metode numerice ¥n hidrogeologie -...
TRANSCRIPT
MINISTERUL ¥NVźÅMÂNTULUI
Program TEMPUS JEP 3801 SCIENCES DE L'EAU ET ENVIRONNEMENT
METODE
NUMERICE ¥N
HIDROGEOLOGIE
Serie coordonatå de:
Jean Pierre CARBONNEL
Universitatea Pierre et Marie Curie - Paris 6
Radu DROBOT - Universitatea Tehnicå
de Construc¡ii Bucure¿ti
EDITURA DIDACTICÅ ªI PEDAGOGICÅ, R.A. - BUCUREªTI, 1996
ISBN 973 - 30 - 5865 - 3
Toate drepturile asupra acestei edi¡ii sunt rezervate Editurii Didactice ¿i Pedagogice, R.A., Bucure¿ti Redactor: Iuliana ARHANGHELSCHI
Grafician: Dumitru ªMALENIC
Prefa¡å
¥n ultimele decade, metoda elementelor finite a cåpåtat o tot mai largå utilizare în rezolvarea problemelor de calcul aferente ingineriei apelor. ¥n momentul de fa¡å, metoda oferå posibilitå¡i largi de abordare a curgerii prin medii poroase în regim permanent sau nepermanent, mono sau multifazice, inclusiv a problemelor de interfa¡å. U¿urin¡a de algoritmare ¿i implementare în programe de calcul, fie generale, fie specializate, a contribuit, în egalå måsurå, la transformarea elementelor finite într-o metodå de uz curent în ingineria apelor. Pentru utilizarea avizatå a metodei ¿i interpretarea corectå a rezultatelor sunt înså necesare cunoa¿terea aprofundatå a bazelor teoretice, a ipotezelor simplificatoare inerente con¡inute ¿i a specificului de modelare matematicå, în func¡ie de obiectivele calculelor. Lucrarea de fa¡å î¿i propune, ca principal obiectiv, clarificarea acestor probleme, astfel încât utilizatorul metodei så aplice competent algoritmele ¿i programele de calcul ¿i så analizeze rezultatele prin prisma aproxima¡iilor ¿i ipotezelor asociate. ¥n prima parte a lucrårii se trateazå principiul metodei elementelor finite, deducerea ecua¡iilor în elemente finite pentru curgerea prin medii poroase, clasele ¿i tipurile de elemente finite, inclusiv matricele ¿i vectorii de influen¡å, caracteristice acestora. ¥n aceea¿i primå parte se trateazå ¿i modelarea regimurilor tranzitorii în medii saturate, prezentându-se specificul discretizårilor spa¡io-temporale ¿i problemele de stabilitate numericå. ¥n a doua parte a lucrårii sunt tratate problemele de interfa¡å, atât ca limitå de demarca¡ie a domeniului de curgere asigurat de suprafa¡a liberå, cât ¿i a limitelor între lichide nemiscibile, precum ¿i unele probleme speciale ca: mi¿carea în regim nesaturat ¿i fluxuri cuplate de curgere ¿i termice. La elaborarea lucrårii, autorii au beneficiat de experien¡a proprie, câ¿tigatå în peste 20 de ani de activitate în domeniu. Prin modul de sistematizare a materialului ¿i prin gradarea prezentårii, lucrarea se adreseazå, în egalå måsurå, cititorilor care vin, pentru prima datå, în contact cu metoda, cât ¿i acelora care o utilizeazå în mod frecvent, constituindu-se într-un material documentar util cursan¡ilor ªcolii de Studii Postuniversitare "Ingineria Resurselor de Apå", dar ¿i pentru inginerii ce lucreazå în acest domeniu.
Autorii
DIN PARTEA COORDONATORILOR:
Necesitatea organizårii unor cursuri de actualizare a cuno¿tin¡elor ¿tiin¡ifice în domeniul resurselor de apå ¿i mediului a fost enun¡atå în cursul anului 1990 de cadrele didactice ¿i inginerii români, cu ocazia primelor vizite efectuate dupå 1989 de cåtre colegii francezi la Bucure¿ti. Acest proiect a putut fi transpus în via¡å datoritå sprijinului financiar al Programului TEMPUS - PHARE, ini¡iat de Comunitatea Europeanå pentru a ajuta ¡årile Europei de Est så-¿i restructureze învå¡åmântul superior. Programul organizat dupå principiile ciclului 3 francez (D.E.A. - diplome d'études approfondies) a început så func¡ioneze efectiv din anul universitar 1992/1993 ¿i a avut parteneri din Fran¡a (Universitatea "Pierre et Marie Curie", care a fost de altfel ¿i coordonatorul acestui program), Belgia (Universitatea din Liege), Italia (Università degli Studi di Genova) ¿i, evident, din România (Universitatea Tehnicå de Construc¡ii Bucure¿ti ¿i Universitatea Bucure¿ti); de la început unitå¡ile de profil din domeniu (Regia autonomå "Apele Române", Institutul Na¡ional de Meteorologie ¿i Hidrologie, Institutul de Cercetåri pentru Ingineria Mediului) au sus¡inut în mod activ derularea programului care a fost denumit: SCIENCES DE L'EAU ET ENVIRONNEMENT (S.E.E. - Stiin¡ele Apei ¿i Mediului). Un numår important de profesori ¿i cercetåtori de înalt nivel ¿tiin¡ific din Fran¡a, Belgia, Italia ¿i România au sus¡inut prelegeri în limba francezå sau românå, pentru circa 50 de tineri cercetåtori ¿i ingineri, în cei 3 ani de func¡ionare ai programului. Coordonatorii programului au considerat totu¿i cå s-ar putea face ¿i mai mult pentru formarea speciali¿tilor din domeniul ¿tiin¡elor apei ¿i mediului ¿i au decis så råspândeascå în cea mai mare måsurå posibilå cuno¿tin¡ele predate. Rezultatul acestei inten¡ii îl constituie editarea unei serii de 10 bro¿uri din domeniul Hidrologiei, Hidrogeologiei sau al pregåtirii ¿tiin¡ifice fundamentale. ¥n speran¡a cå acestå serie va fi utilå studen¡ilor din ciclul 2 ¿i 3, precum ¿i speciali¿tilor, coordonatorii acestei serii î¿i exprimå inten¡ia de a continua activitatea începutå, în vederea acoperirii cu materiale scrise, în cât mai mare måsurå, a domeniului ¿tiin¡elor apei ¿i mediului.
Coordonatori: Jean - Pierre CARBONNEL ¿i Radu DROBOT
CUPRINS
1. Principiul metodei elementelor finite ...................................................
1.1. Introducere ........................................................................................ 1.2. Procedeul Galerkin ............................................................................ 1.3. Formularea varia¡ionalå ..................................................................... 1.4. Ecua¡ii în elemente finite pentru curgerea în medii poroase................ 1.4.1. Ecua¡ii de bazå pentru curgerea în regim sta¡ionar ....................... 1.4.2. Formularea în elemente finite ...................................................... 1.4.3. Definirea ecua¡iilor în elemente finite, utilizând procedeul Galerkin ........................................................ 1.4.4. Definirea ecua¡iilor în elemente finite, utilizând formularea varia¡ionalå ................................................. 1.5. Etapele de calcul ................................................................................ Bibliografie I ............................................................................................. 2. Caracteristicile elementelor finite ........................................................
2.1. Clase ¿i tipuri de elemente finite ........................................................ 2.1.1. Convergen¡a solu¡iei .................................................................... 2.1.2. Clase ¿i condi¡ii de continuitate ................................................... 2.1.3. Tipuri de elemente finite .............................................................. 2.2. Func¡ii de aproximare în coordonate globale ...................................... 2.3. Elementul triunghiular liniar .............................................................. 2.4. Elemente izoparametrice .................................................................... 2.4.1. Func¡ii de aproximare în coordonate naturale ............................... 2.4.2. Integrarea numericå ..................................................................... 2.4.3. Elemente izoparametrice bidimensionale ..................................... 2.4.4. Elementul izoparametric 3D liniar ............................................... 2.4.5. Transformåri ale caracteristicilor hidraulice ................................. 2.5. Elemente finite speciale ..................................................................... Bibliografie II ........................................................................................... 3. Modelarea regimurilor tranzitorii .......................................................
3.1. Ecua¡iile care guverneazå fenomenul ................................................. 3.2. Ecua¡iile în elemente finite aferente discretizårii domeniului spa¡iu ... 3.3. Rezolvarea integrårii pe domeniul timp .............................................. 3.3.1. Principiul modelelor hibride ........................................................ 3.3.2. Utilizarea discretizårii pe domeniul timp ..................................... 3.4. Stabilitatea numericå .......................................................................... Bibliografie III ..........................................................................................
7
7 9
10 11 11 13
13
18 20 21 22
22 22 23 24 26 28 32 32 37 38 44 46 48 52 53
53 54 56 57 58 60 63
5
4. Modelarea problemelor de interfa¡å ....................................................
4.1. Determinarea pozi¡iei suprafe¡ei libere ............................................... 4.1.1. Pozi¡ia suprafe¡ei libere în cazul acviferelor de micå adâncime .... 4.1.2. Pozi¡ia suprafe¡ei libere în cazul tridimensional general ............... 4.1.3. Modelarea pozi¡iei suprafe¡ei libere în cazul regimului nepermanent ................................................... 4.2. Determinarea suprafe¡ei apå dulce - apå såratå ................................... 4.2.1. Ecua¡ii de mi¿care ........................................................................ 4.2.2. Aproximarea solu¡iei prin metoda elementului finit ..................... 4.2.3. Regimul de mi¿care permanent .................................................... 4.2.4. Simularea regimului nepermanent ................................................ 4.2.5. Exemple ...................................................................................... Bibliografie IV .......................................................................................... 5. Modelarea mi¿cårii apei în regim nesaturat ........................................ 5.1. Rela¡ii constitutive suc¡iune - umiditate .............................................. 5.2. Legea de mi¿care (Darcy) ................................................................... 5.3. Ecua¡ii de mi¿care a apei în regim nesaturat ....................................... 5.4. Caz particular. Problema monodimensionalå (ecua¡ia Richards) ......... 5.5. Simularea mi¿cårii apei în regim nesaturat prin metoda elementului finit ............................................................. 5.6. Integrarea sistemului de ecua¡ii. Metoda Picard .................................. 5.7. Particularitå¡i ale simulårii problemelor nelineare .............................. 5.7.1. Accelerarea convergen¡ei ............................................................. 5.7.2. Metoda coeficien¡ilor de influen¡å ............................................... 5.8. Exemple ............................................................................................. Bibliografie V ........................................................................................... 6. Procese cuplate în acvifere ...................................................................
6.1. Transferul termic în acvifere .............................................................. 6.2. Fluxuri termice în acvifere ................................................................. 6.3. Ecua¡ia cåldurii .................................................................................. 6.4. Cuplajul proceselor de curgere ¿i transport termic .............................. 6.5. Cuplajul masic în acvifere .................................................................. 6.6. Stabilitatea hidrodinamicå .................................................................. Bibliografie VI .......................................................................................... 7. Simularea numericå a proceselor cuplate ............................................
7.1. Metoda elementelor finite în modelarea proceselor cuplate ................ 7.2. Metoda fâ¿iilor succesive ................................................................... 7.3. Coeficien¡ii de influen¡å ..................................................................... 7.4. Exemple ............................................................................................. Bibliografie VII ........................................................................................
64
64 64 66
73 76 76 80 85 86 88 90 92
93 95 97 99
101 103 105 105 105 107 112 114
116 117 119 120 123 126 130 132
133 136 140 145 155
6
1
PRINCIPIUL METODEI ELEMENTELOR FINITE
1.1. INTRODUCERE
Problemele de câmp, a¿a cum este ¿i problema curgerii prin medii poroase, sunt în general descrise de un sistem de ecua¡ii cu derivate par¡iale:
( )( )( )A u
A uA u=
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪=
1
2 0M
, (1.1)
în care u sunt func¡ia sau func¡iile necunoscute pe domeniul D ¿i de un set de
condi¡ii de margine
( )( )( )B u
B u
B u=
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪=
1
2 0
M
(1.2)
pe grani¡ele Γ ale domeniului. Rezolvarea presupune gåsirea func¡iei u care satisface ecua¡iile A(u)=0 în D
¿i condi¡iile de margine B(u) = 0 pe grani¡e. Dacå integrarea analiticå a ecua¡iilor (1.1) nu este posibilå datoritå
complexitå¡ii domeniului ¿i a condi¡iilor impuse, se recurge la rezolvåri aproximative. Aproximarea care stå la baza metodei elementelor finite este de forma:
u u N ai i
n≅ = ∑
1, (1.3)
7
unde Ni sunt func¡ii de aproximare, exprimate în func¡ie de variabile
independente (a¿a cum sunt coordonatele x,y,z), iar ai sunt parametrii necunoscu¡i, a cåror valoare urmeazå a fi determinatå. Func¡iile Ni(x,y,z) trebuie så fie continue pe D ¿i så reflecte varia¡ia func¡iei necunoscute u.
Aproximarea (1.3) este înså greu de gåsit pentru întregul domeniul D ¿i ca urmare se recurge la o divizare a domeniului în subdomenii De - numite elemente finite - ¿i definirea local a func iilor de aproximare Ni (fig.1.1).
Fig.1.1. Domeniul de studiu i condiˇii de margine.
Pentru ca aceast aproximare local s fie posibil , este necesar ca ecua iile de bazå (1.1) ¿i (1.2) så fie reformulate într-o formå integralå [1]:
( ) ( )G u dD g u dD∫ + ∫ =Γ Γ 0 , (1.4)
în care G ¿i g sunt operatori sau func¡ii cunoscute. Forma integralå permite aproximarea (1.3) element de element, prin simpla
rescriere a integralelor ca sumå a contribu¡iei celor m elemente finite care compun domeniul D:
( )GdD gd GdD gdD e D
me e∫ + ∫ = ∫ + ∫∑Γ Γ
1Γ Γ , (1.5)
unde De este domeniul fiecårui element finit, iar Γe este por¡iunea de grani¡å
care îi revine. Pentru ob¡inerea formei integrale (1.4) sunt posibile douå cåi. Prima cale se
bazeazå pe metoda reziduurilor ponderate ¿i este uzual utilizatå în procedeul Galerkin. A doua cale se bazeazå pe formularea varia¡ionalå a problemei analizate.
8
1.2. PROCEDEUL GALERKIN
De oarece ecua¡iile A(u) = 0 ¿i B(u) = 0 trebuie så fie satisfåcute în orice punct al domeniului D, rezultå egalitå¡ile:
( ) ( ) ( )[ ]w A u dD w A u w A u dDT ≡ + +∫∫ 1 1 2 2 0L ≡ ; (1.6.a)
( ) ( ) ( )[ ]w B u d w B u w B u dT Γ Γ≡ + +∫∫ 1 1 2 2 0L ≡ , (1.6.b)
unde ¿i [ ]w w wT = 1 2K [ ]w w wT = 1 2 K sunt douå seturi de func¡ii
arbitrare. Formularea integralå:
( ) ( )w A u dD w B u dTD
T∫ + ∫ =ΓΓ 0 , (1.7)
este satisfåcutå pentru oricare set w ¿i w ¿i este deci echivalentå cu satisfacerea sistemului de ecua¡ii cu derivate par¡iale (1.1) ¿i a condi¡iilor de margine asociate (1.2). ¥n exprimårile (1.6) ¿i (1.7) este admis implicit faptul cå integralele pot fi evaluate ¿i, ca urmare, sunt alese numai acele seturi de func¡ii w ¿i w care conduc la valori finite ale integralelor.
Aproximarea de forma (1.3) a func¡iei necunoscute u prin:
[ ] u u N a N ai i i
n≅ = ∑ = =
1Na , (1.8)
cu N=[N] matricea func¡iilor de aproximare ¿i a=a vectorul parametrilor
necunoscu¡i, nu mai satisface sistemele (1.1) ¿i (1.2). Forma integralå (1.7) permite ca aproximarea (1.8) så fie acceptabilå dacå în locul func¡iilor oarecare w ¿i w se alege un set finit de func¡ii:
w w ¿i w w cu j nj j= = = 1, , (1.9)
unde n este numårul de parametrii necunoscu¡i ai problemei ai. Ecua¡ia (1.7)
se transformå într-un sistem de ecua¡ii algebrice din care rezultå parametrii ai:
( ) ( )w A dD w B d j njT
D jTNa Na∫ + ∫ = =ΓΓ 0 1, , . (1.10)
Se poate observa cå A(Na) ¿i B(Na) sunt reziduurile sau erorile care rezultå
din substitu¡ia func¡iei u cu aproximarea Na în ecua¡iile A(u)=0 ¿i B(u)=0. Ca
9
urmare, ecua¡ia (1.10) este o integrare ponderatå a acestor reziduri ¿i metoda se nume¿te a reziduurilor ponderate [2].
Dat fiind faptul cå setul finit de func¡ii de pondere w ¿i w poate fi ales arbitrar, în func¡ie de modul de alegere sunt definite mai multe procedee:
- coloca¡ia în puncte: wj=δj, unde δj este astfel ales încât wj=0 pentru x≠xj ¿i y≠yj dar , cu I matricea unitarå. Alegerea lui ww dD IjD =∫ j revine la a asigura
reziduu zero în n puncte din interiorul domeniului; - coloca¡ia în subdomenii: wj=I în Dj ¿i zero în orice alta parte a lui D.
Alegerea lui wj revine la a impune ca integrala erorilor så fie zero în anumite subdomenii specificate;
- procedeul Galerkin: wj=Nj , func¡iile de aproximare [N] fiind folosite ¿i ca ponderi. Procedeul Galerkin conduce deobicei la matrici simetrice ¿i ca urmare a fost adoptat în formularea ecua¡iilor în elemente finite [2], [3].
1.3. FORMULAREA VARIAºIONALÅ
Un principiu varia¡ional define¿te o cantitate scalarå E, numitå func¡ionalå, ata¿atå problemei de câmp analizate:
E F ux
u dD G ux
u dD= ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟∫ + ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟∫, , , ,
∂∂
∂∂
L ΓΓ L , (1.11)
unde F ¿i G sunt operatori. Func¡ia u este solu¡ia problemei dacå face
sta¡ionarå func¡ionala în raport cu mici schimbåri δu ale func¡iei. Ca urmare:
δE = 0 . (1.12) Dacå se poate gåsi un pricipiu varia¡ional, atunci rezolvarea aproximativå a
problemei capåtå forma standard utilizatå în cadrul metodei elementelor finite. Utilizând aproximarea (1.3):
u u N ai i
n≅ = ∑
1,
prin substitu¡ia acesteia în func¡ionala (1.11), aceasta va depinde numai de
parametrii ai . Condi¡ia de sta¡ionaritate capåtå forma:
δ ∂∂
δ ∂∂
δ ∂∂
δEEa
aEa
aEa
an
n= + + +1
12
2 0L = .
