méthodes de synthèse fréquentielle h pour la commande ... · méthodes de synthèse...
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Auteur: [email protected] Version: 2017 1/166
Méthodes de synthèse fréquentielle H pour la commande multivariable et le diagnostic de procédés
AC560 : Volume (8 CM, 2 TD, 4 TP)
Mots clefs: H, LMI, analyse, performance, robustesse, FDI,
Pré-requis
– Automatique fréquentielle classique: fonctions de transfert, schéma-bloc, diagramme de Bode, Black Nichols, Critère de Nyquist, réglage de correcteurs PI, avance/retard de phases
– Notions classiques d ’algèbre linéaire (rang, valeurs singulières, valeurs propres, symétrie, définie-positive)
– Automatique moderne: analyse matricielle, représentation d’état, commande par retour d’état estimé.
– Cours AC510 : Diagnostic par redondance analytique d'équations (espace de parité, estimation de paramètres, validation de données)
Contenu
– Formalisation d’un cahier des charges en Automatique fréquentielle
» Limitation des performances SISO et MIMO
– Robustesse du système en boucle fermée
» Incertitude et robustesse
» Stabilité robuste et analyse des performances
– Synthèse de lois de commande
» LQG
» H loop-shapping (modelage du transfert de boucle)
» H par pondération fréquentielle
– De la Commande H au Diagnostic
» FDI (Detection et localisation de défauts)
» Fault Tolerant Control (accomodation)
Auteur: [email protected] Version: 2017 2/166
Référence
– Laurent El Ghaoui Cours "Commande robuste" École Nationale Supérieure de Techniques Avancées
– Duc G., Font S., 2000, "Commande H et -analyse", éditions Hermes.
– Sigurd Skogestad et Ian Postlethwaite, 1998 « Multivariable feedback control: analysis and design" Edition John Wiley & Sons
– G. Scorletti et Vincent Fromion, 2003, "Introduction à la commande multivariable des systèmes: méthodes de synthèse fréquentielle H", Cours de 3ème année de l’ENSI de Caen.
– Denis Arzelier, 2005, « Course on LMI Optimization with applications in Control » www.laas.fr/arzelier
Auteur: [email protected] Version: 2017 3/166
Partie 1: Formalisation d’un cahier des charges en Automatique fréquentielle
Objectifs: Assurer un suivi de référence
– En régime nominal
» exemple pour une voiture: masse, vitesse, adhérence au sol fixent
– En régime incertain :
» i.e., dérives de paramètres (exemple pour une voiture: variation de la masse, de la vitesse, de l’adhérence au sol)
» i.e., perturbations extérieures (exemple pour une voiture: vent, courbure)
L’asservissement est conçu à partir d’un modèle idéalisé et simplifié du système réel.
– Pour fonctionner correctement, il doit donc être robuste aux imperfections du modèle,
» i.e., aux écarts entre le modèle et le système réel, aux dérives des paramètres physiques et aux perturbations externes.
Auteur: [email protected] Version: 2017 4/166
Plan : Partie 1
Formalisation d’un cahier des charges en Automatique fréquentielle
– Éléments introductifs à la commande multivariable
» Normes H2 et H
» Boucle d’asservissement
» Marge de gain et de phase
– Propriétés des asservissements
» Stabilité
» Compensation de pôles et/ou zéros instables
» Performance, Bande passante
» Relation entre S, T, la marge de Module , la marge de gain et marge de phase
» Limitations imposées par la présence d’un zéro et/ou d’un pole instable
» Performance en BF et HF en présence d’un zéro (z) instable
Auteur: [email protected] Version: 2017 5/166
Partie 1 : Définitions des normes (vecteur, matrice, signal, système)
Vecteur
» La norme euclidienne de
Matrices représente la notion de valeur singulière
» avec
est R
x
x
x n
n
1
2/1n
1i
2i
T xxxx
Au
Ausup
0u
u
AusupA
0u2
A u
Au
AAA T
Auteur: [email protected] Version: 2017 6/166
Partie 1 : Définitions des normes (vecteur, matrice, signal, système)
Signaux
» Sur l’espace l2 des signaux de carré sommable, on définit le produit scalaire
» qui induit la norme de l’énergie
» La transformée de Fourrier envoie l2 sur l’espace H2 des fonctions X(s) analytique dans Re(s)0 et de carré sommable. Par l’identité de Parseval, on a
0dttytxyx
2/1
02
dttytxx
2/1
22
dwjwx2
1x
Auteur: [email protected] Version: 2017 7/166
Partie 1 : Définitions des normes (vecteur, matrice, signal, système)
Systèmes
» Norme H2:
» Où G(jw) est la transformée de Fourier de soit par l’identité de Parseval
» Interprétation : elle représente l’énergie en sortie lorsque l’on injecte un dirac en entrée
» Norme H:
» Interprétation : elle mesure le gain maximal de la réponse fréquentielle G(jw)
2/1
*2
jwGjwGTrace2
1sG
2
2
HsUmax
w sU
sYsupjwGsupsG
2
BCeAt
dwjwGjwG
2
1BdtCeCeB *
0
tATtAT T
Auteur: [email protected] Version: 2017 8/166
Partie 1 : Définitions des normes (vecteur, matrice, signal, système)
Notion de valeurs singulières
– Pour un système SISO, on définit à partir G(s), le gain du système à la pulsation w, par le module
– Pour un système MIMO, on utilise la notion de valeurs singulières
» Les valeurs singulières étant des nombres réels positifs ou nuls, elles peuvent être classées.
» Pour un système monovariable (m=p=1), il existe qu'une seule valeur singulière, en l'occurrence :
» Les valeurs singulières constituent donc une généralisation de la notion de gain aux systèmes multivariables.
sGsG max
p,mmin,1i
jwGjwGjwGjwGjwG Ti
Tii
jwGjwGjwGjwG 21
jwGjwGjwG
Auteur: [email protected] Version: 2017 9/166
Exemple 1 : SISO
Notion de valeurs singulières
– Exemple 1: Système SISO
» Par définition
» Soit
» On retrouve la définition du module
2s
1sG1
p,mmin,1i
jwGjwGjwGjwGjwG Ti
Tii
211w4
1
jw2
1
jw2
1jwG
21
w4
1jwGjwG
Frequency (rad/sec)
Sin
gu
lar
Va
lues (
dB
)
Singular Values
10 -1 10 0 10 1 -22
-20
-18
-16
-14
-12
-10
-8
-6
Auteur: [email protected] Version: 2017 10/166
Exemple 2: MIMO
Notion de valeurs singulières
– Exemple 2: Système MIMO
» Par définition
on obtient une matrice carrée de dimension 22
fonction de w où pour chaque w
il existe 2 valeurs propres 1 et 2
dont les racines forment respectivement
les 2 valeurs singulières 1 et 2.
10s2s4s
15s2
10s2s4s
110s2s4s
2s3
10s2s4s
20s
sG
22
22
2
p,mmin,1i
jwGjwGjwGjwGjwG Ti
Tii
w : rad / sec
dB
Singular Values
10 -1 10 0 10 1 10 2 -90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
Auteur: [email protected] Version: 2017 11/166
Partie 1 : Boucle d’asservissement
Boucle d’asservissement
» r(t) : consigne ou signal de référence
» y(t): signal de sortie ou réponse
» e(t): erreur de suivi (tracking error)
» u(t): commande
» wi(t): perturbation de la commande
» w0(t): perturbation de la sortie
» n(t): bruit de mesure
K G
+
-
r e u
wi wo
y
n
Boucle de suivi (tracking)
Auteur: [email protected] Version: 2017 12/166
Partie 1 : Boucle d’asservissement
Propriétés des asservissements
– Stabilité Il convient de distinguer la stabilité BIBO (bounded input/bounded output) de la stabilité interne.
• Stabilité BIBO: elle exige que l’énergie des signaux en sortie (y) soit bornée
dès que l’énergie fournie en entrée ( r ) est bornée, i.e.,
• Stabilité interne: elle exige que tous les signaux circulant dans la boucle soient d’énergie finie, i.e.,
Cette notion de stabilité interne est plus restrictive mais plus importante en pratique puisque
les composants à l’intérieur de la boucle sont également sensibles aux énergies infinies
1
0nww
sKsGIsKsGsT)s(r
)s(y
oi
1
0rnwo
sKsGIsS)s(w
)s(y
i
1sKsGIsKsGsT
sSsK)s(n
)s(u
)s(r
)s(u
0rww0nww 0i0i
1
0rnwi
sGsKIsG)s(w
)s(y
o
Auteur: [email protected] Version: 2017 13/166
Partie 1 : Boucle d’asservissement
Stabilité externe
– Exemple, on considère le système G avec le correcteur K suivant
» On obtient dès lors
» Lequel est BIBO stable, puisqu’il n’y a pas de changement de signe au dénominateur (voir critère de Routh)
Stabilité interne
» Instable, d’après le transfert
» On constate qu’il y a eu simplification du pole instable s=0, par un zéro de K
1s
ssK
)1s(s
1sG
20nww 1s1
1sT
)s(r
)s(y
oi
2
1
0rnwi 1s1s
1ssGsKIsG
)s(w
)s(y
o
2)1s(
1
1s
s
)1s(s
1sKsG
Auteur: [email protected] Version: 2017 14/166
Partie 1 : Boucle d’asservissement
Stabilité interne
– Il est donc dangereux d’analyser la stabilité au seul vu des pôles de S(s) et T(s), i.e., aux racines de
det(I+G(s)K(s))=0
– Il faut plutôt calculer le spectre de ABF à partir des réalisations minimales de G et K
» Exemple
avec u(t) = Kx(t).
Soit ABF=A+BK et un spectre de ABF =det(I-(A+BK))=0.
Le système bouclé, présentera alors une stabilité interne si et seulement si (i) < 0, où sont les vp de ABF.
Cxy
BuAxx
0C
BAsG
Auteur: [email protected] Version: 2017 15/166
Partie 1 : Boucle d’asservissement
On considère le schéma général
– où tous les transferts se réduisent
à la matrice de transfert suivante
puisque
K G
+
-
r e u
b wo
y
n
Boucle de suivi (tracking)
sb
sr
sGsSsKsSsK
sGsSsS
su
se
sSsr
se
sw
sy
oii wnwrnwo
00)(
)(
)(
)(
sSsKsn
sU
sr
sU
rwbnwb
00 00)(
)(
)(
)(
sSsGsb
se
sb
sy
rnwrnw oo
00 )(
)(
)(
)(
Auteur: [email protected] Version: 2017 16/166
Partie 1 : Boucle d’asservissement (Obtention des objectifs de synthèse)
On peut déduire le comportement asymptotique des fonctions de transfert composant M(s) en faisant des hypothèses sur le gain de la BO
– Si le gain de la BO est grand soit
» K agit sur les transferts de r vers et de b vers
» cette approximation intervient notamment en basse fréquence, par exemple si K(s) présente un pôle en 0, le gain de la BO tend vers l’infini en basse fréquence et les transferts S(s) et S(s)G(s) ont un zéros en 0, ce qui signifie l’absence d’erreur statique pour les signaux r et b constant
» u est directement influencé en basse frequence (module = 1) par b afin de le compenser (u=b)
KSGKS
SGSM
1jwKjwG
11
11
jwG
jwKjwKjwGjwM
11
GKsS
b
r
KSGKS
SGS
u
e
sSsw
sy
o
)(
)(
sSsKsn
su
)(
)(
sGsSsb
sy
)(
)(
Auteur: [email protected] Version: 2017 17/166
Partie 1 : Boucle d’asservissement (Obtention des objectifs de synthèse)
Seconde hypothèse sur le gain de la BO
– Si le gain de la BO est faible soit
» K(s) agit sur les transferts de r vers u et de b vers u, tandis qu’il est sans effet sur les transferts de r vers et de b vers
» cette approximation intervient notamment en haute fréquence car le gain du système non corrigé à naturellement tendance à décroître avec la fréquence et l’on cherche en général à synthétiser un correcteur qui atténue les hautes fréquences, afin
d’éviter d’exciter inutilement la commande en dehors de la BP de l’asservissement
de ne pas solliciter les dynamiques négligées ou mal modélisées en dehors de la BP
1jwKjwG
jwKjwGjwK
jwGjwM
1
11
GKsS
b
r
KSGKS
SGS
u
e
sSsKsn
su
)(
)(
Auteur: [email protected] Version: 2017 18/166
Partie 1 : Boucle d’asservissement (Obtention des objectifs de synthèse)
Pour compléter ce raisonnement asymptotique on peut rappeler que :
– la marge de module (distance minimale entre un point du lieu de Nyquist et le point critique -1) est l’inverse du maximum de S(jw)
– la pulsation au gain unité w0 de la BO :
» donne une image de la BP de l’asservissement
» et conditionne fortement le temps de réponse tr w0tm où tm est le temps de passage au premier maximum de la réponse indicielle
– La BP détermine la classe de signaux l’asservissement est capable de suivre ou de contrer.
» Plus elle est étendue, plus l’asservissement est capable de réagir à des variations rapides.
» Elle mesure la zone de fonctionnement de l’asservissement.
100 jwKjwG
Auteur: [email protected] Version: 2017 19/166
Partie 1 : Critère de Nyquist
Le système bouclé est BIBO (entrée bornée, sortie bornée) stable si est seulement si le contour de Nyquist de L(s)=G(s)K(s) parcouru de w=- à w=+ entoure le point critique (-1,0) un nombre de fois égal au nombre de pôles instables de L(s).
