8/16/2019 Metoda elementului finit cap3

1/21

CAPITOLUL 3

PROBLEME BIDIMENSIONALE 2-D

 I. Teoria de baz ă În general tensiunile şi deformaţiile într-o structur ă  spaţială sunt în număr de şase componente pentru tensiuni:

zxyzxyzyx ,,,,,   τττσσσ   (3.1)

şi alte şase pentru deformaţii specifice:.,,,,, zxyzxyzyx   γγγεεε   (3.2)

În cazul condiţiilor de constrângere starea de tensiuni şi dedeformaţii se simplifică. În general cazul analizelor 3-D se poate

reduce la analize 2-D.

Fig.3.1 Distribuţia de tensiuni în cazul 3-D

 Starea de tensiuni în plan 2-D

Starea plană de tensiuni

0,0 xzxxyx   ≠ε=τ=τ=σ   (3.3)

În acest caz structura plană este subţire, cu grosime constantă şi încărcată cu o sarcină în planul structurii (planul xoy).

8/16/2019 Metoda elementului finit cap3

2/21

 Fig.3.2 Solicitări în cazul stării plane de tensiuni

Starea plană de deforma ţ ii

0,0 zzxyzx   ≠σ=γ=γ=ε   (3.4)

În acest caz structura este lungă  cu secţiune uniformă  şi ce

încărcare transversală.

Fi .3.3 Solicitări în cazul stării lane de deforma ii 

 Rela ţ ii între tensiune-deforma ţ ie-temperatur ă Pentru un material izotrop elastic relaţia deformaţie

specifică- tensiune- temperatur ă este:

8/16/2019 Metoda elementului finit cap3

3/21

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

γ

ε

ε

+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

τ

σ

σ

⎥⎥⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ν−

ν−

=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ε

ε

ε

θ

θ

θ

xy

y

x

z

y

x

z

y

x

G

100

0

E

1

E

0EE

1

  (3.5)

sau sub formă restrânsă:

01E   ε+σ=ε   −   (3.6)

unde ε0  este deformaţia iniţială, E este matricea pătrată  acaracteristicii mecanice,  ν  este coeficientul lui Poisson iar Greprezintă  modulul de elasticitate transversal. De notat că  pentru

materialele omogene şi izotrope există relaţia:

( )ν+=

12

EG   (3.7)

Starea de tensiune se poate exprima prin rezolvarea ecuaţiei:

⎟⎟⎟⎟

 ⎠

 ⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝ 

⎛ 

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

γ

ε

ε

−

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

γ

ε

ε

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ν−ν

ν

ν−=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

τ

σ

σ

0xy

0y

0x

xy

y

x

2

xy

y

x

2

100

01

01

1

E  (3.8)

sau

0E   σ+ε=σ  , (3.9)

unde este tensiunea iniţială.00 Eε−=σ

  Relaţiile anterioare sunt valabile pentru starea plană  detensiune. Pentru cazul stării plane de deformaţie este necesar ca înecuaţiile anterioare să se înlocuiască constantele de material. Acesteînlocuiri sunt:

GG,1

,-1

EE2

  →ν−

ν→νν

→   , (3.10)

De exemplu, starea plană  de tensiune derivată  din starea plană de deformaţii este:

( )( )⎟⎟⎟⎟

 ⎠

 ⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝ 

⎛ 

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

γ

ε

ε

−

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

γ

ε

ε

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ν−ν−ν

νν−

ν−ν+=

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

τ

σ

σ

0xy

0y

0x

xy

y

x

xy

y

x

2

100

01

01

211

E  (3.11)

8/16/2019 Metoda elementului finit cap3

4/21

  Deformaţiile iniţiale date de variaţia de temperatur ă sunt datede:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∆Τα

∆Τα

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

γ

ε

ε

00xy

0y

0x

 , (3.12)

unde α este coeficientul de dilatare termică, ∆Τ reprezintă variaţia detemperatur ă.

 Not ă:  Dacă  structura este static determinată  datorită variaţiilor de temperatur ă nu apar tensiuni.