10
Cum egalitatea trebuie så fie îndeplinitå pentru orice δa, rezultå condi¡ia:
∂∂
∂∂
∂∂
Ea
Ea
Ean
=
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪
⎭
⎪⎪
=1
0M , (1.13)
din care se ob¡in parametrii necunoscu¡i ai . Formularea varia¡ionalå nu are acela¿i grad de generalitate ca procedeul
reziduurilor ponderate în formularea Galerkin. Principii varia¡ionale existå numai pentru anumite clase de probleme, dar, acolo unde ele existå, se pot ob¡ine direct din aspectul fizic al problemei. ¥n curgerea poten¡ialå echivalentul varia¡ional este dat, a¿a cum se va vedea, de teorema energiei disipate minime în procesul curgerii.
1.4. ECUAºII ÎN ELEMENTE FINITE PENTRU CURGEREA
ÎN MEDII POROASE
1.4.1. ECUAºII DE BAZÅ PENTRU CURGEREA ÎN REGIM STAºIONAR
Problema constå în determinarea sarcinilor hidraulice, a gradien¡ilor hidraulici ¿i a debitelor infiltrate atunci când are loc un proces de curgere printr-un mediu permeabil echivalent mediului poros. Sarcina hidraulicå are expresia generalå:
H zp
= +γ
, (1.14)
unde z este cota geodezicå, p este presiunea, iar γ este greutatea specificå. Ecua¡iile A(u)=0 care guverneazå fenomenul sunt în acest caz ecua¡ia de
continuitate:
∂∂
∂∂
∂∂
q
x
q
y
q
zx y z+ + = 0 (1.15)
¿i legea generalizatå Darcy:
11
v kHx
kHy
kHz
v kHx
kHy
kHz
v kHx
kHy
kHz
x x xy xz
y yx y yz
z zx zy z
= − + +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= − + +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= − + +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
;
;
,
(1.16)
unde qx, qy ¿i qz sunt componentele debitului pe unitatea de suprafa¡å
(denumit uneori ¿i flux) în sistemul cartezian xyz, iar vx, vy ¿i vz sunt componentele vitezei de curgere în acela¿i sistem. ºinând seama cå viteza este egalå cu debitul pe unitatea de suprafa¡å, ecua¡iile (1.16) se pot rescrie matricial sub forma:
[ ]q
q
q
q
k grad Hx
y
z
h=⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪= − , (1.17)
iar ecua¡ia (1.15), în forma matricialå:
grad q = 0 , (1.18)
unde operatorul gradient are expresia gradx y z
T =⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
∂∂
∂∂
∂∂
, iar [kh] este o
matrice simetricå, de 3x3, con¡inând conductivitå¡ile hidraulice. Ecua¡iile B(u)=0 care exprimå condi¡iile de margine sunt constituite din:
H H peq q pe
H
n q
− =
− =
∗
∗
00
Γ
Γ
;,
(1.19)
reprezentând condi¡ii de poten¡ial impus H* pe anumite grani¡e ΓH ¿i condi¡ii
de flux impus q* normal pe anumite grani¡e Γq. ¥n aceastå formulare diferen¡ialå, func¡ia necunoscutå u este sarcina
hidraulicå H(x,y,z), matricea [kh] fiind o caracteristicå a mediului de curgere.
12
1.4.2. FORMULAREA ÎN ELEMENTE FINITE
A¿a cum s-a aråtat, aproximarea care stå la baza metodei elementelor finite este de forma (1.3):
H H N ai i i
n≅ = ∑
1, (1.20)
unde Ni(x,y,z) sunt func¡iile de aproximare, iar ai sunt parametrii
necunoscu¡i. Gåsirea unor func¡ii de aproximare Ni continue pe întreg domeniul, capabile så conducå la o solu¡ie aproximativå acceptabilå a problemei este extrem de dificilå. Pentru a depå¿i acest inconvenient, domeniul de studiu D se împarte în elemente finite (fig.1.1). Conectarea dintre acestea se realizeazå într-un numår finit de puncte, situate pe grani¡a elementelor, denumite puncte nodale sau noduri. Forma integralå (1.5) a ecua¡iilor de bazå ¿i a condi¡iilor de margine permite ca aproximarea (1.20) så se realizeze independent pentru fiecare element finit. Ca urmare, func¡iile de aproximare Ni se definesc ¿i au proprietå¡i de continuitate numai pe domeniul unui element, având de aceastå datå forme simple. Parametrii necunoscu¡i ai se aleg la rândul lor ca fiind valorile func¡iei necunoscute H în punctele nodale, devenind valorile nodale Hi. Substituirea aproximårii H=ΣNiHi în forma integralå a ecua¡iilor problemei permite definirea ecua¡iilor în elemente finite ¿i a matricelor de influen¡å aferente.
1.4.3. DEFINIREA ECUAºIILOR ÎN ELEMENTE FINITE UTILIZÂND PROCEDEUL GALERKIN
Pentru simplificarea formulårilor, se considerå cazul curgerii bidimensionale, în sistemul xy, astfel ales încât så coincidå cu direc¡iile principale de anizotropie ale conductivitå¡ilor hidraulice. ¥n acest caz H=H(x,y) iar kxy=kxz=kyz=0, matricea [kh] având forma diagonalå simplå:
[ ]kk
khx
y
=⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
0
0 . (1.21)
Setul de ecua¡ii A(u)=0 se reduce la :
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂x
kHx y
kHyx y
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = 0 , (1.22)
iar condi¡iile de margine B(u) au forma:
13
q q pen − =∗ 0 Γq , (1.23.a)
unde:
q kHx
n kHy
nn x x y= +∂∂
∂∂ y , (1.23.b)
cu nx ¿i ny cosinu¿ii directori ai normalei la grani¡a Γg. Celelalte condi¡ii, de tip H=H* pe ΓH se pot impune ulterior. De altfel, fiind
valori nodale cunoscute H* ele se eliminå din ansamblul valorilor nodale necunoscute Hi.
Forma integralå de tip (1.7) devine în cazul studiat:
wx
kHx y
kHy
dxdy
w kHx
n kHy
n q d
x yD
x x y yq
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ +
+ +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ −
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =
∫
∫ ∗
ΓΓ 0 .
(1.24)
Dacå primul termen se integreazå prin pår¡i, folosind formula generalå Green
¿i se admite w w= − , rezultå forma mai simplå:
− +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟∫ + ∫ =∗∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
wx
kHx
wy
kHy
dxdy wq dx yD Γ Γ 0 . (1.25)
Se poate verifica cu u¿urin¡å deducerea ecua¡iei (1.25), dacå se ¡ine seama de
formulele de integrare:
wx
kHx
dxdywx
kHx
dxdy w kHx
n d
wy
kHy
dxdywy
kHy
dxdy w kHy
n d
x x x
y y y
x
y
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ +
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
∫∫ ∫
∫∫ ∫
Γ
Γ
Γ
Γ
Alegerea setului w w= − nu afecteazå generalitatea formulårii, având în
vedere cå ambele seturi de func¡ii sunt arbitrare. Utilizând operatorul grad ¿i forma matricealå [k] pentru conductivitå¡ile
hidraulice, ecua¡ia (1.25) se poate rescrie sub forma:
14
[ ]grad w k grad HdD wq dThD∫ − ∫ =∗ ΓΓ 0 . (1.26)
Pentru definirea ecua¡iilor în elemente finite forma integralå (1.26) se
exprimå ca o sumå a contribu¡iilor elementelor finite care compun domeniul:
[ ]( )eT
hDTm
grad w k grad H dD w q de e∫ − ∫∑ =∗ ΓΓ1
0 , (1.27)
unde m este numårul de elemente finite, De domeniul unui element finit, iar
Γe por¡iunea de grani¡å care îi revine. Pentru fiecare element finit func¡ia H(x,y) se aproximeazå în func¡ie de
valorile nodale Hi:
[ ] H x y N H N Hi i
n( , ) = ∑ =
1, (1.28)
unde [N]=[N1 N2 ... Nn] este matricea func¡iilor de aproximare, iar HT=H1
H2 ... Hn este vectorul valorilor nodale, corespunzåtoare celor n noduri ale elementului.
Procedeul Galerkin al reziduurilor ponderate înlocuie¿te setul arbitrar de func¡ii de pondere w cu func¡iile de aproximare [N]. Substituind (1.28) în expresia contribu¡iei elementului în (1.27) ¿i înlocuind w=[N], rezultå:
[ ][ ] [ ] ( ) [ ]grad N k grad N H dD N q dTh
T
D ee − ∫∫∗ ΓΓ . (1.29)
ºinând seama de nota¡iile:
[ ] [ ] [ ]grad N x
y
N N N
N
x
N
x
N
xN
y
N
y
N
y
Bn
n
n=
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
=
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
=
∂∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
1 2
1 2
1 2L
L
L, (1.30)
15
[ ] ( ) [ ]
[ ]
grad N H x
y
N H N H N H
Nx
HNx
HNx
H
Ny
HNy
HNy
HB H
n n
nn
nn
=
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
+ + + =
=+ + +
+ + +
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
=
∂∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
1 1 2 2
11
22
11
22
L
L
L
(1.31)
contribu¡ia elementului se poate rescrie în forma matricealå simplå:
[ ] k H r− , (1.32)
unde:
[ ] [ ] [ ][ ]k B k BT
hDe
= ∫ dD (1.33)
[ ]r N qT
e= ∗∫ Γ
Γd . (1.34)
Matricea [k] se nume¿te matricea de influen¡å sau matricea de infiltra¡ie a
elementului, iar vectorul r exprimå contribu¡ia nodalå a condi¡iilor de flux impus pe grani¡a elementului.
Revenind la forma integralå aferentå întregului domeniu, exprimatå de ecua¡ia (1.27), se ob¡ine:
[ ] ( )e
mk H r−∑ =
10 (1.35)
sau:
[ ] K H R= , (1.36)
unde , iar H reprezintå de aceastå datå vectorul
valorilor nodale ale sarcinilor hidraulice din toate nodurile discretizårii. Opera¡ia de sumare a matricelor ¿i vectorilor caracteristici se realizeazå prin adunarea termenilor omologi din matricele [k] ¿i vectorii r, dupå extinderea acestora la dimensiunile date de numårul nodurilor din discretizare.
[ ] [ ]K km
= ∑1
Rm
= ∑1
r
16
Rezolvarea sistemului de ecua¡ii algebrice liniare (1.36) permite ob¡inerea valorilor nodale ale sarcinilor hidraulice. Valoarea sarcinii hidraulice în orice punct al domeniului, gradien¡ii hidraulici ¿i fluxurile tranzitate se ob¡in revenind la nivelul elementului ¿i tinând seama de rela¡iile de aproximare:
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
[ ] ( )[ ]
H x y N x y H
grad H x y B x y H
q k B x y Hh
, ,
, ,
,
=
=
= −
(1.37)
unde de aceastå datå H este vectorul valorilor nodale aferente elementului,
selectate din vectorul general ob¡inut din sistemul (1.36). Debitul care traverseazå o laturå (în cazul 2D) sau o fa¡å (în cazul 3D) a
elementului finit se determinå prin integrarea:
Q v dne S= ∫Γ , (1.38)
unde vn este viteza normalå la fa¡å în orice punct al acesteia, iar Γe este fa¡a
lateralå (latura) specificatå. Viteza normalå se determinå în func¡ie de componentele vitezei în sistemul cartezian. ¥n cazul 2D:
[ ] [ ] v n nv
vn vn x y
x
y
=⎧⎨⎩
⎫⎬⎭= , (1.39)
unde [n] este matricea cosinusurilor directoare ale normalei la fa¡å. Expresia
(1.39) se poate extinde cu u¿urin¡å ¿i în cazul 3D. ºinând seama cå v≡q ¿i de expresiile (1.37) rezultå:
[ ][ ][ ] v n k Bn h= − H
H
. (1.40)
Revenind în rela¡ia de calcul (1.38), rezultå expresia:
[ ][ ][ ]( ) [ ] Q n k B dS H CQhe= − =∫Γ , (1.41)
unde [CQ] este o matrice caracteristicå elementului ¿i fe¡ei pentru care se
calculeazå debitul.
17
1.4.4. DEFINIREA ECUAºIILOR ÎN ELEMENTE FINITE UTILIZÂND FORMULAREA VARIAºIONALÅ
Func¡ionala asociatå problemei curgerii sta¡ionare în mediu poros are expresia:
E grad H q dD q HT
D= − −∫ ∫ ∗1
d2
ΓΓ
, (1.42)
în care primul termen exprimå energia disipatå în unitatea de timp în
procesul de curgere iar cel de-al doilea energia corespunzåtoare extrac¡iei sau injec¡iei de flux pe grani¡å. Func¡ia necunoscutå H(x,y) se ob¡ine din condi¡ia de sta¡ionar a func¡ionalei δE=0. ¥n acest caz este vorba de minimizarea energiei disipate, corespunzând teoremelor generale ale energiei.
Pentru definirea ecua¡iilor în elemente finite domeniul de studiu se împarte în subdomenii - elemente finite - iar energia se exprimå ca sumå a contribu¡iei elementelor din discretizare:
E E grad H q dD q Hde e
m
eT
D
m
e= = − −⎛
⎝⎜⎞⎠⎟∑ ∫ ∫∑ ∗
1 1
12
ΓΓ e
, (1.43)
unde m este numårul de elemente finite, De domeniul unui element iar Γe
por¡iunea de grani¡å care îi revine. Sarcina hidraulicå H(x,y) se aproximeazå pe domeniul elementului în func¡ie
de valorile nodale Hi:
( ) [ ] H x y N H N Hi i
m, = ∑ =
1,
unde, la fel ca în rela¡ia (1.28), [N] este matricea func¡iilor de aproximare iar
H este vectorul valorilor nodale, corespunzåtoare celor n noduri ale elementului.
Gradientul hidraulic pe element se exprimå în func¡ie de acelea¿i valori nodale, la fel ca în rela¡ia (1.31):
[ ] ( ) [ ] grad H grad N H B H= = ,
unde [B] este o matrice ce con¡ine derivatele de ordinul I ale func¡iilor de
aproximare.
18
Debitul pe unitatea de suprafa¡å q este dat de reala¡ia (1.17), din care, dacå se înlocuie¿te aproximarea (1.28), rezultå:
[ ] [ ][ ] q k grad H k B Hh h= − = − . (1.44)
¥nlocuind aproximårile pentru H, grad H ¿i q în expresia func¡ionalei
aferente unui element rezultå:
[ ] [ ][ ] [ ]E H B k B dD H H N qeT T
hD
T T
e e= ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟ −∫ ∫ ∗1
d2
ΓΓ
. (1.45)
¥n aceastå formå func¡ionala depinde numai de valorile sarcinilor hidraulice
nodale. Prima integralå se identificå cu matricea de influen¡å sau matricea de infiltra¡ie a elementului:
[ ] [ ] [ ][ ]k B k BT
hDe
= ∫ dD , (1.46)
iar a doua integralå ca vector al condi¡iilor de margine:
[ ]r N qT
e= ∗∫ Γ
Γd . (1.47)
Cu aceste nota¡ii, func¡ionala aferentå elementului devine:
[ ] E H k H HeT
= −1
rT
2, (1.48)
iar func¡ionala corespunzåtoare întregului domeniu rezultå din sumarea
contribu¡iilor tuturor elementelor:
[ ] E E H K H He e
m T= ∑ = −
1
12
RT
k
. (1.49)
¥n expresia (1.49) vectorul H con¡ine de aceastå datå valorile nodale ale
sarcinii hidraulice din toate nodurile discretizårii, iar:
[ ] [ ]Km
= ∑1
¿i R rm
= ∑1
19
rezultå din simpla sumare a matricelor de influen¡å ¿i respectiv a vectorilor condi¡iilor de margine ale elementelor, prin adunarea termenilor omologi dupå extinderea acestora la dimensiunile date de numårul nodurilor din discretizare.
Condi¡ia de sta¡ionar δE=0 aplicatå func¡ionalei se exprimå în acest caz sub forma:
∂
∂EH
= 0 , (1.50)
ceea ce conduce, ¡inând seama de (1.49), la sistemul algebric liniar:
[ ] K H R= . (1.51)
Rezolvarea sistemului conduce la ob¡inerea valorilor nodale ale sarcinilor
hidraulice. Sarcina hidraulicå, gradientul hidraulic ¿i fluxul tranzitat în orice punct al domeniului se ob¡in revenind la nivelul elementului ¿i utilizând relatiile (1.37) prezentate anterior.
1.5. ETAPELE DE CALCUL
Dupå cum rezultå din formularea ecua¡iilor în elemente finite, rezolvarea problemei comportå o succesiune de etape.
Discretizarea, în care domeniul de studiu se împarte în elemente finite ¿i se stabilesc punctele nodale în care se vor calcula sarcinile hidraulice.
Alegerea func¡iilor de aproximare, în care se stabilesc func¡iile Ni(x,y,z), continue pe domeniul elementului, cu ajutorul cårora se exprimå varia¡ia sarcinii hidraulice pe domeniul elementului, în func¡ie de valorile acesteia în nodurile elementului. Aceastå etapå se mai nume¿te ¿i alegerea tipului de element, dat fiind faptul cå existå anumite configura¡ii ale elementelor finite în func¡ie de forma ¿i gradul func¡iilor de aproximare.
Evaluarea matricelor de influen¡å ¿i a vectorilor caracteristici pe baza func¡iilor de aproximare alese ¿i în func¡ie de conductivitå¡ile hidraulice ale materialului care compune elementul:
[ ] [ ] [ ][ ] [ ]k B k B d
r N q d
ThD
T
e
e
= ∫
= ∫∗
;
,ΓΓ
D (1.52)
20
în care intervin matricea func¡iilor de aproximare [N], matricea [B] ce con¡ine derivatele de ordinul I al acestora ¿i matricea [kh] a conductivitå¡ilor hidraulice. Calculul matricelor ¿i vectorilor de influen¡å se face deobicei prin integrare numericå.
Asamblarea, în care se determinå matricea caracteristicå a domeniului [K] ¿i vectorul termenului liber R prin sumarea matricelor de influen¡å ¿i a vectorilor condi¡iilor de margine ale elementelor din discretizare. La baza procedurii de sumare stå faptul cå, într-un nod comun mai multor elemente finite, valoarea sarcinii hidraulice este aceea¿i pentru toate elementele cuplate în acel nod.
Rezolvarea sistemului de ecua¡ii algebrice liniare KH=R, rezultat din opera¡ia de asamblare. Din rezolvare rezultå valorile sarcinii hidraulice în toate nodurile discretizårii.
Calculul sarcinii hidraulice, a gradientului ¿i a debitelor în orice punct al domeniului pe baza valorilor nodale ale sarcinilor hidraulice.
BIBLIOGRAFIE
1. Z i e n k i e w i c z , O . C . , T a y l o r , R . L . , The Finite Element Method, Mc.
Grow-Hill, 1991. 2. F i n l a y s o n , B . A ., The Method of Weighted Reziduals and Variational
Principles, Academic Press, 1972. 3. Z i e n k i e w i c z , O.C., M o r g a n , K., Finite Element and Approximation, Wiley,
1983.
