Ker pa je uporabljen boljsi algoritem, pricakujemo vecjo natancnost. To sem dobiliz meritve polozaja kroglice, ki je bila z lepilom fiksirana v vzorcu (slika 4.2). Izmerjenastandardna deviacija v 30 sekundah je σx = 3.6nm.

4.4 Karakterizacija pasti

V opisu eksperimenta sem pojasnil principe delovanja opticne pincete in podal izpeljavosile na delec v Rayleighovem rezimu. Ker nasa pinceta ne deluje v tem rezimu, je lastnostipasti potrebno izmeriti. Zanimata nas oblika in globina potenciala, ki ga ustvari laserskizarek. V nadaljevanju bo predstavljen postopek karakterizacije pasti, ki jo povzrocalaserski zarek z mocjo P .

4.4 Karakterizacija pasti 27

Slika 4.2: Izmerjena koordinata x prilepljene kroglice v odvisnosti od casa. Standardnadeviacija koordinate x v 30s znasa σx = 3.6nm

4.4.1 Dolocanje oblike in globine potenciala

Ce poznamo casovno zaporedje polozajev v pasti ujetega delca, lahko izracunamo oblikopotenciala. Verjetnostna gostota za nahajanje delca na koordinati x je

ρ(x) = A1 exp

− U(x)

kBT

, (4.2)

pri cemer velja normalizacija∫∞−∞ ρ(x)dx = 1. Ce je znana porazdelitev leg, lahko iz

nje izracunamo obliko potenciala. Z logaritmiranjem enacbe 4.2 dobimo razmerje medpotencialom in termicno energijo kBT

U(x)

kBT= − ln ρ(x)/A1. (4.3)

Enacbo je smisleno obdrzati kar v tej obliki, saj nas obicajno zanima razmerje visinepotenciala proti termicni energiji, ne pa absolutna vrednost potenciala.

Za rotacijsko simetricen potencial lahko iz izmerjenih polozajev xi in yi delca izracu-

namo oddaljenost od stabilne lege ri =√

(xi − x)2 + (yi − y)2. Ko porazdelitev dogod-

kov po oddaljenosti od sredisca normaliziramo, dobimo verjetnostno gostoto ρ(r). Vblizini stabilne tocke lahko potencialno jamo U(r) obravnavamo kot parabolicen poten-cial, U(r) = 1

2kr2, tako da je verjetnostna gostota za nahajanje delca na razdalji r od

minimuma potenciala enaka

4.5 Karakterizacija bistabilnega potenciala 28

ρ(r) =k

kBTr exp

− kr2

2kBT

. (4.4)

Koeficient parabolicnega potenciala k dobimo, ce izmerjeni verjetnostni gostoti prilagodimokrivuljo ρ(r) = Ar exp(−br2) in upostevamo, da je b = k

2kBT.

Koeficient pasti je obratno sorazmeren s standardno deviacijo polozaja delca. Za dolocitevodvisnosti koeficienta od moci laserskega zarka preprosto izmerimo standardno deviacijopolozaja delca pri razlicnih moceh.

4.5 Karakterizacija bistabilnega potenciala

4.5.1 Dolocanje oblike in globine potenciala

Obliko potenciala dveh pasti izracunamo po enakem postopku kot pri izracunu potencialaene pasti. Najprej tocke razdelimo po intervalih, nato pa iz gostote tock v posameznemintervalu z enacbo 4.3 lahko izracunamo potek potenciala v smereh osi x in y.

V blizini sredisc obeh potencialnih jam pricakujemo potencial parabolicne oblike

U(x) =1

2kd(x± d/2)2, (4.5)

za vrh potencialne pregrade pa obliko

U(x) = −1

2kvx

2. (4.6)

Koeficiente dobimo s prilagajanjem zgornjih enacb izmerjenemu potencialu na ustreznoozkih obmocjih okoli dna oz. vrha potenciala. Pricakovan koeficient kd je navzgor omejenz velikostjo koeficienta ene same pasti z enako mocjo.

4.5.2 Teoreticni Kramersov cas

Povprecen cas pobega Brownovega delca (Kramersov cas) v limiti visoke viskoznosti je po[3] enak

τK ≈ τR exp(Q/kBT )

τR =2πγ

mωdωv

, (4.7)

kjer sta a in m polmer in masa delca, ωd je kotna frekvenca potenciala na dnu poten-cialne jame (ωd = 1

md2Udx2 |x=±d/2), ωv je kotna frekvenca na vrhu potencialne pregrade

(ωv = 1m

d2Udx2 |x=0), γ je koeficient upora in Q visina potencialne pregrade. Predfaktor τR

je relaksacijski cas znotraj ene pasti. Kolicina rR = 1/τR je stevilo poskusov delca nasekundo, da bi preko potencialne pregrade presel v drugo past.

