metode aritmetice de rezolvare a problemelor -...
TRANSCRIPT
![Page 1: Metode aritmetice de rezolvare a problemelor - old.unitbv.roold.unitbv.ro/Portals/19/SSMR/2015-2016/Lectia1_cls5.pdf · • Problemele care se rezolva prin metoda figurativa le putem](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012310/5e0433540db1961dcb6e14ba/html5/thumbnails/1.jpg)
Metode aritmetice de rezolvare a problemelorMetode aritmetice de
rezolvare a problemelor
Prof. Adriana Caţaron
![Page 2: Metode aritmetice de rezolvare a problemelor - old.unitbv.roold.unitbv.ro/Portals/19/SSMR/2015-2016/Lectia1_cls5.pdf · • Problemele care se rezolva prin metoda figurativa le putem](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012310/5e0433540db1961dcb6e14ba/html5/thumbnails/2.jpg)
Metoda figurativa• Metoda grafica( figurativa)-consta in
reprezentarea prin desen a necunoscutelor si fixarea relatiilor dintre cunoscutele problemei in desenul respectiv
![Page 3: Metode aritmetice de rezolvare a problemelor - old.unitbv.roold.unitbv.ro/Portals/19/SSMR/2015-2016/Lectia1_cls5.pdf · • Problemele care se rezolva prin metoda figurativa le putem](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012310/5e0433540db1961dcb6e14ba/html5/thumbnails/3.jpg)
• Problemele care se rezolva prin metoda figurativa le putem imparti in doua mari categorii– cu date sau marimi « discrete » , cand
acestea pot fi numarate cate una si se pot pune in corespondenta dupa anumite criterii : In acest caz figuram marimile prin simboluri
– cu date sau marimi « continui » , caz in care le figuram cu segmente
![Page 4: Metode aritmetice de rezolvare a problemelor - old.unitbv.roold.unitbv.ro/Portals/19/SSMR/2015-2016/Lectia1_cls5.pdf · • Problemele care se rezolva prin metoda figurativa le putem](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012310/5e0433540db1961dcb6e14ba/html5/thumbnails/4.jpg)
Exemplul 1 : Daca se aseaza cate un elev intr-o banca raman 14 elevi in picioare.Daca asezam cate 2 elevi intr-o banca raman 3 banci libere. Cati elevi si cate banci sunt?
REZOLVARE :Din analiza primei parti a enuntului desprindem ca multimea elevilor si multimea bancilor pot fi in asa fel “privite” incat elementele lor sa fie organizate astfel : fiecarui elev ii corespunde o banca , situatie in care 14 elevi raman in picioare,deci nu au loc.
![Page 5: Metode aritmetice de rezolvare a problemelor - old.unitbv.roold.unitbv.ro/Portals/19/SSMR/2015-2016/Lectia1_cls5.pdf · • Problemele care se rezolva prin metoda figurativa le putem](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012310/5e0433540db1961dcb6e14ba/html5/thumbnails/5.jpg)
…..…..
a) figuram aceasta situatie convenind sa reprezentam banca printr-un dreptunghi si elevul printr-un cerc.
de 14 ori
![Page 6: Metode aritmetice de rezolvare a problemelor - old.unitbv.roold.unitbv.ro/Portals/19/SSMR/2015-2016/Lectia1_cls5.pdf · • Problemele care se rezolva prin metoda figurativa le putem](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012310/5e0433540db1961dcb6e14ba/html5/thumbnails/6.jpg)
b) distribuim cate unul dintre cei 14 elevi ramasi in picioare in cate o banca. Se observa ca acestia vor ocupa 14 banci, deci se vor completa cu ei 14 banci cu cate 2 elevi.
de 14 ori
…. ………
![Page 7: Metode aritmetice de rezolvare a problemelor - old.unitbv.roold.unitbv.ro/Portals/19/SSMR/2015-2016/Lectia1_cls5.pdf · • Problemele care se rezolva prin metoda figurativa le putem](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012310/5e0433540db1961dcb6e14ba/html5/thumbnails/7.jpg)
c) dar pentru ca trebuie sa ramana trei banci libere inseamna ca din bancile cu un copil s-au ridicat inca trei elevi care au completat ca si ceilalti colegi ai lor trei banci cu 2 elevi.Recapituland , avem 14 banci cu cate 2 elevi completate de cei 14 elevi ce erau in picioare si inca trei banci, cu 2 elevi completate prin ridicare din 3 banci care trebuiau sa ramana libere.
