metoda elementului finit cap2

8/16/2019 Metoda elementului finit cap2

1/45

Capitolul 2

Analiza statică a elementelor unidimensionale

I. Analiza liniar statică

Cele mai multe analize structurale se pot trata ca probleme

statice, bazate pe următoarele ipoteze simplificatoare :

• Ipoteza micilor deformaţii (direcţia sarcinii de încărcare nu se

schimbă odată

cu deformaţiile structurii) ;

• Materialul este elastic ;

• Încărcările sunt statice .

Analiza liniar ă furnizează cele mai multe informaţii despre

comportarea structurii şi poate fi o bună aproximare pentru analizele

ulterioare .

II. Analiza liniar ă statică; elementul de tip bar ă dublu

articulat ă

Se consider ă o bar ă prismatică de secţiune uniformă, fig.2.1 :

unde :

Fig.2.1 Element de tip bar ă dublu articulată


2/45

L este lungimea barei ;

A este aria secţiunii transversale ;

E este modulul de elasticitate longitudinal ;

u = u(x) este deplasarea ;

ε = ε(x) este deformaţia specifică ;

σ = σ(x) este tensiunea din bar ă .

Relaţia între deformaţia specifică şi deformaţie este dată de relaţia :

dx

du=ε . (2.1)

Legea lui Hooke este dată de relaţia :

σ = Eε . (2.2)

Determinarea matricei de rigiditate prin metoda direct ă

Considerând că deplasarea u variază liniar în lungul axei barei,

de exemplu :

ji u L

xu

L

x xu ⋅+⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −= 1)( , (2.3)

avem deformaţia specifică :

L

l

L

uu i j Δ=

−=ε , (2.4)

unde Δl este variaţia de lungime a barei .

Tensiunea din bar ă este dată de relaţia :

L

l E E

Δ== ε σ . (2.5)

De asemenea tensiunea se poate calcula şi cu relaţia :


3/45

A

F =σ , (2.6)

unde F este efortul din bar ă .

Astfel că relaţiile (2.5) şi (2.6) duc la relaţia :

l k l EA

F Δ=Δ= , (2.7)

unde ,

L

EAk = , (2.8)

reprezintă rigiditatea barei .În acest caz bara lucrează ca şi un arc şi se poate concluziona că

matricea de rigiditate este :

⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−

−=⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡

−

−=

L

EA

L

EA L

EA

L

EA

k k

k k k , (2.9)

sau

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−⋅=

11

11

L

EAk . (2.10)

Aceasta se poate verifica prin considerarea echilibrului de for ţe la cele

două noduri .

Ecuaţia de echilibru al elementului este dat de ecuaţia :

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−⋅

j

i

j

i

f

f

u

u

L

EA

11

11. (2.11)


4/45

Tipul variabilelor nodale, pot fi exterioare sau interioare după

cum este nodul respectiv. Variabilele nodale sunt de fapt, grade de

libertate (GDL : trei translaţii şi trei rotaţii) ale nodului, care sunt luate

în consideraţie. Pentru bara unidimensională există câte un singur GDL

pentru fiecare nod .

Menirea fizică a coeficien ţ ilor în matricea de rigiditate k

Coloana j din matricea k (în acest caz j = 1 sau 2) reprezintă

for ţa aplicată pe bar ă pentru a obţine o deformaţie unitar ă a nodului j şi

o deplasare zero pentru celelalte noduri .

Matricea de rigiditate – pe cale formal ă

Se determină matricea de rigiditate pe cale formală pentru

elementul tip bar ă. Această metodă se poate folosi pentru o serie de

situaţii mult mai complicate .

Se definesc două funcţii de formă liniare după cum urmează

Ni (ξ) = 1– ξ , N j (ξ) = ξ , (2.12)

unde ,

ξ = L

x

0 ≤ ξ ≤ 1 . (2.13)

Din (2.3) se poate scrie ecuaţia de deplasare :

u(x) = u(ξ) = Ni (ξ)ui + N j (ξ)u j , (2.14)

sau

. (2.15)[ ] Nuuu

N N u j

i

ji =⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧

⋅=


5/45

Deformaţia specifică dată de ecuaţiile (2.1) şi (2.15) se pot scrie :

Buu N dx

d

dx

du=⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡==ε , (2.16)

unde B este matricea deplasărilor pentru un element, matrice care estedată de relaţia :

[ ] [ ]dx

d N N

d

d N N

dx

d B ji ji

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ⋅== )()()()( . (2.17)

De exemplu în acest caz B se poate scrie :

⎥⎦⎤⎢

⎣⎡−=

L L B 11 . (2.18)

Tensiunile se pot scrie sub forma :

σ = Eε = EBu .