 Rela ţ iile diferen ţ iale între deforma ţ ii specifice şi deplasăriPentru deformaţii liniare şi unghiulare mici există relaţiile:

x

v

y

u,

y

u,

x

uxyyx ∂

∂+

∂

∂=γ

∂

∂=ε

∂

∂=ε   (3.13)

Sub formă matriceală acest lucru se poate scrie:

Dusauv

u

xy

y0

0x

xy

y

x

=ε⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂

∂

∂

∂∂

∂∂

∂

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

γ

εε

, (3.14)

unde D este o matrice operator (de legătur ă) care permite exprimareadeformaţiilor specifice funcţie de deplasările nodale. Dacă deplasările sunt exprimate sub formă polinomială, din această relaţie

se observă  că  deformaţiile specifice sunt de ordin mai mic decâtdeplasările.

 Ecua ţ iile de echilibruÎn teoria elasticităţii, starea de tensiune dintr-o structur ă 

trebuie să satisfacă următoarele ecuaţii de echilibru:

0f yx

0f yx

yyyx

xxyx =+

∂

σ∂+

∂

τ∂=+

∂

τ∂+

∂

σ∂, (3.15)

unde f x şi f y sunt for ţe masice pe unitatea de volum (de exemplu for ţe

8/16/2019 Metoda elementului finit cap3

5/21

gravitaţionale). În teoria MEF aceste condiţii de echilibru suntsatisf ăcute în sens aproximativ.

Condi  ţ ii de conturConturul S, fig.3.4, se poate diviza în două  păr ţi, Su  şi St.Descrierea acestor condiţii de contur este:

tyyxx

u

S pett,tt

S pevv,uu

==

==  (3.16)

în care u şi v sunt deplasările, tx şi ty sunt for ţe, (tensiuni pe contur)iar cantităţile barate sunt valorile cunoscute.

Fi .3.4 Sistem cu ecua ii de contur 

  În analiza prin MEF toate tipurile de încărcări, (sarcinidistribuite pe suprafaţă, for ţe masice, for ţe concentrate, momenteetc.) sunt convertite în for ţe ce acţionează în noduri.

 Solu ţ ia exact ă din elasticitateSoluţiile exacte (deplasări, deformaţii şi tensiuni) pentru o

 problemă  dată  trebuie să  satisfacă  ecuaţiile de echilibru (3.15),condiţiile de contur (3.16) şi condiţiile de compatibilitate (structuratrebuie să se deformeze într-o manier ă continuă, f ăr ă fisuri şi salturiîn câmpul deplasărilor).

 Exemplul 3.1

Să se determine starea de deformaţii şi tensiuni în cazul unei plăci supuse unei sarcini uniform distribuite, p, fig.3.5,caracteristicile de material sunt E şi  ν.

Soluţia exactă pentru această problemă simplă se poate găsi

8/16/2019 Metoda elementului finit cap3

6/21

uşor după cum urmează:

Ecuaţiile deplasărilor în lungul axei x sunt:

Fig.3.5 Placă solicitată de o sarcină uniform distribuită 

yE

 p-vvx,

E

 pu   == ,

Deformaţiile specifice pe întreaga placă sunt:

0,E

 pv,

E

 pxyyx   =γ−=ε=ε  .

Starea de tensiuni este :.0,0 p,

xyyx  =τ=σ=σ

 Problemele simple cu soluţii exacte (analitice) suntnumărabile. De aceea este nevoie de calcul prin MEF.

3.2. Elemente finite pentru probleme plane 2-D

Formula general ă pentru matricea de rigiditateDeplasările în plan, (u,v), sunt valori interpolare între

deplasările nodale, (ui,vi), folosind funcţii interpolare Ni. De

exemplu:

(3.17), Ndusauv

u

v

u

 N0 N0

0 N0 N

v

u

2

2

1

1

21

21 =

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

M

K

K

unde N este matricea funcţie de interpolare, u este vectoruldeplasărilor iar d este vectorul deplasărilor nodale.

Pentru relaţia între deformaţie specifică şi deplasare ecuaţia

8/16/2019 Metoda elementului finit cap3

7/21

(3.14) se poate scrie:DNdDu ==ε   sau Bd=ε   (3.18)

unde B=ND este matricea deformaţie specifică-deplasare.

