Beograd, 2020.

Sva autorska prava autora prezentacije i/ili video snimaka su zaštićena. Snimak ili prezentacija se mogu koristiti samo za nastavu na

daljinu studenta Građevinskog fakulteta Univerziteta u Beogradu u školskoj 2020/2021 i ne mogu se koristiti za druge svrhe bez pismene

saglasnosti autora materijala.

Studijski program: GRAĐEVINARSTVO

Modul: KONSTRUKCIJE

Godina/Semestar: IV/VII semestar

Naziv predmeta (šifra): METOD KONAČNIH ELEMENATA (B2K4KE)

Nastavnik: V. prof. dr Marija Nefovska-Danilović

Naslov predavanja: Prva nedeljaDatum : 07.10.2020.

Univerzitet u Beogradu – Građevinski fakultet www.grf.bg.ac.rs

Katedra za tehničku mehaniku i teoriju konstrukcijawww.inp.grf.bg.ac.rs

Uvod

�Šta je MKE?

�Numerička metoda za rešavanje diferencijalnih jednačinakojim se opisuju fizički fenomeni u različitim oblastimainženjerstva (mašinstvo, građevinarstvo, elektrotehnika, ...)

�Sistem diferencijalnih jednačina sa odgovarajućim graničnim uslovima čine GRANIČNI PROBLEM

GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU, 2020. 2

Osnove MKE�Fizička diskretizacija

�Kontinuum sa beskonačno mnogo stepeni slobode se transformiše u

sistem sa konačnim brojem stepeni slobode

� Kontinuum se pomoću zamišljenih linija ili površi deli na konačan broj

elemenata konačnih dimenzija - KONAČNI ELEMENTI (KE)

�Konačni elementi međusobno povezani u čvorovima – MREŽA

KONAČNIH ELEMENATA

GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU, 2020. 3

Osnove MKE

�Osnovne nepoznate veličine definisane u čvorovima KE

�Metoda deformacije (pomeranja, njihovi izvodi)

�Metoda sila (sile)

�Mešovita (hibridna) metoda

�Osnovu aproksimacije čine INTERPOLACIONE FUNKCIJE pomoću kojih se

uspostavlja veza između proizvoljne veličine (npr. pomeranja) u proizvoljnoj

tački konačnog elementa i osnovnih nepoznatih veličina u ČVOROVIMA

GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU, 2020. 4

Osnove MKE

� Razlika između MKE i drugih numeričkih metoda (metoda konačnih razlika-MKR)?� U MKR vrši se aproksimacija izvoda nepoznate funkcije, koji se

pojavljuju u diferencijalnoj jednačini.� U MKE vrši se aproksimacija nepoznate funkcije, tj. polja

pomeranja svakog konačnog elementa pomoću interpolacionihfunkcija

� Prednosti MKE u odnosu na ostale numeričke metode:

� Nema ograničenja u geometriji, opterećenju, graničnim uslovima, materijalu

� Kombinovanje različitih tipova KE

� Tačnost rešenja se može povećati povećanjem broja KE...

GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU, 2020. 5

Primeri primene MKE

GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU, 2020. 6

Definisanje problema, modeliranje, diskretizacija

�Definisanje problema:� Ključni fizički fenomeni

� Da li problem zavisi od vremena?

� Da li postoji nelinearnost?

� Koje rezultate želimo da dobijemo?

� Tačnost?

� Modeliranje:� Definisanje MATEMATIČKOG MODELA na osnovu

sagledanog fizičkog modela

� Fizički model postaje matematički kada je njegovo ponašanje opisano odgovarajućim jednačinama

� MKE ili neki drugi numerički postupak moguće je primeniti samo ako je prethodno definisan matematički model

GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU, 2020. 7

Fizički model

(realna konstrukcija)

Formiranje matematičkog modela

GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU, 2020. 8

Fizički model (realna konstrukcija)

Matematički modelDiferencijalne jednačine + granični uslovi

Idealizacija� Geometrija

� Materijal

� Opterećenje

� Granični uslovi

� Kinematika

Pitanja� Koji su najvažniji fizički fenomeni?

� Da li problem zavisi od vremena?

� Da li je problem linearan ili nelinearan?

� Koje rezultate želimo da dobijemo?

� Tačnost rezultata?

Da li možemo da rešimo

matematički model

analitički?