(2.19)

Folosind relaţiile (2.16) şi (2.19) se poate determina energiaînmagazinată în bar ă

( ) ( )∫ ∫ ∫ ⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=⋅=⋅=

V V V

T T T T T udv B E Budv Bu E BudV U 2

1

2

1

2

1ε σ (2.20)

Lucrul mecanic efectuat de cele două for ţe nodale este :

f uu f u f W T j jii 2

1

2

1

2

1=⋅+⋅= . (2.21)

Pentru sisteme conservative, se poate scrie :

U = W , (2.22)

relaţie care dă :


6/45

( ) f uudV B E Bu T V

T T

2

1

2

1=⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅∫ . (2.23)

Din ecuaţia (2.23) se poate concluziona că :

, (2.24)( ) f udV B E BV

T =⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅∫

sau

ku = f , (2.25)

de unde rezultă că matricea de rigiditate pentru un element, k , are expresia:

∫ ⋅=V

T dV B E Bk . (2.26)

Expresia (2.26) este rezultatul general care se poate folosi pentru

construirea altor tipuri de elemente. Această expresie se poate determina

folosind aproximări mult mai riguroase, ca de exemplu principiul energiei

poten ţ iale minime, formularea variaţională, principiul metodei Galerkin

etc.

Prin evaluarea expresiei (2.26) pentru elementul tip bar ă dublu

articulată folosind ecuaţia (2.17) se obţine matricea de rigiditate :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⋅=⋅⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−⋅⋅

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−= ∫ 111111

1

1

0 L

EAdx A

L L E

L

Lk L

, (2.27)

expresie care este identică cu cea care a rezultat prin metoda directă .

De notat că din (2.20) şi (2.26) energia de deformaţie în element

se poate scrie sub forma :


7/45

U =2

1u

Tku . (2.28)

Exemplul 2.1

Să se găsească tensiunile într-o bar ă dublu încastrată, la care for ţa

axială, P, acţionează la mijlocul acesteia. Bara are secţiunea variabilă,

fig.2.2.

Solu ţ ie :

Fig.2.2. Bar ă dublu încastrată

Se folosesc două elemente unidimensionale 1-D

Elementul 1

u1 u2

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

−

⋅= 11

1121 L

EA

k .

Elementul 2

u2 u3

⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡

−

−⋅=

11

112

L

EAk .


8/45

În punctul 2 se execută o conectare f ăr ă fricţiune a celor două

elemente. În această situaţie se poate asambla ecuaţia globală a elementelor

finite după cum urmează :

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−⋅

3

2

1

3

2

1

110

132022

F

F F

u

uu

L

EA.

Condiţiile de rezemare şi încărcare sunt :

u1 = u3 = 0 , F2 = P .

Ecuaţia MEF devine :

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−

⋅

3

1

2

0

0

110

132

022

F

P

F

u L

EA.

Eliminând coloanele şi liniile 1 şi 3 rezultă :

[ ] { } { } P u L

EA =⋅⋅ 23 ,

astfel deplasarea punctului 2 este :

u2 = EA

PL

3.

Deplasările celor trei puncte vor fi :

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

0

1

0

33

2

1

EA

PL

u

u

u

.

Tensiunea din elementul 1 este :


9/45

A

P

EA

PL

L

E

L

uu E

u

u

L L E u B E E

3

0

3

11

12

2

11111

=⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ −⋅=

−⋅=

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅=⋅⋅=⋅= ε σ

În mod similar tensiunea din elementul 2 este :

A

P

EA

PL

L

E

L

uu E

u

u

L L E u B E E

33

0

11

23

3

22222

−=⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ −⋅=

−⋅=

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅=⋅⋅=⋅= ε σ

valoare care indică o solicitare la compresiune .

Not ă :

• În acest caz tensiunile calculate, prin teoria liniar ă a elementelor

unidimensionale 1-D, în elementele 1 şi 2 sunt exacte. Divizarea celor două bare în mai multe elemente finite nu duce la îmbunătăţirea rezultatelor .

• Pentru grinzile cu ză brele este necesar ă precizarea ariei secţionale

pentru fiecare bar ă.

• Iniţial este necesar ă găsirea deplasărilor după care se determină starea

de tensiuni . Exemplu 2.2

Să se determine reacţiunile din ambele capete a barei prezentate înfigura 2.3. Se dau:

P = 6,0 104 N , E = 2,1 104 N / mm2

A = 250 mm2 , L = 150 mm , Δ l = 1,2 mm

Solu ţ ie


10/45

Iniţial se verifică dacă în urma deformaţiei bara atinge sau nu

peretele. Pentru a efectua aceasta se consider ă că în partea dreaptă nuexistă perete şi se calculează deplasarea :

Fig. 2.3. Bar ă cu rost de dilatare

mmmm EA

PLl 2,18,1

250100,2

150100,60 4

4

=Δ>===Δ⋅⋅

⋅⋅

Rezultă că există contact .