Considerând energia de deformaţie înmagazinată în element:

( )   ( )

kdd

2

1dVdEBBd

2

1

dVEεε2

1εdVEε

2

1dV

2

1

εdV2

1U

V

V V

ΤΤxyxyyyxx

V

ΤΤΤ

Τ

==

===γτ+εσ+εσ

=σ=

∫

∫ ∫

∫

V∫  

se poate scrie formula generală  a matricei de rigiditate pentruelement sub forma:

∫   Τ=V

EBdVBk    (3.20)

Matricea de rigiditate k, definită  de relaţia (3.20) estesimetrică  dacă  matricea E este simetrică. De notat că  comportareamatricei k depinde doar de matricea B, care leagă  deformaţiile

specifice de deformaţii. Comportarea calitativă  a elementului finiteste dată  (este determinată) de alegerea funcţiei de interpolare, afuncţiei de formă  sau a funcţiei de aproximare. Funcţiile deinterpolare nu pot fi alese arbitrar, ele trebuie să satisfacă o serie decerinţe pentru a asigura criteriul de convergenţă, care este diferit, deregulă, de la o problemă la alta (de la un element la altul).

Elementele cu funcţii de interpolare identice pentrudescrierea geometriei cât şi pentru descrierea de deformaţiei se

numesc elemente izoparametrice.În cele mai multe cazuri elementele 2-D sunt triunghiularesau patrulatere cu funcţii de interpolare liniare sau pătratice.

 Element triunghiular cu stare de deforma ţ ii constante(CST)

Acesta este cel mai simplu element plan, care se numeşteelement triunghiular liniar.

Acest element are 3 laturi si 3 noduri, care se numerotează însens trigonometric. Fiecare nod are câte două  grade de libertate (în

8/16/2019 Metoda elementului finit cap3

8/21

direcţiile x şi y). Deplasările u şi v sunt descrise de funcţii deinterpolare liniare şi au forma:

y bx b bv

y bx b bu

654

321

++=

++=  (3.21)

unde bi (i=1,2,…,6) sunt constante. Astfel deformaţiile specifice vorfi:

, b b, b, b 53xy6y2x   +=γ=ε=ε   (3.22)care sunt constante pe tot elementul. De aici vine denumirea deelement triunghiular cu deformaţie constantă, (CST- Constant StrainTriangle).

Deplasările date de (3.21) satisfac următoarele 6 ecuaţii:

.y bx b bv

,y bx b bu

,y bx b bu

363443

232212

131211

++=

++=

++=

  (3.23) 

Fig.3.6 Element triunghiular cu câmp de deformaţie constantă 

Prin rezolvarea acestor ecuaţii se pot obţine coeficienţii b1, b2, …,b6 în termenii deplasărilor nodale şi coordonatelor.

Prin substituirea acestor coeficienţi în condiţia (3.21) şi prinrearanjarea termenilor se obţine:

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

3

3

2

2

1

1

321

321

v

u

v

u

v

u

 N0 N0 N0

0 N0 N0 N

v

u  (3.24)

8/16/2019 Metoda elementului finit cap3

9/21

unde funcţiile de interpolare liniare (în x şi y) sunt:

( ) ( ) ({ })

( ) ( ) ({ })

( ) ( ) ({ }yxxxyyyxyxA2

1 N

yxxxyyyxyxA21 N

yxxxyyyxyxA2

1 N

122112213

311331132

233223321

−+−+−=

−+−+−=

−+−+−=

)

  , (3.25)

şi

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

33

22

11

yx1

yx1

yx1

det2

1A   (3.26)

unde A este aria elementului triunghiular.Prin folosirea relaţiei deformaţie specifică-deplasare (3.14),

rezultatelor (3.24) şi (3.25) se obţine:

⎪⎪⎪

⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

⎪

⎪

⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪

⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

γ

ε

ε

3

3

2

2

1

1

122131132332

211332

123123

xy

y

x

vu

v

u

v

u

yxyxyx

x0x0x0

0y0y0y

2A

1Bd   (3.27)

unde şi jiij xxx   −=  jiij yyy   −=   (i,j=1,2,3). Chiar şi starea detensiuni pe acest tip de element este constant.

