1 Les angles droits – les droites perpendiculaires2 Point, segment , droite3 Le cercle4 Les polygones5 Les points alignés6 Le rectangle7 Les droites parallèles8 La symétrie9 Le milieu d’un segment10 Les solides11 Les triangles12 Le losange13 Tracer la hauteur d’un triangle14 Les patrons de solides15 Le carré16 L’agrandissement ou la réduction de figures17 Les programmes de construction

Mes outils de géométrie

1) Les angles droits

a) Repérage

Pour reconnaître un angle droit, j’utilise mon équerre. Si mes segments ou mes droites se coupent selon les bords droits de mon équerre, il y a un angle droit.

Si les deux droites se coupent sous mon équerre ou s’écartent de mon équerre, il n’y a pas d’angle droit.

b) Tracé

2) Les droites perpendiculaires

Des droites perpendiculaires sont des droites qui se coupent en formant un angle droit.

Pour tracer une droite perpendiculaire à une autre, il suffit de tracer un angle droit et de le prolonger.

Géométrie 1 Les angles droitsLes droites perpendiculaires

Pose l’équerre de telle sorte que

l’angle droit de l’équerre soit sur

la demi-droite déjà tracée.

Fais glisser l’équerre jusqu’à

l’extrémité de la demi-droite.

Trace le 2ème côté de l’angle droit

avec ton crayon à papier.

Un point est l’élément le plus petit de la géométrie. Il est souvent matérialisé par une croix mais dans certains livres on peut le trouver représenté par un point.

A BX

Une droite est une infinité de points alignés. On peut toujours la prolonger, elle n’a pas de longueur. On peut la nommer en utilisant deux points qui sont sur la droite. Dans ce cas, on note ces deux points entre parenthèses. Elle peut aussi avoir le nom d’une lettre en écriture cursive.

Droite (AB)

Droite (d)

Un segment est une portion de droite délimitée par deux points. Un segment a une longueur précise. Il se note entre crochets.

Segment [AB]

Le rayon est la distance entre le centre du cercle et un point du

cercle. [OA] est un rayon. [OB] est aussi un rayon.

Le diamètre est un segment qui joint deux points du cercle en

passant par le centre. [AB] est un diamètre.

Pour tracer un cercle, on utilise un compas :

On écarte le compas de la valeur du rayon.

On pique la pointe du compas sur le centre.

On trace avec le crayon sans déplacer la pointe.

Géométrie 2 Point, segment, droite Géométrie 3 Le cercle

rayon

centre

cercle

O

Cercle C de centre O

C

AB

(d)

Un polygone est une figure fermée tracée uniquement à la règle.

C’est une figure à plusieurs côtés.

côté

sommet

Les polygones à 3 côtés s’appellent les triangles .

Les polygones à 4 côtés s’appellent les quadrilatères .

Des points sont alignés si on peut tracer une droite qui passe par

tous ces points.

Exemple :

Les points A, B et C sont alignés.Le point D n‘est pas aligné avec les points A, B et C.

Géométrie 4 Les polygones

Polygones

Non polygones

Géométrie 5 Les points alignés

1) Propriétés du rectangle

Le rectangle est un quadrilatère : il a 4 côtés.

• Tous ses angles sont des angles droits

• Ses côtés opposés ont la même longueur. Le côté le plus grand

s’appelle la longueur (L) et le côté le plus court s’appelle la

largeur (l).

Les diagonales du rectangle :

• ont la même longueur

• se coupent en leur milieu

2) Construction d’un rectangle

On peut tracer un rectangle de longueur et de largeur données :

Avec la règle et l'équerre :

• je trace un segment, je mesure la longueur avec la règle,

• je trace la perpendiculaire au segment à une extrémité, je mesure la largeur,

• je recommence pour les deux autres côtés du rectangle.

Avec le compas, la règle et l'équerre :

• je trace un cercle,

• je trace deux diamètres du cercle,

• je relie les extrémités des diamètres.

Avec la règle, l'équerre et le compas :

• je trace un segment, je mesure la longueur avec la règle,

• je trace la perpendiculaire au segment à une extrémité,

• je reporte la largeur du segment avec le compas,

Géométrie 6 Le rectangle

longueur

larg

eur

1

3

2

1

2

3

• je reporte la longueur en partant de chaque extrémité déjà tracée,

• je relie les extrémités reportées.

1

2

4

3 5

1) Définition

Deux droites sont parallèles quand elles ne se coupent jamais, même

si on les prolonge au-delà de la feuille.

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

Les droites (d) et (e) se coupent : elles ne sont pas

parallèles.

