Metoda elementului finit n aviaieIntroducere

MEF este o tehnic de discretizare de calcul spaial. Alte tehnici sunt: MDF (metoda cu diferene finite), MVF (metoda volumelor finite), metode spectrale.n aplicaia de tip bare articulate s-au observat urmtoarele idei, care vor fi dezvoltate matematic i conceptual de-a lungul cursului:Remarc 1: Ne vom referi la aplicarea MEF n calculul i analiza structurilor de aviaie.Remarc 2: MEF se aplic i n CFD, probleme de impact contact, probleme sau metode cu suprafa liber.

1. Structura este discretizat geometric n elemente simple: Segmente (1D), Arii/suprafee plane (2D), Corpuri/figuri geometrice sau volume (3D).

1D element unidimensional

dreapata d

Sub form parametrizat, ecuaia dreptei se scrie:

2D element bidimensional

Sistemul de referin este quasiortogonal ataat suprafeei.

sau

Exemplu:

3D element tridimensional

Observaia 1: Sistemul local definit anterior formeaz un sistem de referin natural.Prin utilizarea coordonatelor naturale un patrulater se transform n ptrat i un element hexaedric se transform ntr-un cub (vezi cursuri urmtoare).Observaia 2: Fiecare element este definit de noduri.In noduri, funcia necunoscut (deplasrile) se va calcula.

Nodurile pot fi in calculul cu MEF:1. Active: In aceste noduri se calculeaz funcia necunoscuta (deplasrile).Nodurile contribuie la crearea matricii de rigiditate a sistemului structural la asamblare.2. Pasive: Acestea pot avea urmtoarele funcii: - definirea sistemului de referin local - creterea gradului de aproximare geometric a suprafeei (suprafee curbe,elemente curbe) - creterea gradului de aproximare pe element pentru funcia necunoscut (deplasri nodale)

n1,n2 noduri active; n3 nod auxiliar

Exemplu: -se construiete matricea de rigiditate pe element cu toate nodurile active sau pasive -matricea de rigiditate se condenseaz, eliminnd liniile i coloanele corespunztoare nodurilor auxiliare.De regul, eliminarea nodurilor auxiliare se face prin procedeul de asamblare a matricilor de rigiditate.

3.Construcia matricii de rigiditate locale pentru fiecare elementProcedura de programare nu folosete stocarea matricilor de rigiditate.n construcia matricilor de rigiditate local avem nevoie de:a) Un formalism matematic ce are la baz ecuaiile difereniale ce descriu problema analizat (curgerea fluidului-ecuaiile curgerii fluidului; caz prezent-ecuaiile elesticitaii,eventual particularitai pentru bare sau plci folosind o serie de ipoteze de lucru).b) Un model de aproximare (interpolare) pentru geometrie, cmp de variabil necunoscut (in sistemul de referin local).

Pentru geometrie:

n ipoteza micilor perturbaii (teoria liniar) pe zona de proporionalitate a materialelor, ne aflm pe domeniul liniar-elastic.La solicitarea de ntindere: , -elongaie, deformaie liniar specific

Din condiiile de mai sus rezult:

Aadar:

Unde:

;

se numesc funcii de form (de interpolare)

Cmpul necunoscut se exprim prin funcia:

Observaie:Atunci cnd, pentru reprezentarea geometriei elementului respectiv n repezentarea cmpului variabilei necunoscute, se utilizeaz aceeai funcie de form, se spune c elementul este izoparametru.Matematic, funciile de form, vor fi construite folosindu-se baza polinomial (funciile de form vor fi polinoame).Suma funciilor de form este unu. Acestea vor da ponderile cu care fiecare valoare din nod intervine n valoarea necunoscutei(deplasrii) dintr-un punct aparinnd elementului.

Funciile de form iau valori maxime n nodul asociat.

Cnd se realizeaz aproximarea geometriei i, respectiv a cmpului variabilelor, condiia necesar dar nu suficient este asigurarea continuitii de clas .

Observaie: Matricea de rigiditate conine derivatele funciilor de form.

4.Transformarea (scriere valabil pentru elementele din sistemul de referin global) presupune utilizarea unei matrice de transformare sau de rotaie.

