Metoda elementului finit icircn aviație

Introducere

MEF este o tehnică de discretizare de calcul spațială Alte tehnici sunt MDF (metoda cu diferențe finite) MVF (metoda volumelor finite) metode spectrale

Icircn aplicația de tip bare articulate s-au observat următoarele idei care vor fi dezvoltate matematic și conceptual de-a lungul cursului

Remarcă 1 Ne vom referi la aplicarea MEF icircn calculul și analiza structurilor de aviațieRemarcă 2 MEF se aplică și icircn CFD probleme de impact ndash contact probleme sau

metode cu suprafață liberă

1 Structura este discretizată geometric icircn elemente simple- Segmente (1D)- Ariisuprafețe plane (2D)- Corpurifiguri geometrice sau volume (3D)

1D ndash element unidimensional

1minus2isin

dreapata d

Sub formă parametrizată ecuația dreptei se scrie

2D ndash element bidimensional

Sistemul de referință este quasiortogonal

atașat suprafeței

sau

Exemplu

3D ndash element tridimensional

Observația 1 Sistemul local definit anterior formează un sistem de referință naturalPrin utilizarea coordonatelor naturale un patrulater se transformă icircn pătrat și un

element hexaedric se transformă icircntr-un cub (vezi cursuri următoare)Observaţia 2 Fiecare element este definit de noduriIn noduri funcția necunoscută (deplasările) se va calcula

Nodurile pot fi in calculul cu MEF

1 Active In aceste noduri se calculează funcția necunoscuta (deplasările)Nodurile contribuie la crearea matricii de rigiditate a sistemului structural la asamblare2 Pasive Acestea pot avea următoarele funcții - definirea sistemului de referință local - creșterea gradului de aproximare geometrică a suprafeței (suprafețe curbeelemente curbe) - creșterea gradului de aproximare pe element pentru funcția necunoscută (deplasări nodale)

n1n2 noduri active n3 nod auxiliar

r1=x1 i+ y1 j+z1 k ie=(r2minusr1)

|r2minusr1| k e=

(r 2minusr1 ) times(r3minusr1)

|r2minusr1|times|r3minusr1|r2=x2 i+ y2 j+z2 k

r3=x3 i+ y3 j+z3 k j e=ke times ie

Exemplu -se construiește matricea de rigiditate pe element cu toate nodurile active sau pasive -matricea de rigiditate se condensează eliminacircnd liniile și coloanele corespunzătoare nodurilor auxiliareDe regulă eliminarea nodurilor auxiliare se face prin procedeul de asamblare a matricilor de rigiditate

3Construcția matricii de rigiditate locale pentru fiecare elementProcedura de programare nu folosește stocarea matricilor de rigiditateIcircn construcția

matricilor de rigiditate locală avem nevoie dea) Un formalism matematic ce are la bază ecuațiile diferențiale ce descriu

problema analizată (curgerea fluidului-ecuațiile curgerii fluidului caz prezent-ecuațiile elesticitațiieventual particularitați pentru bare sau plăci folosind o serie de ipoteze de lucru)

b) Un model de aproximare (rdquointerpolarerdquo) pentru geometrie cacircmp de variabilă necunoscută (in sistemul de referință local)

Pentru geometrie

x=x1+( x2minusx1) times t=(1minust )times x1+t times x2

y= y1+( y2minus y1 )times t=(1minust )times y1+ t times y2

tisin [01 ]

Icircn ipoteza micilor perturbații (teoria liniară)σ=Elowastε pe zona de proporționalitate a materialelor ne aflăm pe domeniul liniar-elastic

La solicitarea de icircntindere

F=EA times Δll (l=l12) Δl-elongație

Δll deformație liniară specifică

Din condițiile de mai sus rezultă

Așadar

Unde

se numesc funcții de formă (de interpolare)

Cacircmpul necunoscut se exprimă prin funcția

ObservațieAtunci cacircnd pentru reprezentarea geometriei elementului respectiv icircn repezentarea cacircmpului variabilei necunoscute se utilizează aceeași funcție de formă se spune că elementul este izoparametru

Matematic funcțiile de formă vor fi construite folosindu-se baza polinomială (funcțiile de formă vor fi polinoame)

Suma funcțiilor de formă este unu Acestea vor da ponderile cu care fiecare valoare din nod intervine icircn valoarea necunoscutei(deplasării) dintr-un punct aparținacircnd elementului

Funcțiile de formă iau valori maxime icircn nodul asociatCacircnd se realizează aproximarea geometriei și respectiv a cacircmpului variabilelor

condiția necesară dar nu suficientă este asigurarea continuității de clasă

Observație Matricea de rigiditate conține derivatele funcțiilor de formă

4Transformarea (scriere valabilă pentru elementele din sistemul de referință global) presupune utilizarea unei matrice de transformare sau de rotație

Versorii sistemului local vor fi

Iar scrierea lor sub formă matricială va fi

Deplasările și icircn sistemul local pentru punctele 1 și 2 considerate vor fi

Similar se va proceda și pentru forțe (vezi discuțiile de la bara articulată)

Se consideră matrice ortogonală

Relația mai poate fi scrisă și sub următoarea formă

icircnmulțim la dreapta cu și va rezulta

-reprezintă matricea de rigidități icircn sistemul global

- reprezintă matricea forțelor interioare și cele exterioare (efect cumulat) sau aplicate icircn noduri

5 Rezultă -pe element

6 Asamblarea matricilor de rigiditate icircn matricea de rigiditate a structurii (exercițiu de asamblare de a bare articulate)

Matematic se pleacă cu o matrice structurală plină de zerouri și aceasta este umplută cu matricile de rigiditate pentru fiecare element Această procedură se numește asamblare și fiecare linie a matricii de rigiditate globale conține modul icircn care informația din nodurile vecine necunoscute modului curent contribuie la valoarea funcției cunoscute (deplasărilor necunoscute) din acest nod

Elemente 1-7 - 2-7 - 7-3 -

(pentru icircntreaga structură)

Observatie Forțele interioare din noduri au suma zero

Atenție asupra modului de parcurgere a noduri trebuie să fie aceeași regulă de parcurgere a nodurilor pentru toate elementele

Vectorul va conține doar forțe exterioare aplicate icircn noduri după direcțiile sistemului de rigiditate global

7 matrice simetrică (cu elemente pozitive pe diagonala principală)

Introducerea condițiilor la limită (CL) sau icircn cazul structurilor a condițiilor de rezemare

Observație Condițiile de rezemare trebuie să fie corect puse astfel icircncacirct sistemul să nu fie mecanism

Modalități de impunere a CL

1 Scoaterea liniilor și coloanelor corespunzătoare deplasărilor blocate și rezolvarea sistemului

2 Linia sistemului corespunzătoare deplasării blocate se face zero și se pune icircn poziția deplasării blocate

8Rezolvarea sistemului liniar compatibil determinat

campul deplasărilor nodale U ale structurii U- cu deplasările modale se post procesează rezultatele și obţinem

- structură deformată

- tensiuni icircn bare

Observaţie Deplasările nodale se numesc grade libertate Pentru un sistem de bare articulate obţinem 2 grade de libertate

Ecuaţiile elementului finit

Cazul Static

Sistem de bare articulate ndash metoda echilibrului forţelor duce la formularea problemei strcturale icircn deplasări

Deci sistematizacircnd problema ldquoMEFrdquo poate fi algoritmizată urmacircnd schema de principiu de mai jos1Sistemul fizic supus analizei2Modul matematic alcătuit de regulă din Ecuaţii diferenţiale sau integrale

3Model discret Ne referim la faptul că vom calcula valori

4Soluţia discretă specifie in noduri5Interpretarea rezultatelor

Paşii sunt intercorelaţi de exempluIcircntre modelul discret si soluţia discretă există eroarea de calcul datorată ordinului de

precizie mic al ecuaţiilor repective folositeetcIcircntre modelul matematic și soluţia discretă există modelarediscretizare și eroare de

calculIcircntre sistemul fizic și soluţia discretă există eroare conceptuală

Din punct de vedere tehnic există 4 etape si anume1Idealizare2Discretizare3Soluţionarea4Postprocesare

APentru a soluţiona parte de pre procesare presupunem un program MEF (generică) Geometrie Keypoints - Linii - Suprafeţe Linii (Lines) - Suprafeţe - Volume Volume(Volumes)

Definire Material - tip material - izotrop - anizotrop - ortotop etc - setări constante inginereşti (module de elasticitate şi constante de contracţie ale lui Poisson) - proprietati fizice(densitatea materialului de dilatare termică)

Definire elemente finite - geometria problemei - problema fizică studiată - icircn situaţia folosirii mai multor tipuri de elemente dar trebuie să fie compatibilă icircntre ele la nivelul interfeţeiSe acceptă

Nu se acceptă

Definire

o displacements ( blocaje rezemări )o viteze acceleraţii ( structuri masive ndash acceleraţii gravitaţionale )o LOADS ( icircncărcări )

Icircn cazul discretizării normale se obişnuieşte utilizarea mai multor tipuri de elemente care trebuie să fie compatibile icircntre ele la nivelul interfeţii

Blocaje

B

1 - rezem

2 - articulaţie

3 - icircncastrări

4 Blocaje particulare

Reamintim Blocajele şi solicitarile se aplică icircn nodurile MEF (noduri reale) icircn noduri se definesc gradele de libertate sau coordonatele generalizate ale problemei La structură gradele de libertate sunt deplasările nodale (uvw) ndash icircn cazul corpului 3D (uv) ndash stare plană de tensiuni membrană (v φ) ndash deplasare unghiulară respectiv liniară pentru bară de icircncovoiere şi (u v w θ φy φz) ndash pentru bare solicitate 3D

Sarcinile şi icircncastrările reprezintă solicitări externe aplicate structurii Acestea se aplică de regulă direct icircn nodurile modelului MEF

ANSYS

BSoluţionarea sau rezolvarea problemeiProbleme de statică ndash Problemele se rezolvă automat cu un model de setări dacă este

cazul- matricea asamblarii [K]- reyolvare sistem liniar [K] u = F ndash asociat problemei structurale- rezultă cacircmpul deplasărilor nodale

Probleme de tip - vibraţii- dinamică- impact- cuplate (probleme interacţiune)

o structură ndash cacircmp termo fluid ndash structură

Se definesc parametrii de rezolvare pentru- soluţia de integrare icircn timp (timp pas de timp param relaxare)- pentru domeniul de frecvenţe de interes (vibraţii) (dom frecv de interes modul de

deformare şi distingere elemente param de flambaj de icircncărcare succesivă)

-Fenomen de moarte a elementelor

C Postprocesarea ndash Etapă necuantificabilă deoarece ţine de pregatirea şi cunoştinţele utilizatorului

Cacircmpul deformaţiilor se utilizează pentru vizualizări- deformaţie structurală- cacircmpuri izotensiuni- tensiuni echivalente (von Mises)- criterii de rezistenţă margini de siguranţă

Ipotezele calculului structural static folosind MEF

Ipoteze

- date de comportarea materialului- date de comportarea structurii

A1 Materialul este considerat un mediu continuu omogen și izotrop2 Proprietățile materialului sunt invariante icircn timp3 Materialul are o comportare liniar-elastică și satisface legea lui Hooke

B1 Relația forță-deplasare este liniară

2 Deformațiile structurii sunt mici icircn comparație cu dimensiunile structurii3 Relațiile dintr deformațiile specifice și deplasări sunt relații diferențiale liniare4 Relațiile dintre tensiuni și deformațiile specific sunt liniare și sunt date de legea lui

Hooke generalizată5 Structura este un sistem conservativ icircn lipsa amortizărilor structurale6 Se admite principiul suprapunerii efectelor (nu contează ordinea de aplicare a

solicitărilor)7 Rigiditatea și flexibilitatea structurii depind de caracteristicile structurii și natura

materialului (geometria structurală)8 Icircn condițiile anterior enunțate se mai pot admite și alte ipoteze cum ar fi

- ipoteza secțiunilor plane sau Bernoulli icircn cazul barelor- ipoteza Kirchoff-Love icircn cazul plăcilor plane și curbe subțiri

Deducerea ecuației elementelor finite pentru cazul static

Metode de lucru

1 Metode energetice- metoda energiei potențiale minime (dacă asupra unui corp acționează un sistem

de forțe și constracircngeri corpul tinde să ocupe starea de energie potențială minimă)

- metoda lucrului mecanic virtual

- metoda reziduurilor ponderate (metoda Galerkin)- metode spectrale

Ultimele două metode se utilizează și icircn rezolvarea altor probleme (problema unei curgeri plane potențiale)

Deducerea ecuației elementelor finite cu metoda lucrului mecanic virtual

Teoremă Dacă unui element finit i se imprimă o deplasare virtuală notată atunci conform principiului lucrului mecanic virtual lucrul mecanic al forțelor exterioare (aplicate structurii) este egal cu energia internă de deformație pentru orice cacircmp de deplasări virtuale admisibil

Compatibilitatea cu problema

- deplasări virtuale liniare

- deplasare unghiulară incompatibilă cu

sistemul dat

Solicitare exterioară- sarcini concentrate aplicate icircn noduri- sarcini aplicate pe suprafețe ( presiuni )- sarcini icircn volum

greutate forță centrifugă

Ecuaţia elementului finit Cazul static

Ecuaţia elementului finit se deduce icircn baza ipotezelor menţionate pentru un element finit urmărind a se construi prin asamblare ecuaţia sistemului modelat cu elemente finite

Metode de deducerea) principiul lucrului mecanic virtualb) principiul variaţional minimul energiei de deformaţieEnergia de deformaţie este dată de relaţia

Ud=12∭σεdV

Icircn continuare vom folosi principiul lucrului mecanic virtual un sistem structural supus la legături (condiţii de rezemare) aflat sub acţiunea unor sarcini exterioare se află in echilibru

dacă pentru un set de deplasări virtual arbitrare compatibile cu problema lucrul mecanic virtual al forţelor externe aplicate este egal cu lucrul mecanic virtual al forţelor interioare din structură

Se cunoaşte din Teoria Elasticităţii urmatoarea relaţie

(σx

σ y

σ z

τ xy

τ xz

τ yz

)=[ E ](ε x

ε y

ε x

γ xy

γ xz

γ yz

)Unde

[ E ]=matriceade elasticitate

σ =vectorul tensiunilor

ε =vectoruldeformaţiilor specifice

Pentru starea plană de tensiune (2D) matricea de elasticitate este dată de

[ E ]= E1minusν2 [1 ν 0

ν0

1 0

0 1minusν2 ]

ν=coeficientul decontracţie transversală Poisson ν=03minus033

Vectorul deformaţiilor specifice se poate scrie

ε =(part upart xpart vpart ypart wpart z

part upart y

+ part vpart x

part vpart z

+ part wpart y

part wpart x

+ part upart z

)=[part

part x0 0

0 partpart y

0

0part

part y0part

part z

0part

part xpart

part z0

partpart z0part

part ypart

part x

]uvw

[part

part x0 0

0 partpart y

0

0part

part y0part

part z

0part

part xpart

part z0

partpart z0part

part ypart

part x

]= [ L ]=operator diferenţial

uvw= d =vectoruldeplasărilor structurii funcţii de cacircmp

u=u(x y z)

v=v (x y z )

w=w(x y z)

Observaţii1) Ideea de bază este de a exprima funcţiile de cacircmp prin intermediul unor funcţii de

interpolare numite și funcţii de formă prin intermediul coordonatelor generalizate sau deplasărilor nodale ui vi wi

2) De regulă numărul funcţiilor de formă este egal cu numărul nodurilor ce definesc elementul finit pentru o aproximare de ordin superior elementul poate fi definit cu ajutorul unor noduri auxiliare

nod auxiliar

Putem scrie

De exemplu pentru (element patrulater) ndash Proplema 2D

Putem scrie compact matricial

Pentru exemplul anterior

Forțele care acționează asupra structurilor vor fi evaluate icircn lungul deformațiilor virtualeX rarr forțe volumice (bdquode volumrdquo)P rarr forțe de presiune (bdquode suprafațărdquo)Fc rarr forțe concentrate rarrconcentrate aplicate icircn noduri

Lucrul mecanic al forțelor exterioare presupune studierea celor 3 tipuri de forțe

Daca avem 2 matrici

se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale in structură

se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale nodale

Acolo unde nu avem forțe concentrate icircn dreptul se va pune valoarea 0

Deoarece nu depinde de x și y iese de sub integrală așadar obținem

Forțe volumicerarr greutateararr forța centrifugă

Forțe de presiunerarr presiuni pe forțele corpului studiatForțe concentrate dinrarr buloane

rarr nituri rarr cuie etc

rarr cacircmpul virtual al deformațiilor specifice produs de deplasările virtuale nodale

matricea de elasticitate sau matricea modulelor( icircn cazul materialelor compozite)rarr este o matrice simetrică fața de diagonala principală

Icircn consecință din egalitatea celor doua obținem

adică ( I )

Consideracircnd că este un set de deplasări arbitrare compatibile cu structura pentru ca relația ( I ) să fie icircndeplinită trebuie să avem egalitatea

pentru fiecare element finit

Matricea de rigiditate conține următoarele informații

- derivatele funcției de formă ce descriu deformația interioară

- proprietățile elastice ale structurii (constantele inginerești E G sau rigidității EI Gid EA)

EI - rigiditate la icircncovoiere Gid ndash rigiditate la torsiune EA ndash rigiditate la icircntindere compresiune

Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale se obține ecuația elementelor finite la nivelul icircntregii structuri (față de un sistem de referință global) adică

Observații

1) Asamblarea a fost intuită ca proces matematic prin scrierea ecuațiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zăbrele)

2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetrică care icircn lipsa rezemărilor (restricțiilor de deplasare) este o matrice singulară

3) Este important a nu se uita impunerea unor condiții de rezemare compatibile cu structura astfel icircncacirct structura să nu fie mecanism sau corp liber icircn spațiu Impunacircnd aceste condiții matricea devine nesingulară și permite rezolvarea sistemului compatibil determinat

liniar

4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice Gauss-Seidel descompunerea [L]

Determinarea matricii de rigiditate pentru

solicitari de icircncovoiere (icircn plan)

Modelul geometric element unidimensional Numărul de noduri 2 Material E

Momentul de inerţie Bară de secţiune constantă Deformaţii

Pentru a caracteriza comportarea barei de icircncovoiere este necesară utilizarea a două grade de libertate pe nodurile şi (unghi de săgeată)[ ] ndash rad

[ ] - m Observaţii

1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local

2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)

Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui

- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri

avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3

(1)

(2)

Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor

Calculul matricei de rigiditate

Indicații

Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare

M

u u x

x

Polinoamele Hermite de gradul 3

Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual

Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy

XL

YL

V1L

V2

L21

L

XL

1 2

21

T T

M M

Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2

Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy

Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi

Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză

Echivalarea nodală a forțelor

Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite

Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual

(A)

(B)

egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale

Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune

Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată

energia potențială de deformație

part θpart x

=θ2minusθ1

l

intA

r 2dA=id [moment de inerţie polar ]

r2=radic y2+x2

Ud=12int0

l

GId(θ2minusθ1 )2

e2 dx=12

GIde (θ1

2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )

---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă

Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)

partU d

part q i=Qi ( partea staţionară )

q i=θ1θ2

θ1=Ml1

θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate

partU d

part q irarr [ K ]u

partU d

part q1=

part U d

part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId

l (θ1minusθ2 )=Mt1

partU d

part q2=

part U d

partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId

l (θ1+θ2 )=Mt2

Pentru un element de bară de torsiune

GIdl [ 1 minus1

minus1 1 ]θ1

θ2=Mt1

Mt2

[ K ] rarr pentrutorsiune liberă

Bara icircn spaţiu

Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate

Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1

Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2

Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)

minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2

iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest

[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)

Q x=EAL

Q z=EIzL3

Q y=EIyL3

QT=GId

Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local

Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)

Punctul 3isin(xOy) plan local

Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k

Avem următoarele relații de transformări

Deci icircn SR local

Aplicație

Origin=1

Date de intrare

-coordonatele pentru cele n=6 noduri

- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare

-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune

-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară

Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura

=

| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)

- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal

Bare 3D

(continuare)

- matrice de rigiditate in SR general pe element

- pentru o bara 1-2 din strcutura

Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i

este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu

Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea

definită icircn cursul precedent)

După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale

Se rezolvă [ K ] U =F

Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri

Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara

[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global

Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă

local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)

Solicitările F l adică N x1

l T y1

l T z1

l M x1

l M y1

l M z1

l

N x2

l T y2

l T z2

l M x2

l M y2

l M z2

l

Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)

Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo

Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)

Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)

rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)

Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului

Modalităţi de determinare [ K l ] pe element

rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]

Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat

Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)

Elementul triunghiular(izoparametric)

Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global

2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr

3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element

4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens

Element izoparametric

Triunghiul lui Pascal

1

Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1

Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru

este un plan icircn coordonatele

Observație

=gt

Coeficientul lui

Se observă

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

Sub formă parametrizată ecuația dreptei se scrie

2D ndash element bidimensional

Sistemul de referință este quasiortogonal

atașat suprafeței

sau

Exemplu

3D ndash element tridimensional

Observația 1 Sistemul local definit anterior formează un sistem de referință naturalPrin utilizarea coordonatelor naturale un patrulater se transformă icircn pătrat și un

element hexaedric se transformă icircntr-un cub (vezi cursuri următoare)Observaţia 2 Fiecare element este definit de noduriIn noduri funcția necunoscută (deplasările) se va calcula

Nodurile pot fi in calculul cu MEF

1 Active In aceste noduri se calculează funcția necunoscuta (deplasările)Nodurile contribuie la crearea matricii de rigiditate a sistemului structural la asamblare2 Pasive Acestea pot avea următoarele funcții - definirea sistemului de referință local - creșterea gradului de aproximare geometrică a suprafeței (suprafețe curbeelemente curbe) - creșterea gradului de aproximare pe element pentru funcția necunoscută (deplasări nodale)

n1n2 noduri active n3 nod auxiliar

r1=x1 i+ y1 j+z1 k ie=(r2minusr1)

|r2minusr1| k e=

(r 2minusr1 ) times(r3minusr1)

|r2minusr1|times|r3minusr1|r2=x2 i+ y2 j+z2 k

r3=x3 i+ y3 j+z3 k j e=ke times ie

Exemplu -se construiește matricea de rigiditate pe element cu toate nodurile active sau pasive -matricea de rigiditate se condensează eliminacircnd liniile și coloanele corespunzătoare nodurilor auxiliareDe regulă eliminarea nodurilor auxiliare se face prin procedeul de asamblare a matricilor de rigiditate

3Construcția matricii de rigiditate locale pentru fiecare elementProcedura de programare nu folosește stocarea matricilor de rigiditateIcircn construcția

matricilor de rigiditate locală avem nevoie dea) Un formalism matematic ce are la bază ecuațiile diferențiale ce descriu

problema analizată (curgerea fluidului-ecuațiile curgerii fluidului caz prezent-ecuațiile elesticitațiieventual particularitați pentru bare sau plăci folosind o serie de ipoteze de lucru)

b) Un model de aproximare (rdquointerpolarerdquo) pentru geometrie cacircmp de variabilă necunoscută (in sistemul de referință local)

Pentru geometrie

x=x1+( x2minusx1) times t=(1minust )times x1+t times x2

y= y1+( y2minus y1 )times t=(1minust )times y1+ t times y2

tisin [01 ]

Icircn ipoteza micilor perturbații (teoria liniară)σ=Elowastε pe zona de proporționalitate a materialelor ne aflăm pe domeniul liniar-elastic

La solicitarea de icircntindere

F=EA times Δll (l=l12) Δl-elongație

Δll deformație liniară specifică

Din condițiile de mai sus rezultă

Așadar

Unde

se numesc funcții de formă (de interpolare)

Cacircmpul necunoscut se exprimă prin funcția

ObservațieAtunci cacircnd pentru reprezentarea geometriei elementului respectiv icircn repezentarea cacircmpului variabilei necunoscute se utilizează aceeași funcție de formă se spune că elementul este izoparametru

Matematic funcțiile de formă vor fi construite folosindu-se baza polinomială (funcțiile de formă vor fi polinoame)

Suma funcțiilor de formă este unu Acestea vor da ponderile cu care fiecare valoare din nod intervine icircn valoarea necunoscutei(deplasării) dintr-un punct aparținacircnd elementului

Funcțiile de formă iau valori maxime icircn nodul asociatCacircnd se realizează aproximarea geometriei și respectiv a cacircmpului variabilelor

condiția necesară dar nu suficientă este asigurarea continuității de clasă

Observație Matricea de rigiditate conține derivatele funcțiilor de formă

4Transformarea (scriere valabilă pentru elementele din sistemul de referință global) presupune utilizarea unei matrice de transformare sau de rotație

Versorii sistemului local vor fi

Iar scrierea lor sub formă matricială va fi

Deplasările și icircn sistemul local pentru punctele 1 și 2 considerate vor fi

Similar se va proceda și pentru forțe (vezi discuțiile de la bara articulată)

Se consideră matrice ortogonală

Relația mai poate fi scrisă și sub următoarea formă

icircnmulțim la dreapta cu și va rezulta

-reprezintă matricea de rigidități icircn sistemul global

- reprezintă matricea forțelor interioare și cele exterioare (efect cumulat) sau aplicate icircn noduri

5 Rezultă -pe element

6 Asamblarea matricilor de rigiditate icircn matricea de rigiditate a structurii (exercițiu de asamblare de a bare articulate)

Matematic se pleacă cu o matrice structurală plină de zerouri și aceasta este umplută cu matricile de rigiditate pentru fiecare element Această procedură se numește asamblare și fiecare linie a matricii de rigiditate globale conține modul icircn care informația din nodurile vecine necunoscute modului curent contribuie la valoarea funcției cunoscute (deplasărilor necunoscute) din acest nod

Elemente 1-7 - 2-7 - 7-3 -

(pentru icircntreaga structură)

Observatie Forțele interioare din noduri au suma zero

Atenție asupra modului de parcurgere a noduri trebuie să fie aceeași regulă de parcurgere a nodurilor pentru toate elementele

Vectorul va conține doar forțe exterioare aplicate icircn noduri după direcțiile sistemului de rigiditate global

7 matrice simetrică (cu elemente pozitive pe diagonala principală)

Introducerea condițiilor la limită (CL) sau icircn cazul structurilor a condițiilor de rezemare

Observație Condițiile de rezemare trebuie să fie corect puse astfel icircncacirct sistemul să nu fie mecanism

Modalități de impunere a CL

1 Scoaterea liniilor și coloanelor corespunzătoare deplasărilor blocate și rezolvarea sistemului

2 Linia sistemului corespunzătoare deplasării blocate se face zero și se pune icircn poziția deplasării blocate

8Rezolvarea sistemului liniar compatibil determinat

campul deplasărilor nodale U ale structurii U- cu deplasările modale se post procesează rezultatele și obţinem

- structură deformată

- tensiuni icircn bare

Observaţie Deplasările nodale se numesc grade libertate Pentru un sistem de bare articulate obţinem 2 grade de libertate

Ecuaţiile elementului finit

Cazul Static

Sistem de bare articulate ndash metoda echilibrului forţelor duce la formularea problemei strcturale icircn deplasări

Deci sistematizacircnd problema ldquoMEFrdquo poate fi algoritmizată urmacircnd schema de principiu de mai jos1Sistemul fizic supus analizei2Modul matematic alcătuit de regulă din Ecuaţii diferenţiale sau integrale

3Model discret Ne referim la faptul că vom calcula valori

4Soluţia discretă specifie in noduri5Interpretarea rezultatelor

Paşii sunt intercorelaţi de exempluIcircntre modelul discret si soluţia discretă există eroarea de calcul datorată ordinului de

precizie mic al ecuaţiilor repective folositeetcIcircntre modelul matematic și soluţia discretă există modelarediscretizare și eroare de

calculIcircntre sistemul fizic și soluţia discretă există eroare conceptuală

Din punct de vedere tehnic există 4 etape si anume1Idealizare2Discretizare3Soluţionarea4Postprocesare

APentru a soluţiona parte de pre procesare presupunem un program MEF (generică) Geometrie Keypoints - Linii - Suprafeţe Linii (Lines) - Suprafeţe - Volume Volume(Volumes)

Definire Material - tip material - izotrop - anizotrop - ortotop etc - setări constante inginereşti (module de elasticitate şi constante de contracţie ale lui Poisson) - proprietati fizice(densitatea materialului de dilatare termică)

Definire elemente finite - geometria problemei - problema fizică studiată - icircn situaţia folosirii mai multor tipuri de elemente dar trebuie să fie compatibilă icircntre ele la nivelul interfeţeiSe acceptă

Nu se acceptă

Definire

o displacements ( blocaje rezemări )o viteze acceleraţii ( structuri masive ndash acceleraţii gravitaţionale )o LOADS ( icircncărcări )

Icircn cazul discretizării normale se obişnuieşte utilizarea mai multor tipuri de elemente care trebuie să fie compatibile icircntre ele la nivelul interfeţii

Blocaje

B

1 - rezem

2 - articulaţie

3 - icircncastrări

4 Blocaje particulare

Reamintim Blocajele şi solicitarile se aplică icircn nodurile MEF (noduri reale) icircn noduri se definesc gradele de libertate sau coordonatele generalizate ale problemei La structură gradele de libertate sunt deplasările nodale (uvw) ndash icircn cazul corpului 3D (uv) ndash stare plană de tensiuni membrană (v φ) ndash deplasare unghiulară respectiv liniară pentru bară de icircncovoiere şi (u v w θ φy φz) ndash pentru bare solicitate 3D

Sarcinile şi icircncastrările reprezintă solicitări externe aplicate structurii Acestea se aplică de regulă direct icircn nodurile modelului MEF

ANSYS

BSoluţionarea sau rezolvarea problemeiProbleme de statică ndash Problemele se rezolvă automat cu un model de setări dacă este

cazul- matricea asamblarii [K]- reyolvare sistem liniar [K] u = F ndash asociat problemei structurale- rezultă cacircmpul deplasărilor nodale

Probleme de tip - vibraţii- dinamică- impact- cuplate (probleme interacţiune)

o structură ndash cacircmp termo fluid ndash structură

Se definesc parametrii de rezolvare pentru- soluţia de integrare icircn timp (timp pas de timp param relaxare)- pentru domeniul de frecvenţe de interes (vibraţii) (dom frecv de interes modul de

deformare şi distingere elemente param de flambaj de icircncărcare succesivă)

-Fenomen de moarte a elementelor

C Postprocesarea ndash Etapă necuantificabilă deoarece ţine de pregatirea şi cunoştinţele utilizatorului

Cacircmpul deformaţiilor se utilizează pentru vizualizări- deformaţie structurală- cacircmpuri izotensiuni- tensiuni echivalente (von Mises)- criterii de rezistenţă margini de siguranţă

Ipotezele calculului structural static folosind MEF

Ipoteze

- date de comportarea materialului- date de comportarea structurii

A1 Materialul este considerat un mediu continuu omogen și izotrop2 Proprietățile materialului sunt invariante icircn timp3 Materialul are o comportare liniar-elastică și satisface legea lui Hooke

B1 Relația forță-deplasare este liniară

2 Deformațiile structurii sunt mici icircn comparație cu dimensiunile structurii3 Relațiile dintr deformațiile specifice și deplasări sunt relații diferențiale liniare4 Relațiile dintre tensiuni și deformațiile specific sunt liniare și sunt date de legea lui

Hooke generalizată5 Structura este un sistem conservativ icircn lipsa amortizărilor structurale6 Se admite principiul suprapunerii efectelor (nu contează ordinea de aplicare a

solicitărilor)7 Rigiditatea și flexibilitatea structurii depind de caracteristicile structurii și natura

materialului (geometria structurală)8 Icircn condițiile anterior enunțate se mai pot admite și alte ipoteze cum ar fi

- ipoteza secțiunilor plane sau Bernoulli icircn cazul barelor- ipoteza Kirchoff-Love icircn cazul plăcilor plane și curbe subțiri

Deducerea ecuației elementelor finite pentru cazul static

Metode de lucru

1 Metode energetice- metoda energiei potențiale minime (dacă asupra unui corp acționează un sistem

de forțe și constracircngeri corpul tinde să ocupe starea de energie potențială minimă)

- metoda lucrului mecanic virtual

- metoda reziduurilor ponderate (metoda Galerkin)- metode spectrale

Ultimele două metode se utilizează și icircn rezolvarea altor probleme (problema unei curgeri plane potențiale)

Deducerea ecuației elementelor finite cu metoda lucrului mecanic virtual

Teoremă Dacă unui element finit i se imprimă o deplasare virtuală notată atunci conform principiului lucrului mecanic virtual lucrul mecanic al forțelor exterioare (aplicate structurii) este egal cu energia internă de deformație pentru orice cacircmp de deplasări virtuale admisibil

Compatibilitatea cu problema

- deplasări virtuale liniare

- deplasare unghiulară incompatibilă cu

sistemul dat

Solicitare exterioară- sarcini concentrate aplicate icircn noduri- sarcini aplicate pe suprafețe ( presiuni )- sarcini icircn volum

greutate forță centrifugă

Ecuaţia elementului finit Cazul static

Ecuaţia elementului finit se deduce icircn baza ipotezelor menţionate pentru un element finit urmărind a se construi prin asamblare ecuaţia sistemului modelat cu elemente finite

Metode de deducerea) principiul lucrului mecanic virtualb) principiul variaţional minimul energiei de deformaţieEnergia de deformaţie este dată de relaţia

Ud=12∭σεdV

Icircn continuare vom folosi principiul lucrului mecanic virtual un sistem structural supus la legături (condiţii de rezemare) aflat sub acţiunea unor sarcini exterioare se află in echilibru

dacă pentru un set de deplasări virtual arbitrare compatibile cu problema lucrul mecanic virtual al forţelor externe aplicate este egal cu lucrul mecanic virtual al forţelor interioare din structură

Se cunoaşte din Teoria Elasticităţii urmatoarea relaţie

(σx

σ y

σ z

τ xy

τ xz

τ yz

)=[ E ](ε x

ε y

ε x

γ xy

γ xz

γ yz

)Unde

[ E ]=matriceade elasticitate

σ =vectorul tensiunilor

ε =vectoruldeformaţiilor specifice

Pentru starea plană de tensiune (2D) matricea de elasticitate este dată de

[ E ]= E1minusν2 [1 ν 0

ν0

1 0

0 1minusν2 ]

ν=coeficientul decontracţie transversală Poisson ν=03minus033

Vectorul deformaţiilor specifice se poate scrie

ε =(part upart xpart vpart ypart wpart z

part upart y

+ part vpart x

part vpart z

+ part wpart y

part wpart x

+ part upart z

)=[part

part x0 0

0 partpart y

0

0part

part y0part

part z

0part

part xpart

part z0

partpart z0part

part ypart

part x

]uvw

[part

part x0 0

0 partpart y

0

0part

part y0part

part z

0part

part xpart

part z0

partpart z0part

part ypart

part x

]= [ L ]=operator diferenţial

uvw= d =vectoruldeplasărilor structurii funcţii de cacircmp

u=u(x y z)

v=v (x y z )

w=w(x y z)

Observaţii1) Ideea de bază este de a exprima funcţiile de cacircmp prin intermediul unor funcţii de

interpolare numite și funcţii de formă prin intermediul coordonatelor generalizate sau deplasărilor nodale ui vi wi

2) De regulă numărul funcţiilor de formă este egal cu numărul nodurilor ce definesc elementul finit pentru o aproximare de ordin superior elementul poate fi definit cu ajutorul unor noduri auxiliare

nod auxiliar

Putem scrie

De exemplu pentru (element patrulater) ndash Proplema 2D

Putem scrie compact matricial

Pentru exemplul anterior

Forțele care acționează asupra structurilor vor fi evaluate icircn lungul deformațiilor virtualeX rarr forțe volumice (bdquode volumrdquo)P rarr forțe de presiune (bdquode suprafațărdquo)Fc rarr forțe concentrate rarrconcentrate aplicate icircn noduri

Lucrul mecanic al forțelor exterioare presupune studierea celor 3 tipuri de forțe

Daca avem 2 matrici

se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale in structură

se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale nodale

Acolo unde nu avem forțe concentrate icircn dreptul se va pune valoarea 0

Deoarece nu depinde de x și y iese de sub integrală așadar obținem

Forțe volumicerarr greutateararr forța centrifugă

Forțe de presiunerarr presiuni pe forțele corpului studiatForțe concentrate dinrarr buloane

rarr nituri rarr cuie etc

rarr cacircmpul virtual al deformațiilor specifice produs de deplasările virtuale nodale

matricea de elasticitate sau matricea modulelor( icircn cazul materialelor compozite)rarr este o matrice simetrică fața de diagonala principală

Icircn consecință din egalitatea celor doua obținem

adică ( I )

Consideracircnd că este un set de deplasări arbitrare compatibile cu structura pentru ca relația ( I ) să fie icircndeplinită trebuie să avem egalitatea

pentru fiecare element finit

Matricea de rigiditate conține următoarele informații

- derivatele funcției de formă ce descriu deformația interioară

- proprietățile elastice ale structurii (constantele inginerești E G sau rigidității EI Gid EA)

EI - rigiditate la icircncovoiere Gid ndash rigiditate la torsiune EA ndash rigiditate la icircntindere compresiune

Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale se obține ecuația elementelor finite la nivelul icircntregii structuri (față de un sistem de referință global) adică

Observații

1) Asamblarea a fost intuită ca proces matematic prin scrierea ecuațiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zăbrele)

2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetrică care icircn lipsa rezemărilor (restricțiilor de deplasare) este o matrice singulară

3) Este important a nu se uita impunerea unor condiții de rezemare compatibile cu structura astfel icircncacirct structura să nu fie mecanism sau corp liber icircn spațiu Impunacircnd aceste condiții matricea devine nesingulară și permite rezolvarea sistemului compatibil determinat

liniar

4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice Gauss-Seidel descompunerea [L]

Determinarea matricii de rigiditate pentru

solicitari de icircncovoiere (icircn plan)

Modelul geometric element unidimensional Numărul de noduri 2 Material E

Momentul de inerţie Bară de secţiune constantă Deformaţii

Pentru a caracteriza comportarea barei de icircncovoiere este necesară utilizarea a două grade de libertate pe nodurile şi (unghi de săgeată)[ ] ndash rad

[ ] - m Observaţii

1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local

2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)

Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui

- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri

avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3

(1)

(2)

Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor

Calculul matricei de rigiditate

Indicații

Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare

M

u u x

x

Polinoamele Hermite de gradul 3

Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual

Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy

XL

YL

V1L

V2

L21

L

XL

1 2

21

T T

M M

Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2

Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy

Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi

Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză

Echivalarea nodală a forțelor

Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite

Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual

(A)

(B)

egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale

Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune

Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată

energia potențială de deformație

part θpart x

=θ2minusθ1

l

intA

r 2dA=id [moment de inerţie polar ]

r2=radic y2+x2

Ud=12int0

l

GId(θ2minusθ1 )2

e2 dx=12

GIde (θ1

2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )

---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă

Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)

partU d

part q i=Qi ( partea staţionară )

q i=θ1θ2

θ1=Ml1

θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate

partU d

part q irarr [ K ]u

partU d

part q1=

part U d

part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId

l (θ1minusθ2 )=Mt1

partU d

part q2=

part U d

partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId

l (θ1+θ2 )=Mt2

Pentru un element de bară de torsiune

GIdl [ 1 minus1

minus1 1 ]θ1

θ2=Mt1

Mt2

[ K ] rarr pentrutorsiune liberă

Bara icircn spaţiu

Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate

Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1

Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2

Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)

minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2

iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest

[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)

Q x=EAL

Q z=EIzL3

Q y=EIyL3

QT=GId

Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local

Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)

Punctul 3isin(xOy) plan local

Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k

Avem următoarele relații de transformări

Deci icircn SR local

Aplicație

Origin=1

Date de intrare

-coordonatele pentru cele n=6 noduri

- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare

-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune

-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară

Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura

=

| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)

- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal

Bare 3D

(continuare)

- matrice de rigiditate in SR general pe element

- pentru o bara 1-2 din strcutura

Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i

este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu

Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea

definită icircn cursul precedent)

După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale

Se rezolvă [ K ] U =F

Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri

Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara

[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global

Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă

local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)

Solicitările F l adică N x1

l T y1

l T z1

l M x1

l M y1

l M z1

l

N x2

l T y2

l T z2

l M x2

l M y2

l M z2

l

Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)

Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo

Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)

Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)

rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)

Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului

Modalităţi de determinare [ K l ] pe element

rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]

Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat

Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)

Elementul triunghiular(izoparametric)

Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global

2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr

3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element

4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens

Element izoparametric

Triunghiul lui Pascal

1

Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1

Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru

este un plan icircn coordonatele

Observație

=gt

Coeficientul lui

Se observă

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

3D ndash element tridimensional

Observația 1 Sistemul local definit anterior formează un sistem de referință naturalPrin utilizarea coordonatelor naturale un patrulater se transformă icircn pătrat și un

element hexaedric se transformă icircntr-un cub (vezi cursuri următoare)Observaţia 2 Fiecare element este definit de noduriIn noduri funcția necunoscută (deplasările) se va calcula

Nodurile pot fi in calculul cu MEF

1 Active In aceste noduri se calculează funcția necunoscuta (deplasările)Nodurile contribuie la crearea matricii de rigiditate a sistemului structural la asamblare2 Pasive Acestea pot avea următoarele funcții - definirea sistemului de referință local - creșterea gradului de aproximare geometrică a suprafeței (suprafețe curbeelemente curbe) - creșterea gradului de aproximare pe element pentru funcția necunoscută (deplasări nodale)

n1n2 noduri active n3 nod auxiliar

r1=x1 i+ y1 j+z1 k ie=(r2minusr1)

|r2minusr1| k e=

(r 2minusr1 ) times(r3minusr1)

|r2minusr1|times|r3minusr1|r2=x2 i+ y2 j+z2 k

r3=x3 i+ y3 j+z3 k j e=ke times ie

Exemplu -se construiește matricea de rigiditate pe element cu toate nodurile active sau pasive -matricea de rigiditate se condensează eliminacircnd liniile și coloanele corespunzătoare nodurilor auxiliareDe regulă eliminarea nodurilor auxiliare se face prin procedeul de asamblare a matricilor de rigiditate

3Construcția matricii de rigiditate locale pentru fiecare elementProcedura de programare nu folosește stocarea matricilor de rigiditateIcircn construcția

matricilor de rigiditate locală avem nevoie dea) Un formalism matematic ce are la bază ecuațiile diferențiale ce descriu

problema analizată (curgerea fluidului-ecuațiile curgerii fluidului caz prezent-ecuațiile elesticitațiieventual particularitați pentru bare sau plăci folosind o serie de ipoteze de lucru)

b) Un model de aproximare (rdquointerpolarerdquo) pentru geometrie cacircmp de variabilă necunoscută (in sistemul de referință local)

Pentru geometrie

x=x1+( x2minusx1) times t=(1minust )times x1+t times x2

y= y1+( y2minus y1 )times t=(1minust )times y1+ t times y2

tisin [01 ]

Icircn ipoteza micilor perturbații (teoria liniară)σ=Elowastε pe zona de proporționalitate a materialelor ne aflăm pe domeniul liniar-elastic

La solicitarea de icircntindere

F=EA times Δll (l=l12) Δl-elongație

Δll deformație liniară specifică

Din condițiile de mai sus rezultă

Așadar

Unde

se numesc funcții de formă (de interpolare)

Cacircmpul necunoscut se exprimă prin funcția

ObservațieAtunci cacircnd pentru reprezentarea geometriei elementului respectiv icircn repezentarea cacircmpului variabilei necunoscute se utilizează aceeași funcție de formă se spune că elementul este izoparametru

Matematic funcțiile de formă vor fi construite folosindu-se baza polinomială (funcțiile de formă vor fi polinoame)

Suma funcțiilor de formă este unu Acestea vor da ponderile cu care fiecare valoare din nod intervine icircn valoarea necunoscutei(deplasării) dintr-un punct aparținacircnd elementului

Funcțiile de formă iau valori maxime icircn nodul asociatCacircnd se realizează aproximarea geometriei și respectiv a cacircmpului variabilelor

condiția necesară dar nu suficientă este asigurarea continuității de clasă

Observație Matricea de rigiditate conține derivatele funcțiilor de formă

4Transformarea (scriere valabilă pentru elementele din sistemul de referință global) presupune utilizarea unei matrice de transformare sau de rotație

Versorii sistemului local vor fi

Iar scrierea lor sub formă matricială va fi

Deplasările și icircn sistemul local pentru punctele 1 și 2 considerate vor fi

Similar se va proceda și pentru forțe (vezi discuțiile de la bara articulată)

Se consideră matrice ortogonală

Relația mai poate fi scrisă și sub următoarea formă

icircnmulțim la dreapta cu și va rezulta

-reprezintă matricea de rigidități icircn sistemul global

- reprezintă matricea forțelor interioare și cele exterioare (efect cumulat) sau aplicate icircn noduri

5 Rezultă -pe element

6 Asamblarea matricilor de rigiditate icircn matricea de rigiditate a structurii (exercițiu de asamblare de a bare articulate)

Matematic se pleacă cu o matrice structurală plină de zerouri și aceasta este umplută cu matricile de rigiditate pentru fiecare element Această procedură se numește asamblare și fiecare linie a matricii de rigiditate globale conține modul icircn care informația din nodurile vecine necunoscute modului curent contribuie la valoarea funcției cunoscute (deplasărilor necunoscute) din acest nod

Elemente 1-7 - 2-7 - 7-3 -

(pentru icircntreaga structură)

Observatie Forțele interioare din noduri au suma zero

Atenție asupra modului de parcurgere a noduri trebuie să fie aceeași regulă de parcurgere a nodurilor pentru toate elementele

Vectorul va conține doar forțe exterioare aplicate icircn noduri după direcțiile sistemului de rigiditate global

7 matrice simetrică (cu elemente pozitive pe diagonala principală)

Introducerea condițiilor la limită (CL) sau icircn cazul structurilor a condițiilor de rezemare

Observație Condițiile de rezemare trebuie să fie corect puse astfel icircncacirct sistemul să nu fie mecanism

Modalități de impunere a CL

1 Scoaterea liniilor și coloanelor corespunzătoare deplasărilor blocate și rezolvarea sistemului

2 Linia sistemului corespunzătoare deplasării blocate se face zero și se pune icircn poziția deplasării blocate

8Rezolvarea sistemului liniar compatibil determinat

campul deplasărilor nodale U ale structurii U- cu deplasările modale se post procesează rezultatele și obţinem

- structură deformată

- tensiuni icircn bare

Observaţie Deplasările nodale se numesc grade libertate Pentru un sistem de bare articulate obţinem 2 grade de libertate

Ecuaţiile elementului finit

Cazul Static

Sistem de bare articulate ndash metoda echilibrului forţelor duce la formularea problemei strcturale icircn deplasări

Deci sistematizacircnd problema ldquoMEFrdquo poate fi algoritmizată urmacircnd schema de principiu de mai jos1Sistemul fizic supus analizei2Modul matematic alcătuit de regulă din Ecuaţii diferenţiale sau integrale

3Model discret Ne referim la faptul că vom calcula valori

4Soluţia discretă specifie in noduri5Interpretarea rezultatelor

Paşii sunt intercorelaţi de exempluIcircntre modelul discret si soluţia discretă există eroarea de calcul datorată ordinului de

precizie mic al ecuaţiilor repective folositeetcIcircntre modelul matematic și soluţia discretă există modelarediscretizare și eroare de

calculIcircntre sistemul fizic și soluţia discretă există eroare conceptuală

Din punct de vedere tehnic există 4 etape si anume1Idealizare2Discretizare3Soluţionarea4Postprocesare

APentru a soluţiona parte de pre procesare presupunem un program MEF (generică) Geometrie Keypoints - Linii - Suprafeţe Linii (Lines) - Suprafeţe - Volume Volume(Volumes)

Definire Material - tip material - izotrop - anizotrop - ortotop etc - setări constante inginereşti (module de elasticitate şi constante de contracţie ale lui Poisson) - proprietati fizice(densitatea materialului de dilatare termică)

Definire elemente finite - geometria problemei - problema fizică studiată - icircn situaţia folosirii mai multor tipuri de elemente dar trebuie să fie compatibilă icircntre ele la nivelul interfeţeiSe acceptă

Nu se acceptă

Definire

o displacements ( blocaje rezemări )o viteze acceleraţii ( structuri masive ndash acceleraţii gravitaţionale )o LOADS ( icircncărcări )

Icircn cazul discretizării normale se obişnuieşte utilizarea mai multor tipuri de elemente care trebuie să fie compatibile icircntre ele la nivelul interfeţii

Blocaje

B

1 - rezem

2 - articulaţie

3 - icircncastrări

4 Blocaje particulare

Reamintim Blocajele şi solicitarile se aplică icircn nodurile MEF (noduri reale) icircn noduri se definesc gradele de libertate sau coordonatele generalizate ale problemei La structură gradele de libertate sunt deplasările nodale (uvw) ndash icircn cazul corpului 3D (uv) ndash stare plană de tensiuni membrană (v φ) ndash deplasare unghiulară respectiv liniară pentru bară de icircncovoiere şi (u v w θ φy φz) ndash pentru bare solicitate 3D

Sarcinile şi icircncastrările reprezintă solicitări externe aplicate structurii Acestea se aplică de regulă direct icircn nodurile modelului MEF

ANSYS

BSoluţionarea sau rezolvarea problemeiProbleme de statică ndash Problemele se rezolvă automat cu un model de setări dacă este

cazul- matricea asamblarii [K]- reyolvare sistem liniar [K] u = F ndash asociat problemei structurale- rezultă cacircmpul deplasărilor nodale

Probleme de tip - vibraţii- dinamică- impact- cuplate (probleme interacţiune)

o structură ndash cacircmp termo fluid ndash structură

Se definesc parametrii de rezolvare pentru- soluţia de integrare icircn timp (timp pas de timp param relaxare)- pentru domeniul de frecvenţe de interes (vibraţii) (dom frecv de interes modul de

deformare şi distingere elemente param de flambaj de icircncărcare succesivă)

-Fenomen de moarte a elementelor

C Postprocesarea ndash Etapă necuantificabilă deoarece ţine de pregatirea şi cunoştinţele utilizatorului

Cacircmpul deformaţiilor se utilizează pentru vizualizări- deformaţie structurală- cacircmpuri izotensiuni- tensiuni echivalente (von Mises)- criterii de rezistenţă margini de siguranţă

Ipotezele calculului structural static folosind MEF

Ipoteze

- date de comportarea materialului- date de comportarea structurii

A1 Materialul este considerat un mediu continuu omogen și izotrop2 Proprietățile materialului sunt invariante icircn timp3 Materialul are o comportare liniar-elastică și satisface legea lui Hooke

B1 Relația forță-deplasare este liniară

2 Deformațiile structurii sunt mici icircn comparație cu dimensiunile structurii3 Relațiile dintr deformațiile specifice și deplasări sunt relații diferențiale liniare4 Relațiile dintre tensiuni și deformațiile specific sunt liniare și sunt date de legea lui

Hooke generalizată5 Structura este un sistem conservativ icircn lipsa amortizărilor structurale6 Se admite principiul suprapunerii efectelor (nu contează ordinea de aplicare a

solicitărilor)7 Rigiditatea și flexibilitatea structurii depind de caracteristicile structurii și natura

materialului (geometria structurală)8 Icircn condițiile anterior enunțate se mai pot admite și alte ipoteze cum ar fi

- ipoteza secțiunilor plane sau Bernoulli icircn cazul barelor- ipoteza Kirchoff-Love icircn cazul plăcilor plane și curbe subțiri

Deducerea ecuației elementelor finite pentru cazul static

Metode de lucru

1 Metode energetice- metoda energiei potențiale minime (dacă asupra unui corp acționează un sistem

de forțe și constracircngeri corpul tinde să ocupe starea de energie potențială minimă)

- metoda lucrului mecanic virtual

- metoda reziduurilor ponderate (metoda Galerkin)- metode spectrale

Ultimele două metode se utilizează și icircn rezolvarea altor probleme (problema unei curgeri plane potențiale)

Deducerea ecuației elementelor finite cu metoda lucrului mecanic virtual

Teoremă Dacă unui element finit i se imprimă o deplasare virtuală notată atunci conform principiului lucrului mecanic virtual lucrul mecanic al forțelor exterioare (aplicate structurii) este egal cu energia internă de deformație pentru orice cacircmp de deplasări virtuale admisibil

Compatibilitatea cu problema

- deplasări virtuale liniare

- deplasare unghiulară incompatibilă cu

sistemul dat

Solicitare exterioară- sarcini concentrate aplicate icircn noduri- sarcini aplicate pe suprafețe ( presiuni )- sarcini icircn volum

greutate forță centrifugă

Ecuaţia elementului finit Cazul static

Ecuaţia elementului finit se deduce icircn baza ipotezelor menţionate pentru un element finit urmărind a se construi prin asamblare ecuaţia sistemului modelat cu elemente finite

Metode de deducerea) principiul lucrului mecanic virtualb) principiul variaţional minimul energiei de deformaţieEnergia de deformaţie este dată de relaţia

Ud=12∭σεdV

Icircn continuare vom folosi principiul lucrului mecanic virtual un sistem structural supus la legături (condiţii de rezemare) aflat sub acţiunea unor sarcini exterioare se află in echilibru

dacă pentru un set de deplasări virtual arbitrare compatibile cu problema lucrul mecanic virtual al forţelor externe aplicate este egal cu lucrul mecanic virtual al forţelor interioare din structură

Se cunoaşte din Teoria Elasticităţii urmatoarea relaţie

(σx

σ y

σ z

τ xy

τ xz

τ yz

)=[ E ](ε x

ε y

ε x

γ xy

γ xz

γ yz

)Unde

[ E ]=matriceade elasticitate

σ =vectorul tensiunilor

ε =vectoruldeformaţiilor specifice

Pentru starea plană de tensiune (2D) matricea de elasticitate este dată de

[ E ]= E1minusν2 [1 ν 0

ν0

1 0

0 1minusν2 ]

ν=coeficientul decontracţie transversală Poisson ν=03minus033

Vectorul deformaţiilor specifice se poate scrie

ε =(part upart xpart vpart ypart wpart z

part upart y

+ part vpart x

part vpart z

+ part wpart y

part wpart x

+ part upart z

)=[part

part x0 0

0 partpart y

0

0part

part y0part

part z

0part

part xpart

part z0

partpart z0part

part ypart

part x

]uvw

[part

part x0 0

0 partpart y

0

0part

part y0part

part z

0part

part xpart

part z0

partpart z0part

part ypart

part x

]= [ L ]=operator diferenţial

uvw= d =vectoruldeplasărilor structurii funcţii de cacircmp

u=u(x y z)

v=v (x y z )

w=w(x y z)

Observaţii1) Ideea de bază este de a exprima funcţiile de cacircmp prin intermediul unor funcţii de

interpolare numite și funcţii de formă prin intermediul coordonatelor generalizate sau deplasărilor nodale ui vi wi

2) De regulă numărul funcţiilor de formă este egal cu numărul nodurilor ce definesc elementul finit pentru o aproximare de ordin superior elementul poate fi definit cu ajutorul unor noduri auxiliare

nod auxiliar

Putem scrie

De exemplu pentru (element patrulater) ndash Proplema 2D

Putem scrie compact matricial

Pentru exemplul anterior

Forțele care acționează asupra structurilor vor fi evaluate icircn lungul deformațiilor virtualeX rarr forțe volumice (bdquode volumrdquo)P rarr forțe de presiune (bdquode suprafațărdquo)Fc rarr forțe concentrate rarrconcentrate aplicate icircn noduri

Lucrul mecanic al forțelor exterioare presupune studierea celor 3 tipuri de forțe

Daca avem 2 matrici

se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale in structură

se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale nodale

Acolo unde nu avem forțe concentrate icircn dreptul se va pune valoarea 0

Deoarece nu depinde de x și y iese de sub integrală așadar obținem

Forțe volumicerarr greutateararr forța centrifugă

Forțe de presiunerarr presiuni pe forțele corpului studiatForțe concentrate dinrarr buloane

rarr nituri rarr cuie etc

rarr cacircmpul virtual al deformațiilor specifice produs de deplasările virtuale nodale

matricea de elasticitate sau matricea modulelor( icircn cazul materialelor compozite)rarr este o matrice simetrică fața de diagonala principală

Icircn consecință din egalitatea celor doua obținem

adică ( I )

Consideracircnd că este un set de deplasări arbitrare compatibile cu structura pentru ca relația ( I ) să fie icircndeplinită trebuie să avem egalitatea

pentru fiecare element finit

Matricea de rigiditate conține următoarele informații

- derivatele funcției de formă ce descriu deformația interioară

- proprietățile elastice ale structurii (constantele inginerești E G sau rigidității EI Gid EA)

EI - rigiditate la icircncovoiere Gid ndash rigiditate la torsiune EA ndash rigiditate la icircntindere compresiune

Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale se obține ecuația elementelor finite la nivelul icircntregii structuri (față de un sistem de referință global) adică

Observații

1) Asamblarea a fost intuită ca proces matematic prin scrierea ecuațiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zăbrele)

2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetrică care icircn lipsa rezemărilor (restricțiilor de deplasare) este o matrice singulară

3) Este important a nu se uita impunerea unor condiții de rezemare compatibile cu structura astfel icircncacirct structura să nu fie mecanism sau corp liber icircn spațiu Impunacircnd aceste condiții matricea devine nesingulară și permite rezolvarea sistemului compatibil determinat

liniar

4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice Gauss-Seidel descompunerea [L]

Determinarea matricii de rigiditate pentru

solicitari de icircncovoiere (icircn plan)

Modelul geometric element unidimensional Numărul de noduri 2 Material E

Momentul de inerţie Bară de secţiune constantă Deformaţii

Pentru a caracteriza comportarea barei de icircncovoiere este necesară utilizarea a două grade de libertate pe nodurile şi (unghi de săgeată)[ ] ndash rad

[ ] - m Observaţii

1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local

2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)

Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui

- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri

avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3

(1)

(2)

Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor

Calculul matricei de rigiditate

Indicații

Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare

M

u u x

x

Polinoamele Hermite de gradul 3

Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual

Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy

XL

YL

V1L

V2

L21

L

XL

1 2

21

T T

M M

Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2

Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy

Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi

Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză

Echivalarea nodală a forțelor

Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite

Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual

(A)

(B)

egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale

Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune

Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată

energia potențială de deformație

part θpart x

=θ2minusθ1

l

intA

r 2dA=id [moment de inerţie polar ]

r2=radic y2+x2

Ud=12int0

l

GId(θ2minusθ1 )2

e2 dx=12

GIde (θ1

2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )

---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă

Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)

partU d

part q i=Qi ( partea staţionară )

q i=θ1θ2

θ1=Ml1

θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate

partU d

part q irarr [ K ]u

partU d

part q1=

part U d

part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId

l (θ1minusθ2 )=Mt1

partU d

part q2=

part U d

partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId

l (θ1+θ2 )=Mt2

Pentru un element de bară de torsiune

GIdl [ 1 minus1

minus1 1 ]θ1

θ2=Mt1

Mt2

[ K ] rarr pentrutorsiune liberă

Bara icircn spaţiu

Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate

Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1

Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2

Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)

minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2

iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest

[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)

Q x=EAL

Q z=EIzL3

Q y=EIyL3

QT=GId

Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local

Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)

Punctul 3isin(xOy) plan local

Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k

Avem următoarele relații de transformări

Deci icircn SR local

Aplicație

Origin=1

Date de intrare

-coordonatele pentru cele n=6 noduri

- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare

-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune

-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară

Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura

=

| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)

- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal

Bare 3D

(continuare)

- matrice de rigiditate in SR general pe element

- pentru o bara 1-2 din strcutura

Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i

este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu

Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea

definită icircn cursul precedent)

După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale

Se rezolvă [ K ] U =F

Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri

Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara

[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global

Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă

local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)

Solicitările F l adică N x1

l T y1

l T z1

l M x1

l M y1

l M z1

l

N x2

l T y2

l T z2

l M x2

l M y2

l M z2

l

Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)

Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo

Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)

Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)

rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)

Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului

Modalităţi de determinare [ K l ] pe element

rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]

Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat

Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)

Elementul triunghiular(izoparametric)

Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global

2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr

3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element

4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens

Element izoparametric

Triunghiul lui Pascal

1

Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1

Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru

este un plan icircn coordonatele

Observație

=gt

Coeficientul lui

Se observă

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

1 Active In aceste noduri se calculează funcția necunoscuta (deplasările)Nodurile contribuie la crearea matricii de rigiditate a sistemului structural la asamblare2 Pasive Acestea pot avea următoarele funcții - definirea sistemului de referință local - creșterea gradului de aproximare geometrică a suprafeței (suprafețe curbeelemente curbe) - creșterea gradului de aproximare pe element pentru funcția necunoscută (deplasări nodale)

n1n2 noduri active n3 nod auxiliar

r1=x1 i+ y1 j+z1 k ie=(r2minusr1)

|r2minusr1| k e=

(r 2minusr1 ) times(r3minusr1)

|r2minusr1|times|r3minusr1|r2=x2 i+ y2 j+z2 k

r3=x3 i+ y3 j+z3 k j e=ke times ie

Exemplu -se construiește matricea de rigiditate pe element cu toate nodurile active sau pasive -matricea de rigiditate se condensează eliminacircnd liniile și coloanele corespunzătoare nodurilor auxiliareDe regulă eliminarea nodurilor auxiliare se face prin procedeul de asamblare a matricilor de rigiditate

3Construcția matricii de rigiditate locale pentru fiecare elementProcedura de programare nu folosește stocarea matricilor de rigiditateIcircn construcția

matricilor de rigiditate locală avem nevoie dea) Un formalism matematic ce are la bază ecuațiile diferențiale ce descriu

problema analizată (curgerea fluidului-ecuațiile curgerii fluidului caz prezent-ecuațiile elesticitațiieventual particularitați pentru bare sau plăci folosind o serie de ipoteze de lucru)

b) Un model de aproximare (rdquointerpolarerdquo) pentru geometrie cacircmp de variabilă necunoscută (in sistemul de referință local)

Pentru geometrie

x=x1+( x2minusx1) times t=(1minust )times x1+t times x2

y= y1+( y2minus y1 )times t=(1minust )times y1+ t times y2

tisin [01 ]

Icircn ipoteza micilor perturbații (teoria liniară)σ=Elowastε pe zona de proporționalitate a materialelor ne aflăm pe domeniul liniar-elastic

La solicitarea de icircntindere

F=EA times Δll (l=l12) Δl-elongație

Δll deformație liniară specifică

Din condițiile de mai sus rezultă

Așadar

Unde

se numesc funcții de formă (de interpolare)

Cacircmpul necunoscut se exprimă prin funcția

ObservațieAtunci cacircnd pentru reprezentarea geometriei elementului respectiv icircn repezentarea cacircmpului variabilei necunoscute se utilizează aceeași funcție de formă se spune că elementul este izoparametru

Matematic funcțiile de formă vor fi construite folosindu-se baza polinomială (funcțiile de formă vor fi polinoame)

Suma funcțiilor de formă este unu Acestea vor da ponderile cu care fiecare valoare din nod intervine icircn valoarea necunoscutei(deplasării) dintr-un punct aparținacircnd elementului

Funcțiile de formă iau valori maxime icircn nodul asociatCacircnd se realizează aproximarea geometriei și respectiv a cacircmpului variabilelor

condiția necesară dar nu suficientă este asigurarea continuității de clasă

Observație Matricea de rigiditate conține derivatele funcțiilor de formă

4Transformarea (scriere valabilă pentru elementele din sistemul de referință global) presupune utilizarea unei matrice de transformare sau de rotație

Versorii sistemului local vor fi

Iar scrierea lor sub formă matricială va fi

Deplasările și icircn sistemul local pentru punctele 1 și 2 considerate vor fi

Similar se va proceda și pentru forțe (vezi discuțiile de la bara articulată)

Se consideră matrice ortogonală

Relația mai poate fi scrisă și sub următoarea formă

icircnmulțim la dreapta cu și va rezulta

-reprezintă matricea de rigidități icircn sistemul global

- reprezintă matricea forțelor interioare și cele exterioare (efect cumulat) sau aplicate icircn noduri

5 Rezultă -pe element

6 Asamblarea matricilor de rigiditate icircn matricea de rigiditate a structurii (exercițiu de asamblare de a bare articulate)

Matematic se pleacă cu o matrice structurală plină de zerouri și aceasta este umplută cu matricile de rigiditate pentru fiecare element Această procedură se numește asamblare și fiecare linie a matricii de rigiditate globale conține modul icircn care informația din nodurile vecine necunoscute modului curent contribuie la valoarea funcției cunoscute (deplasărilor necunoscute) din acest nod

Elemente 1-7 - 2-7 - 7-3 -

(pentru icircntreaga structură)

Observatie Forțele interioare din noduri au suma zero

Atenție asupra modului de parcurgere a noduri trebuie să fie aceeași regulă de parcurgere a nodurilor pentru toate elementele

Vectorul va conține doar forțe exterioare aplicate icircn noduri după direcțiile sistemului de rigiditate global

7 matrice simetrică (cu elemente pozitive pe diagonala principală)

Introducerea condițiilor la limită (CL) sau icircn cazul structurilor a condițiilor de rezemare

Observație Condițiile de rezemare trebuie să fie corect puse astfel icircncacirct sistemul să nu fie mecanism

Modalități de impunere a CL

1 Scoaterea liniilor și coloanelor corespunzătoare deplasărilor blocate și rezolvarea sistemului

2 Linia sistemului corespunzătoare deplasării blocate se face zero și se pune icircn poziția deplasării blocate

8Rezolvarea sistemului liniar compatibil determinat

campul deplasărilor nodale U ale structurii U- cu deplasările modale se post procesează rezultatele și obţinem

- structură deformată

- tensiuni icircn bare

Observaţie Deplasările nodale se numesc grade libertate Pentru un sistem de bare articulate obţinem 2 grade de libertate

Ecuaţiile elementului finit

Cazul Static

Sistem de bare articulate ndash metoda echilibrului forţelor duce la formularea problemei strcturale icircn deplasări

Deci sistematizacircnd problema ldquoMEFrdquo poate fi algoritmizată urmacircnd schema de principiu de mai jos1Sistemul fizic supus analizei2Modul matematic alcătuit de regulă din Ecuaţii diferenţiale sau integrale

3Model discret Ne referim la faptul că vom calcula valori

4Soluţia discretă specifie in noduri5Interpretarea rezultatelor

Paşii sunt intercorelaţi de exempluIcircntre modelul discret si soluţia discretă există eroarea de calcul datorată ordinului de

precizie mic al ecuaţiilor repective folositeetcIcircntre modelul matematic și soluţia discretă există modelarediscretizare și eroare de

calculIcircntre sistemul fizic și soluţia discretă există eroare conceptuală

Din punct de vedere tehnic există 4 etape si anume1Idealizare2Discretizare3Soluţionarea4Postprocesare

APentru a soluţiona parte de pre procesare presupunem un program MEF (generică) Geometrie Keypoints - Linii - Suprafeţe Linii (Lines) - Suprafeţe - Volume Volume(Volumes)

Definire Material - tip material - izotrop - anizotrop - ortotop etc - setări constante inginereşti (module de elasticitate şi constante de contracţie ale lui Poisson) - proprietati fizice(densitatea materialului de dilatare termică)

Definire elemente finite - geometria problemei - problema fizică studiată - icircn situaţia folosirii mai multor tipuri de elemente dar trebuie să fie compatibilă icircntre ele la nivelul interfeţeiSe acceptă

Nu se acceptă

Definire

o displacements ( blocaje rezemări )o viteze acceleraţii ( structuri masive ndash acceleraţii gravitaţionale )o LOADS ( icircncărcări )

Icircn cazul discretizării normale se obişnuieşte utilizarea mai multor tipuri de elemente care trebuie să fie compatibile icircntre ele la nivelul interfeţii

Blocaje

B

1 - rezem

2 - articulaţie

3 - icircncastrări

4 Blocaje particulare

Reamintim Blocajele şi solicitarile se aplică icircn nodurile MEF (noduri reale) icircn noduri se definesc gradele de libertate sau coordonatele generalizate ale problemei La structură gradele de libertate sunt deplasările nodale (uvw) ndash icircn cazul corpului 3D (uv) ndash stare plană de tensiuni membrană (v φ) ndash deplasare unghiulară respectiv liniară pentru bară de icircncovoiere şi (u v w θ φy φz) ndash pentru bare solicitate 3D

Sarcinile şi icircncastrările reprezintă solicitări externe aplicate structurii Acestea se aplică de regulă direct icircn nodurile modelului MEF

ANSYS

BSoluţionarea sau rezolvarea problemeiProbleme de statică ndash Problemele se rezolvă automat cu un model de setări dacă este

cazul- matricea asamblarii [K]- reyolvare sistem liniar [K] u = F ndash asociat problemei structurale- rezultă cacircmpul deplasărilor nodale

Probleme de tip - vibraţii- dinamică- impact- cuplate (probleme interacţiune)

o structură ndash cacircmp termo fluid ndash structură

Se definesc parametrii de rezolvare pentru- soluţia de integrare icircn timp (timp pas de timp param relaxare)- pentru domeniul de frecvenţe de interes (vibraţii) (dom frecv de interes modul de

deformare şi distingere elemente param de flambaj de icircncărcare succesivă)

-Fenomen de moarte a elementelor

C Postprocesarea ndash Etapă necuantificabilă deoarece ţine de pregatirea şi cunoştinţele utilizatorului

Cacircmpul deformaţiilor se utilizează pentru vizualizări- deformaţie structurală- cacircmpuri izotensiuni- tensiuni echivalente (von Mises)- criterii de rezistenţă margini de siguranţă

Ipotezele calculului structural static folosind MEF

Ipoteze

- date de comportarea materialului- date de comportarea structurii

A1 Materialul este considerat un mediu continuu omogen și izotrop2 Proprietățile materialului sunt invariante icircn timp3 Materialul are o comportare liniar-elastică și satisface legea lui Hooke

B1 Relația forță-deplasare este liniară

2 Deformațiile structurii sunt mici icircn comparație cu dimensiunile structurii3 Relațiile dintr deformațiile specifice și deplasări sunt relații diferențiale liniare4 Relațiile dintre tensiuni și deformațiile specific sunt liniare și sunt date de legea lui

Hooke generalizată5 Structura este un sistem conservativ icircn lipsa amortizărilor structurale6 Se admite principiul suprapunerii efectelor (nu contează ordinea de aplicare a

solicitărilor)7 Rigiditatea și flexibilitatea structurii depind de caracteristicile structurii și natura

materialului (geometria structurală)8 Icircn condițiile anterior enunțate se mai pot admite și alte ipoteze cum ar fi

- ipoteza secțiunilor plane sau Bernoulli icircn cazul barelor- ipoteza Kirchoff-Love icircn cazul plăcilor plane și curbe subțiri

Deducerea ecuației elementelor finite pentru cazul static

Metode de lucru

1 Metode energetice- metoda energiei potențiale minime (dacă asupra unui corp acționează un sistem

de forțe și constracircngeri corpul tinde să ocupe starea de energie potențială minimă)

- metoda lucrului mecanic virtual

- metoda reziduurilor ponderate (metoda Galerkin)- metode spectrale

Ultimele două metode se utilizează și icircn rezolvarea altor probleme (problema unei curgeri plane potențiale)

Deducerea ecuației elementelor finite cu metoda lucrului mecanic virtual

Teoremă Dacă unui element finit i se imprimă o deplasare virtuală notată atunci conform principiului lucrului mecanic virtual lucrul mecanic al forțelor exterioare (aplicate structurii) este egal cu energia internă de deformație pentru orice cacircmp de deplasări virtuale admisibil

Compatibilitatea cu problema

- deplasări virtuale liniare

- deplasare unghiulară incompatibilă cu

sistemul dat

Solicitare exterioară- sarcini concentrate aplicate icircn noduri- sarcini aplicate pe suprafețe ( presiuni )- sarcini icircn volum

greutate forță centrifugă

Ecuaţia elementului finit Cazul static

Ecuaţia elementului finit se deduce icircn baza ipotezelor menţionate pentru un element finit urmărind a se construi prin asamblare ecuaţia sistemului modelat cu elemente finite

Metode de deducerea) principiul lucrului mecanic virtualb) principiul variaţional minimul energiei de deformaţieEnergia de deformaţie este dată de relaţia

Ud=12∭σεdV

Icircn continuare vom folosi principiul lucrului mecanic virtual un sistem structural supus la legături (condiţii de rezemare) aflat sub acţiunea unor sarcini exterioare se află in echilibru

dacă pentru un set de deplasări virtual arbitrare compatibile cu problema lucrul mecanic virtual al forţelor externe aplicate este egal cu lucrul mecanic virtual al forţelor interioare din structură

Se cunoaşte din Teoria Elasticităţii urmatoarea relaţie

(σx

σ y

σ z

τ xy

τ xz

τ yz

)=[ E ](ε x

ε y

ε x

γ xy

γ xz

γ yz

)Unde

[ E ]=matriceade elasticitate

σ =vectorul tensiunilor

ε =vectoruldeformaţiilor specifice

Pentru starea plană de tensiune (2D) matricea de elasticitate este dată de

[ E ]= E1minusν2 [1 ν 0

ν0

1 0

0 1minusν2 ]

ν=coeficientul decontracţie transversală Poisson ν=03minus033

Vectorul deformaţiilor specifice se poate scrie

ε =(part upart xpart vpart ypart wpart z

part upart y

+ part vpart x

part vpart z

+ part wpart y

part wpart x

+ part upart z

)=[part

part x0 0

0 partpart y

0

0part

part y0part

part z

0part

part xpart

part z0

partpart z0part

part ypart

part x

]uvw

[part

part x0 0

0 partpart y

0

0part

part y0part

part z

0part

part xpart

part z0

partpart z0part

part ypart

part x

]= [ L ]=operator diferenţial

uvw= d =vectoruldeplasărilor structurii funcţii de cacircmp

u=u(x y z)

v=v (x y z )

w=w(x y z)

Observaţii1) Ideea de bază este de a exprima funcţiile de cacircmp prin intermediul unor funcţii de

interpolare numite și funcţii de formă prin intermediul coordonatelor generalizate sau deplasărilor nodale ui vi wi

2) De regulă numărul funcţiilor de formă este egal cu numărul nodurilor ce definesc elementul finit pentru o aproximare de ordin superior elementul poate fi definit cu ajutorul unor noduri auxiliare

nod auxiliar

Putem scrie

De exemplu pentru (element patrulater) ndash Proplema 2D

Putem scrie compact matricial

Pentru exemplul anterior

Forțele care acționează asupra structurilor vor fi evaluate icircn lungul deformațiilor virtualeX rarr forțe volumice (bdquode volumrdquo)P rarr forțe de presiune (bdquode suprafațărdquo)Fc rarr forțe concentrate rarrconcentrate aplicate icircn noduri

Lucrul mecanic al forțelor exterioare presupune studierea celor 3 tipuri de forțe

Daca avem 2 matrici

se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale in structură

se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale nodale

Acolo unde nu avem forțe concentrate icircn dreptul se va pune valoarea 0

Deoarece nu depinde de x și y iese de sub integrală așadar obținem

Forțe volumicerarr greutateararr forța centrifugă

Forțe de presiunerarr presiuni pe forțele corpului studiatForțe concentrate dinrarr buloane

rarr nituri rarr cuie etc

rarr cacircmpul virtual al deformațiilor specifice produs de deplasările virtuale nodale

matricea de elasticitate sau matricea modulelor( icircn cazul materialelor compozite)rarr este o matrice simetrică fața de diagonala principală

Icircn consecință din egalitatea celor doua obținem

adică ( I )

Consideracircnd că este un set de deplasări arbitrare compatibile cu structura pentru ca relația ( I ) să fie icircndeplinită trebuie să avem egalitatea

pentru fiecare element finit

Matricea de rigiditate conține următoarele informații

- derivatele funcției de formă ce descriu deformația interioară

- proprietățile elastice ale structurii (constantele inginerești E G sau rigidității EI Gid EA)

EI - rigiditate la icircncovoiere Gid ndash rigiditate la torsiune EA ndash rigiditate la icircntindere compresiune

Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale se obține ecuația elementelor finite la nivelul icircntregii structuri (față de un sistem de referință global) adică

Observații

1) Asamblarea a fost intuită ca proces matematic prin scrierea ecuațiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zăbrele)

2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetrică care icircn lipsa rezemărilor (restricțiilor de deplasare) este o matrice singulară

3) Este important a nu se uita impunerea unor condiții de rezemare compatibile cu structura astfel icircncacirct structura să nu fie mecanism sau corp liber icircn spațiu Impunacircnd aceste condiții matricea devine nesingulară și permite rezolvarea sistemului compatibil determinat

liniar

4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice Gauss-Seidel descompunerea [L]

Determinarea matricii de rigiditate pentru

solicitari de icircncovoiere (icircn plan)

Modelul geometric element unidimensional Numărul de noduri 2 Material E

Momentul de inerţie Bară de secţiune constantă Deformaţii

Pentru a caracteriza comportarea barei de icircncovoiere este necesară utilizarea a două grade de libertate pe nodurile şi (unghi de săgeată)[ ] ndash rad

[ ] - m Observaţii

1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local

2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)

Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui

- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri

avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3

(1)

(2)

Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor

Calculul matricei de rigiditate

Indicații

Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare

M

u u x

x

Polinoamele Hermite de gradul 3

Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual

Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy

XL

YL

V1L

V2

L21

L

XL

1 2

21

T T

M M

Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2

Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy

Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi

Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză

Echivalarea nodală a forțelor

Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite

Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual

(A)