21
2
CARACTERISTICILE ELEMENTELOR FINITE
2.1. CLASE ªI TIPURI DE ELEMENTE FINITE
2.1.1. CONVERGENºA SOLUºIEI
Metoda elementelor finite este o metodå numericå aproximativå pentru rezolvarea problemelor de câmp. Ca urmare, este de prim interes în a cunoa¿te cât de bunå este aproximarea ¿i, mai ales, cum poate fi sistematic îmbunåtå¡itå pentru a se apropia cât mai mult de solu¡ia exactå. Evaluarea erorii este o problemå dificilå, datoritå faptului cå solu¡ia exactå a problemelor complexe este ea înså¿i necunoscutå. ¥n ceea ce prive¿te îmbunåtå¡irea solu¡iei, calea este înså evidentå, rezultând din înså¿i modul de aproximare a solu¡iei. Rela¡ia de aproximare a sarcinii hidraulice pe domeniul unui element este de forma
, unde N( )H x y z N Hi i
m, , = ∑
1i sunt func¡iile de aproximare, iar Hi sunt valorile
din nodurile elementului. Aceastå rela¡ie poate fi privitå ¿i ca una de interpolare a valorii dintr-un punct oarecare al elementului în func¡ie de valorile din noduri. Este evident cå, necunoscând varia¡ia realå a sarcinii pe element, valoarea interpolatå este numai o aproximare a celei reale. Cu cât numårul de puncte nodale ale elementului este mai mare ¿i cu cât domeniul elementului finit este mai mic aproximarea valorii reale va fi mai bunå. Rezultå de aici cå ar trebui ca precizia solu¡iei aproximative så creascå pe måsurå ce cre¿te numarul de elemente finite din discretizare ¿i, implicit, numårul de noduri (fig.2.1). Dacå acest proces de îmbunåtå¡ire a aproximårii se realizeazå se spune cå solu¡ia numericå converge cåtre solu¡ia exactå. Pentru a se asigura convergen¡a, este înså necesar så fie îndeplinite anumite condi¡ii de continuitate ¿i completitudine [1].
22
Fig.2.1. Convergen¡a solu¡iei în elemente finite.
2.1.2. CLASE ªI CONDIºII DE CONTINUITATE
¥n cazul rezolvårii prin elemente finite a problemelor de câmp se definesc urmåtoarele clase de continuitate: C0 - când variabila de câmp este continuå pe frontiera dintre douå elemente finite, iar derivatele de ordinul I ale acesteia sunt continue pe domeniul elementelor, dar discontinue pe frontierå; C1 - când variabila de câmp ¿i derivatele de ordinul I ale acesteia sunt continue pe frontierå iar derivatele de ordinul II sunt continue pe domeniul elementelor dar discontinue pe frontierå; M Cn - când variabila de câmp ¿i derivatele sale pânå la ordinul n sunt continue pe frontiera dintre elemente. Solu¡ia aproximativå prin elemente finite trebuie så defineascå astfel func¡iile de aproximare ¿i natura necunoscutelor nodale încât så poatå fi operate integrårile pe domeniul elementului. Ca urmare, clasa de continuitate care trebuie asiguratå depinde de ordinul derivatelor care apar în expresia de sub integralå a func¡ionalei sau a formei integrale a ecua¡iilor fenomenului. Dacå ordinul maxim al derivatelor este k, atunci convergen¡a solu¡iei cu elemente finite este asigurata de o aproximare ce respectå o continuitate de claså Ck-1. ¥n cazul problemelor de curgere prin medii poroase, sub integralå apare gradientul, adicå derivate de ordinul I ¿i, în consecin¡å, aproximarea trebuie så asigure o continuitate de claså C0. Elementele finite corespunzåtoare se numesc elemente de claså C0 ¿i au ca necunoscute valorile sarcinii hidraulice din noduri. Existå alte tipuri de probleme de câmp care au sub integralå derivate de ordinul II, a¿a cum este cazul câmpului de deplasåri ¿i eforturi din plåcile plane
23
¿i curbe în teoria elasticitå¡ii. ¥n acest caz se cere o continuitate de claså C1 ¿i pentru a asigura continuitatea pe grani¡å a derivatelor de ordinul I elementele finite corespunzåtoare au ca necunoscute nodale atât valoarea func¡iei, cât ¿i valorile derivatelor acesteia de ordinul I.
2.1.3. TIPURI DE ELEMENTE FINITE
¥n majoritatea rezolvårilor cu elemente finite func¡iile de aproximare sunt de tip polinomial [1] , [2]. ¥n cazul elementelor finite de claså C0, a¿a cum sunt cele utilizate în problemele de curgere prin medii poroase, necunoscutele nodale sunt valorile din noduri ale func¡iei necunoscute (sarcina hidraulicå în cazul de interes). Pentru a se asigura convergen¡a solu¡iei este necesar ca polinoamele de aproximare så respecte condi¡ia de completitudine. Aceastå condi¡ie se referå la utilizarea polinoamelor complete, a¿a cum sunt ele definite de triunghiul lui Pascal. Astfel, în cazul problemei 2D, aproximarea polinomialå de ordinul I (liniarå) are forma:
( )H x y a a x a y a xy, = + + +1 2 3 4 , (2.1)
iar aproximarea de ordinul II (cuadraticå) are forma:
( )H x y a a x a y a xy a x a y a xy a x y, = + + + + + + +1 2 3 4 52
62
72
82 . (2.2)
Similar se pot forma ¿i polinoamele pentru cazul problemelor tridimensionale. Condi¡ia de completitudine este echivalentå cu condi¡ia de a evita existen¡a unor direc¡ii preferen¡iale în interiorul elementului. Pentru determinarea coeficien¡ilor polinoamelor de aproximare (2.1) sau (2.2) se pun condi¡iile ca în nodurile elementului sarcina hidraulicå H(x,y) så capete valoarea nodalå Hi. Numårul de noduri trebuie deci så fie egal cu numårul coeficien¡ilor polinomiali. Ca urmare, în cazul problemelor 2D elementul liniar (aproximare polinomialå de ordinul I) are 4 noduri, iar ca formå geometricå este un patrulater oarecare, iar elementul påtratic (aproximare polinomialå de ordinul II) are 8 noduri, iar ca formå geometricå este un patrulater cu laturi curbe (fig.2.2).
24
Fig.2.2. Elemente finite bidimensionale - forma standard. Similar, în cazul problemelor 3D elementul liniar are 8 noduri
¿i forma
hexaedralå, iar elementul påtratic are 20 de noduri ¿i este un hexaedru cu laturi curbe (fig.2.3).
( )( )H x y z a a x a y a z a xy a yz a zx a xyz, , = + + + + + + +1 2 3 4 5 6 7 8
Fig.2.3. Elemente finite tridimensionale - forma standard. ¥n discretizare se pot folosi ¿i elemente cu formå geometricå degeneratå. ¥n cazul 2D triunghiuri care provin din patrulatere, prin suprapunere a douå noduri, iar în 3D prisme sau tetraedre, care provin din hexaedre prin suprapunerea a douå muchii, respectiv a mai multor noduri (fig.2.4). Din aceste considerente rezultå cå între configura¡ia elementului ¿i functiile de aproximare existå o interdependen¡å bine definitå. Ca urmare, în practica metodei se define¿te tipul de element - liniar, påtratic, cubic etc. - în acord cu gradul polinomului de aproximare, iar numarul de noduri ata¿ate elementului este astfel precizat.
25
Fig.2.4. Forme geometrice degenerate pentru elementele de claså C°: a - bidimensionale; b - tridimensionale.
2.2. FUNCºII DE APROXIMARE ÎN COORDONATE GLOBALE
Se admite aproximarea polinomialå a sarcinii hidraulice pe domeniul elementului. Pentru a simplifica dezvoltårile algebrice se alege, pentru început, un element de claså C0, liniar, 2D. ¥n conformitate cu figura 2.5, elementul este definit geometric de coordonatele (xi,yi) ale celor patru noduri în sistemul global xy. Aproximarea polinomialå are forma (2.1):
( )H x y a a x a y a xy, = + + +1 2 3 4 .
Fig.2.5. Definirea geometricå pentru elementul patrulater liniar.
26
Condi¡ia ca în nodurile 1..4 valoarea func¡iei H(x,y) så ia valorile nodale H1..H4 se scrie sub forma:
H a a x a y a x y
H a a x a y a x y
1 1 2 1 3 1 4 1 1
4 1 2 4 3 4 4 4 4
= + + +
= + + +M
,
(2.3)
care, exprimatå matricial, devine:
H
H
H
H
x y x y
x y x y
x y x y
x y x y
a
a
a
a
1
2
3
4
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
4 4 4 4
1
2
3
4
1
1
1
1
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
=
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
(2.4)
sau:
[ ] H MC a= , (2.5)
unde H este vectorul valorilor nodale, a vectorul coeficien¡ilor polinomiali, iar [MC] este o matrice de coordonate ce definesc geometria elementului. Prin inversarea rela¡iei (2.5) se ob¡in coeficien¡ii polinomiali:
[ ] a MC H= −1. (2.6)
Dacå polinomul de aproximare se scrie la rândul lui matricial:
( ) [H x y x y xy
a
a
a
a
, =
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
1
1
2
3
4
] (2.7)
¿i se înlocuie¿te vectorul coeficien¡ilor polinomiali din (2.6), rezultå:
( ) [ ][ ] H x y x y xy MC H, = −1
1, (2.8)
din care se pune în eviden¡å matricea func¡iilor de aproximare:
27
( )[ ] [ ][ ]N x y x y xy MC, = −1
1. (2.9)
Procedeul de generare a func¡iilor de aproximare este absolut general. ¥n cazul problemelor 3D aproximarea polinomialå cuprinde ¿i coordonata z, iar dacå aproximarea este påtraticå sau cubicå vor apare termeni corespunzåtori în polinom, în conformitate cu triunghiul lui Pascal pentru polinoame complete. De¿i acest procedeu de ob¡inere a func¡iilor de aproximare este avantajos conceptual, în rezolvårile practice are o serie de inconveniente. Inversarea matricei de coordonate [MC] este o opera¡ie dificilå în cazul polinoamelor de grad superior ¿i, chiar în cazurile simple, liniare, poate produce singularitå¡i pentru anumite configura¡ii ¿i pozi¡ii ale elementului fa¡å de sistemul de axe. Un alt inconvenient, semnificativ, apare la calculul matricelor de influen¡å ale elementelor, când integrarea numericå pe un domeniu oarecare, a¿a cum apare el definit de geometria elementului, poate fi o problemå dificilå [2].
2.3. ELEMENTUL TRIUNGHIULAR LINIAR
Un element finit cu proprietå¡i particulare, care permite formularea directå a matricelor de influen¡å, este elementul triunghiular liniar. Procedura de ob¡inere a func¡iilor de aproximare urmeazå calea generalå prezentatå în paragraful precedent. Elementul este bidimensional ¿i are forma triunghiularå definitå de nodurile locale 1, 2 ¿i 3 în planul xoy (fig.2.6,a). Varia¡ia sarcinii hidraulice pe domeniul elementului se aproximeazå printr-un polinom incomplet de gradul I:
( ) [ ]H x y a a x a y x y
a
a
a
, = + + =⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
1 2 3
1
2
3
1 . (2.10)
Coeficien¡ii polinomului de aproximare se determinå din condi¡ia ca în nodurile i=1,2,3 sarcina hidraulicå H(x,y) så capete valorile nodale H1, H2, H3:
[ ] H
H
H
x y
x y
x y
a
a
a
MC a1
2
3
1 1
2 2
3 3
1
2
3
1
1
1
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪=⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪= . (2.11)
Prin inversare, se ob¡ine vectorul coeficien¡ilor polinomiali:
28
[ ] a MC H=−1
, (2.12)
unde:
[ ]MCA
x y x y x y x y x y x y
y y y y y y
x x x x x x
− =− − −− − −− − −
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
12 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 1 1 2
3 2 1 3 2 1
12
, (2.13)
iar A este aria triunghiului. ¥nlocuind expresia (2.13) în rela¡ia (2.10), rezultå dependen¡a sarcinii hidraulice de valorile nodale:
. (2.14) ( ) [ ][ ] ( )[ ] H x y x y MC
H
H
H
N x y H, ,=⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪=−
11
1
2
3
Fig.2.6. Elementul triunghiular liniar: a - definirea geometricå; b - sistemul local pentru latura ij.
29
Pentru calculul matricei de influen¡å a elementului trebuie evaluatå matricea [B] din exprimarea gradientului în func¡ia de valorile nodale:
[ ] ( ) [ ] grad H grad N H B H= = . (2.15)
Componentele vectorului grad H pot fi evaluate din aproximarea (2.14):
[ ][ ] [ ]
[ ][ ] [ ]
∂∂∂∂
Hx
MC HA
y y y y y y H
Hy
MC HA
x x x x x x H
= = − −
= = − −
−
−
0 1 01
2
0 0 11
2
12 3 3 1 1 2
13 2 1 3 2 1 ,
−
− (2.16)
de unde se poate pune în eviden¡å, matricea [B]:
[ ]By y y y y y
x x x x x x=
− − −− − −
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
2 3 3 1 1 2
3 2 1 3 2 1
. (2.17)
Dupå cum se observå, matricea con¡ine constante numerice ¿i deci, gradientul este la rândul lui constant pe domeniul elementului. ¥n expresia matricei de influen¡å:
[ ] [ ] [ ][ ]k B k BT
hDe= ∫ dD , (2.18)
matricea conductivitå¡ilor hidraulice [kh] are forma:
[ ]kk
khx
y
=⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
0
0 , (2.17)
acceptând cå sistemul de coordonate coincide cu direc¡iile principale de anizotropie, sau forma completå:
[ ]kk k
k khx xy
yx y
=⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ , (2.18)
dar simetricå, în cazul anizotropiei locale diferitå de sistemul global. Elementul de integrare este dD=dxdy în cazul 2D analizat. Matricele [B] ¿i [kh] fiind constante, rezultå expresia matricei de influen¡a sub forma:
30
[ ] [ ] [ ][ ]k B k BT
h= A , (2.19)
unde A este, a¿a cum s-a aråtat, aria triunghiului. Vectorul condi¡iilor de margine r provenit din condi¡iile de flux impus pe grani¡a elementului:
[ ]r N qT
e= ∫∗ ΓΓ d (2.20)
necesitå pentru evaluare o integrare numericå, dat fiind cå matricea func¡iilor de aproximare depinde de x ¿i y. Pentru a simplifica calculul integralei se admite cå fluxul q* este constant pe grani¡a elementului ¿i se recurge la reformularea expresiei (2.20) într-un sistem local os, ata¿at laturii ij care constituie grani¡a elementului Γe comunå cu grani¡a domeniului (fig.2.6,b):
( )[ ]r N s qTl= ∫
∗0 ds , (2.21)
unde:
( )H ssl
sl
H
H
H
i
j
k
= −⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
1 0 (2.22)
¿i deci:
( )[ ]N ssl
sl
= −⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
1 0 . (2.23)
Substituind expresia (2.23) în formularea (2.21) ¿i efectuând integrarea, rezultå:
r
l
lq=
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
∗
2
20
, (2.24)
31
de unde se observå cå, în cazul q*=ct pe grani¡a ij, condi¡ia de flux impus se repartizeazå în mod egal celor douå noduri care definesc grani¡a.
2.4. ELEMENTE IZOPARAMETRICE
2.4.1. FUNCºII DE APROXIMARE ÎN COORDONATE NATURALE
Nodurile unui element finit sunt identificate prin douå sisteme de numerotare, unul global, pentru întregul domeniu discretizat ¿i unul local, pentru fiecare element în parte. Este convenabil de a se asocia sistemului local de noduri ¿i un sistem local de coordonate. Originea sistemului local se alege, de obicei, în centrul de greutate al elementului. La rândul lor, coordonatele locale pot fi normale (de exemplu carteziene) sau naturale. Coordonatele naturale sunt coordonate normalizate, ob¡inute prin raportarea coordonatelor globale la mårimi caracteristice ale elementului - lungimi sau arii. ¥n cazul în care se utilizeazå coordonatele naturale, iar originea sistemului coincide cu centrul de greutate al elementului, atunci domeniul de varia¡ie al coordonatelor naturale asociate elementului este (-1,1). ¥n cele ce urmeazå se prezintå coordonatele naturale pentru patrulaterul oarecare în cazul bidimensional (fig.2.7,a) ¿i, respectiv, pentru hexaedru în cazul tridimensional (fig.2.7,b).
Fig.2.7. Coordonate naturale pentru: a - patrulaterul oarecare; b - hexaedru.
32
Pentru patrulaterul oarecare, rela¡iile dintre coordonatele naturale (s,t) ¿i coordonatele globale (x,y) sunt date de expresiile:
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]x s t x s t x s t x s t x= − − + + − + + + + − +14
1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 (2.25.a)
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]y s t y s t y s t y s t y= − − + + − + + + + − +14
1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 (2.25.b)
¥ntr-o scriere mai conciså, rela¡iile de transformare au forma:
x L x
y L y
ii
i
ii
i
= ∑
= ∑
=
=
1
4
1
4
;
, (2.26)
în care:
( )( )L ssi i= + +14
1 1 tti , (2.27)
(xi,yi) fiind coordonatele nodului i în sistemul xy, iar (si,ti) fiind coordonatele nodului i în sistemul st. Pentru elementele finite tridimensionale hexaedrale, rela¡iile de legåturå dintre cele douå sisteme de coordonate (fig.2.7,b) au o formå asemånåtoare:
x L x
y L y
z L z
i ii
i ii
i ii
= ∑
= ∑
= ∑
=
=
=
1
8
1
8
1
8,
(2.28)
în care:
( )( )( )L ss tti i i= + + +18
1 1 1 rri . (2.29)
Nota¡iile sunt acelea¿i, (xi,yi,zi) fiind coordonatele nodului i în sistemul xyz, iar (si,ti,ri) fiind coordonatele nodului i în sistemul str.
33
¥n cazul coordonatelor naturale, func¡iile de aproximare Ni(s,t,r) pot fi deduse pe o cale mult mai simplå. Se ¡ine seama de faptul cå acestea au proprietatea Ni=1 pentru nodul i ¿i Ni=0 pentru celelalte noduri. Fårå a intra în detalii, în cele ce urmeazå, se dau expresiile func¡iilor de aproximare pentru elementul plan patrulater ¿i elementul spa¡ial hexaedral [3]:
• Cazul bidimensional (fig.2.8):
Fig.2.8. Elemente bidimensionale în coordonate naturale: a - liniar; b - påtratic; c - cubic.
Element liniar (4 noduri):
( ) ( )( )N s t ss tti i, = + +14
1 1 i , (2.30)
cu si, ti=±1. Element påtratic (8 noduri):
( ) ( )( )( )N s t ss tt ss tti i i i, = + + + −14
1 1 i 1 , (2.31.a)
pentru nodurile 1..4 cu si, ti=±1;
( ) ( )( )N s t s tti , = − +1
i21 12 , (2.31.b)
pentru nodurile 5 ¿i 7 la s=0, ti=±1 ¿i:
34
( ) ( )( )N s t ss ti i, = + −12
1 1 2 , (2.31.c)
pentru nodurile 6 ¿i 8 la si=±1, t=0 Element cubic (12 noduri):
( )( ) ( )[ ]N ss tt s ti i i= + + + −132
1 1 9 12 2 0 , (2.32.a)
pentru nodurile 1...4 cu si, ti=±1 ;
( )( )( )N ss ti i= + − +932
1 1 1 92 tti , (2.32.b)
pentru nodurile 7, 8, 11 ¿i 12, cu si=±1 ¿i t i = ±13
¿i:
( )( )( )N tt si i= + − +932
1 1 1 92 ssi , (2.32.c)
pentru nodurile 5, 6, 9 ¿i 10, cu ti=±1 ¿i si = ±13
.