Versorii sistemului local vor fi:

Iar scrierea lor sub form matricial va fi:

Deplasrile i n sistemul local pentru punctele 1 i 2 considerate, vor fi:

Similar se va proceda i pentru fore (vezi discuiile de la bara articulat).

Se consider matrice ortogonal

Relaia , mai poate fi scris i sub urmtoarea form:

, nmulim la dreapta cu i va rezulta:

-reprezint matricea de rigiditi n sistemul global;

- reprezint matricea forelor interioare i cele exterioare (efect cumulat) sau aplicate n noduri.

5. Rezult -pe element6. Asamblarea matricilor de rigiditate n matricea de rigiditate a structurii (exerciiu de asamblare de a bare articulate).

Matematic, se pleac cu o matrice structural plin de zerouri i aceasta este umplut cu matricile de rigiditate pentru fiecare element. Aceast procedur se numete asamblare i fiecare linie a matricii de rigiditate globale conine modul n care informaia din nodurile vecine necunoscute modului curent contribuie la valoarea funciei cunoscute (deplasrilor necunoscute) din acest nod.

Elemente: 1-7 - ; 2-7 - ; 7-3 - ;

(pentru ntreaga structur)Observatie: Forele interioare din noduri au suma zero.Atenie asupra modului de parcurgere a noduri: trebuie s fie aceeai regul de parcurgere a nodurilor pentru toate elementele.

Vectorul va conine doar fore exterioare aplicate n noduri dup direciile sistemului de rigiditate global.

7. matrice simetric (cu elemente pozitive pe diagonala principal)Introducerea condiiilor la limit (CL) sau n cazul structurilor, a condiiilor de rezemare.Observaie: Condiiile de rezemare trebuie s fie corect puse astfel nct sistemul s nu fie mecanism.Modaliti de impunere a CL:1. Scoaterea liniilor i coloanelor corespunztoare deplasrilor blocate i rezolvarea sistemului.2. Linia sistemului corespunztoare deplasrii blocate se face zero i se pune n poziia deplasrii blocate.8.Rezolvarea sistemului liniar, compatibil determinat

campul deplasrilor nodale {U} ale structurii {U}- cu deplasrile modale se post proceseaz rezultatele i obinem:- structur deformat- tensiuni n bareObservaie: Deplasrile nodale se numesc grade libertate. Pentru un sistem de bare articulate obinem 2 grade de libertate.

Ecuaiile elementului finitCazul Static

Sistem de bare articulate metoda echilibrului forelor duce la formularea problemei strcturale n deplasri.

Deci sistematiznd problema MEF poate fi algoritmizat urmnd schema de principiu de mai jos1.Sistemul fizic supus analizei;

2.Modul matematic alctuit de regul dinEcuaii difereniale sau integrale;

3.Model discret Ne referim la faptul c vom calcula valori ;

4.Soluia discret specifie in noduri;5.Interpretarea rezultatelor;

Paii sunt intercorelai, de exempluntre modelul discret si soluia discret exist eroarea de calcul, datorat ordinului de precizie mic al ecuaiilor repective folosite,etc.ntre modelul matematic i soluia discret exist modelare,discretizare i eroare de calcul.ntre sistemul fizic i soluia discret exist eroare conceptual.

Din punct de vedere tehnic exist 4 etape si anume1.Idealizare2.Discretizare3.Soluionarea4.Postprocesare

A.Pentru a soluiona parte de pre procesare, presupunem un program MEF (generic)

GeometrieKeypoints - Linii - Suprafee Linii (Lines) - Suprafee - Volume Volume(Volumes)

Definire Material - tip material - izotrop - anizotrop - ortotop, etc. - setri constante inginereti (module de elasticitate i constante de contracie ale lui Poisson) - proprietati fizice(densitatea materialului de dilatare termic)

Definire elemente finite - geometria problemei - problema fizic studiat - n situaia folosirii mai multor tipuri de elemente, dar trebuie s fie compatibil ntre ele la nivelul interfeei.Se accept:

Nu se accept:

Definire displacements ( blocaje / rezemri ) viteze / acceleraii ( structuri masive acceleraii gravitaionale ) LOADS ( ncrcri )n cazul discretizrii normale se obinuiete utilizarea mai multor tipuri de elemente care trebuie s fie compatibile ntre ele la nivelul interfeii.Blocaje:B1. - rezem

2. - articulaie

3. - ncastrri

4. Blocaje particulare

Reamintim: Blocajele i solicitarile se aplic n nodurile MEF (noduri reale), n noduri se definesc gradele de libertate sau coordonatele generalizate ale problemei. La structur, gradele de libertate sunt deplasrile nodale: (u,v,w) n cazul corpului 3D, (u,v) stare plan de tensiuni, membran, (v, ) deplasare unghiular, respectiv liniar pentru bar de ncovoiere i (u, v, w, , y, z) pentru bare solicitate 3D.Sarcinile i ncastrrile reprezint solicitri externe aplicate structurii. Acestea se aplic, de regul, direct n nodurile modelului MEF.

ANSYSB.Soluionarea sau rezolvarea problemei:Probleme de static Problemele se rezolv automat cu un model de setri dac este cazul: matricea asamblarii [K] reyolvare sistem liniar [K] {u} = {F} asociat problemei structurale rezult cmpul deplasrilor nodaleProbleme de tip: vibraii dinamic impact cuplate (probleme interaciune): structur cmp term fluid structurSe definesc parametrii de rezolvare pentru: soluia de integrare n timp (timp, pas de timp, param relaxare) pentru domeniul de frecvene de interes (vibraii) (dom frecv de interes, modul de deformare i distingere elemente, param de flambaj, de ncrcare succesiv)

-Fenomen de moarte a elementelor

C. Postprocesarea Etap necuantificabil deoarece ine de pregatirea i cunotinele utilizatorului.

Cmpul deformaiilor se utilizeaz pentru vizualizri: deformaie structural cmpuri izotensiuni tensiuni echivalente (von Mises) criterii de rezisten / margini de siguran

Ipotezele calculului structural static folosind MEFIpoteze : date de comportarea materialului date de comportarea structurii

A.1. Materialul este considerat un mediu continuu, omogen i izotrop.2. Proprietile materialului sunt invariante n timp.3. Materialul are o comportare liniar-elastic i satisface legea lui Hooke.B.1. Relaia for-deplasare este liniar.

2. Deformaiile structurii sunt mici n comparaie cu dimensiunile structurii.3. Relaiile dintr deformaiile specifice i deplasri sunt relaii difereniale liniare.4. Relaiile dintre tensiuni i deformaiile specific sunt liniare i sunt date de legea lui Hooke generalizat.5. Structura este un sistem conservativ n lipsa amortizrilor structurale.6. Se admite principiul suprapunerii efectelor (nu conteaz ordinea de aplicare a solicitrilor).7. Rigiditatea i flexibilitatea structurii depind de caracteristicile structurii i natura materialului (geometria structural).8. n condiiile anterior enunate se mai pot admite i alte ipoteze, cum ar fi: ipoteza seciunilor plane sau Bernoulli n cazul barelor ipoteza Kirchoff-Love n cazul plcilor plane i curbe subiri.

Deducerea ecuaiei elementelor finite pentru cazul staticMetode de lucru:1. Metode energetice metoda energiei poteniale minime (dac asupra unui corp acioneaz un sistem de fore i constrngeri, corpul tinde s ocupe starea de energie potenial minim). metoda lucrului mecanic virtual metoda reziduurilor ponderate (metoda Galerkin) metode spectraleUltimele dou metode se utilizeaz i n rezolvarea altor probleme (problema unei curgeri plane, poteniale).Deducerea ecuaiei elementelor finite cu metoda lucrului mecanic virtual

Teorem: Dac unui element finit i se imprim o deplasare virtual, notat , atunci, conform principiului lucrului mecanic virtual, lucrul mecanic al forelor exterioare (aplicate structurii) este egal cu energia intern de deformaie pentru orice cmp de deplasri virtuale admisibil .Compatibilitatea cu problema deplasri virtuale liniare deplasare unghiular incompatibil cu sistemul dat

Solicitare exterioar: sarcini concentrate aplicate n noduri sarcini aplicate pe suprafee ( presiuni ) sarcini n volum: greutate for centrifug

Ecuaia elementului finit. Cazul static

Ecuaia elementului finit se deduce n baza ipotezelor menionate pentru un element finit urmrind a se construi prin asamblare ecuaia sistemului modelat cu elemente finite.