(B)

egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale

Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune

Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată

energia potențială de deformație

part θpart x

=θ2minusθ1

l

intA

r 2dA=id [moment de inerţie polar ]

r2=radic y2+x2

Ud=12int0

l

GId(θ2minusθ1 )2

e2 dx=12

GIde (θ1

2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )

---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă

Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)

partU d

part q i=Qi ( partea staţionară )

q i=θ1θ2

θ1=Ml1

θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate

partU d

part q irarr [ K ]u

partU d

part q1=

part U d

part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId

l (θ1minusθ2 )=Mt1

partU d

part q2=

part U d

partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId

l (θ1+θ2 )=Mt2

Pentru un element de bară de torsiune

GIdl [ 1 minus1

minus1 1 ]θ1

θ2=Mt1

Mt2

[ K ] rarr pentrutorsiune liberă

Bara icircn spaţiu

Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate

Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1

Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2

Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)

minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2

iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest

[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)

Q x=EAL

Q z=EIzL3

Q y=EIyL3

QT=GId

Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local

Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)

Punctul 3isin(xOy) plan local

Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k

Avem următoarele relații de transformări

Deci icircn SR local

Aplicație

Origin=1

Date de intrare

-coordonatele pentru cele n=6 noduri

- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare

-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune

-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară

Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura

=

| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)

- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal

Bare 3D

(continuare)

- matrice de rigiditate in SR general pe element

- pentru o bara 1-2 din strcutura

Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i

este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu

Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea

definită icircn cursul precedent)

După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale

Se rezolvă [ K ] U =F

Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri

Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara

[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global

Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă

local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)

Solicitările F l adică N x1

l T y1

l T z1

l M x1

l M y1

l M z1

l

N x2

l T y2

l T z2

l M x2

l M y2

l M z2

l

Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)

Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo

Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)

Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)

rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)

Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului

Modalităţi de determinare [ K l ] pe element

rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]

Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat

Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)

Elementul triunghiular(izoparametric)

Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global

2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr

3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element

4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens

Element izoparametric

Triunghiul lui Pascal

1

Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1

Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru

este un plan icircn coordonatele

Observație

=gt

Coeficientul lui

Se observă

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

3Construcția matricii de rigiditate locale pentru fiecare elementProcedura de programare nu folosește stocarea matricilor de rigiditateIcircn construcția

matricilor de rigiditate locală avem nevoie dea) Un formalism matematic ce are la bază ecuațiile diferențiale ce descriu

problema analizată (curgerea fluidului-ecuațiile curgerii fluidului caz prezent-ecuațiile elesticitațiieventual particularitați pentru bare sau plăci folosind o serie de ipoteze de lucru)

b) Un model de aproximare (rdquointerpolarerdquo) pentru geometrie cacircmp de variabilă necunoscută (in sistemul de referință local)

Pentru geometrie

x=x1+( x2minusx1) times t=(1minust )times x1+t times x2

y= y1+( y2minus y1 )times t=(1minust )times y1+ t times y2

tisin [01 ]

Icircn ipoteza micilor perturbații (teoria liniară)σ=Elowastε pe zona de proporționalitate a materialelor ne aflăm pe domeniul liniar-elastic

La solicitarea de icircntindere

F=EA times Δll (l=l12) Δl-elongație

Δll deformație liniară specifică

Din condițiile de mai sus rezultă

Așadar

Unde

se numesc funcții de formă (de interpolare)

Cacircmpul necunoscut se exprimă prin funcția

ObservațieAtunci cacircnd pentru reprezentarea geometriei elementului respectiv icircn repezentarea cacircmpului variabilei necunoscute se utilizează aceeași funcție de formă se spune că elementul este izoparametru

Matematic funcțiile de formă vor fi construite folosindu-se baza polinomială (funcțiile de formă vor fi polinoame)

Suma funcțiilor de formă este unu Acestea vor da ponderile cu care fiecare valoare din nod intervine icircn valoarea necunoscutei(deplasării) dintr-un punct aparținacircnd elementului

Funcțiile de formă iau valori maxime icircn nodul asociatCacircnd se realizează aproximarea geometriei și respectiv a cacircmpului variabilelor

condiția necesară dar nu suficientă este asigurarea continuității de clasă

Observație Matricea de rigiditate conține derivatele funcțiilor de formă

4Transformarea (scriere valabilă pentru elementele din sistemul de referință global) presupune utilizarea unei matrice de transformare sau de rotație

Versorii sistemului local vor fi

Iar scrierea lor sub formă matricială va fi

Deplasările și icircn sistemul local pentru punctele 1 și 2 considerate vor fi

Similar se va proceda și pentru forțe (vezi discuțiile de la bara articulată)

Se consideră matrice ortogonală

Relația mai poate fi scrisă și sub următoarea formă

icircnmulțim la dreapta cu și va rezulta

-reprezintă matricea de rigidități icircn sistemul global

- reprezintă matricea forțelor interioare și cele exterioare (efect cumulat) sau aplicate icircn noduri

5 Rezultă -pe element

6 Asamblarea matricilor de rigiditate icircn matricea de rigiditate a structurii (exercițiu de asamblare de a bare articulate)

Matematic se pleacă cu o matrice structurală plină de zerouri și aceasta este umplută cu matricile de rigiditate pentru fiecare element Această procedură se numește asamblare și fiecare linie a matricii de rigiditate globale conține modul icircn care informația din nodurile vecine necunoscute modului curent contribuie la valoarea funcției cunoscute (deplasărilor necunoscute) din acest nod

Elemente 1-7 - 2-7 - 7-3 -

(pentru icircntreaga structură)

Observatie Forțele interioare din noduri au suma zero

Atenție asupra modului de parcurgere a noduri trebuie să fie aceeași regulă de parcurgere a nodurilor pentru toate elementele

Vectorul va conține doar forțe exterioare aplicate icircn noduri după direcțiile sistemului de rigiditate global

7 matrice simetrică (cu elemente pozitive pe diagonala principală)

Introducerea condițiilor la limită (CL) sau icircn cazul structurilor a condițiilor de rezemare

Observație Condițiile de rezemare trebuie să fie corect puse astfel icircncacirct sistemul să nu fie mecanism

Modalități de impunere a CL

1 Scoaterea liniilor și coloanelor corespunzătoare deplasărilor blocate și rezolvarea sistemului

2 Linia sistemului corespunzătoare deplasării blocate se face zero și se pune icircn poziția deplasării blocate

8Rezolvarea sistemului liniar compatibil determinat

campul deplasărilor nodale U ale structurii U- cu deplasările modale se post procesează rezultatele și obţinem

- structură deformată

- tensiuni icircn bare

Observaţie Deplasările nodale se numesc grade libertate Pentru un sistem de bare articulate obţinem 2 grade de libertate

Ecuaţiile elementului finit

Cazul Static

Sistem de bare articulate ndash metoda echilibrului forţelor duce la formularea problemei strcturale icircn deplasări

Deci sistematizacircnd problema ldquoMEFrdquo poate fi algoritmizată urmacircnd schema de principiu de mai jos1Sistemul fizic supus analizei2Modul matematic alcătuit de regulă din Ecuaţii diferenţiale sau integrale

3Model discret Ne referim la faptul că vom calcula valori

4Soluţia discretă specifie in noduri5Interpretarea rezultatelor

Paşii sunt intercorelaţi de exempluIcircntre modelul discret si soluţia discretă există eroarea de calcul datorată ordinului de

precizie mic al ecuaţiilor repective folositeetcIcircntre modelul matematic și soluţia discretă există modelarediscretizare și eroare de

calculIcircntre sistemul fizic și soluţia discretă există eroare conceptuală

Din punct de vedere tehnic există 4 etape si anume1Idealizare2Discretizare3Soluţionarea4Postprocesare

APentru a soluţiona parte de pre procesare presupunem un program MEF (generică) Geometrie Keypoints - Linii - Suprafeţe Linii (Lines) - Suprafeţe - Volume Volume(Volumes)

Definire Material - tip material - izotrop - anizotrop - ortotop etc - setări constante inginereşti (module de elasticitate şi constante de contracţie ale lui Poisson) - proprietati fizice(densitatea materialului de dilatare termică)

Definire elemente finite - geometria problemei - problema fizică studiată - icircn situaţia folosirii mai multor tipuri de elemente dar trebuie să fie compatibilă icircntre ele la nivelul interfeţeiSe acceptă

Nu se acceptă

Definire

o displacements ( blocaje rezemări )o viteze acceleraţii ( structuri masive ndash acceleraţii gravitaţionale )o LOADS ( icircncărcări )

Icircn cazul discretizării normale se obişnuieşte utilizarea mai multor tipuri de elemente care trebuie să fie compatibile icircntre ele la nivelul interfeţii

Blocaje

B

1 - rezem

2 - articulaţie

3 - icircncastrări

4 Blocaje particulare

Reamintim Blocajele şi solicitarile se aplică icircn nodurile MEF (noduri reale) icircn noduri se definesc gradele de libertate sau coordonatele generalizate ale problemei La structură gradele de libertate sunt deplasările nodale (uvw) ndash icircn cazul corpului 3D (uv) ndash stare plană de tensiuni membrană (v φ) ndash deplasare unghiulară respectiv liniară pentru bară de icircncovoiere şi (u v w θ φy φz) ndash pentru bare solicitate 3D

Sarcinile şi icircncastrările reprezintă solicitări externe aplicate structurii Acestea se aplică de regulă direct icircn nodurile modelului MEF

ANSYS

BSoluţionarea sau rezolvarea problemeiProbleme de statică ndash Problemele se rezolvă automat cu un model de setări dacă este

cazul- matricea asamblarii [K]- reyolvare sistem liniar [K] u = F ndash asociat problemei structurale- rezultă cacircmpul deplasărilor nodale

Probleme de tip - vibraţii- dinamică- impact- cuplate (probleme interacţiune)

o structură ndash cacircmp termo fluid ndash structură

Se definesc parametrii de rezolvare pentru- soluţia de integrare icircn timp (timp pas de timp param relaxare)- pentru domeniul de frecvenţe de interes (vibraţii) (dom frecv de interes modul de

deformare şi distingere elemente param de flambaj de icircncărcare succesivă)

-Fenomen de moarte a elementelor

C Postprocesarea ndash Etapă necuantificabilă deoarece ţine de pregatirea şi cunoştinţele utilizatorului

Cacircmpul deformaţiilor se utilizează pentru vizualizări- deformaţie structurală- cacircmpuri izotensiuni- tensiuni echivalente (von Mises)- criterii de rezistenţă margini de siguranţă

Ipotezele calculului structural static folosind MEF

Ipoteze

- date de comportarea materialului- date de comportarea structurii

A1 Materialul este considerat un mediu continuu omogen și izotrop2 Proprietățile materialului sunt invariante icircn timp3 Materialul are o comportare liniar-elastică și satisface legea lui Hooke

B1 Relația forță-deplasare este liniară

2 Deformațiile structurii sunt mici icircn comparație cu dimensiunile structurii3 Relațiile dintr deformațiile specifice și deplasări sunt relații diferențiale liniare4 Relațiile dintre tensiuni și deformațiile specific sunt liniare și sunt date de legea lui

Hooke generalizată5 Structura este un sistem conservativ icircn lipsa amortizărilor structurale6 Se admite principiul suprapunerii efectelor (nu contează ordinea de aplicare a

solicitărilor)7 Rigiditatea și flexibilitatea structurii depind de caracteristicile structurii și natura

materialului (geometria structurală)8 Icircn condițiile anterior enunțate se mai pot admite și alte ipoteze cum ar fi

- ipoteza secțiunilor plane sau Bernoulli icircn cazul barelor- ipoteza Kirchoff-Love icircn cazul plăcilor plane și curbe subțiri

Deducerea ecuației elementelor finite pentru cazul static

Metode de lucru

1 Metode energetice- metoda energiei potențiale minime (dacă asupra unui corp acționează un sistem

de forțe și constracircngeri corpul tinde să ocupe starea de energie potențială minimă)

- metoda lucrului mecanic virtual

- metoda reziduurilor ponderate (metoda Galerkin)- metode spectrale

Ultimele două metode se utilizează și icircn rezolvarea altor probleme (problema unei curgeri plane potențiale)

Deducerea ecuației elementelor finite cu metoda lucrului mecanic virtual

Teoremă Dacă unui element finit i se imprimă o deplasare virtuală notată atunci conform principiului lucrului mecanic virtual lucrul mecanic al forțelor exterioare (aplicate structurii) este egal cu energia internă de deformație pentru orice cacircmp de deplasări virtuale admisibil

Compatibilitatea cu problema

- deplasări virtuale liniare

- deplasare unghiulară incompatibilă cu

sistemul dat

Solicitare exterioară- sarcini concentrate aplicate icircn noduri- sarcini aplicate pe suprafețe ( presiuni )- sarcini icircn volum

greutate forță centrifugă

Ecuaţia elementului finit Cazul static

Ecuaţia elementului finit se deduce icircn baza ipotezelor menţionate pentru un element finit urmărind a se construi prin asamblare ecuaţia sistemului modelat cu elemente finite

Metode de deducerea) principiul lucrului mecanic virtualb) principiul variaţional minimul energiei de deformaţieEnergia de deformaţie este dată de relaţia

Ud=12∭σεdV

Icircn continuare vom folosi principiul lucrului mecanic virtual un sistem structural supus la legături (condiţii de rezemare) aflat sub acţiunea unor sarcini exterioare se află in echilibru

dacă pentru un set de deplasări virtual arbitrare compatibile cu problema lucrul mecanic virtual al forţelor externe aplicate este egal cu lucrul mecanic virtual al forţelor interioare din structură

Se cunoaşte din Teoria Elasticităţii urmatoarea relaţie

(σx

σ y

σ z

τ xy

τ xz

τ yz

)=[ E ](ε x

ε y

ε x

γ xy

γ xz

γ yz

)Unde

[ E ]=matriceade elasticitate

σ =vectorul tensiunilor

ε =vectoruldeformaţiilor specifice

Pentru starea plană de tensiune (2D) matricea de elasticitate este dată de

[ E ]= E1minusν2 [1 ν 0

ν0

1 0

0 1minusν2 ]

ν=coeficientul decontracţie transversală Poisson ν=03minus033

Vectorul deformaţiilor specifice se poate scrie

ε =(part upart xpart vpart ypart wpart z

part upart y

+ part vpart x

part vpart z

+ part wpart y

part wpart x

+ part upart z

)=[part

part x0 0

0 partpart y

0

0part

part y0part

part z

0part

part xpart

part z0

partpart z0part

part ypart

part x

]uvw

[part

part x0 0

0 partpart y

0

0part

part y0part

part z

0part

part xpart

part z0

partpart z0part

part ypart

part x

]= [ L ]=operator diferenţial

uvw= d =vectoruldeplasărilor structurii funcţii de cacircmp

u=u(x y z)

v=v (x y z )

w=w(x y z)

Observaţii1) Ideea de bază este de a exprima funcţiile de cacircmp prin intermediul unor funcţii de

interpolare numite și funcţii de formă prin intermediul coordonatelor generalizate sau deplasărilor nodale ui vi wi

2) De regulă numărul funcţiilor de formă este egal cu numărul nodurilor ce definesc elementul finit pentru o aproximare de ordin superior elementul poate fi definit cu ajutorul unor noduri auxiliare

nod auxiliar

Putem scrie

De exemplu pentru (element patrulater) ndash Proplema 2D

Putem scrie compact matricial

Pentru exemplul anterior

Forțele care acționează asupra structurilor vor fi evaluate icircn lungul deformațiilor virtualeX rarr forțe volumice (bdquode volumrdquo)P rarr forțe de presiune (bdquode suprafațărdquo)Fc rarr forțe concentrate rarrconcentrate aplicate icircn noduri

Lucrul mecanic al forțelor exterioare presupune studierea celor 3 tipuri de forțe

Daca avem 2 matrici

se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale in structură

se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale nodale

Acolo unde nu avem forțe concentrate icircn dreptul se va pune valoarea 0

Deoarece nu depinde de x și y iese de sub integrală așadar obținem

Forțe volumicerarr greutateararr forța centrifugă

Forțe de presiunerarr presiuni pe forțele corpului studiatForțe concentrate dinrarr buloane

rarr nituri rarr cuie etc

rarr cacircmpul virtual al deformațiilor specifice produs de deplasările virtuale nodale

matricea de elasticitate sau matricea modulelor( icircn cazul materialelor compozite)rarr este o matrice simetrică fața de diagonala principală

Icircn consecință din egalitatea celor doua obținem

adică ( I )

Consideracircnd că este un set de deplasări arbitrare compatibile cu structura pentru ca relația ( I ) să fie icircndeplinită trebuie să avem egalitatea

pentru fiecare element finit

Matricea de rigiditate conține următoarele informații

- derivatele funcției de formă ce descriu deformația interioară

- proprietățile elastice ale structurii (constantele inginerești E G sau rigidității EI Gid EA)

EI - rigiditate la icircncovoiere Gid ndash rigiditate la torsiune EA ndash rigiditate la icircntindere compresiune

Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale se obține ecuația elementelor finite la nivelul icircntregii structuri (față de un sistem de referință global) adică

Observații

1) Asamblarea a fost intuită ca proces matematic prin scrierea ecuațiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zăbrele)

2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetrică care icircn lipsa rezemărilor (restricțiilor de deplasare) este o matrice singulară

3) Este important a nu se uita impunerea unor condiții de rezemare compatibile cu structura astfel icircncacirct structura să nu fie mecanism sau corp liber icircn spațiu Impunacircnd aceste condiții matricea devine nesingulară și permite rezolvarea sistemului compatibil determinat

liniar

4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice Gauss-Seidel descompunerea [L]

Determinarea matricii de rigiditate pentru

solicitari de icircncovoiere (icircn plan)

Modelul geometric element unidimensional Numărul de noduri 2 Material E

Momentul de inerţie Bară de secţiune constantă Deformaţii

Pentru a caracteriza comportarea barei de icircncovoiere este necesară utilizarea a două grade de libertate pe nodurile şi (unghi de săgeată)[ ] ndash rad

[ ] - m Observaţii

1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local

2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)

Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui

- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri

avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3

(1)

(2)

Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor

Calculul matricei de rigiditate

Indicații

Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare

M

u u x

x

Polinoamele Hermite de gradul 3

Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual

Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy

XL

YL

V1L

V2

L21

L

XL

1 2

21

T T

M M

Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2

Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy

Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi

Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză

Echivalarea nodală a forțelor

Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite

Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual

(A)

(B)

egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale

Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune

Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată

energia potențială de deformație

part θpart x

=θ2minusθ1

l

intA

r 2dA=id [moment de inerţie polar ]

r2=radic y2+x2

Ud=12int0

l

GId(θ2minusθ1 )2

e2 dx=12

GIde (θ1

2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )

---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă

Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)

partU d

part q i=Qi ( partea staţionară )

q i=θ1θ2

θ1=Ml1

θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate

partU d

part q irarr [ K ]u

partU d

part q1=

part U d

part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId

l (θ1minusθ2 )=Mt1

partU d

part q2=

part U d

partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId

l (θ1+θ2 )=Mt2

Pentru un element de bară de torsiune

GIdl [ 1 minus1

minus1 1 ]θ1

θ2=Mt1

Mt2

[ K ] rarr pentrutorsiune liberă

Bara icircn spaţiu

Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate

Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1

Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2

Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)

minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2

iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest

[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)

Q x=EAL

Q z=EIzL3

Q y=EIyL3

QT=GId

Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local

Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)

Punctul 3isin(xOy) plan local

Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k

Avem următoarele relații de transformări

Deci icircn SR local

Aplicație

Origin=1

Date de intrare

-coordonatele pentru cele n=6 noduri

- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare

-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune

-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară

Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura

=

| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)

- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal

Bare 3D

(continuare)

- matrice de rigiditate in SR general pe element

- pentru o bara 1-2 din strcutura

Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i

este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu

Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea

definită icircn cursul precedent)

După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale

Se rezolvă [ K ] U =F

Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri

Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara

[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global

Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă

local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)

Solicitările F l adică N x1

l T y1

l T z1

l M x1

l M y1

l M z1

l

N x2

l T y2

l T z2

l M x2

l M y2

l M z2

l

Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)

Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo

Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)

Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)

rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)

Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului

Modalităţi de determinare [ K l ] pe element

rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]

Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat

Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)

Elementul triunghiular(izoparametric)

Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global

2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr

3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element

4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens

Element izoparametric

Triunghiul lui Pascal

1

Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1

Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru

este un plan icircn coordonatele

Observație

=gt

Coeficientul lui

Se observă

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

Din condițiile de mai sus rezultă

Așadar

Unde

se numesc funcții de formă (de interpolare)

Cacircmpul necunoscut se exprimă prin funcția

ObservațieAtunci cacircnd pentru reprezentarea geometriei elementului respectiv icircn repezentarea cacircmpului variabilei necunoscute se utilizează aceeași funcție de formă se spune că elementul este izoparametru

Matematic funcțiile de formă vor fi construite folosindu-se baza polinomială (funcțiile de formă vor fi polinoame)

Suma funcțiilor de formă este unu Acestea vor da ponderile cu care fiecare valoare din nod intervine icircn valoarea necunoscutei(deplasării) dintr-un punct aparținacircnd elementului

Funcțiile de formă iau valori maxime icircn nodul asociatCacircnd se realizează aproximarea geometriei și respectiv a cacircmpului variabilelor

condiția necesară dar nu suficientă este asigurarea continuității de clasă

Observație Matricea de rigiditate conține derivatele funcțiilor de formă

4Transformarea (scriere valabilă pentru elementele din sistemul de referință global) presupune utilizarea unei matrice de transformare sau de rotație

Versorii sistemului local vor fi

Iar scrierea lor sub formă matricială va fi

Deplasările și icircn sistemul local pentru punctele 1 și 2 considerate vor fi

Similar se va proceda și pentru forțe (vezi discuțiile de la bara articulată)

Se consideră matrice ortogonală

Relația mai poate fi scrisă și sub următoarea formă

icircnmulțim la dreapta cu și va rezulta

-reprezintă matricea de rigidități icircn sistemul global

- reprezintă matricea forțelor interioare și cele exterioare (efect cumulat) sau aplicate icircn noduri

5 Rezultă -pe element

6 Asamblarea matricilor de rigiditate icircn matricea de rigiditate a structurii (exercițiu de asamblare de a bare articulate)

Matematic se pleacă cu o matrice structurală plină de zerouri și aceasta este umplută cu matricile de rigiditate pentru fiecare element Această procedură se numește asamblare și fiecare linie a matricii de rigiditate globale conține modul icircn care informația din nodurile vecine necunoscute modului curent contribuie la valoarea funcției cunoscute (deplasărilor necunoscute) din acest nod

Elemente 1-7 - 2-7 - 7-3 -

(pentru icircntreaga structură)

Observatie Forțele interioare din noduri au suma zero

Atenție asupra modului de parcurgere a noduri trebuie să fie aceeași regulă de parcurgere a nodurilor pentru toate elementele

Vectorul va conține doar forțe exterioare aplicate icircn noduri după direcțiile sistemului de rigiditate global

7 matrice simetrică (cu elemente pozitive pe diagonala principală)

Introducerea condițiilor la limită (CL) sau icircn cazul structurilor a condițiilor de rezemare

Observație Condițiile de rezemare trebuie să fie corect puse astfel icircncacirct sistemul să nu fie mecanism

Modalități de impunere a CL

1 Scoaterea liniilor și coloanelor corespunzătoare deplasărilor blocate și rezolvarea sistemului

2 Linia sistemului corespunzătoare deplasării blocate se face zero și se pune icircn poziția deplasării blocate

8Rezolvarea sistemului liniar compatibil determinat

campul deplasărilor nodale U ale structurii U- cu deplasările modale se post procesează rezultatele și obţinem

- structură deformată

- tensiuni icircn bare

Observaţie Deplasările nodale se numesc grade libertate Pentru un sistem de bare articulate obţinem 2 grade de libertate

Ecuaţiile elementului finit

Cazul Static

Sistem de bare articulate ndash metoda echilibrului forţelor duce la formularea problemei strcturale icircn deplasări

Deci sistematizacircnd problema ldquoMEFrdquo poate fi algoritmizată urmacircnd schema de principiu de mai jos1Sistemul fizic supus analizei2Modul matematic alcătuit de regulă din Ecuaţii diferenţiale sau integrale

3Model discret Ne referim la faptul că vom calcula valori

4Soluţia discretă specifie in noduri5Interpretarea rezultatelor

Paşii sunt intercorelaţi de exempluIcircntre modelul discret si soluţia discretă există eroarea de calcul datorată ordinului de

precizie mic al ecuaţiilor repective folositeetcIcircntre modelul matematic și soluţia discretă există modelarediscretizare și eroare de

calculIcircntre sistemul fizic și soluţia discretă există eroare conceptuală

Din punct de vedere tehnic există 4 etape si anume1Idealizare2Discretizare3Soluţionarea4Postprocesare

APentru a soluţiona parte de pre procesare presupunem un program MEF (generică) Geometrie Keypoints - Linii - Suprafeţe Linii (Lines) - Suprafeţe - Volume Volume(Volumes)

Definire Material - tip material - izotrop - anizotrop - ortotop etc - setări constante inginereşti (module de elasticitate şi constante de contracţie ale lui Poisson) - proprietati fizice(densitatea materialului de dilatare termică)

Definire elemente finite - geometria problemei - problema fizică studiată - icircn situaţia folosirii mai multor tipuri de elemente dar trebuie să fie compatibilă icircntre ele la nivelul interfeţeiSe acceptă

Nu se acceptă

Definire

o displacements ( blocaje rezemări )o viteze acceleraţii ( structuri masive ndash acceleraţii gravitaţionale )o LOADS ( icircncărcări )

Icircn cazul discretizării normale se obişnuieşte utilizarea mai multor tipuri de elemente care trebuie să fie compatibile icircntre ele la nivelul interfeţii

Blocaje

B

1 - rezem

2 - articulaţie

3 - icircncastrări

4 Blocaje particulare

Reamintim Blocajele şi solicitarile se aplică icircn nodurile MEF (noduri reale) icircn noduri se definesc gradele de libertate sau coordonatele generalizate ale problemei La structură gradele de libertate sunt deplasările nodale (uvw) ndash icircn cazul corpului 3D (uv) ndash stare plană de tensiuni membrană (v φ) ndash deplasare unghiulară respectiv liniară pentru bară de icircncovoiere şi (u v w θ φy φz) ndash pentru bare solicitate 3D

Sarcinile şi icircncastrările reprezintă solicitări externe aplicate structurii Acestea se aplică de regulă direct icircn nodurile modelului MEF

ANSYS

BSoluţionarea sau rezolvarea problemeiProbleme de statică ndash Problemele se rezolvă automat cu un model de setări dacă este

cazul- matricea asamblarii [K]- reyolvare sistem liniar [K] u = F ndash asociat problemei structurale- rezultă cacircmpul deplasărilor nodale

Probleme de tip - vibraţii- dinamică- impact- cuplate (probleme interacţiune)

o structură ndash cacircmp termo fluid ndash structură

Se definesc parametrii de rezolvare pentru- soluţia de integrare icircn timp (timp pas de timp param relaxare)- pentru domeniul de frecvenţe de interes (vibraţii) (dom frecv de interes modul de

deformare şi distingere elemente param de flambaj de icircncărcare succesivă)

-Fenomen de moarte a elementelor

C Postprocesarea ndash Etapă necuantificabilă deoarece ţine de pregatirea şi cunoştinţele utilizatorului

Cacircmpul deformaţiilor se utilizează pentru vizualizări- deformaţie structurală- cacircmpuri izotensiuni- tensiuni echivalente (von Mises)- criterii de rezistenţă margini de siguranţă

Ipotezele calculului structural static folosind MEF

Ipoteze

- date de comportarea materialului- date de comportarea structurii

A1 Materialul este considerat un mediu continuu omogen și izotrop2 Proprietățile materialului sunt invariante icircn timp3 Materialul are o comportare liniar-elastică și satisface legea lui Hooke

B1 Relația forță-deplasare este liniară

2 Deformațiile structurii sunt mici icircn comparație cu dimensiunile structurii3 Relațiile dintr deformațiile specifice și deplasări sunt relații diferențiale liniare4 Relațiile dintre tensiuni și deformațiile specific sunt liniare și sunt date de legea lui

Hooke generalizată5 Structura este un sistem conservativ icircn lipsa amortizărilor structurale6 Se admite principiul suprapunerii efectelor (nu contează ordinea de aplicare a

solicitărilor)7 Rigiditatea și flexibilitatea structurii depind de caracteristicile structurii și natura

materialului (geometria structurală)8 Icircn condițiile anterior enunțate se mai pot admite și alte ipoteze cum ar fi

- ipoteza secțiunilor plane sau Bernoulli icircn cazul barelor- ipoteza Kirchoff-Love icircn cazul plăcilor plane și curbe subțiri

Deducerea ecuației elementelor finite pentru cazul static

Metode de lucru

1 Metode energetice- metoda energiei potențiale minime (dacă asupra unui corp acționează un sistem

de forțe și constracircngeri corpul tinde să ocupe starea de energie potențială minimă)

- metoda lucrului mecanic virtual

- metoda reziduurilor ponderate (metoda Galerkin)- metode spectrale

Ultimele două metode se utilizează și icircn rezolvarea altor probleme (problema unei curgeri plane potențiale)

Deducerea ecuației elementelor finite cu metoda lucrului mecanic virtual

Teoremă Dacă unui element finit i se imprimă o deplasare virtuală notată atunci conform principiului lucrului mecanic virtual lucrul mecanic al forțelor exterioare (aplicate structurii) este egal cu energia internă de deformație pentru orice cacircmp de deplasări virtuale admisibil

Compatibilitatea cu problema

- deplasări virtuale liniare

- deplasare unghiulară incompatibilă cu

sistemul dat

Solicitare exterioară- sarcini concentrate aplicate icircn noduri- sarcini aplicate pe suprafețe ( presiuni )- sarcini icircn volum

greutate forță centrifugă

Ecuaţia elementului finit Cazul static

Ecuaţia elementului finit se deduce icircn baza ipotezelor menţionate pentru un element finit urmărind a se construi prin asamblare ecuaţia sistemului modelat cu elemente finite

Metode de deducerea) principiul lucrului mecanic virtualb) principiul variaţional minimul energiei de deformaţieEnergia de deformaţie este dată de relaţia

Ud=12∭σεdV

Icircn continuare vom folosi principiul lucrului mecanic virtual un sistem structural supus la legături (condiţii de rezemare) aflat sub acţiunea unor sarcini exterioare se află in echilibru

dacă pentru un set de deplasări virtual arbitrare compatibile cu problema lucrul mecanic virtual al forţelor externe aplicate este egal cu lucrul mecanic virtual al forţelor interioare din structură

Se cunoaşte din Teoria Elasticităţii urmatoarea relaţie

(σx

σ y

σ z

τ xy

τ xz

τ yz

)=[ E ](ε x

ε y

ε x

γ xy

γ xz

γ yz

)Unde

[ E ]=matriceade elasticitate

σ =vectorul tensiunilor

ε =vectoruldeformaţiilor specifice

Pentru starea plană de tensiune (2D) matricea de elasticitate este dată de

[ E ]= E1minusν2 [1 ν 0

ν0

1 0

0 1minusν2 ]

ν=coeficientul decontracţie transversală Poisson ν=03minus033

Vectorul deformaţiilor specifice se poate scrie

ε =(part upart xpart vpart ypart wpart z

part upart y

+ part vpart x

part vpart z

+ part wpart y

part wpart x

+ part upart z

)=[part

part x0 0

0 partpart y

0

0part

part y0part

part z

0part

part xpart

part z0

partpart z0part

part ypart

part x

]uvw

[part

part x0 0

0 partpart y

0

0part

part y0part

part z

0part

part xpart

part z0

partpart z0part

part ypart

part x

]= [ L ]=operator diferenţial

uvw= d =vectoruldeplasărilor structurii funcţii de cacircmp

u=u(x y z)

v=v (x y z )

w=w(x y z)

Observaţii1) Ideea de bază este de a exprima funcţiile de cacircmp prin intermediul unor funcţii de

interpolare numite și funcţii de formă prin intermediul coordonatelor generalizate sau deplasărilor nodale ui vi wi

2) De regulă numărul funcţiilor de formă este egal cu numărul nodurilor ce definesc elementul finit pentru o aproximare de ordin superior elementul poate fi definit cu ajutorul unor noduri auxiliare

nod auxiliar

Putem scrie

De exemplu pentru (element patrulater) ndash Proplema 2D

Putem scrie compact matricial

Pentru exemplul anterior

Forțele care acționează asupra structurilor vor fi evaluate icircn lungul deformațiilor virtualeX rarr forțe volumice (bdquode volumrdquo)P rarr forțe de presiune (bdquode suprafațărdquo)Fc rarr forțe concentrate rarrconcentrate aplicate icircn noduri

Lucrul mecanic al forțelor exterioare presupune studierea celor 3 tipuri de forțe

Daca avem 2 matrici

se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale in structură

se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale nodale

Acolo unde nu avem forțe concentrate icircn dreptul se va pune valoarea 0

Deoarece nu depinde de x și y iese de sub integrală așadar obținem

Forțe volumicerarr greutateararr forța centrifugă

Forțe de presiunerarr presiuni pe forțele corpului studiatForțe concentrate dinrarr buloane

rarr nituri rarr cuie etc

rarr cacircmpul virtual al deformațiilor specifice produs de deplasările virtuale nodale

matricea de elasticitate sau matricea modulelor( icircn cazul materialelor compozite)rarr este o matrice simetrică fața de diagonala principală

Icircn consecință din egalitatea celor doua obținem

adică ( I )

Consideracircnd că este un set de deplasări arbitrare compatibile cu structura pentru ca relația ( I ) să fie icircndeplinită trebuie să avem egalitatea

pentru fiecare element finit

Matricea de rigiditate conține următoarele informații

- derivatele funcției de formă ce descriu deformația interioară

- proprietățile elastice ale structurii (constantele inginerești E G sau rigidității EI Gid EA)

EI - rigiditate la icircncovoiere Gid ndash rigiditate la torsiune EA ndash rigiditate la icircntindere compresiune

Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale se obține ecuația elementelor finite la nivelul icircntregii structuri (față de un sistem de referință global) adică

Observații

1) Asamblarea a fost intuită ca proces matematic prin scrierea ecuațiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zăbrele)

2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetrică care icircn lipsa rezemărilor (restricțiilor de deplasare) este o matrice singulară

3) Este important a nu se uita impunerea unor condiții de rezemare compatibile cu structura astfel icircncacirct structura să nu fie mecanism sau corp liber icircn spațiu Impunacircnd aceste condiții matricea devine nesingulară și permite rezolvarea sistemului compatibil determinat

liniar

4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice Gauss-Seidel descompunerea [L]

Determinarea matricii de rigiditate pentru

solicitari de icircncovoiere (icircn plan)

Modelul geometric element unidimensional Numărul de noduri 2 Material E

Momentul de inerţie Bară de secţiune constantă Deformaţii

Pentru a caracteriza comportarea barei de icircncovoiere este necesară utilizarea a două grade de libertate pe nodurile şi (unghi de săgeată)[ ] ndash rad

[ ] - m Observaţii

1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local

2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)

Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui

- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri

avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3

(1)

(2)

Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor

Calculul matricei de rigiditate

Indicații

Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare

M

u u x

x

Polinoamele Hermite de gradul 3

Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual

Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy

XL

YL

V1L

V2

L21

L

XL

1 2

21

T T

M M

Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2

Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy

Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi

Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză

Echivalarea nodală a forțelor

Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite

Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual

(A)

(B)

egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale

Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune

Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată

energia potențială de deformație

part θpart x

=θ2minusθ1

l

intA

r 2dA=id [moment de inerţie polar ]

r2=radic y2+x2

Ud=12int0

l

GId(θ2minusθ1 )2

e2 dx=12

GIde (θ1

2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )

---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă

Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)

partU d

part q i=Qi ( partea staţionară )

q i=θ1θ2

θ1=Ml1

θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate

partU d

part q irarr [ K ]u

partU d

part q1=

part U d

part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId

l (θ1minusθ2 )=Mt1

partU d

part q2=

part U d

partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId

l (θ1+θ2 )=Mt2

Pentru un element de bară de torsiune

GIdl [ 1 minus1

minus1 1 ]θ1

θ2=Mt1

Mt2

[ K ] rarr pentrutorsiune liberă

Bara icircn spaţiu

Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate

Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1

Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2

Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)

minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2

iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest

[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)

Q x=EAL

Q z=EIzL3

Q y=EIyL3

QT=GId

Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local

Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)

Punctul 3isin(xOy) plan local

Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k

Avem următoarele relații de transformări

Deci icircn SR local

Aplicație

Origin=1

Date de intrare

-coordonatele pentru cele n=6 noduri

- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare

-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune

-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară

Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura

=

| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)

- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal

Bare 3D

(continuare)

- matrice de rigiditate in SR general pe element

- pentru o bara 1-2 din strcutura

Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i

este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu

Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea

definită icircn cursul precedent)

După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale

Se rezolvă [ K ] U =F

Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri

Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara

[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global

Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă

local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)

Solicitările F l adică N x1

l T y1

l T z1

l M x1

l M y1

l M z1

l

N x2

l T y2

l T z2

l M x2

l M y2

l M z2

l

Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)

Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo

Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)

Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)

rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)

Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului

Modalităţi de determinare [ K l ] pe element

rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]

Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat

Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)

Elementul triunghiular(izoparametric)

Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global

2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr

3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element

4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens

Element izoparametric

Triunghiul lui Pascal

1

Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1

Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru

este un plan icircn coordonatele

Observație

=gt

Coeficientul lui

Se observă

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

ObservațieAtunci cacircnd pentru reprezentarea geometriei elementului respectiv icircn repezentarea cacircmpului variabilei necunoscute se utilizează aceeași funcție de formă se spune că elementul este izoparametru

Matematic funcțiile de formă vor fi construite folosindu-se baza polinomială (funcțiile de formă vor fi polinoame)

Suma funcțiilor de formă este unu Acestea vor da ponderile cu care fiecare valoare din nod intervine icircn valoarea necunoscutei(deplasării) dintr-un punct aparținacircnd elementului

Funcțiile de formă iau valori maxime icircn nodul asociatCacircnd se realizează aproximarea geometriei și respectiv a cacircmpului variabilelor

condiția necesară dar nu suficientă este asigurarea continuității de clasă

Observație Matricea de rigiditate conține derivatele funcțiilor de formă

4Transformarea (scriere valabilă pentru elementele din sistemul de referință global) presupune utilizarea unei matrice de transformare sau de rotație

Versorii sistemului local vor fi

Iar scrierea lor sub formă matricială va fi

Deplasările și icircn sistemul local pentru punctele 1 și 2 considerate vor fi

Similar se va proceda și pentru forțe (vezi discuțiile de la bara articulată)

Se consideră matrice ortogonală

Relația mai poate fi scrisă și sub următoarea formă

icircnmulțim la dreapta cu și va rezulta

-reprezintă matricea de rigidități icircn sistemul global

- reprezintă matricea forțelor interioare și cele exterioare (efect cumulat) sau aplicate icircn noduri