Ecuaţia globală a MEF este :

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−

⋅

3

2

1

3

2

1

110

121

011

F

F

F

u

u

u

L

EA.

Condiţiile de rezemare şi de încărcare sunt :

F2 = P = 6,0

104 N ,

u1 = 0 , u3 = Δl = 1,2 mm .

Ecuaţia MEF devine :

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

Δ

⋅

⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−

⋅

3

1

2

0

110

121

011

F

P

F

l

u

L

EA ,


11/45

a doua ecuaţie dă:

}{]12[ 2 P l

u

L

EA=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

Δ⋅−⋅ ,

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ Δ⋅+=⋅⋅ l

L

EA P u

L

EA }{]2[ 2 .

Prin rezolvarea acestei ecuaţii rezultă :

mml EA

PLu 5,1

2

12 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ Δ+⋅= ,

şi

.mm

u

u

u

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

2,1

5,1

0

3

2

1

Pentru calculul reacţiunilor, se aplică ecuaţiile 1 şi 3 din ecuaţia

globală a MEF :

Din prima ecuaţie rezultă :

N u L

EA

u

u

u

L

EA F

42

3

2

1

1 100,5)(]011[ ⋅−=−⋅=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅−⋅= .

Din a treia ecuaţie rezultă :

N uu L

EA

u

u

u

L

EA F 432

3

2

1

3 100,1)(]110[ ⋅−=+−⋅=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅−⋅= .

Sarcini distribuite axial


12/45

Sarcinile distribuite axial q [N /m] , [N /mm], se pot repartiza ca şi

for ţe echivalente în nodurile de la capete, aceste for ţe au valorile2

qL, fig.

2.4. Acest lucru se poate verifica prin considerarea lucrului mecanic

efectuat de sarcina distribuită q.

[ ] [ ]

[ ]⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡⋅=

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=⋅⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅=

====

∫∫

∫ ∫ ∫

2

2

2

1

222

1

12

)()(2

)(2)()(2

1

1

0

1

0

0

1

0

1

0

qL

qL

uuu

uqLqL

u

ud

qLd

u

u N N

qL

d uqL

Ld quuqdxW

ji j

i

j

i

j

i

ji

L

q

ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ

(2.29)

Fi . 2.4. Echivalarea unei sarcini distribuite axial

acesta este :

q

T

q f uW

2

1= cu

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

2

2qL

qL

f q . (2.30)


13/45

În cazul în care U = W pentru un element există relaţia :

qT T T f u f ukuu

2

1

2

1

2

1+= , (2.31)

care dă :

ku = f +f q . (2.32)

În acest caz vectorul for ţelor nodale este :

⎪

⎭

⎪⎬

⎫

⎪

⎩

⎪⎨

⎧

+

+=+

2

2qL

f

qL f

f f

j

i

q (2.33)

În ansamblu bara se poate prezenta ca în fig. 2.5.

Fig. 2.5. Prezentarea for ţelor echivalente în cazul sarcinilor

distribuite axial


14/45

Element de tip bar ă articulat ă în plan, 2-D şi în spa ţ iu, 3-D

Cazul plan 2-D

Deplasările şi GDL pentru elementul tip bar ă articulată

Tabelul 2.1.

Local Global

x, y X, Y

u’i ,vi’ ui , vi

1 GDL pe nod 2 GDL pe nod

Not ă: În cazul teoriei liniare deplasările laterale, vi’, nu contribuie la

solicitarea barei.

Transformări de coordonate

, (2.34)⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⋅=⋅+⋅=

i

iiii

vumvuu ]1[sincos' θ θ

, (2.35)⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅−=⋅+⋅−=i

iiii

v

umvuv ]1[cossin' θ θ

unde 1 = cosθ şi m = sinθ reprezintă cosinuşii directori .

În formă matriceală ecuaţia se poate scrie :

, (2.36)⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

i

i

i

i

v

u

m

m

v

u

1

1'

'

sau în formă restrânsă,

ii uT u ~' = (2.37)


15/45

unde matricea de transformare,

Fig. 2.6. Transformarea de coordonate în cazul unui element

, (2.38)⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−=

1

1~

m

mT

este ortogonală, de unde, T T T ~~ 1 =− .