• Cazul tridimensional (fig.2.9):
Fig.2.9. Elemente tridimensionale în coordonate naturale: a - liniar; b - påtratic; c - cubic.
35
Element liniar (8 noduri):
( )( )( )N ss tti i i= + + +18
1 1 1 rri , (2.33)
cu si, ti, ri=±1. Element påtratic (20 noduri): - Noduri de col¡ si=±1, ti=±1, ri=±1 :
( )( )( )( )N ss tt rr ss tt rri i i i i i i= + + + + + −18
1 1 1 2 . (2.34.a)
- Noduri de mijloc tipice si=0, ti=±1, ri=±1:
( )( )( )N s tti i= − + +14
1 1 12 rri . (2.34.b)
Pentru restul nodurilor de mijloc din planurile ti=0 ¿i respectiv ri=0, func¡iile de aproximare se ob¡in din permutåri. Element cubic (32 noduri): - Noduri de col¡ si=±1, ti=±1, ri=±1:
( )( )( ) ( )[ ]N ss tt rr s t ri i i i= + + + + + −1
641 1 1 9 12 2 2 9 , (2.35.a)
- Noduri intermediare tipice si = ±13
, ti=±1, ri=±1:
( )( )( )( )N s ss tt rri i= − + + +964
1 1 9 1 12i i . (2.35.b)
Pentru restul nodurilor intermediare, din planurile t i = ±13
¿i respectiv
ri = ±13
, func¡iile de aproximare se ob¡in prin permutåri.
36
Avantajul exprimårii func¡iilor de aproximare în coordonatele naturale rezultå evident: pentru oricare element finit, indiferent de geometria particularå a acestuia, func¡iile de aproximare sunt unice, bine definite ¿i u¿or de verificat intuitiv.
2.4.2. INTEGRAREA NUMERICÅ
Matricele de influen¡å [k] ¿i vectorii ce provin din condi¡iile de margine r se ob¡in prin integrarea unor expresii ce con¡in func¡iile de aproximare sau derivatele acestora:
[ ] [ ] [ ][ ] [ ]k B k B
r N q d
ThD
T
e= ∫
= ∫∗ ΓΓ ,
dD
unde [B] este o matrice formatå din derivate ale func¡iilor de aproximare [N]. Evaluarea analiticå a acestor integrale este foarte dificilå ¿i uneori chiar imposibilå. Din acest motiv se apeleazå frecvent la integrarea numericå. Folosirea coordonatelor naturale pentru definirea func¡iilor de aproximare aduce, în acest caz, un cert avantaj, datoritå domeniului particular pe care se efectueazå integrarea. Integralele de evaluat, indiferemt cå este vorba de [k] sau r sunt de forma:
( )F s t dsdt,−− ∫∫ 11
11 ,
pentru cazul bidimensional ¿i respectiv:
( )F s t r dsdtdr, ,−−− ∫∫∫ 11
11
11 ,
pentru cazul tridimensional. F este produsul matricial corespunzåtor mårimii elementale care se calculeazå. Evaluarea numericå a acestor integrale se face folosind urmåtoarele rela¡ii generale [2]:
( ) ( )F s t dsdt w w F s ti j i jj
n
i
n,−−
==∫∫ = ∑∑1
11
1
11, (2.36)
( ) ( )F s t r dsdtdr w w w F s t ri j k i j kk
n
j
n
i
n, , , ,−−−
===∫∫∫ = ∑∑∑1
11
11
1
111, (2.37)
37
în care wi, wj ¿i wk sunt coeficien¡i de pondere iar si, tj, rk sunt puncte de evaluare a integrantului. ¥n cazul metodei Gauss-Legendre, folositå practic în exclusivitate pentru integrårile numerice în elemente finite, pozi¡ia punctelor de evaluare (denumite ¿i puncte de integrare) ¿i ponderile asociate se determinå astfel încât eroarea så fie minimå pentru un numår de puncte de evaluare dat. Punctele de integrare se dispun simetric în raport cu centrul intervalului (-1, 1), iar perechile de puncte simetrice au aceea¿i pondere. ¥n tabelul 2.1 se dau pozi¡iile punctelor de integrare ¿i coeficien¡ii de pondere corespunzåtor integrårii Gauss [2].
Tabelul 2.1
Numår de puncte de
integrare
Pozi¡ia punctelor Ponderea
n=2 -0.5773502691 1.0000000000 0.5773502691 1.0000000000
n=3 -0.7745966692 0.5555555555 0.0000000000 0.8888888888 0.7745966692 0.5555555555
n=4 -0.8611363115 0.3478548451 -0.3399810435 0.6521451548 0.3399810435 0.6521451548 0.8611363115 0.3478548451
n=5 -0.9061798459 0.2369268850 -0.5384693101 0.4786286704 0.0000000000 0.5688888888 0.5384693101 0.4786286704 0.9061798459 0.2369268850
Integrarea numericå a matricelor ¿i vectorilor caracteristici introduce în calcul erori suplimentare fa¡å de aproxima¡iile inerente ale metodei. Numårul minim de puncte de integrare, care evitå apari¡ia unor erori importante, depinde în mare måsurå de geometria elementului finit în sistemul cartezian global. Pentru elementele finite de claså C0, care intervin în problema curgerii prin medii poroase ¿i pentru elemente cu distorsiune geometricå moderatå fa¡å de formele standard - påtrat sau cub - ordinul minim este 2x2 pentru cazul bidimensional ¿i 2x2x2 pentru cazul tridimensional.
2.4.3. ELEMENTE IZOPARAMETRICE BIDIMENSIONALE
Elementele izoparametrice utilizeazå coordonatele naturale pentru definirea func¡iilor de aproximare ¿i integrarea numericå, în forma Gauss, pentru calculul matricelor ¿i vectorilor de influen¡å.
38
Rela¡iile de trecere din sistemul global de coordonate, de forma (2.26) sau (2.28), folosesc func¡iile de transformare Li(s,t,r) care sunt identice cu func¡iile de aproximare Ni(s,t,r) din rela¡iile (2.30) sau (2.33). Utilizarea acelora¿i func¡ii pentru transformarea de coordonate ¿i pentru aproximarea variabilei pe elemente - aceia¿i parametrii - a dat denumirea de izoparametrie ¿i respectiv de elemente finite izoparametrice [1]. 2.4.3.1. Elementul izoparametric 2D liniar. Este un element patrulater cu 4 noduri (fig.2.10). Necunoscutele nodale sunt sarcinile hidraulice Hi din cele patru noduri.
Fig.2.10. Elementul izoparametric 2D liniar. ¥n sistemul natural de coordonate, func¡iile de aproximare au forma datå de rela¡iile (2.30):
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
N s
N s
N s
N s
1
2
3
4
14
1 1
14
1 1
14
1 1
14
1 1
= − −
= + −
= + +
= − +
;
;
;
,
t
t
t
t
(2.38)
iar sarcina hidraulicå se exprimå prin intermediul acestora în func¡ie de valorile nodale:
( )H s t N H N H N H N H, = + + +1 1 2 2 3 3 4 4 . (2.39)
39
Trecerea din sistemul global xy în sistemul natural st este datå de rela¡ii similare:
x N x N x N x N x
y N y N y N y N y
= + + += + + +
1 1 2 2 3 3 4 4
1 1 2 2 3 3 4 4
; (2.40)
sau în formå matricealå:
( )( )
x s t
y s t
N N N N
N N N N
x
y
y
,
,
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭=⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
1 2 3 4
1 2 3 4
1
1
4
0 0 0 0
0 0 0 0 M. (2.41)
Se poate verifica cu u¿urin¡å cå nodul i din sistemul natural de coordonate (si,ti) coincide cu acela¿i nod din sistemul global de coordonate (xi,yi). Spre exemplu, pentru nodul 1 (s=-1, t=-1) func¡iile de aproximare iau valorile N1=1, N2=N3=N4=0 ¿i deci x(s1,t1)=x1. Pentru calculul matricei de influen¡å este necesar ca ¿i matericea [B] så se exprime în sistemul natural de coordonate. ªtiind expresia lui [B] din rela¡ia (1.30):
[ ]B
N
x
N
x
N
x
N
xN
y
N
y
N
y
N
y
=
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
1 2 3 4
1 2 3 4
este necesar så se evalueze derivatele func¡iilor de aproximare în raport cu coordonatele globale x,y. Rela¡iile dintre derivatele în raport cu cele douå sisteme sunt date de regula cunoscutå:
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
N
s
N
xxs
N
yys
N
t
N
xxt
N
yyt
i i i
i i i
= +
= +
;
. (2.42)
Aceea¿i rela¡ie, rescriså matricial, are forma:
40
[ ]∂∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂∂∂
∂∂∂∂
N
sN
t
xs
ys
xt
yt
N
xN
y
J
N
xN
y
i
i
i
i
i
i
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
=
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
, (2.43)
unde [J] este matricea Jacobianului transformårii. ºinând seama de rela¡iile
(2.41) ¿i (2.38), Jacobianul poate fi scris sub forma:
( )[ ]J s t
N
s
N
s
N
s
N
sN
t
N
t
N
t
N
t
x y
x y
x y
x y
, =
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
1 2 3 4
1 1 1 1
1 1
2 2
3 3
4 4
, (2.44)
care se expliciteazå:
( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )J s t
t t t t
s s s s
x y
x y
x y
x y
, =− − − + − +− − − + + −⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
14
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
2 2
3 3
4 4
. (2.45)
Prin inversarea rela¡iei (2.43) se pot exprima derivatele func¡iilor de
aproximare în raport cu x ¿i y, în func¡ie de derivatele în raport cu s ¿i t:
[ ]∂∂∂∂
∂∂∂∂
N
xN
y
J
N
sN
t
i
i
i
i
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
=
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
−1. (2.46)
Dacå se noteazå cu [ ] [ ]J J=−1
¿i se eviden¡iazå termenii matricei:
[ ]JJ J
J J=⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
11 12
21 22
, (2.47)
atunci termenii din matricea [B] pot fi evalua¡i:
41
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
N
xJ
N
sJ
N
tN
yJ
N
sJ
N
t
i i
i i
= +
= +
11 12
21 22
;
.
i
i
(2.48)
Fåcând pe rând i=1,4 ¿i ¡inând seama de derivårile utilizate la trecerea din rela¡iile (2.44) la (2.45), se poate exprima matricea [B(s,t)]. Calculul matricei de influen¡å:
[ ] [ ] [ ][ ]k B k B dT
hD= ∫ D
se face utilizând forma standard a integrårii numerice:
[ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ] ( )[ ]k w w B s t k B s t J s ti j i j i j
T
h i j i j= ∑ ∑1
4
1
4, , det , , (2.49)
¡inând seama ¿i de rela¡ia între elementele de integrare dD=dxdy=dsdt⋅det[J], unde det[J] este determinantul Jacobianului. 2.4.3.2. Elementul izoparametric 2D påtratic. Este un element patrulater cu laturi curbe, definite de 8 noduri, patru fiind noduri de col¡, iar celelalte patru dispuse la jumåtatea laturilor (fig.2.11). Necunoscutele nodale sunt sarcinile hidraulice în cele 8 noduri. Nodurile intermediare de pe laturi permit definirea polinoamelor påtratice pentru aproximarea sarcinii hidraulice ¿i în acela¿i timp curbarea laturilor patrulaterului.
Fig.2.11. Elementul izoparametric 2D påtratic.
42
¥n sistemul de coordonate st func¡iile de aproximare au forma datå de
rela¡iile (2.31). Sarcina hidraulicå ¿i coordonatele carteziene din sistemul global
se exprimå prin intermediul func¡iilor de aproximare:
( ) [H s t N N N
H
H
H
, =
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
1 2 8
1
2
8
LM
] ; (2.50)
( )( )
x s t
y s t
N N N
N N N
x
y
x
y
y
,
,
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭=⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
1 2 8
1 2 8
1
1
2
2
8
0 0 0
0 0 0
L
L
M
. (2.51)
Pentru calculul matricei de influen¡å [k] este necesar så se exprime matricea:
[ ]B
N
x
N
x
N
xN
y
N
y
N
y
=
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
1 2
1 2
L
L
8
8 , (2.52)
în sistemul natural de coordonate st. La fel ca în cazul elementului
izoparametric liniar 2D, se ¡ine seama de rela¡iile (2.42) dintre derivatele
par¡iale exprimate în raport cu cele douå sisteme de axe. Jacobianul din rela¡ia
(2.43) are în acest caz forma extinså:
( )[ ]J s t
N
s
N
s
N
sN
t
N
t
N
t
x y
x y
x y
, =
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
1 2 8
1 2 8
1 1
2 2
8 8
L
L M M . (2.53)
Inversarea rela¡iei (2.43) conduce ¿i în acest caz la:
43
[ ]∂∂∂∂
∂∂∂∂
N
xN
y
J
N
sN
t
i
i
i
i
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
=
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
−1 ,
în care derivarea func¡iilor de aproximare în raport cu sistemul (s,t) este imediatå, ¡inând seama de expresiile (2.31). Rela¡iile (2.47) ¿i (2.48), cu ajutorul cårora se calculeazå termenii matricei [B] sunt valabile ¿i în acest caz. Rela¡ia de calcul a integralei ce permite evaluarea matricei de influen¡å [k] are aceea¿i structurå cu rela¡ia (2.49), doar cå dimensiunile matricelor [B(si,tj)] sunt de aceastå datå 2x8 fa¡å de 2x4 cât erau în cazul elementului liniar, iar matricea de influen¡å va fi de 8x8, fa¡å de 4x4.
2.4.4. ELEMENTUL IZOPARAMETRIC 3D LINIAR
Este un element hexaedral cu 8 noduri (fig. 2.12). Necunoscutele nodale sunt sarcinile hidraulice în cele 8 noduri.
Fig.2.12. Elementul izoparametric 3D liniar. ¥n sistemul natural de coordonate str func¡iile de aproximare au expresiile date de rela¡iile (2.33):
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
N s t
N s t
N s t
1
2
8
18
1 1 1
18
1 1 1
18
1 1 1
= + − −
= + + −
= + − +
;
;
,
M
r
r
r
(2.54)
44
iar sarcina hidraulicå se exprimå prin intermediul acestora în func¡ie de valorile nodale:
( )H s t r N H N H N H, , = + + +1 1 2 2 8 8L . (2.55)
Trecerea din sitemul cartezian global xyz în sistemul natural str se face utilizând acelea¿i func¡ii de aproximare:
( )( )( )
x s t r
y s t r
z s t r
N N N
N N N
N N N
x
y
z
x
y
z
, ,
, ,
, ,
.
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪=⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
1 2 8
1 2 8
1 2 8
1
1
1
8
8
8
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
L
L
L
M (2.56)
Pentru calculul matricei de influen¡å [k] este necesar så se exprime ¿i matricea:
[ ]B
N
x
N
x
N
xN
y
N
y
N
yN
z
N
z
N
z
=
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
1 2
1 2
1 2
L
L
L
8
8
8
, (2.57)
în sistemul natural str. Rela¡iile dintre derivatele par¡iale exprimate în cele douå sisteme de coordonate au forma cunoscutå:
[ ]
∂∂∂∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂
N
sN
tN
r
xs
ys
zs
xt
yt
zt
xr
yr
zr
N
xN
yN
z
J
N
xN
yN
z
i
i
i
i
i
i
i
i
i
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
=
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
=
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
. (2.58)
Matricea Jacobianului transformårii [J] se determinå ¡inând seama de rela¡iile (2.56):
45
( )[ ]J s t r
N
s
N
s
N
sN
t
N
t
N
tN
r
N
r
N
r
x y z
x y z
x y z
, , =
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
1 2 8
1 2 8
1 2 8
1 1 1
2 2 2
8 8 8
L
L
L
M M M , (2.59)
care se expliciteazå cu u¿urin¡å efectuând derivatele de ordinul I ale expresiilor (2.54). Prin inversarea rela¡iei (2.58) se ob¡ine matricea [B(s,t,r)], în func¡ie de coordonatele naturale:
[ ] [ ]B J
Ns
Ns
Ns
Nt
Nt
Nt
Nr
Nr
Nr
=
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
−1
1 2 8
1 2 8
1 2 8
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
L
L
L
. (2.60)
Evaluarea matricei de influen¡å se face prin integrare numericå Gauss, utilizând rela¡ia standard (2.37):
[ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ] ( )[ ]k w w w B s t r k B s t r J s t ri j k i j k
nnn
i j k
T
h i j k i j k= ∑∑∑111
, , , , det , , ,
unde, det[J] este determinantul matricei de transformare [J].
2.4.5. TRANSFORMÅRI ALE CARACTERISTICILOR HIDRAULICE
¥n cazul mediilor ortotrope, conductivitå¡ile hidraulice din matricea:
[ ]′ =⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
′
′
′
k
k
k
kh
x
y
z
0 0
0
0 0
0 (2.61)
sunt cunoscute în sistemul local de coordonate x'y'z', ata¿at direc¡iilor principale de anizotropie. Pentru a evalua matricea de influen¡å a elementului, matricea [kh] trebuie definitå în raport cu sistemul global de coordonate xyz.