5 Rezultă -pe element

6 Asamblarea matricilor de rigiditate icircn matricea de rigiditate a structurii (exercițiu de asamblare de a bare articulate)

Matematic se pleacă cu o matrice structurală plină de zerouri și aceasta este umplută cu matricile de rigiditate pentru fiecare element Această procedură se numește asamblare și fiecare linie a matricii de rigiditate globale conține modul icircn care informația din nodurile vecine necunoscute modului curent contribuie la valoarea funcției cunoscute (deplasărilor necunoscute) din acest nod

Elemente 1-7 - 2-7 - 7-3 -

(pentru icircntreaga structură)

Observatie Forțele interioare din noduri au suma zero

Atenție asupra modului de parcurgere a noduri trebuie să fie aceeași regulă de parcurgere a nodurilor pentru toate elementele

Vectorul va conține doar forțe exterioare aplicate icircn noduri după direcțiile sistemului de rigiditate global

7 matrice simetrică (cu elemente pozitive pe diagonala principală)

Introducerea condițiilor la limită (CL) sau icircn cazul structurilor a condițiilor de rezemare

Observație Condițiile de rezemare trebuie să fie corect puse astfel icircncacirct sistemul să nu fie mecanism

Modalități de impunere a CL

1 Scoaterea liniilor și coloanelor corespunzătoare deplasărilor blocate și rezolvarea sistemului

2 Linia sistemului corespunzătoare deplasării blocate se face zero și se pune icircn poziția deplasării blocate

8Rezolvarea sistemului liniar compatibil determinat

campul deplasărilor nodale U ale structurii U- cu deplasările modale se post procesează rezultatele și obţinem

- structură deformată

- tensiuni icircn bare

Observaţie Deplasările nodale se numesc grade libertate Pentru un sistem de bare articulate obţinem 2 grade de libertate

Ecuaţiile elementului finit

Cazul Static

Sistem de bare articulate ndash metoda echilibrului forţelor duce la formularea problemei strcturale icircn deplasări

Deci sistematizacircnd problema ldquoMEFrdquo poate fi algoritmizată urmacircnd schema de principiu de mai jos1Sistemul fizic supus analizei2Modul matematic alcătuit de regulă din Ecuaţii diferenţiale sau integrale

3Model discret Ne referim la faptul că vom calcula valori

4Soluţia discretă specifie in noduri5Interpretarea rezultatelor

Paşii sunt intercorelaţi de exempluIcircntre modelul discret si soluţia discretă există eroarea de calcul datorată ordinului de

precizie mic al ecuaţiilor repective folositeetcIcircntre modelul matematic și soluţia discretă există modelarediscretizare și eroare de

calculIcircntre sistemul fizic și soluţia discretă există eroare conceptuală

Din punct de vedere tehnic există 4 etape si anume1Idealizare2Discretizare3Soluţionarea4Postprocesare

APentru a soluţiona parte de pre procesare presupunem un program MEF (generică) Geometrie Keypoints - Linii - Suprafeţe Linii (Lines) - Suprafeţe - Volume Volume(Volumes)

Definire Material - tip material - izotrop - anizotrop - ortotop etc - setări constante inginereşti (module de elasticitate şi constante de contracţie ale lui Poisson) - proprietati fizice(densitatea materialului de dilatare termică)

Definire elemente finite - geometria problemei - problema fizică studiată - icircn situaţia folosirii mai multor tipuri de elemente dar trebuie să fie compatibilă icircntre ele la nivelul interfeţeiSe acceptă

Nu se acceptă

Definire

o displacements ( blocaje rezemări )o viteze acceleraţii ( structuri masive ndash acceleraţii gravitaţionale )o LOADS ( icircncărcări )

Icircn cazul discretizării normale se obişnuieşte utilizarea mai multor tipuri de elemente care trebuie să fie compatibile icircntre ele la nivelul interfeţii

Blocaje

B

1 - rezem

2 - articulaţie

3 - icircncastrări

4 Blocaje particulare

Reamintim Blocajele şi solicitarile se aplică icircn nodurile MEF (noduri reale) icircn noduri se definesc gradele de libertate sau coordonatele generalizate ale problemei La structură gradele de libertate sunt deplasările nodale (uvw) ndash icircn cazul corpului 3D (uv) ndash stare plană de tensiuni membrană (v φ) ndash deplasare unghiulară respectiv liniară pentru bară de icircncovoiere şi (u v w θ φy φz) ndash pentru bare solicitate 3D

Sarcinile şi icircncastrările reprezintă solicitări externe aplicate structurii Acestea se aplică de regulă direct icircn nodurile modelului MEF

ANSYS

BSoluţionarea sau rezolvarea problemeiProbleme de statică ndash Problemele se rezolvă automat cu un model de setări dacă este

cazul- matricea asamblarii [K]- reyolvare sistem liniar [K] u = F ndash asociat problemei structurale- rezultă cacircmpul deplasărilor nodale

Probleme de tip - vibraţii- dinamică- impact- cuplate (probleme interacţiune)

o structură ndash cacircmp termo fluid ndash structură

Se definesc parametrii de rezolvare pentru- soluţia de integrare icircn timp (timp pas de timp param relaxare)- pentru domeniul de frecvenţe de interes (vibraţii) (dom frecv de interes modul de

deformare şi distingere elemente param de flambaj de icircncărcare succesivă)

-Fenomen de moarte a elementelor

C Postprocesarea ndash Etapă necuantificabilă deoarece ţine de pregatirea şi cunoştinţele utilizatorului

Cacircmpul deformaţiilor se utilizează pentru vizualizări- deformaţie structurală- cacircmpuri izotensiuni- tensiuni echivalente (von Mises)- criterii de rezistenţă margini de siguranţă

Ipotezele calculului structural static folosind MEF

Ipoteze

- date de comportarea materialului- date de comportarea structurii

A1 Materialul este considerat un mediu continuu omogen și izotrop2 Proprietățile materialului sunt invariante icircn timp3 Materialul are o comportare liniar-elastică și satisface legea lui Hooke

B1 Relația forță-deplasare este liniară

2 Deformațiile structurii sunt mici icircn comparație cu dimensiunile structurii3 Relațiile dintr deformațiile specifice și deplasări sunt relații diferențiale liniare4 Relațiile dintre tensiuni și deformațiile specific sunt liniare și sunt date de legea lui

Hooke generalizată5 Structura este un sistem conservativ icircn lipsa amortizărilor structurale6 Se admite principiul suprapunerii efectelor (nu contează ordinea de aplicare a

solicitărilor)7 Rigiditatea și flexibilitatea structurii depind de caracteristicile structurii și natura

materialului (geometria structurală)8 Icircn condițiile anterior enunțate se mai pot admite și alte ipoteze cum ar fi

- ipoteza secțiunilor plane sau Bernoulli icircn cazul barelor- ipoteza Kirchoff-Love icircn cazul plăcilor plane și curbe subțiri

Deducerea ecuației elementelor finite pentru cazul static

Metode de lucru

1 Metode energetice- metoda energiei potențiale minime (dacă asupra unui corp acționează un sistem

de forțe și constracircngeri corpul tinde să ocupe starea de energie potențială minimă)

- metoda lucrului mecanic virtual

- metoda reziduurilor ponderate (metoda Galerkin)- metode spectrale

Ultimele două metode se utilizează și icircn rezolvarea altor probleme (problema unei curgeri plane potențiale)

Deducerea ecuației elementelor finite cu metoda lucrului mecanic virtual

Teoremă Dacă unui element finit i se imprimă o deplasare virtuală notată atunci conform principiului lucrului mecanic virtual lucrul mecanic al forțelor exterioare (aplicate structurii) este egal cu energia internă de deformație pentru orice cacircmp de deplasări virtuale admisibil

Compatibilitatea cu problema

- deplasări virtuale liniare

- deplasare unghiulară incompatibilă cu

sistemul dat

Solicitare exterioară- sarcini concentrate aplicate icircn noduri- sarcini aplicate pe suprafețe ( presiuni )- sarcini icircn volum

greutate forță centrifugă

Ecuaţia elementului finit Cazul static

Ecuaţia elementului finit se deduce icircn baza ipotezelor menţionate pentru un element finit urmărind a se construi prin asamblare ecuaţia sistemului modelat cu elemente finite

Metode de deducerea) principiul lucrului mecanic virtualb) principiul variaţional minimul energiei de deformaţieEnergia de deformaţie este dată de relaţia

Ud=12∭σεdV

Icircn continuare vom folosi principiul lucrului mecanic virtual un sistem structural supus la legături (condiţii de rezemare) aflat sub acţiunea unor sarcini exterioare se află in echilibru

dacă pentru un set de deplasări virtual arbitrare compatibile cu problema lucrul mecanic virtual al forţelor externe aplicate este egal cu lucrul mecanic virtual al forţelor interioare din structură

Se cunoaşte din Teoria Elasticităţii urmatoarea relaţie

(σx

σ y

σ z

τ xy

τ xz

τ yz

)=[ E ](ε x

ε y

ε x

γ xy

γ xz

γ yz

)Unde

[ E ]=matriceade elasticitate

σ =vectorul tensiunilor

ε =vectoruldeformaţiilor specifice

Pentru starea plană de tensiune (2D) matricea de elasticitate este dată de

[ E ]= E1minusν2 [1 ν 0

ν0

1 0

0 1minusν2 ]

ν=coeficientul decontracţie transversală Poisson ν=03minus033

Vectorul deformaţiilor specifice se poate scrie

ε =(part upart xpart vpart ypart wpart z

part upart y

+ part vpart x

part vpart z

+ part wpart y

part wpart x

+ part upart z

)=[part

part x0 0

0 partpart y

0

0part

part y0part

part z

0part

part xpart

part z0

partpart z0part

part ypart

part x

]uvw

[part

part x0 0

0 partpart y

0

0part

part y0part

part z

0part

part xpart

part z0

partpart z0part

part ypart

part x

]= [ L ]=operator diferenţial

uvw= d =vectoruldeplasărilor structurii funcţii de cacircmp

u=u(x y z)

v=v (x y z )

w=w(x y z)

Observaţii1) Ideea de bază este de a exprima funcţiile de cacircmp prin intermediul unor funcţii de

interpolare numite și funcţii de formă prin intermediul coordonatelor generalizate sau deplasărilor nodale ui vi wi

2) De regulă numărul funcţiilor de formă este egal cu numărul nodurilor ce definesc elementul finit pentru o aproximare de ordin superior elementul poate fi definit cu ajutorul unor noduri auxiliare

nod auxiliar

Putem scrie

De exemplu pentru (element patrulater) ndash Proplema 2D

Putem scrie compact matricial

Pentru exemplul anterior

Forțele care acționează asupra structurilor vor fi evaluate icircn lungul deformațiilor virtualeX rarr forțe volumice (bdquode volumrdquo)P rarr forțe de presiune (bdquode suprafațărdquo)Fc rarr forțe concentrate rarrconcentrate aplicate icircn noduri

Lucrul mecanic al forțelor exterioare presupune studierea celor 3 tipuri de forțe

Daca avem 2 matrici

se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale in structură

se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale nodale

Acolo unde nu avem forțe concentrate icircn dreptul se va pune valoarea 0

Deoarece nu depinde de x și y iese de sub integrală așadar obținem

Forțe volumicerarr greutateararr forța centrifugă

Forțe de presiunerarr presiuni pe forțele corpului studiatForțe concentrate dinrarr buloane

rarr nituri rarr cuie etc

rarr cacircmpul virtual al deformațiilor specifice produs de deplasările virtuale nodale

matricea de elasticitate sau matricea modulelor( icircn cazul materialelor compozite)rarr este o matrice simetrică fața de diagonala principală

Icircn consecință din egalitatea celor doua obținem

adică ( I )

Consideracircnd că este un set de deplasări arbitrare compatibile cu structura pentru ca relația ( I ) să fie icircndeplinită trebuie să avem egalitatea

pentru fiecare element finit

Matricea de rigiditate conține următoarele informații

- derivatele funcției de formă ce descriu deformația interioară

- proprietățile elastice ale structurii (constantele inginerești E G sau rigidității EI Gid EA)

EI - rigiditate la icircncovoiere Gid ndash rigiditate la torsiune EA ndash rigiditate la icircntindere compresiune

Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale se obține ecuația elementelor finite la nivelul icircntregii structuri (față de un sistem de referință global) adică

Observații

1) Asamblarea a fost intuită ca proces matematic prin scrierea ecuațiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zăbrele)

2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetrică care icircn lipsa rezemărilor (restricțiilor de deplasare) este o matrice singulară

3) Este important a nu se uita impunerea unor condiții de rezemare compatibile cu structura astfel icircncacirct structura să nu fie mecanism sau corp liber icircn spațiu Impunacircnd aceste condiții matricea devine nesingulară și permite rezolvarea sistemului compatibil determinat

liniar

4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice Gauss-Seidel descompunerea [L]

Determinarea matricii de rigiditate pentru

solicitari de icircncovoiere (icircn plan)

Modelul geometric element unidimensional Numărul de noduri 2 Material E

Momentul de inerţie Bară de secţiune constantă Deformaţii

Pentru a caracteriza comportarea barei de icircncovoiere este necesară utilizarea a două grade de libertate pe nodurile şi (unghi de săgeată)[ ] ndash rad

[ ] - m Observaţii

1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local

2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)

Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui

- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri

avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3

(1)

(2)

Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor

Calculul matricei de rigiditate

Indicații

Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare

M

u u x

x

Polinoamele Hermite de gradul 3

Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual

Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy

XL

YL

V1L

V2

L21

L

XL

1 2

21

T T

M M

Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2

Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy

Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi

Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză

Echivalarea nodală a forțelor

Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite

Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual

(A)

(B)

egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale

Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune

Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată

energia potențială de deformație

part θpart x

=θ2minusθ1

l

intA

r 2dA=id [moment de inerţie polar ]

r2=radic y2+x2

Ud=12int0

l

GId(θ2minusθ1 )2

e2 dx=12

GIde (θ1

2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )

---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă

Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)

partU d

part q i=Qi ( partea staţionară )

q i=θ1θ2

θ1=Ml1

θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate

partU d

part q irarr [ K ]u

partU d

part q1=

part U d

part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId

l (θ1minusθ2 )=Mt1

partU d

part q2=

part U d

partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId

l (θ1+θ2 )=Mt2

Pentru un element de bară de torsiune

GIdl [ 1 minus1

minus1 1 ]θ1

θ2=Mt1

Mt2

[ K ] rarr pentrutorsiune liberă

Bara icircn spaţiu

Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate

Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1

Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2

Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)

minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2

iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest

[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)

Q x=EAL

Q z=EIzL3

Q y=EIyL3

QT=GId

Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local

Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)

Punctul 3isin(xOy) plan local

Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k

Avem următoarele relații de transformări

Deci icircn SR local

Aplicație

Origin=1

Date de intrare

-coordonatele pentru cele n=6 noduri

- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare

-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune

-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară

Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura

=

| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)

- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal

Bare 3D

(continuare)

- matrice de rigiditate in SR general pe element

- pentru o bara 1-2 din strcutura

Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i

este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu

Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea

definită icircn cursul precedent)

După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale

Se rezolvă [ K ] U =F

Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri

Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara

[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global

Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă

local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)

Solicitările F l adică N x1

l T y1

l T z1

l M x1

l M y1

l M z1

l

N x2

l T y2

l T z2

l M x2

l M y2

l M z2

l

Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)

Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo

Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)

Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)

rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)

Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului

Modalităţi de determinare [ K l ] pe element

rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]

Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat

Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)

Elementul triunghiular(izoparametric)

Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global

2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr

3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element

4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens

Element izoparametric

Triunghiul lui Pascal

1

Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1

Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru

este un plan icircn coordonatele

Observație

=gt

Coeficientul lui

Se observă

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

Versorii sistemului local vor fi

Iar scrierea lor sub formă matricială va fi

Deplasările și icircn sistemul local pentru punctele 1 și 2 considerate vor fi

Similar se va proceda și pentru forțe (vezi discuțiile de la bara articulată)

Se consideră matrice ortogonală

Relația mai poate fi scrisă și sub următoarea formă

icircnmulțim la dreapta cu și va rezulta

-reprezintă matricea de rigidități icircn sistemul global

- reprezintă matricea forțelor interioare și cele exterioare (efect cumulat) sau aplicate icircn noduri

5 Rezultă -pe element

6 Asamblarea matricilor de rigiditate icircn matricea de rigiditate a structurii (exercițiu de asamblare de a bare articulate)

Matematic se pleacă cu o matrice structurală plină de zerouri și aceasta este umplută cu matricile de rigiditate pentru fiecare element Această procedură se numește asamblare și fiecare linie a matricii de rigiditate globale conține modul icircn care informația din nodurile vecine necunoscute modului curent contribuie la valoarea funcției cunoscute (deplasărilor necunoscute) din acest nod

Elemente 1-7 - 2-7 - 7-3 -

(pentru icircntreaga structură)

Observatie Forțele interioare din noduri au suma zero

Atenție asupra modului de parcurgere a noduri trebuie să fie aceeași regulă de parcurgere a nodurilor pentru toate elementele

Vectorul va conține doar forțe exterioare aplicate icircn noduri după direcțiile sistemului de rigiditate global

7 matrice simetrică (cu elemente pozitive pe diagonala principală)

Introducerea condițiilor la limită (CL) sau icircn cazul structurilor a condițiilor de rezemare

Observație Condițiile de rezemare trebuie să fie corect puse astfel icircncacirct sistemul să nu fie mecanism

Modalități de impunere a CL

1 Scoaterea liniilor și coloanelor corespunzătoare deplasărilor blocate și rezolvarea sistemului

2 Linia sistemului corespunzătoare deplasării blocate se face zero și se pune icircn poziția deplasării blocate

8Rezolvarea sistemului liniar compatibil determinat

campul deplasărilor nodale U ale structurii U- cu deplasările modale se post procesează rezultatele și obţinem

- structură deformată

- tensiuni icircn bare

Observaţie Deplasările nodale se numesc grade libertate Pentru un sistem de bare articulate obţinem 2 grade de libertate

Ecuaţiile elementului finit

Cazul Static

Sistem de bare articulate ndash metoda echilibrului forţelor duce la formularea problemei strcturale icircn deplasări

Deci sistematizacircnd problema ldquoMEFrdquo poate fi algoritmizată urmacircnd schema de principiu de mai jos1Sistemul fizic supus analizei2Modul matematic alcătuit de regulă din Ecuaţii diferenţiale sau integrale

3Model discret Ne referim la faptul că vom calcula valori

4Soluţia discretă specifie in noduri5Interpretarea rezultatelor

Paşii sunt intercorelaţi de exempluIcircntre modelul discret si soluţia discretă există eroarea de calcul datorată ordinului de

precizie mic al ecuaţiilor repective folositeetcIcircntre modelul matematic și soluţia discretă există modelarediscretizare și eroare de

calculIcircntre sistemul fizic și soluţia discretă există eroare conceptuală

Din punct de vedere tehnic există 4 etape si anume1Idealizare2Discretizare3Soluţionarea4Postprocesare

APentru a soluţiona parte de pre procesare presupunem un program MEF (generică) Geometrie Keypoints - Linii - Suprafeţe Linii (Lines) - Suprafeţe - Volume Volume(Volumes)

Definire Material - tip material - izotrop - anizotrop - ortotop etc - setări constante inginereşti (module de elasticitate şi constante de contracţie ale lui Poisson) - proprietati fizice(densitatea materialului de dilatare termică)

Definire elemente finite - geometria problemei - problema fizică studiată - icircn situaţia folosirii mai multor tipuri de elemente dar trebuie să fie compatibilă icircntre ele la nivelul interfeţeiSe acceptă

Nu se acceptă

Definire

o displacements ( blocaje rezemări )o viteze acceleraţii ( structuri masive ndash acceleraţii gravitaţionale )o LOADS ( icircncărcări )

Icircn cazul discretizării normale se obişnuieşte utilizarea mai multor tipuri de elemente care trebuie să fie compatibile icircntre ele la nivelul interfeţii

Blocaje

B

1 - rezem

2 - articulaţie

3 - icircncastrări

4 Blocaje particulare

Reamintim Blocajele şi solicitarile se aplică icircn nodurile MEF (noduri reale) icircn noduri se definesc gradele de libertate sau coordonatele generalizate ale problemei La structură gradele de libertate sunt deplasările nodale (uvw) ndash icircn cazul corpului 3D (uv) ndash stare plană de tensiuni membrană (v φ) ndash deplasare unghiulară respectiv liniară pentru bară de icircncovoiere şi (u v w θ φy φz) ndash pentru bare solicitate 3D

Sarcinile şi icircncastrările reprezintă solicitări externe aplicate structurii Acestea se aplică de regulă direct icircn nodurile modelului MEF

ANSYS

BSoluţionarea sau rezolvarea problemeiProbleme de statică ndash Problemele se rezolvă automat cu un model de setări dacă este

cazul- matricea asamblarii [K]- reyolvare sistem liniar [K] u = F ndash asociat problemei structurale- rezultă cacircmpul deplasărilor nodale

Probleme de tip - vibraţii- dinamică- impact- cuplate (probleme interacţiune)

o structură ndash cacircmp termo fluid ndash structură

Se definesc parametrii de rezolvare pentru- soluţia de integrare icircn timp (timp pas de timp param relaxare)- pentru domeniul de frecvenţe de interes (vibraţii) (dom frecv de interes modul de

deformare şi distingere elemente param de flambaj de icircncărcare succesivă)

-Fenomen de moarte a elementelor

C Postprocesarea ndash Etapă necuantificabilă deoarece ţine de pregatirea şi cunoştinţele utilizatorului

Cacircmpul deformaţiilor se utilizează pentru vizualizări- deformaţie structurală- cacircmpuri izotensiuni- tensiuni echivalente (von Mises)- criterii de rezistenţă margini de siguranţă

Ipotezele calculului structural static folosind MEF

Ipoteze

- date de comportarea materialului- date de comportarea structurii

A1 Materialul este considerat un mediu continuu omogen și izotrop2 Proprietățile materialului sunt invariante icircn timp3 Materialul are o comportare liniar-elastică și satisface legea lui Hooke

B1 Relația forță-deplasare este liniară

2 Deformațiile structurii sunt mici icircn comparație cu dimensiunile structurii3 Relațiile dintr deformațiile specifice și deplasări sunt relații diferențiale liniare4 Relațiile dintre tensiuni și deformațiile specific sunt liniare și sunt date de legea lui

Hooke generalizată5 Structura este un sistem conservativ icircn lipsa amortizărilor structurale6 Se admite principiul suprapunerii efectelor (nu contează ordinea de aplicare a

solicitărilor)7 Rigiditatea și flexibilitatea structurii depind de caracteristicile structurii și natura

materialului (geometria structurală)8 Icircn condițiile anterior enunțate se mai pot admite și alte ipoteze cum ar fi

- ipoteza secțiunilor plane sau Bernoulli icircn cazul barelor- ipoteza Kirchoff-Love icircn cazul plăcilor plane și curbe subțiri

Deducerea ecuației elementelor finite pentru cazul static

Metode de lucru

1 Metode energetice- metoda energiei potențiale minime (dacă asupra unui corp acționează un sistem

de forțe și constracircngeri corpul tinde să ocupe starea de energie potențială minimă)

- metoda lucrului mecanic virtual

- metoda reziduurilor ponderate (metoda Galerkin)- metode spectrale

Ultimele două metode se utilizează și icircn rezolvarea altor probleme (problema unei curgeri plane potențiale)

Deducerea ecuației elementelor finite cu metoda lucrului mecanic virtual

Teoremă Dacă unui element finit i se imprimă o deplasare virtuală notată atunci conform principiului lucrului mecanic virtual lucrul mecanic al forțelor exterioare (aplicate structurii) este egal cu energia internă de deformație pentru orice cacircmp de deplasări virtuale admisibil

Compatibilitatea cu problema

- deplasări virtuale liniare

- deplasare unghiulară incompatibilă cu

sistemul dat

Solicitare exterioară- sarcini concentrate aplicate icircn noduri- sarcini aplicate pe suprafețe ( presiuni )- sarcini icircn volum

greutate forță centrifugă

Ecuaţia elementului finit Cazul static

Ecuaţia elementului finit se deduce icircn baza ipotezelor menţionate pentru un element finit urmărind a se construi prin asamblare ecuaţia sistemului modelat cu elemente finite

Metode de deducerea) principiul lucrului mecanic virtualb) principiul variaţional minimul energiei de deformaţieEnergia de deformaţie este dată de relaţia

Ud=12∭σεdV

Icircn continuare vom folosi principiul lucrului mecanic virtual un sistem structural supus la legături (condiţii de rezemare) aflat sub acţiunea unor sarcini exterioare se află in echilibru

dacă pentru un set de deplasări virtual arbitrare compatibile cu problema lucrul mecanic virtual al forţelor externe aplicate este egal cu lucrul mecanic virtual al forţelor interioare din structură

Se cunoaşte din Teoria Elasticităţii urmatoarea relaţie

(σx

σ y

σ z

τ xy

τ xz

τ yz

)=[ E ](ε x

ε y

ε x

γ xy

γ xz

γ yz

)Unde

[ E ]=matriceade elasticitate

σ =vectorul tensiunilor

ε =vectoruldeformaţiilor specifice

Pentru starea plană de tensiune (2D) matricea de elasticitate este dată de

[ E ]= E1minusν2 [1 ν 0

ν0

1 0

0 1minusν2 ]

ν=coeficientul decontracţie transversală Poisson ν=03minus033

Vectorul deformaţiilor specifice se poate scrie

ε =(part upart xpart vpart ypart wpart z

part upart y

+ part vpart x

part vpart z

+ part wpart y

part wpart x

+ part upart z

)=[part

part x0 0

0 partpart y

0

0part

part y0part

part z

0part

part xpart

part z0

partpart z0part

part ypart

part x

]uvw

[part

part x0 0

0 partpart y

0

0part

part y0part

part z

0part

part xpart

part z0

partpart z0part

part ypart

part x

]= [ L ]=operator diferenţial

uvw= d =vectoruldeplasărilor structurii funcţii de cacircmp

u=u(x y z)

v=v (x y z )

w=w(x y z)

Observaţii1) Ideea de bază este de a exprima funcţiile de cacircmp prin intermediul unor funcţii de

interpolare numite și funcţii de formă prin intermediul coordonatelor generalizate sau deplasărilor nodale ui vi wi

2) De regulă numărul funcţiilor de formă este egal cu numărul nodurilor ce definesc elementul finit pentru o aproximare de ordin superior elementul poate fi definit cu ajutorul unor noduri auxiliare

nod auxiliar

Putem scrie

De exemplu pentru (element patrulater) ndash Proplema 2D

Putem scrie compact matricial

Pentru exemplul anterior

Forțele care acționează asupra structurilor vor fi evaluate icircn lungul deformațiilor virtualeX rarr forțe volumice (bdquode volumrdquo)P rarr forțe de presiune (bdquode suprafațărdquo)Fc rarr forțe concentrate rarrconcentrate aplicate icircn noduri

Lucrul mecanic al forțelor exterioare presupune studierea celor 3 tipuri de forțe

Daca avem 2 matrici

se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale in structură

se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale nodale

Acolo unde nu avem forțe concentrate icircn dreptul se va pune valoarea 0

Deoarece nu depinde de x și y iese de sub integrală așadar obținem

Forțe volumicerarr greutateararr forța centrifugă

Forțe de presiunerarr presiuni pe forțele corpului studiatForțe concentrate dinrarr buloane

rarr nituri rarr cuie etc

rarr cacircmpul virtual al deformațiilor specifice produs de deplasările virtuale nodale

matricea de elasticitate sau matricea modulelor( icircn cazul materialelor compozite)rarr este o matrice simetrică fața de diagonala principală

Icircn consecință din egalitatea celor doua obținem

adică ( I )

Consideracircnd că este un set de deplasări arbitrare compatibile cu structura pentru ca relația ( I ) să fie icircndeplinită trebuie să avem egalitatea

pentru fiecare element finit

Matricea de rigiditate conține următoarele informații

- derivatele funcției de formă ce descriu deformația interioară

- proprietățile elastice ale structurii (constantele inginerești E G sau rigidității EI Gid EA)

EI - rigiditate la icircncovoiere Gid ndash rigiditate la torsiune EA ndash rigiditate la icircntindere compresiune

Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale se obține ecuația elementelor finite la nivelul icircntregii structuri (față de un sistem de referință global) adică

Observații

1) Asamblarea a fost intuită ca proces matematic prin scrierea ecuațiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zăbrele)

2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetrică care icircn lipsa rezemărilor (restricțiilor de deplasare) este o matrice singulară

3) Este important a nu se uita impunerea unor condiții de rezemare compatibile cu structura astfel icircncacirct structura să nu fie mecanism sau corp liber icircn spațiu Impunacircnd aceste condiții matricea devine nesingulară și permite rezolvarea sistemului compatibil determinat

liniar

4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice Gauss-Seidel descompunerea [L]

Determinarea matricii de rigiditate pentru

solicitari de icircncovoiere (icircn plan)

Modelul geometric element unidimensional Numărul de noduri 2 Material E

Momentul de inerţie Bară de secţiune constantă Deformaţii

Pentru a caracteriza comportarea barei de icircncovoiere este necesară utilizarea a două grade de libertate pe nodurile şi (unghi de săgeată)[ ] ndash rad

[ ] - m Observaţii

1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local

2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)

Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui

- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri

avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3

(1)

(2)

Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor

Calculul matricei de rigiditate

Indicații

Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare

M

u u x

x

Polinoamele Hermite de gradul 3

Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual

Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy

XL

YL

V1L

V2

L21

L

XL

1 2

21

T T

M M

Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2

Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy

Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi

Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză

Echivalarea nodală a forțelor

Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite

Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual

(A)

(B)

egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale

Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune

Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată

energia potențială de deformație

part θpart x

=θ2minusθ1

l

intA

r 2dA=id [moment de inerţie polar ]

r2=radic y2+x2

Ud=12int0

l

GId(θ2minusθ1 )2

e2 dx=12

GIde (θ1

2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )

---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă

Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)

partU d

part q i=Qi ( partea staţionară )

q i=θ1θ2

θ1=Ml1

θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate

partU d

part q irarr [ K ]u

partU d

part q1=

part U d

part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId

l (θ1minusθ2 )=Mt1

partU d

part q2=

part U d

partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId

l (θ1+θ2 )=Mt2

Pentru un element de bară de torsiune

GIdl [ 1 minus1

minus1 1 ]θ1

θ2=Mt1

Mt2

[ K ] rarr pentrutorsiune liberă

Bara icircn spaţiu

Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate

Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1

Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2

Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)

minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2

iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest

[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)

Q x=EAL

Q z=EIzL3

Q y=EIyL3

QT=GId

Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local

Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)

Punctul 3isin(xOy) plan local

Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k

Avem următoarele relații de transformări

Deci icircn SR local

Aplicație

Origin=1

Date de intrare

-coordonatele pentru cele n=6 noduri

- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare

-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune

-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară

Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura

=

| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)

- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal

Bare 3D

(continuare)

- matrice de rigiditate in SR general pe element

- pentru o bara 1-2 din strcutura

Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i

este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu

Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea

definită icircn cursul precedent)

După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale

Se rezolvă [ K ] U =F

Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri

Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara

[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global

Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă

local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)

Solicitările F l adică N x1

l T y1

l T z1

l M x1

l M y1

l M z1

l

N x2

l T y2

l T z2

l M x2

l M y2

l M z2

l

Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)

Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo

Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)

Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)

rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)

Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului

Modalităţi de determinare [ K l ] pe element

rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]

Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat

Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)

Elementul triunghiular(izoparametric)

Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global

2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr

3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element

4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens

Element izoparametric

Triunghiul lui Pascal

1

Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1

Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru

este un plan icircn coordonatele

Observație

=gt

Coeficientul lui

Se observă

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

- reprezintă matricea forțelor interioare și cele exterioare (efect cumulat) sau aplicate icircn noduri

5 Rezultă -pe element

6 Asamblarea matricilor de rigiditate icircn matricea de rigiditate a structurii (exercițiu de asamblare de a bare articulate)

Matematic se pleacă cu o matrice structurală plină de zerouri și aceasta este umplută cu matricile de rigiditate pentru fiecare element Această procedură se numește asamblare și fiecare linie a matricii de rigiditate globale conține modul icircn care informația din nodurile vecine necunoscute modului curent contribuie la valoarea funcției cunoscute (deplasărilor necunoscute) din acest nod

Elemente 1-7 - 2-7 - 7-3 -

(pentru icircntreaga structură)

Observatie Forțele interioare din noduri au suma zero

Atenție asupra modului de parcurgere a noduri trebuie să fie aceeași regulă de parcurgere a nodurilor pentru toate elementele

Vectorul va conține doar forțe exterioare aplicate icircn noduri după direcțiile sistemului de rigiditate global

7 matrice simetrică (cu elemente pozitive pe diagonala principală)

Introducerea condițiilor la limită (CL) sau icircn cazul structurilor a condițiilor de rezemare

Observație Condițiile de rezemare trebuie să fie corect puse astfel icircncacirct sistemul să nu fie mecanism

Modalități de impunere a CL

1 Scoaterea liniilor și coloanelor corespunzătoare deplasărilor blocate și rezolvarea sistemului

2 Linia sistemului corespunzătoare deplasării blocate se face zero și se pune icircn poziția deplasării blocate

8Rezolvarea sistemului liniar compatibil determinat

campul deplasărilor nodale U ale structurii U- cu deplasările modale se post procesează rezultatele și obţinem

- structură deformată

- tensiuni icircn bare

Observaţie Deplasările nodale se numesc grade libertate Pentru un sistem de bare articulate obţinem 2 grade de libertate

Ecuaţiile elementului finit

Cazul Static

Sistem de bare articulate ndash metoda echilibrului forţelor duce la formularea problemei strcturale icircn deplasări

Deci sistematizacircnd problema ldquoMEFrdquo poate fi algoritmizată urmacircnd schema de principiu de mai jos1Sistemul fizic supus analizei2Modul matematic alcătuit de regulă din Ecuaţii diferenţiale sau integrale

3Model discret Ne referim la faptul că vom calcula valori

4Soluţia discretă specifie in noduri5Interpretarea rezultatelor

Paşii sunt intercorelaţi de exempluIcircntre modelul discret si soluţia discretă există eroarea de calcul datorată ordinului de

precizie mic al ecuaţiilor repective folositeetcIcircntre modelul matematic și soluţia discretă există modelarediscretizare și eroare de

calculIcircntre sistemul fizic și soluţia discretă există eroare conceptuală

Din punct de vedere tehnic există 4 etape si anume1Idealizare2Discretizare3Soluţionarea4Postprocesare

APentru a soluţiona parte de pre procesare presupunem un program MEF (generică) Geometrie Keypoints - Linii - Suprafeţe Linii (Lines) - Suprafeţe - Volume Volume(Volumes)

Definire Material - tip material - izotrop - anizotrop - ortotop etc - setări constante inginereşti (module de elasticitate şi constante de contracţie ale lui Poisson) - proprietati fizice(densitatea materialului de dilatare termică)

Definire elemente finite - geometria problemei - problema fizică studiată - icircn situaţia folosirii mai multor tipuri de elemente dar trebuie să fie compatibilă icircntre ele la nivelul interfeţeiSe acceptă

Nu se acceptă

Definire

o displacements ( blocaje rezemări )o viteze acceleraţii ( structuri masive ndash acceleraţii gravitaţionale )o LOADS ( icircncărcări )

Icircn cazul discretizării normale se obişnuieşte utilizarea mai multor tipuri de elemente care trebuie să fie compatibile icircntre ele la nivelul interfeţii

Blocaje

B

1 - rezem

2 - articulaţie

3 - icircncastrări

4 Blocaje particulare

Reamintim Blocajele şi solicitarile se aplică icircn nodurile MEF (noduri reale) icircn noduri se definesc gradele de libertate sau coordonatele generalizate ale problemei La structură gradele de libertate sunt deplasările nodale (uvw) ndash icircn cazul corpului 3D (uv) ndash stare plană de tensiuni membrană (v φ) ndash deplasare unghiulară respectiv liniară pentru bară de icircncovoiere şi (u v w θ φy φz) ndash pentru bare solicitate 3D

Sarcinile şi icircncastrările reprezintă solicitări externe aplicate structurii Acestea se aplică de regulă direct icircn nodurile modelului MEF

ANSYS

BSoluţionarea sau rezolvarea problemeiProbleme de statică ndash Problemele se rezolvă automat cu un model de setări dacă este

cazul- matricea asamblarii [K]- reyolvare sistem liniar [K] u = F ndash asociat problemei structurale- rezultă cacircmpul deplasărilor nodale

Probleme de tip - vibraţii- dinamică- impact- cuplate (probleme interacţiune)

o structură ndash cacircmp termo fluid ndash structură

Se definesc parametrii de rezolvare pentru- soluţia de integrare icircn timp (timp pas de timp param relaxare)- pentru domeniul de frecvenţe de interes (vibraţii) (dom frecv de interes modul de

deformare şi distingere elemente param de flambaj de icircncărcare succesivă)

-Fenomen de moarte a elementelor

C Postprocesarea ndash Etapă necuantificabilă deoarece ţine de pregatirea şi cunoştinţele utilizatorului

Cacircmpul deformaţiilor se utilizează pentru vizualizări- deformaţie structurală- cacircmpuri izotensiuni- tensiuni echivalente (von Mises)- criterii de rezistenţă margini de siguranţă

Ipotezele calculului structural static folosind MEF

Ipoteze

- date de comportarea materialului- date de comportarea structurii

A1 Materialul este considerat un mediu continuu omogen și izotrop2 Proprietățile materialului sunt invariante icircn timp3 Materialul are o comportare liniar-elastică și satisface legea lui Hooke

B1 Relația forță-deplasare este liniară

2 Deformațiile structurii sunt mici icircn comparație cu dimensiunile structurii3 Relațiile dintr deformațiile specifice și deplasări sunt relații diferențiale liniare4 Relațiile dintre tensiuni și deformațiile specific sunt liniare și sunt date de legea lui

Hooke generalizată5 Structura este un sistem conservativ icircn lipsa amortizărilor structurale6 Se admite principiul suprapunerii efectelor (nu contează ordinea de aplicare a

solicitărilor)7 Rigiditatea și flexibilitatea structurii depind de caracteristicile structurii și natura

materialului (geometria structurală)8 Icircn condițiile anterior enunțate se mai pot admite și alte ipoteze cum ar fi

- ipoteza secțiunilor plane sau Bernoulli icircn cazul barelor- ipoteza Kirchoff-Love icircn cazul plăcilor plane și curbe subțiri

Deducerea ecuației elementelor finite pentru cazul static

Metode de lucru

1 Metode energetice- metoda energiei potențiale minime (dacă asupra unui corp acționează un sistem

de forțe și constracircngeri corpul tinde să ocupe starea de energie potențială minimă)