4.5 Karakterizacija bistabilnega potenciala 29

V tekocini lahko koeficient upora γ za okrogle delce povezemo z viskoznostjo η

γ ≈ 6πηa, (4.8)

pri cemer je a polmer kroglice. V (4.7) lahko namesto kotne frekvence uporabimo koefi-

cient vzmeti po zvezi ω =√

k/m, tako da je izraz za relaksacijski cas

τR =6π2ηa√

kdkv

. (4.9)

Visino potencialne pregrade Q lahko izrazimo iz enacbe (4.7)

Q

kBT= ln

τK

τR

Q

kBT= ln

τK

√kdkv

6π2ηa. (4.10)

Zgornja enacba povezuje koeficienta potencialnih jam kd in vrha potencialne pregrade kv

z visino pregrade Q in Kramersovim casom τK . Viskoznost tekocine η in polmer kroglicea sta znana podatka. V eksperimentu natancno izmerimo Kramersov cas, iz izracunaneoblike potenciala dobimo visino pregrade in oba koeficienta, in tako preverimo, ali seskladajo z enacbo 4.10.

Poglavje 5

Meritve

5.1 Karakterizacija potenciala opticne pasti

Za natancno karakterizacijo pasti sem pri vsaki laserski moci zabelezil 6000 polozajevdelca. Od osnovnih podatkov sem odstel povprecne vrednosti, tako da so polozaji zanadaljno obdelavo porazdeljeni okoli sredisca (slika 5.1). Za vsako koordinato sem polozajerazdelil po intervalih (slika 5.2).

Slika 5.1: Zabelezeni polozaji delca, ujetega v eni pasti z mocjo P = 8mW .

Porazdelitvi leg po koordinatah x in y sta po pricakovanju precej podobni. Standardnideviaciji leg sta σx = 24nm in σy = 26nm, opazna pa je tudi asimetrija porazdelitve

5.1 Karakterizacija potenciala opticne pasti 31

leg po koordinati y. Razlog za vsa odstopanja je asimetrija profila laserskega zarka, kigenerira past.

Slika 5.2: Histogram x (levo) in y (desno) polozajev delca v eni pasti. Velikost enegaintervala je ∆x = 0.005µm, vseh polozajev je 6030.

Iz porazdelitve po formuli 4.3 izracunamo obliko potenciala v okolici ravnovesne lege (slika5.3). Kljub malim odstopanjem lahko potencial obravnavamo kot osno-simetricen.

Slika 5.3: Potencial opticne pasti z mocjo P = 8mW , ki ga cuti kroglica v smeri osi x(levo) in y (desno). Dnu potencialne jame sta prilagojeni paraboli y = bx2 s koeficientibx = 865/µm2 in by = 740/µm2.

5.2 Bistabilni potencial 32

5.1.1 Dolocanje koeficienta potenciala

Iz polozajev delca izracunamo oddaljenost od sredisca, tocke razdelimo v intervale, nato pahistogramu prilagodimo verjetnostno gostoto (enacba 4.4). Pri pasti z mocjo P = 8mWdobimo koeficient k = 6.6pN/µm.

Slika 5.4: Porazdelitev oddaljenosti delca od sredisca pri moci pasti P = 8mW . S crtoje narisana krivulja ρ(r) = Ar exp(−br2) s parametrom b = 807/µm2. Stevilo vsehzabelezenih polozajev je 6029, velikost enega intervala pa ∆r = 4nm.

Standardne deviacije sem izmeril za celotno obmocje pasti in na ta nacin dobil odvisnostkoeficienta potenciala od laserske moci (slika 5.5). Izracunanim koeficientom k lahkoprilagodimo premico

k = aP , (5.1)

kjer je parameter a = (0.82 ± 0.01) pNmWµm

. To se lepo ujema s teorijo, ki predvideva

linearno odvisnost med silo in mocjo past (enacba 3.11).

5.2 Bistabilni potencial

Za opazovanje SR sta potrebni dve stabilni stanji, zato ustvarimo dve taki pasti, dakroglica lahko preskakuje med njima. Naloga ni preprosta, saj je potrebno poiskati kom-promis med oddaljenostjo in jakostjo pasti. Ce sta pasti premocni, kroglica zelo redko


Slika 5.5: Koeficient potenciala v odvisnosti od moci pasti. S crto je narisana linearnaregresija k = aP , a = 0.82± 0.01 pN

mWµm.

pobegne v drugo past (Kramersov cas je velik), kar je slabo iz eksperimentalnega stalisca,saj poskus traja predolgo in je vecja verjetnost, da se v past ujame se ena kroglica, ki pok-vari meritev. Druga skrajnost sta presibki pasti, pri katerih kroglica sicer rada preskakuje,a se zgodi, da zaradi termicnega suma pobegne iz pasti.

