metoda elementului finit (mef1-)

5/25/2018 Metoda Elementului Finit (MEF1-)

1/46

Metoda elementului finit(MEF)

IstoricPrincipii de baza-Elemente finite-Noduri

-Grade de libertate


2/46

"Although the finite elementmethod can make a good engineerbetter, it can make a poorengineer more dangerous..... Onecan now make mistakes with moreconfidence than ever before.

In timp ce metodaelementului finit poate face caun inginer bun sa devina maibun, ea poate face ca uninginer slab sa devina mai

periculos Se pot face greelicu mai mult ncredere dect

pn acum.

R. Cook


3/46

Definitie Metoda elementelor finite (MEF) este o metod

generalde rezolvare aproximativa ecuaiilordifereniale cu derivate pariale care descriu sau nufenomene fizice.

MEF a devinit unul dintre cele mai puterniceinstrumente in rezolvarea problemelor ingineresti.

Principial MEF constn descompunerea domeniului de analiz n poriuni de

form geometric simpl, analiza acestora i recompunerea domeniului respectnd anumite cerine

matematice.


4/46

Domeniu de aplicare Din punct de vedere al domeniilor de aplicaie

metoda poate fi extinsn orice domeniu deactivitate care descrie un fenomen cuajutorul unor ecuaii difereniale.

Pann prezent metoda s-a dezvoltat n moddeosebit n domenii ca: analiza structural; analiza termic;

analiza fluidelor; analiza electric; analiza magnetic,


5/46

Precursori FEA

Hrennikoff, A. P.,1940. Plane stressand bending of

plates by methodof articulatedframework. Tezade doctorat, MIT,

Boston. Analogia de grinda

cu zabrele


6/46

Analogia Hrennikoff imparte spatiul continuu in puncte legate prin

intermediul unor zabrele. Caracteristicile geometricesunt calculate impunand conditia ca deplasarile nodurilorgrinzii cu zabrele sa fie identice cele ale cu corpuluicontinuu (nodurile de colt).

Au fost studiate elemente spatiale de tip: cub si desuprafata: triungni echilateral, dreptunghi si patrat.


7/46

Precursori FEA

Arhimede (circa 250B.C.) determinanumarul p prin

modelarea unui cercprintr-un poligonregulat inscris.


8/46

Precursori FEA

Euler a impartitintervalul dedefinitie a unei

functii uni-dimensionale inintervale finite pecare variatia este

presupusa liniara,definite prinvalorile la capete


9/46

Precursori FEA

1942 - RichardCourant (NYU)studiaz rsucirea

- problema SaintVenant, prindiscretizare cutriunghiuri


10/46

1950-1962 Pionierii 1953 1959 se formuleaz i

definitiveaz metoda deplasrilor ctrede M.J. Turner (seful diviziei StructuralDynamics Unit Boeing).

Turner, M. J., Clough, R. W., Martin, H. C., Topp, L. J., 1956.Stiffness and deflection analysis of complex structures.Journal of

the Aeronautical Sciences, vol. 23, No. 9, pp. 805823, 854.

1955 John H. Argyris sistematizeazaconceptul de asamblare a componentelorelementelor a unei structuri intr-unsistem de ecuatii.

1960 Primul care foloseste termenul deelement finit este Raymond W. Clough(UC Berkeley)


11/46

1962-1970 Anii de aur

Fraeijs de Veubeke (1965) -Displacement and equilibriummodels in the finite element

method

O.C. ZIENKIEWICZ (with Y.K.CHEUNG), (1967) The FiniteElement Method in Continuumand Structural Mechanics,McGraw Hill, 272 pp


12/46

Strang G., Fix G.(1973) AnAnalysis of the

Finite ElementMethod


13/46

Programe FEA

1965 1972 MacNeal-Schwendler(MSC Software)+NASA NASTRAN (NASA Structural Analysis

System)

1965 SAMCEF (Liege University)


14/46

Consolidarea 1970-1980 Oden T., (1972)