- metoda lucrului mecanic virtual

- metoda reziduurilor ponderate (metoda Galerkin)- metode spectrale

Ultimele două metode se utilizează și icircn rezolvarea altor probleme (problema unei curgeri plane potențiale)

Deducerea ecuației elementelor finite cu metoda lucrului mecanic virtual

Teoremă Dacă unui element finit i se imprimă o deplasare virtuală notată atunci conform principiului lucrului mecanic virtual lucrul mecanic al forțelor exterioare (aplicate structurii) este egal cu energia internă de deformație pentru orice cacircmp de deplasări virtuale admisibil

Compatibilitatea cu problema

- deplasări virtuale liniare

- deplasare unghiulară incompatibilă cu

sistemul dat

Solicitare exterioară- sarcini concentrate aplicate icircn noduri- sarcini aplicate pe suprafețe ( presiuni )- sarcini icircn volum

greutate forță centrifugă

Ecuaţia elementului finit Cazul static

Ecuaţia elementului finit se deduce icircn baza ipotezelor menţionate pentru un element finit urmărind a se construi prin asamblare ecuaţia sistemului modelat cu elemente finite

Metode de deducerea) principiul lucrului mecanic virtualb) principiul variaţional minimul energiei de deformaţieEnergia de deformaţie este dată de relaţia

Ud=12∭σεdV

Icircn continuare vom folosi principiul lucrului mecanic virtual un sistem structural supus la legături (condiţii de rezemare) aflat sub acţiunea unor sarcini exterioare se află in echilibru

dacă pentru un set de deplasări virtual arbitrare compatibile cu problema lucrul mecanic virtual al forţelor externe aplicate este egal cu lucrul mecanic virtual al forţelor interioare din structură

Se cunoaşte din Teoria Elasticităţii urmatoarea relaţie

(σx

σ y

σ z

τ xy

τ xz

τ yz

)=[ E ](ε x

ε y

ε x

γ xy

γ xz

γ yz

)Unde

[ E ]=matriceade elasticitate

σ =vectorul tensiunilor

ε =vectoruldeformaţiilor specifice

Pentru starea plană de tensiune (2D) matricea de elasticitate este dată de

[ E ]= E1minusν2 [1 ν 0

ν0

1 0

0 1minusν2 ]

ν=coeficientul decontracţie transversală Poisson ν=03minus033

Vectorul deformaţiilor specifice se poate scrie

ε =(part upart xpart vpart ypart wpart z

part upart y

+ part vpart x

part vpart z

+ part wpart y

part wpart x

+ part upart z

)=[part

part x0 0

0 partpart y

0

0part

part y0part

part z

0part

part xpart

part z0

partpart z0part

part ypart

part x

]uvw

[part

part x0 0

0 partpart y

0

0part

part y0part

part z

0part

part xpart

part z0

partpart z0part

part ypart

part x

]= [ L ]=operator diferenţial

uvw= d =vectoruldeplasărilor structurii funcţii de cacircmp

u=u(x y z)

v=v (x y z )

w=w(x y z)

Observaţii1) Ideea de bază este de a exprima funcţiile de cacircmp prin intermediul unor funcţii de

interpolare numite și funcţii de formă prin intermediul coordonatelor generalizate sau deplasărilor nodale ui vi wi

2) De regulă numărul funcţiilor de formă este egal cu numărul nodurilor ce definesc elementul finit pentru o aproximare de ordin superior elementul poate fi definit cu ajutorul unor noduri auxiliare

nod auxiliar

Putem scrie

De exemplu pentru (element patrulater) ndash Proplema 2D

Putem scrie compact matricial

Pentru exemplul anterior

Forțele care acționează asupra structurilor vor fi evaluate icircn lungul deformațiilor virtualeX rarr forțe volumice (bdquode volumrdquo)P rarr forțe de presiune (bdquode suprafațărdquo)Fc rarr forțe concentrate rarrconcentrate aplicate icircn noduri

Lucrul mecanic al forțelor exterioare presupune studierea celor 3 tipuri de forțe

Daca avem 2 matrici

se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale in structură

se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale nodale

Acolo unde nu avem forțe concentrate icircn dreptul se va pune valoarea 0

Deoarece nu depinde de x și y iese de sub integrală așadar obținem

Forțe volumicerarr greutateararr forța centrifugă

Forțe de presiunerarr presiuni pe forțele corpului studiatForțe concentrate dinrarr buloane

rarr nituri rarr cuie etc

rarr cacircmpul virtual al deformațiilor specifice produs de deplasările virtuale nodale

matricea de elasticitate sau matricea modulelor( icircn cazul materialelor compozite)rarr este o matrice simetrică fața de diagonala principală

Icircn consecință din egalitatea celor doua obținem

adică ( I )

Consideracircnd că este un set de deplasări arbitrare compatibile cu structura pentru ca relația ( I ) să fie icircndeplinită trebuie să avem egalitatea

pentru fiecare element finit

Matricea de rigiditate conține următoarele informații

- derivatele funcției de formă ce descriu deformația interioară

- proprietățile elastice ale structurii (constantele inginerești E G sau rigidității EI Gid EA)

EI - rigiditate la icircncovoiere Gid ndash rigiditate la torsiune EA ndash rigiditate la icircntindere compresiune

Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale se obține ecuația elementelor finite la nivelul icircntregii structuri (față de un sistem de referință global) adică

Observații

1) Asamblarea a fost intuită ca proces matematic prin scrierea ecuațiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zăbrele)

2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetrică care icircn lipsa rezemărilor (restricțiilor de deplasare) este o matrice singulară

3) Este important a nu se uita impunerea unor condiții de rezemare compatibile cu structura astfel icircncacirct structura să nu fie mecanism sau corp liber icircn spațiu Impunacircnd aceste condiții matricea devine nesingulară și permite rezolvarea sistemului compatibil determinat

liniar

4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice Gauss-Seidel descompunerea [L]

Determinarea matricii de rigiditate pentru

solicitari de icircncovoiere (icircn plan)

Modelul geometric element unidimensional Numărul de noduri 2 Material E

Momentul de inerţie Bară de secţiune constantă Deformaţii

Pentru a caracteriza comportarea barei de icircncovoiere este necesară utilizarea a două grade de libertate pe nodurile şi (unghi de săgeată)[ ] ndash rad

[ ] - m Observaţii

1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local

2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)

Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui

- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri

avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3

(1)

(2)

Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor

Calculul matricei de rigiditate

Indicații

Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare

M

u u x

x

Polinoamele Hermite de gradul 3

Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual

Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy

XL

YL

V1L

V2

L21

L

XL

1 2

21

T T

M M

Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2

Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy

Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi

Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză

Echivalarea nodală a forțelor

Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite

Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual

(A)

(B)

egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale

Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune

Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată

energia potențială de deformație

part θpart x

=θ2minusθ1

l

intA

r 2dA=id [moment de inerţie polar ]

r2=radic y2+x2

Ud=12int0

l

GId(θ2minusθ1 )2

e2 dx=12

GIde (θ1

2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )

---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă

Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)

partU d

part q i=Qi ( partea staţionară )

q i=θ1θ2

θ1=Ml1

θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate

partU d

part q irarr [ K ]u

partU d

part q1=

part U d

part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId

l (θ1minusθ2 )=Mt1

partU d

part q2=

part U d

partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId

l (θ1+θ2 )=Mt2

Pentru un element de bară de torsiune

GIdl [ 1 minus1

minus1 1 ]θ1

θ2=Mt1

Mt2

[ K ] rarr pentrutorsiune liberă

Bara icircn spaţiu

Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate

Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1

Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2

Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)

minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2

iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest

[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)

Q x=EAL

Q z=EIzL3

Q y=EIyL3

QT=GId

Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local

Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)

Punctul 3isin(xOy) plan local

Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k

Avem următoarele relații de transformări

Deci icircn SR local

Aplicație

Origin=1

Date de intrare

-coordonatele pentru cele n=6 noduri

- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare

-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune

-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară

Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura

=

| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)

- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal

Bare 3D

(continuare)

- matrice de rigiditate in SR general pe element

- pentru o bara 1-2 din strcutura

Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i

este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu

Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea

definită icircn cursul precedent)

După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale

Se rezolvă [ K ] U =F

Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri

Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara

[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global

Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă

local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)

Solicitările F l adică N x1

l T y1

l T z1

l M x1

l M y1

l M z1

l

N x2

l T y2

l T z2

l M x2

l M y2

l M z2

l

Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)

Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo

Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)

Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)

rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)

Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului

Modalităţi de determinare [ K l ] pe element

rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]

Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat

Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)

Elementul triunghiular(izoparametric)

Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global

2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr

3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element

4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens

Element izoparametric

Triunghiul lui Pascal

1

Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1

Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru

este un plan icircn coordonatele

Observație

=gt

Coeficientul lui

Se observă

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

Introducerea condițiilor la limită (CL) sau icircn cazul structurilor a condițiilor de rezemare

Observație Condițiile de rezemare trebuie să fie corect puse astfel icircncacirct sistemul să nu fie mecanism

Modalități de impunere a CL

1 Scoaterea liniilor și coloanelor corespunzătoare deplasărilor blocate și rezolvarea sistemului

2 Linia sistemului corespunzătoare deplasării blocate se face zero și se pune icircn poziția deplasării blocate

8Rezolvarea sistemului liniar compatibil determinat

campul deplasărilor nodale U ale structurii U- cu deplasările modale se post procesează rezultatele și obţinem

- structură deformată

- tensiuni icircn bare

Observaţie Deplasările nodale se numesc grade libertate Pentru un sistem de bare articulate obţinem 2 grade de libertate

Ecuaţiile elementului finit

Cazul Static

Sistem de bare articulate ndash metoda echilibrului forţelor duce la formularea problemei strcturale icircn deplasări

Deci sistematizacircnd problema ldquoMEFrdquo poate fi algoritmizată urmacircnd schema de principiu de mai jos1Sistemul fizic supus analizei2Modul matematic alcătuit de regulă din Ecuaţii diferenţiale sau integrale

3Model discret Ne referim la faptul că vom calcula valori

4Soluţia discretă specifie in noduri5Interpretarea rezultatelor

Paşii sunt intercorelaţi de exempluIcircntre modelul discret si soluţia discretă există eroarea de calcul datorată ordinului de

precizie mic al ecuaţiilor repective folositeetcIcircntre modelul matematic și soluţia discretă există modelarediscretizare și eroare de

calculIcircntre sistemul fizic și soluţia discretă există eroare conceptuală

Din punct de vedere tehnic există 4 etape si anume1Idealizare2Discretizare3Soluţionarea4Postprocesare

APentru a soluţiona parte de pre procesare presupunem un program MEF (generică) Geometrie Keypoints - Linii - Suprafeţe Linii (Lines) - Suprafeţe - Volume Volume(Volumes)

Definire Material - tip material - izotrop - anizotrop - ortotop etc - setări constante inginereşti (module de elasticitate şi constante de contracţie ale lui Poisson) - proprietati fizice(densitatea materialului de dilatare termică)

Definire elemente finite - geometria problemei - problema fizică studiată - icircn situaţia folosirii mai multor tipuri de elemente dar trebuie să fie compatibilă icircntre ele la nivelul interfeţeiSe acceptă

Nu se acceptă

Definire

o displacements ( blocaje rezemări )o viteze acceleraţii ( structuri masive ndash acceleraţii gravitaţionale )o LOADS ( icircncărcări )

Icircn cazul discretizării normale se obişnuieşte utilizarea mai multor tipuri de elemente care trebuie să fie compatibile icircntre ele la nivelul interfeţii

Blocaje

B

1 - rezem

2 - articulaţie

3 - icircncastrări

4 Blocaje particulare

Reamintim Blocajele şi solicitarile se aplică icircn nodurile MEF (noduri reale) icircn noduri se definesc gradele de libertate sau coordonatele generalizate ale problemei La structură gradele de libertate sunt deplasările nodale (uvw) ndash icircn cazul corpului 3D (uv) ndash stare plană de tensiuni membrană (v φ) ndash deplasare unghiulară respectiv liniară pentru bară de icircncovoiere şi (u v w θ φy φz) ndash pentru bare solicitate 3D

Sarcinile şi icircncastrările reprezintă solicitări externe aplicate structurii Acestea se aplică de regulă direct icircn nodurile modelului MEF

ANSYS

BSoluţionarea sau rezolvarea problemeiProbleme de statică ndash Problemele se rezolvă automat cu un model de setări dacă este

cazul- matricea asamblarii [K]- reyolvare sistem liniar [K] u = F ndash asociat problemei structurale- rezultă cacircmpul deplasărilor nodale

Probleme de tip - vibraţii- dinamică- impact- cuplate (probleme interacţiune)

o structură ndash cacircmp termo fluid ndash structură

Se definesc parametrii de rezolvare pentru- soluţia de integrare icircn timp (timp pas de timp param relaxare)- pentru domeniul de frecvenţe de interes (vibraţii) (dom frecv de interes modul de

deformare şi distingere elemente param de flambaj de icircncărcare succesivă)

-Fenomen de moarte a elementelor

C Postprocesarea ndash Etapă necuantificabilă deoarece ţine de pregatirea şi cunoştinţele utilizatorului

Cacircmpul deformaţiilor se utilizează pentru vizualizări- deformaţie structurală- cacircmpuri izotensiuni- tensiuni echivalente (von Mises)- criterii de rezistenţă margini de siguranţă

Ipotezele calculului structural static folosind MEF

Ipoteze

- date de comportarea materialului- date de comportarea structurii

A1 Materialul este considerat un mediu continuu omogen și izotrop2 Proprietățile materialului sunt invariante icircn timp3 Materialul are o comportare liniar-elastică și satisface legea lui Hooke

B1 Relația forță-deplasare este liniară

2 Deformațiile structurii sunt mici icircn comparație cu dimensiunile structurii3 Relațiile dintr deformațiile specifice și deplasări sunt relații diferențiale liniare4 Relațiile dintre tensiuni și deformațiile specific sunt liniare și sunt date de legea lui

Hooke generalizată5 Structura este un sistem conservativ icircn lipsa amortizărilor structurale6 Se admite principiul suprapunerii efectelor (nu contează ordinea de aplicare a

solicitărilor)7 Rigiditatea și flexibilitatea structurii depind de caracteristicile structurii și natura

materialului (geometria structurală)8 Icircn condițiile anterior enunțate se mai pot admite și alte ipoteze cum ar fi

- ipoteza secțiunilor plane sau Bernoulli icircn cazul barelor- ipoteza Kirchoff-Love icircn cazul plăcilor plane și curbe subțiri

Deducerea ecuației elementelor finite pentru cazul static

Metode de lucru

1 Metode energetice- metoda energiei potențiale minime (dacă asupra unui corp acționează un sistem

de forțe și constracircngeri corpul tinde să ocupe starea de energie potențială minimă)

- metoda lucrului mecanic virtual

- metoda reziduurilor ponderate (metoda Galerkin)- metode spectrale

Ultimele două metode se utilizează și icircn rezolvarea altor probleme (problema unei curgeri plane potențiale)

Deducerea ecuației elementelor finite cu metoda lucrului mecanic virtual

Teoremă Dacă unui element finit i se imprimă o deplasare virtuală notată atunci conform principiului lucrului mecanic virtual lucrul mecanic al forțelor exterioare (aplicate structurii) este egal cu energia internă de deformație pentru orice cacircmp de deplasări virtuale admisibil

Compatibilitatea cu problema

- deplasări virtuale liniare

- deplasare unghiulară incompatibilă cu

sistemul dat

Solicitare exterioară- sarcini concentrate aplicate icircn noduri- sarcini aplicate pe suprafețe ( presiuni )- sarcini icircn volum

greutate forță centrifugă

Ecuaţia elementului finit Cazul static

Ecuaţia elementului finit se deduce icircn baza ipotezelor menţionate pentru un element finit urmărind a se construi prin asamblare ecuaţia sistemului modelat cu elemente finite

Metode de deducerea) principiul lucrului mecanic virtualb) principiul variaţional minimul energiei de deformaţieEnergia de deformaţie este dată de relaţia

Ud=12∭σεdV

Icircn continuare vom folosi principiul lucrului mecanic virtual un sistem structural supus la legături (condiţii de rezemare) aflat sub acţiunea unor sarcini exterioare se află in echilibru

dacă pentru un set de deplasări virtual arbitrare compatibile cu problema lucrul mecanic virtual al forţelor externe aplicate este egal cu lucrul mecanic virtual al forţelor interioare din structură

Se cunoaşte din Teoria Elasticităţii urmatoarea relaţie

(σx

σ y

σ z

τ xy

τ xz

τ yz

)=[ E ](ε x

ε y

ε x

γ xy

γ xz

γ yz

)Unde

[ E ]=matriceade elasticitate

σ =vectorul tensiunilor

ε =vectoruldeformaţiilor specifice

Pentru starea plană de tensiune (2D) matricea de elasticitate este dată de

[ E ]= E1minusν2 [1 ν 0

ν0

1 0

0 1minusν2 ]

ν=coeficientul decontracţie transversală Poisson ν=03minus033

Vectorul deformaţiilor specifice se poate scrie

ε =(part upart xpart vpart ypart wpart z

part upart y

+ part vpart x

part vpart z

+ part wpart y

part wpart x

+ part upart z

)=[part

part x0 0

0 partpart y

0

0part

part y0part

part z

0part

part xpart

part z0

partpart z0part

part ypart

part x

]uvw

[part

part x0 0

0 partpart y

0

0part

part y0part

part z

0part

part xpart

part z0

partpart z0part

part ypart

part x

]= [ L ]=operator diferenţial

uvw= d =vectoruldeplasărilor structurii funcţii de cacircmp

u=u(x y z)

v=v (x y z )

w=w(x y z)

Observaţii1) Ideea de bază este de a exprima funcţiile de cacircmp prin intermediul unor funcţii de

interpolare numite și funcţii de formă prin intermediul coordonatelor generalizate sau deplasărilor nodale ui vi wi

2) De regulă numărul funcţiilor de formă este egal cu numărul nodurilor ce definesc elementul finit pentru o aproximare de ordin superior elementul poate fi definit cu ajutorul unor noduri auxiliare

nod auxiliar

Putem scrie

De exemplu pentru (element patrulater) ndash Proplema 2D

Putem scrie compact matricial

Pentru exemplul anterior

Forțele care acționează asupra structurilor vor fi evaluate icircn lungul deformațiilor virtualeX rarr forțe volumice (bdquode volumrdquo)P rarr forțe de presiune (bdquode suprafațărdquo)Fc rarr forțe concentrate rarrconcentrate aplicate icircn noduri

Lucrul mecanic al forțelor exterioare presupune studierea celor 3 tipuri de forțe

Daca avem 2 matrici

se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale in structură

se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale nodale

Acolo unde nu avem forțe concentrate icircn dreptul se va pune valoarea 0

Deoarece nu depinde de x și y iese de sub integrală așadar obținem

Forțe volumicerarr greutateararr forța centrifugă

Forțe de presiunerarr presiuni pe forțele corpului studiatForțe concentrate dinrarr buloane

rarr nituri rarr cuie etc

rarr cacircmpul virtual al deformațiilor specifice produs de deplasările virtuale nodale

matricea de elasticitate sau matricea modulelor( icircn cazul materialelor compozite)rarr este o matrice simetrică fața de diagonala principală

Icircn consecință din egalitatea celor doua obținem

adică ( I )

Consideracircnd că este un set de deplasări arbitrare compatibile cu structura pentru ca relația ( I ) să fie icircndeplinită trebuie să avem egalitatea

pentru fiecare element finit

Matricea de rigiditate conține următoarele informații

- derivatele funcției de formă ce descriu deformația interioară

- proprietățile elastice ale structurii (constantele inginerești E G sau rigidității EI Gid EA)

EI - rigiditate la icircncovoiere Gid ndash rigiditate la torsiune EA ndash rigiditate la icircntindere compresiune

Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale se obține ecuația elementelor finite la nivelul icircntregii structuri (față de un sistem de referință global) adică

Observații

1) Asamblarea a fost intuită ca proces matematic prin scrierea ecuațiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zăbrele)

2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetrică care icircn lipsa rezemărilor (restricțiilor de deplasare) este o matrice singulară

3) Este important a nu se uita impunerea unor condiții de rezemare compatibile cu structura astfel icircncacirct structura să nu fie mecanism sau corp liber icircn spațiu Impunacircnd aceste condiții matricea devine nesingulară și permite rezolvarea sistemului compatibil determinat

liniar

4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice Gauss-Seidel descompunerea [L]

Determinarea matricii de rigiditate pentru

solicitari de icircncovoiere (icircn plan)

Modelul geometric element unidimensional Numărul de noduri 2 Material E

Momentul de inerţie Bară de secţiune constantă Deformaţii

Pentru a caracteriza comportarea barei de icircncovoiere este necesară utilizarea a două grade de libertate pe nodurile şi (unghi de săgeată)[ ] ndash rad

[ ] - m Observaţii

1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local

2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)

Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui

- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri

avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3

(1)

(2)

Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor

Calculul matricei de rigiditate

Indicații

Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare

M

u u x

x

Polinoamele Hermite de gradul 3

Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual

Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy

XL

YL

V1L

V2

L21

L

XL

1 2

21

T T

M M

Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2

Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy

Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi

Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză

Echivalarea nodală a forțelor

Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite

Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual

(A)

(B)

egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale

Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune

Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată

energia potențială de deformație

part θpart x

=θ2minusθ1

l

intA

r 2dA=id [moment de inerţie polar ]

r2=radic y2+x2

Ud=12int0

l

GId(θ2minusθ1 )2

e2 dx=12

GIde (θ1

2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )

---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă

Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)

partU d

part q i=Qi ( partea staţionară )

q i=θ1θ2

θ1=Ml1

θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate

partU d

part q irarr [ K ]u

partU d

part q1=

part U d

part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId

l (θ1minusθ2 )=Mt1

partU d

part q2=

part U d

partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId

l (θ1+θ2 )=Mt2

Pentru un element de bară de torsiune

GIdl [ 1 minus1

minus1 1 ]θ1

θ2=Mt1

Mt2

[ K ] rarr pentrutorsiune liberă

Bara icircn spaţiu

Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate

Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1

Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2

Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)

minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2

iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest

[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)

Q x=EAL

Q z=EIzL3

Q y=EIyL3

QT=GId

Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local

Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)

Punctul 3isin(xOy) plan local

Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k

Avem următoarele relații de transformări

Deci icircn SR local

Aplicație

Origin=1

Date de intrare

-coordonatele pentru cele n=6 noduri

- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare

-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune

-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară

Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura

=

| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)

- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal

Bare 3D

(continuare)

- matrice de rigiditate in SR general pe element

- pentru o bara 1-2 din strcutura

Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i

este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu

Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea

definită icircn cursul precedent)

După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale

Se rezolvă [ K ] U =F

Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri

Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara

[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global

Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă

local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)

Solicitările F l adică N x1

l T y1

l T z1

l M x1

l M y1

l M z1

l

N x2

l T y2

l T z2

l M x2

l M y2

l M z2

l

Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)

Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo

Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)

Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)

rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)

Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului

Modalităţi de determinare [ K l ] pe element

rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]

Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat

Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)

Elementul triunghiular(izoparametric)

Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global

2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr

3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element

4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens

Element izoparametric

Triunghiul lui Pascal

1

Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1

Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru

este un plan icircn coordonatele

Observație

=gt

Coeficientul lui

Se observă

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

Din punct de vedere tehnic există 4 etape si anume1Idealizare2Discretizare3Soluţionarea4Postprocesare

APentru a soluţiona parte de pre procesare presupunem un program MEF (generică) Geometrie Keypoints - Linii - Suprafeţe Linii (Lines) - Suprafeţe - Volume Volume(Volumes)

Definire Material - tip material - izotrop - anizotrop - ortotop etc - setări constante inginereşti (module de elasticitate şi constante de contracţie ale lui Poisson) - proprietati fizice(densitatea materialului de dilatare termică)

Definire elemente finite - geometria problemei - problema fizică studiată - icircn situaţia folosirii mai multor tipuri de elemente dar trebuie să fie compatibilă icircntre ele la nivelul interfeţeiSe acceptă

Nu se acceptă

Definire

o displacements ( blocaje rezemări )o viteze acceleraţii ( structuri masive ndash acceleraţii gravitaţionale )o LOADS ( icircncărcări )

Icircn cazul discretizării normale se obişnuieşte utilizarea mai multor tipuri de elemente care trebuie să fie compatibile icircntre ele la nivelul interfeţii

Blocaje

B

1 - rezem

2 - articulaţie

3 - icircncastrări

4 Blocaje particulare

Reamintim Blocajele şi solicitarile se aplică icircn nodurile MEF (noduri reale) icircn noduri se definesc gradele de libertate sau coordonatele generalizate ale problemei La structură gradele de libertate sunt deplasările nodale (uvw) ndash icircn cazul corpului 3D (uv) ndash stare plană de tensiuni membrană (v φ) ndash deplasare unghiulară respectiv liniară pentru bară de icircncovoiere şi (u v w θ φy φz) ndash pentru bare solicitate 3D

Sarcinile şi icircncastrările reprezintă solicitări externe aplicate structurii Acestea se aplică de regulă direct icircn nodurile modelului MEF

ANSYS

BSoluţionarea sau rezolvarea problemeiProbleme de statică ndash Problemele se rezolvă automat cu un model de setări dacă este

cazul- matricea asamblarii [K]- reyolvare sistem liniar [K] u = F ndash asociat problemei structurale- rezultă cacircmpul deplasărilor nodale

Probleme de tip - vibraţii- dinamică- impact- cuplate (probleme interacţiune)

o structură ndash cacircmp termo fluid ndash structură

Se definesc parametrii de rezolvare pentru- soluţia de integrare icircn timp (timp pas de timp param relaxare)- pentru domeniul de frecvenţe de interes (vibraţii) (dom frecv de interes modul de

deformare şi distingere elemente param de flambaj de icircncărcare succesivă)

-Fenomen de moarte a elementelor

C Postprocesarea ndash Etapă necuantificabilă deoarece ţine de pregatirea şi cunoştinţele utilizatorului

Cacircmpul deformaţiilor se utilizează pentru vizualizări- deformaţie structurală- cacircmpuri izotensiuni- tensiuni echivalente (von Mises)- criterii de rezistenţă margini de siguranţă

Ipotezele calculului structural static folosind MEF

Ipoteze

- date de comportarea materialului- date de comportarea structurii

A1 Materialul este considerat un mediu continuu omogen și izotrop2 Proprietățile materialului sunt invariante icircn timp3 Materialul are o comportare liniar-elastică și satisface legea lui Hooke

B1 Relația forță-deplasare este liniară

2 Deformațiile structurii sunt mici icircn comparație cu dimensiunile structurii3 Relațiile dintr deformațiile specifice și deplasări sunt relații diferențiale liniare4 Relațiile dintre tensiuni și deformațiile specific sunt liniare și sunt date de legea lui

Hooke generalizată5 Structura este un sistem conservativ icircn lipsa amortizărilor structurale6 Se admite principiul suprapunerii efectelor (nu contează ordinea de aplicare a

solicitărilor)7 Rigiditatea și flexibilitatea structurii depind de caracteristicile structurii și natura

materialului (geometria structurală)8 Icircn condițiile anterior enunțate se mai pot admite și alte ipoteze cum ar fi

- ipoteza secțiunilor plane sau Bernoulli icircn cazul barelor- ipoteza Kirchoff-Love icircn cazul plăcilor plane și curbe subțiri

Deducerea ecuației elementelor finite pentru cazul static

Metode de lucru

1 Metode energetice- metoda energiei potențiale minime (dacă asupra unui corp acționează un sistem

de forțe și constracircngeri corpul tinde să ocupe starea de energie potențială minimă)

- metoda lucrului mecanic virtual

- metoda reziduurilor ponderate (metoda Galerkin)- metode spectrale

Ultimele două metode se utilizează și icircn rezolvarea altor probleme (problema unei curgeri plane potențiale)

Deducerea ecuației elementelor finite cu metoda lucrului mecanic virtual

Teoremă Dacă unui element finit i se imprimă o deplasare virtuală notată atunci conform principiului lucrului mecanic virtual lucrul mecanic al forțelor exterioare (aplicate structurii) este egal cu energia internă de deformație pentru orice cacircmp de deplasări virtuale admisibil

Compatibilitatea cu problema

- deplasări virtuale liniare

- deplasare unghiulară incompatibilă cu

sistemul dat

Solicitare exterioară- sarcini concentrate aplicate icircn noduri- sarcini aplicate pe suprafețe ( presiuni )- sarcini icircn volum

greutate forță centrifugă

Ecuaţia elementului finit Cazul static

Ecuaţia elementului finit se deduce icircn baza ipotezelor menţionate pentru un element finit urmărind a se construi prin asamblare ecuaţia sistemului modelat cu elemente finite

Metode de deducerea) principiul lucrului mecanic virtualb) principiul variaţional minimul energiei de deformaţieEnergia de deformaţie este dată de relaţia

Ud=12∭σεdV

Icircn continuare vom folosi principiul lucrului mecanic virtual un sistem structural supus la legături (condiţii de rezemare) aflat sub acţiunea unor sarcini exterioare se află in echilibru

dacă pentru un set de deplasări virtual arbitrare compatibile cu problema lucrul mecanic virtual al forţelor externe aplicate este egal cu lucrul mecanic virtual al forţelor interioare din structură

Se cunoaşte din Teoria Elasticităţii urmatoarea relaţie

(σx

σ y

σ z

τ xy

τ xz

τ yz

)=[ E ](ε x

ε y

ε x

γ xy

γ xz

γ yz

)Unde

[ E ]=matriceade elasticitate

σ =vectorul tensiunilor

ε =vectoruldeformaţiilor specifice

Pentru starea plană de tensiune (2D) matricea de elasticitate este dată de

[ E ]= E1minusν2 [1 ν 0

ν0

1 0

0 1minusν2 ]

ν=coeficientul decontracţie transversală Poisson ν=03minus033

Vectorul deformaţiilor specifice se poate scrie

ε =(part upart xpart vpart ypart wpart z

part upart y

+ part vpart x

part vpart z

+ part wpart y

part wpart x

+ part upart z

)=[part

part x0 0

0 partpart y

0

0part

part y0part

part z

0part

part xpart

part z0

partpart z0part

part ypart

part x

]uvw

[part

part x0 0

0 partpart y

0

0part

part y0part

part z

0part

part xpart

part z0

partpart z0part

part ypart

part x

]= [ L ]=operator diferenţial

uvw= d =vectoruldeplasărilor structurii funcţii de cacircmp

u=u(x y z)

v=v (x y z )

w=w(x y z)

Observaţii1) Ideea de bază este de a exprima funcţiile de cacircmp prin intermediul unor funcţii de

interpolare numite și funcţii de formă prin intermediul coordonatelor generalizate sau deplasărilor nodale ui vi wi

2) De regulă numărul funcţiilor de formă este egal cu numărul nodurilor ce definesc elementul finit pentru o aproximare de ordin superior elementul poate fi definit cu ajutorul unor noduri auxiliare

nod auxiliar

Putem scrie

De exemplu pentru (element patrulater) ndash Proplema 2D

Putem scrie compact matricial

Pentru exemplul anterior

Forțele care acționează asupra structurilor vor fi evaluate icircn lungul deformațiilor virtualeX rarr forțe volumice (bdquode volumrdquo)P rarr forțe de presiune (bdquode suprafațărdquo)Fc rarr forțe concentrate rarrconcentrate aplicate icircn noduri

Lucrul mecanic al forțelor exterioare presupune studierea celor 3 tipuri de forțe

Daca avem 2 matrici

se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale in structură

se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale nodale

Acolo unde nu avem forțe concentrate icircn dreptul se va pune valoarea 0

Deoarece nu depinde de x și y iese de sub integrală așadar obținem

Forțe volumicerarr greutateararr forța centrifugă

Forțe de presiunerarr presiuni pe forțele corpului studiatForțe concentrate dinrarr buloane

rarr nituri rarr cuie etc

rarr cacircmpul virtual al deformațiilor specifice produs de deplasările virtuale nodale

matricea de elasticitate sau matricea modulelor( icircn cazul materialelor compozite)rarr este o matrice simetrică fața de diagonala principală

Icircn consecință din egalitatea celor doua obținem

adică ( I )

Consideracircnd că este un set de deplasări arbitrare compatibile cu structura pentru ca relația ( I ) să fie icircndeplinită trebuie să avem egalitatea

pentru fiecare element finit

Matricea de rigiditate conține următoarele informații

- derivatele funcției de formă ce descriu deformația interioară

- proprietățile elastice ale structurii (constantele inginerești E G sau rigidității EI Gid EA)

EI - rigiditate la icircncovoiere Gid ndash rigiditate la torsiune EA ndash rigiditate la icircntindere compresiune

Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale se obține ecuația elementelor finite la nivelul icircntregii structuri (față de un sistem de referință global) adică

Observații

1) Asamblarea a fost intuită ca proces matematic prin scrierea ecuațiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zăbrele)

2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetrică care icircn lipsa rezemărilor (restricțiilor de deplasare) este o matrice singulară

3) Este important a nu se uita impunerea unor condiții de rezemare compatibile cu structura astfel icircncacirct structura să nu fie mecanism sau corp liber icircn spațiu Impunacircnd aceste condiții matricea devine nesingulară și permite rezolvarea sistemului compatibil determinat

liniar

4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice Gauss-Seidel descompunerea [L]

Determinarea matricii de rigiditate pentru

solicitari de icircncovoiere (icircn plan)

Modelul geometric element unidimensional Numărul de noduri 2 Material E

Momentul de inerţie Bară de secţiune constantă Deformaţii

Pentru a caracteriza comportarea barei de icircncovoiere este necesară utilizarea a două grade de libertate pe nodurile şi (unghi de săgeată)[ ] ndash rad

[ ] - m Observaţii

1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local

2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)

Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui

- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri

avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3

(1)

(2)

Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor

Calculul matricei de rigiditate

Indicații

Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare

M

u u x

x

Polinoamele Hermite de gradul 3

Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual

Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy

XL

YL

V1L

V2

L21

L

XL

1 2

21

T T

M M

Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2

Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy

Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi

Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză

Echivalarea nodală a forțelor

Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite

Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual

(A)

(B)

egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale

Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune

Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată

energia potențială de deformație

part θpart x

=θ2minusθ1

l

intA

r 2dA=id [moment de inerţie polar ]

r2=radic y2+x2

Ud=12int0

l

GId(θ2minusθ1 )2

e2 dx=12

GIde (θ1

2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )

---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă

Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)

partU d

part q i=Qi ( partea staţionară )

q i=θ1θ2

θ1=Ml1

θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate

partU d

part q irarr [ K ]u

partU d

part q1=

part U d

part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId

l (θ1minusθ2 )=Mt1

partU d

part q2=

part U d

partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId

l (θ1+θ2 )=Mt2

Pentru un element de bară de torsiune

GIdl [ 1 minus1

minus1 1 ]θ1

θ2=Mt1

Mt2

[ K ] rarr pentrutorsiune liberă

Bara icircn spaţiu

Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate

Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1

Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2

Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)

minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2

iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest

[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)

Q x=EAL

Q z=EIzL3

Q y=EIyL3

QT=GId

Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local

Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)

Punctul 3isin(xOy) plan local

Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k

Avem următoarele relații de transformări

Deci icircn SR local

Aplicație

Origin=1

Date de intrare

-coordonatele pentru cele n=6 noduri

- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare

-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune

-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară

Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura

=

| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)

- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal

Bare 3D

(continuare)

- matrice de rigiditate in SR general pe element

- pentru o bara 1-2 din strcutura

Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i

este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu

Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea

definită icircn cursul precedent)

După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale

Se rezolvă [ K ] U =F

Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri

Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara

[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global

Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă

local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)

Solicitările F l adică N x1

l T y1

l T z1

l M x1

l M y1

l M z1

l

N x2

l T y2

l T z2

l M x2

l M y2

l M z2

l

Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)

Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo

Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)

Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)

rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)

Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului

Modalităţi de determinare [ K l ] pe element

rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]

Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat

Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)

Elementul triunghiular(izoparametric)

Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global

2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr

3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element

4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens

Element izoparametric

Triunghiul lui Pascal

1

Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1

Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru

este un plan icircn coordonatele

Observație

=gt

Coeficientul lui

Se observă

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

Definire

o displacements ( blocaje rezemări )o viteze acceleraţii ( structuri masive ndash acceleraţii gravitaţionale )o LOADS ( icircncărcări )

Icircn cazul discretizării normale se obişnuieşte utilizarea mai multor tipuri de elemente care trebuie să fie compatibile icircntre ele la nivelul interfeţii

Blocaje

B

1 - rezem

2 - articulaţie

3 - icircncastrări

4 Blocaje particulare

Reamintim Blocajele şi solicitarile se aplică icircn nodurile MEF (noduri reale) icircn noduri se definesc gradele de libertate sau coordonatele generalizate ale problemei La structură gradele de libertate sunt deplasările nodale (uvw) ndash icircn cazul corpului 3D (uv) ndash stare plană de tensiuni membrană (v φ) ndash deplasare unghiulară respectiv liniară pentru bară de icircncovoiere şi (u v w θ φy φz) ndash pentru bare solicitate 3D

Sarcinile şi icircncastrările reprezintă solicitări externe aplicate structurii Acestea se aplică de regulă direct icircn nodurile modelului MEF

ANSYS

BSoluţionarea sau rezolvarea problemeiProbleme de statică ndash Problemele se rezolvă automat cu un model de setări dacă este

cazul- matricea asamblarii [K]- reyolvare sistem liniar [K] u = F ndash asociat problemei structurale- rezultă cacircmpul deplasărilor nodale

Probleme de tip - vibraţii- dinamică- impact- cuplate (probleme interacţiune)

o structură ndash cacircmp termo fluid ndash structură

Se definesc parametrii de rezolvare pentru- soluţia de integrare icircn timp (timp pas de timp param relaxare)- pentru domeniul de frecvenţe de interes (vibraţii) (dom frecv de interes modul de

deformare şi distingere elemente param de flambaj de icircncărcare succesivă)

-Fenomen de moarte a elementelor

C Postprocesarea ndash Etapă necuantificabilă deoarece ţine de pregatirea şi cunoştinţele utilizatorului

Cacircmpul deformaţiilor se utilizează pentru vizualizări- deformaţie structurală- cacircmpuri izotensiuni- tensiuni echivalente (von Mises)- criterii de rezistenţă margini de siguranţă

Ipotezele calculului structural static folosind MEF

Ipoteze

- date de comportarea materialului- date de comportarea structurii

A1 Materialul este considerat un mediu continuu omogen și izotrop2 Proprietățile materialului sunt invariante icircn timp3 Materialul are o comportare liniar-elastică și satisface legea lui Hooke

B1 Relația forță-deplasare este liniară

2 Deformațiile structurii sunt mici icircn comparație cu dimensiunile structurii3 Relațiile dintr deformațiile specifice și deplasări sunt relații diferențiale liniare4 Relațiile dintre tensiuni și deformațiile specific sunt liniare și sunt date de legea lui