Ce sta pasti postavljeni prevec narazen, kroglica ne more preskociti iz ene v drugo, ce pasta prevec skupaj, se potencialni jami zlijeta in iz polozaja kroglice ni mozno ugotoviti vkateri pasti se trenutno nahaja.

Z velikim stevilom poskusov sem prisel do uporabnih parametrov. Pri laserski moci Pl =200mW sem dve pasti z jakostjo s = 0.40 na osi x postavil d = 0.68µm narazen. Moc navzorcu v vsaki pasti je P = 4mW . Izmerjeni Kramersov cas pri tej oddaljenosti in moci jeτK = 1.8s. Ce se razdaljo med pastema poveca za samo 30nm, se Kramersov cas podvoji,ce pa se pasti premakne bolj skupaj, postane preskakovanje med pastema prehitro.

5.2.1 Oblika in globina potenciala

Iz zabelezenih polozajev delca lahko z enacbo 4.3 rekonstruiramo obliko bistabilnega po-tenciala. Na sliki 5.6 je izmerjeni potencial dveh 4mW -pasti.

Ce privzamemo parabolicno obliko potenciala in mu prilagodimo parabolo

U/kBT = A + b(x− x0)2, (5.2)


Slika 5.6: Prerez bistabilnega potenciala v smeri x (spodaj) in y (zgoraj). Moc vsake pastije P = 4mW . Potencialu v smeri x sta v jamah prilagojeni paraboli y = A + b(x − x0)

2

z bl = 180 ± 8/µm2 (levo) in bd = 187 ± 6/µm2 (desno), na vrhu pa bv = −66 ± 4/µm2.Potencialu v smeri y je prilagojena parabola parametrom by = 282± 6/µm2.

iz parametra b lahko izracunamo koeficient vzmeti k. Ta je skoraj enak za obe pasti - zalevo znasa kl = 1.47pN/µm, za desno kd = 1.53pN/µm. Ce postavimo dno leve pasti priU = 0, je dno desne pasti pri U = 0.20kBT . Vrh potencialne pregrade je pri U = 3.62kBT ,


pripadajoci koeficient pa je kv = −0.54pN/µm.

V smeri y ima past koeficient ky = 2.3pN/µm. Pricakovani koeficient ene pasti z mocjoP = 4mW je po enacbi 5.1 enak kt = 3.3pN/µm. Razlog za manjsi izmerjeni koeficientje v manjsi omejenosti gibanja kroglice v primeru bistabilnega potenciala.

Slika 5.7: Prostorska slika bistabilnega potenciala

5.2.2 Izracun relaksacijskega in Kramersovega casa

Iz izmerjenega poteka bistabilnega potenciala, lahko preverimo enacbo 4.7, ki napovedujeKramersov cas. Najprej izracunajmo relaksacijski cas znotraj ene pasti

τR =12π2ηa√

kdkv

= 0.066s (5.3)

Delec v povprecju 15-krat na sekundo poskusi pobegniti v drugo past. Vsakokratnaverjetnost za pobeg je exp(−Q/kBT ), kar pomeni, da je Kramersov cas mocno odvisen odvisine potencialne pregrade, ki je v nasem primeru razlicno visoka za levo in desno past.Zaradi tega je potrebno loceno izracunati Kramersov cas leve in desne pasti.

τKl = τR exp(Ql/kBT ) = 2.46s

τKd = τR exp(Qd/kBT ) = 2.02s (5.4)

Povprecni izracunani Kramersov cas za obe pasti je τK = 2.24s, kar je za cetrtino vec kotizmerjeni τ izm

K = 1.80s.

5.3 Porazdelitev casov pobega pri nemoduliranem potencialu 36

5.3 Porazdelitev casov pobega pri nemoduliranem po-

tencialu

Kadar ni mogoce spreminjati nivoja suma D v sistemu, je pojav stohasticne resonancenajbolj viden, ce opazujemo porazdelitev casov pobega za razlicne periode modulacije τΩ

potencialnih jam. Cas pobega imenujemo cas, ki ga delec prebije v eni izmed jam predenpobegne v drugo jamo.

Slika 5.8: Razdelitev na obmocja za dolocanje casov pobega. Nad zgornjo crto je delec vdesni pasti, pod spodnjo v levi pasti.

Za pobeg ne moremo preprosto steti prehoda cez simetralo med jamama, ker je deleclahko vezan v prvi jami, nato pa naredi samo kratek skok na pol poti do druge jame inse vrne nazaj. Zato na osnovi podatkov o legi kroglice x(t) dolocimo dve meji xL in xH ,da celotna ravnina razpade na tri podpodrocja. Za pobeg se tako steje prehod iz prvegaobmocja (x < xL) cez ’nevtralno’ obmocje (xL < x < xH) v drugo obmocje (x > xH) aliobratno. Proces diskriminacije je prikazan na sliki 5.8.