Aplicând formula (3.20) se obţine matricea de rigiditate pentru elementul triunghiular cu deformaţie cons antă:t

EBBtAdVEBBk 

V

ΤΤ ==

∫  , (3.28)

în care „t” este grosimea elementului. De notat că  matricea derigiditate, k, a elementului triunghiular cu deformaţie constantă estesimetrică şi are dimensiunile de (6x6).

În continuare pentru analiza elementului triunghiular seintroduce sistemul de coordonate naturale (ξ,η), fig.3.7. Astfelfuncţia de interpolare se poate prezenta sub o formă mult mai simplă:

η−ξ−=η=ξ= 1 N, N, N 321   (3.29)

De notat că:

8/16/2019 Metoda elementului finit cap3

10/21

,1 N N N 321   =++   (3.30)lucru care indică  translaţia solidului rigid, lucru dat de alegereafuncţiei de interpolare. Identic ca în cazul 1-D, funcţia de interpolare:

⎩⎨⎧=

noduri,altenî,0i;nodulnî,1 Ni   (3.31)

variind liniar cu elementul. Reprezentarea funcţiei de interpolare N1 este prezentată  în figura 3.8. Funcţiile interpolare N2  şi N3  aureprezentări similare.

Fig.3.7 Elementul triunghiular în sistemul de coordonate natural

În acest caz există două sisteme pentru de coordonate pentruelement: sistem de coordonate global (x,z) şi un sistem decoordonate natural (ξ,η). Relaţia dintre cele două  sisteme decoordonate este dată de relaţiile:

,y Ny Ny Ny

,x Nx Nx Nx

332211

332211

++=

++=  (3.32)

în sistem de coordonate global, sau:

,32313

,32313

yyyy

xxxx

+η+ξ=

+η+ξ=  (3.33)

în sistem de coordonate natura, unde  jiij xxx   −=   şi  jiij yyy   −=  (i,j=1,2,3).

Deplasările u şi v pe element se pot vedea ca funcţii de (x,y)sau (ξ,η). Folosind regula înlănţuirii pentru derivate se poate scrie:

8/16/2019 Metoda elementului finit cap3

11/21

⎪

⎪

⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪

⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂

∂∂∂

=

⎪

⎪

⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪

⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂

∂∂∂

⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢

⎣

⎡

η∂

∂

η∂

∂ξ∂

∂ξ∂

∂

⎪

⎪

⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪

⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

η∂

∂ξ∂

∂

y

ux

u

J

y

ux

u

yx

yx

u

u

  (3.34)

unde J este matricea transformare Jacobiană.

Din ecuaţia (3.33)se calculează,

Fig.3.8 Variaţia de interpolare pe elementul cu câmp de deplasareconstant

⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡=

1323

13231-

2323

1313

xx-

-yy

A2

1J

yx

yxJ , (3.35)

unde det[J]=x13y23-x23y13=2A (A este aria elementului triunghiular).Din (3.34), (3.35), (3.24) şi (3.29) rezultă:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

η∂

∂ξ∂

∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂

∂∂

∂

u3uuu

xx-y-y

A21

u

u

xx-

y-y

A2

1

y

ux

u

231

13231323

1323

1323

  (3.36)

În mod similar:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂

∂∂

∂

32

31

1323

1323

vv

vv

xx-

y-y

A2

1

y

vx

v

  (3.37)

Folosind rezultatele (3.36), (3.37) şi relaţia

8/16/2019 Metoda elementului finit cap3

12/21

BdDNdDu   ===ε  se obţine matricea B:

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

122131132332211332

123123

yxyxyx

x0x0x0

0y0y0y

2A

1B

  (3.38)

care este identic cu relaţia determinată anterior (3.27).

 Aplica ţ ii ale elementului cu deforma ţ ie constant ă ♦Se foloseşte în cazul în care gradientul de tensiune este mic;♦Se foloseşte în cazul discretizării de tranziţie;♦Se indică  evitarea folosirii în cazul concentratorilor de

tensiune sau în cazul intersecţiilor de arie în structur ă  (cumar fi contururi de gaur ă, sau colţuri);♦Se recomandă  pentru o analiză  rapidă  şi preliminar ă  a

 problemelor 2-D.