46
Pentru a determina rela¡iile de transformare ale conductivitå¡ilor hidraulice din sistemul local în cel global se porne¿te de la transformarea de coordonate:
[ ]′′′
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪=⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪=
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
x
y
z
l m n
l m n
l m n
x
y
z
CD
x
y
z
1 1 1
2 2 2
3 3 3
, (2.62)
unde li, mi, ni sunt cosinusurile directoare ale versorilor axelor x', y' ¿i z' în raport cu sistemul global xyz. ºinând seama cå energia disipatå în procesul de curgere - care este de altfel ¿i principalul termen al func¡ionalei ata¿ate problemei, conform rela¡iei (1.42) - este un invariant în raport cu sistemul de coordonate, exprimarea acesteia în cele douå sisteme xyz ¿i x'y'z' conduce la egalitatea:
[ ] [ ] 12
12
grad H k grad H dD grad H k grad H dDT
hT
h∫ = ′ ′ ′∫ , (2.63)
în care grad'H exprimå gradientul în raport cu sistemul local x'y'z'. Legåtura dintre operatorii gradient în cele douå sisteme se poate scrie ¡inând seama de rela¡ia de transformare (2.59):
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
x xxx y
yx z
zx
y xxy y
yy z
zy
z xxz y
yz z
zz
=′
′ +′
′ +′
′
=′
′ +′
′ +′
′
=′
′ +′
′ +′
′
(2.64.a)
sau:
[ ]
∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂
x
y
z
l l l
m m m
n n n
x
y
z
CD
x
y
z
T
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
=⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
′
′
′
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
=
′
′
′
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
1 2 3
1 2 3
1 2 3
. (2.64.b)
Prin inversarea rela¡iei (2.64.b) rezultå:
47
[ ] grad H T grad H′ = . (2.65)
¥nlocuind rela¡ia (2.65) în produsele matriceale din egalitatea (2.63) se ob¡ine:
[ ] [ ] [ ][ ] grad H k grad H grad H T k T grad HT
hT T
h= ′ , (2.66)
de unde se pune în eviden¡å legåtura dintre matricele de conductivitå¡i hidraulice exprimate în cele douå sisteme [3]:
[ ] [ ] [ ][ ]k T khT
h= ′ T . (2.67)
2.5. ELEMENTE FINITE SPECIALE
¥n afara elementelor finite standard, bi sau tridimensionale, pentru modelarea unor fenomene particulare se construiesc uneori elemente finite speciale. O primå categorie de asemenea elemente finite speciale se ob¡ine prin adoptarea unor func¡ii de aproximare deosebite, care så reproducå tendin¡a de varia¡ie asimptoticå a sarcinii hidraulice cåtre o valoare cunoscutå la limitele, teoretic infinite, ale domeniului de studiu. Asemenea elemente, denumite de infinit, au o geometrie particularå, cu o pereche de noduri pozi¡ionatå la infinit [1]. Descrierea geometriei se face prin nodurile de conectare cu discretizarea standard ¿i noduri intermediare, astfel dispuse încât func¡iile de aproximare din sistemul local så modeleze, prin transformarea de coordonate, varia¡ii asimptotice. De¿i asemenea elemente sunt cunoscute ¿i utilizate în analiza structuralå, ele nu sunt de uz curent în analiza curgerii prin medii poroase. O altå categorie o constituie elementele cvasiplane, cu ajutorul cårora o problemå tridimensionalå poate fi aproximatå cu ajutorul unei probleme plane. Un asemenea element finit special este cel folosit pentru modelarea curgerii în acvifere suprapuse. ¥n cele ce urmeazå se prezintå, pentru exemplificare, modul de construc¡ie a matericei de influen¡å pentru un asemenea element [4]. Se considerå cazul a douå acvifere sub presiune, separate de un strat mai pu¡in permeabil. Varia¡iile condi¡iilor de margine ¿i de curgere dintr-un strat
48
(acvifer) vor influen¡a, prin intermediul stratului de separa¡ie condi¡iile de curgere din cel de al doilea strat. Dacå se admite ipoteza cå în stratul intermediar, mai pu¡in permeabil, curgerea are loc numai pe verticalå, caracterul 3D al fenomenului poate fi modelat printr-un element finit compus, alcåtuit din douå elemente 2D, câte unul pentru fiecare strat acvifer, conectate la noduri prin elemente monodimensionale (fig.2.13).
Fig.2.13. Elementul finit multistrat. Cele douå elemente 2D au matricele de influen¡å evaluate dupå procedura descriså la § 2.4.3.1. Singura deosebire este cå în rela¡ia de definire:
[ ] [ ] [ ][ ]k B k BT
hDe= ∫ dD
matricea [kh] a conductivitå¡ilor hidraulice este înlocuitå cu matricea [T] a transmisivitå¡ilor:
[ ] [ ] [ ][ ]k B T B dxT
De= ∫ dy . (2.68)
Matricea de influen¡å a unui element monodimensional, de tipul i1i2, se evalueazå admi¡ând cå acesta are geometrie tubularå, cu sec¡iunea A, lungimea l (egalå cu grosimea stratului) ¿i conductivitatea hidraulicå k* (fig.2.14). Elementului i se ata¿eazå un sistem local de coordonate os, cu originea într-unul dintre nodurile de definire. Admi¡ând aproximarea liniarå, consistentå cu
49
elementele C0 2D liniare pe care le conecteazå, func¡iile de aproximare au forma:
Nsl
Nsl
1
2
1= −
=
;
. (2.69)
Fig.2.14. Elementul unidimensional de conectare. Legåtura dintre sistemul de coordonate general xyz ¿i sistemul local os este datå de rela¡iile:
x N x
y N y
z N z
i i
i i
i i
= ∑
= ∑
= ∑
1
2
1
2
1
2
;
;
.
(2.70)
Matricea de influen¡å se ob¡ine din forma generalå, înlocuind:
[ ]B
N
x
N
xN
y
N
yN
z
N
z
=
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
1 2
1 2
1 2
, (2.71)
în care:
50
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
N
x
N
ssx l L
N
y
N
ssy l L
N
z
N
ssz l L
x
y
z
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
= = −
= = −
= = −
∂∂∂∂
∂∂
N
x l L
N
y l L
N
z l L
x
y
z
2
2
2
1 1
1 1
1 1
=
=
=
;
;
,
(2.72)
cu Lx=x2-x1; Ly=y2-y1; Lz=z2-z1.
Matricea [kh] are la rândul ei forma particularå:
[ ] [ ]k kh = ∗ I , (2.73)
cu [I] matricea unitarå.
Dupå înlocuiri, ¡inând seama ¿i de elementul de integrare dD=Ads, rezultå:
[ ]kk Al
L L Lt
x y z
=−
−⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
∗
2 2 2
1 1
1 1 . (2.74)
Matricea de influen¡å a elementului special, cvasiplan, multistrat se ob¡ine
prin însumarea matricelor de influen¡å a celor 2 elemente 2D ¿i a celor patru
elemente monodimensionale:
[ ] [ ] [ ]k k kD t= ∑ + ∑2
1
2
1
4 , (2.75)
adunarea fåcându-se dupå regulile cunoscute a adunårilor matriceale, ¡inând
seama de nodurile de interconectare. Elementul astfel format are 8 noduri. Dacå
geometria celor douå elemente 2D, din acviferele superior ¿i inferior, se alege
identicå, atunci matricele lor de influen¡å sunt propor¡ionale, factorul de
propor¡ionalitate fiind raportul transmisivitå¡ilor.
51
BIBLIOGRAFIE
1. Z i e n k i w i c z , O . C . , T a y l o r , R . L . , The finite Element Method, Mc. Grow-
Hill, 1991. 2. B a t h e , K . I . , W i l s o n , E . L . , Numerical Methods in Finite Element
Analysis, Prent. Hallt, 1976. 3. S t e m a t i u , D . , Calculul structurilor hidrotehnice prin metoda elementelor
finite, Editura Tehnicå, 1988. 4. H â n c u S . ¿ i c o l e c t i v , Hidraulicå aplicatå. Simularea numericå a mi¿cårii
nepermanente a fluidelor, Editura Tehnicå, 1985.
52
3
MODELAREA REGIMURILOR TRANZITORII
3.1. ECUAºIILE CARE GUVERNEAZÅ FENOMENUL
¥n cadrul acestui capitol se trateazå numai infiltra¡ia nepermanentå sub presiune. Rezolvarea regimului tranzitoriu al curgerii subterane cu suprafa¡å liberå este prezentatå în capitolul urmåtor. ¥n formularea diferen¡ialå, ecua¡ia care guverneazå fenomenul este [1]:
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂x
kHx y
kHy z
kHz
Q EHtx y z
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ +
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+ = , (3.1)
unde: H=H(x,y,z,t) este
sarcina hidraulicå, func¡ia necunoscutå a problemei,
[ ]k
k
k
kh
x
y
z
=⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
0 0
0 0
0 0
-
tensorul conductivitå¡ilor hidraulice, în ipoteza cå sistemul de axe cartezian coincide cu direc¡iile principale de anizotropie;
Q - debitul pe unitatea de volum, schimbat cu exteriorul;
E - coeficientul de înmagazinare. Ecua¡ia (3.1) este o extensie, pentru regimul nepermanent ¿i cazul tridimensional, a ecua¡iei (1.22), care a stat la baza formulårii ecua¡iilor în elemente finite în cazul regimului permanent. Condi¡iile de margine sunt cele uzuale în problema curgerii prin medii poroase:
53
H H pe
q q peH
n q
=
=
∗
∗
Γ
Γ
;
, (3.2)
unde H* sunt sarcini hidraulice cunoscute pe grani¡ele ΓH, iar q* sunt fluxurile normale schimbate cu exteriorul pe anumite grani¡e Γq. Condi¡iile ini¡iale se referå la valorile sarcinilor hidraulice la momentul t=0 ¿i provin de obicei dintr-un regim sta¡ionar:
( ) ( )H x y z H x y z, , , , ,0 0= . (3.3)
¥ntr-o formå mai contraså, ecua¡ia (3.1) poate fi scriså sub forma:
[ ] ( )grad k grad H Q EHth + =
∂∂
. (3.3.a)
Dat fiind faptul cå, în cadrul acestui capitol, ecua¡iile în elemente finite vor fi deduse, pentru spa¡iu, din formularea varia¡ionalå, se prezintå ¿i func¡ionala asociatå problemei [2]:
[ ] E grad H k grad H dD HEHt
dD
HQdD Hq d
ThD
D q
= ∫ + ∫ −
−∫ − ∫∗
12 D
∂∂
ΓΓ . (3.4)
Nu s-au inclus în func¡ionalå termenii proveni¡i din condi¡iile de margine de tip H=H*, care se impun cu u¿urin¡å, dupå cum s-a aråtat în capitolul precedent, direct în ecua¡iile finale. Forma (3.4) este o extensie a func¡ionalei (1.42) din curgerea sta¡ionarå, cuprinzând prin a doua integralå ¿i contribu¡ia în energie a înmagazinårii/cedårii de apå în mediul poros.
3.2. ECUAºIILE ÎN ELEMENTE FINITE AFERENTE
DISCRETIZÅRII DOMENIULUI SPAºIU
Regimul nepermanent implicå dependen¡a func¡iei necunoscute H(x,y,z,t) atât de spa¡iu cât ¿i de timp. ¥n oricare dintre abordårile folosite pentru rezolvarea numericå în elemente finite a problemei, se utilizeazå în primå instan¡å o discretizare a domeniului spa¡iu.
54
Procedeul de ob¡inere a ecua¡iilor matriceale prin discretizarea spa¡ialå urmeazå re¡eta prezentatå în § 1.4.4. Pe domeniul unui element finit, sarcina hidraulicå se exprimå în func¡ie de valorile nodale Hi(t) ¿i de func¡iile de aproximare Ni(x,y,z):
( ) ( )[ ] ( ) H x y z t N x y z H t, , , , ,= , (3.5)
unde [N(x,y,z)] este matricea func¡iilor de aproximare, iar H(t) vectorul valorilor nodale, de aceastå datå dependente de timp. Gradiantul hidraulic se exprimå în func¡ie de sarcinile hidraulice nodale:
( )[ ] ( ) ( ) [ ] ( ) grad H grad N x y z H t B H t= , , = , (3.6)
unde matricea [B] con¡ine derivatele de ordinul I, în raport cu coordonatele xyz, ale func¡iilor de aproximare. Structura matricei [B] este asemånåtoare cu (1.30), cu extensia pe z. Derivata în raport cu timpul a sarcinii hidraulice pe domeniul elementului rezultå, ¡inând sema de (3.5):
( )[ ] ∂∂
∂∂
Ht
N x y zH
t= , , . (3.7)
¥nlocuind rela¡iile (3.5), (3.6) ¿i (3.7) în expresia func¡ionalei (3.4), pentru domeniul unui element finit, domeniu pe care acestea sunt valabile, se ob¡ine:
( ) [ ] ( ) ( ) [ ]( ) ( ) E H t k H t H t s
H t
tH t re
T T= + −
1 T
2
∂
∂ (3.8)
în care s-au notat:
[ ] [ ] [ ][ ]k B k B dT
hDe= ∫ D - matricea de influen¡å;
[ ] [ ] [ ]s N E N dT
De= ∫ D - matricea de înmagazinare;
[ ] [ ]r N QdD N q dT
D
Te e= ∫ + ∫ ∗ ΓΓ - vectorul dat de schimburile de
flux cu exteriorul. Func¡ionala aferentå întregului domeniu se ob¡ine prin însumarea contribu¡iilor tuturor elementelor finite din discretizare. Dacå se fac nota¡iile:
55
[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]
K k
S s
R r
= ∑
= ∑
= ∑
;
;
,
(3.9)
expresia func¡ionalei are forma:
( ) [ ] ( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( )E H t K H t H t S
H t
tH t R te
T T= + −
1 T
2
∂
∂. (3.10)
Vectorul necunoscutelor nodale H(t) se referå, de aceastå datå, la toate nodurile din discretizare. Vectorul R(t) este dependent de timp, dat fiind cå, atât debitul schimbat de domeniu cu exteriorul, cât ¿i condi¡iile de margine se pot modifica în timp. Condi¡ia de sta¡ionar pentru func¡ionalå δE=0 se transformå în acest caz în:
∂
∂EH
= 0 ,
ceea ce conduce la ecua¡ia matricealå:
[ ] ( ) [ ]( ) ( ) K H t S
H t
tR t+ −
∂=
∂0 , (3.11)
care reprezintå finalul etapei de discretizare pe domeniul spa¡iu.
3.3. REZOLVAREA INTEGRÅRII PE DOMENIUL TIMP
¥n primele etape ale rezolvårii numerice, prin MEF, a proceselor nesta¡ionare s-a admis ipoteza cå procesul nesta¡ionar poate fi modelat ca o succesiune de procese sta¡ionare. Termenul [S]∂H(t)/∂t din ecua¡ia (3.11) se asimileazå cu un termen liber suplimentar ¿i în acest fel, pentru un moment oarecare ti, solu¡ia se ob¡ine prin rezolvarea unui sistem algebric liniar. Modelele bazate pe aceastå ipotezå sunt denumite modele hibride [3]. ¥n rezolvårile curente prin MEF, procesul nesta¡ionar se trateazå în mod unitar, prin conceptul de discretizare ¿i element finit pe tot domeniul spa¡iu-timp.
56
3.3.1. PRINCIPIUL MODELELOR HIBRIDE
Ecua¡ia matricialå (3.11) se rescrie, explicitând derivata în raport cu timpul a vectorului sarcinilor hidraulice nodale:
[ ] [ ] [ ] ∂∂H
tS R S K H= −− −1 1
. (3.12)
Integrarea ecua¡iei (3.12) se face prin metoda diferen¡elor finite. ¥n rezolvårile efective, integrarea acestei ecua¡ii conduce, în func¡ie de aproximarea polinomialå a solu¡iei de tip exponen¡ial, la scheme explicite sau la scheme implicite: - schema explicitå:
[ ] ( ) [ ] [ ]( ) ( ) S H t t S t K H t+ = −∆ ∆ ; (3.13)
- schema implicitå:
[ ] [ ]( ) ( ) [ ] ( ) S t K H t t S H t+ + =∆ ∆ . (3.14)
Schemele explicite au avantajul unui algoritm simplu, conducând la rela¡ii directe de recuren¡å. Timpul de calcul este redus, de¿i sunt restric¡ii privind mårimea pasului de timp. ¥n func¡ie de modul efectiv de rezolvare, schemele explicite pot fi cu autostart (de tip Runge-Kutta) sau de tip predictor-corector [3], [4]. ¥n cazul schemelor explicite se practicå uneori o simplificare suplimentarå. ¥n rela¡ia (3.13), evaluarea sarcinilor hidraulice la pasul t+∆t impune inversarea matricei [S], matricea [S]-1 fiind o matrice plinå. Penrtru a depå¿i acest inconvenient, matricea de înmagazinare de la nivelul elementului se aproximeazå cu o matrice diagonalå cu termeni [3]:
sn
AEij ij=1 δ , (3.15)
unde A este aria elementului, E este coeficientul de înmagazinare, n este numårul nodurilor elementului, iar δij este tensorul Kronnecker. Rezultå, prin asamblare, o matrice [S]=Σ[s] de tip diagonal, concentratå, care simplificå mult opera¡iile de rezolvare din rela¡ia (3.13). Trebuie înså men¡ionat faptul cå o asemenea simplificare, prin care se atribuie egal nodurilor schimbul de debit, implicå restric¡ii severe în alcåtuirea discretizårii: re¡ea uniformå, cu elemente
57
practic egale, fårå distorsiuni geometrice ¿i cu contraste reduse de permeabilitate pe domeniu. Schemele implicite pot fi deduse ca un caz particular al solu¡iei unitare, în elemente finite, a discretizårii spa¡io-temporale ¿i, ca urmare, nu vor fi analizate mai în detaliu.
3.3.2. UTILIZAREA DISCRETIZÅRII PE DOMENIUL TIMP
Pentru rezolvarea sistemului (3.11) domeniul timp se împarte în elemente finite de timp ∆t. Valorile de la capetele intervalului sunt valori nodale. Pentru un element (interval) de timp ∆t, valorile sarcinilor hidraulice din nodurile discretizårii spa¡iale la orice moment t∈(0,∆t) se exprimå în func¡ie de valorile sarcinilor hidraulice nodale la anumite momente de timp ti din intervalul ∆t:
( ) ( ) H t N t Hi ti= ∑ , (3.16)
unde Ni(t) sunt func¡ii de aproximare. Gradul func¡iilor de aproximare depinde de numårul de puncte (momente ti) pe interval. ¥n cazul analizat, func¡iile Ni(t) pot fi alese liniare, ¡inând seama cå în ecua¡ii intervin numai derivate de ordinul I în raport cu timpul. Aproximarea liniarå pe timp este compatibilå cu aproximarea liniarå pe spa¡iu, utilizata în mod frecvent. Notând cu Hn ¿i respectiv Hn+1 valorile de la începutul ¿i sfâr¿itul intervalului de timp ∆t, aproximarea vectorului sarcinilor nodale capatå forma:
( ) ( ) ( ) H t N t H N t Hn
= ++1 2 1n
, (3.17)
în care:
( )
( )
N ttt
N ttt
1
2
1= −
=
∆
∆
;
.
Aproximarea (3.17) substituitå în ecua¡ia matricealå (3.11) conduce la un reziduu, dat fiind cå nu se respectå riguros distribu¡ia reala în timp. Solu¡ia aproximativå a problemei se ob¡ine prin metoda reziduurilor ponderate.
58
Se impune ca integrala pe intervalul (0,∆t) a rezidurilor ob¡inute prin înlocuirea aproxima¡iei (3.17) în sistemul (3.11), ponderatå cu ni¿te ponderi convenabil alese, så se anuleze:
[ ] ( ) [ ] w K N H N H SdN
dtH
dN
dtH R dti
tn n n n0 1 2 1
1 21
0∆∫ + + +⎛
⎝⎜⎞⎠⎟−
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
=+ +
. (3.18)
¥nlocuind în condi¡ia (3.18) func¡iile de aproximare Ni din (3.17), precum ¿i derivatele lor:
dN
dt tdN
dt t
1
2
1
1
= −
=
∆
∆
;
,
se ob¡ine:
[ ] [ ]
[ ] [ ]
K wtt
dt S wt
dt H
K wtt
dt S wt
dt H w R dt
it
it
n
it
it
n it
0 0 1
0 0 0
1
11
0
∆ ∆
∆ ∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆
∫ + ∫⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+
+ ∫ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
− ∫⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ − ∫ =
+ (3.19)
Dacå pentru vectorul R, de asemenea variabil în timp, se admite o aproximare pe intervalul (0,∆t) asemånåtoare cu aceea a sarcinilor hidraulice, atunci acesta se poate exprima sub forma [5]:
( ) ( ) ( ) R t N t R N t Rn
= ++1 2 1n
, (3.20)
în care Rn ¿i respectiv Rn+1 sunt valorile de la începutul ¿i sfâr¿itul intervalului. Dacå se face nota¡ia:
θ =∫
∫
wtt
dt
w dt
it
it∆
∆
∆
0
0
, (3.21)
atunci rela¡ia (3.19) se expliciteazå sub forma:
59
[ ] [ ]
[ ] ( )[ ] ( )
1
11 1
1
1
∆
∆
tS K H
tS K H R
n
n n
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
= − −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+ + −
+
+
θ
θ θ θ .Rn
(3.22)
Rela¡ia (3.22) reprezintå o rela¡ie de recuren¡å, care permite evaluarea sarcinilor hidraulice de la sfâr¿itul intervalului în func¡ie de cele de la începutul acestuia. Condi¡iile de margine de tip sarcinå hidraulicå impuså H=H* pe grani¡a ΓH se introduc prin procedeele numerice uzuale. ¥n rezolvårile practice se ata¿azå sistemului (3.22) ecua¡ii adi¡ionale de forma AHn+1=AH* pentru fiecare nod cu valoare impuså, care se adunå cu ecua¡iile corespunzåtoare acestor noduri în sistemul (3.22). Dacå coeficientul numeric A se alege cu câteva ordine de mårime mai mare decât coeficien¡ii diagonali ai sistemului, solu¡ia rezultatå îndepline¿te condi¡iile de margine specificate.