Pentru elementul de bar ă cu două noduri există relaţia :

, (2.39)

⎪⎪⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⋅

⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

⎪⎪⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨

⎧

j

j

i

i

j

j

i

i

v

u

v

u

m

m

m

m

v

u

v

u

100

100

001

001

'

'

'

'

sau

u’ = T u unde . (2.40)⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

T

T T ~

0

0~

For ţele nodale se transformă în acelaşi mod,


16/45

f ’= Tf . (2.41)

Matricea de rigiditate în cazul plan 2-D

În sistemul de coordonate local, avem :

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−⋅ '

'

'

'

11

11

j

i

j

i

f

f

u

u

L

EA , (2.42)

Prin mărirea acestei ecuaţii se obţine :

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⋅

0

0

0000

0101

0000

0101

'

'

'

'

'

'

j

i

j

j

i

i

f

f

v

u

v

u

L

EA

, (2.43)

sauk

’u

’ = f

’ . (2.44)

Prin folosirea transformărilor din ecuaţiile (2.40) şi (2.41) se obţine :

k ’Tu = Tf . (2.45)

Prin multiplicarea ambelor păr ţi cu TT , ştiind că TTT = I, se obţine :

TT

k ’

Tu = f . (2.46)Astfel că matricea de rigiditate, k, în coordonate globale devine :

k = TTk

’T , (2.47)

care este o matrice simetrică de dimensiuni (4×4) .

Forma explicită a matricei de rigiditate este :


17/45

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

−−

⋅=

22

22

22

22

mlmmlm

lml lml

mlmmlm

lml lml

L

EAk . (2.48)

Cosinuşii directori l şi m se calculează cu relaţiile :

L

X X l

i j −== θ cos , (2.49)

L

Y Y m

i j −== θ sin

, (2.50)

Matricea de rigiditate a structurii se asamblează prin folosirea

matricei de rigiditate a fiecărui element ca şi în cazul 1-D.

Starea de tensiuni

În cazul barelor dublu articulate starea de tensiuni se poate scrie sub

forma :

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅==

j

j

i

i

j

i

v

u

v

u

ml

ml

L L E

u

u EB E

00

0011'

'

ε σ .

(2.51)

Prin reducerea acesteia se poate scrie :

⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⋅−−⋅=

j

j

i

i

v

u

v

u

mm L

E ]11[σ

. (2.52)


18/45

Exemplul 2.3

Se consider ă o structur ă formată din două grinzi cu ză brele identice,

cu E, A şi L egale. Încărcarea este după cum se vede în figura 2.7. Se cere :

• deplasarea nodului 2 ;

• starea de tensiuni din fiecare bar ă .

Solu ţ ie

Fig. 2.7. Structur ă formată din grinzi cu ză brele

În cazul sistemului de coordonate local avem

'2

'1 11

11 k l

EAk =⎥⎦⎤⎢

⎣⎡

−−⋅=

Aceste două matrice nu se pot asambla deoarece au sisteme de

coordonate diferite. Pentru a putea realiza acest lucru trebuie să fie trecute

în sistemul de coordonate global XOY .

Elementul 1


19/45

Pentru :

θ = 45˚ , l = m =2

2 ,

prin folosirea ecuaţiei (2.47) sau (2.48) se obţine matricea de rigiditate în

coordonate globale :

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

−−

⋅==

1111

1111

1111

1111

21'11

L

EAT k T k T i .

Elementul 2

Pentru :

θ = 135˚ ,2

2−=l , m =

2

2 ,

se obţine matricea de rigiditate :

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

−−

⋅==

1111

1111

1111

1111

22'222

L

EAT k T k T

.

În urma asamblării ecuaţia MEF este :

⎪⎪

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅

⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−

−

−−

−−

⋅

Y

X

Y

X

Y

X

F

F

F

F

F

F

v

u

v

u

v

u

L

EA

3

3

2

2

1

1

3

3

2

2

1

1

111100

111100

112011

110211

001111

001111

2 .


20/45


u1 = v1 = u3 = v3 = 0 ,

F2X = P1 , F2Y = P2 .

Ecuaţia condensată a elementului finit se poate scrie sub forma :

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

2

1

2

2

20

02

P

P

v

u

L

EA.

Prin rezolvarea acesteia se obţine deplasarea în punctul 2,

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

2

1

2

2

P

P

EA

L

v

u

.

Prin folosirea ecuaţiei (2.52) se pot calcula tensiunile în cele două grinzi :

)(2

20

0

]1111[2

221

2

11 P P

A

P

P EA

L

L

E +⋅=

⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⋅⋅−−⋅⋅=σ ,

)(2

2

0

0]1111[

2

221

2

1

2 P P A

P

P

EA

L

L

E −⋅=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⋅⋅−−⋅⋅=σ .

Exemplul 2.4

Pentru structura prezentată în figura 2.8 se dau P=1000 kN, L=1 m,

E=210 GPa, A1,2 = 6,0 10-4 m2 şi A3 = 6 √2 10

-4 m2. Se cere să se

determine deplasările nodurilor 2 şi 3 şi reacţiunile .

Solu ţ ie


21/45

În nodul 3 reazemul este înclinat, fapt pentru care este necesar ă o

atenţie deosebită în soluţionarea problemei. În primul rând se asamblează

ecuaţia globală pentru grinzile cu ză brele .