Exemple
– Soit
– Puisque L(s) présente un pôle instable, et que
suivant les w croissants, ce contour entoure une
seule fois le point critique, on en conclut que la
BF est stable
1
1
ssG 2sK
22 1
2
1
2
1
2
w
jw
wssL
-2, w=0 0, w= -1
Im(L)
Im(R)
Auteur: [email protected] Version: 2017 20/166
Rappel: Nyquist
Marge de gain en dB
» où w180 est la pulsation à laquelle le tracé de Nyquist coupe le demi-axe de phase 180°.
» elle mesure de combien le gain peut varier à cet endroit avant de toucher le point critique (-1)
Marge de phase
» Elle mesure de combien la phase peut varier avant de rencontrer le point critique (-1)
Marge de module
» Elle mesure la distance minimale du tracé de Nyquist au point critique
180jwLoù
jwL
1GM
180
180
Re(G(jw)K(jw)
-1
Im(G(jw)K(jw))
PM
L(jw180)
wc
L(jw)
Marge de Gain
w180 1
S
18010log20 jwLGMdb
1180 cc jwLoùjwLPM
1
S
Auteur: [email protected] Version: 2017 21/166
Rappel: Bode
Rappel
10-2 10-1 100 101
101
KGL
L:phase
100
101
-90°
-180°
1/GM
PM
wc w180 rad/s
rad/s
180jwLoù
jwL
1GM
180
180
1jwLoù
180jwLPM
c
c
Auteur: [email protected] Version: 2017 22/166
Partie 1: Propriétés des asservissements (Compensation de pôles et/ou zéros instables )
Hypothèse
– pour assurer une stabilité interne en présence de pôles et/ou zéros instables on suppose qu’il n’y a pas de compensation de ces pôles et zéros entre K(s) et G(s) (robustesse aux incertitudes de modèle).
Exemple:
– Le correcteur K1(s) compense le pôle instable p=1, on obtient dès lors pour K1(s) et K2(s) respectivement les fonctions de sensibilité complémentaire
– Si l’on considère maintenant une petite variation du pôle du procédé
» On obtient
» T1(s) est alors instable et ce pour une perturbation très faible (chg de signe dans le denominateur)
» Par contre T2(s) reste stable et ce pour >-1
2sK,1s
1ssK,
1s
1sP 21
1s
2
1s
21
1s
2
sT,2s
1
1s
11
1s
1
sT 21
,1s
1sP
,2s1s
1s
1s1s1s
1s
1s
1s
1s
11
1s
1s
1s
1
sT21
1s
2
1s
21
1s
2
sT2
Auteur: [email protected] Version: 2017 23/166
Partie 1: Propriétés des asservissements (Performance, Bande passante)
Performance
– Un asservissement est performant
» s’il réagit rapidement et suit la consigne avec précision
» ou encore s’il rejette rapidement les perturbations
– Intuitivement, les performances sont d’autant meilleures que le gain de boucle est élevé,
» Cela, peut se justifier aisément par l’étude de la moyenne quadratique de l’erreur (e) sur une période T=2/w, sachant que
» on obtient
» On voit que cette erreur sera d’autant plus petite que le gain de boucle à la fréquence w |GK(jw)| est élevé.
T
0
221T
0
2 dttrjwGK1dtte
)s(r)s(S)s(rsGK1)s(e 1
Auteur: [email protected] Version: 2017 24/166
Partie 1: Propriétés des asservissements (Performance, Bande passante)
Performance (Exemple NL)
– On considère le système non linéaire asservi par la boucle de suivi suivante
» où k est un gain scalaire
– On boucle ouverte avec k=1, on observe
» Le suivi est donc bon que pour r petit et la caractéristique est non linéaire
On boucle fermée avec un grand gain (k>>1), la relation
– se réduit à l’expression suivante
» Le suivi est donc bon pour tous r
2xx)x(g
k g(.)
+
-
r e u
Boucle de suivi (tracking)
y
2rry
2eekre
k1
re
r
k1
rk
k1
r
k1
rkeeky
2
22
Auteur: [email protected] Version: 2017 25/166
Partie 1: Propriétés des asservissements (Performance, Bande passante)
Performance (Cas linéaire)
– Dans le domaine fréquentiel, le transfert entre l’erreur de suivie et la consigne est donnée par la fonction de sensibilité
» L’asservissement sera performant dans la bande de fréquence [w1,w2] si dans cette bande, i.e.,
En effet, on a alors
soit
» Ceci nécessite typiquement un gain de boucle élevé dans cette bande, i.e.,
Mais attention, un gain élevé n’implique pas nécessairement toujours de bonne performance
1GKIS
0jwS
21min w,ww,1jwKjwG
21max w,ww,1jwS
1jwGKIjwGKIor
1jwGKI
min1
max
1max
1jwGKI
11jwGKI
min
1max
Auteur: [email protected] Version: 2017 26/166
Partie 1: Propriétés des asservissements (Performance, Bande passante)
Performance (Limitations imposées par la présence d’un zéro instable ds G)
– La présence d’un zéro instable dans G(s) apparaît notamment quand G(s) présente une dynamique lente et rapide,
» Exemple :
présente s=z=8 comme zéro instable
Instabilité en présence d’un gain proportionnel élevé
– Exemple : on considère le système SISO : G(s)=z(s)/(s) avec un retour négatif K(s)=k
– Remarques
» Par un retour constant les zéros ne sont pas modifiés
» Par contre les pôles sont modifiés
k 0 cl(s) (s)
k cl(s) kz(s)
On constate que pour un gain élevé les pôles de la BF tendent vers les zéros du système, lesquels sont instables
10s1s
8s
10s
2
1s
1)s(G
s
skz
skzs
skz
skG1
skG
sL1
sL)s(T
cl
cl
Auteur: [email protected] Version: 2017 27/166
Partie 1: Propriétés des asservissements (Stabilité )
Limitation de la bande passante par la présence d’un zéro instable dans G : Performance en Basse Fréquence
– On souhaite que la sortie suive l’entrée,
– Le cas idéal est bien entendu T(s)=1 pour tous w, i.e. T(s)=L(s)*S(s) avec S(s)=1/L(s)
» Soit une fonction de sensibilité égal à l’inverse du transfert de boucle
» Dans ce cas, sachant que T(z)=0 et S(z)=1
On propose
On constate que pour w/z=1/2 (i.e., w=z/2) la fonction de sensibilité coupe l’axe 0db, par conséquent la BP en présence d’un zéro instable est limité et doit être choisi < z/2 de telle sorte que le contrôleur s’approche du contrôleur idéal (i.e. tel que S=1/L).
100
|S|
w*1/z 1/2 1
10-1
10-2
1zS
1z
sz
s2
zs
s2sT1sS
0zTzs
szsT
Auteur: [email protected] Version: 2017 28/166
Relation entre S et la marge de Gain
Pourquoi
– Sachant que
– Or
où L est réel et négatif à w180
180
180jwL1
1jwS
L1
1S
180jwL
1GM
1S
SGM
GM
11
S
1
GM
11
S
1
S
GM
11
1jwS
GM
1180jwL
180
1S
SGM
L(jw)
PM
wc
Re(G(jw)K(jw)
-1
Im(G(jw)K(jw)) L(jw180)
Marge de Gain
w180 1
S
Auteur: [email protected] Version: 2017 29/166
Relation entre T et la marge de Phase
Sachant que
Or
2
PMsin2
1jwT
jwT2
1
jwL2
jwL1
2
PMsin
c
cc
c
T2
1arcsin2PM
T
2
PMsin2
1
jwT2
1
jwL2
jwL1
2
PMsin
cc
c
PM/2
L(jwc)
|-1 - L(jwc)|
-1
-1
Im
Re
Auteur: [email protected] Version: 2017 30/166
Relation entre S et la marge de Module
Marge de module
L(jw)
PM
wc
Re(G(jw)K(jw)
-1
Im(G(jw)K(jw)) L(jw180)
Marge de Gain
w180 1
S
K
SSMM111
1
K1
1
k1
S(jw)
jww1
Auteur: [email protected] Version: 2017 31/166
Contraintes sur les maximums de S et T
Maximum de S = (1+L)-1 et T = LS avec L=KG
Comme S+T = 1 on obtient pour tous w
si grand alors grand
Par contre et ne peuvent pas être simultanément petits
db62jwSmaxSw
db225.1jwTmaxTw
S T
S T
ST1TSTS1
1TSTS
Respect de la marge de module
Limiter les dépassements
Auteur: [email protected] Version: 2017 32/166
Contraintes sur S et T en fonction des pôles et zéros
Si p est un pôle instable de G(s) alors il est également pôle du transfert de boucle L=GK et s=p est alors zéro de la fonction de sensibilité S:
– S(p)=(I+L(p))-1=0 et T(p)=L(p)*S(p)=1
» La preuve est aisée pour un système SISO.
» Dans le cas MIMO on montre que pour conserver la stabilité (i.e. T(s)=L(s)*S(s) stable), il faut que S(s) compense le pôle instable p de L(s) autrement dit s=p doit être un zéro de S(s) => S(p)=0 et T(p)=1 sachant S+T=I
Si z est un zéro instable de G(s) alors il est également zéro du transfert de boucle L=GK et s=z est alors zéro de la fonction de Sens. complémentaire T:
– T(z)=0 et S(z)=1
» SISO:
» Dans le cas MIMO on montre que pour conserver la stabilité (i.e. S(s) stable), il faut que s=z ne soit pas un pôle de S(s) autrement dit s=z assure T(z)=L(z)*S(z)=0 (dénominateur 1+L 0)
1zS,0zT0zL0)z(G
0pS,1pTpL0)p(G 1
Auteur: [email protected] Version: 2017 33/166
Contrainte sur S en présence d’un zéro instable sur G
Gabarit fréquentiel sur S en présence d’un zéro (z) instable sur G
– On considère un gabarit fréquentiel w(s) stable qui modèle la fonction de sensibilité S, alors la BF est stable ssi w(s) satisfait la contrainte inégalité suivante
– Preuve: puisque T(z)=0 et S(z)=1
– On conséquence pour un gabarit unitaire (i.e. sans modelage commande classique) il faut nécessairement assurer
zwzSzwjwSjww ppp
1jwS
zwjwSjww pp
1
jww
jwSp
1
Auteur: [email protected] Version: 2017 34/166
Contrainte T en présence d’un pôle (p) instable sur G
Gabarit fréquentiel sur T en présence d’un pôle (p) instable sur G
– On considère un gabarit fréquentiel wT(s) stable qui modèle la fonction de sensibilité complémentaire T, alors la BF est stable ssi wT(s) satisfait la contrainte inégalité suivante
– Preuve: puisque T(p)=1
– On conséquence pour un gabarit unitaire (i.e. sans modelage) il faut nécessairement assurer
pwjwTjww TT
1
pwpTpwjwTjww TTT
1jwT
Auteur: [email protected] Version: 2017 35/166
Limitations imposées par la présence d’un pôle (p) instable
Par exemple le système G(s)=1/(s-3) présente s=3 comme pôle instable.
– Il faut bien-entendu appliquer un retour pour stabiliser la BF, mais la présence d’un pôle instable impose une BP minimale, explication.