 Element triunghiular cu deforma ţ ii liniare (LST).Acest tip de element se numeşte triunghiular cu deformaţii

liniare (LST Liniar Strain Triangle) şi are funcţie de interpolare pătratică. Pe element există  6 noduri, (trei în colţuri şi trei noduriintermediare, pe laturile triunghiului). Fiecare nod are câte 2 GDL.Deplasările (u,v) se pot face ca o funcţie pătratică de (x,y):

,y bxy bx by bx b bv

,y bxy bx by bx b bu2

12112

109813

265

243211

+++++=

+++++=  (3.39)

unde bi  (i=1,2,…,12) sunt constante. Pentru aceasta deformaţiilegăsite sunt:

( ) ( ) ( y b2bx b2 b b b

y2bx b b

y bx b2 b

11610583xy

12119y

542x

+++++=γ

++=ε

++=ε

)  (3.40)

care sunt funcţii liniare. Astfel acest element cu deformaţie liniar ă,dă rezultate mai bune decât cel cu deformaţie constantă.

Pentru acest tip de element, în sistem de coordonate naturalexistă 6 funcţii de interpolare:

8/16/2019 Metoda elementului finit cap3

13/21

( ) ( )( )

,4 N,4 N

,4 N,312 N

,12 N,12 N

65

43

21

ζξ=ηζ=

ξη=−ξξ=

−ηη=−ξξ=

  (3.41)

în care η−ξ−=ζ 1 . Fiecare din cele 6 funcţii de interpolare se prezintă forme pătratice pe element după cum se vede în fig.3.10.

Câmpul deplasărilor va fi ales sub forma:

Fig.3.9 Element triunghiular cu câmp de deformaţie liniar ă 

∑∑ == ==4

1iii

4

1iii v Nv,u Nu  ; (3.42)

Matricea de rigiditate pentru acest element este:

∫   Τ=V

dVEBBk  , (3.43)

dar aici este pătratic în x şi y. În general această se calculează în mod numeric.

EBBΤ

 Fig.3.10. Variaţia funcţiei de interpolare N1 pentru elementul triunghiular

cu câmpul de deformaţie liniar ă 

8/16/2019 Metoda elementului finit cap3

14/21

  Element patrulater cu câmp de deplasare liniar ă Acest element are patru noduri poziţionate în colţurile

 patrulaterului. În sistem de coordonate naturale (ξ,η) funcţiile de

interpolare sunt:( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( .114

1 N,11

4

1 N

,114

1 N,11

4

1 N

43

21

η+ξ−=η+ξ+=

η−ξ+=η−ξ−=

)  (3.44)

De notat că  pentru fiecare punct din interiorul

elementului.

∑=

=4

1ii 1 N

  Câmpul de deplasări este dat de ecuaţiile:

∑=

=4

1iiiu Nu ; , (3.45)∑

=

=4

1iiiv Nv

funcţii care sunt biliniare pe întregul element.Datorită  acurateţei ridicate şi flexibilităţii în analize prin

MEF acest element este mai utilizat. Acest element are 8 noduri, 4 în

colţuri şi celelalte 4 la mijlocul laturilor. În sistem de coordonatenatural (ξ,η) cele 8 funcţii de interpolare sunt:

( )( )( ) ( )( )( )

( )( )( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )1121 N11

21 N

112

1 N11

2

1 N

1114

1 N111

4

1 N

1114

1 N111

4

1 N

28

27

26

25

43

21

+η−ξ−=+ηξ−=

−η−ξ+=+η−ξ−=

+η−ξ−ηξ+−=−η+ξ+ηξ+=

+η+ξ−−ηξ+=+η+ξ−ηξ−=

(3.46)

De notat că  pentru fiecare punct din interiorul

elementului.