Finite elementsnonliniar continua

Coduri comericialeFEM 1970 ANSYS 1973 SAP4

1975 ADINA 1978 ABAQUS 1985 COSMOS-M


15/46

Perioada actuala

Elementele trebuie sa raspundacerintelor DSM, tinand cont camajoritatea programelor de calcul se

bazeaza pe metoda deplasarilor

Pastrarea de elemente simple, dar

care sa ofere o suficienta acuratete,chiar si in cazul unui mesh rar -highperformance elements (1989)


16/46

Cunotine necesare - Programator

MEF are un caracter pluridisciplinar. Implementareaunor programe cu elemente finite

pentru anumite tipuri de probleme sau chiar a unuiprogram general de calcul n domeniul ingineriei, cuprecdere pentru calcule ale structurilor derezisten, impune stpanirea diciplinelor


17/46

Cunotine necesare - Utilizator

Un utilizatorstudent este pus nsituaia rezolvrii unei anumiteprobleme i nu n a implementa unprogram cu elemente finite pentrurezolvarea ei, de aceea utilizatorultrebuie safle dacproblema se

preteazrezolvrii cu MEF i sfoloseascun program adecvatproblemei respective.


18/46

Trebuie smenionm de la nceputcprogramul de calcul folosit pentruanaliza problemei nu rezolvstructura real, ci doar un MODELalei pe care n general l faceutilizatorul.

STRUCTURA DE CALCUL -> MODEL -> ANALIZ cu MEF


19/46

Modelarea Rezultatele pot fi confirmate sau nu, funcie de cum a

fost ales modelul de calcul.

Modelarea este o activitate de simplificare a structurii

prin ncadrarea diverselor poriuni ale structurii ncategoria barelor, plcilor, blocurilor, prinsimplificarea incrcrilor i a rezemrilor etc.

Modelarea corect(ct mai aproape de realitate) ine

de cunoaterea bazelor teoretice ale metodei i deexperien, inspiraie. De regul un model se dezvoltfuncie de scopul analizei.


20/46

Odatstabilit modelul de calcul, seimpune pregtirea datelor de intrarepentru rezolvarea problemei. Fiecareprogram cu elemente finite prezintparticularitti care trebuie invatedar existo serie de reguli de baz

ale metodei care odatstpanitepermite abordarea oricrui programcu elemente finite.


21/46

Indiferent de metoda abordat, analiza unei structurireale prezint cteva etape eseniale:

structura real se identific, prin folosirea unoripoteze simplificatoare, cu un model fizic primar,numit model conceptual;

modelul primar servete la formularea unui modelmatematic, adic la un set de ecuaii care urmeaz afi rezolvate;

rezultatele obinute sunt interpretate i dac existmotive ntemeiate acestea pot fi validate.

Astfel seria celor dou modele conceptual imatematic pot fi folosite i pentru alte problemesimilare.


22/46

Concepte de baz n MEF -introducere Un domeniu solid oarecare, considerat plan numai din

considerente de prezentare este raportat la un sistem dereferin cartezianXOY, este ncrcat cu o for F incastrat pe conturul din stnga. Fiecare punct aldomeniului prezint o deplasare pe direcia OX, notat

u(X,Y) i una pe direcia OY, v(X,Y). Domeniul prezentat poate fi identificat cu un model decalcul conceptual, totui n continuare acesta se va numistructur.


23/46

Descrierea problemei Problema prezentat reprezint practic o bar de

seciune variabil n consol ncrcat n captul liberpentru care se caut soluia, adic de exemplusgeata i tensiunea echivalent maxim.

Din punct de vedere matematic, n teoria elasticitii,problema prezentat este descris de un set deecuaii difereniale cu derivate pariale i de anumitecondiii la limit.

Pentru anumite cazuri particulare, adic formegeometrice simple i ncrcri bine alese, exist soluiianalitice pentru expresiile cmpului deplasrilor i altensiunilor. n general problema nu se poate rezolvape cale analitic.


24/46

MEF Se menioneaz c o rezolvare analitic prezint

soluii pentru o infinitate de puncte din domeniul deanaliz. Se spune c domeniul de analiz reprezint ostructur continu.

