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  • Mestrado Integrado em

    Engenharia Electronica e Telecomunicacoes

    Sinais e Sistemaswww.deei.fct.ualg.pt/SS/

    Sergio M.M. Jesussjesus@ualg.pt

    Faculdade de Ciencias e TecnologiaUniversidade do Algarve

    1992

    Versao 4.4c - 22/Novembro/2008

    (html://www.deei.fct.ualg.pt/SS/ss-V4.4c.pdf e ss-V4.4c-X2.pdf)

    1

  • Historia da disciplina (versao 4.4 - Novembro 2008)

    O material deste texto de apoio foi inicialmente escrito para o Curso de EstudosSuperiores Especializados (Cese) da Escola Superior de Tecnologia, Faro, em Junho de1992. A segunda versao foi preparada para a primeira edicao da disciplina de Sistemase Sinais do curso de Engenharia de Sistemas e Computacao em 1994/95. Na terceiraversao disponvel desde 2000/01, foi retirada toda a parte discreta e foi aligeirada arevisao de materias de base, como p.ex., a analise de Fourier, que deveria ser abordadaem Matematica Aplicada. Em troca foram inseridos varios modulos, nomeadamenteuma extensao sobre os sistemas lineares invariantes, analise temporal e frequencialde sistemas de primeira e segunda ordem e tambem a descricao de sinais complexos.As solucoes dos problemas propostos foram igualmente incluidas. Na versao 4 foramretiradas para o apendice as Series de Fourier assim como a introducao as variaveisaleatorias. A manipulacao de funcoes generalizadas faz agora parte do programaprincipal. Na versao seguinte (4.3), o programa foi reduzido, nomeadamente retirandoa representacao de sinais complexos. A versao actual (4.4) difere da anterior apenasna sua adaptacao ao programa da disciplina para o MIEET - Mestrado Integrado emEngenharia Electronica e Telecomunicacoes. Encontra-se igualmente disponvel umaversao on-line em www.deei.fct.ualg.pt/SS/html/.

    Nota previa e agradecimentos

    O material contido neste conjunto de apontamentos e cedido a ttulo gratuito e paraser utilizado exclusivamente como texto de apoio a disciplina de Sistemas e Sinaisdo curso de Mestrado Integrado em Engenharia Electronica e Telecomunicacoes daUniversidade do Algarve. Este texto podera (e tem com certeza) erros involuntarios1,de cujas consequencias o autor nao podera ser responsabilizado. Agradecemos igual-mente a contribuicao do aluno Manuel Rocha (2004/05). Em caso de perdas ouprejuzos, directos ou indirectos, causados pelo uso deste texto e concedida uma in-demnizacao igual ao custo do proprio texto, i.e., zero Euros. A sua consulta naodispensa (e alias aconselha) a de outras obras, nomeadamente as citadas na biblio-grafia.

    Boa leitura !...

    1Agradecem-se correcoes e comentarios para sjesus@ualg.pt

    2

  • Conteudo

    1 Introducao 8

    2 Sistemas lineares invariantes no tempo (SLIT) 13

    2.1 Espacos de entrada e espacos de sada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    2.2 Sinais contnuos e sinais discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    2.3 Excitacoes e respostas de sistemas LIT . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    2.3.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    2.3.2 O impulso de Dirac - definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.3.3 Relacao com a funcao degrau unidade . . . . . . . . . . . . . . 17

    2.3.4 Sinais de entrada: respostas indicial e impulsiva . . . . . . . . 18

    2.3.5 Produto de convolucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    2.3.6 Propriedades e teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    2.4 Sistemas estaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    2.5 Sistemas causais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2.6 Exemplos de operadores lineares e invariantes no tempo . . . . . . . . 29

    2.7 Equacoes de diferencas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    2.8 Sistemas de multiplas entradas - multiplas sadas . . . . . . . . . . . 31

    2.9 Sistemas complexos e com entradas/sadas complexas . . . . . . . . . 31

    3 Analise harmonica generalizada 33

    3.1 Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    3.1.1 Definicao e existencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    3.1.2 Polos e zeros duma funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    3.1.3 Teoremas simples da Transformada de Laplace . . . . . . . . . 36

    3.1.4 Transformada de Laplace Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    3

  • 3.2 Aplicacao aos sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    3.2.1 Equacoes diferenciais com condicoes iniciais . . . . . . . . . . 41

    3.2.2 Funcao de sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    3.3 Integral de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    3.3.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    3.3.2 TF discreta no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    3.3.3 Propriedades da TF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    3.3.4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    3.4 Famlia de impulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    3.5 Transformada de Fourier do Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    3.6 Transformada de Fourier do degrau unitario . . . . . . . . . . . . . . 57

    3.7 Transformada de Fourier da funcao sinal (sgn) . . . . . . . . . . . . . 60

    3.8 Transformada de Fourier de um sinal periodico . . . . . . . . . . . . . 60

    3.9 Transformada de Fourier de um pente de Diracs . . . . . . . . . . . 61

    3.10 Transformada de Fourier de sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . 63

    4 Correlacao e densidade espectral 66

    4.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    4.2 Espectro de potencia de intercorrelacao . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    4.3 Autocorrelacao e espectro de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    4.4 Aplicacao aos sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    4.5 Correlacao e convolucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    4.6 Potencia, energia e densidade espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    4.7 Caso dos sinais periodicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    5 Filtros 75

    5.1 Sistemas sem distorcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    4

  • 5.2 Sistemas so com distorcao de amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    5.2.1 Largura de banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    5.2.2 Duracao da resposta impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    5.2.3 Resposta indicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

    5.2.4 Filtro passa-baixo ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    5.3 Sistemas so com distorcao de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

    5.4 Sistemas de 1a e 2a ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

    5.4.1 Representacao frequencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

    5.4.2 Representacao temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

    5.5 Generalidades sobre a sntese de filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    5.6 Sntese de filtros FIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

    5.6.1 Funcao de observacao rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    5.6.2 Funcao de observacao de Bartlett . . . . . . . . . . . . . . . . 97

    5.6.3 Funcao de observacao de Hanning . . . . . . . . . . . . . . . . 98

    5.6.4 Funcao de observacao de Hamming . . . . . . . . . . . . . . . 98

    5.6.5 Funcao de observacao de Blackman . . . . . . . . . . . . . . . 99

    5.7 Sntese de filtros IIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    5.7.1 Filtros Butterworth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

    5.7.2 Filtros Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

    5.7.3 Filtros elpticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

    A Folhas de Exerccios 104

    A.1 Sistemas lineares e invariantes no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . 104

    A.2 Convolucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

    A.3 Folha 3 - Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

    A.4 Folha 4 - Analise Harmonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

    5

  • A.5 Folha 5 - Correlacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

    A.6 Folha 6 - Filtros: sistemas com e sem distorcao . . . . . . . . . . . . 113

    B Folhas de Trabalhos Praticos 114

    B.1 Folha 1 - Introducao ao Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

    B.1.1 Preparacao teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

    B.1.2 Trabalho pratico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

    B.2 Folha 2 - Sinais discretos em Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

    B.2.1 Preparacao teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

    B.2.2 Trabalho pratico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

    B.3 Folha 3 - Convolucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

    B.3.1 Preparacao teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

    B.3.2 Trabalho pratico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

    B.4 Folha 4 - TF de sinais discretos no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . 122

    B.4.1 Preparacao teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

    B.4.2 Trabalho pratico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

    B.5 Folha 5 - Densidade espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

    B.5.1 Preparacao teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

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