3.4. STABILITATEA NUMERICÅ
Se considerå rela¡ia de recuren¡å (3.22), în care vectorul Rn=Rn+1=0. Aceastå situa¡ie corespunde unui regim tranzitoriu creat de o modificare a condi¡iilor de margine, urmat de o încetare a schimburilor cu exteriorul domeniului ¿i men¡inerea constantå a sarcinilor hidraulice impuse pe grani¡e. Forma omogenå a rela¡iei (3.22) poate fi scriså sub forma:
[ ] H A Hn+
=1 n
, (3.23)
unde matricea:
[ ] [ ] [ ]( ) [ ] ( )[ ]( )A S t K S t K= + − −−
∆ ∆θ1
1 θ (3.24)
este denumitå matrice de amplificare. De remarcat cå forma (3.23) se poate ob¡ine din oricare dintre schemele de integrare în timp, de tip explicit (3.13) sau explicit (3.14). De altfel, forma (3.14) poate fi consideratå ca provenind din rela¡ia generalå (3.22) în care θ=1, în timp ce forma explicitå, de tip Euler, corespunde lui θ=0. Din rela¡ia (3.23) rezultå evident faptul cå orice eroare în evaluarea sarcinilor hidraulice la pasul precedent Hn se regåse¿te amplificatå cu factorul [A] în solu¡ia de la pasul curent Hn+1. O solu¡ie generala a algoritmului de recuren¡å poate fi puså sub forma:
60
Hn+
=1
µ Hn (3.25)
¿i prin substitu¡ie în rela¡ia (3.23) rezultå:
[ ] [ ]( ) A I Hn
− µ 0= , (3.26)
din care se observå cå µ sunt valorile proprii ale matricei [A]. Din aceastå exprimare rezultå clar cå: - dacå |µ|>1, orice eroare în solu¡ia numericå, oricât de micå, va cre¿te continuu în pa¿ii de calcul succesivi, conducând la valori nelimitate; solu¡ia este instabilå; - dacå |µ|<1, erorile se atenueazå în pa¿ii de calcul urmåtori, solu¡ia fiind stabilå, de¿i nu neapårat exactå. Determinarea valorilor proprii ale matricei [A] este o opera¡iune dificilå, cu posibile probleme numerice ¿i consum oneros de timp de calcul ¿i memorie. Se considerå ca alternativå o ecua¡ie scalarå de forma (3.11), ce poate fi privitå ca reprezentând comportarea unui nod al discretizårii [6]:
( ) ( )kH t s
H t
t+
∂=
∂0 , (3.27)
care conduce la un scalar A în locul matricei de amplificare [A]:
( )A
s t
s t k=
− −
+
∆∆1 θθ
k. (3.28)
Dacå se noteazå ω =ks
¿i se face substitu¡ia rezultå:
( )( )( )
( )
( )A
t
t
t
t=
− −
+=
+ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+
1 1
1
1 11
1
ω∆ θω∆ θ
θω∆
θ
θω∆
. (3.29)
Din rela¡ia de valori proprii (3.26) rezultå µ=A, pentru a evita solu¡ia banalå Hn=0. Din expresia (3.29) se observå cå:
61
- pentru θ ≥12
, |µ|<1 indiferent de ∆t ¿i deci cå algoritmii rezulta¡i sunt
necondi¡ionat stabili;
- pentru θ <12
condi¡ia |µ|<1 (sau -1<µ<1) conduce la:
ω∆θ
t ≤−2
1 2, (3.30)
¿i, ca urmare, algoritmii rezulta¡i sunt condi¡ionat stabili, depinzând de mårimea pasului de timp.
¥n cazul algoritmilor condi¡ionat stabili (cu θ <12
) valoarea criticå ∆tcr,
pentru care ∆t<∆tcr asigurå stabilitatea, trebuie determinata ¡inând seama de întreaga configura¡ie a discretizårii. Pasul ∆tcr se evalueazå ¡inând seama de caracteristica ω a fiecårui element finit, iar în final se selecteazå min(∆tcr)i. Pentru infiltra¡ia în regim tranzitoriu se reaminte¿te cå termenii matricelor [k] ¿i [s] ale unui element au expresiile:
s EN dD
k B k B d
ii iD
ii iT
h iD
e
e
= ∫
= ∫
2 ;
. .D (3.31)
Dacå se presupune curgerea unidirec¡ionalå, în lungul axei x, atunci pentru un element cu dimensiunea l func¡ia de aproximare liniara are forma:
Nl x
l=
− (3.32)
¿i rezultå:
s EN dxEl
k kdNdx
dxk
l
l
xl x
= ∫ =
= ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟∫ =
20
2
0
3;
.
(3.33)
Caracteristica ω a elementului va avea valoarea:
ω = =ks
k
Elx32
, (3.34)
62
care substituitå în expresia de condi¡ionare (3.30) conduce la valoarea pasului de timp critic [6]:
∆ ∆t tl E
kcrx
≤ =−2
1 2 3
2
θ (3.35)
Rezultå în mod evident cå mårimea elementului finit cel mai mic din discretizare dicteazå mårimea pasului de timp de calcul (∆tcr,min corespunde lui lmin). Dependen¡a de l2 aratå cå pasul de timp critic descre¿te rapid cu dimensiunea elementelor din discretizare, ceea ce face dificilå asigurarea stabilitå¡ii pentru schemele conditionat stabile în cazul problemelor complexe, care necesitå discretizåri gradate. Considerentele expuse conduc la selectarea, în rezolvårile curente, a unor algoritmi necondi¡ionat stabili. Cel mai utilizat este algoritmul corespunzåtor ponderårii reziduurilor dupå procedeul Galerkin. ¥n acest caz, în expresia (3.21)
a lui θ se înlocuie¿te ( )w N ttti = =2 ∆
¿i rezulta θ =23
. Se constatå cå θ > 12
¿i
deci cå algoritmul este neconditionat stabil.
¥n unele rezolvåri se admite ¿i algoritmul Crank-Nicolson, cu θ =12
, care
de¿i este uneori oscilant, conduce la o acurate¡e mai mare a aproximårii pe pasul de calcul [6]. BIBLIOGRAFIE
1. P i e t r a r u , V . , Calculul infiltra¡iilor, Editura Ceres, 1977. 2. S a n d h u , R . S . , Variational principles for fluid flow in porous media, Int. J. of
Num. Meth. in Geomechanics, Vol.1, Nr.2, 1977. 3. H â n c u , S . ¿ i c o l e c t i v , Hidraulicå aplicatå. Simularea numericå a mi¿cårii
nepermanente a fluidelor, Editura Tehnicå, 1985. 4. W o o d , W . L . , Practical time steping schemes, Clarendon Press, Oxford, 1990. 5. S t e m a t i u , D . , Calculul structurilor hidrotehnice prin metoda elementelor
finite, Ed. Tehnicå, 1988. 6. Z i e n k i e w i c z , O . C . , T a y l o r , R . L . , The finite element method, Mc.Grow-
Hill, 1991.
63
4
MODELAREA PROBLEMELOR DE INTERFAºÅ
4.1. DETERMINAREA POZIºIEI SUPRAFEºEI LIBERE
¥n cazul curgerii prin medii poroase cu suprafatå liberå, dificultå¡ile de modelare provin din natura condi¡iilor de margine. Pe suprafa¡a liberå trebuie îndeplinite simultan doua condi¡ii de margine, aceea de presiune zero ¿i aceea de vitezå normalå zero. Cum cea de-a doua condi¡ie implicå limitarea domeniului de studiu la suprafa¡a liberå, este necesarå cunoa¿terea prealabilå a acesteia. Prima conditie de margine nu se impune dar se poate verifica, ¡inând seama cå p=0 în H=z+p/γ implicå H=z, cu z definit de pozi¡ia aleaså a suprafe¡ei libere. Algoritmii de rezolvare sunt deci de naturå iterativå. Un caz particular îl constituie înså acviferele de micå adâncime, unde ipoteza Depuit permite simplificarea problemei.
4.1.1. POZIºIA SUPRAFEºEI LIBERE ÎN CAZUL ACVIFERELOR DE MICÅ ADÂNCIME
¥n cazul acviferelor de micå adâncime, cantonate pe suportul unui strat impermeabil cvasiorizontal, se poate neglija componenta verticalå a vitezei de infiltra¡ie. Aceastå simplificare, denumitå ¿i ipoteza Depuit, revine la a admite cå liniile de curent sunt orizontale ¿i respectiv cå suprafe¡ele echipoten¡iale sunt normale pe planul de referin¡å orizontal. Dacå patul impermeabil se considerå plan de referin¡å cu z=0, atunci sarcina hidraulicå devine egalå cu înål¡imea pânzei fa¡å de stratul impermeabil [1]:
( ) ( )H x y z h x y, , ,= . (4.1)
Ecua¡ia cu derivate par¡iale care guverneazå fenomenul capåtå forma bidimensionalå:
64
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂x
Thx y
Thy
Qx y⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ + = 0 , (4.2)
în care Tx ¿i Ty sunt transmisivitå¡ile pe direc¡iile principale de anizotropie, considerate coincidente cu axele sistemului de referin¡å xoy, iar Q este aportul de debit distribuit sub formå de infiltrare pe suprafa¡a liberå. Condi¡iile de margine la limitele domeniului bidimensional sunt cele uzuale:
h h pe H− =∗ 0 Γ , (4.3.a)
q q pen − =∗ 0 Γq . (4.3.b)
reprezentând condi¡ii de înål¡ime cunoscutå a acviferului h* pe anumite grani¡e ΓH ¿i condi¡ii de flux impus q* normal pe anumite grani¡e Γq. Folosind oricare dintre procedeele de definire a ecua¡iilor în elemente finite, atât procedeul Galerkin în forma descriså în § l.4.3. cât ¿i procedeul bazat pe formularea varia¡ionalå în forma descriså în § l.4.4., se ajunge în final la setul de ecua¡ii:
[ ] K h R= , (4.4)
unde: [K]=Σ[k] ¿i R=Σr, iar:
[ ] [ ] [ ][ ]k B T BT
De= ∫ dD ; (4.5.a)
[ ] [ ]r N QdD N qT
DT
e e= ∫ + ∫∗ ΓΓ d . (4.5.b)
Nota¡iile sunt cele obi¿nuite, [B] fiind matricea ce con¡ine derivatele de ordinul I ale func¡iilor de aproximare, conform rela¡iei (1.30), iar [T] este matricea transmisivitå¡ilor:
[ ]TT
Tx
y
=⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
0
0. (4.6)
¥n rela¡iile (4.5), [k] este matricea de influen¡å a elementului, iar r este vectorul nodal ce provine din aportul de debit Q ¿i din condi¡ia de margine q*
65
impus, atunci când o grani¡å a elementului este comunå cu grani¡a Γq a domeniului. Fa¡å de formularea standard din (1.34) sau (1.47) vectorul r con¡ine
termenul suplimentar . Acest termen provine din aportul de debit pe
suprafa¡a elementului, condi¡ie care completeazå forma integralå a ecua¡iei (1.24) cu termenul adi¡ional:
[ ]N QdDT
∫
wQdDD∫ , (4.7)
respectiv func¡ionala (1.42) ata¿atå problemei cu integrala:
− ∫ HQdDD . (4.8)
Termenii adi¡ionali (4.7), respectiv (4.8) conduc, prin aproximårile curente
în formularea în elemente finite [ ]w NT
= ¿i respectiv H=[N]H, la termenul
suplimentar amintit. Condi¡iile de margine de tip înål¡ime cunoscutå h* a acviferului pe grani¡e ΓH se impun direct în sistemul final de ecua¡ii (4.4). Pentru fiecare nod i din domeniu, în care se impune o înål¡ime a acviferului h*
i, se scrie o ecua¡ie suplimentarå de forma Ahi=Ah*
i. Aceastå nouå ecua¡ie se adunå cu ecua¡ia corespunzåtoare necunoscutei hi din sistem, iar dacå A este o constantå cu câteva ordine de mårime mai mare decât coeficien¡ii diagonali ai sistemului solu¡ia rezultatå îndepline¿te condi¡iile de margine (4.3.a). Rezolvarea sistemului algebric liniar (4.4) conduce la determinarea înål¡imilor acviferului în punctele nodale ale discretizårii. Prin rela¡iile de aproximare de la nivelul elementului se poate determina apoi înål¡imea apei ¿i deci pozi¡ia suprafe¡ei libere în orice punct al domeniului.
4.1.2. POZIºIA SUPRAFEºEI LIBERE ÎN CAZUL TRIDIMENSIONAL GENERAL
Pentru a u¿ura în¡elegerea algoritmului de modelare se trateazå curgerea subteranå cu nivel liber printr-un versant. O sec¡iune verticalå, considertå caracteristicå, este prezentatå în figura 4.1. ¥n aceea¿i figurå sunt marcate tipurile de grani¡e care intervin ¿i condi¡iile de margine aferente: A1 ¿i A2 - suprafe¡e udate, cu sarcinå hidraulicå impuså de un nivel cunoscut al apei în versant, H=H1 pe A1 ¿i respectiv de nivelul de la baza versantului H=H2 pe A2;
66
B - suprafa¡a liberå, sau suprafa¡a de depresie, care limiteazå superior domeniul de infiltra¡ie, unde presiunea este zero (H=z) ¿i viteza normalå este zero (vn=0); C - zona de izvorâre, unde presiunea este zero (H=z), iar viteza normalå este pozitivå (vn>0), corespunzåtoare condi¡iei de emergen¡å a debitelor.
Fig.4.1. Sec¡iune verticalå prin acviferul cu nivel liber cantonat în zona unui versant -
condi¡ii de margine. Condi¡iile de sarcinå hidraulicå impuså pe A1 ¿i A2 se introduc cu usurin¡å în rezolvarea în elemente finite, impunând valoarea în noduri dupå tehnicile numerice prezentate în paragraful anterior. La limitele constituite de suprafa¡a de depresie ¿i de zona de izvorâre existå înså douå condi¡ii de margine (H=z; vn≥0) a cåror îndeplinire simultanå este imposibil de asigurat în formularea obi¿nuitå. 4.1.2.1. Algoritmul bazat pe corectarea succesivå a domeniului. O primå alternativå de rezolvare constå în corectarea succesivå a limitei superioare a domeniului de studiu, în conformitate cu condi¡iile de margine asociate condi¡iei de suprafa¡å liberå. Rezolvarea în elemente finite a problemei curgerii subterane prin medii poroase conduce la sistemul algebric:
[ ] K H R= , (4.9)
în care H este vectorul sarcinilor hidraulice din nodurile discretizårii, iar:
67
[ ] [ ] K k
R r
= ∑
= ∑,
cu:
[ ] [ ] [ ][ ] [ ]k B k B d
r N q d
ThD
T
e
e
= ∫
= ∫∗
;
.ΓΓ
D (4.10)
Se reaminte¿te cå matricea [kh] con¡ine conductivitå¡ile hidraulice ale elementului, iar q* este fluxul impus pe grani¡a elementului care coincide cu grani¡a Γq a domeniului. ¥n forma generalå, rezolvarea iterativå prin corectarea succesivå a limitei superioare a domeniului porne¿te de la o primå propunere pentru pozi¡ia suprafe¡ei de depresie. Limitând discretizarea domeniului la aceastå pozi¡ie se îndepline¿te implicit condi¡ia vn=0. ¥n acela¿i timp, pe zona de izvorâre se impun în nodurile din suprafa¡å sarcinile hidraulice Hi=zi, cu zi cotele punctelor nodale. ¥ndeplinirea celei de-a doua condi¡ii de margine (H=z pe suprafa¡a de depresie ¿i respectiv vn>0 pe zona de izvorâre) se verificå, iar în cazul în care aceasta nu este îndeplinitå se repozi¡ioneazå suprafa¡a de depresie. Calculul se face iterativ, convergând cåtre solu¡ia corectå a problemei. Algoritmul corespunzåtor unei itera¡ii cuprinde [2]: - recalcularea matricelor de influen¡å, de forma (4.10), ale elementelor finite a cåror geometrie a fost afectatå de modificarea pozi¡iei suprafe¡ei de depresie la itera¡ia anterioarå ¿i asamblarea matricei domeniului:
[ ] [ ]K k= ∑ ;
- introducerea condi¡iilor de sarcinå hidraulicå impuså pe grani¡ele A1 ¿i A2 (fig. 4.2) ¿i rezolvarea sistemului
[ ] K H R HH pe A ¿i Aimpus
= ⇒1 2
.
- verificarea condi¡iei H=z pe grani¡a SD; dacå diferen¡ele Hi-zi pe aceastå grani¡å se încadreazå în limita erorii admisibile calculul se încheie; dacå Hi-zi este mai mare decât eroarea admisibilå se repozi¡ioneazå suprafa¡a de depresie, mutând nodurile de tipul 1, 2, 3 (fig. 4.2) în pozi¡iile 1', 2', 3' prin deplasarea pe verticalå cu ∆i=Hi-zi.