O alternativ de a rezolva astfel de probleme oconstituie metoda elementelor finite (MEF).


25/46

Elemente finite Pentru a rezolva problema cu MEF, domeniul de analiz

(sau volumul structurii) notat V, se mparte ntr-unnumr NE de subdomenii sau fragmente (poriuni deform geometric relativ simpl, fiecare de volum Ve)numite elemente finite. Deoarece elementele finite nu

se intersecteaz ntre ele se poate scrie c

Fiecare element finit se numeroteaz (este identificatprintr-un numr), de obicei de la 1 la numrul total de

elemente finite NE. Raportarea la un element oarecare se face de obicei

printr-un indice superior (e pentru un elementoarecare).

NE

e

e 1

V V


26/46

Noduri Elementele finite se pun n eviden (geometric) prin

intermediul unor puncte, de exemplu coluriletriunghiului, dac elementul finit are forma unui triunghi.

Aceste puncte poart denumirea de noduri. Elementelefinite "se leag" (interacioneaz) ntre ele prin

intermediul nodurilor comune, astfel c n domeniul deanaliz exist un numr finit de noduri. Similar elementelor, nodurile se numeroteaz, de obicei,

de la 1 la numrul total de noduri NN.


27/46

Discretizare Operaia de mprire a unui domeniu n noduri i

elemente finite de un singur tip sau chiar mai multetipuri, precum i numerotarea acestora, adicatribuirea unor numere de identificare, poart

denumirea de discretizare. Discretizarea nu este unic, n general ea serealizeaz astfel nct s rspund unor cerinepractice.


28/46

Grade de libertate Pentru exemplul prezentat, fiecare nod din domeniul de

analiz are o deplasare posibil pe orizontal-axa OX iuna pe vertical-axa OY, se poate spune c exist doiparametri independeni care definesc unic deplasareaunui nod n plan.

Aceti parametri poart denumirea degrade delibertateataate nodului. De obicei, gradele de libertateale tuturor nodurilor definite reprezint necunoscuteleprimare ale problemei n MEF, n exemplul de fa,gradele de libertate nodate UX i UY definesc deplasarea"posibil" a unui nod oarecare.


29/46

Dimensiunea problemei Pentru unele noduri (1, 2, 3 i 4 din ncastrare),

deplasrile sunt nule, deci n aceste puncte gradelede libertate se definesc "potenial", ele nureprezint necunoscute.

Numrul total de grade de libertate al problemei Nse obine prin nsumarea gradelor de libertateactive ale tuturor nodurilor.

Prin grade de libertate active se neleg acele gradede libertate care definesc o deplasare necunoscut.


30/46

Necunoscutele problemei /Formularea modelului matematic

Din cele prezentate mai sus rezult c undomeniu continuu cu un numr infinit degrade de libertate este transpus ntr-unmodel discret cu N grade de libertate, decinecunoscutele problemei se limiteazfuncie de discretizare.

Deoarece analiza cu elemente finite estedependent de implementarea unor

programe de calcul, mrimile cu careaceasta lucreaz sunt de regul vectori imatrice.


31/46

Pentru toat structura se definetevectorul deplasrilor nodale totale saual structurii

i vectorul forelor nodale exterioare

Tx ,1 y ,1 x ,2 y ,2 x ,N y ,NU U U U U .... U U

Tx ,1 y ,1 x ,2 y ,2 x ,N y ,NF F F F F .... F F


32/46

Se consider unelement oarecare edin discretizarea

precedent pentrucare cele treinoduri se noteazcu I,J i K.


33/46

Vectori deplasarilor / fortelornodale ale elementului Se definete vectorul deplasrilor nodale al

elementului, de fapt al tipului de element finittriunghiular

care, din condiii de continuitate, este un subset alvectorului definit de relaia (1), i vectorulforelor nodale al elementului

ntre care se poate obine relaia matriceal

T

e

x,I y ,I x,J y ,J x,K y ,KU U U U U U U

T

e e e e e e e

x,I y ,I x,J y ,J x,K y ,KF F F F F F F

e e eF K U , e 1,2,...,NE,...