Fig. 2.8. Structur ă cu grinzi dublu articulate cu o rezemare după o

direcţie oarecare

Elementul 1

Pentru :

θ = 90˚ , l = 0 , m = 1 ,


⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−⋅

⋅⋅=

−

1010

0000

1010

0000

)100,6)(10210( 491

l k ; ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

m

N .

Elementul 2

Pentru :

θ = 0˚ , l = 1, m = 0 ,


22/45


⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⋅⋅⋅

=−

0000

0101

0000

0101

)100,6)(10210( 492

l k ; ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

m

N .

Elementul 3

Pentru :

θ = 90˚ , l = 0 , m = 1 ,


⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

−−

⋅⋅⋅

=−

5,05,05,05,0

5,05,05,05,0

5,05,05,05,0

5,05,05,05,0

2

)1026)(10210( 493k ; ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

m

N .

În urma asamblării ecuaţia globală a MEF este :

,

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−

−

−

−−−−−

⋅⋅

Y

X

Y

X

Y

X

F

F

F

F

F F

v

u

v

u

vu

3

3

2

2

1

1

3

3

2

2

1

1

5

5,05,0005,05,0

5,05,1015,05,0

001010

010100

5,05,0105,15,05,05,0005,05,0

101260


u1 = v1v2 = 0 , şi v3’ = 0 ,

F2X = P , F3X’ = 0 .

În urma transformării ecuaţiei MEF se obţine :


23/45

0)(2

2

2

2

2

233

3

3'3 =+−⋅=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−= vu

v

uv ,

aceasta înseamnă că :

u3 – v3 = 0 .

Aceasta este o constrângere multipunct .

Similar pentru nodul 3 există relaţia :

0)(2

2

2

2

2

233

3

33 '

=+⋅=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= Y X

Y

X

X F F

F

F F ,

aceasta este ,

F3X + F3Y = 0 .

Aplicând sarcinile pe structur ă şi eliminând liniile şi coloanele 1, 2 şi

4 se obţine :

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−⋅⋅

Y

X

F

F P

v

uu

3

3

3

3

25

5,05,00

5,05,11011

101260 ,

pentru constrângerile multipunct şi reacţiunile din nodul 3 ecuaţia devine ,

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

−=⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

⋅⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

⋅⋅ X

X

F F

P

vu

u

3

3

3

3

25

5,05,005,05,11

011

101260 .

Prin eliminarea celei de a treia coloane rezultă :

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅

⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⋅⋅

X

X

F

F

P

u

u

3

33

25

10

21

11

101260 .


24/45

Din a treia ecuaţie se poate calcula :

F3X = –1260·10-5u3 .

Substituind F3X în a doua ecuaţie şi după rearanjare se obţine :

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⋅⎥

⎦⎤⎢

⎣⎡−

−⋅⋅031

111012603

25 P uu .

Prin rezolvarea acesteia se obţin deplasările :

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⋅

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

003968,0

01191,03

102520

15

3

2

P

P

u

u [m].

Din ecuaţia globală se pot calcula reacţiunile :

⎪

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−

−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅

⎥

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−−

⋅⋅=

⎪

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

500

500

0,0

500

500

5,05,00

5,05,11

000

5,05,00

5,05,00

101260

3

3

25

3

3

2

1

1

v

u

u

F

F

F

F

F

Y

X

Y

Y

X

[kN].

În general o restricţionare multipunct se poate descrie în modul :

∑ = j

j ju A 0 , (2.53)

unde A j reprezintă constrângerea iar u j reprezintă componenta de

deplasare. În cazul programelor de element finit utilizatorul trebuie doar să specifice această relaţie programului. La rezolvare programul va ţine cont

de acest lucru .

Cazul spa ţ ial 3-D


25/45

Matricea de rigiditate se calculează în sistemul de coordonate locale,

iar apoi se transformă în sistemul de coordonate globale (X, Y, Z ) după

care se poate asambla în matricea generală .

Fig.2.9. Grindă articulată spaţială

Datele de intrare pentru elemente de tip bar ă :

• (X, Y, Z) pentru fiecare nod ;

• E şi A pentru fiecare element .

Deplasările şi GDL pentru elementul tip bar ă articulată

Tabelul 2.2.

Local Global

x, y, z X, Y, Z

u’i ,vi’, wi’ ui , vi , wi

1 GDL pe nod 2 GDL pe nod

III. Elemente tip grind ă solicitat ă la încovoiere

Element tip grind ă simpl ă , fig.2.10.

Grinda solicitată la încovoiere are următorii parametrii :


26/45

Lungimea L ;

Fig.2.10. Grindă solicitată la încovoiere

Momentul de iner ţie al secţiunii I ;

Modulul de elasticitate longitudinal E ;

Deformaţia axei neutre V = v(x) ;

Rotirea după axa zdx

dv=θ ;

For ţa perpendicular ă pe axa grinzii F = F(x) ;

Momentul după axa z M = M(x) .