Primer formiranja matematičkog modela

GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU, 2020. 9

E=210 GPaν=0.3h=10 cmd= 0.2 cml=60 cma=35 cmb=20 cm2c=6cmp=0.5 kN/cm²

� Geometrija

�Granični uslovi

� Materijal� Homogen, elastičan, izotropan

� Opterećenje� 2c x d mala površina → koncentrisana sila

� Kinematika

� Cilj analize� Naponi u preseku α-α� Maksimalni ugib na delu dužine l

1D (linijski) matematički model

GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU, 2020. 10

Da li matematički model možemo rešiti analitički?

Pretpostavka: Euller-Bernoulli-eva greda

Diferencijalna jednačina?

Granični uslovi?

GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU, 2020. 11

1. Tα =?

2. Mα=?

3. vA = ?

1D (linijski) matematički model

Domaći: Izvesti diferencijalnu jednačinu aksijalno napregnutog štapa

1D (linijski) matematički model

Pitanja:

�Pouzdanost? Efikasnost?

� Koncentracije napona? Uticaji u ostalim delovima?

Odgovor:

� Složeniji matematički model – 2D

GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU, 2020. 12

2D matematički model – osnovne jednačine

GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU, 2020. 13

2D matematički model – granični uslovi

GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU, 2020. 14

Numerički model-MKE

GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU, 2020. 15

Da li možemo da rešimo ovaj

matematički model analitički?

TEŠKO!

NUMERIČKI POSTUPAKMKE

Fizički model

(realna konstrukcija)

Matematički model

(Diferencijalne jednačine

+

Granični uslovi)

Numerički model

(MKE)

Numerički model - MKE

GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU, 2020. 16

Geometrijski model Numerički model – MKE

Algoritamski koncept MKE

GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU, 2020. 17

1. Korak – Diskretizacija

� Matematički (geometrijski model) se pomoćuzamišljenih linija (površi) deli na podddomene –KONAČNE ELEMENTE koji su međusobno povezani uČVOROVIMA

K. e.

čvor

Greške diskretizacije?

Preprocesing

Algoritamski koncept MKE

GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU, 2020. 18

2. Korak – Opis ponašanja svakog konačnog elementa

� Definisanje polja pomeranja – Interpolacione funkcije

� Osnovna relacija u MKE:

3. Korak – Opis ponašanja sistema

� “Assembling”:

���� � ��

�� � �

Algoritamski koncept MKE

GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU, 2020. 19

4. Korak – Rešavanje sistema jednačina (određivanjenepoznatih u čvorovima)

5. Korak - Određivanje uticaja u elementima (pomeranja, naponi, deformacije, ...) – postprocessing

6. Korak – Analiza, verifikacija, kritički osvrt

Da se vratimo na primer ...

GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU, 2020. 20

Pomeranja

Da se vratimo na primer ...

GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU, 2020. 21

Naponi

Da se vratimo na primer ...

GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU, 2020. 22

Naponi

Da se vratimo na primer ...

GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU, 2020. 23

Naponi

Analiza rezultata

1D MATEMATIČKI MODEL

� Maksimalni ugib

� Normalni napon

� Smičući napon

2D MATEMATIČKI MODEL

� Maksimalni ugib

� Normalni napon

� Smičući napon

GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU, 2020. 24

�� � 11.34 �/���

�� � 0.1706��

�� � 11.10 �/���

Zaključak: Efikasnost 1D modela ogleda se u njegovoj jednostavnosti, tj. dopouzdanih rezultata se dolazi na jednostavan način, bez primenenumeričkog postupka i računara.

�� � 0.1429��

��� � 0.45 �/��� ��� � 0.44 �/���

3D matematički model

� Najsloženiji je 3D matematički model � Nema idealizacije geometrije

� Zanima nas složeno naponsko stanje u oblasti zavrtnjeva,...

GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU, 2020. 25

Da rezimiramo....

� Izbor matematičkog modela između ostalog zavisi i odtoga šta želimo da dobijemo kao rezultat analize.

� Najefikasniji je matematički model koji daje pouzdanerezultate uz najmanji utrošak resursa, vremena i napora.

� Rešenje numeričkog modela je tačno onoliko koliko jetačan matematički model.

GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU, 2020. 26

Umesto zaključka...

GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU, 2020. 27

Fizički model

Matematički model

Numerički model

Progušćenje mreže, promena tipa k.e., ...

Kraj!

Da

Ne

Promena fizičkog modela

Zadovoljni

dobijenim rezultatima? Promena matematičkog modela