Ker opazujemo proces, pri katerem je vsak dogodek nakljucen in neodvisen, pricakujemoeksponentno padajoco porazdelitev casov pobega p(τ) = λ exp(−λτ). Pri njej je povprecjeenako standardni deviaciji λ−1 = τ = σ. Na sliki 5.9 je prikazana porazdelitev 714 casovpobega pri nemoduliranem potencialu. Povprecni cas pobega je τK = 1.80s, standardnadeviacija σ = 1.85s, zato je to res pricakovana porazdelitev in ji lahko prilagodimo krivuljop(τ) = A exp(−λτ) (slika 5.9 spodaj). Za parameter dobimo λ = 0.53± 0.02, tako da jeτ = 1.89± 0.07s.

Pri teh meritvah se je pojavilo obilo tezav, najbolj problematicna je nezeljena asimetrija


Slika 5.9: Zgoraj: porazdelitev casov pobega pri nemoduliranem potencialu. Na sliki jezabelezenih 714 dogodkov, sirina casovnega intervala je ∆τ = 0.5s. Spodaj: Prilagoditeveksponentne funkcije p(τ) = A exp(−λτ) porazdelitvi casov pobega (logaritemska skala),λ = 0.53± 0.02.


potenciala. Ceprav sta imeli pasti enako jakost, je delec pogosto vleklo samo v eno smer,v eno past. Posledica je razlicen povprecen cas pobega obeh pasti. V ekstremnih primerihsta se casa razlikovala za faktor dva, kar je pomenilo neuporabne meritve.

Stopnja asimetrije se je spreminjala z nastavljeno visino goriscne ravnine v vzorcu. Kljubnapornemu iskanju prave visine, ko je kazalo, da sta pasti uravnotezeni, je pri kasnejsihmeritvah spet prislo do asimetrije. Njena velikost se je med enim poskusom (enaka visinagoriscne ravnine, razlicni casi modulacije) skozi cas nakljucno spreminjala. Eden izmedmoznih vzrokov za asimetrijo potenciala so konvekcijski tokovi v vodi, ki nastanejo zaradiabsorpcije laserskega zarka.

Slika 5.10: Asimetrija porazdelitve casov pobega iz leve in desne pasti pri nemoduliranempotencialu. Delec vlece v levo past. Sirina intervala je 0.5s.

Na sliki 5.10 sta loceno prikazani porazdelitvi casov pobega za levo in desno past zanemoduliran potencial. Lepo se vidi, da se delec bolj vlece v levo past (vrh porazdelitvecasov pobega je pri vecjem casu kot pri desni pasti). Statisticno se je v tem primerudelec 55% casa zadrzeval v levi pasti, 45% v desni. Povprecen cas pobega za levo past jeτ izmKl = 2.0s, za desno pa τ izm

Kd = 1.6s. Ta stopnja asimetrije je bila med najmanjsimi, kisem jih izmeril, zato sem poskus izvedel pri teh pogojih.

5.4 Moduliran potencial 39

5.4 Moduliran potencial

Za opazovanje sinhronizacije med preskakovanjem in modulacijo sem jakost pasti moduli-ral s periodicno motnjo oblike

∆U(t) = ∆U0 sin(2πt/τΩ). (5.5)

Amplituda modulacije intenzitete laserskega zarka je bila ∆U0 = 0.01, kar je samo0.01/0.40 = 2.5% osnovne intenzitete. Modulacija je bila intenziteti prvega zarka pristeta,drugega pa odsteta. Globina potencialne jame je sorazmerna z intenziteto zarka, tako dase je visina potencialne pregrade med modulacijo spreminjala za

∆Q = 2(∆U0/U0)Q = 0.18kBT. (5.6)

Nadzorni program je desetkrat na sekundo izracunal novi jakosti pasti in ju posredovalkrmilniku AOD. Za vsako frekvenco modulacije sem v 17 minutah posnel 20000 polozajevdelca, v katerih se povprecno zgodi okoli 600 preskokov iz ene v drugo past.

5.4.1 Spektralna gostota moci

Iz izmerjenih koordinat x zaporednih polozajev delca sem s pomocjo hitre Fourierovetransformacije (FFT) izracunal spektralno gostoto moci (slika 5.11). V spektru nemoduli-ranega potenciala je opazna mnozica nakljucnih vrhov zaradi suma pri nizkih frekvencah.Pri periodicno moduliranih potencialih se v spektru pojavijo izraziti vrhovi pri frekvencimodulacije potenciala, visji harmoniki frekvence modulacije pa niso vidni.

5.4.2 Porazdelitev casov pobega

Ceprav je amplituda modulacije potencialne pregrade samo 5% njene visine, se porazdelitevcasov pobega dramaticno spremeni (slika 5.12). Ce je perioda modulacije mnogo krajsa odKramersovega casa, se v porazdelitvi pojavi mnogo vrhov pri lihih veckratnikih poloviceperiode modulacije. Ko se polovica periode bliza Kramersovemu casu, se prvi vrh zacnevecati, visji vrhovi pa se manjsajo. Pri vecanju periode se vpliv modulacije zmanjsuje.