Metode de deducere:a) principiul lucrului mecanic virtual;b) principiul variaional : minimul energiei de deformaie;Energia de deformaie este dat de relaia:

n continuare vom folosi principiul lucrului mecanic virtual: un sistem structural supus la legturi (condiii de rezemare) aflat sub aciunea unor sarcini exterioare se afl in echilibru dac pentru un set de deplasri virtual arbitrare, compatibile cu problema, lucrul mecanic virtual al forelor externe aplicate este egal cu lucrul mecanic virtual al forelor interioare din structur. Se cunoate din Teoria Elasticitii urmatoarea relaie:

Unde:

Pentru starea plan de tensiune (2D) matricea de elasticitate este dat de:

Vectorul deformaiilor specifice se poate scrie:

Observaii:1) Ideea de baz este de a exprima funciile de cmp prin intermediul unor funcii de interpolare numite i funcii de form prin intermediul coordonatelor generalizate sau deplasrilor nodale ui, vi, wi ;2) De regul numrul funciilor de form este egal cu numrul nodurilor ce definesc elementul finit; pentru o aproximare de ordin superior elementul poate fi definit cu ajutorul unor noduri auxiliare.

nod auxiliar

Putem scrie:

De exemplu, pentru (element patrulater) Proplema 2D

Putem scrie compact matricial:

Pentru exemplul anterior:

Forele care acioneaz asupra structurilor vor fi evaluate n lungul deformaiilor virtuale.X fore volumice (de volum)P fore de presiune (de suprafa)Fc fore concentrate concentrate aplicate n noduriLucrul mecanic al forelor exterioare presupune studierea celor 3 tipuri de fore.

Daca avem 2 matrici:

se refer la cmpul deplasrilor virtuale in structur

se refer la cmpul deplasrilor virtuale nodale

Acolo unde nu avem fore concentrate n dreptul se va pune valoarea 0.

Deoarece nu depinde de x i y iese de sub integral, aadar obinem:

Fore volumice greutatea; fora centrifug.Fore de presiune presiuni pe forele corpului studiat.Fore concentrate din buloane; nituri; cuie, etc.

cmpul virtual al deformaiilor specifice produs de deplasrile virtuale nodale.

matricea de elasticitate sau matricea modulelor( n cazul materialelor compozite) este o matrice simetric faa de diagonala principal.

n consecin, din egalitatea celor doua obinem:

adic: ( I )

Considernd c este un set de deplasri arbitrare compatibile cu structura, pentru ca relaia ( I ) s fie ndeplinit trebuie s avem egalitatea:

pentru fiecare element finit.Matricea de rigiditate conine urmtoarele informaii: derivatele funciei de form ce descriu deformaia interioar proprietile elastice ale structurii (constantele inginereti E, G, sau rigiditii: EI, Gid, EA) EI - rigiditate la ncovoiere Gid rigiditate la torsiune EA rigiditate la ntindere compresiune.Prin procesul de asamblare a matricilor de rigiditate locale, se obine ecuaia elementelor finite la nivelul ntregii structuri (fa de un sistem de referin global), adic:

Observaii : 1) Asamblarea a fost intuit ca proces matematic prin scrierea ecuaiilor de echilibru nodale (vezi grinzi cu zbrele).2) Din scrierea matricii de rigiditate (modul de calcul) matricea este o matrice simetric care n lipsa rezemrilor (restriciilor de deplasare) este o matrice singular.

!

3) Este important a nu se uita impunerea unor condiii de rezemare compatibile cu structura, astfel nct structura s nu fie mecanism sau corp liber n spaiu. Impunnd aceste condiii, matricea devine nesingular i permite rezolvarea sistemului compatibil determinat liniar: 4) Metodele de rezolvare pentru sistemul liniar compatibil determinat sunt metode directe sau interative contruite pentru matrici simetrice: Gauss-Seidel, descompunerea [L].