……
de 14 ori
![Page 8: Metode aritmetice de rezolvare a problemelor - old.unitbv.roold.unitbv.ro/Portals/19/SSMR/2015-2016/Lectia1_cls5.pdf · • Problemele care se rezolva prin metoda figurativa le putem](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012310/5e0433540db1961dcb6e14ba/html5/thumbnails/8.jpg)
Deci erau in clasa :
14 + 3 + 3 = 20 banci si
20 + 14 = 34 elevi
![Page 9: Metode aritmetice de rezolvare a problemelor - old.unitbv.roold.unitbv.ro/Portals/19/SSMR/2015-2016/Lectia1_cls5.pdf · • Problemele care se rezolva prin metoda figurativa le putem](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012310/5e0433540db1961dcb6e14ba/html5/thumbnails/9.jpg)
Exemplul 2 : Suma a doua numere este 35 iar diferenta lor este cat a treia parte din numarul mai mic.Aflati cele doua numere.
![Page 10: Metode aritmetice de rezolvare a problemelor - old.unitbv.roold.unitbv.ro/Portals/19/SSMR/2015-2016/Lectia1_cls5.pdf · • Problemele care se rezolva prin metoda figurativa le putem](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012310/5e0433540db1961dcb6e14ba/html5/thumbnails/10.jpg)
REZOLVARE 1 :
![Page 11: Metode aritmetice de rezolvare a problemelor - old.unitbv.roold.unitbv.ro/Portals/19/SSMR/2015-2016/Lectia1_cls5.pdf · • Problemele care se rezolva prin metoda figurativa le putem](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012310/5e0433540db1961dcb6e14ba/html5/thumbnails/11.jpg)
a)Punem in evidenta “informatia” care ne spune ca diferenta numerelor este 1/3 din numarul mai mic, adica cel mic are 3 parti,celalalt 4 parti;b)Din desen rezulta ca 7 parti, fiecare egala cu a treia parte din b, reprezinta 35.c)O parte reprezinta atunci 35 : 7 = 5b = 3 · 5 = 15a = 35 – 15 = 20
![Page 12: Metode aritmetice de rezolvare a problemelor - old.unitbv.roold.unitbv.ro/Portals/19/SSMR/2015-2016/Lectia1_cls5.pdf · • Problemele care se rezolva prin metoda figurativa le putem](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012310/5e0433540db1961dcb6e14ba/html5/thumbnails/12.jpg)
REZOLVARE 2 :
a + b = 35
a – b = 1/3 · b => a = 4/3 · b
4/3 · b + b = 35 => b = 35 : 7 · 3 = 15
a = 4/3 · 15 = 20
![Page 13: Metode aritmetice de rezolvare a problemelor - old.unitbv.roold.unitbv.ro/Portals/19/SSMR/2015-2016/Lectia1_cls5.pdf · • Problemele care se rezolva prin metoda figurativa le putem](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012310/5e0433540db1961dcb6e14ba/html5/thumbnails/13.jpg)
Exemplul 3 : Petrica are de cinci ori mai multi lei decat Costica.Cati lei are fiecare din ei stiind ca daca Petrica ii da lui Costica 120 lei , atunci suma de bani a acestuia reprezinta jumatate din suma lui Petrica.