Kvalitativno opazanje spreminjanja vrhov lahko opisemo tudi kvantitativno. Gammaitoniet al. [6] so predlagali, da se za demonstracijo SR pogleda jakost n-tega vrha Pn v po-razdelitvi casov pobega v odvisnosti od periode modulacije τΩ. Napovedali so resonancnoobliko krivulje Pn(τΩ).

Jakost n-tega vrha je kar ploscina pod njem

Pn =∫ τn−ατΩ

τn+ατΩn(t)dt. (5.7)

Oblika krivulje Pn(τΩ) je neodvisna od intervala integracije, ki ga doloca parameter α, cevelja 0 < α ≤ 1

4. Ce integriramo prvi vrh (τ1 = τΩ/2) normalizirane izmerjene porazdelitve

casov pobega z α = 14


Slika 5.11: Spektralna gostota moci polozaja x pri nemodulirnem sistemu (zgoraj levo)in moduliranem s periodo τΩ = 2s (zg. desno) , 4s in 9s (spodaj). V vsakem spektru jeviden izrazit vrh pri frekvenci modulacije.


Slika 5.12: Porazdelitev casov pobega pri periodah modulacije τΩ = 1s, 2s (zgoraj),4s, 9s (spodaj). S puscicami je oznacen teoreticen polozaj vrhov. Pri kratkih peri-odah modulacije je struktura vrhov pri lihih veckratnikih polovice periode modulacijese posebno opazna. Do najvecje sinhronizacije pride, ko je polovica periode modulacijeenaka Kramersovemu casu τK (levo spodaj) - vecina pobegov se zgodi v casu prvega vrha.Pri periodah modulacije nad 2τK je vpliv modulacije vedno manjsi. Velikost casovnegaintervala je na prvi sliki 0.25s, na ostalih pa 0.5s.


P1 =∫ 3τΩ/4

τΩ/4n(t)dt, (5.8)

krivulja P1(τΩ) res kaze resonancno obliko (slika 5.13).

Slika 5.13: Jakost prvega vrha v porazdelitvi casov pobega v odvisnosti od periode mod-ulacije (enacba 5.8). S pikami so oznacene izracunane vrednosti P1 iz izmerjenih po-razdelitev casov pobega za razlicne periode modulacije. S trikotniki so oznacene izracu-nane vrednosti P1 za dve porazdelitvi casov pobega nemoduliranega potenciala.

Poglavje 6

Diskusija

6.1 Karakterizacija ene pasti

Izmerjene lastnosti ene pasti se ujemajo s pricakovanji. Koeficient pasti k je linearnoodvisen od moci laserja. Porazdelitev zabelezenih polozajev kroglice po koordinati x aliy je eksponentno padajoca, porazdelitev polozajev po oddaljenosti od sredisca pa oblikeρ(r) = Ar exp − kr2

2kBT. Dno potencialne jame je parabolicne oblike.

Ce primerjamo obliko potenciala ene pasti v smereh x in y (slika 5.3), opazimo rahlorazliko v obliki potencialne jame. V smeri y ima dnu jame prilagojena parabola manjsikoeficient, hkrati pa od nje tudi precej odstopajo tocke pri vecjih y. Vzrok je verjetnomajhna asimetrija laserskega zarka.

6.2 Bistabilni potencial

6.2.1 Asimetrija potenciala

Pri meritvah je velik problem predstavljala asimetrija potenciala. Ceprav je bila nastav-ljena jakost obeh pasti enaka, je kroglico obcasno vleklo v eno past - npr. vedno v levopri postavitvi pasti horizontalno. Razlogov za razlicno globino potencialnih jam bi lahkobilo vec. Preverili smo programsko opremo racunalnika in krmilnika AOD, nelinearnostodziva ojacevalnika akusticnega valovanja in vpliv povrsin na gibanje kroglice.

Ce bi bila napaka v programski opremi racunalnika oz. krmilnika AOD, bi bila kljub nas-tavljeni enaki jakosti obeh pasti dejanska amplituda na AOD uklonjenih zarkov razlicna.Ko sem zamenjal legi prve in druge pasti, je kroglico se vedno vleklo v levo, v primeruprogramske napake pa bi jo po zamenjavi pasti vleklo v nasprotno smer.

Polozaj pasti je dolocen s frekvenco akusticnega valovanja v AOD. Ce bi bil ojacevalnik RFsignala v krmilniku mocno frekvencno odvisen, bi se s spreminjanjem lege pasti spreminjalatudi intenziteta laserskega zarka, ki generira past. Intenziteto smo s fotodiodo merili prirazlicnih legah pasti in ugotovili, da se na robu obmocja delovanja AOD res spremeni zanekaj odstotkov, toda na razdalji 0.70µm (razdalja med pastema) ostaja konstantna, tako


da to ni vzrok za asimetrijo.