34/46

Matricea de rigiditate a elementuluifinit

similar relaiei de echilibru a unui sistem elastic(arc) cu un grad de libertate F=kx.

Matricea ptratic [Ke] poart denumirea dematricea de rigiditate a elementului finit.

Aceasta se poate determina pentru fiecare elementfinit folosind ecuaiile fundamentale din teoria

elasticitii, pentru moment se neglijeaz modul ncare ea se poate obine.

e e eF K U , e 1,2,...,NE,...


35/46

Dac se izoleaz unnod oarecare n dinmodelul cu elementefinite pentru care

exist Nc elementeconcurente, atuncifiecare element finitacioneaz cu o for

n acel nod i dinmotive de echilibrusuma tuturor forelortrebuie s fie zero.


36/46

Atunci cnd n nodul izolat acioneaz ifore exterioare acestea trebuie incluse iechilibrul nodului n se scrie:

Nc Nci i

x ,n x ,n y ,n y ,n

i 1 i 1

F F F F n 1,2,..., NN .


37/46

Dac seine seama de cele 2 *NN ecuaii in expresiile sumelor se introduc foreleobinute din relaiile se obine o relaie

matriceal de forma:Nci

x ,n x ,n

i 1

Nci

y ,n y ,n

i 1

F F

n 1,2,...,NN.

F F

e e eF K U , e 1,2,...,NE,... F K U


38/46

Asamblarea

n care [K] este numit matricea de rigiditateglobal a structurii.

Aceast operaie de obinere a matricei derigiditate globale din matricele de rigiditate aelementelor poart denumirea de asamblareamatricei de rigiditate global i se prezint sugestiv

n schema

F K U

ASAMBLAREe e e i 1,2,....,NEK U F F K U


39/46

Dimensiunea matricei de rigiditate [K] este2NN x 2NN i de obicei aceasta rezultsingular, deci din ecuaia nu se

pot obine direct deplasrile necunoscute.

F K U


40/46

Dac ns se ineseama de condiiilela limit, adic pentru

unele noduri secunosc deplasrile iar pentru altele

forele exterioareaplicate i

gradele de libertatese clasific n douseturi.


41/46

-a: deplasri cunoscute (de cele mai multeori nule) i fore exterioare reaciuninecunoscute i

-b: deplasri necunoscute i foreexterioare aplicate cunoscute, ecuaiile sepot partiiona (rearanja) n raport cuacestea astfel:

a aaa ab

b bba bb

U FK K

U FK K

F K U


42/46

Din a doua ecuaie matriceal rezultdeplasrile necunoscute

iar apoi din prima ecuaie rezult forelenecunoscute (reaciuni)

1

b b abb ba

U K F K U

a a baa abF K U K U


43/46

Deplasarea nodului 27 pe direcia OYreprezint practic sgeata maxim agrinzii. Din formularea complet a MEF,

folosind deplasrile nodale, se pot obine itensiunile n elemente. Aceste aspecte nsse prezint n ale capitole.


44/46

Cunoscnd cmpul deplasrilor n cele NNnoduri se poate reprezenta, scalat pentru ovizualizare convenabil, configuraia

deformatei structurii


45/46

Dac ns matricile de rigiditate ale elementelor nuau fost "adecvat" calculate, avnd n vedere celementele sunt legate ntre ele numai n noduri, eposibil uneori ca deformata s arate eronat, adics apar goluri sau suprapuneri ntre laturile

elementelor finite adiacente (nu este ndeplinitcondiia de continuitate ntre laturile comuneelementelor finite).


46/46

Rezult c modul n care suntproiectate elementele finite estefoarte important i practic soluia

unor probleme depinde esenial deformularea elementelor finite caretrebuie s satisfac unele cerine

fundamentale pentru a putea fiincluse n categoria elementelorfinitedintr-un program.

metoda elementului finit (mef1-)

Documents