![Page 14: Metode aritmetice de rezolvare a problemelor - old.unitbv.roold.unitbv.ro/Portals/19/SSMR/2015-2016/Lectia1_cls5.pdf · • Problemele care se rezolva prin metoda figurativa le putem](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012310/5e0433540db1961dcb6e14ba/html5/thumbnails/14.jpg)
REZOLVARE :
6 parti egale cu
suma lui Costica
![Page 15: Metode aritmetice de rezolvare a problemelor - old.unitbv.roold.unitbv.ro/Portals/19/SSMR/2015-2016/Lectia1_cls5.pdf · • Problemele care se rezolva prin metoda figurativa le putem](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012310/5e0433540db1961dcb6e14ba/html5/thumbnails/15.jpg)
Dupa imprumut,suma totala este formata din
3 parti egale cu noua suma a lui Costica
![Page 16: Metode aritmetice de rezolvare a problemelor - old.unitbv.roold.unitbv.ro/Portals/19/SSMR/2015-2016/Lectia1_cls5.pdf · • Problemele care se rezolva prin metoda figurativa le putem](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012310/5e0433540db1961dcb6e14ba/html5/thumbnails/16.jpg)
Exemplul 4 : Un tata are de 5 ori varsta fiului.Cu doi ani in urma el avea de 6 ori varsta fiului.Care este varsta fiului?
![Page 17: Metode aritmetice de rezolvare a problemelor - old.unitbv.roold.unitbv.ro/Portals/19/SSMR/2015-2016/Lectia1_cls5.pdf · • Problemele care se rezolva prin metoda figurativa le putem](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012310/5e0433540db1961dcb6e14ba/html5/thumbnails/17.jpg)
![Page 18: Metode aritmetice de rezolvare a problemelor - old.unitbv.roold.unitbv.ro/Portals/19/SSMR/2015-2016/Lectia1_cls5.pdf · • Problemele care se rezolva prin metoda figurativa le putem](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012310/5e0433540db1961dcb6e14ba/html5/thumbnails/18.jpg)
b) Luand din fiecare segment un segment mai mic ce reprezinta 2 ani obtinem urmatorul desen:
Se va obtine un segment CD mai mare de 6 ori decat AB
![Page 19: Metode aritmetice de rezolvare a problemelor - old.unitbv.roold.unitbv.ro/Portals/19/SSMR/2015-2016/Lectia1_cls5.pdf · • Problemele care se rezolva prin metoda figurativa le putem](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012310/5e0433540db1961dcb6e14ba/html5/thumbnails/19.jpg)
c) Este necesar ca cele 4 parti intregi ale lui CD sa le descompunem in segmente egale cu AB si cel ce reprezinta 2 ani.
d) CD va fi format din 5 segmente egale cu AB si inca 4x2 = 8 ani.
e) Tinand seama ca tatal avea de 6 ori mai mult ca fiul deducem ca 5AB + 8 ani = 6AB ceea ce inseamna ca segmental AB reprezinta 8 ani.
![Page 20: Metode aritmetice de rezolvare a problemelor - old.unitbv.roold.unitbv.ro/Portals/19/SSMR/2015-2016/Lectia1_cls5.pdf · • Problemele care se rezolva prin metoda figurativa le putem](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012310/5e0433540db1961dcb6e14ba/html5/thumbnails/20.jpg)
• Exemplul 5 : Stiind ca o treime din lungimea unui segment este egala cu trei patrimi din lungimea altui segment si ca diferenta dintre cele doua segmente este de 35 de cm aflati lungimea fiecaruia.
![Page 21: Metode aritmetice de rezolvare a problemelor - old.unitbv.roold.unitbv.ro/Portals/19/SSMR/2015-2016/Lectia1_cls5.pdf · • Problemele care se rezolva prin metoda figurativa le putem](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012310/5e0433540db1961dcb6e14ba/html5/thumbnails/21.jpg)
• REZOLVARE 1: a)Daca 1/3 din I reprezinta cat 3/4 din II, atunci tot intregul I reprezinta cat 3·3 patrimi din II, adica I =9 patrimi din II.