∑=

=8

1ii 1 N

Câmpul de deplasări este dat de relaţiile:

8/16/2019 Metoda elementului finit cap3

15/21

∑=

=8

1iiiu Nu  , , (3.47)∑

=

=8

1iiiv Nv

care este o funcţie pătratică pe tot elementul. Starea de tensiuni şi dedeformaţii specifice pe tot elementul pătratic sunt liniare.

fig.3.11. Element patrulater cu câmp de deplasare liniar ă 

 Not ă:

Fig.3.12. Element patrulater de deplasare pătratic

♦În general elementele de tip patrulater şi triunghiular cucâmp de deformaţie liniar ă  în discretizare se folosescîmpreună, la fel şi cele cu câmp de deformaţie pătratică,♦Pentru analiza tensiunilor pe contururi curbe, datorită mariiacurateţe, a flexibilităţii în modelare şi a geometriilorcomplexe, se prefer ă  elementele cu câmp de deformaţie

 pătratică.

 Exemplul 3.2

Se consider ă o placă cu o gaur ă centrală supusă la tracţiune

8/16/2019 Metoda elementului finit cap3

16/21

cu o sarcină  distribuită  (fig.3.13). Se cere să  se determine stareamaximă  de tensiune în placă. Dimensiunile plăcii sunt de100x100[cm] cu grosimea de 0,1[cm] iar diametrul găurii este de

10[cm]. Se consider ă  modulul de elasticitate longitudinalE=2,1.105[MPa], coeficientul lui Poisson  ν=0,3 şi sarcina distribuită  p=10[Mpa].

Din cunoştinţele de teoria elasticităţii se ştie că  tensiuneamaximă apare în punctele A şi B. Valoarea exactă a acestor tensiunieste de 3p.

Fig.3.13. Placă găurită solicitată la sarcină axială 

Rezolvarea acestei probleme s-a efectuat cu programulCOSMOS/M, discretizarea s-a efectuat cu elemente triunghiulare

 pătratice şi liniare, elemente patrulatere liniare şi elemente

 patrulatere pătratice.

Tipul elementului Nr. deelemente

GDL Tensiuneamaximă 

Triunghi cu 2n 1276 1245 2,0067Triunghi cu 6n 1276 5229 2,7247Triunghi cu 3n 5104 5229 2,4280Triunghi cu 6n 5104 71280 2,9900

Starea de tensiune, tipul elementelor folosite, GDL şinumărul de elemente este prezentat în următorul tabel:

8/16/2019 Metoda elementului finit cap3

17/21

 Fig.3.15. Starea de tensiune a plăcii cu gaur ă 

Fig.3.14. Discretizarea plăcii cu gaur ă

  Transformarea încărcărilor

Sarcinile concentrate, distribuite şi cele masice sunt tipurile

8/16/2019 Metoda elementului finit cap3

18/21

 principale de încărcare aplicate pe structur ă. For ţele concentrate şicele masice convertite în nodale. Acest lucru nu poate fi aplicatdirect pe modelul de element finit. Conversia acestor for ţe se bazează 

 pe aceeaşi idee (conceptul lucrului mecanic echivalent) ca şi în cazulelementelor de tip bar ă.Se presupune că sarcina distribuită q are o variaţie liniar ă pe

laturile elementului de tip patrulater, după  cum se prezintă  înfig.3.16. Sarcina este normală pe contur. Prin folosirea coordonatelorlocale (tangenţiale) s, se poate scrie lucrul mecanic efectuat desarcina q:

( ) ( )dssqsutW

L

0nq   ∫=   (3.48)

unde: t este grosimea elementului, L este lungimea laturii pe careacţionaeză sarcina iar un este componenta deplasării normale a laturiiAB.