Asimetrija je ostala tudi pri vertikalni in diagonalni postavitvi pasti - vedno je kroglicovleklo v eno smer. Pasti sem premikal na razlicne lege, a nikjer nisem nasel mesta, kjerbi se kroglica zadrzevala enakomerno pol casa v eni, pol pa v drugi pasti.

Sprva sem poskus izvajal blizu povrsine (5µm pod njo), zato se je zdelo, da bi bile lahkovzrok za asimetrijo necistoce na povrsini. Tezava pa se je obcasno pojavljala tudi privecjih oddaljenostih (nekaj 10µm). Ce bi bila stopnja asimetrije konstantna, bi jo lahkoizravnali z zmanjsano jakostjo navidezno mocnejse pasti, a to ni bilo mogoce, ker se je vcasu reda minute velikost asimetrije znatno spremenila.

Ker velikost asimetrije s casom spreminja in smo ovrgli moznost sistemske napake, menimo,da asimetrijo potenciala povzrocajo konvekcijski tokovi v tekocini. Ceprav je valovnadolzina laserja izbrana tako, da je absorpcija v vodi zelo majhna, se verjetno absorbiradovolj svetlobe, da pride do vzpostavitve konvekcijskih tokov. Kratek racun pokaze, daso ti lahko zelo majhni, pa vseeno mocno zmotijo preskakovanje.

Za oceno izracunajmo, kako hiter tok tekocine povzroca motnjo v velikosti amplitudemodulacije potencialne pregrade med obema pastema ∆Q ≈ 0.18kBT . Motnja ∆Q narazdalji med pastema d ustreza sili Fm = ∆Q/d = 1.1fN . Sila tekocine s hitrostjo v inviskoznostjo η na kroglo s polmerom a je

Fu = 6πηav. (6.1)

Ce sili Fm in Fu izenacimo, dobimo za hitrost tokov v vodi z viskoznostjo η = 10−3Pasin kroglico s polmerom a = 0.5µm hitrost

v =∆Q

6πηad= 0.1µm/s. (6.2)

Tako pocasnih tokov neposredno ni moc opaziti, njihov vpliv se pokaze sele v obcutljivemsistemu bistabilnega potenciala.

Izvedba meritve je bila zaradi velike obcutljivosti sistema na majhne motnje zelo zahtevna.Z velikim stevilom poskusov nam je najprej uspelo doseci preskakovanje kroglice meddvema potencialnima jamama, nato pa odpraviti asimetrijo potencialov do take mere, daje bila mozna uspesna izvedba meritve.

6.2.2 Nemoduliran potencial

Izmerjen povprecen cas pobega za nemoduliran potencial (Kramersov cas) je znasal τ izmK =

1.8s, izracunan pa τK = 2.2s. Menim, da je razlog za razliko preprostost modela, izkaterega je izpeljan teoreticni Kramersov cas. Model velja za eno dimenzionalen sistem, vnasem primeru pa je mozno omejeno gibanje tudi v drugi dimenziji, v smeri koordinate y.Kroglica pri prehodu iz ene v drugo jamo ne preci vedno samo po sredini potencialnegasedla, ampak ima na voljo tudi dodatne poti ob straneh. Do razlik pride lahko tudi zaradidrugih podrobnosti, ki jih enodimenzionalni model ne uposteva, kot npr. tega, da delecni tockast.


Med opisom meritvev je omenjeno, da povecanje razdalje med pastema za δd = 30nmpodvoji izmerjeni Kramersov cas. S pomocjo slike 5.6 lahko poskusimo grobo ocenitispremembo visine potencialne pregrade, ce pasti razmaknemo za dodatnih δd. Ce privza-memo, da se koeficient pasti ne spremeni, bo povisanje pregrade sorazmerno s premikompasti in koeficientom pasti v tocki dotika, kjer sta enaka odvoda jami in pregradi pri-lagojenih parabol. Za desno jamo na sliki 5.6 je to pri xT ≈ 0.23µm. Pri premikupasti δd/2 = 15nm bolj desno, je naklon parabole v tocki dotika dy/dx = bdl, kjer jel oddaljenosti tocke xT od sredisca desne pasti, bd pa koeficient desni pasti prilagojeneparabole. Prvotna oddaljenost tocke dotika je bila l ≈ 100nm, po premiku pasti se povecana l ≈ 115nm. Zvisanje pregrade je

δQ/kBT = lbdδd/2

δQ/kBT = 0.115µm · 187/µm2 · 0.015µm = 0.32. (6.3)

Kramersov cas se zaradi zvisanja pregrade teoreticno poveca za faktor

τ ′kτk

= expQ + δQ

Q= 1.4, (6.4)

kar je manj od eksperimentalne ugotovitve. Vzrok za razliko so hude poenostavitve voceni in ze omenjena enodimenzionalnost teoreticnega modela.