Determinarea matricii de rigiditate pentru solicitari de ncovoiere (n plan)

Modelul geometric: element unidimensional Numrul de noduri: 2 Material, E, ; Momentul de inerie Bar de seciune constant Deformaii:

Pentru a caracteriza comportarea barei de ncovoiere este necesar utilizarea a dou grade de libertate pe nodurile i (unghi de sgeat).

[] rad

[] - m Observaii:

1) [] se deduce ntr-un sistem de referin local.2) Sunt valabile ipotezele utilizate la bara de ncovoiere (ecuaiile de echilibru se scriu pe structura nedeformat, n ipotezele micilor deformaii i este valabil ipoteza seciunilor plane).

Putem asigura continuitatea deformaiei dar nu a lui .

- aproximaie pentru pe element finit inndu-se cont c n noduri avem deformaiile .Aproximaia este polinomial, corespunzndu-i un polinom de gradul 3.

(1)

(2)

Egalm (1) = (2) identificm coeficienii deplasrilor .

Polinoamele Hermite de gradul 3

Calculul matricei de rigiditate Indicaii

nconvoirea n baza ipotezelor enunate presupune urmatoarea schema de deformare: M

u u x

x

*S se determine matricea de rigiditate . A se folosii relaiile de calcul de la Lm virtual.

Bara de ncovoiere plan n planul xOy

Modul de calcul este similar pentru toate componenetele kij, unde i=1,..,2x2 , j=1,..,2x2.

Matricea de ncovoiere n planul xOy:

Observaie: termenii de pe diagonal principal trebuie s fie ntotdeauna pozitivi.n planul xOz se pun semnele n parantez.

Echivalarea nodal a forelorPe bara de ncovoiere putem avea att fore i momente concentrate, ct i fore i momente distribuite.

Echivalarea se face n baza principiului Lucrului mecanic virtual. (A): (B):

egalitatea coeficienilor deplasrilor virtuale

Matricea de rigiditate pentru solicitarea de torsiune.n baza ipotezei considerm torsiunea liber sau nempiedicat.

energia potenial de deformaie

---> Ip. bara omogen de seciune constant

Matricea de rigiditate (formulare-formalism Lagrange)

---> fore generalizate

Pentru un element de bar de torsiune:

Bara n spaiuPentru fiecare nod al barei vor exista 6 grade de libertate: 3 rotaii i 3 translaii, iar bara de rotaie va avea 12 grade de libertate.

Observaie: n planul xOy avem (v,fz), iar in planul xOz avem (w,fy)

[K] (sistem de referin local, capt de bar)

Pentru definirea sistemului de referin local este nevoie de un al treilea nod de referin auxiliar care s defineasc planul xOy local.Nodul al treilea nu intr n calculele de element finit(nu particip la rezolvarea problemei MEF)Punctul 3(xOy) plan local:

Dac : Avem urmtoarele relaii de transformri:

Deci n SR local :

Aplicaie

Origin=1 Date de intrare:-coordonatele pentru cele n=6 noduri

- definirea matricii de conectivitate pentru cele ne=8 bare-definirea vectorului EA(ne) ce conine rigiditatea la ntindere-compresiune-construirea pentru fiecare barPentru vizualizarea sistemului de bare se utilizeaz procedura:

=, .

| nmulim la dreapta cu (matricea de rotaie este o matrice ortogonal).

- matricea de rigiditate a barei 3D n SRGlobal.

Bare 3D(continuare)

- matrice de rigiditate in SR general pe element.

- pentru o bara 1-2 din strcutura.Bara care este un element 1D in spaiu. Pe fiecare nod avem urmatoare deplasri: (u,v,w,(),,)i

este matricea de rotaie sau de transformare n SRGlobal.Avem nevoie de nodul 3 auxiliar care se alege convenabil astfel ncat nodurile 1,2,3 s defineasc planul (x,y) local barei pentru a stabili orientarea profilului barei i pentru a calcula tensiunile maxime. Exemplu:

Observaie: SR local trebuie s fie un sistem central (principal dac se lucreaz cu matricea definit n cursul precedent).