![Page 22: Metode aritmetice de rezolvare a problemelor - old.unitbv.roold.unitbv.ro/Portals/19/SSMR/2015-2016/Lectia1_cls5.pdf · • Problemele care se rezolva prin metoda figurativa le putem](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012310/5e0433540db1961dcb6e14ba/html5/thumbnails/22.jpg)
b)Din desen rezulta ca 9/4 - 4/4 = 5/4 din II care reprezinta 35 de cm.
Atunci : II=35:5·4=28(cm)
I=28+35=63-(cm)
sau I=35:5·9=63
![Page 23: Metode aritmetice de rezolvare a problemelor - old.unitbv.roold.unitbv.ro/Portals/19/SSMR/2015-2016/Lectia1_cls5.pdf · • Problemele care se rezolva prin metoda figurativa le putem](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012310/5e0433540db1961dcb6e14ba/html5/thumbnails/23.jpg)
REZOLVARE 2 :
Notam cu x lungimea primului segment
1/3x=3/4y|·3
X=9/4 y
X-Y =35
Obtinem : 9/4 y-y =35 =>5/4 y=35=>y=28=>x=63
![Page 24: Metode aritmetice de rezolvare a problemelor - old.unitbv.roold.unitbv.ro/Portals/19/SSMR/2015-2016/Lectia1_cls5.pdf · • Problemele care se rezolva prin metoda figurativa le putem](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012310/5e0433540db1961dcb6e14ba/html5/thumbnails/24.jpg)
Exemplul 6 : Suma a trei numere a, b, c este de sase ori mai mare decat a si de 3 ori mai mare decat b.
a) De cate ori este mai mare aceasta suma decat c?
b)Aflati numerele a si c daca b = 108
![Page 25: Metode aritmetice de rezolvare a problemelor - old.unitbv.roold.unitbv.ro/Portals/19/SSMR/2015-2016/Lectia1_cls5.pdf · • Problemele care se rezolva prin metoda figurativa le putem](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012310/5e0433540db1961dcb6e14ba/html5/thumbnails/25.jpg)
REZOLVARE :
Prima afirmatie
A doua afirmatie
Observati legatura dintre a si b !
![Page 26: Metode aritmetice de rezolvare a problemelor - old.unitbv.roold.unitbv.ro/Portals/19/SSMR/2015-2016/Lectia1_cls5.pdf · • Problemele care se rezolva prin metoda figurativa le putem](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012310/5e0433540db1961dcb6e14ba/html5/thumbnails/26.jpg)
b = 2a
c = 3a
![Page 27: Metode aritmetice de rezolvare a problemelor - old.unitbv.roold.unitbv.ro/Portals/19/SSMR/2015-2016/Lectia1_cls5.pdf · • Problemele care se rezolva prin metoda figurativa le putem](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012310/5e0433540db1961dcb6e14ba/html5/thumbnails/27.jpg)
Metoda falsei ipoteze Orice problema ale carei date sunt marimi proportionale,poate fi rezolvata prin metoda falsei ipoteze. Algoritm :
~ de regula se pleaca de la intrebarea problemei facand asupra marimii pe care o cautam o presupunere arbitrara, dar nu in contradictie cu datele din enunt;
~ se reface problema pe baza presupunerii facute si se ajunge la un rezultat care nu concorda cu cel real din problema.Este fie mai mare, fie mai mic decat acesta;
~ se compara rezultatul pe baza presupunerii cu cel real; din nepotrivirile obtinute se trage concluzia corecta de rezolvare a problemei.
![Page 28: Metode aritmetice de rezolvare a problemelor - old.unitbv.roold.unitbv.ro/Portals/19/SSMR/2015-2016/Lectia1_cls5.pdf · • Problemele care se rezolva prin metoda figurativa le putem](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012310/5e0433540db1961dcb6e14ba/html5/thumbnails/28.jpg)
Exemplul 1 : Cu 1300 de lei se pot cumpara 30 de bilete de autobuz de 30 de lei si 50 de lei.Cate bilete sunt din fiecare fel?