Porazdelitev casov pobega

Izmerjena porazdelitev casov pobega pri nemoduliranem potenicalu (slika 5.9) je ekspo-nentno padajoce oblike P (t) = A exp(−t/τK), tako kot napoveduje teorija. Do pricako-vanih odstopanj pride pri velikih casih, kjer je malo dogodkov, zato so napake velike.Pozornost pritegne manjse stevilo pobegov v prvem casovnem intervalu od 0 do 500ms.V njem bi moralo biti najvec dogodkov, a jih je priblizno toliko kot v sosednjem intervalu.

Fizikalna omejitev za najmanjsi cas pobega je koncna hitrost kroglice. Cas povprecnegaprehoda dveh precenj potencialne jame znotraj ene pasti je relaksacijski cas τR = 0.066s.Ce predpostavljamo, da kroglica cez potencialno pregrado preci kar s povprecno hitrostjogibanja v potencialni jami, je cas precenja pregrade relaksacijski cas. Zaradi tega so casipobegov, manjsi od τR, zelo redki.

Spodnja eksperimentalna meja izmerjenih casov pobega pa je dolocena s hitrostjo za-jemanja slike, ki je v nasem primeru ts = 50ms. Izracunamo lahko razmerje med de-janskim stevilom pobegom in napovedjo eksponentne porazdelitve v intervalu od 0 do∆τ = 500ms, ce privzamemo, da je ts najkrajsi izmerjeni cas.

∫∆τts

exp(−t/τK)∫∆τ0 exp(−t/τK)

= 0.89 (6.5)

V prvem intervalu histograma na sliki 5.9 se nahaja 155 dogodkov, ce pa bi bila po-razdelitev res eksponentno padajoca, bi se jih 173. Razmerje med obema vrednostima je0.9, iz cesar lahko sklepamo, da je relaksacijski cas krajsi od casa med dvema vzorcenjemaslike.


6.2.3 Moduliran potencial

Spektralna gostota moci

SR lahko identificiramo v spektru gostote moci S(ω) fluktuacij delca. Teoreticne in numer-icne studije za simetricne bistabilne sisteme napovedujejo vrhove pri frekvenci modulacijein njenih lihih harmonikih. Prav tako je pri moduliranem sistemu pricakovan prenosspektralne moci iz sumnega ozadja nemoduliranega sistema v spektralne vrhove.

V nasem primeru v spektru S(ω) dobimo izrazit vrh pri frekvenci modulacije, kar je dokazSR. V primeru prenizkega nivoja suma kroglica ne bi imela dovolj energije za prehod vdrugo stabilno lego, zato v spektru ne bi bilo vrha pri frekvenci vzbujanja. Ce bi bil nivosuma v sistemu previsok, bi kroglica neodvisno od modulacije potenciala preskakovala izene v drugo potencialno jamo. V spektru bi bilo sumno ozadje tako visoko, da se vrhapri frekvenci modulacije ne bi videlo. Visji harmoniki frekvence modulacije v izmerjenemspektru niso opazni, vzok za to pa je verjetno spreminjajoca asimetrija potenciala.

Pri izracunu spektra je pomembna casovna enakomernost vzorcenj lege delca. V nasemsistemu zajem slike nadzira program, ki tece v operacijskem sistemu Windows, zatoje vzorcenje zelo neenakomerno. Namesto vzorcenja vsakih 50ms se interval vzorcenjaspreminja od 40-60ms, odvisno od zasedenosti sistema. Spekter izracunamo s pomocjohitre Fourierove transformacije (FFT), ki je narejena za casovno enakomerno vzorcenje,kar v nasem primeru verjetno povzroci precej artefaktov v spektru.

Porazdelitev casov pobega

Sibka modulacija globine potencialov mocno spremeni porazdelitev casov pobega. Vprimeru periode modulacije, ki je veliko krajsa od dvakratnika Kramersovega casa (τΩ <<2τK), se v porazdelitvi pojavijo vrhovi pri lihih periodah polovice periode modulacije (his-togram zg. levo na sliki 5.12). Visina vrhov s casom pada, saj se s casom manjsa verjetnost,da je delec se vedno v prvotni potencialni jami.

Bolj kot se polovica periode bliza Kramersovemu casu, bolj postaja prvi vrh izrazit, ostalipa se manjsajo. Pri pogoju casovnega ujemanja (τΩ = 2τK) se velika vecina pobegov zgodiv okviru prvega vrha - pride do najboljse sinhronizacije med modulacijo in preskakovanjem(histogram sp. levo). Ko periodo modulacije povecujemo, se vrh premika v desno, hkratipa se spet pojavijo vrhovi visjih redov (histogram sp. desno).