Considérant la gabarit fréquentiel suivant
– lequel est usuel pour un suivi de consigne
Sachant que et T(p)=1 avec p comme pôle instable,
on obtient dès lors
–Soit
1
w
sM
Msw,
M
1
w
ssw
*BT
T
T1T
T*BT
T
wjww
1jwT1Tw
TT
pwpTpwTw1 TTT
1pwT
MT
|wT|-1
w*BT/MT
w*BT
Auteur: [email protected] Version: 2017 36/166
Limitations imposées par la présence d’un zéro instable dans G(s) (suite)
Limitation de la bande passante II
– Soit le gabarit Wp(jw) tel que
» où Wp(jw) est généralement un filtre de performance décrit par
» Avec
A : l’erreur statique /yref
Un maximum de la fonction de sensibilité < K1 2
w*B est la bande passante minimale
Si z est un zéro instable du système alors T(z)=0, S(z)=1 soit
– or
wjww
1jwS1SW
pp
1
1
*1
1*
11
*
1
1*
1
1*
*
1
B
Bp
B
Bp
B
B
p
wK
s
kw
s
ksW
wK
s
kwssW
kws
wK
s
sW
11 0 kWp
1
1 KWp
11
1*
*
1
kwz
wK
z
zwSwzw
B
B
ppp
zWzSzWSW ppp
|Wp-1|
w
K1=2
k1=10-2
w*BK1
w*B
100
10-1
k1w*B
2decades
40db
Auteur: [email protected] Version: 2017 37/166
Performance en basse fréquence en présence d’un zéro (z) instable
Exemple z est réel, alors toutes les variables du gabarit Wp sont réels et positive, le module de Wp(z) devient
– Pour des données parfaites, à savoir k1=0, K1=2 on retrouve la même limitation de la BP minimale, à savoir
Autre cas, si z est imaginaire pur :
Montrer pour k1=0 que la BP minimale est
– Pour K1=2, on trouve
1
1*
1*
*
1 1111
Kzkw
kwz
wK
z
zw BB
B
p
2
zw*
B
21
* 11
KzwB
z86.0w*B
zjz
Auteur: [email protected] Version: 2017 38/166
Performance en Haute fréquence en présence d’un zéro (z) instable
Si l’on considère une atténuation de la fonction de sensibilité S en HF, on fixe par exemple le filtre de performance suivant
–Pour satisfaire il faut pour p=z, que
Soit pour z réel positive une borne inférieure de la BP, à savoir
Pour K1=2, on peut assurer une performance en HF qu’à partir de
1
1
*1
1*
1
B
Bp
w
Ks
K
w
s
Ksw
wjww
1jwS1SW
pp
1zwp
*
1
*1 1
1
11
BpB
p w
K
zzw
w
z
Kzw
z2w*B
Auteur: [email protected] Version: 2017 39/166
Performance de la fonction de sensibilité complémentaire en présence d’un pôle réel ou d’un pôle imaginaire
Cas1 : pôle réel instable s=p
– On obtient d’après la contrainte et le gabarit fréquentiel
» Une bande passante minimale
» Soit pour K1=2
Cas2 : pôle complexe instable s=j|p|
» Une bande passante minimale
» Soit K1=2
1
*
1
Kw
ssw
BTT 1pwT
11
1*
K
KpwBT
p2w*BT
p15.1w*BT
p15.1wc
Auteur: [email protected] Version: 2017 40/166
Partie 2: Robustesse du système en boucle fermée
Plan » Incertitude et robustesse
» Stabilité robuste et analyse des performances
Auteur: [email protected] Version: 2017 41/166
Robustesse aux incertitudes
On peut considérer deux classes d’incertitudes
– Incertitude paramétrique
» Comme son nom l’indique, il s’agit d’incertitude sur les paramètres : gain statique, cte de temps…
– Dynamique non modélisée, négligée
» Par exemple G(s)=G1(s)*G2(s) où G2(s) est négligé (il peut s’agir d’un retard e-s, ou encore d’un mode 1/(s+1))
– Où 0 < < max, 0 < < max
» max et max sont connus
Auteur: [email protected] Version: 2017 42/166
Incertitude paramétrique
Exemple : Gain incertain
– Où kp est gain incertain borné et Go(s) est un transfert nominal (i.e., sans incertitudes)
On montre que l’incertitude paramétrique peut se réécrire sous la forme d’un système à incertitude multiple
Si l’on écrit
– On obtient dès lors
maxpminopp kkk,sGksG
wI I
G
Gp
1
IIIp
I
w1jw,ssw1sGsG
Système avec incertitude multiple
2
kkk,
kk
kkw,w1kk minmax
minmax
minmaxIIp
1,w1sGksG III
sG
op
Auteur: [email protected] Version: 2017 43/166
Stabilité robuste en présence d’incertitude multiple
On considère la synthèse de control classique
– laquelle présente un transfert de boucle
La stabilité au sens de Nyquist est vérifié si
– Lp n’entoure pas le point –1 Lp
wI I
G
Gp
K
1,LwLw1GKKGL IIIIIpp
Auteur: [email protected] Version: 2017 44/166
Stabilité robuste en présence d’incertitude multiple
Nyquist : Lp n’entoure pas le point –1 Lp
– En d’autre termes, il faut
» Que la distance |-1-L(jw)|= |1+L(jw)| > |wIL(jw)| w
– Soit
En conclusion, la stabilité robuste est garantie si
– Cela montre que T doit être faible dans la zone où l’incertitude relative wI excède 1
Im
Re
-1
L(jw)
|wIL|
|1+L|
1,LwLw1GKKGL IIIIIpp
w,1Tww,1L1
LwI
I
w,w
1T
I
Auteur: [email protected] Version: 2017 46/166
Exemple de mise sous forme LFT: application à la modélisation d’une
dynamique hautes fréquences négligée
Soit Gp(s) une fonction transfert perturbée et Go(s) celle du système nominal, laquelle néglige une dynamique qu’on suppose être du premier ordre, avec une constante de temps < max :
– La connaissance de la valeur max permet d’établir une borne sur l’erreur relative sur la réponse fréquentielle, à savoir
– On peut modéliser la dynamique négligée par une réécriture sous la forme d’un système à incertitude multiple
– où
maxop ;s1
1sGsG
jw1
jw
jw1
jw
jwG
jwGjwG
max
max
o
op
ssw1sGsGsoitssw
sG
sGsG11op11
o
op
1s1jwets1
ssw 11
max
max1
Auteur: [email protected] Version: 2017 47/166
Modélisation d’une dynamique hautes fréquences négligée (suite)
Avec représentation par LFT des incertitudes de modélisation
– On a
– On veut
– Par identification, on obtient
I
Go
Gp
1
IIIop
I
w1jw,ssw1sGsG
Système avec incertitude multiple
H(s)
I(s)
v z
y w
Représentation par LFT
w
z v wI
)s(w
)s(v
sGswsG
10
sy
sz
)s(w
)s(vsH
sy
sz
o1o
|w1(jw)|
1/max 1/ w 1
Auteur: [email protected] Version: 2017 48/166
Autre exemple : incertitude paramétrique
Supposons à présent que Gp(s) s’écrive :
– En posant a=ao+b, -1 < < +1, et en remarquant que
– On obtient le schéma-bloc suivant, lequel est associé à l’incertitude multiple inverse
– qui s’identifie avec le schéma LFT usuel
baabaavecas
1sG oo2p
1
oo as
b1
as
1
as
1
H(s)
I(s)
v z
y w
1/(s+ao)
w
v1
z1
b
1/(s+ao)
v2
b
z2
y
Auteur: [email protected] Version: 2017 49/166
De l’incertitude paramétrique à la LFT
Par identification, on obtient
)s(w
sv
sv
as
1
as
b
as
b
as
1
as
b
as
b
as
10
as
b
)s(w
sv
sv
sH
)s(y
sz
sz
2
1
2oo
2o
2oo
2o
oo
2
1
2
1
0
0s
H(s)
I(s)
v z
y w 1/(s+ao)
w
v1
z1
b
1/(s+ao)
v2
b
z2
y
Auteur: [email protected] Version: 2017 50/166
Propriété des LFT
Une propriété importante des LFT est que toute association de LFT est encore une LFT.
– Ainsi si nous considérons une boucle d’asservissement, avec un correcteur K(s) appliqué au modèle Gp(s) qui présente une incertitude paramétrique et une dynamique négligée, nous obtenons à nouveau une LFT
– Où la structure générale de la matrice d’incertitude est
– Laquelle vérifie les conditions de normalisation
1/(s+ao)
v2
z2
b
1/(s+ao)
v3
b
z3
y
I w1(s)
z1 v1
w
Boucle d’asservissement avec 2 types d’incertitudes
K(s)
,,sdiags 1
1s1,1;1s1
Auteur: [email protected] Version: 2017 51/166
De l’étude de la robustesse au théorème du faible gain
L’étude de la robustesse consiste à chercher à garantir par exemple la stabilité pour un ensemble d’incertitudes (s)
– Si H(s) et (s) sont stables, la seule source d’instabilité provient du bouclage par (s)
– il est donc équivalent d’étudier la stabilité du système de la figure suivante avec M(s)=Hzv(s)
Robustesse de la stabilité : analyse non structurée
– Théorème du petit gain: Si M(s) et (s) sont stables, le système de la figure ci-dessus est stable pour tous (s) tel que ||(s)|| si et seulement si ||M(s)|| -1, où M(s)=Hzv(s)
(s)
M(s)
Schéma d’analyse de la robustesse de la stabilité
Auteur: [email protected] Version: 2017 52/166
Preuve du théorème du faible gain
Si ||M(s)|| -1 alors || (s)M(s)|| || (s)|| ||M(s)|| ||M(s)|| -1 =1 on a donc
Le pire des cas est donné pour une incertitude |(s)|= soit
0jwMjwjwjwM1
1jwMjw
TT
jwM
0jwM1
0jwM1jwM1
1
Auteur: [email protected] Version: 2017 53/166
Conclusion
Si on considère à nouveau le système Gp(s) avec une dynamique négligée
– La structure de contrôle peut être réduite au schéma d’analyse de la robustesse de la stabilité
– Où
(s)
M(s)
z v
wI I
G
Gp
K
z v
sGsK1
sGsKswsM
v
z I
Auteur: [email protected] Version: 2017 54/166
Conclusion (suite)
Dans notre cas ||(s)|| < 1, on en déduit par le théorème du faible gain
– Rappel : (Théorème du faible gain) Si M(s) et (s) sont stables, la BF est stable pour tous (s) tel que ||(s)|| si et seulement si ||M(s)|| -1, où M(s)=Hzv(s)
– Soit ||M(s)|| < 1 ou encore
– avec
jww
1
jwGjwK1
jwGjwK
1sGsK1
sGsKsw
I
I
1/|w1(jw)|
jwGjwK1
jwGjwK
w
1s1jwets1
ssw 11
max
max1
Auteur: [email protected] Version: 2017 55/166
Partie 3: Synthèse de lois de commande (LQG,H, optimisation LMI)
– Synthèse de lois de commande
» LQG
» H loop-shapping (modelage du transfert de boucle)
» H par pondération fréquentielle
Auteur: [email protected] Version: 2017 56/166
Introduction à la commande par résolution LMI
Préambule
– Étude de la stabilité d’un système autonome au sens du théorème de Lyapunov
Théorème de Lyapunov (1890!)
– Une CNS de stabilité est qu’il une fonction quadratique définie-positive V() = TS, avec S=ST > 0, telle que V décroît le long de toute trajectoire non nulle du système, i.e., dV/dt < 0.
– Une telle fonction si elle , joue le rôle d’une « énergie totale » pour le système, et est appelée fonction de Lyapunov
– S’il une fonction de Lyapunov quadratique prouvant la stabilité asymptotique, on dira que le système est quadratiquement stable
Rappel: Stabilité asymptotique
» une des premières spécifications que l’on cherche à analyser, ou à imposer à un système est sa capacité de retour à l’équilibre (exemple: pendule, …)
– Définition
» On dira qu’un système est asymptotiquement stable si pour toute CI x(0), on a x(t) 0 pour t
Aleksandr Mikhailovich Lyapunov
(1857-1918)
Auteur: [email protected] Version: 2017 57/166
Analyse par fonction de Lyapunov
Objectif:
– Prouver la stabilité du système au sens de Lyapunov
Rappel: Critère de stabilité
Le système est stable si la partie réelle des vp de A sont < 0
Autre critère : Prouver la stabilité au sens de Lyapunov, i.e. rechercher une fonctionnelle V(x) = xTSx, avec S=ST > 0 telle que
Or
Le système est donc asymptotiquement stable ssi il S=ST>0 telle que la LMI suivante en S est vérifiée
0txSASAtxdt
))t(x(dV TT
0V
Axx
Axx
0SASAT
Auteur: [email protected] Version: 2017 58/166
Exemple (système stable)
On propose
Le système scalaire est bien évidemment stable, car la vp est < 0
– Au sens de Lyapunov, cela revient à déterminer S=ST>0, telle que,
Exemple S=2 est une solution au problème posé
– Avec S=ST > 0
1A
xx
0SASAT
04
02*12*1
0SASAT
Auteur: [email protected] Version: 2017 59/166
Exemple (système instable)
On propose
Le système scalaire est bien évidemment instable, car la vp est > 0
Au sens de Lyapunov, il n’existe pas de matrice S=ST > 0, telle que
Preuve par contradiction
1A
xx
0,02
0,1,0
SS
SSASASA TT
0SASAT
Auteur: [email protected] Version: 2017 60/166
Cas général: LMI c’est quoi !!!
Une Inégalité Matricielle Linéaire est une contrainte sur un vecteur réel x m de la forme
– où les matrices symétriques Fi=FiTnn sont données et le symbole F 0 signifie que F est semidéfinie-
positive, i.e. que uTFu 0 pour tout u
Exemple
D’après l’étude précédente le système est stable au sens de Lyapunov
s’il existe une matrice telle que
Soit et
01
0
im
iiFxFxF
10
21A
32
21
pp
ppP
Axx
0 PAPAT0 TPP
04432
322
3221
211
pppp
ppp0
32
21
pp
pp
0
1000
0000
0040
0000
0100
1000
0043
0030
0000
0100
0002
0022
0 3211
0
pppFxFxF i
m
ii
Auteur: [email protected] Version: 2017 61/166
LMI c’est quoi !!!
Des LMIs multiples F(1)(x)>0, …., F(p)(x)>0 peuvent se ramener en une seule, en utilisant des matrices bloc-diagonales: diag(F(1)(x)>0, …., F(p)(x))>0
Exemple
– Les contraintes linaires
» Peuvent s’écrire comme F(x) > 0, en notant,
» il s’agit d’une LMI en x
nibxa iTi ,,1
00
*
00
22
11
xab
xab
xab
xF
Tnn
T
T
Auteur: [email protected] Version: 2017 62/166
Quelques exemples de base
Convertir la contrainte quadratique convexe
– où R=RT > 0 et x0 sont données, en la contrainte LMI
On rencontre plus souvent des LMIs qui portent sur des variables matricielles, par exemple l’inégalité de Riccati
» où A, B, Q = QT, R = RT > 0 sont des matrices données de tailles appropriées et P=PT est la variable
– est une LMI en P
Ou encore, le système est stable si et seulement si, il existe une matrice S=ST > 0, telle que , il s’agit d’une LMI en S
101
0 xxRxxT
01
0
0
Rxxxx T
01 QPBPBRPAPA TT
0
RPB
PBQPAPAT
T
Axx 0SASAT
I
BAI
IBAI
T
0 ,
0
11
Lemme de Schur :
1) C - BTA-1B > 0 ,
2) A - BC-1BT > 0 ,
Avec A =AT > 0, C =CT > 0
Preuve 1): Multiplier à gauche et à droite
resp. par
0,0
0
TT
T
CCAAavec
CB
BA
Auteur: [email protected] Version: 2017 63/166
Quelques exemples de base
Les valeurs propres de A sont – elles comprises entre –h1 et –h2 ?