Les droites (f) et (g) ne se coupent pas dans la feuille, mais vont se couper si on les prolonge : elles ne sont

pas parallèles.

Les droites (h) et (i) sont parallèles.

2) Méthode de tracé avec la règle et l’équerre

Je veux tracer une droite (d2), parallèle à la droite (d1) et passant par

le point A.

Géométrie 7 Les droites parallèles

(d1)

1) Je place un côté de l'équerre sur la

droite (d1).

A

2) Je place la règle sur l'autre côté de

l'équerre.

A

3) Je fais glisser l'équerre sur la règle,

jusqu'à ce que le deuxième côté de l'angle droit passe par le point A.

4) Je trace la droite parallèle.

5) Je prolonge la droite parallèle.

(d2)

La droite (d2) est parallèle à (d1) et passe

par A.

(d1)

A

(d1)

A

(d1)

A

(d1)

1) Figures symétriques

• Quand une figure géométrique peut être pliée, le long d'une droite, en deux parties superposables, on dit que cette figure est symétrique par rapport à la droite.

• On appelle cette droite axe de symétrie de la figure.

• Une même figure peut avoir plusieurs axes de symétrie.

Exemples :

Axe de symétrie

Axe de symétrie

Axe de symétrie

Axe de symétrie

2) Symétrique d’une figure par rapport à une droite

Tracer le symétrique d'une figure par rapport à une droite, c'est compléter la figure pour que la droite devienne axe de symétrie de l'ensemble.

La figure symétrique est l'image de la figure de départ (comme dans un miroir).

• Sur un quadrillage :

On peut construire l'image de chaque point en comptant les carreaux entre le point et l'axe de symétrie. L'image se trouve alors au même nombre de carreaux de l'autre côté de l'axe.

• Sans quadrillage :

Pour chaque point, il faut construire l'image en tra-çant la perpendiculaire à l'axe de symétrie passant par le point.Il faut ensuite mesurer la distance du point à l'axe, puis la reporter de l'axe à l'image (on peut aussi utili-ser un compas).

Géométrie 8 La symétrie

Axe de symétrie

Axe de symétrie

Le milieu d’un segment est le point qui est à égale distance des deux

extrémités du segment.

Il existe différentes méthodes pour trouver le milieu d’un segment :

• Par pliage du segment sur lui-même.

• Par mesure avec la règle.

Il suffit ensuite de diviser la mesure du segment par 2.

• Par utilisation du compas.

Les deux cercles ont pour centre les extrémités du segment et ils ont même rayon. Les points d’intersection des cercles sont à égale distance des extrémités du segment.

M est le milieu du segment.

1) Définition

• Un solide est un objet qui délimite un volume.

• Un solide présente des faces, des arêtes et des sommets.

• Les

faces

d'un so-

lide peuvent être :

planes ou courbes

Géométrie 9 Le milieu d’un segment Géométrie 10 Les solides

face

arête

sommet

M

2) Quelques solides

Solide Nom Types de faces

Sphère 1 face courbe

Cylindre

2 faces planes1 face courbe

Sa base est un disque

Cône

1 face plane1 faces courbe

Sa base est un disque.

Cube 6 faces planes

Pavé (ou parallélépipède rec-

tangle)6 faces planes

Pyramide5 faces planes

Sa base est un carré.

Prisme

Son nombre de faces planes dépend de la forme de sa base.

Sa base est un polygone.

1) Rappels

• Le triangle est un polygone à 3 côtés.

• Le triangle a aussi 3 sommets.

• Quand on trace un triangle sans se soucier de sa forme ou de la longueur de ses côtés, on dit qu'il s'agit d'un triangle quel-conque.

2) Les triangles particuliers

• Le triangle isocèle

Un triangle isocèle est un triangle qui a DEUX côtés de même longueur.

••

• Le triangle équilatéral

Un triangle équilatéral est un triangle qui a TROIS côtés de même longueur.

• Le triangle rectangle

Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit.

On l'appelle ainsi parce qu'il forme la moitié d'un rectangle.

Géométrie 11 Les triangles

côtésangle

sommet

Cas particulier :triangle rectangle isocèle

1) Propriétés

Le losange est un quadrilatère ayant ses 4 côtés de même longueur.

Ses diagonales :

• sont perpendiculaires

• se coupent en leur milieu

2) Tracé d’un losange

a) Si on ne connaît que la longueur d’un côté

Par exemple, on veut tracer le losange ABCD de côté 4 cm.

- On trace les côtés [AB] et [AD] de 4 cm.

- On mesure 4 cm au compas.

On pique sur B et on trace un arc.

On pique sur D et on trace un arc qui coupe le premier.