Hooke generalizată5 Structura este un sistem conservativ icircn lipsa amortizărilor structurale6 Se admite principiul suprapunerii efectelor (nu contează ordinea de aplicare a

solicitărilor)7 Rigiditatea și flexibilitatea structurii depind de caracteristicile structurii și natura

materialului (geometria structurală)8 Icircn condițiile anterior enunțate se mai pot admite și alte ipoteze cum ar fi

- ipoteza secțiunilor plane sau Bernoulli icircn cazul barelor- ipoteza Kirchoff-Love icircn cazul plăcilor plane și curbe subțiri

Deducerea ecuației elementelor finite pentru cazul static

Metode de lucru

1 Metode energetice- metoda energiei potențiale minime (dacă asupra unui corp acționează un sistem

de forțe și constracircngeri corpul tinde să ocupe starea de energie potențială minimă)

- metoda lucrului mecanic virtual

- metoda reziduurilor ponderate (metoda Galerkin)- metode spectrale

Ultimele două metode se utilizează și icircn rezolvarea altor probleme (problema unei curgeri plane potențiale)

Deducerea ecuației elementelor finite cu metoda lucrului mecanic virtual

Teoremă Dacă unui element finit i se imprimă o deplasare virtuală notată atunci conform principiului lucrului mecanic virtual lucrul mecanic al forțelor exterioare (aplicate structurii) este egal cu energia internă de deformație pentru orice cacircmp de deplasări virtuale admisibil

Compatibilitatea cu problema

- deplasări virtuale liniare

- deplasare unghiulară incompatibilă cu

sistemul dat

Solicitare exterioară- sarcini concentrate aplicate icircn noduri- sarcini aplicate pe suprafețe ( presiuni )- sarcini icircn volum

greutate forță centrifugă

Ecuaţia elementului finit Cazul static

Ecuaţia elementului finit se deduce icircn baza ipotezelor menţionate pentru un element finit urmărind a se construi prin asamblare ecuaţia sistemului modelat cu elemente finite

Metode de deducerea) principiul lucrului mecanic virtualb) principiul variaţional minimul energiei de deformaţieEnergia de deformaţie este dată de relaţia

Ud=12∭σεdV

Icircn continuare vom folosi principiul lucrului mecanic virtual un sistem structural supus la legături (condiţii de rezemare) aflat sub acţiunea unor sarcini exterioare se află in echilibru

dacă pentru un set de deplasări virtual arbitrare compatibile cu problema lucrul mecanic virtual al forţelor externe aplicate este egal cu lucrul mecanic virtual al forţelor interioare din structură

Se cunoaşte din Teoria Elasticităţii urmatoarea relaţie

(σx

σ y

σ z

τ xy

τ xz

τ yz

)=[ E ](ε x

ε y

ε x

γ xy

γ xz

γ yz

)Unde

[ E ]=matriceade elasticitate

σ =vectorul tensiunilor

ε =vectoruldeformaţiilor specifice

Pentru starea plană de tensiune (2D) matricea de elasticitate este dată de

[ E ]= E1minusν2 [1 ν 0

ν0

1 0

0 1minusν2 ]

ν=coeficientul decontracţie transversală Poisson ν=03minus033

Vectorul deformaţiilor specifice se poate scrie

ε =(part upart xpart vpart ypart wpart z

part upart y

+ part vpart x

part vpart z

+ part wpart y

part wpart x

+ part upart z

)=[part

part x0 0

0 partpart y

0

0part

part y0part

part z

0part

part xpart

part z0

partpart z0part

part ypart

part x

]uvw

[part

part x0 0

0 partpart y

0

0part

part y0part

part z

0part

part xpart

part z0

partpart z0part

part ypart

part x

]= [ L ]=operator diferenţial

uvw= d =vectoruldeplasărilor structurii funcţii de cacircmp

u=u(x y z)

v=v (x y z )

w=w(x y z)

Observaţii1) Ideea de bază este de a exprima funcţiile de cacircmp prin intermediul unor funcţii de

interpolare numite și funcţii de formă prin intermediul coordonatelor generalizate sau deplasărilor nodale ui vi wi

2) De regulă numărul funcţiilor de formă este egal cu numărul nodurilor ce definesc elementul finit pentru o aproximare de ordin superior elementul poate fi definit cu ajutorul unor noduri auxiliare

nod auxiliar

Putem scrie

De exemplu pentru (element patrulater) ndash Proplema 2D

Putem scrie compact matricial

Pentru exemplul anterior

Forțele care acționează asupra structurilor vor fi evaluate icircn lungul deformațiilor virtualeX rarr forțe volumice (bdquode volumrdquo)P rarr forțe de presiune (bdquode suprafațărdquo)Fc rarr forțe concentrate rarrconcentrate aplicate icircn noduri

Lucrul mecanic al forțelor exterioare presupune studierea celor 3 tipuri de forțe

Daca avem 2 matrici

se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale in structură

se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale nodale

Acolo unde nu avem forțe concentrate icircn dreptul se va pune valoarea 0

Deoarece nu depinde de x și y iese de sub integrală așadar obținem

Forțe volumicerarr greutateararr forța centrifugă

Forțe de presiunerarr presiuni pe forțele corpului studiatForțe concentrate dinrarr buloane

rarr nituri rarr cuie etc

rarr cacircmpul virtual al deformațiilor specifice produs de deplasările virtuale nodale

matricea de elasticitate sau matricea modulelor( icircn cazul materialelor compozite)rarr este o matrice simetrică fața de diagonala principală

Icircn consecință din egalitatea celor doua obținem

adică ( I )

Consideracircnd că este un set de deplasări arbitrare compatibile cu structura pentru ca relația ( I ) să fie icircndeplinită trebuie să avem egalitatea

pentru fiecare element finit

Matricea de rigiditate conține următoarele informații

- derivatele funcției de formă ce descriu deformația interioară

- proprietățile elastice ale structurii (constantele inginerești E G sau rigidității EI Gid EA)

EI - rigiditate la icircncovoiere Gid ndash rigiditate la torsiune EA ndash rigiditate la icircntindere compresiune

Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale se obține ecuația elementelor finite la nivelul icircntregii structuri (față de un sistem de referință global) adică

Observații

1) Asamblarea a fost intuită ca proces matematic prin scrierea ecuațiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zăbrele)

2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetrică care icircn lipsa rezemărilor (restricțiilor de deplasare) este o matrice singulară

3) Este important a nu se uita impunerea unor condiții de rezemare compatibile cu structura astfel icircncacirct structura să nu fie mecanism sau corp liber icircn spațiu Impunacircnd aceste condiții matricea devine nesingulară și permite rezolvarea sistemului compatibil determinat

liniar

4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice Gauss-Seidel descompunerea [L]

Determinarea matricii de rigiditate pentru

solicitari de icircncovoiere (icircn plan)

Modelul geometric element unidimensional Numărul de noduri 2 Material E

Momentul de inerţie Bară de secţiune constantă Deformaţii

Pentru a caracteriza comportarea barei de icircncovoiere este necesară utilizarea a două grade de libertate pe nodurile şi (unghi de săgeată)[ ] ndash rad

[ ] - m Observaţii

1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local

2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)

Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui

- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri

avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3

(1)

(2)

Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor

Calculul matricei de rigiditate

Indicații

Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare

M

u u x

x

Polinoamele Hermite de gradul 3

Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual

Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy

XL

YL

V1L

V2

L21

L

XL

1 2

21

T T

M M

Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2

Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy

Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi

Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză

Echivalarea nodală a forțelor

Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite

Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual

(A)

(B)

egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale

Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune

Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată

energia potențială de deformație

part θpart x

=θ2minusθ1

l

intA

r 2dA=id [moment de inerţie polar ]

r2=radic y2+x2

Ud=12int0

l

GId(θ2minusθ1 )2

e2 dx=12

GIde (θ1

2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )

---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă

Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)

partU d

part q i=Qi ( partea staţionară )

q i=θ1θ2

θ1=Ml1

θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate

partU d

part q irarr [ K ]u

partU d

part q1=

part U d

part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId

l (θ1minusθ2 )=Mt1

partU d

part q2=

part U d

partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId

l (θ1+θ2 )=Mt2

Pentru un element de bară de torsiune

GIdl [ 1 minus1

minus1 1 ]θ1

θ2=Mt1

Mt2

[ K ] rarr pentrutorsiune liberă

Bara icircn spaţiu

Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate

Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1

Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2

Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)

minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2

iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest

[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)

Q x=EAL

Q z=EIzL3

Q y=EIyL3

QT=GId

Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local

Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)

Punctul 3isin(xOy) plan local

Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k

Avem următoarele relații de transformări

Deci icircn SR local

Aplicație

Origin=1

Date de intrare

-coordonatele pentru cele n=6 noduri

- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare

-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune

-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară

Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura

=

| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)

- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal

Bare 3D

(continuare)

- matrice de rigiditate in SR general pe element

- pentru o bara 1-2 din strcutura

Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i

este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu

Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea

definită icircn cursul precedent)

După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale

Se rezolvă [ K ] U =F

Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri

Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara

[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global

Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă

local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)

Solicitările F l adică N x1

l T y1

l T z1

l M x1

l M y1

l M z1

l

N x2

l T y2

l T z2

l M x2

l M y2

l M z2

l

Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)

Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo

Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)

Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)

rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)

Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului

Modalităţi de determinare [ K l ] pe element

rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]

Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat

Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)

Elementul triunghiular(izoparametric)

Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global

2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr

3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element

4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens

Element izoparametric

Triunghiul lui Pascal

1

Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1

Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru

este un plan icircn coordonatele

Observație

=gt

Coeficientul lui

Se observă

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

ANSYS

BSoluţionarea sau rezolvarea problemeiProbleme de statică ndash Problemele se rezolvă automat cu un model de setări dacă este

cazul- matricea asamblarii [K]- reyolvare sistem liniar [K] u = F ndash asociat problemei structurale- rezultă cacircmpul deplasărilor nodale

Probleme de tip - vibraţii- dinamică- impact- cuplate (probleme interacţiune)

o structură ndash cacircmp termo fluid ndash structură

Se definesc parametrii de rezolvare pentru- soluţia de integrare icircn timp (timp pas de timp param relaxare)- pentru domeniul de frecvenţe de interes (vibraţii) (dom frecv de interes modul de

deformare şi distingere elemente param de flambaj de icircncărcare succesivă)

-Fenomen de moarte a elementelor

C Postprocesarea ndash Etapă necuantificabilă deoarece ţine de pregatirea şi cunoştinţele utilizatorului

Cacircmpul deformaţiilor se utilizează pentru vizualizări- deformaţie structurală- cacircmpuri izotensiuni- tensiuni echivalente (von Mises)- criterii de rezistenţă margini de siguranţă

Ipotezele calculului structural static folosind MEF

Ipoteze

- date de comportarea materialului- date de comportarea structurii

A1 Materialul este considerat un mediu continuu omogen și izotrop2 Proprietățile materialului sunt invariante icircn timp3 Materialul are o comportare liniar-elastică și satisface legea lui Hooke

B1 Relația forță-deplasare este liniară

2 Deformațiile structurii sunt mici icircn comparație cu dimensiunile structurii3 Relațiile dintr deformațiile specifice și deplasări sunt relații diferențiale liniare4 Relațiile dintre tensiuni și deformațiile specific sunt liniare și sunt date de legea lui

Hooke generalizată5 Structura este un sistem conservativ icircn lipsa amortizărilor structurale6 Se admite principiul suprapunerii efectelor (nu contează ordinea de aplicare a

solicitărilor)7 Rigiditatea și flexibilitatea structurii depind de caracteristicile structurii și natura

materialului (geometria structurală)8 Icircn condițiile anterior enunțate se mai pot admite și alte ipoteze cum ar fi

- ipoteza secțiunilor plane sau Bernoulli icircn cazul barelor- ipoteza Kirchoff-Love icircn cazul plăcilor plane și curbe subțiri

Deducerea ecuației elementelor finite pentru cazul static

Metode de lucru

1 Metode energetice- metoda energiei potențiale minime (dacă asupra unui corp acționează un sistem

de forțe și constracircngeri corpul tinde să ocupe starea de energie potențială minimă)

- metoda lucrului mecanic virtual

- metoda reziduurilor ponderate (metoda Galerkin)- metode spectrale

Ultimele două metode se utilizează și icircn rezolvarea altor probleme (problema unei curgeri plane potențiale)

Deducerea ecuației elementelor finite cu metoda lucrului mecanic virtual

Teoremă Dacă unui element finit i se imprimă o deplasare virtuală notată atunci conform principiului lucrului mecanic virtual lucrul mecanic al forțelor exterioare (aplicate structurii) este egal cu energia internă de deformație pentru orice cacircmp de deplasări virtuale admisibil

Compatibilitatea cu problema

- deplasări virtuale liniare

- deplasare unghiulară incompatibilă cu

sistemul dat

Solicitare exterioară- sarcini concentrate aplicate icircn noduri- sarcini aplicate pe suprafețe ( presiuni )- sarcini icircn volum

greutate forță centrifugă

Ecuaţia elementului finit Cazul static

Ecuaţia elementului finit se deduce icircn baza ipotezelor menţionate pentru un element finit urmărind a se construi prin asamblare ecuaţia sistemului modelat cu elemente finite

Metode de deducerea) principiul lucrului mecanic virtualb) principiul variaţional minimul energiei de deformaţieEnergia de deformaţie este dată de relaţia

Ud=12∭σεdV

Icircn continuare vom folosi principiul lucrului mecanic virtual un sistem structural supus la legături (condiţii de rezemare) aflat sub acţiunea unor sarcini exterioare se află in echilibru

dacă pentru un set de deplasări virtual arbitrare compatibile cu problema lucrul mecanic virtual al forţelor externe aplicate este egal cu lucrul mecanic virtual al forţelor interioare din structură

Se cunoaşte din Teoria Elasticităţii urmatoarea relaţie

(σx

σ y

σ z

τ xy

τ xz

τ yz

)=[ E ](ε x

ε y

ε x

γ xy

γ xz

γ yz

)Unde

[ E ]=matriceade elasticitate

σ =vectorul tensiunilor

ε =vectoruldeformaţiilor specifice

Pentru starea plană de tensiune (2D) matricea de elasticitate este dată de

[ E ]= E1minusν2 [1 ν 0

ν0

1 0

0 1minusν2 ]

ν=coeficientul decontracţie transversală Poisson ν=03minus033

Vectorul deformaţiilor specifice se poate scrie

ε =(part upart xpart vpart ypart wpart z

part upart y

+ part vpart x

part vpart z

+ part wpart y

part wpart x

+ part upart z

)=[part

part x0 0

0 partpart y

0

0part

part y0part

part z

0part

part xpart

part z0

partpart z0part

part ypart

part x

]uvw

[part

part x0 0

0 partpart y

0

0part

part y0part

part z

0part

part xpart

part z0

partpart z0part

part ypart

part x

]= [ L ]=operator diferenţial

uvw= d =vectoruldeplasărilor structurii funcţii de cacircmp

u=u(x y z)

v=v (x y z )

w=w(x y z)

Observaţii1) Ideea de bază este de a exprima funcţiile de cacircmp prin intermediul unor funcţii de

interpolare numite și funcţii de formă prin intermediul coordonatelor generalizate sau deplasărilor nodale ui vi wi

2) De regulă numărul funcţiilor de formă este egal cu numărul nodurilor ce definesc elementul finit pentru o aproximare de ordin superior elementul poate fi definit cu ajutorul unor noduri auxiliare

nod auxiliar

Putem scrie

De exemplu pentru (element patrulater) ndash Proplema 2D

Putem scrie compact matricial

Pentru exemplul anterior

Forțele care acționează asupra structurilor vor fi evaluate icircn lungul deformațiilor virtualeX rarr forțe volumice (bdquode volumrdquo)P rarr forțe de presiune (bdquode suprafațărdquo)Fc rarr forțe concentrate rarrconcentrate aplicate icircn noduri

Lucrul mecanic al forțelor exterioare presupune studierea celor 3 tipuri de forțe

Daca avem 2 matrici

se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale in structură

se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale nodale

Acolo unde nu avem forțe concentrate icircn dreptul se va pune valoarea 0

Deoarece nu depinde de x și y iese de sub integrală așadar obținem

Forțe volumicerarr greutateararr forța centrifugă

Forțe de presiunerarr presiuni pe forțele corpului studiatForțe concentrate dinrarr buloane

rarr nituri rarr cuie etc

rarr cacircmpul virtual al deformațiilor specifice produs de deplasările virtuale nodale

matricea de elasticitate sau matricea modulelor( icircn cazul materialelor compozite)rarr este o matrice simetrică fața de diagonala principală

Icircn consecință din egalitatea celor doua obținem

adică ( I )

Consideracircnd că este un set de deplasări arbitrare compatibile cu structura pentru ca relația ( I ) să fie icircndeplinită trebuie să avem egalitatea

pentru fiecare element finit

Matricea de rigiditate conține următoarele informații

- derivatele funcției de formă ce descriu deformația interioară

- proprietățile elastice ale structurii (constantele inginerești E G sau rigidității EI Gid EA)

EI - rigiditate la icircncovoiere Gid ndash rigiditate la torsiune EA ndash rigiditate la icircntindere compresiune

Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale se obține ecuația elementelor finite la nivelul icircntregii structuri (față de un sistem de referință global) adică

Observații

1) Asamblarea a fost intuită ca proces matematic prin scrierea ecuațiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zăbrele)

2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetrică care icircn lipsa rezemărilor (restricțiilor de deplasare) este o matrice singulară

3) Este important a nu se uita impunerea unor condiții de rezemare compatibile cu structura astfel icircncacirct structura să nu fie mecanism sau corp liber icircn spațiu Impunacircnd aceste condiții matricea devine nesingulară și permite rezolvarea sistemului compatibil determinat

liniar

4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice Gauss-Seidel descompunerea [L]

Determinarea matricii de rigiditate pentru

solicitari de icircncovoiere (icircn plan)

Modelul geometric element unidimensional Numărul de noduri 2 Material E

Momentul de inerţie Bară de secţiune constantă Deformaţii

Pentru a caracteriza comportarea barei de icircncovoiere este necesară utilizarea a două grade de libertate pe nodurile şi (unghi de săgeată)[ ] ndash rad

[ ] - m Observaţii

1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local

2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)

Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui

- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri

avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3

(1)

(2)

Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor

Calculul matricei de rigiditate

Indicații

Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare

M

u u x

x

Polinoamele Hermite de gradul 3

Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual

Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy

XL

YL

V1L

V2

L21

L

XL

1 2

21

T T

M M

Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2

Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy

Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi

Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză

Echivalarea nodală a forțelor

Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite

Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual

(A)

(B)

egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale

Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune

Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată

energia potențială de deformație

part θpart x

=θ2minusθ1

l

intA

r 2dA=id [moment de inerţie polar ]

r2=radic y2+x2

Ud=12int0

l

GId(θ2minusθ1 )2

e2 dx=12

GIde (θ1

2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )

---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă

Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)

partU d

part q i=Qi ( partea staţionară )

q i=θ1θ2

θ1=Ml1

θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate

partU d

part q irarr [ K ]u

partU d

part q1=

part U d

part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId

l (θ1minusθ2 )=Mt1

partU d

part q2=

part U d

partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId

l (θ1+θ2 )=Mt2

Pentru un element de bară de torsiune

GIdl [ 1 minus1

minus1 1 ]θ1

θ2=Mt1

Mt2

[ K ] rarr pentrutorsiune liberă

Bara icircn spaţiu

Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate

Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1

Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2

Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)

minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2

iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest

[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)

Q x=EAL

Q z=EIzL3

Q y=EIyL3

QT=GId

Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local

Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)

Punctul 3isin(xOy) plan local

Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k

Avem următoarele relații de transformări

Deci icircn SR local

Aplicație

Origin=1

Date de intrare

-coordonatele pentru cele n=6 noduri

- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare

-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune

-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară

Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura

=

| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)

- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal

Bare 3D

(continuare)

- matrice de rigiditate in SR general pe element

- pentru o bara 1-2 din strcutura

Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i

este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu

Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea

definită icircn cursul precedent)

După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale

Se rezolvă [ K ] U =F

Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri

Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara

[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global

Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă

local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)

Solicitările F l adică N x1

l T y1

l T z1

l M x1

l M y1

l M z1

l

N x2

l T y2

l T z2

l M x2

l M y2

l M z2

l

Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)

Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo

Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)

Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)

rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)

Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului

Modalităţi de determinare [ K l ] pe element

rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]

Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat

Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)

Elementul triunghiular(izoparametric)

Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global

2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr

3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element

4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens

Element izoparametric

Triunghiul lui Pascal

1

Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1

Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru

este un plan icircn coordonatele

Observație

=gt

Coeficientul lui

Se observă

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

Cacircmpul deformaţiilor se utilizează pentru vizualizări- deformaţie structurală- cacircmpuri izotensiuni- tensiuni echivalente (von Mises)- criterii de rezistenţă margini de siguranţă

Ipotezele calculului structural static folosind MEF

Ipoteze

- date de comportarea materialului- date de comportarea structurii

A1 Materialul este considerat un mediu continuu omogen și izotrop2 Proprietățile materialului sunt invariante icircn timp3 Materialul are o comportare liniar-elastică și satisface legea lui Hooke

B1 Relația forță-deplasare este liniară

2 Deformațiile structurii sunt mici icircn comparație cu dimensiunile structurii3 Relațiile dintr deformațiile specifice și deplasări sunt relații diferențiale liniare4 Relațiile dintre tensiuni și deformațiile specific sunt liniare și sunt date de legea lui

Hooke generalizată5 Structura este un sistem conservativ icircn lipsa amortizărilor structurale6 Se admite principiul suprapunerii efectelor (nu contează ordinea de aplicare a

solicitărilor)7 Rigiditatea și flexibilitatea structurii depind de caracteristicile structurii și natura

materialului (geometria structurală)8 Icircn condițiile anterior enunțate se mai pot admite și alte ipoteze cum ar fi

- ipoteza secțiunilor plane sau Bernoulli icircn cazul barelor- ipoteza Kirchoff-Love icircn cazul plăcilor plane și curbe subțiri

Deducerea ecuației elementelor finite pentru cazul static

Metode de lucru

1 Metode energetice- metoda energiei potențiale minime (dacă asupra unui corp acționează un sistem

de forțe și constracircngeri corpul tinde să ocupe starea de energie potențială minimă)

- metoda lucrului mecanic virtual

- metoda reziduurilor ponderate (metoda Galerkin)- metode spectrale

Ultimele două metode se utilizează și icircn rezolvarea altor probleme (problema unei curgeri plane potențiale)

Deducerea ecuației elementelor finite cu metoda lucrului mecanic virtual

Teoremă Dacă unui element finit i se imprimă o deplasare virtuală notată atunci conform principiului lucrului mecanic virtual lucrul mecanic al forțelor exterioare (aplicate structurii) este egal cu energia internă de deformație pentru orice cacircmp de deplasări virtuale admisibil

Compatibilitatea cu problema

- deplasări virtuale liniare

- deplasare unghiulară incompatibilă cu

sistemul dat

Solicitare exterioară- sarcini concentrate aplicate icircn noduri- sarcini aplicate pe suprafețe ( presiuni )- sarcini icircn volum

greutate forță centrifugă

Ecuaţia elementului finit Cazul static

Ecuaţia elementului finit se deduce icircn baza ipotezelor menţionate pentru un element finit urmărind a se construi prin asamblare ecuaţia sistemului modelat cu elemente finite

Metode de deducerea) principiul lucrului mecanic virtualb) principiul variaţional minimul energiei de deformaţieEnergia de deformaţie este dată de relaţia

Ud=12∭σεdV

Icircn continuare vom folosi principiul lucrului mecanic virtual un sistem structural supus la legături (condiţii de rezemare) aflat sub acţiunea unor sarcini exterioare se află in echilibru

dacă pentru un set de deplasări virtual arbitrare compatibile cu problema lucrul mecanic virtual al forţelor externe aplicate este egal cu lucrul mecanic virtual al forţelor interioare din structură

Se cunoaşte din Teoria Elasticităţii urmatoarea relaţie

(σx

σ y

σ z

τ xy

τ xz

τ yz

)=[ E ](ε x

ε y

ε x

γ xy

γ xz

γ yz

)Unde

[ E ]=matriceade elasticitate

σ =vectorul tensiunilor

ε =vectoruldeformaţiilor specifice

Pentru starea plană de tensiune (2D) matricea de elasticitate este dată de

[ E ]= E1minusν2 [1 ν 0

ν0

1 0

0 1minusν2 ]

ν=coeficientul decontracţie transversală Poisson ν=03minus033

Vectorul deformaţiilor specifice se poate scrie

ε =(part upart xpart vpart ypart wpart z

part upart y

+ part vpart x

part vpart z

+ part wpart y

part wpart x

+ part upart z

)=[part

part x0 0

0 partpart y

0

0part

part y0part

part z

0part

part xpart

part z0

partpart z0part

part ypart

part x

]uvw

[part

part x0 0

0 partpart y

0

0part

part y0part

part z

0part

part xpart

part z0

partpart z0part

part ypart

part x

]= [ L ]=operator diferenţial

uvw= d =vectoruldeplasărilor structurii funcţii de cacircmp

u=u(x y z)

v=v (x y z )

w=w(x y z)

Observaţii1) Ideea de bază este de a exprima funcţiile de cacircmp prin intermediul unor funcţii de

interpolare numite și funcţii de formă prin intermediul coordonatelor generalizate sau deplasărilor nodale ui vi wi

2) De regulă numărul funcţiilor de formă este egal cu numărul nodurilor ce definesc elementul finit pentru o aproximare de ordin superior elementul poate fi definit cu ajutorul unor noduri auxiliare

nod auxiliar

Putem scrie

De exemplu pentru (element patrulater) ndash Proplema 2D

Putem scrie compact matricial

Pentru exemplul anterior

Forțele care acționează asupra structurilor vor fi evaluate icircn lungul deformațiilor virtualeX rarr forțe volumice (bdquode volumrdquo)P rarr forțe de presiune (bdquode suprafațărdquo)Fc rarr forțe concentrate rarrconcentrate aplicate icircn noduri

Lucrul mecanic al forțelor exterioare presupune studierea celor 3 tipuri de forțe

Daca avem 2 matrici

se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale in structură

se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale nodale

Acolo unde nu avem forțe concentrate icircn dreptul se va pune valoarea 0

Deoarece nu depinde de x și y iese de sub integrală așadar obținem

Forțe volumicerarr greutateararr forța centrifugă

Forțe de presiunerarr presiuni pe forțele corpului studiatForțe concentrate dinrarr buloane

rarr nituri rarr cuie etc

rarr cacircmpul virtual al deformațiilor specifice produs de deplasările virtuale nodale

matricea de elasticitate sau matricea modulelor( icircn cazul materialelor compozite)rarr este o matrice simetrică fața de diagonala principală

Icircn consecință din egalitatea celor doua obținem

adică ( I )

Consideracircnd că este un set de deplasări arbitrare compatibile cu structura pentru ca relația ( I ) să fie icircndeplinită trebuie să avem egalitatea

pentru fiecare element finit

Matricea de rigiditate conține următoarele informații

- derivatele funcției de formă ce descriu deformația interioară

- proprietățile elastice ale structurii (constantele inginerești E G sau rigidității EI Gid EA)

EI - rigiditate la icircncovoiere Gid ndash rigiditate la torsiune EA ndash rigiditate la icircntindere compresiune

Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale se obține ecuația elementelor finite la nivelul icircntregii structuri (față de un sistem de referință global) adică

Observații

1) Asamblarea a fost intuită ca proces matematic prin scrierea ecuațiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zăbrele)

2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetrică care icircn lipsa rezemărilor (restricțiilor de deplasare) este o matrice singulară

3) Este important a nu se uita impunerea unor condiții de rezemare compatibile cu structura astfel icircncacirct structura să nu fie mecanism sau corp liber icircn spațiu Impunacircnd aceste condiții matricea devine nesingulară și permite rezolvarea sistemului compatibil determinat

liniar

4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice Gauss-Seidel descompunerea [L]

Determinarea matricii de rigiditate pentru

solicitari de icircncovoiere (icircn plan)

Modelul geometric element unidimensional Numărul de noduri 2 Material E

Momentul de inerţie Bară de secţiune constantă Deformaţii

Pentru a caracteriza comportarea barei de icircncovoiere este necesară utilizarea a două grade de libertate pe nodurile şi (unghi de săgeată)[ ] ndash rad

[ ] - m Observaţii

1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local

2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)

Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui

- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri

avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3

(1)

(2)

Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor

Calculul matricei de rigiditate

Indicații

Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare

M

u u x

x

Polinoamele Hermite de gradul 3

Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual

Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy

XL

YL

V1L

V2

L21

L

XL

1 2

21

T T

M M

Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2

Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy

Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi

Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză

Echivalarea nodală a forțelor

Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite

Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual

(A)

(B)

egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale

Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune

Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată

energia potențială de deformație

part θpart x

=θ2minusθ1

l

intA

r 2dA=id [moment de inerţie polar ]

r2=radic y2+x2

Ud=12int0

l

GId(θ2minusθ1 )2

e2 dx=12

GIde (θ1

2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )

---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă

Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)

partU d

part q i=Qi ( partea staţionară )

q i=θ1θ2

θ1=Ml1

θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate

partU d

part q irarr [ K ]u

partU d

part q1=

part U d

part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId

l (θ1minusθ2 )=Mt1

partU d

part q2=

part U d

partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId

l (θ1+θ2 )=Mt2

Pentru un element de bară de torsiune

GIdl [ 1 minus1

minus1 1 ]θ1

θ2=Mt1

Mt2

[ K ] rarr pentrutorsiune liberă

Bara icircn spaţiu

Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate

Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1

Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2

Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)

minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2

iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest

[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)

Q x=EAL

Q z=EIzL3

Q y=EIyL3

QT=GId

Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local

Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)

Punctul 3isin(xOy) plan local

Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k

Avem următoarele relații de transformări

Deci icircn SR local

Aplicație

Origin=1

Date de intrare

-coordonatele pentru cele n=6 noduri

- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare

-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune

-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară

Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura

=

| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)

- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal

Bare 3D

(continuare)

- matrice de rigiditate in SR general pe element

- pentru o bara 1-2 din strcutura

Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i

este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu

Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea

definită icircn cursul precedent)

După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale

Se rezolvă [ K ] U =F

Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri

Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara

[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global

Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă

local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)

Solicitările F l adică N x1

l T y1

l T z1

l M x1

l M y1

l M z1

l

N x2

l T y2

l T z2

l M x2

l M y2

l M z2

l

Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)

Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo

Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)

Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)

rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)

Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului

Modalităţi de determinare [ K l ] pe element

rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]

Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat

Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)

Elementul triunghiular(izoparametric)

Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global

2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr

3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element

4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens

Element izoparametric

Triunghiul lui Pascal

1

Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1

Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru

este un plan icircn coordonatele

Observație

=gt

Coeficientul lui

Se observă

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

- metoda reziduurilor ponderate (metoda Galerkin)- metode spectrale

Ultimele două metode se utilizează și icircn rezolvarea altor probleme (problema unei curgeri plane potențiale)

Deducerea ecuației elementelor finite cu metoda lucrului mecanic virtual

Teoremă Dacă unui element finit i se imprimă o deplasare virtuală notată atunci conform principiului lucrului mecanic virtual lucrul mecanic al forțelor exterioare (aplicate structurii) este egal cu energia internă de deformație pentru orice cacircmp de deplasări virtuale admisibil

Compatibilitatea cu problema

- deplasări virtuale liniare

- deplasare unghiulară incompatibilă cu

sistemul dat

Solicitare exterioară- sarcini concentrate aplicate icircn noduri- sarcini aplicate pe suprafețe ( presiuni )- sarcini icircn volum

greutate forță centrifugă

Ecuaţia elementului finit Cazul static

Ecuaţia elementului finit se deduce icircn baza ipotezelor menţionate pentru un element finit urmărind a se construi prin asamblare ecuaţia sistemului modelat cu elemente finite

Metode de deducerea) principiul lucrului mecanic virtualb) principiul variaţional minimul energiei de deformaţieEnergia de deformaţie este dată de relaţia

Ud=12∭σεdV

Icircn continuare vom folosi principiul lucrului mecanic virtual un sistem structural supus la legături (condiţii de rezemare) aflat sub acţiunea unor sarcini exterioare se află in echilibru

dacă pentru un set de deplasări virtual arbitrare compatibile cu problema lucrul mecanic virtual al forţelor externe aplicate este egal cu lucrul mecanic virtual al forţelor interioare din structură

Se cunoaşte din Teoria Elasticităţii urmatoarea relaţie

(σx

σ y

σ z

τ xy

τ xz

τ yz

)=[ E ](ε x

ε y

ε x

γ xy

γ xz

γ yz

)Unde

[ E ]=matriceade elasticitate

σ =vectorul tensiunilor

ε =vectoruldeformaţiilor specifice

Pentru starea plană de tensiune (2D) matricea de elasticitate este dată de

[ E ]= E1minusν2 [1 ν 0

ν0

1 0

0 1minusν2 ]

ν=coeficientul decontracţie transversală Poisson ν=03minus033

Vectorul deformaţiilor specifice se poate scrie

ε =(part upart xpart vpart ypart wpart z

part upart y

+ part vpart x

part vpart z

+ part wpart y

part wpart x

+ part upart z

)=[part

part x0 0

0 partpart y

0

0part

part y0part

part z

0part

part xpart

part z0

partpart z0part

part ypart

part x

]uvw

[part

part x0 0

0 partpart y

0

0part

part y0part

part z

0part

part xpart

part z0

partpart z0part

part ypart

part x

]= [ L ]=operator diferenţial

uvw= d =vectoruldeplasărilor structurii funcţii de cacircmp

u=u(x y z)

v=v (x y z )

w=w(x y z)

Observaţii1) Ideea de bază este de a exprima funcţiile de cacircmp prin intermediul unor funcţii de

interpolare numite și funcţii de formă prin intermediul coordonatelor generalizate sau deplasărilor nodale ui vi wi

2) De regulă numărul funcţiilor de formă este egal cu numărul nodurilor ce definesc elementul finit pentru o aproximare de ordin superior elementul poate fi definit cu ajutorul unor noduri auxiliare

nod auxiliar

Putem scrie

De exemplu pentru (element patrulater) ndash Proplema 2D

Putem scrie compact matricial

Pentru exemplul anterior

Forțele care acționează asupra structurilor vor fi evaluate icircn lungul deformațiilor virtualeX rarr forțe volumice (bdquode volumrdquo)P rarr forțe de presiune (bdquode suprafațărdquo)Fc rarr forțe concentrate rarrconcentrate aplicate icircn noduri

Lucrul mecanic al forțelor exterioare presupune studierea celor 3 tipuri de forțe

Daca avem 2 matrici

se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale in structură

se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale nodale

Acolo unde nu avem forțe concentrate icircn dreptul se va pune valoarea 0

Deoarece nu depinde de x și y iese de sub integrală așadar obținem

Forțe volumicerarr greutateararr forța centrifugă

Forțe de presiunerarr presiuni pe forțele corpului studiatForțe concentrate dinrarr buloane

rarr nituri rarr cuie etc

rarr cacircmpul virtual al deformațiilor specifice produs de deplasările virtuale nodale

matricea de elasticitate sau matricea modulelor( icircn cazul materialelor compozite)rarr este o matrice simetrică fața de diagonala principală

Icircn consecință din egalitatea celor doua obținem

adică ( I )

Consideracircnd că este un set de deplasări arbitrare compatibile cu structura pentru ca relația ( I ) să fie icircndeplinită trebuie să avem egalitatea

pentru fiecare element finit

Matricea de rigiditate conține următoarele informații

- derivatele funcției de formă ce descriu deformația interioară

- proprietățile elastice ale structurii (constantele inginerești E G sau rigidității EI Gid EA)

EI - rigiditate la icircncovoiere Gid ndash rigiditate la torsiune EA ndash rigiditate la icircntindere compresiune

Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale se obține ecuația elementelor finite la nivelul icircntregii structuri (față de un sistem de referință global) adică

Observații

1) Asamblarea a fost intuită ca proces matematic prin scrierea ecuațiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zăbrele)

2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetrică care icircn lipsa rezemărilor (restricțiilor de deplasare) este o matrice singulară

3) Este important a nu se uita impunerea unor condiții de rezemare compatibile cu structura astfel icircncacirct structura să nu fie mecanism sau corp liber icircn spațiu Impunacircnd aceste condiții matricea devine nesingulară și permite rezolvarea sistemului compatibil determinat

liniar

4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice Gauss-Seidel descompunerea [L]

Determinarea matricii de rigiditate pentru

solicitari de icircncovoiere (icircn plan)

Modelul geometric element unidimensional Numărul de noduri 2 Material E

Momentul de inerţie Bară de secţiune constantă Deformaţii

Pentru a caracteriza comportarea barei de icircncovoiere este necesară utilizarea a două grade de libertate pe nodurile şi (unghi de săgeată)[ ] ndash rad

[ ] - m Observaţii

1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local

2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)

Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui

- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri

avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3

(1)

(2)

Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor

Calculul matricei de rigiditate

Indicații

Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare

M

u u x

x

Polinoamele Hermite de gradul 3

Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual

Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy

XL

YL

V1L

V2

L21

L

XL

1 2

21

T T

M M

Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2

Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy

Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi

Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză

Echivalarea nodală a forțelor

Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite

Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual

(A)

(B)

egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale

Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune

Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată

energia potențială de deformație

part θpart x

=θ2minusθ1

l

intA

r 2dA=id [moment de inerţie polar ]

r2=radic y2+x2

Ud=12int0

l

GId(θ2minusθ1 )2

e2 dx=12

GIde (θ1

2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )

---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă

Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)

partU d

part q i=Qi ( partea staţionară )

q i=θ1θ2

θ1=Ml1

θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate

partU d

part q irarr [ K ]u

partU d

part q1=

part U d

part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId

l (θ1minusθ2 )=Mt1

partU d

part q2=

part U d

partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId

l (θ1+θ2 )=Mt2

Pentru un element de bară de torsiune

GIdl [ 1 minus1

minus1 1 ]θ1

θ2=Mt1

Mt2

[ K ] rarr pentrutorsiune liberă

Bara icircn spaţiu

Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate

Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1

Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2

Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)

minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2

iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest

[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)

Q x=EAL

Q z=EIzL3

Q y=EIyL3

QT=GId

Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local

Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)

Punctul 3isin(xOy) plan local

Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k

Avem următoarele relații de transformări

Deci icircn SR local

Aplicație

Origin=1

Date de intrare

-coordonatele pentru cele n=6 noduri

- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare

-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune

-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară

Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura

=

| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)

- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal

Bare 3D

(continuare)

- matrice de rigiditate in SR general pe element

- pentru o bara 1-2 din strcutura

Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i

este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu

Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea

definită icircn cursul precedent)

După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale

Se rezolvă [ K ] U =F

Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri

Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara

[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global

Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă

local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)

Solicitările F l adică N x1

l T y1

l T z1

l M x1

l M y1

l M z1

l

N x2

l T y2

l T z2

l M x2

l M y2

l M z2

l

Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)

Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo

Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)

Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)

rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)

Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului

Modalităţi de determinare [ K l ] pe element

rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]

Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat

Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)

Elementul triunghiular(izoparametric)

Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global

2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr

3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element

4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens

Element izoparametric

Triunghiul lui Pascal

1

Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1

Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru

este un plan icircn coordonatele

Observație

=gt

Coeficientul lui

Se observă

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

dacă pentru un set de deplasări virtual arbitrare compatibile cu problema lucrul mecanic virtual al forţelor externe aplicate este egal cu lucrul mecanic virtual al forţelor interioare din structură

Se cunoaşte din Teoria Elasticităţii urmatoarea relaţie

(σx

σ y

σ z

τ xy

τ xz

τ yz

)=[ E ](ε x

ε y

ε x

γ xy

γ xz

γ yz

)Unde

[ E ]=matriceade elasticitate

σ =vectorul tensiunilor

ε =vectoruldeformaţiilor specifice

Pentru starea plană de tensiune (2D) matricea de elasticitate este dată de

[ E ]= E1minusν2 [1 ν 0

ν0

1 0

0 1minusν2 ]

ν=coeficientul decontracţie transversală Poisson ν=03minus033

Vectorul deformaţiilor specifice se poate scrie

ε =(part upart xpart vpart ypart wpart z

part upart y

+ part vpart x

part vpart z

+ part wpart y

part wpart x

+ part upart z

)=[part

part x0 0

0 partpart y

0

0part

part y0part

part z

0part

part xpart

part z0

partpart z0part

part ypart

part x

]uvw

[part

part x0 0

0 partpart y

0

0part

part y0part

part z

0part

part xpart

part z0

partpart z0part

part ypart

part x

]= [ L ]=operator diferenţial

uvw= d =vectoruldeplasărilor structurii funcţii de cacircmp

u=u(x y z)

v=v (x y z )

w=w(x y z)

Observaţii1) Ideea de bază este de a exprima funcţiile de cacircmp prin intermediul unor funcţii de

interpolare numite și funcţii de formă prin intermediul coordonatelor generalizate sau deplasărilor nodale ui vi wi

2) De regulă numărul funcţiilor de formă este egal cu numărul nodurilor ce definesc elementul finit pentru o aproximare de ordin superior elementul poate fi definit cu ajutorul unor noduri auxiliare

nod auxiliar

Putem scrie

De exemplu pentru (element patrulater) ndash Proplema 2D

Putem scrie compact matricial

Pentru exemplul anterior

Forțele care acționează asupra structurilor vor fi evaluate icircn lungul deformațiilor virtualeX rarr forțe volumice (bdquode volumrdquo)P rarr forțe de presiune (bdquode suprafațărdquo)Fc rarr forțe concentrate rarrconcentrate aplicate icircn noduri

Lucrul mecanic al forțelor exterioare presupune studierea celor 3 tipuri de forțe

Daca avem 2 matrici

se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale in structură

se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale nodale

Acolo unde nu avem forțe concentrate icircn dreptul se va pune valoarea 0

Deoarece nu depinde de x și y iese de sub integrală așadar obținem

Forțe volumicerarr greutateararr forța centrifugă

Forțe de presiunerarr presiuni pe forțele corpului studiatForțe concentrate dinrarr buloane

rarr nituri rarr cuie etc

rarr cacircmpul virtual al deformațiilor specifice produs de deplasările virtuale nodale

matricea de elasticitate sau matricea modulelor( icircn cazul materialelor compozite)rarr este o matrice simetrică fața de diagonala principală

Icircn consecință din egalitatea celor doua obținem

adică ( I )

Consideracircnd că este un set de deplasări arbitrare compatibile cu structura pentru ca relația ( I ) să fie icircndeplinită trebuie să avem egalitatea

pentru fiecare element finit

Matricea de rigiditate conține următoarele informații

- derivatele funcției de formă ce descriu deformația interioară

- proprietățile elastice ale structurii (constantele inginerești E G sau rigidității EI Gid EA)

EI - rigiditate la icircncovoiere Gid ndash rigiditate la torsiune EA ndash rigiditate la icircntindere compresiune

Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale se obține ecuația elementelor finite la nivelul icircntregii structuri (față de un sistem de referință global) adică

Observații

1) Asamblarea a fost intuită ca proces matematic prin scrierea ecuațiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zăbrele)

2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetrică care icircn lipsa rezemărilor (restricțiilor de deplasare) este o matrice singulară

3) Este important a nu se uita impunerea unor condiții de rezemare compatibile cu structura astfel icircncacirct structura să nu fie mecanism sau corp liber icircn spațiu Impunacircnd aceste condiții matricea devine nesingulară și permite rezolvarea sistemului compatibil determinat

liniar

4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice Gauss-Seidel descompunerea [L]

Determinarea matricii de rigiditate pentru

solicitari de icircncovoiere (icircn plan)

Modelul geometric element unidimensional Numărul de noduri 2 Material E

Momentul de inerţie Bară de secţiune constantă Deformaţii

Pentru a caracteriza comportarea barei de icircncovoiere este necesară utilizarea a două grade de libertate pe nodurile şi (unghi de săgeată)[ ] ndash rad

[ ] - m Observaţii

1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local

2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)

Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui

- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri

avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3

(1)

(2)

Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor

Calculul matricei de rigiditate

Indicații

Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare

M

u u x

x

Polinoamele Hermite de gradul 3

Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual

Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy

XL

YL

V1L

V2

L21

L

XL

1 2

21

T T

M M

Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2

Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy

Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi

Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză

Echivalarea nodală a forțelor

Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite

Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual

(A)

(B)

egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale

Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune

Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată

energia potențială de deformație

part θpart x

=θ2minusθ1

l

intA

r 2dA=id [moment de inerţie polar ]

r2=radic y2+x2

Ud=12int0

l

GId(θ2minusθ1 )2

e2 dx=12

GIde (θ1

2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )

---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă

Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)

partU d

part q i=Qi ( partea staţionară )

q i=θ1θ2

θ1=Ml1

θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate

partU d

part q irarr [ K ]u

partU d

part q1=

part U d

part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId

l (θ1minusθ2 )=Mt1

partU d

part q2=

part U d

partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId

l (θ1+θ2 )=Mt2

Pentru un element de bară de torsiune

GIdl [ 1 minus1

minus1 1 ]θ1

θ2=Mt1

Mt2

[ K ] rarr pentrutorsiune liberă

Bara icircn spaţiu

Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate

Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1

Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2

Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)

minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2

iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest

[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)

Q x=EAL

Q z=EIzL3

Q y=EIyL3

QT=GId

Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local

Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)

Punctul 3isin(xOy) plan local

Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k

Avem următoarele relații de transformări

Deci icircn SR local

Aplicație

Origin=1

Date de intrare

-coordonatele pentru cele n=6 noduri

- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare

-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune

-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară

Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura

=

| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)

- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal

Bare 3D

(continuare)

- matrice de rigiditate in SR general pe element

- pentru o bara 1-2 din strcutura

Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i

este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu

Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea

definită icircn cursul precedent)

După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale

Se rezolvă [ K ] U =F

Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri

Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara

[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global

Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă

local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)

Solicitările F l adică N x1

l T y1

l T z1

l M x1

l M y1

l M z1

l

N x2

l T y2

l T z2

l M x2

l M y2

l M z2

l

Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)

Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo

Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)

Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)

rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)

Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului

Modalităţi de determinare [ K l ] pe element

rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]

Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat

Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)

Elementul triunghiular(izoparametric)

Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global

2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr

3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element

4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens

Element izoparametric

Triunghiul lui Pascal

1

Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1

Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru

este un plan icircn coordonatele

Observație

=gt

Coeficientul lui

Se observă

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

[part

part x0 0

0 partpart y

0

0part

part y0part

part z

0part

part xpart

part z0

partpart z0part

part ypart

part x

]= [ L ]=operator diferenţial

uvw= d =vectoruldeplasărilor structurii funcţii de cacircmp

u=u(x y z)

v=v (x y z )

w=w(x y z)

Observaţii1) Ideea de bază este de a exprima funcţiile de cacircmp prin intermediul unor funcţii de

interpolare numite și funcţii de formă prin intermediul coordonatelor generalizate sau deplasărilor nodale ui vi wi

2) De regulă numărul funcţiilor de formă este egal cu numărul nodurilor ce definesc elementul finit pentru o aproximare de ordin superior elementul poate fi definit cu ajutorul unor noduri auxiliare

nod auxiliar

Putem scrie

De exemplu pentru (element patrulater) ndash Proplema 2D

Putem scrie compact matricial

Pentru exemplul anterior

Forțele care acționează asupra structurilor vor fi evaluate icircn lungul deformațiilor virtualeX rarr forțe volumice (bdquode volumrdquo)P rarr forțe de presiune (bdquode suprafațărdquo)Fc rarr forțe concentrate rarrconcentrate aplicate icircn noduri

Lucrul mecanic al forțelor exterioare presupune studierea celor 3 tipuri de forțe

Daca avem 2 matrici

se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale in structură

se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale nodale

Acolo unde nu avem forțe concentrate icircn dreptul se va pune valoarea 0

Deoarece nu depinde de x și y iese de sub integrală așadar obținem

Forțe volumicerarr greutateararr forța centrifugă

Forțe de presiunerarr presiuni pe forțele corpului studiatForțe concentrate dinrarr buloane

rarr nituri rarr cuie etc

rarr cacircmpul virtual al deformațiilor specifice produs de deplasările virtuale nodale

matricea de elasticitate sau matricea modulelor( icircn cazul materialelor compozite)rarr este o matrice simetrică fața de diagonala principală

Icircn consecință din egalitatea celor doua obținem

adică ( I )

Consideracircnd că este un set de deplasări arbitrare compatibile cu structura pentru ca relația ( I ) să fie icircndeplinită trebuie să avem egalitatea

pentru fiecare element finit

Matricea de rigiditate conține următoarele informații

- derivatele funcției de formă ce descriu deformația interioară

- proprietățile elastice ale structurii (constantele inginerești E G sau rigidității EI Gid EA)

EI - rigiditate la icircncovoiere Gid ndash rigiditate la torsiune EA ndash rigiditate la icircntindere compresiune

Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale se obține ecuația elementelor finite la nivelul icircntregii structuri (față de un sistem de referință global) adică

Observații

1) Asamblarea a fost intuită ca proces matematic prin scrierea ecuațiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zăbrele)

2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetrică care icircn lipsa rezemărilor (restricțiilor de deplasare) este o matrice singulară

3) Este important a nu se uita impunerea unor condiții de rezemare compatibile cu structura astfel icircncacirct structura să nu fie mecanism sau corp liber icircn spațiu Impunacircnd aceste condiții matricea devine nesingulară și permite rezolvarea sistemului compatibil determinat

liniar

4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice Gauss-Seidel descompunerea [L]

Determinarea matricii de rigiditate pentru

solicitari de icircncovoiere (icircn plan)

Modelul geometric element unidimensional Numărul de noduri 2 Material E

Momentul de inerţie Bară de secţiune constantă Deformaţii

Pentru a caracteriza comportarea barei de icircncovoiere este necesară utilizarea a două grade de libertate pe nodurile şi (unghi de săgeată)[ ] ndash rad

[ ] - m Observaţii

1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local

2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)

Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui

- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri

avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3

(1)

(2)

Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor

Calculul matricei de rigiditate

Indicații

Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare

M

u u x

x

Polinoamele Hermite de gradul 3

Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual

Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy

XL

YL

V1L

V2

L21

L

XL

1 2

21

T T

M M

Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2

Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy

Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi

Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză

Echivalarea nodală a forțelor

Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite

Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual

(A)

(B)

egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale

Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune

Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată

energia potențială de deformație

part θpart x

=θ2minusθ1

l

intA

r 2dA=id [moment de inerţie polar ]

r2=radic y2+x2

Ud=12int0

l

GId(θ2minusθ1 )2

e2 dx=12

GIde (θ1

2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )

---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă

Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)

partU d

part q i=Qi ( partea staţionară )

q i=θ1θ2

θ1=Ml1

θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate

partU d

part q irarr [ K ]u

partU d

part q1=

part U d

part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId

l (θ1minusθ2 )=Mt1

partU d

part q2=

part U d

partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId

l (θ1+θ2 )=Mt2

Pentru un element de bară de torsiune

GIdl [ 1 minus1

minus1 1 ]θ1

θ2=Mt1

Mt2

[ K ] rarr pentrutorsiune liberă

Bara icircn spaţiu

Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate

Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1

Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2

Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)

minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2

iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest

[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)

Q x=EAL

Q z=EIzL3

Q y=EIyL3

QT=GId

Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local

Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)

Punctul 3isin(xOy) plan local

Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k

Avem următoarele relații de transformări

Deci icircn SR local

Aplicație

Origin=1

Date de intrare

-coordonatele pentru cele n=6 noduri

- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare

-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune

-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară

Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura

=

| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)

- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal

Bare 3D

(continuare)

- matrice de rigiditate in SR general pe element

- pentru o bara 1-2 din strcutura

Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i

este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu

Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea

definită icircn cursul precedent)

După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale

Se rezolvă [ K ] U =F

Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri

Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara

[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global

Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă

local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)

Solicitările F l adică N x1

l T y1

l T z1

l M x1

l M y1

l M z1

l

N x2

l T y2

l T z2

l M x2

l M y2

l M z2

l

Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)

Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo

Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)

Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)

rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)

Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului

Modalităţi de determinare [ K l ] pe element

rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]

Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat

Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)

Elementul triunghiular(izoparametric)

Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global

2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr

3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element

4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens

Element izoparametric

Triunghiul lui Pascal

1

Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1

Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru

este un plan icircn coordonatele

Observație

=gt

Coeficientul lui

Se observă

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

Putem scrie

De exemplu pentru (element patrulater) ndash Proplema 2D

Putem scrie compact matricial

Pentru exemplul anterior

Forțele care acționează asupra structurilor vor fi evaluate icircn lungul deformațiilor virtualeX rarr forțe volumice (bdquode volumrdquo)P rarr forțe de presiune (bdquode suprafațărdquo)Fc rarr forțe concentrate rarrconcentrate aplicate icircn noduri

Lucrul mecanic al forțelor exterioare presupune studierea celor 3 tipuri de forțe

Daca avem 2 matrici

se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale in structură

se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale nodale

Acolo unde nu avem forțe concentrate icircn dreptul se va pune valoarea 0

Deoarece nu depinde de x și y iese de sub integrală așadar obținem

Forțe volumicerarr greutateararr forța centrifugă

Forțe de presiunerarr presiuni pe forțele corpului studiatForțe concentrate dinrarr buloane

rarr nituri rarr cuie etc

rarr cacircmpul virtual al deformațiilor specifice produs de deplasările virtuale nodale

matricea de elasticitate sau matricea modulelor( icircn cazul materialelor compozite)rarr este o matrice simetrică fața de diagonala principală

Icircn consecință din egalitatea celor doua obținem

adică ( I )

Consideracircnd că este un set de deplasări arbitrare compatibile cu structura pentru ca relația ( I ) să fie icircndeplinită trebuie să avem egalitatea

pentru fiecare element finit

Matricea de rigiditate conține următoarele informații

- derivatele funcției de formă ce descriu deformația interioară

- proprietățile elastice ale structurii (constantele inginerești E G sau rigidității EI Gid EA)

EI - rigiditate la icircncovoiere Gid ndash rigiditate la torsiune EA ndash rigiditate la icircntindere compresiune

Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale se obține ecuația elementelor finite la nivelul icircntregii structuri (față de un sistem de referință global) adică

Observații

1) Asamblarea a fost intuită ca proces matematic prin scrierea ecuațiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zăbrele)

2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetrică care icircn lipsa rezemărilor (restricțiilor de deplasare) este o matrice singulară

3) Este important a nu se uita impunerea unor condiții de rezemare compatibile cu structura astfel icircncacirct structura să nu fie mecanism sau corp liber icircn spațiu Impunacircnd aceste condiții matricea devine nesingulară și permite rezolvarea sistemului compatibil determinat

liniar

4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice Gauss-Seidel descompunerea [L]

Determinarea matricii de rigiditate pentru

solicitari de icircncovoiere (icircn plan)

Modelul geometric element unidimensional Numărul de noduri 2 Material E

Momentul de inerţie Bară de secţiune constantă Deformaţii

Pentru a caracteriza comportarea barei de icircncovoiere este necesară utilizarea a două grade de libertate pe nodurile şi (unghi de săgeată)[ ] ndash rad

[ ] - m Observaţii

1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local

2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)

Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui

- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri

avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3

(1)

(2)

Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor

Calculul matricei de rigiditate

Indicații

Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare

M

u u x

x

Polinoamele Hermite de gradul 3

Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual

Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy

XL

YL

V1L

V2

L21

L

XL

1 2

21

T T

M M

Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2

Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy

Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi

Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză

Echivalarea nodală a forțelor

Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite

Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual

(A)

(B)

egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale

Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune

Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată

energia potențială de deformație

part θpart x

=θ2minusθ1

l

intA

r 2dA=id [moment de inerţie polar ]

r2=radic y2+x2

Ud=12int0

l

GId(θ2minusθ1 )2

e2 dx=12

GIde (θ1

2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )

---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă

Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)

partU d

part q i=Qi ( partea staţionară )

q i=θ1θ2

θ1=Ml1

θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate

partU d

part q irarr [ K ]u

partU d

part q1=

part U d

part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId

l (θ1minusθ2 )=Mt1

partU d

part q2=

part U d

partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId

l (θ1+θ2 )=Mt2

Pentru un element de bară de torsiune

GIdl [ 1 minus1

minus1 1 ]θ1

θ2=Mt1

Mt2

[ K ] rarr pentrutorsiune liberă

Bara icircn spaţiu

Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate

Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1

Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2

Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)

minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2

iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest

[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)

Q x=EAL

Q z=EIzL3

Q y=EIyL3

QT=GId

Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local

Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)

Punctul 3isin(xOy) plan local

Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k

Avem următoarele relații de transformări

Deci icircn SR local

Aplicație

Origin=1

Date de intrare

-coordonatele pentru cele n=6 noduri

- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare

-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune

-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară

Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura

=

| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)

- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal

Bare 3D

(continuare)

- matrice de rigiditate in SR general pe element

- pentru o bara 1-2 din strcutura

Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i

este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu

Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea

definită icircn cursul precedent)

După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale

Se rezolvă [ K ] U =F

Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri

Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara

[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global

Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă

local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)

Solicitările F l adică N x1

l T y1

l T z1

l M x1

l M y1

l M z1

l

N x2

l T y2

l T z2

l M x2

l M y2

l M z2

l

Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)

Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo

Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)

Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)

rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)

Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului

Modalităţi de determinare [ K l ] pe element

rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]

Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat

Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)

Elementul triunghiular(izoparametric)

Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global

2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr

3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element

4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens

Element izoparametric

Triunghiul lui Pascal

1

Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1

Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru

este un plan icircn coordonatele

Observație

=gt

Coeficientul lui

Se observă

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

Putem scrie compact matricial

Pentru exemplul anterior

Forțele care acționează asupra structurilor vor fi evaluate icircn lungul deformațiilor virtualeX rarr forțe volumice (bdquode volumrdquo)P rarr forțe de presiune (bdquode suprafațărdquo)Fc rarr forțe concentrate rarrconcentrate aplicate icircn noduri

Lucrul mecanic al forțelor exterioare presupune studierea celor 3 tipuri de forțe

Daca avem 2 matrici

se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale in structură

se referă la cacircmpul deplasărilor virtuale nodale

Acolo unde nu avem forțe concentrate icircn dreptul se va pune valoarea 0

Deoarece nu depinde de x și y iese de sub integrală așadar obținem

Forțe volumicerarr greutateararr forța centrifugă

Forțe de presiunerarr presiuni pe forțele corpului studiatForțe concentrate dinrarr buloane

rarr nituri rarr cuie etc

rarr cacircmpul virtual al deformațiilor specifice produs de deplasările virtuale nodale

matricea de elasticitate sau matricea modulelor( icircn cazul materialelor compozite)rarr este o matrice simetrică fața de diagonala principală

Icircn consecință din egalitatea celor doua obținem

adică ( I )

Consideracircnd că este un set de deplasări arbitrare compatibile cu structura pentru ca relația ( I ) să fie icircndeplinită trebuie să avem egalitatea

pentru fiecare element finit

Matricea de rigiditate conține următoarele informații

- derivatele funcției de formă ce descriu deformația interioară

- proprietățile elastice ale structurii (constantele inginerești E G sau rigidității EI Gid EA)

EI - rigiditate la icircncovoiere Gid ndash rigiditate la torsiune EA ndash rigiditate la icircntindere compresiune

Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale se obține ecuația elementelor finite la nivelul icircntregii structuri (față de un sistem de referință global) adică

Observații

1) Asamblarea a fost intuită ca proces matematic prin scrierea ecuațiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zăbrele)

2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetrică care icircn lipsa rezemărilor (restricțiilor de deplasare) este o matrice singulară

3) Este important a nu se uita impunerea unor condiții de rezemare compatibile cu structura astfel icircncacirct structura să nu fie mecanism sau corp liber icircn spațiu Impunacircnd aceste condiții matricea devine nesingulară și permite rezolvarea sistemului compatibil determinat

liniar

4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice Gauss-Seidel descompunerea [L]

Determinarea matricii de rigiditate pentru

solicitari de icircncovoiere (icircn plan)

Modelul geometric element unidimensional Numărul de noduri 2 Material E

Momentul de inerţie Bară de secţiune constantă Deformaţii

Pentru a caracteriza comportarea barei de icircncovoiere este necesară utilizarea a două grade de libertate pe nodurile şi (unghi de săgeată)[ ] ndash rad

[ ] - m Observaţii

1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local

2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)

Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui

- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri

avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3

(1)

(2)

Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor

Calculul matricei de rigiditate

Indicații

Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare

M

u u x

x

Polinoamele Hermite de gradul 3

Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual

Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy

XL

YL

V1L

V2

L21

L

XL

1 2

21

T T

M M

Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2

Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy

Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi

Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză

Echivalarea nodală a forțelor

Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite

Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual

(A)

(B)

egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale

Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune

Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată

energia potențială de deformație

part θpart x

=θ2minusθ1

l

intA

r 2dA=id [moment de inerţie polar ]

r2=radic y2+x2

Ud=12int0

l

GId(θ2minusθ1 )2

e2 dx=12

GIde (θ1

2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )

---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă

Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)

partU d

part q i=Qi ( partea staţionară )

q i=θ1θ2

θ1=Ml1

θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate

partU d

part q irarr [ K ]u

partU d

part q1=

part U d

part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId

l (θ1minusθ2 )=Mt1

partU d

part q2=

part U d

partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId

l (θ1+θ2 )=Mt2

Pentru un element de bară de torsiune

GIdl [ 1 minus1

minus1 1 ]θ1

θ2=Mt1

Mt2

[ K ] rarr pentrutorsiune liberă

Bara icircn spaţiu

Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate

Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1

Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2

Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)

minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2

iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest

[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)

Q x=EAL

Q z=EIzL3

Q y=EIyL3

QT=GId

Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local

Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)

Punctul 3isin(xOy) plan local

Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k

Avem următoarele relații de transformări

Deci icircn SR local

Aplicație

Origin=1

Date de intrare

-coordonatele pentru cele n=6 noduri

- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare

-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune

-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară

Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura

=

| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)

- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal

Bare 3D

(continuare)

- matrice de rigiditate in SR general pe element

- pentru o bara 1-2 din strcutura

Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i

este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu

Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea

definită icircn cursul precedent)

După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale

Se rezolvă [ K ] U =F

Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri

Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara

[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global

Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă

local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)

Solicitările F l adică N x1

l T y1

l T z1

l M x1

l M y1

l M z1

l

N x2

l T y2

l T z2

l M x2

l M y2

l M z2

l

Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)

Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo

Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)

Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)

rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)

Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului

Modalităţi de determinare [ K l ] pe element

rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]

Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat

Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)

Elementul triunghiular(izoparametric)

Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global

2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr

3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element

4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens

Element izoparametric

Triunghiul lui Pascal

1

Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1

Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru

este un plan icircn coordonatele

Observație

=gt

Coeficientul lui

Se observă

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

Forțe volumicerarr greutateararr forța centrifugă

Forțe de presiunerarr presiuni pe forțele corpului studiatForțe concentrate dinrarr buloane

rarr nituri rarr cuie etc

rarr cacircmpul virtual al deformațiilor specifice produs de deplasările virtuale nodale

matricea de elasticitate sau matricea modulelor( icircn cazul materialelor compozite)rarr este o matrice simetrică fața de diagonala principală

Icircn consecință din egalitatea celor doua obținem

adică ( I )

Consideracircnd că este un set de deplasări arbitrare compatibile cu structura pentru ca relația ( I ) să fie icircndeplinită trebuie să avem egalitatea

pentru fiecare element finit

Matricea de rigiditate conține următoarele informații

- derivatele funcției de formă ce descriu deformația interioară

- proprietățile elastice ale structurii (constantele inginerești E G sau rigidității EI Gid EA)

EI - rigiditate la icircncovoiere Gid ndash rigiditate la torsiune EA ndash rigiditate la icircntindere compresiune

Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale se obține ecuația elementelor finite la nivelul icircntregii structuri (față de un sistem de referință global) adică

Observații

1) Asamblarea a fost intuită ca proces matematic prin scrierea ecuațiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zăbrele)

2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetrică care icircn lipsa rezemărilor (restricțiilor de deplasare) este o matrice singulară

3) Este important a nu se uita impunerea unor condiții de rezemare compatibile cu structura astfel icircncacirct structura să nu fie mecanism sau corp liber icircn spațiu Impunacircnd aceste condiții matricea devine nesingulară și permite rezolvarea sistemului compatibil determinat

liniar

4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice Gauss-Seidel descompunerea [L]

Determinarea matricii de rigiditate pentru

solicitari de icircncovoiere (icircn plan)

Modelul geometric element unidimensional Numărul de noduri 2 Material E

Momentul de inerţie Bară de secţiune constantă Deformaţii

Pentru a caracteriza comportarea barei de icircncovoiere este necesară utilizarea a două grade de libertate pe nodurile şi (unghi de săgeată)[ ] ndash rad

[ ] - m Observaţii

1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local

2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)

Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui

- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri

avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3

(1)

(2)

Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor

Calculul matricei de rigiditate

Indicații

Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare

M

u u x

x

Polinoamele Hermite de gradul 3

Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual

Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy

XL

YL

V1L

V2

L21

L

XL

1 2

21

T T

M M

Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2

Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy

Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi

Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză

Echivalarea nodală a forțelor

Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite

Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual

(A)

(B)

egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale

Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune

Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată

energia potențială de deformație

part θpart x

=θ2minusθ1

l

intA

r 2dA=id [moment de inerţie polar ]

r2=radic y2+x2

Ud=12int0

l

GId(θ2minusθ1 )2

e2 dx=12

GIde (θ1

2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )

---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă

Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)

partU d

part q i=Qi ( partea staţionară )

q i=θ1θ2

θ1=Ml1

θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate

partU d

part q irarr [ K ]u

partU d

part q1=

part U d

part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId

l (θ1minusθ2 )=Mt1

partU d

part q2=

part U d

partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId

l (θ1+θ2 )=Mt2

Pentru un element de bară de torsiune

GIdl [ 1 minus1

minus1 1 ]θ1

θ2=Mt1

Mt2

[ K ] rarr pentrutorsiune liberă

Bara icircn spaţiu

Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate

Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1

Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2

Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)

minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2

iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest

[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)

Q x=EAL

Q z=EIzL3

Q y=EIyL3

QT=GId

Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local

Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)

Punctul 3isin(xOy) plan local

Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k

Avem următoarele relații de transformări

Deci icircn SR local

Aplicație

Origin=1

Date de intrare

-coordonatele pentru cele n=6 noduri

- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare

-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune

-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară

Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura

=

| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)

- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal

Bare 3D

(continuare)

- matrice de rigiditate in SR general pe element

- pentru o bara 1-2 din strcutura

Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i

este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu

Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea

definită icircn cursul precedent)

După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale

Se rezolvă [ K ] U =F

Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri

Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara

[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global

Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă

local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)

Solicitările F l adică N x1

l T y1

l T z1

l M x1

l M y1

l M z1

l

N x2

l T y2

l T z2

l M x2

l M y2

l M z2

l

Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)

Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo

Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)

Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)

rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)

Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului

Modalităţi de determinare [ K l ] pe element

rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]

Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat

Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)

Elementul triunghiular(izoparametric)

Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global

2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr

3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element

4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens

Element izoparametric

Triunghiul lui Pascal

1

Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1

Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru

este un plan icircn coordonatele

Observație

=gt

Coeficientul lui

Se observă

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

- proprietățile elastice ale structurii (constantele inginerești E G sau rigidității EI Gid EA)

EI - rigiditate la icircncovoiere Gid ndash rigiditate la torsiune EA ndash rigiditate la icircntindere compresiune

Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale se obține ecuația elementelor finite la nivelul icircntregii structuri (față de un sistem de referință global) adică

Observații

1) Asamblarea a fost intuită ca proces matematic prin scrierea ecuațiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zăbrele)

2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetrică care icircn lipsa rezemărilor (restricțiilor de deplasare) este o matrice singulară

3) Este important a nu se uita impunerea unor condiții de rezemare compatibile cu structura astfel icircncacirct structura să nu fie mecanism sau corp liber icircn spațiu Impunacircnd aceste condiții matricea devine nesingulară și permite rezolvarea sistemului compatibil determinat

liniar

4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice Gauss-Seidel descompunerea [L]

Determinarea matricii de rigiditate pentru

solicitari de icircncovoiere (icircn plan)

Modelul geometric element unidimensional Numărul de noduri 2 Material E

Momentul de inerţie Bară de secţiune constantă Deformaţii

Pentru a caracteriza comportarea barei de icircncovoiere este necesară utilizarea a două grade de libertate pe nodurile şi (unghi de săgeată)[ ] ndash rad

[ ] - m Observaţii

1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local

2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)

Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui

- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri

avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3

(1)

(2)

Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor

Calculul matricei de rigiditate

Indicații

Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare

M

u u x

x

Polinoamele Hermite de gradul 3

Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual

Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy

XL

YL

V1L

V2

L21

L

XL

1 2

21

T T

M M

Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2

Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy

Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi

Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză

Echivalarea nodală a forțelor

Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite

Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual

(A)

(B)

egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale

Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune

Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată

energia potențială de deformație

part θpart x

=θ2minusθ1

l

intA

r 2dA=id [moment de inerţie polar ]

r2=radic y2+x2

Ud=12int0

l

GId(θ2minusθ1 )2

e2 dx=12

GIde (θ1

2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )

---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă

Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)

partU d

part q i=Qi ( partea staţionară )

q i=θ1θ2

θ1=Ml1

θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate

partU d

part q irarr [ K ]u

partU d

part q1=

part U d

part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId

l (θ1minusθ2 )=Mt1

partU d

part q2=

part U d

partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId

l (θ1+θ2 )=Mt2

Pentru un element de bară de torsiune

GIdl [ 1 minus1

minus1 1 ]θ1

θ2=Mt1

Mt2

[ K ] rarr pentrutorsiune liberă

Bara icircn spaţiu

Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate

Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1

Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2

Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)

minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2

iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest

[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)

Q x=EAL

Q z=EIzL3

Q y=EIyL3

QT=GId

Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local

Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)

Punctul 3isin(xOy) plan local

Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k

Avem următoarele relații de transformări

Deci icircn SR local

Aplicație

Origin=1

Date de intrare

-coordonatele pentru cele n=6 noduri

- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare

-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune

-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară

Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura

=

| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)

- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal

Bare 3D

(continuare)

- matrice de rigiditate in SR general pe element

- pentru o bara 1-2 din strcutura

Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i

este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu

Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea

definită icircn cursul precedent)

După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale

Se rezolvă [ K ] U =F

Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri

Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara

[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global

Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă

local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)

Solicitările F l adică N x1

l T y1

l T z1

l M x1

l M y1

l M z1

l

N x2

l T y2

l T z2

l M x2

l M y2

l M z2

l

Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)

Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo

Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)

Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)

rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)

Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului

Modalităţi de determinare [ K l ] pe element

rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]

Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat

Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)

Elementul triunghiular(izoparametric)

Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global

2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr

3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element

4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens

Element izoparametric

Triunghiul lui Pascal

1

Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1

Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru

este un plan icircn coordonatele

Observație

=gt

Coeficientul lui

Se observă

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

[ ] - m Observaţii

1) [ ] se deduce icircntr-un sistem de referinţă local

2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de icircncovoiere (ecuaţiile de echilibru se scriu pe structura nedeformată icircn ipotezele micilor deformaţii şi este valabilă ipoteza secţiunilor plane)

Putem asigura continuitatea deformaţiei dar nu a lui

- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri

avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3

(1)

(2)

Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor

Calculul matricei de rigiditate

Indicații

Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare

M

u u x

x

Polinoamele Hermite de gradul 3

Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual

Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy

XL

YL

V1L

V2

L21

L

XL

1 2

21

T T

M M

Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2

Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy

Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi

Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză

Echivalarea nodală a forțelor

Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite

Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual

(A)

(B)

egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale

Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune

Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată

energia potențială de deformație

part θpart x

=θ2minusθ1

l

intA

r 2dA=id [moment de inerţie polar ]

r2=radic y2+x2

Ud=12int0

l

GId(θ2minusθ1 )2

e2 dx=12

GIde (θ1

2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )

---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă

Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)

partU d

part q i=Qi ( partea staţionară )

q i=θ1θ2

θ1=Ml1

θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate

partU d

part q irarr [ K ]u

partU d

part q1=

part U d

part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId

l (θ1minusθ2 )=Mt1

partU d

part q2=

part U d

partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId

l (θ1+θ2 )=Mt2

Pentru un element de bară de torsiune

GIdl [ 1 minus1

minus1 1 ]θ1

θ2=Mt1

Mt2

[ K ] rarr pentrutorsiune liberă

Bara icircn spaţiu

Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate

Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1

Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2

Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)

minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2

iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest

[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)

Q x=EAL

Q z=EIzL3

Q y=EIyL3

QT=GId

Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local

Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)

Punctul 3isin(xOy) plan local

Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k

Avem următoarele relații de transformări

Deci icircn SR local

Aplicație

Origin=1

Date de intrare

-coordonatele pentru cele n=6 noduri

- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare

-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune

-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară

Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura

=

| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)

- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal

Bare 3D

(continuare)

- matrice de rigiditate in SR general pe element

- pentru o bara 1-2 din strcutura

Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i

este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu

Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea

definită icircn cursul precedent)

După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale

Se rezolvă [ K ] U =F

Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri

Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara

[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global

Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă

local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)

Solicitările F l adică N x1

l T y1

l T z1

l M x1

l M y1

l M z1

l

N x2

l T y2

l T z2

l M x2

l M y2

l M z2

l

Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)

Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo

Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)

Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)

rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)

Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului

Modalităţi de determinare [ K l ] pe element

rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]

Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat

Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)

Elementul triunghiular(izoparametric)

Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global

2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr

3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element

4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens

Element izoparametric

Triunghiul lui Pascal

1

Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1

Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru

este un plan icircn coordonatele

Observație

=gt

Coeficientul lui

Se observă

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

- aproximaţie pentru pe element finit ţinacircndu-se cont că icircn noduri

avem deformaţiile Aproximaţia este polinomială corespunzacircndu-i un polinom de gradul 3

(1)

(2)

Egalăm (1) = (2) identificăm coeficienţii deplasărilor

Calculul matricei de rigiditate

Indicații

Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare

M

u u x

x

Polinoamele Hermite de gradul 3

Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual

Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy

XL

YL

V1L

V2

L21

L

XL

1 2

21

T T

M M

Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2

Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy

Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi

Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză

Echivalarea nodală a forțelor

Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite

Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual

(A)

(B)

egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale

Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune

Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată

energia potențială de deformație

part θpart x

=θ2minusθ1

l

intA

r 2dA=id [moment de inerţie polar ]

r2=radic y2+x2

Ud=12int0

l

GId(θ2minusθ1 )2

e2 dx=12

GIde (θ1

2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )

---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă

Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)

partU d

part q i=Qi ( partea staţionară )

q i=θ1θ2

θ1=Ml1

θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate

partU d

part q irarr [ K ]u

partU d

part q1=

part U d

part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId

l (θ1minusθ2 )=Mt1

partU d

part q2=

part U d

partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId

l (θ1+θ2 )=Mt2

Pentru un element de bară de torsiune

GIdl [ 1 minus1

minus1 1 ]θ1

θ2=Mt1

Mt2

[ K ] rarr pentrutorsiune liberă

Bara icircn spaţiu

Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate

Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1

Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2

Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)

minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2

iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest

[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)

Q x=EAL

Q z=EIzL3

Q y=EIyL3

QT=GId

Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local

Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)

Punctul 3isin(xOy) plan local

Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k

Avem următoarele relații de transformări

Deci icircn SR local

Aplicație

Origin=1

Date de intrare

-coordonatele pentru cele n=6 noduri

- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare

-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune

-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară

Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura

=

| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)

- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal

Bare 3D

(continuare)

- matrice de rigiditate in SR general pe element

- pentru o bara 1-2 din strcutura

Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i

este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu

Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea

definită icircn cursul precedent)

După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale

Se rezolvă [ K ] U =F

Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri

Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara

[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global

Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă

local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)

Solicitările F l adică N x1

l T y1

l T z1

l M x1

l M y1

l M z1

l

N x2

l T y2

l T z2

l M x2

l M y2

l M z2

l

Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)

Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo

Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)

Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)

rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)

Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului

Modalităţi de determinare [ K l ] pe element

rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]

Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat

Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)

Elementul triunghiular(izoparametric)

Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global

2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr

3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element

4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens

Element izoparametric

Triunghiul lui Pascal

1

Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1

Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru

este un plan icircn coordonatele

Observație

=gt

Coeficientul lui

Se observă

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

Calculul matricei de rigiditate

Indicații

Icircnconvoirea icircn baza ipotezelor enunțate presupune urmatoarea schema de deformare

M

u u x

x

Polinoamele Hermite de gradul 3

Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual

Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy

XL

YL

V1L

V2

L21

L

XL

1 2

21

T T

M M

Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2

Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy

Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi

Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză

Echivalarea nodală a forțelor

Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite

Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual

(A)

(B)

egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale

Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune

Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată

energia potențială de deformație

part θpart x

=θ2minusθ1

l

intA

r 2dA=id [moment de inerţie polar ]

r2=radic y2+x2

Ud=12int0

l

GId(θ2minusθ1 )2

e2 dx=12

GIde (θ1

2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )

---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă

Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)

partU d

part q i=Qi ( partea staţionară )

q i=θ1θ2

θ1=Ml1

θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate

partU d

part q irarr [ K ]u

partU d

part q1=

part U d

part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId

l (θ1minusθ2 )=Mt1

partU d

part q2=

part U d

partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId

l (θ1+θ2 )=Mt2

Pentru un element de bară de torsiune

GIdl [ 1 minus1

minus1 1 ]θ1

θ2=Mt1

Mt2

[ K ] rarr pentrutorsiune liberă

Bara icircn spaţiu

Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate

Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1

Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2

Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)

minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2

iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest

[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)