– Oui si et seulement si il existe une solution
X=XT>0 qui vérifie les 2 LMI’s
Explication
-h1
-h2
02 2 XhXAAX T
02 1 XhXAAX T
0410 XXAAXX T 022
TIAXXIA
TIAXXIA 550
0 TXX
stableIA :2
stableIA :5
02 IA
05 IA
2 A
IA 5
(1)
(1)
Auteur: [email protected] Version: 2017 64/166
Commande par retour d’état (outils LMI)
On considère le système LTI
» avec u = Kx
Objectif: rechercher K par une synthèse LMI, tel que la BF soit stable
Solution
– Déterminer un X et U solution de la LMI
– Le correcteur K est donné par la relation K=UX-1
BuAxx
xBKAx
00 X,UBAXUBAXT
uu
Auteur: [email protected] Version: 2017 65/166
Exemple de programmation sous matlab
A=[1 0; 2 -2]; B=[1; 0];
% le correcteur K (u=Kx) est donné par résolution
% AX+BU+(AX+BU)'<0 et X > 0
% K=U*inv(X)
setlmis([]); % ouverture de la procédure de construction de la LMI
X=lmivar(1,[2,1]); % déclaration de X en précisant sa taille 2*2
U=lmivar(2,[1,2]); % déclaration de U en précisant sa taille 1*2
% Déclaration
% S = lmivar(type,struct)
% type = 1 si S est symétrique
% type = 1 et struct = [i,1] -> block size i*i
% type = 2 et struct = [M,N] -> S est rectangle de dimension MxN
lmiterm([1, 1, 1, X], A, eye(2),'s'); % LMI #1: A*X+X'*A'
lmiterm([1, 1, 1, U], B, eye(2),'s'); % LMI #1: B*U+U'*B'
lmiterm([-2, 1, 1, X], 1, 1); % LMI #2: 0 < X
%TERMID(1) = -2 -> right-hand side of the 2-th LMI
lmicont=getlmis; % diag et fermeture de la proc. de construction de la LMI
[ob,val]=feasp(lmicont,[0 1000 1e6 10 0], -0.01); % résolution de la LMI construite
X=dec2mat(lmicont,val,X); %recupere et assigne a X la solution obtenue)
U=dec2mat(lmicont,val,U); %recupere et assigne a U la solution obtenue)
K=U*inv(X);
Auteur: [email protected] Version: 2017 66/166
Explication : Stabilisation par retour d’état
Le système bouclé est stable ssi la condition suivante est vérifiée
– pour une certaine matrice symétrique X > 0 (correspondant à la fonction de Lyapunov V()= TX-1)
La condition (i) n’est pas une LMI à la fois en X et K, à cause du terme quadratique KX.
– On pose U=KX, on obtient dès lors une LMI en X et U :
0T
uu KBAXXKBA
00 X,UBAXUBAXT
uu
0
0
011
xBUAXBUAXx
xXBKABKAXx
xBKAXXBKAxxV
TT
TT
TT
xXxLya
xBKAxSys
T 1xV
BF
(i)
Auteur: [email protected] Version: 2017 67/166
Stabilisation par retour d’état avec placement des pôles entre –h2 et –h1
Solution
Explication voir transparent 63
0
,02
,02
1
2
T
Tuu
Tuu
XX
XhUBAXUBAX
XhUBAXUBAX
Auteur: [email protected] Version: 2017 68/166
Commande par Retour de Sorties
La commande par retour d’état statique vue précédemment peut être inapplicable, car elle nécessite la mesure complète de l’état (y=x)
– Or certaines variables d’état sont parfois inaccessibles à la mesure, soit parce que le capteur correspondant est coûteux, ou parce que la mesure requise est trop difficile à faire de manière précise. Nous sommes donc amenés à considérer des problèmes de commande en information incomplète, où la loi de commande dépend uniquement de la sortie mesurée y
Nous examinons
– la loi de commande par retour de sorties statique u=Ky
– la loi de commande par retour de sorties dynamique u=K(y)
» où K est un opérateur, i.e. un processus (ou filtre)
DC
BA Kavec
y
xK
u
x(18)
Auteur: [email protected] Version: 2017 69/166
Stabilisation par retour de sorties statique
On considère le système simplifié suivant
– avec la loi statique u = K y on obtient,
Une CNS de stabilisabilité est qu’il existe S telle que
– Contrairement au cas du retour d’état (Cy = I), le changement de variable X = S-1 ne permet pas d’aboutir à une LMI.
u
x
C
BA
y
x
y
u
0
xKCBAx yu
00 S,KCBASSKCBA yuT
yu
(19)
(20)
Auteur: [email protected] Version: 2017 70/166
Stabilisation par retour de sortie dynamique
On considère le système (19)
– associé à la commande dynamique (18)
En couplant ces deux systèmes, on obtient le système bouclé
– où est l’état augmenté et
les matrices qui le compose.
u
x
C
BA
y
x
y
u
0
DC
BA Kavec
y
xK
u
x
x~ACB
CBCDBAx~C
~KB
~A~
x~
y
uyuyu
knTTT xxx~
0
0
0
0
00
0
yy
uu C
IC~
,I
BB~
,A
A~
Auteur: [email protected] Version: 2017 71/166
Stabilisation (suite)
Le problème se ramène donc à celui de la commande par retour de sorties statique,
– mais la structure particulière des matrices du système augmenté montre du moins dans le cas d’une loi de commande
d’ordre plein, k=n, une solution LMI.
– Cette solution est obtenue en 2 étapes :
» Etape 1 :On transforme la BMI en 2 LMI
» Etape2 : Si V et U existent alors le correcteur K existe et la BMI précédente devient une LMI
en K, étant connue
Etape 1: On applique le lemme d’élimination (transparent 6) avec
– on obtient qu’une CNS de stabilisabilité par retour de sorties dynamique est qu’ils existent
– telles que
0
0
0
TT
TT
TTT
T
NVNVWet
MUMUW
MNKMKNW
WW:néliminatiod' Lemme
Tyu
T C~
N,B~
S~
M,A~
S~
S~
A~
W
0S~
,0C~
KB~
A~
S~
S~
C~
KB~
A~
yuT
yu
V~
,U~
,X~
,S~
TTyyy
TTy
T VV~
,0C~
V~
A~
S~
C~
V~
A~
S~
0C~
VVC~
A~
S~
S~
A~
X~
UU~
,U~
B~
X~
A~
U~
B~
X~
A~
S~
B~
UUB~
S~
A~
S~
S~
A~ T
uuTu
Tu
T 00
IS~
X~
X~
,S~
00
(21)
(22)
(23)
S~
Auteur: [email protected] Version: 2017 72/166
Étape 1: Réécriture des deux inégalités (21) et (22) en fonction des matrices A, B, C
Au vu de la structure particulière
– on peux réécrire les deux inégalités (21) et (22) en fonction des matrices du système original, soit
– où X (resp. S) est le bloc supérieur gauche de taille nn dans
Il nous reste à examiner la condition
0
0
0
0
00
0
yy
uu C
IC~
,I
BB~
,A
A~
0T
yy VCSAVCSA
0T
uu UBAXUBAX
.S~
resp. X~
IX~
S~
,X~
,S~
00
Auteur: [email protected] Version: 2017 73/166
Étape 1: Transformation de la contrainte en une LMI
– Le lemme suivant montre qu’on peut, là encore, réduire ces conditions à des conditions sur les blocs supérieurs gauches X, S
Lemme 3 :
– Pour toute paire de matrices symétriques (X, S) de Rnn, il existe une matrice
telle que si et seulement si X, S vérifient
Les matrices (*) sont à déterminer telles que .
Une solution à ce problème peut être donnée par application d’une décomposition en valeur singulière de la matrice
.
– On en déduit 2 matrices unitaires U1, V1 (i.e. U1U1T=I et V1V1
T=I) et une matrice régulière S1
composée des valeurs singulières de telle que
Soit la solution
IX~
S~
0X~
,0S~
knknX~
knS,XKrang,SI
IXS,XK
0
***S
X~
,***X
X~ 1
kn11 IX
~X~
X~
X~
XSIn
T111n VSUXSI
111
1T11
111T11
T1
T1
1
SXVUVS
SVSX~
,VSSUU
UXX~
XSIn
Auteur: [email protected] Version: 2017 74/166
Conditions d’existence d’un correcteur dynamique par retour de sortie
Théorème: Le système (19) est stabilisable par une loi de commande d’ordre k de type (18) ssi il existe X, S, U, V telles que
Pour un correcteur d’ordre plein k = n ou supérieure à n, la condition de rang est nécessairement vérifiée.
0T
uu UBAXUBAX
0T
yy VCSAVCSA
knS,XKrang,SI
IXS,XK
0
(24)
Auteur: [email protected] Version: 2017 75/166
Remarque
Dans tous les autres cas (0 k < n), la condition de rang rend le problème non convexe,
ce qui montre que le problème de commande par ordre réduit est notablement plus difficile que dans le cas plein et la garantie de convergence vers le minimum global n’est pas assurée
– Remarque le cas, k = 0 correspondant à la loi statique est donc un problème non convexe.
– Par contre pour Cy= I on retrouve les conditions convexes énoncées dans le cas d’une loi de commande par retour d’état puisque dans ce cas la contrainte sur S disparaît et on est libre de choisir S = X-1 (voir transparent 21).
0VCSAVCSA
0UBAXUBAX
SV, U, X, en LMI scontrainte les sousSI
IXrangmin
Tyy
Tuu
XX,SS TT
Auteur: [email protected] Version: 2017 76/166
Étape 2: Détermination du correcteur dynamique K
Si les conditions du théorème précédent sont satisfaites, alors on peut construire une loi de commande en deux étapes
– Tous d’abord, on calcule une matrice qui satisfait aux conditions du lemme 3.
Une telle matrice correspond à une fonction de Lyapunov
qui prouve la stabilité du système en boucle fermée.
– Une fois la fonction de Lyapunov déterminée, est connue et il reste à résoudre la LMI
– Rappel : La matrice est donnée par une SVD de , et est donnée par l ’expression
» Où U1, S1, V1 sont les paramètres de sortie de la fonction svd(I-XS)
Le théorème (i.e. les LMI 24) garantit que ce problème est bien réalisable.
X~
x~X~
x~x~V T 1
0T
yuyu C~
KB~
A~
X~
X~
C~
KB~
A~
que teltrouver K
X~
T
11T1
T1
1
VSSUU
UXX~
X~
XSIn
Auteur: [email protected] Version: 2017 77/166
Analyse du système Entrées-Sorties
On considère (pour simplifier) le système sans entrées de commande u ni sorties mesurées y
Nous cherchons à qualifier trois types de comportements
– la relation condition initiale-sortie
– la relation entrées-trajectoires
– et finalement le lien entrées-sorties
Hypothèse
– le système autonome est asymptotiquement stable
w
x
DC
BA
z
x
zwz
wz
Auteur: [email protected] Version: 2017 78/166
Propriétés État-Sortie
Considérons d’abord l’effet des CI (données ou incertaine) sur la sortie du système
– On supposera d’abord que la CI x(0) est donnée
Bornes sur l’énergie en sortie
– On cherche à évaluer l’impact d’une CI donnée, sur l’énergie obtenue en sortie
– Supposons qu’il existe une fonction quadratique de Lyapunov V()= TS telle que
– pour tout x, z vérifiant (5)
Solution
– minimiser x(0)TSx(0) soumis à S > 0 et ATS+SA+CzTCz 0
xCz,Axx z
0
zdtzT
Rappel : X1/2 peut s’interpréter comme le
« rayon » de l’ellipsoïde
zz
dt
xdVetS T 0
(5)
(6)
Auteur: [email protected] Version: 2017 79/166
Bornes sur l’énergie en sortie: x(0) donnée
Démonstration
– On intègre l’expression (6), on obtient alors
– pour tout T 0. Puisque V(x(T)) 0, alors
– et en conclue que la meilleure borne supérieure sur l’énergie maximale de la sortie s’obtient en résolvant le problème
– minimiser x(0)TSx(0) soumis à S > 0 et ATS+SA+CzTCz 0
– ou encore sous une formulation en termes de X=S-1
» version non stricte de la condition LMI de stabilité asymptotique
T
TzdtzxVTxV0
0
xCz
Axx
z
Système :
zz
dt
xdVetS T 0 (6)
T
TzdtzxVTxV0
00
0000
SxxxVzdtzT
TT
00
0
0
00
zTz
T
zTz
TTTT
T
zTz
T
CCSASAetS
xCCxxSASAxetS
zzdt
xdVetS
CCSASAetS:preuve
00
IXC
XCXAAXetX
z
Tz
T
Auteur: [email protected] Version: 2017 80/166
Propriétés Entrées-État
Nous cherchons maintenant à analyser l’effet d’entrées externes sur le système:
États atteignables avec énergie unité
– Soit Rue l’ensemble des états atteignables avec des entrées d’énergie unité, i.e.