![Page 29: Metode aritmetice de rezolvare a problemelor - old.unitbv.roold.unitbv.ro/Portals/19/SSMR/2015-2016/Lectia1_cls5.pdf · • Problemele care se rezolva prin metoda figurativa le putem](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012310/5e0433540db1961dcb6e14ba/html5/thumbnails/29.jpg)
REZOLVARE :
a) Presupunem ca toate biletele costa 50 de lei.Atunci toate cele 30 bilete ar costa :
30 · 50 = 1500 lei
b) Comparand cu pretul real se obtine o diferenta:
1500 – 1300 = 200 lei in plus
![Page 30: Metode aritmetice de rezolvare a problemelor - old.unitbv.roold.unitbv.ro/Portals/19/SSMR/2015-2016/Lectia1_cls5.pdf · • Problemele care se rezolva prin metoda figurativa le putem](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012310/5e0433540db1961dcb6e14ba/html5/thumbnails/30.jpg)
c) Aceasta diferenta provine din faptul ca biletele de 30 de lei le-am considerat mai scumpe cu:
50 – 30 = 20 lei
d) La cate astfel de bilete am adaugat 20 de lei din suma ce a aparut in plus de 200 lei?
200 : 20 = 10 bilete
![Page 31: Metode aritmetice de rezolvare a problemelor - old.unitbv.roold.unitbv.ro/Portals/19/SSMR/2015-2016/Lectia1_cls5.pdf · • Problemele care se rezolva prin metoda figurativa le putem](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012310/5e0433540db1961dcb6e14ba/html5/thumbnails/31.jpg)
Dan cu 5 lei mai mult areDecat fratele cel mare.Daca fratele i-ar daUn leu,atunci Dan ar aveaO suma cu … mai mareDecat fratele cel mare.Socotiti si completati,Puncte goale nu lasati !
![Page 32: Metode aritmetice de rezolvare a problemelor - old.unitbv.roold.unitbv.ro/Portals/19/SSMR/2015-2016/Lectia1_cls5.pdf · • Problemele care se rezolva prin metoda figurativa le putem](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012310/5e0433540db1961dcb6e14ba/html5/thumbnails/32.jpg)
TEMA• Tema 1
• Probleme propuse pentru Cercul de matematica
• 3 octombrie 2015
• Prof. Adriana Caţaron
••• 1. Un grup de turisti intentioneaza sa ia pranzul la o cantina forestiera. Daca s-ar aseza cate 3 persoane la
masa, ar ramane 9 persoane in picioare, iar asezandu-se cate 4, la ultima masa ar ramane un singur turist. Cati turisti si cate mese are cantina?
• G.M. 2/2009• 2. In fata unui bloc se joaca 10 copii.• Cate fete si cati baieti sunt daca fiecare fata are 2 frati si numai 2 fete sunt surori?•
* * *• 3. La o discoteca se duc 74 elevi, baieti si fete. La sfarsitul petrecerii, Adina spune ca a dansat cu un singur
baiat, Bianca a dansat cu 3 baieti, Cristina a dansat cu 9 baieti, Daria a dansat cu 10 baieti, si asa mai departe, ultima fata, Mioara a dansat cu toti baietii. Cati baieti si cate fete au fost la discoteca?
• * * *• 4. De ziua sa, Irina a invitat colegii de clasa la petrecere. Au venit numai jumatate dintre acestia. Invitatilor
si sarbatoritei li s-au pus pe masa portocale si de trei ori mai multe banane. Fiecare a consumat cate doua portocale si 5 banane, iar la sfarsitul petrecerii au ramas 3 portocale si 24 de banane .
• Cati elevi sunt in clasa Irinei? Cate potocale si banane au fost la inceput?• Gazeta Matematica