68
Fig.4.2. Repozi¡ionarea suprafe¡ei libere în urma itera¡iilor. ¥n cazul în care zona de izvorâre are o pondere importantå în cadrul fenomenului, se procedeazå la o iterare în douå etape pe fiecare pas, ¡inând seama riguros ¿i de condi¡iile impuse pe aceastå zonå [3]. De aceastå datå, algoritmul corespunzåtor unei itera¡ii cuprinde: - recalcularea matricelor de influen¡å pentru elementele finite a cåror geometrie a fost afectatå de modificarea pozi¡iei suprafe¡ei de depresie la itera¡ia anterioarå ¿i asamblarea matricei domeniului:
[ ] [ ]K k= ∑ ;
- introducerea condi¡iilor de sarcinå hidraulicå impuså H=H1 pe A1, H=H2 pe A2, H=z pe suprafa¡a de depresie SD ¿i pe zona de izvorâre C ¿i rezolvarea sistemului:
[ ] K H R HH pe A A SD ¿i Cimpus
′ = ⇒ ′1 2,
;
- evaluarea pe baza primei estimåri H' a fluxurilor q' pe laturile (fe¡ele) elementelor ce fac parte din zona de izvorâre:
[ ][ ] ′ = ′q k B Hh ;
- calculul termenilor liberi corespunzåtori condi¡iei q=q' pentru elementele cu grani¡a comunå cu zona de izvorâre:
69
[ ] r N qq
TC′
= ′∫ Γd ,
respectând înså condi¡ia de vn>0 prin rq=0 atunci când q'<0; - introducerea condi¡iilor de sarcinå hidraulicå impuså pe A1 ¿i A2 ¿i a condi¡iilor de debit impus q=q' pe C ¿i rezolvarea sistemului:
[ ] K H R r HH pe A ¿i A qelemente din C
impus
″ = + ∑ ⇒ ″′1 2
;
- verificarea condi¡iei H=z cu estimarea H" (H"=z) pe grani¡ele SD ¿i C constituite de suprafa¡a de depresie ¿i de zona de izvorâre. Corectarea pozi¡iei suprafe¡ei de depresie se face, atunci când H"≠z, dupå acela¿i procedeu cu cel descris anterior. Algoritmul de pozi¡ionare a suprafe¡ei de depresie prin corectarea succesivå a limitei superioare a domeniului discretizat prezintå înså o serie de inconveniente. Modificarea pozi¡iei anumitor noduri din discretizare poate produce distorsiuni mari în forma elementelor ¿i, ca urmare, se impune modificarea avizata a unor grupåri de noduri din vecinåtatea suprafe¡ei de depresie. De asemenea, în cazul în care domeniul de infiltra¡ie con¡ine zone cu conductivitå¡i hidraulice diferite, definirea ¿i corectarea succesiva a pozi¡iei suprafe¡ei devine mult mai dificilå, convergen¡a procesului fiind mai slabå. Un alt inconvenient provine din faptul reevaluarea unor matrici de influentå, asamblarea matricei domeniului ¿i rezolvarea sistemului la fiecare pas de itera¡ie conduc la cre¿terea semnificativå a efortului de calcul. 4.1.2.2. Algoritmul bazat pe corectarea succesivå a matricei domeniului. Cea de a doua alternativå de rezolvare utilizeazå o unicå discretizare în procesul de iterare, definitå pentru un domeniu care include suprafa¡a de depresie (fig.4.3). Geometria discretizårii este fixå ¿i nu depinde de pozi¡ia suprafe¡ei de depresie ¿i a zonei de izvorâre. Matricea de infiltra¡ie a domeniului real de curgere se exprimå ca diferen¡å între matricea [K] a întregului domeniu ¿i
matricea [ ]K corespunzåtoare zonei de deasupra suprafe¡ei de depresie.
Sistemul algebric de ecua¡ii care conduce la solu¡ia problemei are deci forma:
[ ] [ ]( ) K K H RHimpus pe A ¿i A
− =1 2
. (4.11)
70
Fig.4.3. Determinarea pozi¡iei suprafe¡ei libere în cadrul algoritmului de corectare succesivå a matricei domeniului.
Pozi¡ia suprafe¡ei de depresie fiind înså necunoscutå, matricea [ ]K este de
asemenea nedeterminatå. Rezolvarea presupune deci un proces iterativ de forma [2], [4]:
[ ] [ ] K H R K Hn
H
n
impus
+ = +1, (4.12)
cu condi¡ia asociatå q>0 pentru nodurile apar¡inând zonei de izvorâre. Indicii
n ¿i n+1 sunt indici de itera¡ie. La fiecare pas de iterare matricea [ ]K se
actualizeazå, fiind evaluatå prin asamblarea matricelor de influen¡å ale elementelor finite situate deasupra suprafe¡ei de depresie. ¥n cazul elementelor tåiate de suprafa¡a de depresie, apartenen¡a lor la
domeniul lui [ ]K este datå de condi¡ia ca în centroidul elementului Hc<zc unde
Hc este sarcina hidraulicå iar zc este cota geodezicå a centroidului. O convergen¡å mult mai bunå se ob¡ine dacå în discretizare se utilizeazå elemente izoparametrice. ¥n acest caz, la integrarea numericå pentru calculul matricei de
influen¡å [ ]k a unui element finit intersectat, apar¡inåtoare lui [ ]K :
71
[ ] ( )[ ][ ] ( )[ ] ( )[ ]k w w w B s t r k B s t r J s t ri j kkji i j k h i j k i j k= ∑∑∑ , , , , det , , , (4.13)
se iau în considerare numai punctele de integrare care se gåsesc deasupra suprafe¡ei de depresie (fig.4.3), adicå acele puncte pentru care H(si,tj,rk)<z(si,tj,rk).
Asamblarea matricei [ ]K nu se realizeaza efectiv. La nivelul fiecårui
element situat deasupra suprafe¡ei de depresie, sau intersectat de aceasta, se calculeazå vectorul corec¡iilor locale:
[ ] r k Hn= , (4.14)
iar termenul [ ] K Hn
din (4.12) este evaluat prin sumarea acestor vectori de
corec¡ie:
[ ] K H rn = ∑ . (4.15)
Condi¡ia Hn+1=z pe zona de izvorâre se impune numai în nodurile situate în aceastå zonå pentru care q>0. Iterarea conform rela¡iei (4.12) este simplå ¿i se preteazå mult mai bine pozi¡ionårii automate a suprafe¡ei de depresie. Matricea [K] fiind constantå se triangularizeazå o singurå datå ¿i în decursul itera¡iilor se efectueazå numai substitu¡ia înapoi. Itera¡iile se încheie atunci cånd domeniul situat deasupra suprafe¡ei de depresie råmâne acela¿i în douå itera¡ii succesive. Algoritmul bazat pe corectarea succesivå a matricei domeniului are la bazå acela¿i principiu de excludere din domeniu a zonelor în care H<z. Se semnaleazå faptul cå procesul de iterare implicå înså o aproximare suplimentarå. Sarcinile hidraulice din nodurile situate deasupra suprafe¡ei de depresie sunt lipsite de sens fizic, dar se utilizeazå curent pentru evaluarea sarcinii hidraulice din centroidul elementelor sau din punctele de integrare [4]. Aceastå inconsecven¡å se poate elimina modificând algoritmul de iterare, acceptând cå zona de deasupra suprafe¡ei de depresie apar¡ine ¿i ea domeniului de infiltra¡ie, dar atribuind elementelor din aceastå zonå o conductivitate hidraulicå cu multe ordine de mårime mai micå decât aceea a mediului real. Se men¡ioneazå înså cå în acest caz apare o altå serie de inconveniente. Func¡iile de aproximare sunt cele standard ¿i pentru elementele finite intersectate de suprafa¡a de depresie, de¿i aceastå suprafa¡å constituie o discontinuitate în câmpul sarcinilor hidraulice. De asemenea, în rezolvarea efectivå a sistemului de ecua¡ii apar erori numerice de trunchiere, datoritå discrepan¡ei majore a
72
ordinului de mårime a termenilor diagonali din matricea sistemului, creatå de elementele cu conductivitate hidraulicå for¡at reduså.
4.1.3. MODELAREA POZIºIEI SUPRAFEºEI LIBERE ÎN CAZUL REGIMULUI NEPERMANENT
¥n regim tranzitoriu pozi¡ia suprafe¡ei libere se modificå în timp, în acord cu modificarea condi¡iilor de margine la limitele domeniului. Condi¡iile ini¡iale pentru sarcinile hidraulice din domeniu, ca ¿i pozi¡ia ini¡ialå a suprafe¡ei libere înainte de declan¿area regimului tranzitoriu se determinå pe baza algoritmilor expu¿i anterior. Desfå¿urarea în timp a fenomenului se analizeazå pe baza discretizårii domeniului timp în pa¿i de timp ∆t, suficien¡i de mici ¿i determinarea pozi¡iilor succesive ale suprafe¡ei libere la fiecare pas de timp. 4.1.3.1. Modelarea regimului permanent ca o succesiune de regimuri permanente. Algoritmul de modelare se bazeazå pe corectarea succesivå a domeniului de curgere. Regimul nepermanent se trateazå cu ajutorul metodelor hibride explicite [5]. Datoritå complexitå¡ii calculelor de repozi¡ionare a suprafe¡ei libere, prezentate în § 4.1.2.1., dependen¡a de timp se rezolvå prin rela¡ii simple de integrare, de tip Euler (§ 3.3.1). ¥n cadrul algoritmului se cautå o rela¡ie care så permitå repozi¡ionarea suprafe¡ei libere la sfâr¿itul pasului de calcul, în func¡ie de pozi¡ia suprafe¡ei libere la începutul intervalului. ¥n analiza fenomenului se neglijeazå capilaritatea. Suprafa¡a liberå a infiltra¡iei nepermanente nu mai este ¿i linie (suprafatå) de curent ¿i, ca urmare, din cele douå condi¡ii ale regimului permanent (H=z, vn=0) se re¡ine numai condi¡ia H=z. Condi¡iile ini¡iale se determinå prin rezolvarea regimului permanent pentru condi¡iile de margine de la t=0. Pozi¡ia suprafe¡ei de depresie corespunzåtoare acestui moment se stabile¿te pe baza procedeului descris la § 4.1.2.1.
Fig.4.4. Varia¡ia suprafe¡ei libere într-un interval de timp de calcul.
73
Pentru un interval de timp ∆t, între pasii tn ¿i tn+1, repozi¡ionarea suprafe¡ei libere parcurge urmåtoarele etape (fig.4.4): - se identificå discretizarea pentru momentul tn la care suprafa¡a liberå are pozi¡ia SLn ¿i se evalueazå matricele de influen¡a [k] ale elementelor finite ¿i respectiv matricea [K] a domeniului. - se evalueazå vectorii r ai condi¡iilor de margine de la momentul tn+1 ¿i vectorul sumå R ¿i se rezolvå sistemul:
[ ] K H Rn+
=1 n+1
, (4.16)
în care s-au impus ¿i condi¡iile de tip Hn+1=H(tn+1) pe grani¡ele ΓH ¿i H=zn pe suprafa¡a liberå. - se calculeazå vitezele de curgere în elementele finite ce bordeazå suprafa¡a liberå, pe baza sarcinilor hidraulice nodale rezultate din rezolvarea sistemului (4.16):
[ ][ ] vv
vk B Hx
yh SL n e
=⎧⎨⎩
⎫⎬⎭=
+1, . (4.17)
- se determinå noua pozi¡ie a nodurilor de pe suprafa¡a liberå, acceptând cå viteza de deplasare a nodurilor de pe suprafa¡a liberå este propor¡ionalå cu viteza de curgere, amendatå de porozitatea efectivå n:
x
y
x
y nt v
n n
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
=⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
++1
1 ∆ . (4.18)
Pentru a evita cumularea erorilor rezultate din ipotezele simplificatoare admise, dupå fiecare repozitionare se impune ¿i rea¿ezarea suprafe¡ei libere, rezolvånd un regim permanent pentru condi¡iile de margine de la timpul tn+1 pe baza algoritmului prezentat la § 4.1.2.1. 4.1.3.2. Modelarea regimului nepermanent cu suprafa¡a libera pe baza frontierei saturat-nesaturat. Algoritmul de modelare utilizeaza rezolvarea generala, în elemente finite, a regimului nepermanent, prezentatå în § 3.3. Suprafa¡a liberå este de aceastå datå delimitatå, la fiecare pas de timp, de frontiera dintre regimul saturat ¿i nesaturat. Regimul nesaturat apare ca un fenomen la contactul dintre matricea solidå, aer ¿i apå. Dacå se iau în considerare numai procesele de suc¡iune capilarå,
74
permeabilitatea (conductivitatea hidraulicå) depinde de umiditatea uw, rela¡ia de dependen¡å putând fi scriså simplificat sub forma [5], [6]:
( ) ( )k u k u kh w r w h= , (4.19)
unde kr∈(0,1) este un scalar care pondereazå tensorul permeabilitå¡ilor din regim saturat. Din curbele umiditate-suc¡iune se poate defini, cel pu¡in grafic, o rela¡ie de forma:
( )k k p la pr r= 0<
≥ 0
- suc¡iune
(4.20) - presiunea apei din pori ¿i k la pr = 1
p - fiind, dupå caz, presiune intersti¡iala sau suc¡iune. Rela¡ia de definire a
sarcinii hidraulice H zp
= +γ
permite rescrierea rela¡iei sub forma kr=kr(H).
Ecua¡ia matricialå în elemente finite de spa¡iu (3.11) are aceea¿i formå dar constantele de material sunt de aceastå datå dependente de umiditate ¿i deci de H:
[ ] ( ) [ ]( ) ( ) K H t S
H t
tR t+ −
∂=
∂0 , (4.21)
cu:
[ ] [ ] [ ] [ ] ( )[ ][ ]K k ¿i k B k p k BT
r hDe= ∑ = ∫ dD , (4.22)
[ ] [ ] [ ] [ ] ( )[ ]S s ¿i s N E u N dT
wDe= ∑ = ∫ D , (4.23)
unde [K]=[K(p)] este matricea domeniului, care reflectå regimurile presiune-suc¡iune, iar [S]=[S(uw)] este o matrice ce ¡ine seama de înmagazinare ¿i respectiv de capacitatea specificå de umectare. Sistemul (4.21) este neliniar, rezolvarea aproximativa putând fi fåcutå înså cu un algoritm simplificat. Condi¡iile ini¡iale la începutul procesului de simulare se determinå rezolvând regimul permanent cu condi¡iile de margine de la t=0, utilizând procedeul prezentat la § 4.1.2.2. De re¡inut cå discretizarea cuprinde întreg domeniul posibil al curgerii.
75
Pentru un interval de timp ∆t, între pa¿ii de calcul tn ¿i tn+1, determinarea pozi¡iei suprafe¡ei libere parcurge urmåtoarele etape: - pe baza sarcinilor hidraulice Hn, de la momentul tn, se determinå pn ¿i se reevaluazå matricele de influen¡å ¿i de înmagazinare ale elementelor, utilizând valorile actualizate kr(p); - se asambleazå matricele domeniului ¿i se determinå valorile Hn+1 cu rela¡ia de recuren¡å (3.32), ¡inând seama de condi¡iile de margine de la tn+1, inclusiv de noile valori impuse pentru sarcinile hidraulice la grani¡e; - se traseazå suprafa¡a liberå ca suprafa¡å de separa¡ie a domeniului cu H≥z (saturat, cu presiune intersti¡ialå p>0) fa¡å de domeniul cu H<z (nesaturat cu suc¡iune p<0). Dacå zona de izvorâre este importantå pentru modelarea fenomenelor, se impune o itera¡ie suplimentarå pe pasul de timp ∆t, pentru a asigura satisfacerea simultanå a condi¡iilor H=z, vn>0 în nodurile pozi¡ionate pe zona de izvorâre.
4.2. DETERMINAREA INTERFEºEI APÅ DULCE - APÅ SÅRATÅ
Analiza mi¿cårii fluidelor imiscibile (apå-hidrocarburi, apå dulce-apå såratå) este asemånåtoare determinårii pozi¡iei suprafe¡ei libere: în afara distribu¡iei sarcinii hidraulice se cere ¿i determinarea suprafe¡ei de separa¡ie dintre faze, suprafa¡å necunoscutå aprioric. ¥n general, problemele de acest tip sunt tridimensionale. Când înså grosimile fazelor sunt mici, comparativ cu extinderea în suprafa¡å a acviferului, schematizarea Dupuit î¿i påstreazå valabilitatea ceace permite tratarea bidimensionalå a problemei. Exemplul tipic îl constitue acviferele costiere unde, negijând zona de tranzi¡ie se poate considera cå apa dulce ¿i apa såratå sunt separate printr-o interfa¡å netå. ¥n conscin¡å, curgerea bifazicå poate fi echivalatå cu un bistrat de grosime variabilå, iar mi¿carea poate fi analizatå în condi¡iile problemei plan-orizontale.
4.2.1. ECUAºII DE MIªCARE
Så consideråm un acvifer costier în care mi¿carea apei dulei este cu nivel liber. Dacå nivelul de referin¡å va fi culcu¿ul acviferului, atunci sarcinile piezometrice ϕf ¿i ϕs în apa dulce, respectiv în apa såratå vor fi (fig. 4.5.):
76
Fig.4.5. Sarcini hidraulice ¿i condi¡ii de echilibru pe interfa¡a apå dulce-apå såratå.
respectiv:
ϕρ
ς
ϕρ
ς
ss
s
ff
f
p
g
p
g
= +
= +
,
, (4.24)
unde :
ps, pf sunt presiunile în apa såratå ¿i apa dulce; ρs,ρf - densitå¡ile în cele douå faze; ζ - cota interfe¡ei în punctul de måsurå.
¥n schematizarea Ghyben-Herzberger, cea mai utilizatå în practica inginereascå, se considerå cå interfa¡a dintre cele douå faze se aflå în echilibru hidrostatic, deci:
p p ps f= = . (4.25)
Eliminând atunci presiunea din cele douå rela¡ii de mai sus ob¡inem expresia pozi¡iei interfe¡ei în func¡ie de sarcinile hidraulice în cele douå faze:
( )ς δ ϕ δ= + −1 s fϕ , (4.26)
unde:
δρ
ρ ρ=
−f
s f
. (4.27)
77
Constanta δ are rolul unui coeficient de cuplaj densitar între sarcinile piezometrice ¿i pozi¡ia interfe¡ei. Consecin¡a imediatå a ipotezei Ghyben-Herzberger este aceea cå, atât în apa dulce, cât ¿i cea såratå, sarcinile hidraulice sunt constante pe verticalå, cu alte cuvinte ipoteza Dupuit î¿i påstreazå valabilitatea. ¥n cazul unui acvifer cu nivel liber, alimentat de debitele de infiltra¡ie W, ecua¡iile de mi¿care în cele douå faze sunt descrise de doi operatori diferen¡iali [7],[8]:
- apa dulce:
( ) ( )L
xK b
xS b
tn
tWf
iijf
ff
jf
s1 0ϕ ∂
∂∂ϕ∂
∂ϕ∂
∂ ϕ ς∂
ϕ≡⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ −
−+ = ; (4.28)
- apa såratå:
( )Lx
K bx
nts
iijs
ss
j2 0ϕ ∂
∂∂ϕ∂
∂ς∂
≡⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ − = . (4.29)
¥n cele douå ecua¡ii am notat cu:
Kij
f, Kij
s - conductivitå¡ile hidraulice în apa dulce, respectiv în apa såratå;
S - înmagazinarea elasticå în acvifer; n - porozitatea; bf, bs - grosimile stratului de apå dulce, respectiv de apå såratå.