Pentru elementul patrulater cu câmp de deplasare liniar ă există relaţia:

Fig.3.16. Sarcini distribuite pe un element patrulater cu câmp de deformaţieconstantă 

( ) nBnAn uL

su

L

s1su   ⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ −=   (3.49)

Sarcinile, q(s), care sunt liniare, sunt date de relaţia:

( ) BA qLs

qL

s1sq   ⎟

 ⎠

 ⎞⎜

⎝ 

⎛ +⎟

 ⎠

 ⎞⎜

⎝ 

⎛ −=   (3.50)

8/16/2019 Metoda elementului finit cap3

19/21

[ ]

[ ]

[ ]   ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ −

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ −⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ −

=

=⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

⎟

⎟⎟⎟

 ⎠

 ⎞

⎜

⎜⎜⎜

⎝ 

⎛ 

⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

∫

∫

B

AnBnA

L

0 B

A2

2

nBnA

L

0 B

AnBnAq

q

q

21

12

6

tLuu

q

qds

L

s

L

s1

L

s

L

s1

L

s

L

s1

tuu

dsq

q

L

s

L

s1

L

sL

s1

uutW

(3.51)

iar vectorul for ţelor echivalente nodale este:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

B

A

B

A

q

q

21

12

6

tL

f 

f   (3.52)

În cazul în care sarcina, q, este constantă rezultă:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

1

1

6

qtL

f 

f 

B

A  (3.53)

Pentru elementele triunghiulare sau patrulatere cu câmp dedeplasare pătratic for ţele exterioare sunt convertite în for ţe pe celetrei noduri iar for ţele de pe laturi sunt convertite în cele două noduri.

Sarcinile tangente pe contur sunt convertite în for ţeechivalente nodale.

Calcularea tensiunilor

Satarea de tensiuni pe element este determinată  prin

următoarea relaţie:

Bd

xy

y

x

xy

y

x

Ε=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

γ

ε

ε

Ε=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

τ

σ

σ

  (3.54)

unde B este matricea deformaţii-deplasări nodale iar d este vectoruldeplasărilor nodale, vector care este cunoscut pentru fiecare element

după ce sistemul de ecuaţii globale a MEF a fost rezolvat.Starea de tensiune se poate calcula în fiecare punct din

8/16/2019 Metoda elementului finit cap3

20/21

interiorul elementului sau în noduri.

 St ările de tensiune după teoria von Mises:

Tensiunea după  teoria von Mises sunt tensiuni echivalente pentru analiza în plan 2-D sau în spaţiu 3-D. Pentru materialeleductile, nivelul de tensiune se consider ă satisf ăcător dacă:

ye   σ≤σ   (3.55)

unde σe  este tensiunea von Mises şi yσ     este limita de curgere a

materialului. Aceasta se determină  experimental pentru solicitareaaxială iar rezultatul se foloseşte în cazurile 2-D şi 3-D.

Tensiunea echivalentă  după  von Mises este definită  derelaţia:

( ) ( ) ( )2132

322

21e2

1σ−σ+σ−σ+σ−σ=σ   (3.56)

în care σ1, σ2 şi σ3 sunt tensiunile principale în punctul considerat dinstructur ă.

Pentru probleme plane 2-D cele două  tensiuni principale sedetermină cu relaţia:

xy22yxyx

1 22  τ+⎟

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛    σ+σ+σ+σ=σ   (3.57)

xy2

2yxyx

1 22  τ+⎟

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛    σ+σ+

σ+σ=σ  

Astfel că  tensiunile von Mises în plan se pot exprima subforma:

( )   ( )xy2yx2yxe 3   τ−σσ−σ+σ=σ   (3.58)

 Discu ţ ii♦Cunoaşterea comportării fiecărui tip de elementă;♦Elementele triunghiulare şi patrulatere cu deplasări liniare,deformaţii şi tensiuni constante;♦Elementele triunghiulare şi patrulatere cu deplasări

 pătratice, deformaţii şi deplasări liniare;♦Alegerea tipului corect de elemente pentru problema dată;

8/16/2019 Metoda elementului finit cap3

21/21

♦Când sunt dubii se alege elementul de ordin superior sau serealizează o discretizare fină;♦Se vor evita elementele cu raportul lungimii laturilor foarte

mari şi cu unghiuri mici,

min

max

L

Lr  = ,

unde Lmax  şi Lmin  sunt lungimile maxime şi minime a unuielement, (fig.3.17);

♦Se va realiza conectarea potrivită a elementelor;

Fig.3.17. Elemente triunghiulare şi dreptunghiulare

♦ Nu se lasă  spaţii între elemente sau elemente libere înmodel, fig.3.18.

Fig.3.18. Conectarea greşită a tipurilor de elemente