Sklep

Izmerjene porazdelitve casov pobega pri razlicnih periodah modulacije so pokazale vseznacilnosti, ki jih napoveduje teorija. Odvisnost jakosti prvega vrha v porazdelitvi casovod periode modulacije ima obliko, ki jo pricakujemo pri pojavu stohasticne resonance.To sta poleg znacilne spektralne gostote moci jasna dokaza, da je v sistemu prislo dostohasticne resonance. S tem je bil zadani cilj dosezen.

Poglavje 7

Zakljucek

V eksperimentu sem meril pojav stohasticne resonance v koloidnem sistemu. Z opticnopinceto sem v vodi, dalec od povrsin, ustvaril bistabilni potencial za 0.97µm-kroglico izkremenovega stekla, ki se je Brownovo gibala. Dolocil sem moc zarka, globino in razdaljomed dvema opticnima pastema za optimalno opazovanje stohasticne resonance. Izdelalsem programsko opremo za moduliranje globine pasti in sledenje kroglici.

Izmeril sem karakteristike ene pasti v odvisnosti od moci laserskega zarka, nato pa semopazoval preskakovanje kroglice med dvema pastema. Iz porazdelitve izmerjenih polozajevsem izracunal lastnosti bistabilnega potenciala. Izmeril sem porazdelitev casov pobega inugotovil, da je njihova porazdelitev eksponentno padajoca.

Bistabilni potencial sem zatem periodicno moduliral z razlicnimi frekvencami. Analizaspektralne gostote moci in casov pobega je pokazala, da je v sistemu prislo do sinhhro-nizacije med preskakovanjem kroglice in periodicno modulacijo. Najvecja sinhronizacija sepojavi, ko je polovica periode modulacije enaka Kramersovem casu (povprecni cas naha-janja v eni potencialni jami pri nemoduliranem sistemu). Vse eksperimentalne ugotovitvese v okviru napak ujemajo z napovedmi teorije.

S postavljenim sistemom opticne pincete lahko ustvarimo vec pasti. Ce jih postavimo do-volj skupaj, zaradi hidrodinamske interakcije cutijo medsebojni vpliv. Na ta nacin lahkostudiramo stohasticno resonanco v sklopljenih sistemih (angl. array enhanced SR). Za topodrocje je teorija znana, zaradi zahtevne izvedbe pa ni bilo narejenih skoraj nic eksperi-mentov. Z naso opremo bi lahko takoj izvedli preprost eksperiment z dvema sklopljenimasistemoma. Naredili bi dva para pasti (dva bistabilna potenciala), v katera bi ujeli poeno kroglico, globino potencialov pa bi sibko periodicno modulirali. Kroglici bi cutili istomodulacijo, a razlicen sum.

Teorija napoveduje, da se v primeru spreminjanja jakosti sklopitve med sistemoma (tj. raz-dalje med paroma pasti) pri konstantnem nivoju sumu, razmerje signal-sum med povece-vanjem sklopitve najprej povecuje (skupen odziv sistema je vecji kot odziv posameznihnesklopljenih sistemov), gre skozi maksimum, nato pa se zmanjsuje do neke asimptoticnekoncne vrednosti. V prihodnosti se bomo posvetili studiju SR v sklopljenih sistemih, zatoupam, da bo kmalu priloznost za preverjanje te teoreticne napovedi.

Literatura

[1] Ashkin, A., Phys. Rev. Lett., 24 (1970), 156

[2] Simon, A., A. Libchaber, Phys. Rev. Lett., 68 (1992), 3375

[3] Kramers, H.A., Physica (Utrecht), 7 (1940), 284

[4] Ashkin, A., Methods in Cell Biology, 55 (1998), 1

[5] Gammaitoni, L., P. Hanggi, P. Jung, Rev. Mod. Phys., 70 (1998), 223

[6] Gammaitoni, L., F. Marchesoni, S. Santucci, Phys. Rev. Lett, 74 (1995), 1052

[7] Benzi, R., A. Sutera, A. Vulpiani, J. Phys. A, 14 (1981), L453

[8] Fauve, S., F. Heslot, Phys. Lett., 97A (1983), 5

[9] McNamara, B., K. Wiesenfeld, R. Roy, Phys. Rev. Lett., 39 (1989), 4854

[10] Gittes, F., C. F. Schmidt, Methods in Cell Biology, 55 (1998), 129

[11] Guenther, R., Modern optics, John Wiley & Sons, 1990

[12] Ashcoft, N., N. David Mermin, Solid State Physics, Saunders College Publishing

IZJAVA

Spodaj podpisani Natan Osterman, rojen 6.9.1979 v Ljubljani, izjavljam, da sem avtorpricujecega dela.

V Ljubljani, 10.6.2004 Natan Osterman

meritev stohastiˇcne resonance s pomoˇcjo laserske pinceteosterman/diplomanatan2.pdf · smer...

Documents