Dup asamblarea matricilor de rigiditate , (nr de elemente). Rezult , matricea de rigiditate a problemei structurale.Se rezolv .Se introduc blocaje deplasri blocate solicitri structuriRezult - vector ce se folosete in etapa de postprocesare: vizualizare deformaii determinarea forelor n fiecare bara

, unde sunt doar deplasrile nodurilor barei n sistem de referin global.Sau din relaia : determinm deplasrile n sistemul de referin local(SRL), apoi cu determinm solicitrile n fiecare nod SRL).Solicitrile , adic Se utilizeaz pentru verificare la rezisten a barei (SRL) la solicitri compuse (se folosete unul din criteriile de rezisten).

Starea plan de tensiuneStarea plan de tensiune i deformaii

Plac plan solicitat n planul ei (stare de membran)

Nu se accept flambajul plcii, ANSYS stare de membran (plci subiri) plac de ncovoiere (plci groase)Ipotezele sunt cele formulate n cazul teoriei elasticitii.Elementele finite sunt: 2D (bidimensionale) de tip (triangle) de tip (quadrilater)

Uzual se folosesc elemente de tip izoparametric, adic funciile de form utilizate pentru descrierea cmpurilor deplasrilor se utilizeaz i pentru definirea geometriei elementului.

Modaliti de determinare pe element: direct, pornindu-se de la utilizarea unor polinoame de interpolare adecvate indirect, prin transformarea de coordonate ce aduce elementul n coordonate naturale (ex: sau

Lucrul n coordonate naturale permite utilizarea integrrii numerice prin quadratura utiliznd metoda Gauss-Legendre (vezi metode numerice-anul II). Metoda utilizeaz puncte particulare de integrare cu o anumit pondere astfel ncat reziduul dintre doua iteraii sa fie minimizat.

Cele doua metode (direct si indirect) conduc la aceeai matrice de rigiditate. Pentru elementul cu numr de laturi 4 se prefer metoda indirect sau reducerea la caz cunoscut prin submprirea elementelor n elemente de baz (triunghiuri sau patrulatere).

Elementul triunghiular(izoparametric)

Observaii: 1. Fa de elementul de tip bar, aici calculele se fac de la nceput ntr-un SR global.

2. Putem analiza starea de tensiuni maxime, respectiv minime pe plac folosindu-se metoda cercului lui Mohr.

3. Pentru elementul triunghiular ( ca de altfel i pentru celelalte tipuri de elemente finite) exist o reprezentare (numerotare) exterioar (nodurile sunt numerotate n contextul ntregii structuri) i o numerotare interioar (1,2,3) utilizat doar n calculele pentru element.

4. Nodurile pe elemente finite trebuiesc parcurse n acelai sens.

Element izoparametric:

Triunghiul lui Pascal: 1

Deci , se pot exprima ca un polinom de gradul 1.

Demonstraia o vom face pt - similar se va proceda i pentru

este un plan n coordonatele ;

Observaie:

=>

;

Coeficientul lui :

, ,

Se observ:

Matricea de rigiditate pe element:

Numrul gradelor de libertate=numrul de noduri x numrul gradelor de libertate/nod

Observaie:Matricea este o matrice cu elemente constante.Deci rezult:

Matricea de rigiditate are elemente constante,deci nu mai are nevoie de o integrare ulterioar.Aplicaie

, Se neglijeaz greutatea barei.

deplasri nod 5tensiuni n bare

indicaii:6 grade de libertate/nod bare n spaiu

pentru fiecare bar n spaiu trebuie construit matricea de rotaie

Element finit triunghiular

Exprimare n coordonate naturale

SR globalPentru un sistem de referin global:

(*)

Din (*)

- - Jacobianul transformrii de variabil

Element izoparametric:

-constant

;

necunoscutele sunt: ,

- matrice cu elemente constante

-rezultat identic cu prima metod

Element patrulater

Vom utiliza un element de coordonate naturale;

Observatie:1) A nu se depsi unghiul de 120 de grade in colturi.