L’intersection des deux arcs de cercle nous donne le point C.

b) Si on ne connaît que la longueur des diagonales.

Par exemple, on veut construire le losange IJKL, avec IK = 5 cm

et JL = 3 cm.

On sait que les diagonales d'un losange sont perpendiculaires et se

coupent en leur milieu, donc, on trace les diagonales [IK] de 5 cm

et [JL] de 3 cm, perpendiculaires et qui se coupent en leur milieu.

Géométrie 12 Le losange

Dans un triangle, la hauteur issue d’un sommet est la droite passant

par ce sommet et perpendiculaire au côté opposé.

(AH) est la hauteur issue de A.

Pour construire la hauteur (AH), il suffit de placer son équerre de

façon à obtenir une droite perpendiculaire à [BC] et passant par A.

1) Qu’est-ce qu’un patron ?

• Un solide est souvent constitué de faces planes, qu'il est possible de représenter sur une feuille de papier.

• Un patron est le dessin de ses faces, qui permet par pliage de re-construire ce solide.

2) Le patron du cube

• Un cube est constitué de 6 faces carrées identiques.

• Pour construire son patron, il faut « déplier » le cube pour repré-senter les 6 carrés à plat.

5

6

41

3

2

5 64

132

5

6

41 2

3

Géométrie 13 Tracer la hauteur d’un triangle Géométrie 14 Les patrons de solides

1) On numérote les faces

2) On ouvre le cube3) On le délie complètement

Voici le patron que l’on obtient :

Attention, d’autres patrons sont possibles, par exemples les patrons

suivants :

1) Propriétés du carré

Le carré est un quadrilatère : il a 4 côtés.

• Tous ses côtés ont la même

longueur

• Tous ses angles sont des

angles droits

Les diagonales du carré :

• ont la même longueur

• sont perpendiculaires

• se coupent en leur milieu

2) Construction d’un carré

Avec la règle et l'équerre :

• je trace un segment, je mesure sa longueur avec la règle,

• je trace la perpendiculaire au seg-ment à une extrémité, je mesure la même longueur,

• je recommence pour les deux autres côtés du carré.

1

5 6

4

32

Géométrie 15 Le carré

1

3

2

Avec le compas, la règle et l'équerre :

• je trace un cercle,

• je trace deux diamètres per-pendiculaires du cercle,

• je relie les extrémités des dia-mètres.

Avec la règle, l'équerre et le compas :

• je trace un segment, je mesure sa longueur avec la règle,

• je trace la perpendiculaire au segment à une extrémité,

• je reporte la longueur du segment avec le compas,

• je reporte à nouveau la longueur en partant de chaque extré-mité déjà tracée,

• je relie les extrémités reportées.

1) Réduire / agrandir une figure

• Réduire une figure, c'est diviser toutes ses longueurs par le même nombre.

• Agrandir une figure, c'est multiplier toutes ses longueurs par le même nombre.

2) Utiliser un quadrillage

1

2

3

1

3

24

5

Géométrie 16 Agrandissement et réduction de figures

6 cm

4 cm

3 cm

2 cm : 2

3 cm2

cm

9 cm

6 cmx 3

Pour réduire (ou agrandir) plus facilement une figure, on peut utiliser un quadrillage. Il suffit ensuite de reproduire la même figure dans un quadrillage réduit (ou agrandi).

1) Définition

Un programme de construction est un texte qui donne des instruc-tions pour tracer précisément une figure géométrique.

2) Lire un programme de construction

• Un programme de construction est un texte de géométrie : il utilise le vocabulaire de géométrie. Il faut s'assurer de bien comprendre tous les mots.

• Il faut suivre les instructions dans l'ordre où elles sont écrites.

• Avant de tracer précisément, on doit faire un brouillon. On essaie de suivre le programme, rapidement, à main levée. Cela permet de voir si on a bien compris toutes les étapes, et de savoir de quels outils on va avoir besoin.

Exemples :

programme brouillon outils

Tracer 3 points P, Q, R à des endroits diffé-rents

• crayon

Géométrie 17 Les programmes deconstruction

programme brouillon outils

Tracer un carré ABCD de côté 4 cm.

Tracer le point M, milieu de [AB].

Tracer le point N, milieu de [CD].

Tracer le seg-ment [MN].

• crayon

• règle graduée

• équerre

Tracer une droite (d).

Placer un point A sur la droite (d).

Tracer la droite (e), perpendicu-laire à (d) et passant par A.

Placer le point B sur la droite (e), tel que AB = 5 cm.

Tracer le cercle de centre A et de rayon AB.

• crayon

• règle graduée

• équerre

• compas