Teoria elementar ă a barei

Ecuaţia diferenţială a săgeţii în funcţie de momentul încovoietor este:

)(2

2

x M dx

vd EI = , (2.54)

Relaţia lui Navier pentru determinarea tensiunilor din bar ă este :


27/45

I

My−=σ . (2.55)

Determinarea matricei de rigiditate prin metoda direct ă

Matricea de rigiditate a grinzii solicitate la încovoiere se determină

conform figurii 2.11. Ecuaţia elementului cu nodurile locale i, j sau 1, 2

este :

⎪⎪⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⋅

⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

−

−

⋅

j

j

i

i

j

j

i

i

M

F

M

F

v

v

L L L L

L L

L L L L

L L

L

EI

θ

θ

22

22

3

4626

612612

2646

612612

. (2.56)

Sub formă matriceală matricea de rigiditate este :

∫ ⋅⋅⋅= L

T dx B EI Bk 0

(2.57)

Fig.2.11. Etapele pentru calculul matricei de rigiditate prin metoda directă

Pentru a obţine aceasta, se vor introduce funcţiile de interpolare :

3

3

2

21

231)( L

x

L

x x N +−= ;

2

32

22

)( L

x

L

x x x N +−= ;

3

3

2

2

3

23

)( L

x

L

x

x N −=

; (2.58)


28/45

2

32

4 )( L

x

L

x x N +−= .

Deformaţia se poate reprezenta sub forma:

. (2.59)[ ]

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⋅=⋅=

j

j

i

i

v

v

x N x N x N x N u N xv

θ

θ )()()()()( 4321

care este o funcţie cubică. De notat că :

N1 + N3 = 1 , N2 + N3L + N4 = x . (2.60)

Curbura barei este dată de relaţia :

Bu Nudx

d

dx

vd ==

2

2

2

2

, (2.61)

unde matricea, B, este dată de relaţia :

[ ]

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−+−+−=

===

232232

"4

"3

"2

"12

2

6212664126

)()()()(

L

X

L L

X

L L

X

L L

X

L

x N x N x N x N N dx

d B

(2.62)

Energia de deformaţie înmagazinată în bar ă este :


29/45

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅==

=⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ ==

=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=⋅=

L

o

L

o

T T T

L

o

L

o

T

T

V

L T

A

T

u Bdx EI Budx Bu EI Bu

dxdx

vd EI

dx

vd Mdx

EI M

dAdx I

My

E I

MydvU

2

1)()(

2

1

2

11

2

1

1

2

1

2

1

2

2

2

2

0

ε σ

(2.63)

Se poate concluziona că matricea de rigiditate pentru elementul de

grindă simplă este :

∫ ⋅= L

T Bdx EI Bk 0

. (2.64)

Aplicând rezultatele din ecuaţiile (2.63) şi efectuând integrala se

obţine aceeaşi matrice de rigiditate ca şi cu ecuaţia (2.56) .

Prin combinarea matricei de rigiditate axiale, se obţine matricea de

rigiditate generală a grinzii 2-D :

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

−

−

−

=

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI L

EI

L

EI

L

EI

L

EI L

EA

L

EA L

EI

L

EI

L

EI

L

EI L

EI

L

EI

L

EI

L

EI L

EA

L

EA

k

460

260

6120

6120

0000

360

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

(2.65)


30/45

Elementul de grind ă solicitat ă la încovoiere de tip 3-D

Iniţial matricea de rigiditate se formează în sistemul de coordonate

locale 2-D după care se transformă în sistemul de coordonate global 3-D

pentru asamblare. Vezi fig. 2.9.

Fig.2.12. Grindă dublu încastrată acţionată central de o for ţă şi un

Exemplul 2.5

Grinda prezentată în figura 2.12 este încastrată la ambele capete şi

acţionată la mijloc de o for ţă, P şi de un moment, M .

Se cere : săgeata şi rotirea în nodul 2 şi reacţiunile din încastrare,

(punctele 1 şi 3).

Solu ţ ie :

Matricele de rigiditate sunt :


31/45

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

−

−

⋅=

22

22

31

4626

612612

2646

612612

L L L L

L L

L L L L

L L

L

EI k ,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

−

−

⋅=

22

22

32

4626

612612

2646

612612

L L L L

L L

L L L L

L L

L

EI k .

Ecuaţia globală a MEF este :

⎪⎪

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅

⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

−

−−−

−

−

⋅

3

3

2

2

1

1

3

3

2

2

1

1

22

222

22

3

462600

61261200

268026

612024612

002646

00612612

M

F

M

F

M

F

v

v

v

L L L L

L L

L L L L L

L L

L L L L

L L

L

EI

Y

Y

Y

θ

θ

θ

.