2) Raportul laturilor maxime/minime 5.

3) Element patrulatercalculul presupune integrare numerica.

ne trebuie un polinom linear.Vom folosi aceiai termini pentru polinomul incompletPolinom complet de gr. IPolinom complet de gr. IIPolinom complet de gr. III

Vom folosi o aproximare cvasilinear bazat pe un polinom de gradul II incomplet. 2 2 3 3 2 21

Cnd se folosesc polinoame incomplete e necesar ca polinomul incomplete s aib o reprezentare simentric.

i

Cum calculm Jacobianul :

1. Evaluarea Jacolianului :

2. Calculul matricii [B] cu elemente constante :

Pentru calcularea integralelor se folosete Metoda Gauss-Legendre :

De studiat : Gaussian quadrature ( sursa www.wikipedia .com )

Placi ncovoiere (Se vor preda dupa starea de tensiuni 3D)Starea spaial (3D) de tensiuni i deformaii Ipoteza Th. Elasticitii Dependena liniar (material omogen i izotrop, comportament pe zona liniar sau de proporii analitice etc.) Deformrile nodale (u,v,w)i , Starea de tensiune 3D:

Modul de determinare al matricii de rigiditate [K] pentru fiecare element finit este similar celui de la starea plan de tensiuni.Particularitati - Elemente de tip tetraedru

Observaie:

Se observ c avem o exprimare polinomial de ordinul nti. Aadar derivatele funciilor de interpolare vor avea valori constante pe element.

Similar pentru elementele funciilor de forma urmtoare:

pentru un element tetraedric izoparametric;Element hexaedric(brick-uri)Se pstreaz ordinea de numerotare a nodurilor. Dintre dou fee opuse, prima fiind considerar ca fiind bara inferioar, se numr n sens trigonometric.Bara inferioar1234Bara superioar56781. Condiia de determinare a funciilor de form

Observaie:Polinomul trebuie s aib 8 coeficieni ce trebuie determinai pentru fiecare deplasare (u,v,w).

Pentru polinomul patrulater 2D :

unde i=1,2,..,8

Exemplu: pentru i=5

Din matricea B obinem:

Derivatele se obin din rezolvarea sistemului

Jacobianul transformrii:

Pentru calculul fiecrui element al matricii se utilizeaz integrarea numeric de tip Gauss-Legendre.

- puncte de integrare Gauss-Legendre :

- pondere pentru variabila

O integrare cu puncte de integrare puncte de integrare cu ponderea

Postprocesarea datelor

Cazul 2D similar prin extrapolare pentru cazul 3D. Scopul postprocesrii este acela de a furniza o imagine realist asupra coportrii structurii pentru un set de ncercri date i un set de condiii de rezemri.Observaie: Interpretarea rezultatelor este un proces necuantificabil ce ine de experienta utilizatorului n ceea pe privete problema dat.n general, presupunem vizualizri n deformaii, contururi, izotensiuni sau zone cedare sau margini de siguran, urmrire valori i trasare grafice reprezentative.

a) Cmp deformaii:

Reelele de calcul pot fi: nestructurale ( cele mai utilizate deoarece pot acoperii prin prisma algoritmilor algoritmi de triangularizare- domenii cu geometrie complicat)Dezavanjat : Presupunem starea matricii de conevtivitate. Element noduri :- tetraedre :

- hexaedre :

( form complex specific acoperit / mrginit- -poliedre : o suprafa mixt triunghiuri + patrulatere )

- reele structurale reele in care se cunoate aprioric ordinea modurilor i elementelorAvantaj : nu este nevoie de matrice de conectivitate ; calcule simplificate .Dezavantaj : generarea reelelor in vecintatea frontierelor , in special pentru frontiere neregulate ( care nu sunt netede )* Reea structural mixt :

A se evita unghiuri optuze mai mari de 120 ntre reele care descriu o discretizare structural* trebuie asigurat continuitatea nodal . Idei orientative generale : - ce reea se potrivete mai bine problemei studiate- gradul de ndesire pe frontiere ( vecintatea acestora )- se poate utiliza maparea ( generarea unei reele structurate ) -algoritmi de discretizare ( setri )- numr de noduri / elemente necesare pentru a prinde fenomenul fizic de interes- resursele de calcul disponibil .