En d’autre termes on cherche à borner Rue par un ellipsoïde de la forme
– où S > 0
wBAxx w
T
TueT,wdtw
0x(0) (7), vérifientw,x
TxR
0
01
(7)
1 SR Tn
Auteur: [email protected] Version: 2017 81/166
Solution : États atteignables avec énergie unité
On suppose que la fonction V()= TS avec S > 0 soit telle que
– pour tout x, w vérifiant (7)
On intègre l’expression (8), avec x(0)=0 et V(x(0)) = 0, on obtient alors pour tout T 0
On en conclue que pour toute entrée w telle que
– l’ensemble atteignable Rue du système est l’ellipsoïde
déterminée par la contrainte LMI
ou encore
ww
dt
xdV T
00
x où
wBAxx wSystème : (7)
(8)
10
T
Twdtw
1 SR Tn
00
ISB
SBSASAetS
Tw
wT
100
T
TT wdtwTxVS
001 Tww
T BBXAAX,X,SX
Auteur: [email protected] Version: 2017 82/166
Propriétés Entrée-Sortie
Étude de l’effet d’une entrée sur la sortie du système
On définit le Gain L2 du système par la quantité
– où la norme L2 d’un signal w est définie par
Le gain L2 sert à mesurer la quantité d’énergie transmise par le système. La notion de gain L2 est utile pour quantifier la façon dont le système rejette les perturbations externes (collectées dans le signal w)
00
x
xCz
wBAxx
z
w
0
2
0
2
2
2
2
2
02
wdtwzdtzw
zsup TT
w
0
2
2wdtww T
(i)
Auteur: [email protected] Version: 2017 83/166
Rappel
Dans la cas des systèmes LTI, la borne ainsi obtenue est égale à la norme H de la fonction de transfert du système, i.e
wz
sBAsICmax
1
0
Eejwt
G(s)
G(jw) E ejwt
jwG
jwGi
2
jwG3
jwG1
w
Auteur: [email protected] Version: 2017 84/166
Exemple 1: Système monovariable
On considère le système
Par définition :
– soit
Remarque :
– Comme G1 est un système monovariable, on retrouve la définition du module, à savoir
2
11
ssG
p,mmin,i
jwGjwGjwGjwGjwGT
iT
ii
1
2114
1
2
1
2
1
wjwjwjwG
21
4
1
wjwGjwG
F r e q u e n c y ( r a d / s e c )
Sin
gu
lar V
alu
es
(d
B)
S i n g u la r V a lu e s
1 0- 1
1 00
1 01
- 2 2
- 2 0
- 1 8
- 1 6
- 1 4
- 1 2
- 1 0
- 8
- 6
Auteur: [email protected] Version: 2017 85/166
Exemple
Système multivariable
D'après la définition :
– on obtient une matrice carrée de dimension 22 fonction de la pulsation w où pour
chaque w il existe 2 valeurs propres 1 et 2 dont les racines forment respectivement les 2 valeurs singulières 1 et 2
– Les valeurs singulières étant des nombres réels positifs ou nuls, elles peuvent être classées. On notera la plus grande valeur singulière et la plus petite
1024
152
1024
11024
23
1024
20
22
22
2
sss
s
sss
sss
s
sss
s
sG
p,mmin,i
jwGjwGjwGjwGjwGT
iT
ii
1
w : rad / sec
dB
Singular Values
10-1
100
101
102
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
jwGjwGjwGjwG 21
jwG jwG
Auteur: [email protected] Version: 2017 86/166
Propriétés Entrée-Sortie : Gain L2
Solution
– On suppose qu’il existe une fonction quadratique V()= TS , S > 0 et un scalaire > 0 tels que, pour tout t,
– En intégrant l’inégalité de 0 à T, avec x(0)=0, on obtient
– Puisque V(x(t)) > 0 alors
– où l’inégalité (*) s’écrit
» Il reste à rechercher de manière itérative la plus petite borne supérieure qui admette une solution S>0 de la
LMI (ii)
(i) vérifiant wx,pour tout 02 wwzz
dt
txdV TT
00
x
xCz
wBAxx
z
w(i)
00
2 T
TT dtwwzztxV
2
2
0
2
0
0
20
w
zdtwwdtzz
dtwwzztxV
T TT T
T TT
(*)
02
ISB
SBCCSASATw
wzTz
T
Système :
(ii)
Auteur: [email protected] Version: 2017 87/166
Ellipsoïdes invariants
La stabilité asymptotique peut s’interpréter en termes d’Ellipsoïdes invariants
– soit X > 0, et soit l’ellipsoïde centré à l’origine
– (X1/2 peut s’interpréter comme le « rayon » de l’ellipsoïde). On dira que est invariant pour le système (2) si pour toute trajectoire x, x(t0) implique x(t) pour t t0 (figure 1)
– On peut utiliser l’invariance pour obtenir des bornes sur l’état du système (2), lorsque les CI sont inconnues mais bornées
11 XR Tn
x0
x1
x2
x3
Figure 1 : Ellipsoïde invariant
Auteur: [email protected] Version: 2017 88/166
Exemple d’application de l’invariance
On suppose que
– où les sommets vi du polytope P sont donnés. L’ellipsoïde contient P ssi
Grâce au lemme de Schur, la condition ci-dessus peut s’écrire comme une LMI en X
– la condition(5), assortie de la condition ATS+SA 0 garantie que pour toute trajectoire initialisée dans P, l’état reste confiné dans l’ellipsoïde
– on peut alors chercher par exemple l’ellipsoïde de « taille » (volume, somme des longueurs des demies axes, etc) minimale garantissant ces conditions: on obtiendra des pb LMI. Par exemple le volume est proportionnel à la racine carrée de det X, ce qui montre que le problème de maximisation du volume se ramène à un problème LMI, de type maximisation de déterminant.
pv,,vCPx 100
p,,j,vXv jTj 111
p,,j,Xv
v
j
Tj 10
1
(5)
Exemple CI:
21
0x21
21
V1
2
1V2
21
V3
21
V4
10x20xet20x2 212
x2
x1
25
V1
Auteur: [email protected] Version: 2017 89/166
Performances
Bornes sur l’entrée de commande d’un système non perturbé
– On cherche une loi stabilisante u = Kx = UY-1x telle que, pour une CI donnée , la norme de la commande ne dépasse pas une certaine valeur umax (qui caractérise la saturation de l’actionneur)
– Pour assurer cette propriété, on part de la condition de stabilisabilité (13). Celle-ci assure que l’ellipsoïde = { | TY-1 1} est invariant. Supposons que l’on choisisse Y de manière que x(0) , i.e.
– D’après la propriété d’invariance de , on en conclut que x(t)TY-1x(t) 1 pour tout t. Cela nous permet de borner l’état du système et donc la commande u, qui n’est qu’une projection linéaire de l’état (voir figure ci-dessus)
x0
x1
x2
x3
umax u=Kx
-umax
Figure : Bornes sur la commande appliquée par ellipsoïde invariant
0
0
01100 1
Yx
xxYx
TT
Système BF :
Lyapunov :
xKBAx u
xYxxV T 1
130T
uu UBAYUBAY
0
0
011
xUBAYUBAYx
xYKBAKBAYx
xKBAYYKBAxxV
Tuu
T
uT
uT
uT
uT
Auteur: [email protected] Version: 2017 90/166
Bornes sur l’entrée de commande (suite)
Par l’ellipsoïde invariant = {x | xTY-1x 1} la contrainte
– est donc vérifiée à tout instant si la LMI
– est satisfaite. Ensemble les LMI (13) et (17) garantissent la stabilité asymptotique et la propriété de non-saturation.
La contrainte (17) est aussi une LMI en x(0), ce qui permet de généraliser ce qui précède au cas où la CI est inconnue mais bornée.
– Si par exemple,
– où P est un polytope donné, de sommets vi, alors la contrainte
garantit la condition de saturation voulue.
maxmaxmax utxUYutKxutu 1
0
0
010
2
Yx
x,
IuU
UY T
max
T
(17)
pv,,vCPx 100
p,,j,Yv
v,
IuU
UY
j
Tj
max
T
101
02
00 Y,UBAYUBAYT
uu(13)
Auteur: [email protected] Version: 2017 91/166
Preuve : Bornes sur l’entrée de commande
La contrainte
– est vérifiée à tout instant si la LMI suivante est satisfaite
Preuve :
– par le lemme de Schur
– on pre et post multiplie par Y-1 l’expression 1 et par u2max la seconde inégalité
– on pré et post multiplie l’expression 1 par x(t)T et x(t) resp. et d’après la propriété
d’invariance de , on a x(t)TY-1x(t) 1 soit
(17)
010017 12 Y,xYx,YUUuTT
max
00017 212121 Y,uxYux,YuUYUY maxmaxT
maxTT
22
2
2121211
17
017
max
maxmaxT
maxTTT
utu
Y,utxYutx,txYutxtxUYUYtx
0
0
010
2
Yx
x,
IuU
UY T
max
T
maxmaxmax utxUYutKxutu 1
Auteur: [email protected] Version: 2017 92/166
Synthèse H : approche standard par LMI
Problème standard
– La synthèse H illustrée sur la figure suivante est représentée par un procédé P(s) et son contrôleur K(s) associé
– où
Problème H standard : P(s) et étant donnés, déterminer K(s) qui stabilise le système bouclé de la figure ci-dessus et assure une norme H du transfert entre w et z inférieure à
uw
x
DD
DD
C
C
BBA
yz
x
:sP
yuyw
zuzw
y
z
uw
P(s)
K(s)
w
u
z
y
y
x
DC
BA
u
xsK
:
Auteur: [email protected] Version: 2017 93/166
Hypothèses du pb H standard par LMI
La synthèse par LMI fournit une autre façon de résoudre le pb standard développé également par la résolution de 2 équations de Riccati (voir poly cours AC511). Elle est plus générale, dans la mesure où elle ne nécessite pas, contrairement à l’approche par équations de Riccati le respect des hypothèses H2, H3 et H4 (l’hypothèse H1 reste nécessaire) :
– H1 : (A, Bu) stabilisable et (Cy, A) détectable
– H2 : rang(Dzu) = dim(u) et rang(Dyw)=dim(y)
– H3 : est de plein rang colonne pour tout w
– H4 : est de plein rang colonne pour tout w
– Démonstration des hyp. H3 et H4 (voir poly cours AC511)
zuz
u
DC
BjwIA
ywy
w
DC
BjwIA
Hypothèse classique existe en
commande modale ou en
encore en synthèse LQG, elle
est nécessaire pour obtenir la
stabilité du système bouclé
Hypothèse nécessaire pour
avoir un correcteur strictement
propre
Auteur: [email protected] Version: 2017 94/166
Exemple élémentaire
Les deux schémas suivant sont équivalents
– w=(b v)T est le vecteur des entrées
– z=(e u)T est le vecteur de signaux à contrôler
La représentation de la matrice P(s) s’écrit alors sous la forme standard suivante :
uwxy
uwxz
uwxx
sP
0101
1
0
00
00
0
1
1010
:)(
P(s)
K(s)
z w
u y
K(s) 1/s
b
u e
v y +
+ x x
Auteur: [email protected] Version: 2017 95/166
Algorithme
Hypothèses : Dyu = 0 et (A, Bu) stabilisable et (Cy, A) détectable
Problème : déterminer le contrôleur dynamique K telle que le système augmenté
soit stable et admette un transfert de norme H < entre w et z.
Solution : Soit une fonction de Lyapunov candidate telle que
Algorithme
– Étape 1: l’inégalité (b) est solution du pb, la dérivation de la fonction de Lyapunov candidate le long
des trajectoires du système augmenté transforme l’inégalité en une BMI en
– Étape 2: par le lemme d’élimination on transforme la BMI en 2 LMI où K n’intervient plus
– Étape 3: La solution des 2 LMI garantit que le correcteur K existe. est alors connue et la BMI en
devient alors une LMI en K, dont la solution fournit le correcteur K.
w
x~
D~B~
C~A~
w
x
x
DDDDCDCDDC
DBACB
DDBBCBCDBA
z
x
x
ywzuzwzuyzuz
ywy
ywuwuyu
uw
x
0D
DDCC
BBA
yz
x
:sP
yw
zuzw
y
z
uw
y
x
DC
BA
u
xsK
:
0x~X~
x~x~V T
(a) vérifiant w,x~ tout pour0wwzz
dt
x~dV T2T
(a)
(b)
K,X~
X~
K,X~
Auteur: [email protected] Version: 2017 96/166
Résolution
Étape 1: L’inégalité (b) est solution du pb, la dérivée de V le long des trajectoires du système augmenté (a) transforme l’inégalité (b) en une BMI :
– C’est une BMI car sont fonctions de K
Étape 2: On applique le lemme d’élimination pour éliminer K,
Cela revient à écrire la BMI ci dessus sous la forme
– on obtient après quelques manipulations les 2 LMI suivantes
où
0wwzz
dt
x~dV T2T (b) wD
~x~C
~z
wB~
x~A~
x~
(a)
0C~
C~
A~
X~
X~
A~
B~
X~
D~
C~
B~
X~
D~
C~
D~
D~
ITTT
TTT2
D~
,C~
,B~
,A~
0KQPPKQ TTT
00
0
0
0
w
w
zw n
R
nTzw
Tw
ewnz
wTz
TT
n
R
I
N
IDB
DIRC
BRCRAAR
I
N0
0
0
0
0
z
z
wz n
S
nzwz
Tzwn
Tw
Tzw
TT
n
S
I
N
IDC
DISB
CSBSASA
I
N
Teu
Tu
RD
BKerN
yw
yS D
CKerN
0
0
0
TT
TT
TTT
NVNVW
MUMUW
MNKMKNW
Lemme d’ élimination : W=WT
Auteur: [email protected] Version: 2017 97/166
Correcteur d’ordre plein (pb convexe)
Étape 2 (Suite)
Il reste à rechercher la valeur optimale de en résolvant le problème d’optimisation convexe
Étape 3: A partir des matrices R et S solutions du problème précédent, est maintenant connue, la BMI
devient une LMI en K, dont la solution fournit le correcteur K
00
0
0
0sousmin
,
w
w
zw
TT n
R
nTzw
Tw
ewnz
wTz
TT
n
R
SSRR I
N
IDB
DIRC
BRCRAAR
I
N
00
0
0
0
z
z
wz n
S
nzwz
Tzwn
Tw
Tzw
TT
n
S
I
N
IDC
DISB
CSBSASA
I
N
0
SI
IR
n
n
X~
0C~
C~
A~
X~
X~
A~
B~
X~
D~
C~
B~
X~
D~
C~
D~
D~
ITTT
TTT2
Auteur: [email protected] Version: 2017 98/166
Problème H standard par résolution LMI
Mise en forme pour la synthèse
– Considérons l’exemple classique d’un système asservi où G(s) est un
modèle du système à asservir et K(s) le correcteur à déterminer pour asservir la sortie q sur la référence r.