Condiţiile de încărcare şi de rezemare sunt :

F2Y = –P , M2 = M ,

v1 = v3 = θ1 = θ3 = 0 .

Forma redusă a ecuaţiei este :

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

M

P v

L L

EI

2

223 80

024

θ .

Prin rezolvarea acestei ecuaţii se obţine :

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧−

⋅=⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧

M

PL

EI

Lv

324

2

2

2

θ .


32/45

Din ecuaţia globală se obţin reacţiunile (for ţe şi momente):

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+−

−

+

+

⋅=⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧⋅

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−

⋅=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

M PL L M P

M PL L

M P

v

L L

L

L L

L

L

EI

M

F

M

F

Y

Y

32

32

4

1

26612

26

612

2

2

2

2

3

3

3

1

1

θ .

Starea de tensiune în bar ă se poate calcula cu relaţia lui Navier :

I

My x −==σ σ .

Soluţia prin MEF este exact în concordanţă cu teoria de grindă simplă

f ăr ă sarcini distribuite între noduri .

Se reaminteşte că ecuaţia fibrei medii este :

)(2

2

x M

dx

vd EI = ,

şi

V dx

dM = ,

qdx

dV = ,

astfel expresia săgeţii în funcţie de sarcinile distribuite se poate scrie :

)(4

4

xqdx

vd EI = .

Dacă q (x) =0, atunci soluţia exactă a deformaţiei v este o funcţie

cubică de x,


33/45

funcţie care este

descrisă de funcţia

de încărcare .

For ţ e echivalente în

noduri în cazul

sarcinilor distribuite

transversal

Acest lucru se poate verifica considerând lucrul mecanic efectuat de

sarcina distribuită q, fig. 2.13 şi fig. 2.14.

Exemplul 2.6

Se consider ă o grindă încastrată la un capăt pe care acţionează o

sarcină uniform distribuită .


34/45

Se cere : valoarea săgeţii şi a rotirii în capătul liber precum şi valorile

reacţiunilor din încastrare .

Solu ţ ie :

Lucrul mecanic echivalent a sarcinii distribuite este prezentat în

figura 2.16, unde :

2

pL f = ,

12

2 pLm = .

Aplicând ecuaţia MEF se obţine :


35/45

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

−

−

⋅

2

2

1

1

2

2

1

1

22

22

3

4626

612612

2646

612612

M

F

M

F

v

v

L L L L

L L

L L L L

L L

L

EI

Y

Y

θ

θ

.

Condiţiile de încărcare şi de rezemare sunt :

F2Y = –f , M2 = m ,

v1 = θ1 = 0 .

Ecuaţia redusă a MEF este :

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⋅m

f v

L L

L

L

EI

2

223 46

612θ .

Prin rezolvarea acestei ecuaţii se obţine :

⎪⎪⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

−=

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

+−

+−⋅=

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧

EI

pL

EI

pL

m Lf

Lm f L

EI

Lv

6

8

63

32

6 3

4

2

2

2

θ . (A)

Valorile din noduri sunt identice cu cele determinate pe cale analitică .

Not ă : valoarea săgeţii v(x) este diferită faţă de valoarea determinată

analitic deoarece analitic funcţia polinomială este de ordinul 4 iar pentru

MEF funcţia polinomială este de ordinul 3 .Dacă se renunţă la momentul echivalent, se obţine :

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

−=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−

−⋅=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

EI

pL

EI

pL

Lf

f L

EI

Lv

4

63

2

6 3

4

2

2

2

θ . (B)


36/45

Eroarea din ecuaţia (B) se poate micşora prin creşterea numărului de

elemente folosite. În general, în MEF, momentul echivalent m este ignorat.

În cazul MEF soluţia va converge către valoarea reală în cazul în care se

folosesc mai multe elemente .

Calculul reacţiunilor se face cu ecuaţia :

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−⋅=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

12

52

26

6122

2

22

3

1

1

pL

pLv

L L

L

EI

L

M

F Y

θ .

Acest vector al reacţiunilor dă for ţele efective din nod, care include for ţele

nodale pentru sarcinile distribuite p, date de :

⎪

⎪

⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪

⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

−

12

22 pL

pL

.

Reacţiunile corecte se pot obţine după cum urmează :

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪

⎪

⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪

⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

−−

⎪

⎪

⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪

⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

212

2

12

52 2

221

1 pL

pL

pL

pL

pL

pL

M

F Y

.

Exemplul 2.7

Pentru structura static nedeterminată din figura 2.17, se dau: P=50kN,

k=200kN/m, L=3m , E=210GPa, I=2.104m4. Se cere să se găsească

săgeţile, deplasările şi reacţiunile grinzii .