Regula de numerotare n cazul reelelor structurate este urmtoarea :

Reea structurat utilizat ntr-un program cu o reea nestructurat , n acest caz trebuie sa definim matricea de conectivitate . IVP ( ie , 1) = ( i-1 ) N+jIVP ( ie , 2) = i N+jIVP ( ie , 3) = i N+j+1 de ce?IVP ( ie , 4) = ( i-1 ) N+j+1i = 1,Mj = 1,NCe = (i 1) (N-1) + j , i = 1,M-1;j=1, N-1 (de ce?)

Pentru grilele de mai sus, se definesc factorii de scalare corespunztori, astfel nct sa fie vizibil structura deformat (efect geometric):

Cu valorile xd , yd se reprezint structura deformat.b) Contrurul izotensiune se determin automat. Algoritmul este urmtorul:- parcurgere elemente; - identificarea primului element cu valoarea e (sau nod). -se verific pe fiecare latur dac e [i , j ];- se verific celelalte laturi adiacente dac e [p , k ];- se unesc cu o linie cele dou valori;- se reia procedura de trasare cu elementul adiacent ce are pe frontier e.

Principiu: dac pe o frontier a unui element (excluznd frontiera domeniului) exist valoarea e , atunci aceast valoare trebuie s existe i pe una din celelalte laturi ale elementului.

Modelarea elementelor de dinamic a structurilor folosind MEFVom folosi modelul de bar cu perei subiri i un sistem de axe legat de arip conform sistemului de referin utilizat de CMA + SAvMC

- Legtura ntre gradele de libertate ale incovoierii i torsiunii

* - Se introduc aproximrile de tip MEF.Introducnd m, R, se va obine:

Se obine urmtoarea metrice masic: ( .

Problem de dinamic fr amortizare structural:

Pentru o structur complex se trece la asamblarea matricelor masice i de rigiditate.1. Vom considera aripi cu axa elastic dreapt( )2. Vom folosi un model de arip cu deformaii principale datorate solicitrilor la ncovoiere i torsiune

Pentru probleme de dinamic a structurilor,cele dou solicitri se decupleaz cnd Deplasrile pentru MEF vor fi:Se presupune pentru arip ca avem cunoscute urmtoarele date structurale:

Masa distribuit aria seciunii transversale + centrul de greutate(CG) al fiecrui tronson.

Pentru ncovoiere,aripa se mparte n tronsoane ce au seciunea constrant,

Fiecare element este considerat a fi bar de ncovoiere-torsiune.Pentru un tronson(element de bar) determinarea matricii de rigiditate este echivalent cu determinarea unei matrici statice(Nu discutm de matricea de amortizare structural [C] )

Funciile de interpolare sunt:

Deducerea funciilor de interpolare(vezi curs)-bara de ncovoiere,bara de torsiune.

+ deduceri efectuate pentru [K]

n matricea de rigiditate[K] vom unii matricile de rigiditate pentru ncovoiere si torsiune,nct matricea [K] va avea urmtoarea form:

Ecuaia de dinamic o obinem folosind formalismul Lagrange.Considerm c avem -grade de libertate

Conduce la matricea

,pentru elementalul de bara

bar

corp (Teoria elasticitii)Solicitarea de torsiune. Matricea masic. Probleme de dinamic n torsiune.

, unde

Introducem masa elementului de bar (m) i raza de giraie (R). Aadar:

, unde

n mod asemntor:

, unde este matricea masic pentru torsiune.

Matricea masic pentru ncovoiere. Dinamic pentru ncovoiereIpoteza seciunilor plane (ipoteza Bernoulli):

unde:

este neglijabil n cazul micilor perturbaii

unde

este matricea masic

Solicitrile decuplate sunt calculate cnd .Cuplajul ntre cele dou tipuri de micri apar conturate n matricea masic.

n cazul n care avem cuplaj n micarea ncovoiere-tensiune.