– Le signal b est une perturbation.
G(s)
b
q K(s) u
r
-
+
-
Auteur: [email protected] Version: 2017 99/166
Obtention des objectifs de synthèse : deux approches
Par l’introduction de fonction de pondération
– Mise en œuvre par l’introduction de fonctions de pondération
– Pour atteindre les objectifs précédents, on peut introduire des pondérations sur les différents signaux, qui prendront la forme de filtres permettant, suivant le signal auquel elles s’appliquent, de privilégier un domaine de fréquences particulier.
– Considérons à cette fin le schéma suivant dans lequel est pondérée par le filtre w1(s), la commande u par w2(s) et l’entrée de perturbation b est la sortie d’un filtre w3(s)
Par "loop shaping"
– Consiste à modeler le transfert de boucle de telle sorte ce transfert présente un bon compromis P/R
G(s)
b
y u
r
-
+
-
w1(s) w2(s)
w3(s)
K(s)
d
e2 e1
Auteur: [email protected] Version: 2017 100/166
Mises en œuvre par l’introduction de fonction de pondération
En considérant r et d comme des entrées et e1, e2 comme les signaux à surveiller, on obtient dès lors :
Le problème H standard qui en découle est
– déterminer un scalaire > 0 et le correcteur K(s) stabilisant le système bouclé et assurant :
sD
sR
swsGsSsKswsSsKsw
swsGsSswsSsw
sE
sE
322
311
2
1
11
GKsS
swsGsSsKswsSsKsw
swsGsSswsSsw
322
311(**)
G(s)
b
q u
r
-
+ +
w1(s) w2(s)
w3(s)
K(s)
d
e2 e1
Auteur: [email protected] Version: 2017 101/166
Mises en œuvre par l’introduction de fonction de pondération (Suite)
Avantage
– Bien que le pb (i) est plus simple, l’avantage de considérer ce pb est que les filtres w1(s), w2(s), w3(s) permettent de modeler les différents transferts S, KS, SG et KSG
– Les propriétés de la norme H assurent en effet que si la condition (ii) est vérifiée, alors les 4 conditions suivantes le sont aussi :
– On voit donc que la réponse fréquentielle de chacune des fonctions S, KS, SG et KSG est contrainte par un gabarit qui dépends des filtres choisis.
b
r
KSGKS
SGSM
u
e(i)
swsGsSsKswsSsKsw
swsGsSswsSsw
322
311 (ii)
jww
jwSwsSsw1
1
jwwjww
jwGjwSwsGsSswsw31
31
jww
jwSjwKwsSsKsw2
2
jwwjww
jwGjwSjwKwsGsSsKswsw32
32
(1)
(2)
(3)
(4)
Auteur: [email protected] Version: 2017 102/166
Allure typique des différents gabarits
Le gabarit sur S est fixée à une valeur k1 faible en basse fréquence pour assurer les objectifs de précision
La pulsation 1 pour laquelle le gabarit coupe l’axe 0db peut être interprétée comme la BP minimale souhaitée pour l’asservissement.
La valeur K1 du gabarit en haute fréquence limite le maximum de la réponse fréquentielle de S (i.e. sa norme H), ce qui impose une MM au moins égale à 1/K1.
1
BO
K
1)jw(S/1
)jw(Smax/1)jw(S/1min
KG1minH1minMM
Le gabarit sur SG dépend des 2 filtres w1(s) et w3(s).
Dans certain cas il suffit de prendre w3(s) constant et faible (exemple = 10-2), ce qui permet de régler l’atténuation en basse fréquence.
Mais w3(s) permet également de modifier le comportement de SG en moyenne fréquence, pour obtenir un comportement transitoire correct en réponse à une perturbation.
1
K1
1
k1
S(jw)
jww1
w3 constant
1
S(jw)G(jw)
31ww
w3 variable
consigne écart perturbation écart
Auteur: [email protected] Version: 2017 103/166
Allure typique des différents gabarits
Les valeurs K2 et k2 du gabarit sur KS ont en général assez peu d’importance, tandis que le paramètre le plus utile est 2
Dans certains cas on peut préférer ajuster par w3(s) le gabarit sur KSG plutôt que le gabarit sur SG, afin par exemple de satisfaire un gabarit d’atténuation assurant la robustesse de la stabilité aux dynamiques négligées.
Mais w3(s) permet également de modifier le comportement de SG en moyenne fréquence, ce qui peut s’avérer utile pour obtenir un comportement transitoire correct en réponse à une perturbation.
2
K2
1
k2
K(jw)S(jw)
jww2
1
K(jw)S(jw)G(jw)
32ww
consigne commande
perturbation commande
Auteur: [email protected] Version: 2017 104/166
Mise sous forme standard
En pratique, on choisit les filtres w1(s), w2(s), w3(s) d’après les considérations précédentes et on résout le problème H correspondant, qui donne la valeur de et le correcteur.
Bien sur la valeur de n’est pas connue à l’avance, elle intervient dans les gabarits et on oriente le choix des filtres de façon à avoir une valeur de proche de 1.
Une fois les filtres choisis, il reste à mettre le problème sous la forme standard, i.e.,
G(s)
b
y u
r
-
+ -
w1(s) w2(s)
w3(s)
K(s)
d
e2 e1
P(s)
K(s)
w
u
z
y
Auteur: [email protected] Version: 2017 105/166
Identification des E/S
Entrées
– w = [r, d]T
Signaux surveillés
– z = e = [e1, e2]T
Entrées du correcteur
–
Sorties du correcteur
– u
La représentation d’état
utilisée pour résoudre le pb H est obtenue en considérant une représentation d’état pour chaque fonction de transfert G(s), w1(s), w2(s), w3(s)
G(s)
b
q u
r
-
+ -
w1(s) w2(s)
w3(s)
K(s)
d
e2 e1
uw
x
DD
DD
C
C
BBA
z
x
sP
yuyw
zuzw
y
z
uw
:
P(s)
K(s)
w
u
z
y
Auteur: [email protected] Version: 2017 106/166
Représentation d’état
Pour chaque fonction de transfert G(s), w1(s), w2(s), w3(s)
Cxy
buBAxx
ysortiebuentréesG
::
zrDxCe
zrBxAx
e:sortie:entréesw
1111
1111
11
uDxCe
uBxAx
e:sortieu:entréesw
2222
2222
22
dDxCb
dBxAx
b:sortied:entréesw
333
3333
3
ud
rI
x
x
x
x
C
uDd
rD
x
x
x
x
C
CCD
e
e
uB
B
d
r
B
B
BD
x
x
x
x
A
A
ACB
BCA
x
x
x
x
00000
0
00
0
000
00
0
0
0
00
0
0
000
000
00
00
3
2
1
2
1
3
2
1
2
11
2
1
2
3
1
3
3
2
1
3
2
11
3
3
2
1
Auteur: [email protected] Version: 2017 107/166
Conditions d’existence par résolution LMI
Hyp: On considère (A, B) stabilisable et (C, A) détectable.
– la partie non commandable est constituée par le filtre w3(s) et la partie non observable par les
filtres w1(s), w2(s)
– L’hypothèse de détectabilité et de stabilisabilité impose donc de choisir des filtres à pondération
stables.
Auteur: [email protected] Version: 2017 108/166
Exemple
Moteur à courant continu
où
– u est la tension de commande
– b une perturbation constante (type tension offset)
– q la mesure de position
ampli
moteur
Réducteur : 1/N
q
b
u ,
I
tN
)t(q
dt
dt
ta)t(IKdt
dJ
b)t(uAtK)t(RIdt
dIL
c
e
Modélisation
Auteur: [email protected] Version: 2017 109/166
Objectifs et modèle de synthèse
Objectifs de l’asservissement
– BP : c=100rd/s
– marges de module : 0.6 (=1/K1)
– amplitude de la commande « raisonnable »
– erreur statique du à b inférieure à 1%
– gain entre la référence et la commande inférieure à 2 pour tout w
Modèle de synthèse simplifié
– pour effectuer l’asservissement, on peut considérer ce modèle simplifié (L=0), car la constante de temps ainsi négligée L/R=0.862.10-3 (p~104) est hors de la BP
s015.01s
240
sU
)s(QsG
Auteur: [email protected] Version: 2017 110/166
Proposer les filtres w1, w2 et w3
Le filtre w1(s) est choisi de telle sorte que le bode de 1/|w1(s)|
» coupe l’axe 0db à 100rd/s (BP demandée)
» présente un gain en haute fréquence de 1.7 (=1/0.6) de façon à limiter la norme H de la fonction de sensibilité et garantir ainsi une marge de module de 0.6
» présente un gain suffisamment faible en basse fréquence
Soit
K1
1
k1
S(jw)
;1
1 jww
consigne écart
b
r
KSGKS
SGSM
u
e
swsGsSsKswsSsKsw
swsGsSswsSsw
322
311
c,b,asousminTT SS,RR
24
Frequency (rad/sec)
Pha
se
(d
eg
); M
ag
nitud
e (
dB
)
Bode Diagrams
-60
-40
-20
0
20From: U(1)
10-2
10-1
100
101
102
103
0
20
40
60
80
100
To:
Y(1
)
Bode de 1/w1(s)
Phase de 1/w1(s)
w=k1w*B
w=w*B
+20db/dec
-20db/dec
w*B
k1w*B
1
1
*1
1*
11
1
B
B
wK
s
kw
s
ksW
w*BK1
Auteur: [email protected] Version: 2017 111/166
Proposer les filtres w1, w2 et w3
Le filtre w2(s) est choisi de telle sorte que – le gain de correcteur chute dans les hautes fréquences
» afin de limiter la sensibilité au bruit
» et tenir compte du caractère incertain du modèle dans cette zone
» Rappel : on a négligé le pole 1/L/R=104
Procédure,
– On fixe w2(s)=w3(s)=10-2 (par exemple)
» on ajuste w2 de telle sorte que la fonction de sensibilité S suive au plus près le gabarit 1/w1 et assure un proche de 1
» la valeur w2=0.5 (1/w2=2) est retenue, valeur pour laquelle la norme H de la matrice pondérée
» donne = 0.957 et assure donc un transfert consigne/commande < 2 pour tout w
– On augmente progressivement w3 jusqu’à atteindre effet significatif sur , en veillant toutefois à ce que celui-ci ne dépasse pas excessivement 1 :
» on obtient = 1.1 pour w3 = 0.015
– Enfin on introduit une atténuation en haute fréquence sur le gabarit 1/w2
pour filtrer le pole 1/L/R=104 négligé
Rq: le filtre W2(s) assure un transfert directe, i.e., D0 (Hyp H2 est ainsi vérifiée)
2
K2
1
k2
K(jw)S(jw)
jww2
consigne commande
swsGsSsKswsSsKsw
swsGsSswsSsw
322
3111
K(jw)S(jw)G(jw)
32ww
perturbation commande
1000150
5000011
2 s.