Q x=EAL

Q z=EIzL3

Q y=EIyL3

QT=GId

Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local

Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)

Punctul 3isin(xOy) plan local

Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k

Avem următoarele relații de transformări

Deci icircn SR local

Aplicație

Origin=1

Date de intrare

-coordonatele pentru cele n=6 noduri

- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare

-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune

-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară

Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura

=

| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)

- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal

Bare 3D

(continuare)

- matrice de rigiditate in SR general pe element

- pentru o bara 1-2 din strcutura

Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i

este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu

Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea

definită icircn cursul precedent)

După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale

Se rezolvă [ K ] U =F

Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri

Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara

[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global

Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă

local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)

Solicitările F l adică N x1

l T y1

l T z1

l M x1

l M y1

l M z1

l

N x2

l T y2

l T z2

l M x2

l M y2

l M z2

l

Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)

Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo

Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)

Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)

rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)

Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului

Modalităţi de determinare [ K l ] pe element

rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]

Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat

Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)

Elementul triunghiular(izoparametric)

Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global

2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr

3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element

4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens

Element izoparametric

Triunghiul lui Pascal

1

Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1

Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru

este un plan icircn coordonatele

Observație

=gt

Coeficientul lui

Se observă

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

Să se determine matricea de rigiditate A se folosii relațiile de calcul de la Lm virtual

Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy

XL

YL

V1L

V2

L21

L

XL

1 2

21

T T

M M

Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2

Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy

Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi

Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză

Echivalarea nodală a forțelor

Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite

Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual

(A)

(B)

egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale

Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune

Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată

energia potențială de deformație

part θpart x

=θ2minusθ1

l

intA

r 2dA=id [moment de inerţie polar ]

r2=radic y2+x2

Ud=12int0

l

GId(θ2minusθ1 )2

e2 dx=12

GIde (θ1

2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )

---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă

Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)

partU d

part q i=Qi ( partea staţionară )

q i=θ1θ2

θ1=Ml1

θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate

partU d

part q irarr [ K ]u

partU d

part q1=

part U d

part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId

l (θ1minusθ2 )=Mt1

partU d

part q2=

part U d

partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId

l (θ1+θ2 )=Mt2

Pentru un element de bară de torsiune

GIdl [ 1 minus1

minus1 1 ]θ1

θ2=Mt1

Mt2

[ K ] rarr pentrutorsiune liberă

Bara icircn spaţiu

Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate

Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1

Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2

Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)

minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2

iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest

[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)

Q x=EAL

Q z=EIzL3

Q y=EIyL3

QT=GId

Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local

Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)

Punctul 3isin(xOy) plan local

Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k

Avem următoarele relații de transformări

Deci icircn SR local

Aplicație

Origin=1

Date de intrare

-coordonatele pentru cele n=6 noduri

- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare

-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune

-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară

Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura

=

| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)

- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal

Bare 3D

(continuare)

- matrice de rigiditate in SR general pe element

- pentru o bara 1-2 din strcutura

Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i

este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu

Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea

definită icircn cursul precedent)

După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale

Se rezolvă [ K ] U =F

Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri

Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara

[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global

Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă

local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)

Solicitările F l adică N x1

l T y1

l T z1

l M x1

l M y1

l M z1

l

N x2

l T y2

l T z2

l M x2

l M y2

l M z2

l

Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)

Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo

Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)

Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)

rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)

Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului

Modalităţi de determinare [ K l ] pe element

rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]

Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat

Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)

Elementul triunghiular(izoparametric)

Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global

2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr

3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element

4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens

Element izoparametric

Triunghiul lui Pascal

1

Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1

Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru

este un plan icircn coordonatele

Observație

=gt

Coeficientul lui

Se observă

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

Bara de icircncovoiere plană icircn planul xOy

XL

YL

V1L

V2

L21

L

XL

1 2

21

T T

M M

Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij unde i=12x2 j=12x2

Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy

Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi

Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză

Echivalarea nodală a forțelor

Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite

Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual

(A)

(B)

egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale

Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune

Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată

energia potențială de deformație

part θpart x

=θ2minusθ1

l

intA

r 2dA=id [moment de inerţie polar ]

r2=radic y2+x2

Ud=12int0

l

GId(θ2minusθ1 )2

e2 dx=12

GIde (θ1

2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )

---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă

Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)

partU d

part q i=Qi ( partea staţionară )

q i=θ1θ2

θ1=Ml1

θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate

partU d

part q irarr [ K ]u

partU d

part q1=

part U d

part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId

l (θ1minusθ2 )=Mt1

partU d

part q2=

part U d

partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId

l (θ1+θ2 )=Mt2

Pentru un element de bară de torsiune

GIdl [ 1 minus1

minus1 1 ]θ1

θ2=Mt1

Mt2

[ K ] rarr pentrutorsiune liberă

Bara icircn spaţiu

Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate

Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1

Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2

Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)

minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2

iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest

[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)

Q x=EAL

Q z=EIzL3

Q y=EIyL3

QT=GId

Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local

Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)

Punctul 3isin(xOy) plan local

Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k

Avem următoarele relații de transformări

Deci icircn SR local

Aplicație

Origin=1

Date de intrare

-coordonatele pentru cele n=6 noduri

- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare

-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune

-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară

Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura

=

| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)

- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal

Bare 3D

(continuare)

- matrice de rigiditate in SR general pe element

- pentru o bara 1-2 din strcutura

Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i

este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu

Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea

definită icircn cursul precedent)

După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale

Se rezolvă [ K ] U =F

Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri

Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara

[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global

Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă

local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)

Solicitările F l adică N x1

l T y1

l T z1

l M x1

l M y1

l M z1

l

N x2

l T y2

l T z2

l M x2

l M y2

l M z2

l

Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)

Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo

Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)

Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)

rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)

Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului

Modalităţi de determinare [ K l ] pe element

rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]

Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat

Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)

Elementul triunghiular(izoparametric)

Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global

2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr

3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element

4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens

Element izoparametric

Triunghiul lui Pascal

1

Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1

Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru

este un plan icircn coordonatele

Observație

=gt

Coeficientul lui

Se observă

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

Matricea de icircncovoiere icircn planul xOy

Observație termenii de pe diagonală principală trebuie să fie icircntotdeauna pozitivi

Icircn planul xOz se pun semnele icircn paranteză

Echivalarea nodală a forțelor

Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite

Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual

(A)

(B)

egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale

Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune

Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată

energia potențială de deformație

part θpart x

=θ2minusθ1

l

intA

r 2dA=id [moment de inerţie polar ]

r2=radic y2+x2

Ud=12int0

l

GId(θ2minusθ1 )2

e2 dx=12

GIde (θ1

2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )

---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă

Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)

partU d

part q i=Qi ( partea staţionară )

q i=θ1θ2

θ1=Ml1

θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate

partU d

part q irarr [ K ]u

partU d

part q1=

part U d

part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId

l (θ1minusθ2 )=Mt1

partU d

part q2=

part U d

partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId

l (θ1+θ2 )=Mt2

Pentru un element de bară de torsiune

GIdl [ 1 minus1

minus1 1 ]θ1

θ2=Mt1

Mt2

[ K ] rarr pentrutorsiune liberă

Bara icircn spaţiu

Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate

Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1

Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2

Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)

minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2

iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest

[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)

Q x=EAL

Q z=EIzL3

Q y=EIyL3

QT=GId

Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local

Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)

Punctul 3isin(xOy) plan local

Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k

Avem următoarele relații de transformări

Deci icircn SR local

Aplicație

Origin=1

Date de intrare

-coordonatele pentru cele n=6 noduri

- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare

-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune

-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară

Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura

=

| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)

- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal

Bare 3D

(continuare)

- matrice de rigiditate in SR general pe element

- pentru o bara 1-2 din strcutura

Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i

este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu

Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea

definită icircn cursul precedent)

După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale

Se rezolvă [ K ] U =F

Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri

Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara

[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global

Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă

local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)

Solicitările F l adică N x1

l T y1

l T z1

l M x1

l M y1

l M z1

l

N x2

l T y2

l T z2

l M x2

l M y2

l M z2

l

Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)

Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo

Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)

Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)

rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)

Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului

Modalităţi de determinare [ K l ] pe element

rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]

Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat

Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)

Elementul triunghiular(izoparametric)

Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global

2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr

3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element

4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens

Element izoparametric

Triunghiul lui Pascal

1

Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1

Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru

este un plan icircn coordonatele

Observație

=gt

Coeficientul lui

Se observă

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

Echivalarea nodală a forțelor

Pe bara de icircncovoiere putem avea atacirct forțe și momente concentrate cacirct și forțe și momente distribuite

Echivalarea se face icircn baza principiului Lucrului mecanic virtual

(A)

(B)

egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale

Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune

Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată

energia potențială de deformație

part θpart x

=θ2minusθ1

l

intA

r 2dA=id [moment de inerţie polar ]

r2=radic y2+x2

Ud=12int0

l

GId(θ2minusθ1 )2

e2 dx=12

GIde (θ1

2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )

---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă

Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)

partU d

part q i=Qi ( partea staţionară )

q i=θ1θ2

θ1=Ml1

θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate

partU d

part q irarr [ K ]u

partU d

part q1=

part U d

part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId

l (θ1minusθ2 )=Mt1

partU d

part q2=

part U d

partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId

l (θ1+θ2 )=Mt2

Pentru un element de bară de torsiune

GIdl [ 1 minus1

minus1 1 ]θ1

θ2=Mt1

Mt2

[ K ] rarr pentrutorsiune liberă

Bara icircn spaţiu

Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate

Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1

Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2

Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)

minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2

iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest

[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)

Q x=EAL

Q z=EIzL3

Q y=EIyL3

QT=GId

Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local

Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)

Punctul 3isin(xOy) plan local

Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k

Avem următoarele relații de transformări

Deci icircn SR local

Aplicație

Origin=1

Date de intrare

-coordonatele pentru cele n=6 noduri

- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare

-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune

-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară

Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura

=

| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)

- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal

Bare 3D

(continuare)

- matrice de rigiditate in SR general pe element

- pentru o bara 1-2 din strcutura

Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i

este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu

Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea

definită icircn cursul precedent)

După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale

Se rezolvă [ K ] U =F

Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri

Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara

[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global

Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă

local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)

Solicitările F l adică N x1

l T y1

l T z1

l M x1

l M y1

l M z1

l

N x2

l T y2

l T z2

l M x2

l M y2

l M z2

l

Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)

Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo

Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)

Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)

rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)

Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului

Modalităţi de determinare [ K l ] pe element

rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]

Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat

Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)

Elementul triunghiular(izoparametric)

Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global

2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr

3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element

4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens

Element izoparametric

Triunghiul lui Pascal

1

Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1

Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru

este un plan icircn coordonatele

Observație

=gt

Coeficientul lui

Se observă

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

egalitatea coeficienților deplasărilor virtuale

Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune

Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată

energia potențială de deformație

part θpart x

=θ2minusθ1

l

intA

r 2dA=id [moment de inerţie polar ]

r2=radic y2+x2

Ud=12int0

l

GId(θ2minusθ1 )2

e2 dx=12

GIde (θ1

2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )

---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă

Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)

partU d

part q i=Qi ( partea staţionară )

q i=θ1θ2

θ1=Ml1

θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate

partU d

part q irarr [ K ]u

partU d

part q1=

part U d

part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId

l (θ1minusθ2 )=Mt1

partU d

part q2=

part U d

partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId

l (θ1+θ2 )=Mt2

Pentru un element de bară de torsiune

GIdl [ 1 minus1

minus1 1 ]θ1

θ2=Mt1

Mt2

[ K ] rarr pentrutorsiune liberă

Bara icircn spaţiu

Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate

Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1

Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2

Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)

minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2

iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest

[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)

Q x=EAL

Q z=EIzL3

Q y=EIyL3

QT=GId

Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local

Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)

Punctul 3isin(xOy) plan local

Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k

Avem următoarele relații de transformări

Deci icircn SR local

Aplicație

Origin=1

Date de intrare

-coordonatele pentru cele n=6 noduri

- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare

-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune

-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară

Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura

=

| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)

- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal

Bare 3D

(continuare)

- matrice de rigiditate in SR general pe element

- pentru o bara 1-2 din strcutura

Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i

este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu

Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea

definită icircn cursul precedent)

După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale

Se rezolvă [ K ] U =F

Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri

Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara

[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global

Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă

local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)

Solicitările F l adică N x1

l T y1

l T z1

l M x1

l M y1

l M z1

l

N x2

l T y2

l T z2

l M x2

l M y2

l M z2

l

Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)

Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo

Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)

Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)

rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)

Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului

Modalităţi de determinare [ K l ] pe element

rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]

Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat

Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)

Elementul triunghiular(izoparametric)

Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global

2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr

3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element

4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens

Element izoparametric

Triunghiul lui Pascal

1

Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1

Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru

este un plan icircn coordonatele

Observație

=gt

Coeficientul lui

Se observă

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune

Icircn baza ipotezei considerăm torsiunea liberă sau neicircmpiedicată

energia potențială de deformație

part θpart x

=θ2minusθ1

l

intA

r 2dA=id [moment de inerţie polar ]

r2=radic y2+x2

Ud=12int0

l

GId(θ2minusθ1 )2

e2 dx=12

GIde (θ1

2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )

---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă

Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)

partU d

part q i=Qi ( partea staţionară )

q i=θ1θ2

θ1=Ml1

θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate

partU d

part q irarr [ K ]u

partU d

part q1=

part U d

part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId

l (θ1minusθ2 )=Mt1

partU d

part q2=

part U d

partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId

l (θ1+θ2 )=Mt2

Pentru un element de bară de torsiune

GIdl [ 1 minus1

minus1 1 ]θ1

θ2=Mt1

Mt2

[ K ] rarr pentrutorsiune liberă

Bara icircn spaţiu

Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate

Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1

Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2

Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)

minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2

iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest

[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)

Q x=EAL

Q z=EIzL3

Q y=EIyL3

QT=GId

Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local

Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)

Punctul 3isin(xOy) plan local

Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k

Avem următoarele relații de transformări

Deci icircn SR local

Aplicație

Origin=1

Date de intrare

-coordonatele pentru cele n=6 noduri

- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare

-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune

-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară

Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura

=

| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)

- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal

Bare 3D

(continuare)

- matrice de rigiditate in SR general pe element

- pentru o bara 1-2 din strcutura

Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i

este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu

Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea

definită icircn cursul precedent)

După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale

Se rezolvă [ K ] U =F

Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri

Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara

[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global

Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă

local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)

Solicitările F l adică N x1

l T y1

l T z1

l M x1

l M y1

l M z1

l

N x2

l T y2

l T z2

l M x2

l M y2

l M z2

l

Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)

Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo

Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)

Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)

rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)

Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului

Modalităţi de determinare [ K l ] pe element

rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]

Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat

Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)

Elementul triunghiular(izoparametric)

Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global

2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr

3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element

4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens

Element izoparametric

Triunghiul lui Pascal

1

Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1

Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru

este un plan icircn coordonatele

Observație

=gt

Coeficientul lui

Se observă

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

part θpart x

=θ2minusθ1

l

intA

r 2dA=id [moment de inerţie polar ]

r2=radic y2+x2

Ud=12int0

l

GId(θ2minusθ1 )2

e2 dx=12

GIde (θ1

2minus2θ1 θ2+θ2)2(ener potenţială dedeformaţie )

---gt Ip bara omogenă de secţiune constantă

Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)

partU d

part q i=Qi ( partea staţionară )

q i=θ1θ2

θ1=Ml1

θ2=Ml2 ---gt forţe generalizate

partU d

part q irarr [ K ]u

partU d

part q1=

part U d

part Q1rarr prima liniea sistemului de ecua ţ ii=GId

l (θ1minusθ2 )=Mt1

partU d

part q2=

part U d

partQ 2rarr a doua linie a sistemului de ecuaţii=GId

l (θ1+θ2 )=Mt2

Pentru un element de bară de torsiune

GIdl [ 1 minus1

minus1 1 ]θ1

θ2=Mt1

Mt2

[ K ] rarr pentrutorsiune liberă

Bara icircn spaţiu

Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate

Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1

Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2

Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)

minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2

iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest

[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)

Q x=EAL

Q z=EIzL3

Q y=EIyL3

QT=GId

Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local

Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)

Punctul 3isin(xOy) plan local

Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k

Avem următoarele relații de transformări

Deci icircn SR local

Aplicație

Origin=1

Date de intrare

-coordonatele pentru cele n=6 noduri

- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare

-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune

-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară

Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura

=

| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)

- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal

Bare 3D

(continuare)

- matrice de rigiditate in SR general pe element

- pentru o bara 1-2 din strcutura

Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i

este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu

Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea

definită icircn cursul precedent)

După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale

Se rezolvă [ K ] U =F

Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri

Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara

[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global

Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă

local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)

Solicitările F l adică N x1

l T y1

l T z1

l M x1

l M y1

l M z1

l

N x2

l T y2

l T z2

l M x2

l M y2

l M z2

l

Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)

Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo

Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)

Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)

rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)

Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului

Modalităţi de determinare [ K l ] pe element

rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]

Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat

Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)

Elementul triunghiular(izoparametric)

Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global

2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr

3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element

4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens

Element izoparametric

Triunghiul lui Pascal

1

Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1

Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru

este un plan icircn coordonatele

Observație

=gt

Coeficientul lui

Se observă

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

Pentru un element de bară de torsiune

GIdl [ 1 minus1

minus1 1 ]θ1

θ2=Mt1

Mt2

[ K ] rarr pentrutorsiune liberă

Bara icircn spaţiu

Pentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate 3 rotaţii şi 3 translaţii iar bara de rotaţie va avea 12 grade de libertate

Nod 1 ( forţeormomente )=Nx1 Ty1 Tz1 Mt1 My1 Mz1

Nod 2 (forţe|momente iquest=Nx 2 Ty2 Tz2 Mt2 My2 Mz2

Observație Icircn planul xOy avem (vfz) iar in planul xOz avem (wfy)

minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2

iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest

[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)

Q x=EAL

Q z=EIzL3

Q y=EIyL3

QT=GId

Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local

Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)

Punctul 3isin(xOy) plan local

Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k

Avem următoarele relații de transformări

Deci icircn SR local

Aplicație

Origin=1

Date de intrare

-coordonatele pentru cele n=6 noduri

- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare

-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune

-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară

Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura

=

| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)

- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal

Bare 3D

(continuare)

- matrice de rigiditate in SR general pe element

- pentru o bara 1-2 din strcutura

Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i

este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu

Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea

definită icircn cursul precedent)

După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale

Se rezolvă [ K ] U =F

Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri

Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara

[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global

Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă

local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)

Solicitările F l adică N x1

l T y1

l T z1

l M x1

l M y1

l M z1

l

N x2

l T y2

l T z2

l M x2

l M y2

l M z2

l

Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)

Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo

Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)

Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)

rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)

Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului

Modalităţi de determinare [ K l ] pe element

rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]

Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat

Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)

Elementul triunghiular(izoparametric)

Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global

2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr

3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element

4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens

Element izoparametric

Triunghiul lui Pascal

1

Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1

Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru

este un plan icircn coordonatele

Observație

=gt

Coeficientul lui

Se observă

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

minusiquestu1 v1 w 1 θ1 φy1 φz1 u2 v2 w2 θ2 φy2 φz2

iquestu1 Q x 0 0 0 0 0 minusQ x 0 0 0 iquest0iquestv1 iquest0iquest12Q y iquest0iquest0iquest0iquest6Q y Liquest0iquestminus12Q yiquest0iquest0iquest0 iquest6 Q y L iquestw1iquest0 iquest0iquest12Q yiquest0iquestminus6 Q y Liquest0iquest0iquest0iquestminus12 Q yiquest0iquestminus6Q y L iquest0 iquestθ1iquest0iquest6 Q y Liquest0iquestQT iquest0iquest0iquest0iquest0 iquest0iquestminusQT iquest0iquest0 iquestφy1iquestminus6 Q z Liquest0iquest0iquest0iquest4 Q y L2 iquest0iquest0iquest0iquest6 Q y L iquest0 iquest2Q y L2iquest0iquestφz1iquest 0iquest0 iquest0iquest0iquest0iquest4 Qz iquest0iquestminus6Q z L iquest0 iquest0iquest0iquest2Q z L2 iquestu2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQ xiquest0iquest0iquest0iquest0iquest0iquestv2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Qz iquest0iquest0 iquest0iquestminus6 Q z Liquestw2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest12Q y iquest0iquest6Q y Liquest0iquestθ2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestQT iquest0iquest0iquestφy2 iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4 Q y L2 iquest0iquestφz2iquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquestiquest4Q z L2 iquest

[K] (sistem de referinţă local capăt de bară)

Q x=EAL

Q z=EIzL3

Q y=EIyL3

QT=GId

Pentru definirea sistemului de referință local este nevoie de un al treilea nod de referință auxiliar care să definească planul xOy local

Nodul al treilea nu intră icircn calculele de element finit(nu participă la rezolvarea problemei MEF)

Punctul 3isin(xOy) plan local

Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k

Avem următoarele relații de transformări

Deci icircn SR local

Aplicație

Origin=1

Date de intrare

-coordonatele pentru cele n=6 noduri

- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare

-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune

-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară

Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura

=

| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)

- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal

Bare 3D

(continuare)

- matrice de rigiditate in SR general pe element

- pentru o bara 1-2 din strcutura

Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i

este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu

Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea

definită icircn cursul precedent)

După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale

Se rezolvă [ K ] U =F

Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri

Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara

[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global

Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă

local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)

Solicitările F l adică N x1

l T y1

l T z1

l M x1

l M y1

l M z1

l

N x2

l T y2

l T z2

l M x2

l M y2

l M z2

l

Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)

Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo

Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)

Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)

rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)

Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului

Modalităţi de determinare [ K l ] pe element

rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]

Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat

Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)

Elementul triunghiular(izoparametric)

Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global

2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr

3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element

4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens

Element izoparametric

Triunghiul lui Pascal

1

Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1

Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru

este un plan icircn coordonatele

Observație

=gt

Coeficientul lui

Se observă

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

Dacă r1=x1 ∙i+ y1 ∙ j+z1∙ kr2=x2 ∙i+ y2 ∙ j+z2 ∙ kr3=x3 ∙i+ y3 ∙ j+z3 ∙ k

Avem următoarele relații de transformări

Deci icircn SR local

Aplicație

Origin=1

Date de intrare

-coordonatele pentru cele n=6 noduri

- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare

-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune

-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară

Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura

=

| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)

- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal

Bare 3D

(continuare)

- matrice de rigiditate in SR general pe element

- pentru o bara 1-2 din strcutura

Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i

este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu

Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea

definită icircn cursul precedent)

După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale

Se rezolvă [ K ] U =F

Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri

Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara

[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global

Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă

local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)

Solicitările F l adică N x1

l T y1

l T z1

l M x1

l M y1

l M z1

l

N x2

l T y2

l T z2

l M x2

l M y2

l M z2

l

Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)

Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo

Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)

Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)

rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)

Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului

Modalităţi de determinare [ K l ] pe element

rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]

Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat

Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)

Elementul triunghiular(izoparametric)

Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global

2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr

3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element

4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens

Element izoparametric

Triunghiul lui Pascal

1

Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1

Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru

este un plan icircn coordonatele

Observație

=gt

Coeficientul lui

Se observă

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

Origin=1

Date de intrare

-coordonatele pentru cele n=6 noduri

- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare

-definirea vectorului EA(ne) ce conține rigiditatea la icircntindere-compresiune

-construirea [ k ]l l=1 hellipne pentru fiecare bară

Pentru vizualizarea sistemului de bare se utilizează procedura

=

| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)

- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal

Bare 3D

(continuare)

- matrice de rigiditate in SR general pe element

- pentru o bara 1-2 din strcutura

Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i

este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu

Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea

definită icircn cursul precedent)

După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale

Se rezolvă [ K ] U =F

Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri

Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara

[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global

Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă

local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)

Solicitările F l adică N x1

l T y1

l T z1

l M x1

l M y1

l M z1

l

N x2

l T y2

l T z2

l M x2

l M y2

l M z2

l

Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)

Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo

Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)

Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)

rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)

Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului

Modalităţi de determinare [ K l ] pe element

rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]

Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat

Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)

Elementul triunghiular(izoparametric)

Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global

2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr

3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element

4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens

Element izoparametric

Triunghiul lui Pascal

1

Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1

Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru

este un plan icircn coordonatele

Observație

=gt

Coeficientul lui

Se observă

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

=

| icircnmulţim la dreapta cu (matricea de rotaţie este o matrice ortogonală)

- matricea de rigiditate a barei 3D icircn SRGlobal

Bare 3D

(continuare)

- matrice de rigiditate in SR general pe element

- pentru o bara 1-2 din strcutura

Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i

este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu

Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea

definită icircn cursul precedent)

După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale

Se rezolvă [ K ] U =F

Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri

Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara

[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global

Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă

local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)

Solicitările F l adică N x1

l T y1

l T z1

l M x1

l M y1

l M z1

l

N x2

l T y2

l T z2

l M x2

l M y2

l M z2

l

Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)

Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo

Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)

Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)

rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)

Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului

Modalităţi de determinare [ K l ] pe element

rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]

Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat

Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)

Elementul triunghiular(izoparametric)

Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global

2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr

3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element

4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens

Element izoparametric

Triunghiul lui Pascal

1

Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1

Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru

este un plan icircn coordonatele

Observație

=gt

Coeficientul lui

Se observă

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

Bare 3D

(continuare)

- matrice de rigiditate in SR general pe element

- pentru o bara 1-2 din strcutura

Bara care este un element 1D in spaţiu Pe fiecare nod avem urmatoare deplasări (uvwθ(f x)φ yφ z)i

este matricea de rotaţie sau de transformare icircn SRGlobalAvem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel icircncat nodurile 123 să definească planul (xy) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei şi pentru a calcula tensiunile maxime Exemplu

Observaţie SR local trebuie să fie un sistem central (principal dacă se lucrează cu matricea

definită icircn cursul precedent)

După asamblarea matricilor de rigiditate [ K l ] l=1 hellipn (nr de elemente) Rezultă [ K ] matricea de rigiditate a problemei structurale

Se rezolvă [ K ] U =F

Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri

Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara

[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global

Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă

local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)

Solicitările F l adică N x1

l T y1

l T z1

l M x1

l M y1

l M z1

l

N x2

l T y2

l T z2

l M x2

l M y2

l M z2

l

Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)

Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo

Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)

Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)

rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)

Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului

Modalităţi de determinare [ K l ] pe element

rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]

Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat

Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)

Elementul triunghiular(izoparametric)

Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global

2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr

3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element

4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens

Element izoparametric

Triunghiul lui Pascal

1

Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1

Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru

este un plan icircn coordonatele

Observație

=gt

Coeficientul lui

Se observă

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

Se introduc rarr blocaje rarr deplasări blocate rarr solicitări structuri

Rezultă U - vector ce se foloseşte in etapa de postprocesare rarr vizualizare deformaţii rarr determinarea forţelor icircn fiecare bara

[ K l ] U =F l unde U sunt doar deplasările nodurilor barei icircn sistem de referinţă global

Sau din relaţia U ll = [ R ]U l determinăm deplasările icircn sistemul de referinţă

local(SRL) apoi cu [ K l ] U ll =F l determinăm solicitările icircn fiecare nod SRL)

Solicitările F l adică N x1

l T y1

l T z1

l M x1

l M y1

l M z1

l

N x2

l T y2

l T z2

l M x2

l M y2

l M z2

l

Se utilizează pentru verificare la rezistenţă a barei (SRL) la solicitări compuse (se foloseşte unul din criteriile de rezistenţă)

Starea plană de tensiuneStarea plană de tensiune şi ldquodeformaţiirdquo

Placă plană solicitată icircn planul ei (ldquostare de membranărdquo)

Nu se accept flambajul plăcii ANSYS rarr stare de membrană (plăci subţiri) rarr placă de icircncovoiere (plăci groase)Ipotezele sunt cele formulate icircn cazul teoriei elasticităţiiElementele finite sunt rarr 2D (bidimensionale)

rarr de tip (triangle) rarr de tip (quadrilater)

Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric adică funcţiile de formă utilizate pentru descrierea cacircmpurilor deplasărilor se utilizează şi pentru definirea geometriei elementului

Modalităţi de determinare [ K l ] pe element

rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]

Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat

Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)

Elementul triunghiular(izoparametric)

Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global

2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr

3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element

4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens

Element izoparametric

Triunghiul lui Pascal

1

Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1

Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru

este un plan icircn coordonatele

Observație

=gt

Coeficientul lui

Se observă

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

rarr direct pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate rarr indirect prin transformarea de coordonate ce ldquoaducerdquo elementul icircn coordonate naturale (ex ( ) [minus11 ] [minus11] sau ( ) [ 01 ] [01]

Lucrul icircn coordonate naturale permite utilizarea integrării numerice prin quadratura utilizacircnd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II) Metoda utilizează puncte particulare de integrare cu o anumită pondere astfel icircncat reziduul dintre doua iteraţii sa fie minimizat

Cele doua metode (directă si indirectă) conduc la aceeaşi matrice de rigiditate Pentru elementul cu număr de laturi 4 se preferă metoda indirectă sau reducerea la caz cunoscut prin subicircmpărţirea elementelor icircn elemente de bază (triunghiuri sau patrulatere)

Elementul triunghiular(izoparametric)

Observații 1 Față de elementul de tip bară aici calculele se fac de la icircnceput icircntr-un SR global

2 Putem analiza starea de tensiuni maxime respectiv minime pe placă folosindu-se metoda cercului lui Mohr

3 Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel și pentru celelalte tipuri de elemente finite) există o reprezentare (numerotare) exterioară (nodurile sunt numerotate icircn contextul icircntregii structuri) și o numerotare interioară (123) utilizată doar icircn calculele pentru element

4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens

Element izoparametric

Triunghiul lui Pascal

1

Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1

Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru

este un plan icircn coordonatele

Observație

=gt

Coeficientul lui

Se observă

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

4 Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse icircn același sens

Element izoparametric

Triunghiul lui Pascal

1

Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1

Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru

este un plan icircn coordonatele

Observație

=gt

Coeficientul lui

Se observă

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

1

Deci se pot exprima ca un polinom de gradul 1

Demonstrația o vom face pt - similar se va proceda și pentru

este un plan icircn coordonatele

Observație

=gt

Coeficientul lui

Se observă

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

=gt

Coeficientul lui

Se observă

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

Matricea de rigiditate pe element

Numărul gradelor de libertate=numărul de noduri x numărul gradelor de libertatenod

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

ObservaţieMatricea este o matrice cu elemente constanteDeci rezultă

Matricea de rigiditate are elemente constantedeci nu mai are nevoie de o integrare ulterioară

Aplicație

deplasări nod 5

tensiuni icircn bare

Se neglijează greutatea barei

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

indicaţii6 grade de libertatenod

bare icircn spaţiu

pentru fiecare bară icircn spaţiu trebuie construită matricea de rotaţie

Element finit triunghiular

Exprimare icircn coordonate naturale

SR global

Pentru un sistem de referinţă global

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

Din ()

- - Jacobianul transformării de variabilă

Element izoparametric

()

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

-constant

iquest necunoscutele sunt

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metodă

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

Vom utiliza un element de coordonate naturale

Observatie

1) A nu se depăsi unghiul de 120 de grade in colturi

2) Raportul laturilor maximeminime 5

3) Element patrulater calculul presupune integrare numerica

ne trebuie un polinom linear

Vom folosi o aproximare cvasilineară bazată pe un polinom de gradul II incomplet

Cacircnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete să aibă o reprezentare simentrică

Polinom complet de gr I

Polinom complet de gr II

Polinom complet de gr III

1

ξ η

ξ 2 η 2ξη

ξ 2 η ξη 2 ξ 3 η 3

Vom folosi aceiaşi termini pentru polinomul incomplet

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

şi

Cum calculăm Jacobianul

1 Evaluarea Jacolianului

2 Calculul matricii [B] cu elemente constante

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

Pentru calcularea integralelor se foloseşte Metoda Gauss-Legendre

De studiat Gaussian quadrature ( sursa wwwwikipedia com )

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

Placi icircncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)

Starea spațială (3D) de tensiuni și deformații

Ipoteza Th Elasticității Dependența liniară (material omogen și izotrop comportament pe zona liniară

sau de proporții analitice etc)

Deformările nodale (uvw)i

Starea de tensiune 3D

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plană de tensiuni

Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

Observație

Se observă că avem o exprimare polinomială de ordinul icircntacirci Așadar derivatele funcțiilor de interpolare vor avea valori constante pe element

Similar pentru elementele funcțiilor de forma următoare

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

pentru un element tetraedric izoparametric

Element hexaedric(brick-uri)

Se păstrează ordinea de numerotare a nodurilor Dintre două fețe opuse prima fiind considerară ca fiind bara inferioară se numără icircn sens trigonometric

Bara inferioarămdash1234

Bara superioarămdash5678

1 Condiția de determinare a funcțiilor de formă

ObservațiePolinomul trebuie să aibă 8 coeficienți ce trebuie determinați pentru fiecare deplasare

(uvw)

Pentru polinomul patrulater 2D

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

unde i=128

Exemplu pentru i=5

Din matricea B obținem

Derivatele se obțin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformării

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

Pentru calculul fiecărui element al matricii se utilizează integrarea numerică de tip Gauss-Legendre

- puncte de integrare Gauss-Legendre

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare rarrpuncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D Scopul postprocesării este acela de a furniza o imagine realistă asupra coportării

structurii pentru un set de icircncercări date şi un set de condiţii de rezemări

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

Observaţie Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ţine de experienta

utilizatorului icircn ceea pe priveşte problema datăIcircn general presupunem vizualizări icircn deformaţii contururi izotensiuni sau zone cedare

sau margini de siguranţă urmărire valori şi trasare grafice reprezentative

a) Cacircmp deformaţii

Reţelele de calcul pot fi

- nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor ndash algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicată)

Dezavanjat Presupunem starea matricii de conevtivitate

Element noduri

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

- tetraedre

- hexaedre

( formă complexă specifică acoperită mărginită- -poliedre o suprafaţă mixtă triunghiuri + patrulatere )

- reţele structurale ndash reţele in care se cunoaşte aprioric ordinea modurilor și elementelor

Avantaj nu este nevoie de matrice de conectivitate calcule simplificate

Dezavantaj generarea reţelelor in vecinătatea frontierelor in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )

Reţea structurală mixtă

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

ɳ

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 icircntre reţele care descriu o discretizare structural trebuie asigurată continuitatea nodală

Idei orientative generale - ce reţea se potriveşte mai bine problemei studiate- gradul de icircndesire pe frontiere ( vecinătatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reţele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setări )- număr de noduri elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil

Regula de numerotare icircn cazul reţelelor structurate este următoarea

Reţea structurată utilizată icircntr-un program cu o reţea nestructurată icircn acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate

IVP ( ie 1) = ( i-1 ) N+j

IVP ( ie 2) = i N+j

IVP ( ie 3) = i N+j+1 de ce

IVP ( ie 4) = ( i-1 ) N+j+1

i = 1M

j = 1N

Ce = (i ndash1) (N-1) + j i = 1M-1j=1 N-1 (de ce)

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

Pentru grilele de mai sus se definesc factorii de scalare corespunzători astfel icircncacirct sa fie vizibilă structura deformată (efect geometric)

Cu valorile xd yd se reprezintă structura deformată

b) Contrurul izotensiune se determină automat

Algoritmul este următorul- parcurgere elemente - identificarea primului element cu valoarea σe (sau nod) -se verifică pe fiecare latură dacă σe є [σi σj ]- se verifică celelalte laturi adiacente dacă σe є [σp σk ]- se unesc cu o linie cele două valori- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontieră σe

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

Principiu dacă pe o frontieră a unui element (excluzacircnd frontiera domeniului) există valoarea σe atunci această valoare trebuie să existe şi pe una din celelalte laturi ale elementului

Modelarea elementelor de dinamică a structurilor folosind MEF

Vom folosi modelul de bară cu pereți subțiri și un sistem de axe legat de aripă conform sistemului de referință utilizat de CMA + SAvMC

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

w ( x y t )=ω ( y t )minusxθ( y t)

- Legătura icircntre gradele de libertate ale incovoierii și torsiuniiN1 ( y ) ∙ ω1+N2 ( y ) ∙ φ1+N3 ( y ) ∙ω2+ N4 ( y ) ∙ φ2=ω ( y t )

N 1 ( y ) ∙ θ1(t)+N 2 ( y ) ∙ θ2(t)=xθ ( y t )

Ec=12intvol

ρ w2 ( x y t ) dAdy=12intvol

ρ(w2 ( y t )⏟iquest

minus2x w ( y t )⏟iquest

∙ θ ( y t )⏟iquest

iquest+x2∙ θ2( y t)⏟iquest

)dAdy iquest

- Se introduc aproximările de tip MEF

Introducicircnd m R se va obține

xCG=intA

ρ x dA

mL

Se obține următoarea metrice masică ( q iϵ ω1 φ1 θ1 ω2 φ2 θ2

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

Problemă de dinamică fără amortizare structurală

Pentru o structură complexă se trece la asamblarea matricelor masice și de rigiditate

1 Vom considera aripi cu axa elastică dreaptă( )2 Vom folosi un model de aripă cu deformații principale datorate solicitărilor la

icircncovoiere și torsiunePentru probleme de dinamică a structurilorcele două solicitări se decuplează cacircnd

Deplasările pentru MEF vor fiSe presupune pentru aripă ca avem cunoscute următoarele date structurale

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

Masa distribuită aria secţiunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecărui tronson

Pentru icircncovoierearipa se icircmparte icircn tronsoane ce au secţiunea constrantă

Fiecare element este considerat a fi bară de icircncovoiere-torsiunePentru un tronson(element de bară) determinarea matricii de rigiditate este echivalentă cu

determinarea unei matrici statice(Nu discutăm de matricea de amortizare structurală [C] )

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

Funcţiile de interpolare sunt

Deducerea funcţiilor de interpolare(vezi curs)-bara de icircncovoierebara de torsiune

+ deduceri efectuate pentru [K]

Icircn matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru icircncovoiere si torsiuneicircncacirct matricea [K] va avea următoarea formă

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

Ecuaţia de dinamică o obţinem folosind formalismul LagrangeConsiderăm că avem -grade de libertate

Conduce la matricea

pentru elementalul de bara

bară

corp (Teoria elasticităţii)

Solicitarea de torsiune Matricea masică Probleme de dinamică icircn torsiune

unde

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

Introducem masa elementului de bară (m) şi raza de giraţie (R) Aşadar

unde

Icircn mod asemănător

unde este matricea masică pentru torsiune

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

Matricea masică pentru icircncovoiere Dinamică pentru icircncovoiere

Ipoteza secţiunilor plane (ipoteza Bernoulli)

unde

este neglijabil icircn cazul micilor perturbaţii

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre

unde

este matricea masică

Solicitările decuplate sunt calculate cacircnd

Cuplajul icircntre cele două tipuri de mişcări apar conturate icircn matricea masică

Icircn cazul icircn care avem cuplaj icircn mişcarea icircncovoiere-tensiune

• - tetraedre