Solu ţ ie :


37/45

Grinda în punctul 2 are un reazem articulat iar în punctul 3 are un

element elastic. Pentru rezolvarea problemei, în acest caz se folosesc două

elemente tip bar ă şi un element de tip arc .

Matricea de rigiditate a elementului de tip arc este :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−=

k k

k k k s

Prin completarea acestei matrice de rigiditate la ecuaţia globală (vezi

exem-

plul 2.5) se obţine :

⎪⎪⎪

⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪

⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅

⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−−+−−

−

−−−

−

−

⋅

Y

Y

Y

Y

F

M F

M

F

M

F

v

v

v

v

k k

L L L Lk Lk L

L L L L L

L L

L L L L

L L

L

EI

4

33

2

2

1

1

4

33

2

2

1

1

''

22

''

222

22

3

00000

0462600 61261200

0268026

0612024612

0002646

000612612

θ

θ

θ

,

în care pentru simplificare s-a folosit :


38/45

k EI

Lk

3

' = .

Prin aplicarea condiţiilor de contur :

v1 = θ1 = v2 = v4 = 0 ,

M2 = M3 = 0 , F3Y = –P ,

şi prin eliminarea ecuaţiilor 1, 3 şi 7 (liniile şi coloanele) se obţine ecuaţia

:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−+−

−

⋅

0

0

462

6126

268

3

3

2

22

'

22

P v

L L L

Lk L

L L L

L

EI

θ

θ

.

Prin rezolvarea acestei ecuaţii se obţine săgeata şi rotirea nodurilor 2 şi 3 ,

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅+

−=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

9

7

3

)712( '

2

3

3

2

Lk EI

PLv

θ

θ

.

Influenţa arcului k se poate observa uşor din rezultate. Prin înlocuirea

valorilor se poate calcula :


39/45

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

007475,0

01744,0

002492,0

3

3

2

θ

θ

v .

Din ecuaţia globală se pot obţine reacţiunile :

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

−

=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

488,3

2,116

78,69

48,69

4

2

1

1

Y

Y

Y

M

F

M

F

.

Analiza structurilor (cadre)

Elementele din cadre au capetele conectate rigid. Momentele şifor ţele prin intermediul legăturilor se transmit în întregime de la o grindă la

alta .

Exemplul 2.8


40/45

Pentru cadru static nedeterminat din figura 2.19 se dă modulul de

elasticitate E=30.106 N/m2, momentul de iner ţie I=65cm4 şi aria A=6,8cm2.

Se cere să se determine deplasarea şi rotirea nodului 1şi 2 .

Solu ţ ie :

Pentru acest exemplu iniţial se transformă sarcina uniform distribuită

în sarcini echivalente aplicate în noduri .

În sistemul de coordonate local, matricea de rigiditate 2-D este :


41/45

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

−

−

−

=

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI L

EI

L

EI

L

EI

L

EI L

EA

L

EA L

EI

L

EI

L

EI

L

EI L

EI

L

EI

L

EI

L

EI L

EA

L

EA

k

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

Topologia elementelor

ELEMENTUL NODUL I (1) NODUL J (2)


42/45

1 1 2

2 3 1

3 4 2

Pentru elementul 1 matricea de rigiditate este :

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

−

−

−

−

==

54174,56027084,560

4,56784,004,56784,00

007,141007,141

27084,56054174,560

4,56784,004,56784,00

007,141007,141

'11 k k

Pentru elementele 2 şi 3 matricea de rigiditate în coordonate locale

este


43/45

⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−

−

−

−

==

812512704063127012765,2012765,20

005,212005,212

4063127081251270

12765,2012765,20

005,212005,212

'3

'2 k k

unde i=3, j=1 pentru elementul 2 şi i=4, j=2 pentru elementul 3 .

În general matricea de transformare T este :

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

=

100000

0000

0000

0001000000

0000

l m

ml

l m

ml

T

Pentru elementul 2 şi 3 cosinuşii directori sunt :

l = 0 , m = 1 ,astfel matricea de transformare, T, este :

⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

100000

001000

010000

000100

000001

000010

T

Prin folosirea relaţiei de transformare ,

k = TTk ’T ,

se obţin matricele de rigiditate în coordonate globale pentru elementele 2 şi

3 ,


44/45


45/45

Pentru calculul for ţelor de reacţiune şi a momentelor din capete se

rezolvă ecuaţiile 2 şi 3 din ecuaţia globală a MEF şi se obţine :

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧−

=⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

603642210

7,672

3

3

3

M F

F

Y

X

,

şi

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

112641

3825

2338

4

4

4

M

F

F

Y

X

.

Eforturile de pe cadru sunt prezentate în figura 2.20.

Fig.2.21. Sarcinile care acţionează pe cadru (acţiune şi reacţiune)

metoda elementului finit cap2

Documents