s
w s
20log2
-20db/dec
+20db/dec
w=1000
w=50000
Auteur: [email protected] Version: 2017 112/166
Réponses fréquentielles des transmittances 1/w1, 1/w2, 1/w1w3, 1/w2w3
Frequency (rad/sec)
Pha
se (d
eg);
Mag
nitu
de (d
B)
1/w1
-60
-40
-20
0
20From: U(1)
10-2
10-1
100
101
102
103
0
20
40
60
80
100
To: Y
(1)
Frequency (rad/sec)
Pha
se (d
eg);
Mag
nitu
de (d
B)
1/w1w3
-60
-40
-20
0
20
40From: U(1)
10-2
10-1
100
101
102
103
0
20
40
60
80
100
To: Y
(1)
Frequency (rad/sec)
Pha
se (
de
g);
Ma
gni
tud
e (
dB
)
1/w2
-30
-20
-10
0
10From: U(1)
102
103
104
105
106
-80
-60
-40
-20
0
To:
Y(1
)
Frequency (rad/sec)
Pha
se
(d
eg
); M
ag
nitud
e (
dB
)
1/w2w3
-20
-10
0
10
20
30From: U(1)
102
103
104
105
106
-80
-60
-40
-20
0
To:
Y(1
)
Auteur: [email protected] Version: 2017 113/166
Recherche de K
Les LMI 24a,b,c étant vérifiées,
» a partir des matrices R et S solutions du problème précédent une résolution par LMI donne le correcteur K
» cette résolution consiste à résoudre la BMI suivante en X=X ’> 0 obtenue à partir du système bouclé augmenté du correcteur K
Système bouclé augmenté du correcteur
» cela est une BMI en X, Ac, Bc, Cc, Dc, et devient une LMI en Ac, Bc, Cc, Dc, par une SVD de X telle que
» dont la résolution fournit le correcteur K
225001
500001
9311
641
3751
261
0750
6759
/s
/s
/s
/s
/s
/s
.s
.sK
0
z
w
nff
Tfn
Tf
Tfff
Tf
IDC
DIXB
CXBXAXA
yDxCu
yBxAx;
DC
BAK
ccc
cccc
cc
cc
w
xx
DC
BA
z
xx
c
ff
ffc
RNMN
NSX T
Auteur: [email protected] Version: 2017 114/166
Réponse fréquentielle de la BO
– Le cahier des charges de BO est vérifiée
» la pulsation au gain unité est égale à 100rd/s
» les marges de gain et de phase sont égales à 20db et 55° respectivement
Frequency (rad/sec)
Pha
se (d
eg);
Mag
nitu
de (d
B)
KG
-300
-200
-100
0
100
200Gm=21.892 dB (at 555.72 rad/sec), Pm=55.806 deg. (at 92.145 rad/sec)
10-2
100
102
104
-300
-250
-200
-150
-100
-50
Auteur: [email protected] Version: 2017 115/166
Réponse fréquentielle du correcteur
– le correcteur présente un gain élevé (ce qui assure une erreur statique négligeable vis à vis des perturbations constantes)
– le correcteur présente une avance de phase au voisinage de la BP et un filtrage des HF
Frequency (rad/sec)
Pha
se (d
eg);
Mag
nitu
de (d
B)
K
-100
-50
0
50From: U(1)
10-2
100
102
104
106
-150
-100
-50
0
50
To:
Y(1
)
Auteur: [email protected] Version: 2017 116/166
Réduction du correcteur
Le correcteur à un pôle en -0.075 proche de l’origine et un pôle en -22500 très éloigné dans le demi plan gauche,
– son influence est négligeable sur les réponses fréquentielles
Remplacement du pôle en -0.075 par un pôle en zéros
Suppression des polynômes 1+s/50000 et 1+s/22500
=> réduction d ’une unité l ’ordre du correcteur sans changer en rien ses performances
On implante finalement le correcteur ci-dessous, lequel est décrit par un correcteur PI, un filtre à avance de phase et un filtre passe bas intervenant au-delà de la BP :
9311
1
3751
6412616759
/s/s
/s
s
/s.sK
Auteur: [email protected] Version: 2017 117/166
Commande H par modelage du transfert de boucle (loop shaping)
On appliquera pour cela la synthèse H standard avec insertion de pré et post filtre dans la boucle de régulation.
Le problème revient alors à fixer ces filtres W1 et W2 de telle sorte que le compromis Performance/Robustesse soit atteint
G(s)
r
-
+ W1(s) K(s) W2(s) u y
sGa
P
R
Auteur: [email protected] Version: 2017 118/166
Méthodologie
On Ajuste les filtres W1 et W2 de telle sorte que les valeurs singulières de
présentent un gain élevé en BF (assurant ainsi le rejet des perturbations constantes et le suivi de consigne)
une coupure de l’axe 0db à 100rd/s (BP souhaitée)
une atténuation en HF (robustesse des dynamiques négligées et bruits)
Résoudre le problème H standard. On considèrera pour cela le procédé augmenté Ga(s), la fonction de sensibilité , la matrice de transfert
et la réalisation P(s) issue du problème de synthèse H standard, à savoir
sWsGsWsGa 12
b
r
KSGKS
SGSM
u a
a
11 aKGS
P(s)
K(s)
uz
b
rw
u
Auteur: [email protected] Version: 2017 119/166
Hypothèse classique sur la boucle de transfert en BF
La première inégalité assure que la MM est supérieure à . En conséquence ajuster le filtre pour une marge de module > 1/2 implique un
Pour des systèmes mono variable un seul filtre suffit, on ne parle pas de pré et post filtre.
En basse fréquence, généralement soit
Or , et soit
aS
1
2
1KGa KG
Sa
a1
K
GS aa1
a
aG
KS1
1aaGKS1
K
KK
111
KG
KGKGa
aa
111
K
1 KGKG aa aaa GKGKG
1
aa GKG
1
Auteur: [email protected] Version: 2017 120/166
Hypothèse classique sur la boucle de transfert en HF
En haute fréquence, généralement soit
– Or et
En conclusion on vient de monter que le transfert de boucle est borné
en basse et haute fréquence respectivement par et
Il suffit dès lors d’ajuster Ga et si une solution LMI existe au Pb H standard alors nécessairement le compromis performance/robustesse du transfert de boucle sera assuré au facteur près
1KGa1aS aaa GGS
KKSa aaa KGGKS
KGa
KGKG aa K
aaa GKGKG
aa GKG aa GKG
1
,1
Auteur: [email protected] Version: 2017 121/166
Commande H par introduction de fonction de pondération: application système incertain
Commande d’une injection de moteur diesel
extrait de « application of H-infinity design to automative fuel control » Nippodenso Co. (premier équipementier automobile japonais) et du cours de G. Scorletti (voir ref.)
– Les normes anti-pollutions, le prix du carburant et les demandes des consommateurs en matière de performance rendent indispensable l’injection d’une quantité relativement précise du carburant.
– Le système à commander est donc une injection de carburant pour moteur diesel.
– Descriptif: Le carburant alimente la chambre de compression où il est comprimé par la came. Sa mise sous pression le pousse par l’injecteur dans la chambre de combustion du moteur. Dans cette chambre de compression une fuite existe. Elle est ouverte (fermée) par une sorte d’anneau qui translate de droite à gauche (de gauche à droite). Cela permet de commander la quantité de carburant entrant dans la chambre de combustion. Le déplacement de l’anneau est commandé via un bras de levier par un solénoïde. On va donc agir sur le courant envoyé dans ce dernier. La position de l’anneau est mesurée par un capteur de position placés près de l’actionneur. C’est cette position qui va être commandée.
Auteur: [email protected] Version: 2017 122/166
Cahier des charges
Les spécifications que doit satisfaire le système se traduisent par l’asservissement de la position de l’anneau. On cherche un contrôleur qui permettent de remplir les spécifications suivantes :
– 1) Suivi de consigne échelon
– 2) Rapidité de la réponse (0.2 sec)
– 3) Fonctionne pour plusieurs températures (0°, 25° et 60°)
– 4) Pour des raisons d’implémentation il faut établir un correcteur de faible complexité
Les spécifications de performances (spécifs. 1 et 2), de robustesse (spécif. 3) et de simplicité (spécif. 4) du cahier des charges sont traduites en minimisant la norme hinfini d’une matrice de transfert solution du problème. Mais pour cela il est nécessaire de disposer d’un modèle.
Auteur: [email protected] Version: 2017 123/166
Modèle du système
Le comportement de l’injection pourrait être considéré comme linéaire si le carburant n’avait pas une viscosité fluctuant fortement avec la température. Les informations dont on dispose sur le système sont obtenues par identification de 3 modèles linéaires stationnaires
423
522
0010771.8922334.98
10137.39.493736.1
ppp
ppepG
523
52
251021.195207.93
104.44005.5
ppp
pppG
5423
52
601072.11053.91
1005.5286677.4
ppp
pppG
Auteur: [email protected] Version: 2017 124/166
Modèle d’incertitude additive
On décide de tenir compte de ces trois modèles en définissant un modèle d’incertitude additive correspondant à un ensemble de systèmes G(p) tels que :
– Où (p) est caractérisé par un transfert W (jw) tel que | (jw) | |W (jw)|.
Ici W (jw) est choisi tel que:
ppGpG 25
jwWjwGjwG
jwWjwGjwG
2560
2500
10-2
10-1
100
101
102
103
104
105
-100
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
Singular Values
Frequency (rad/sec)
Sin
gula
r V
alu
es (
dB
)
Goo-G25
G60-G25
Tracés de jwGjwGjwGjwG 25602500 ,
Auteur: [email protected] Version: 2017 125/166
Critère
Construction du critère - Spécifications 1 et 2
– D’après l’étude précédente (transparents 102, 103 et 110) les spécifications de performance 1 et 2 se traduisent par une pondération sur la fonction de sensibilité S qui relie le signal de référence au signal d’erreur de suivi de trajectoires, contrainte définie par une pondération W1(s).
– On souhaite
» soit
K1
1
k1
S(jw)
;1
1 jww
consigne écart
w*B
k1w*B
w*BK1
1
1
*1
1*
11
1
B
B
wK
s
kw
s
ksW
jww
jwSwsSsw1
1
Auteur: [email protected] Version: 2017 126/166
Critère
Construction du critère – Spécification 3
– D’après la discussion précédente, on va chercher à stabiliser les modèles en utilisant un modèle d’incertitude additive qui génère une famille de modèles les contenant. Cette famille d’incertitudes est caractérisée par la pondération fréquentielle W (jw).
– Par application du théorème du faible gain (voir transparent 51), dans le cas d’une incertitude additive, i.e. M=KS, la stabilité robuste sera assurée si
où : | (jw) | |W (jw)| avec
1
1
KSW
jwWjwKSw
(s
)
M(s)
z v
Rappel du Théorème du petit gain: Si M(s) et (s) sont stables, le système de la figure ci-dessus
est stable pour tous (s) tel que ||(s)|| si et seulement si ||M(s)|| -1, où M(s)=Hzv(s)
I
G25
Gréel
K
+
+
M
z v
11
jwKSwKS
jwW
wjwWwW
11
Auteur: [email protected] Version: 2017 127/166
Limitation du transfert KS
Enfin il reste à contraindre le module de KS pour limiter l’énergie de commande et l’amplification des bruits de mesure. Pour ces exigences, KS doit être une fonction de transfert passe bas, avec une pulsation de coupure la plus basse possible.
On choisit donc une pondération W2 (de la forme ||W2KS||<1 ) qui inclut l’objectif précédent de stabilité robuste, soit
– |W2(jw)| |W(jw)|
Où
En résumer il suffit de rechercher un correcteur Hinfini standard tel que
1
,1
*
12*2
BT
T
T
TBTw
sM
Msw
Mw
ssw
MT
|w2|-1
w*BT/MT
w*BT
WW
11
2
w
12
1
KSW
SW
G(s) q u
r
-
+
w1(s) w2(s)
K(s)
e2 e1
Auteur: [email protected] Version: 2017 128/166
Diagnosis by observer using an LMI formulation
– FDI (fault actuator, fault sensor, fault component)
» robust residual generator using UIO
» robust residual generator using H optimization
– Fault tolerant
» Hinfini regulator/observer
main objective is to recover the original system performance (fault-free)
Auteur: [email protected] Version: 2017 129/166
Introduction
The robust fault detection filter and fault tolerant control design problem for linear time-invariant (LTI) systems with unknown inputs is studied
The basic idea is to use a robust residual generator using some recent results of H optimization
Auteur: [email protected] Version: 2017 130/166
Introduction
We formulate the fault detection filter as an H model-matching problem
The optimization problem is presented via a Linear Matrix Inequality (LMI) formulation
An illustrative electro - mechanical system is included
Auteur: [email protected] Version: 2017 131/166
Definition
Fault detection
– consists of designing a residual generator that produces a residual signal enabling one to make a binary decision as to whether a fault occurred or not
Fault identification (isolation)
– imposes a stronger requirement. When one or more faults occur, the residual signal must enable us not only to detect that there are faults occurring in the system, but it must also enable us to identify (isolate) which faults have occurred.
Fault tolerant (attenuation, accommodation)
– The main objective is to recover the original system performance (fault-free)
Auteur: [email protected] Version: 2017 132/166
Role of FDI in Fault tolerant control
The key problem for active fault-tolerant control is on-line reconfiguration of the controller.
For this to be possible
– detailed information about changes in the system parameters (or changes in the system operating point) due to either
» normal process
» or component faults
– is required
Auteur: [email protected] Version: 2017 133/166
Role of FDI in Fault tolerant control
In order to get good parameters estimates,
– it may be necessary to introduce perturbation signals to make sure that all the plant’s modes are sufficiently excited.
– However in many application it is impossible to apply additional perturbation signals.
– Additionally parameter estimation algorithms are quite complicated and computationally time consuming.
– Furthermore, in many cases, the system model structure will change due to the faults.
Auteur: [email protected] Version: 2017 134/166
Role of FDI in Fault tolerant control
In order to overcome the disadvantages of using parameter estimation,
– we trying to use different controller reconfiguration mechanisms based on FDI information
Auteur: [email protected] Version: 2017 135/166
Modeling of faulty systems
The first step in the model approach is to build a mathematical model of the system
In the case of a non-linear system, this implies a model linearization around an operating point.
A system model (in model-based FDI) can be separated into three parts:
– Actuators
– System dynamics
– Sensors
As illustrated in following figure (1).
Auteur: [email protected] Version: 2017 136/166
Modeling of faulty Systems
Where
– xn: state vector
– uRr: real input vector to the actuator
– yRm: real system output vector to the actuator
Actuators Plant
dynamics Sensors
Input
u(t)
Actuation
uR(t) Output
yR(t) Measured
Output
y(t)
Fig. (1) open-loop system
Auteur: [email protected] Version: 2017 137/166
Component and parameter faults
The component fault is represented as a change in the dynamic relation
– for example, a leak in a water tank in three tank system,
cR fBuAxx
System
dynamics
Components faults
fc(t)
Parameter faults
aij
Output
yR(t)
Actuation
uR(t)
Fig. (1.1) The system dynamics
Auteur: [email protected] Version: 2017 138/166
Component and parameter faults
In some cases, the fault could be expressed as a change in the parameter system,
– for example a change in the ith row and jth column element of A, the dynamic model can then be described as
– where xj is the jth element of the vector x and ei is an n-dimentional vector with all zero elements except a 1 in the ith element
System
dynamics
Components faults
fc(t)
Parameter faults
aij
Output
yR(t)
Actuation
uR(t)
jijiR xaeBuAxx
Auteur: [email protected] Version: 2017 139/166
Sensor faults
By choosing the vector fs correctly, we can the describe all sensor fault situation
– for example
» Variation in the sensor : y=(1+)yR then fs= yR
» Biased fault at t= : y(t)= yR+(t-)(t-) then fs= (t-)(t-)
Sensors
Sensor faults
fs(t)
Measured
output
y (t)
Real output
yR(t)
Fig. (1.2). Sensors, output and measured output
Auteur: [email protected] Version: 2017 140/166
Actuator faults
For a controlled system, uR is the actuator response to an actuator command u(t) and can be described as (when the actuator dynamics are neglected):
uR(t)=u(t)+fa(t)
where fa(t) is the actuator fault and u(t) is the known control command
» Variation in the actuator
» Biased fault
Actuators
Actuator faults
fa(t)
actuation
uR (t) Input
u(t)
Fig. (1.3). Actuator, input and actuation
Auteur: [email protected] Version: 2017 141/166
Fault Model when sensor, component and actuator faults are considered
The model is described as
Considering the general cases, a system with all possible faults (f) and UI (d) can be described as
– where an input-output transfer matrix representation for the above system is
sa
ca
fDfDuCxy
fBfBuAxx
dEfRDuCxy
dEfRBuAxx
22
11
sdsGsfsGsusGsy dfu
211
211
1
EEAsICsG
RRAsICsG
DBAsICsG
d
f
u
Auteur: [email protected] Version: 2017 142/166
General structure of residual generation in model-based FDI
fault
UI
input
Gf(s)
Gd(s)
Gu(s)
Hu(s) Hy(s)
Residual generator
r(s)
y(s)
u(s)
d(s)
f(s) system
Here Hu et Hy are stable transfer matrices
which are designed such that
J((r(t)) T(t) for f(t) = 0 fault free
J((r(t)) > T(t) for f(t) 0 non zero faulty
where J(r(t)) is a residual evaluation function
and T(t) a threshold function
caseideal
0sGs
0sGswith
susGsyssr
sdsGsfsGsusGsy
d
d
u
dfu
Auteur: [email protected] Version: 2017 143/166
Robust residual generation through standard H filtering formulations
Fault estimation
– To concentrate on fault sensitivity, let us first ignore the UI (d) and known input (u). The system is described as
» or by the input-output model
where
The design requirement for robust residual generation is to maximize the effect of the fault on the residual, i.e.
fRCxy
fRAxx
2
1
sfsGsy f
2
1
RC
RAsG f
wGJ rfw
r inf: sfsGsy f
sysHsr y
Auteur: [email protected] Version: 2017 144/166
H standard formulation of fault estimation
The previous maximization problem cannot be easily formulated in an H setting. To solve this problem, the new following performance index should be introduced
– where the minimization of the above performance index J can be formulated according to following figure where is an estimation of fault and is the signal which is used to evaluate the estimation quality
2
2
02
sup:f
frIsGJ
frff
Gf(s) K(s) f(s)
z(s)
z
z~
Formulation of fault estimation
y(s)
fr ˆ
z~z
Auteur: [email protected] Version: 2017 145/166
The equivalent transfer matrix P2(s) for the standard H problem
The previous system can be reformulated into a standard H problem as given in following figure
– where the transfer matrix P2(s) is
» with
Standard problem formulation of fault estimation
P2(s)
K(s)
f(s)
zy(s)
z~
z
fsP
y
z
ˆ
~
2
02 sG
IIsP
f
zfRCxy
zfxz
zfRAxx
sP
ˆ0
ˆ0~
ˆ0
:
2
1
2
Auteur: [email protected] Version: 2017 146/166
Fault estimation via standard H problem
The standard H fault estimation is such that to find a filter K(s)RH such that
– Where
The problem can be solved via the standard H techniques
In order to decrease the conservatism introduce by the H techniques, the fault estimation problem can be changed into the filtered version of the fault.
sG fz~
sGsKIsKsPLFTsG ffz ,2~
Auteur: [email protected] Version: 2017 147/166
Formulation of filtered fault estimation via standard H problem
Fault estimation problem can be changed into the filtered version of the fault, i.e.,
» where T(s) is a RH transfer matrix which is (for example) equal to a diagonal low pass filter matrix
The filtered fault estimation can then be defined as the minimization of the following performance index
2
2
02
sup:f
frsTsGJ
frff
sfsTsf
Auteur: [email protected] Version: 2017 148/166
Formulation of filtered fault estimation via standard H problem
This optimization problem can be formulated according to following figure where is an estimation of fault and is the signal which is used to evaluate the estimation quality.
The system illustrated by the above figure can be reformulated into a standard H problem as given bellow
z~z
Gf(s) K(s) f(s)
z(s)
z
z~y(s)
T(s)
Formulation of filtered fault estimation
P3(s)
K(s)
f(s)
zy(s)
z~
Auteur: [email protected] Version: 2017 149/166
Formulation of filtered fault estimation via standard H problem
If the state space realization of transfer matrix T(s) is
– The equivalent transfer matrix P3(s) for the standard H problem is given by
» Where
TT
TT
DC
BAsT
z
fsP
y
z
ˆ
~
3
00
0
0
0
0
0
0
2
13
R
ID
C
C
R
B
A
A
sG
IsTsP
TT
TT
f
Auteur: [email protected] Version: 2017 150/166
Formulation of filtered fault estimation via standard H problem
The sensitivity transfer matrix for this standard H formulation is given by
The estimation of the filtered fault within H formulation is to find a filter K(s)RH such that
The problem can be solved by the standard H techniques. Note that the problem can also be regarded as a model-matching problem and solved via methods developed in robust control theory.
sKsGsTsKsPLFTsG ffz ,3~
sG fz~
Auteur: [email protected] Version: 2017 151/166
Fault estimation with disturbance attenuation
A system with both fault and disturbance terms is modeling by
– Or by the input-output model
Out task is to find an optimal estimation of the filtered fault when the system has both the fault and disturbance.
– This can be formulated according to the following scheme
dEfRCxy
dEfRAxx
22
11
sdsGsfsGsy df
Gf(s) K(s) f(s)
z(s)
z
z~y(s)
T(s)
Gd(s) d(s)
Auteur: [email protected] Version: 2017 152/166
Formulation of filtered fault estimation with disturbance estimation
The objective of the problem is to minimize the following performance index
– where d1 is the generalized disturbance vector which is defined as
21
2
021
1sup:
d
frsTsGJ
drdf
d
fd1
Auteur: [email protected] Version: 2017 153/166
Reformulation of fault estimation with disturbance attenuation via standard H problem
The problem of estimating the fault with disturbance attenuation property can be solved by the standard H techniques as illustrated in following figure
– where the transfer matrix P4(s) is defined as
P4(s)
K(s)
z y(s)
z~
d
fd1
z
dsP
y
z
ˆ
~1
4
0
0
0
0
0
00
0
0
0
0
22
114
ER
ID
C
C
ER
B
A
A
sGsG
IsTsP
TT
TT
dfwith
Auteur: [email protected] Version: 2017 154/166
Fault estimation with disturbance attenuation via standard H problem
The sensitivity transfer matrix for this standard H formulation is given by
The estimation of the filtered fault within H formulation is to find a filter K(s)RH such that
The signal in fig above can be used as a residual signal as well as an estimate of the filtered fault
sGsGsKsTsKsPLFTsG dfdz 0,4~1
sG dz 1~
z
Auteur: [email protected] Version: 2017 155/166
Robustness issues
The previous robustness is only achieved on the assumption that there are no modeling errors or the modeling errors have been approximately transformed into UI (disturbances).
To solve the problem of estimating faults for systems with disturbances and modeling errors, the standard H problem should be formulated to incorporate the uncertainty block as
P4(s)
K(s)
z y(s)
z~
d
fd1
f
d
Auteur: [email protected] Version: 2017 156/166
Integrated design, i.e.design controller and fault estimator simultaneously
The integrated design problem can be formulated according to following figure where
– ye is the signal used to evaluate the control performance,
– Ko(s) is the fault estimator
– Kc(s) is the controller
K(s) f(s)
z(s)
z
z~y(s)
T(s)
d(s) G(s)
Kc(s)
ye(s)
u(s)
Auteur: [email protected] Version: 2017 157/166
Integrated design via standard H problem
The integrated design problem depicted in previous figure can be transformed into a standard H problem as given in following figure
P (s)
Ko(s)
u
zz1
y(s)
ey
z~z~
d
fd1
Kc(s)
Auteur: [email protected] Version: 2017 158/166
Integrated deign with robustness consideration
The integrated design with robustness consideration can be treated like a standard H problem as given in following figure
P (s)
Ko(s)
u
zz1
y(s)
ey
z~z~
d
fd1
Kc(s)
u
f
d
Auteur: [email protected] Version: 2017 159/166
LMI Approach for robust residual generation
The idea consists of designing a bank of observer where each observer is robust to disturbances and to a set of specified faults.
– Example, consider the LTI systems of the form
» Where dim(f)=nf and dim(d)=nd
– Constructing nf observers
where each observer
is insensitive to d
and to one component of f
Cxy
dEfRAxx 11
1nto1n
n
nto312nto3
1
22
nto321nto3
2
11
f
f
f
f
f
f
f
fff
ddobs
f,ffrf
ff
f
ddobs
f,ffrf
ff
f
ddobs
Auteur: [email protected] Version: 2017 160/166
LMI Approach for robust residual generation
Assume that the pair (C, A) is detectable and (A,R1,C) is assumed to have no transmission zeros, i.e. for any s C,
– Thus detectability of the faults is guaranteed.
Only the first observer is considered here. Hence consider the fault detection observer 1 of full order as
– which is designed for the following system
in according to the previous table
fnnC
RAsIrank
0
1
xCyr
xCyKxAx
ˆ
ˆˆˆ
1
1
1
111
2
121 f
dRE
f
f
RRAxx
f
f
n
n
Auteur: [email protected] Version: 2017 161/166
LMI Approach for robust residual generation
The gain K1 for observer 1 is designed such that
– where
The solution K1 of the problem is done by a LMI resolution (see part 2, for details)
11
f
dw
sG wr 11
Auteur: [email protected] Version: 2017 162/166
Fault diagnosis of non-linear dynamic systems
Fuzzy observers for NL dynamics systems fault diagnosis
– A Takagi-Sugeno fuzzy model is a simple way to describe a non-linear dynamic system using locally linearized models. According to the T-S model, a NL dynamics systems can be linearized around a number of operating points.
» Each linear model represents the local systems behavior around the operation point.
» The global system behavior is described by a fuzzy fusion of all linear model outputs.
» The model is described by fuzzy IF-Then rules which represent local linear relation of the NL system
– Consider the simple example
– If w(t) is wi Then
» where Ai=A+Anonwi is a time invariant matrix
tCxty
tButxAtx i
tButxwAAtx non
Auteur: [email protected] Version: 2017 163/166
Fuzzy observers and residual generation
Rule i: (i=1,2,…,N)
– If w(t) is wi Then
This fuzzy observer can be implemented through the use of N local observers and a fuzzy fusion
iiiii xCyKtButxAtx ˆˆˆ
txCty
txwtx
xCyKtButxAtx
N
iii
iiiii
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆˆ
1
Auteur: [email protected] Version: 2017 164/166
Fuzzy fusion
Example for N=3 rules
– w1=0
– w2=30
– w3=80
w
1
1(w) 2(w) 3(w)
0 30 80
txCty
txwtx
xCyKtButxAtx
N
iii
iiiii
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆˆ
1
System
y u
obs1
obs2
obs3
Fuzzy inference engine
for select the
appropriate estimation
µi(w)
C Residual : r
x^ u
u
u
y
y
y
Fuzzy observer
The estimation error dynamics are given by the following
differential equation
eCKAweNi
iiii
1
e is stable if there exist a common positive definite matrix
P such that:
0 CKAPPCKA iiT
ii
for i=1, … N
Auteur: [email protected] Version: 2017 165/166
Eigenvalue region
To ensure that the estimation error e(t) of the fuzzy observer has fast and well attenuated response, it is necessary to assign all local observer eigenvalues is a specific region is s-plane, like:
– All local obs in the fuzzy obs have their
eigenvules is the region S(,), if there
exists a common P > 0 such that
and
for i=1, …, N
In conclusion
LMI region
0
*
P
PCKAP ii
02 PPCKACKAP Tiiii
faulty
fault no ˆ
Threshold
Thresholdyyr
Auteur: [email protected] Version: 2017 166/166
Synthèse
Analyse de performance et robustesse
– Approche fréquentielle
– Modélisation LFT (application du théorème du faible gain)
– Application du lemme de majoration (non étudié ici)
Synthèse de lois de commande
» LQG (rappel)
» H loop-shapping (modelage du transfert de boucle)
» H par pondération fréquentielle
Synthèse H de lois de commande robuste aux incertitudes
» Application du théorème du faible gain
Diagnostic par synthèse LMI
» Estimation de défaut(s) par synthèse de commande H mise sous forme standard
» Atténuation et suivi de consigne : approche H sous forme standard