Cum efectele densitå¡ii ¿i ale vâscozitå¡ii nu conduc la modificåri importante ale valorii conductivitå¡ii, în cele ce urmeazå vom considera aceea¿i conductivitate pentru ambele faze. Vom neglija de asemenea efectul înmagazinårii elastice, mai mic cu cel pu¡in douå ordine de mårime fa¡å de cel al porozitå¡ii, dat fiind cå mi¿carea în apa dulce este cu nivel liber. ¥nlocuind în ecua¡iile de mai sus cota ζ a interfe¡ei conform ecua¡iei (4.26), ob¡inem în final:
( ) ( )Lx
b Kx
nt
W ntf s
if ij
f
j
f s1 1 0ϕ ϕ ∂
∂∂ϕ∂
δ∂ϕ∂
δ∂ϕ∂
, ≡⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ − + − + = , (4.30)
pentru apa dulce ¿i respectiv pentru apa såratå:
( ) ( )Lx
b Kx
nt
ntf s
is ij
s
j
s f2 1 0ϕ ϕ ∂
∂∂ϕ∂
δ∂ϕ∂
δ∂ϕ∂
, ≡⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ − − + = (4.31)
78
Dupå cum se observå mi¿carea apei este descriså printr-un sistem de douå ecua¡ii cuplate prin intermediul coeficientului de cuplaj δ. Acest cuplaj apare explicit în cazul mi¿cårii nepermanente ¿i implicit în cazul mi¿cårii permanente, grosimile celor douå faze depinzând de pozi¡ia interfe¡ei, conform rela¡iilor:
bs = ς ; (4.32)
b f f bs= −ϕ . (4.33)
Unicitatea solu¡iei este asiguratå de condi¡iile ini¡iale ¿i de contur pentru ambele faze:
• Condi¡ii ini¡iale sub formå de sarcinå hidraulicå cunoscutå la momentul t = 0, pentru apa dulce H0
f, respectiv pentru apa såratå H0
s, pe intregul domeniu:
( ) ( )ϕ s x y t H x ys, , , ,= 0 0 (4.34)
( ) ( )ϕ s x y t H x ys, , , ,= 0 0 (4.35)
• Condi¡iile de margine sunt fie de tip sarcinå impuså sau flux normal
impus pe frontiera Γ care mårgine¿te domeniul, pentru ambele faze. Avem deci: - probleme Dirichlet
( ) ( )ϕ ffx y t H x y t, , , ,
Γ= , (4.36)
pentru apa dulce, respectiv:
( ) ( )ϕ s x y t H x y ts, , , ,Γ= , (4.37)
pentru apa såratå; - probleme Neumann:
− Kbn
qff
nf∂ϕ
∂ Γ= , (4.38)
pentru apa dulce ¿i
79
− Kbn
qss
ns∂ϕ
∂ Γ= , (4.39)
pentru apa såratå.
¥n rela¡iile de mai sus am notat cu ∂ϕ∂n
derivatele sarcinilor hidraulice dupå
normala exterioarå la curba Γ, iar cu qn componentele fluxului dupå aceelea¿i direc¡ii. Nelinearitatea sistemului de ecua¡ii datoratå necunoa¿terii apriorice a pozitiei interfe¡ei face ca solu¡ionarea analiticå a acestuia så nu poatå fi fåcutå decât în situa¡ii foarte simple. Ca ¿i în cazul determinårii pozi¡iei suprafe¡ei libere, metodele numerice s-au dovedit a fi singura solu¡ie în rezolvarea acestor probleme.
4.2.2. APROXIMAREA SOLUºIEI PRIN METODA ELEMENTULUI FINIT
¥n condi¡iile valabilitå¡ii ipotezei Dupuit sistemul bifazic apå dulce - apå såratå este schematizat printr-un bistrat cu grosime variabilå. ºinând seama de nelinearitatea sistemului de ecua¡ii datoratå necunoa¿terii apriorice a pozitiei interfe¡ei, este preferabilå utilizarea metodei Galerkin. Så consideråm domeniul discretizat în elemente finite izoparametrice, având forma unor patrulatere oarecare. Dacå notåm cu hi
s ¿i hi
f valorile nodale ale sarcinii hidraulice pentru apa såratå, respectiv pentru apa dulce, atunci varia¡ia pe element a acestora are forma:
ϕ si i
sN h= (4.40)
ϕ fi i
fN h= , (4.41)
unde Ni sunt func¡iile de interpolare, având proprietå¡ile definite în paragrafele anterioare, iar cu ϕ am notat solu¡iile aproximative ale operatorilor
diferen¡iali. Proprietå¡ile func¡iilor Ni permit analiza separatå pe fiecare element, solu¡ia pe întregul domeniu fiind ob¡inutå prin însumarea rezultatelor par¡iale. Dacå punem condi¡ia ca restul ob¡inut prin înlocuirea în cei doi operatori L1 ¿i L2 , defini¡i în rela¡iile (4.30) ¿i (4.31) så se anuleze în medie pe domeniu, ob¡inem:
80
( )L N dVV f s i1 0∫ =ϕ ϕ, , (4.42)
¿i:
( )L N dVV f s i2 0∫ =ϕ ϕ, . (4.43)
Avem atunci, pentru apa dulce:
( )Vi
f ijj
iif
j
fax
b KN
xh n N
h
t∫
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ − +
⎡
⎣⎢⎢∂
∂∂
δ ∂∂
1 −
(4.44)
− −⎤
⎦⎥ =W n N
h
tN dVj
siδ
∂∂
0
¿i respectiv:
( ) ( )V x s ijN
x is
jht
ht ii
j
i
is
if
b K h n N n N dV∫ − − +⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
=∂∂
∂∂
∂∂
∂∂δ δ1 0 , (4.45)
pentru apa såratå. Prezen¡a derivatelor de ordinul 2 ar necesita alegerea unor func¡ii de interpolare de clasa C2. Pentru a elimina acest inconvenient, vom integra prin pår¡i primul termen din ambele ecua¡ii, ob¡inând pentru apa dulce.
( )[ ] [ ]
b KN
x
N
xdV h K b N
dhdn
d
n N N dVh
tW N dV n N N dV
h
t
fV iji
i
j
iif
ij f
f
V i jif
V i i jVis
∫ ⋅⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ − ∫
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ −
− + ∫ − − ∫∫ =
∂∂
∂∂
δ∂∂
δ∂∂
Γ Γ
1 0,
(4.46)
respectiv, pentru apa såratå:
( )[ ] [ ]
V s iji
i
j
iis
ij s
s
V i jis
V i jif
b KNx
N
xdV h K b N
dhdn
d
n N N dVht
n N N dVht
∫ ⋅⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ − ∫
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ −
− − ∫ + ∫ =
∂∂
∂∂
δ ∂∂
δ ∂∂
Γ Γ
1 0
(4.47)
81
¥n rela¡iile de mai sus am notat cu: V - volumul elementelor; Γ - frontiera elementului; n - normala exterioarå la curba Γ care delimiteazå elementele. Så consideråm un element bistrat cu 8 noduri în care nodurile superioare apar¡in apei dulci, iar cele inferioare apei sarate. Dacå notåm cu:
, (4.48) Hh
h
f
s=⎧⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪
vectorul sarcinilor nodale atunci ecua¡iile precedente (4.46) ¿i (4.47) pot fi puse în forma matricialå:
[ ] [ ] A H BdHdt
Q+ ⎧⎨⎩
⎫⎬⎭= , (4.49)
unde matricile de influen¡å [A] ¿i [B], respectiv vectorul termenilor liberi Q au expresiile:
[ ]AKb
Nx
N
xdV
KbNx
Nx
dV
eV f
i
i
j
j
V si
i
i
j
=∫ ⋅
∫ ⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
0
0 (4.50)
[ ] (4.51) ( )
( )Bn N N dV n N N d
n N N dV n N N dVe V i j i jV
i jV i jV
=+ ∫ − ∫
− ∫ − ∫
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
1
1
δ δδ δ
V
Q
W k b Nh
nd
K b Nh
nd
eij f i
f
ij s i
s=
+ ∫
∫
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
Γ Γ
Γ
∂∂
∂∂
. (4.52)
Dimensiunile matricilor de influen¡å sunt 8x8, fiind alcåtuite din patru submatrici de 4x4 termeni. Din examinarea expresiilor (4.50) - (4.52) putem face urmåtoarele observa¡ii asupra structurii sistemului general de ecua¡ii.
82
• Matricea [A] este o matrice simetricå, având termeni nuli pe diagonala secundarå, ceea ce înseamnå cå nu existå cuplaj direct, prin intermediul acestei matrici între sarcinile hidraulice în apa dulce ¿i apa såratå. Expresile fiecårei submatrici sunt identice cu cele ale matrici de conductivitate (ec. 1.46), cu excep¡ia termenilor bf, bs (grosimile stratelor de apa). • Matricea [B] este o matrice simetricå, dar submatricile de pe diagonala secundarå sunt diferite de zero. Aceasta înseamnå cå în regim tranzitoriu existå cuplaj direct între sarcinile hidraulice în cele douå faze. De remarcat faptul cå termenii în care intervin integralele de volum sunt identici cu cei din cazul matricilor de înmagazinare (ec. 3.8), ¿i este suficient: δ = 0 pentru ca aceste matrici sa fie în totalitate identice cu matricile de înmagazinare. • Termenii liberi sunt alcåtui¡i, în cazul apei dulci, din suma debitelor de alimentare prin infiltra¡ii ¿i debitele nodale. Ori, în momentul asamblårii - prin însumare - pe întregul domeniu, suma debitelor nodale este nulå în orice nod interior, conform condi¡iei de continuitate a debitelor. Singurele noduri în care avem valori diferite de zero corespund por¡iunilor de pe frontierele exterioare ale domeniului în care fluxul este nenul. Dupå cum s-a aråtat, sistemul general de ecua¡ii care aproximeazå solu¡ia operatorilor L1 ¿i L2 pe întregul domeniu se ob¡ine din însumarea sistemelor elementare (4.49). Avem în definitiv:
[ ] [ ] K H SdHdt
F+ ⎧⎨⎩
⎫⎬⎭= , (4.53)
cu :
[ ] , (4.54) [ ]Ke
e
NEL= ∑
=1A
B
Q
[ ] ; (4.55) [ ]Se
e
NEL= ∑
=1
, (4.56) Fe
e
NEL= ∑
=1
NEL fiind numårul de elemente. Condi¡iile de margine, scrise pentru ambele faze, capåtå forma : - Problema Dirichlet:
HCS
sΓ= 0H (apå såratå) ; (4.57)
83
HCf
fΓ = 0H (apå dulce) ; (4.58)
- Problema Neumann:
qns
sΓ= 0q (4.59)
qnf
fo
Γ= q , (4.60)
unde am notat cu: H0
S - nivelul apei sårate (nivelul mårii în cazul acviferelor costiere) în nodurile în care a fost discretizatå frontiera Γ H0
f - nivelul apei dulci în nodurile aceleia¿i frontiere; q0
s, q0
f - reprezintå componentele fluxului normale pe frontiera Γ; (evident în cazul unei limite impermeabile valorile lor sunt nule.) Dacå în cazul unei probleme Dirichlet, la contactul acviferului cu marea, condi¡iile de margine pentru apa såratå se realizeazå u¿or, prin impunerea nivelului mårii în nodurile respective, în cazul apei dulci nivelul în acvifer este întotdeauna diferit de cel al mårii, altfel ar fi imposibil drenajul acestuia. ¥n cazul în care nu se cunosc din måsuråtori aceste nivele, condi¡iile de margine pentru apa dulce sunt de tip Fourier [9]:
( )Kbhn
d C H Hf
ff
Γ Γ∫ = −∂∂
0 , (4.61)
unde: H0 este nivelul mårii; Hf - nivelul în acvifer, la contactul acestuia cu marea, mårime necunoscutå; C - coeficientul empiric, de transfer, a cårui mårime se determinå în urma calibrårii modelului. Revenind la sistemul general de ecua¡ii, constatåm cå nelinearitatea acestuia este explicitå în cazul proceselor nepermanente, prin termenii de înmagazinare ¿i implicitå în cazul proceselor permanente prin intermediul grosimii intruziunii ¿i a stratului de apå dulce. Din aceastå cauzå, vom analiza separat modelarea în cele douå regimuri de curgere.
84
4.2.3. REGIMUL DE MIªCARE PERMANENT
¥n acest caz sistemul de ecua¡ii diferen¡iale se reduce la sistemul algebric:
[ ] K H F= , (4.62)
în care matricea de influen¡å K este o matrice bandå ¿i simetricå. Nelinearitatea sistemului este datoratå faptului cå grosimile bf ¿i bs sunt dependente de valorile sarcinilor hidraulice hs ¿i ht, conform rela¡iilor (4.32) ¿i (4.33). Probleme este asemanatoare cu cea a determinårii suprafe¡ei libere, fårå a modifica geometria re¡elei. Pentru comoditatea prezentårii, vom considera re¡eaua suficient de finå, astfel încât varia¡ia grosimilor pe element så fie neglijabilå. ¥n majoritatea problemelor extinderea domeniului este inegalå, fiind mult mai reduså pentru apa såratå, datoritå zonei limitate de penetrare a acesteia. ¥n proiectarea re¡elei, este recomandabilå o estimare prin metode analitice a extinderii intruziunii; pe baza acestei estimåri se dimensioneazå acoperitor - de obicei de douå ori mai mare - zona ocupatå de apå såratå. Rezolvarea sistemului nelinear (4.62) se face iterativ, etapele având urmåtoarea succesiune: 1. Se atribuie valori arbitrare grosimilor celor douå faze ¿i se calculeazå matricile de influen¡å ¿i termenii liberi. 2. Cu aceste valori se rezolvå sistemul (4.62), ob¡inând o primå estimare H0 a sarcinilor hidraulice nodale în cele douå faze. 3. Se calculeazå diferen¡ele nodale ∆i între sarcinile hidraulice din apa såratå ¿i cotele culcu¿ului acviferului (Zi):
, (4.63) ∆i siH Z i= −
Elementele pentru care ∆i < 0 nu apar¡in domeniului apei sårate se eliminå prin anularea conductivitå¡ii în matricea de influen¡å [K] (fig. 4.6). 4. Se realizeazå prima aproxima¡ie a vârfului intruziunii (curba dupå care intruziunea intersecteazå culcu¿ul acviferului). Ori, acesta se gåse¿te de cele mai multe ori în interiorul unui element. Pentru o mai bunå precizie a pozi¡iei vârfului, se calculeazå diferen¡ele ∆i ¿i în punctele de integare Gauss ale elementului. Este deci necesar ca în elementele cu apå såratå så se utilizeze mai multe puncte de integrare. ¥n punctele de integrare pentru care ∆i < 0 se impun conductivitå¡i foarte mici (ks ≅ 10-5), eliminând astfel efectul acestor puncte în calculul matricii de influen¡å.
85
Fig.4.6. Modelarea interfe¡ei prin utilizarea punctelor de integrare Gauss. 5. Odatå estimat domeniul în care se gåse¿te apå såratå se calculeazå grosimile celor douå faze. Avem:
( )b His
i is
if= = + −ς δ δ1 H (4.64)
b H , (4.65) bif
if
is= −
unde valorile Hi
f ¿i Hi
s sunt cele calculate la punctul 2. Se calculeazå apoi grosimea medie pe element ca medie a grosimilor nodale. 6. Se reia apoi calculul sarcinilor hidraulice nodale ¿i se repetå procedeul pânå când diferen¡ele între valorile acestora, ob¡inute în douå itera¡ii succesive, sunt mai mici decât o toleran¡å arbitrarå. Experien¡a aratå cå procedeul este rapid convergent fiind necesare - în cazul unor discretizåri judicioase - maximum 10 itera¡ii.
4.2.4. SIMULAREA REGIMULUI NEPERMANENT
Evolu¡ia în timp ¿i spa¡iu a sarcinilor hidraulice în cele douå faze se calculeazå prin metode pas cu pas: se împarte intervalul de timp pe care se
86
analizeazå procesul în subintervale ∆t (care pot fi inegale) ¿i, pornind de la condi¡iile ini¡iale se calculeazå succesiv valorile sarcinilor pentru valorile de timp ∆t, 2∆t, etc. Pentru aceasta se aproximeazå solu¡ia sistemului de ecua¡ii (4.49), utilizând fie o schemå cu diferen¡e finite implicite, fie elemente finite temporale. Vom considera o schemå cu diferen¡e finite de tip Crank- Nicholson, care este identicå cu cea ob¡inutå utilizând elemente finite lineare de timp. Dacå în rela¡ia (3.22) vom alege θ = 1/2, solu¡ia aproximativå a sistemului (4.49) la timpul t = ∆t este:
[ ] [ ] [ ] [ ] 1 12
1 12
12
1 1 1
1∆ ∆tS K H
tS K H F
n n n n n nn
+ + +
++⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+ + Fn (4.63)
¥n cazul unui sistem linear, cum este cel prezentat în capitolul 3, indicii n ¿i n+1, care afecteazå doar sarcinile hidraulice H, semnificå valorile acestora la pa¿ii de timp tn ¿i tn+1 . ¥n rela¡ia (4.66) indicii men¡iona¡i care afecteazå ¿i matricile de influen¡å [K] ¿i [S] au semnifica¡ia valorilor calculate pentru douå itera¡ii succesive în acela¿i interval de timp tn+1 - tn . Rezolvarea sistemului nelinear (4.66) implicå deci o dublå itera¡ie : o itera¡ie generalå pe timp, iar în fiecare interval de timp se executå o succesiune de itera¡ii pentru rezolvarea nelinearitå¡iilor. Procesul poate fi descris astfel: 1. Pe baza valorilor Hn, se rezolvå sistemul (4.66), ob¡inând o primå aproxima¡ie a vectorului Hn+1. ¥n aceastå etapå matricile Sn+1 ¿i Kn+1 sunt calculate utilizând grosimile bf ¿i bs calculate la pasul n. 2. Se stabile¿te noua pozi¡ie a intruziunii. Procedeul este identic cu cel descris în etapele 3 ¿i 4 din cazul mi¿cårii permanente. 3. Se recalculeazå grosimile stratului de apå, conform rela¡iilor (4.64) ¿i (4.65), utilizând noua pozi¡ie a intruziunii, corespunzåtoare valorilor Hn+ ¿i apoi noile matrici de influen¡å Sn+1 ¿i Kn+1 , utilizând noile valori ale grosimilor. 4. Se asambleazå matricile generale, se rezolvå sistemul (4.66), ob¡inând o a doua estimare a vectorului Hn+1. 5. Aceastå schemå se realizeazå pentru un numår de cca.10 itera¡ii. ¥n cazul în care procesul este convergent (valorile Hn+1 calculate între douå itera¡ii diferå în limitele unei toleran¡e arbitrare) se trece la pasul urmåtor de timp. ¥n caz contrar, se mic¿oreazå intervalul ∆t ¿i se reia ciclul de itera¡ii.
87
4.2.5 EXEMPLE
• Evolu¡ia imtruziunii de apå såratå într-un acvifer omogen. Vom considera un acvifer sub presiune, omogen ¿I izotrop, în care debitele de alimentare scad brusc dela Q1 la Q2. Varia¡ia pozi¡iei intruziunii de apå såratå a fost calculatå analitic de Isaacs ¿i Hunt [10] ¿i simulatå numeric de Ledoux & all [11]. Caracteristicile acviferului de grosime M=50m sunt prezentate în figura 4.7. Domeniul a fost discretizat în elemente finite dreptunghiulare cu latura variabilå, cuprinså între 1m ¿i 10m pe direc¡ie orizontalå, respectiv de 1m pe direc¡ie verticalå. ¥n total, re¡eaua a avut 2000 elemente interconectate prin 2091 noduri. Pentru a defini condi¡iile ini¡iale corespunzåtoare debitelor Q1 s-a simulat într-o primå etapå distribu¡ia sarcinilor hidraulice în cele douå faze în regim permanent. Condi¡iile de margine (fig. 4.7) au fost urmåtoarele: - limite impermeabile pentru acoperi¿ul ¿i culcu¿ul stratului; - flux impus, corespunzator debitului Q1 pe limita verticalå de alimentare a stratului.
Fig.4.7. Pozi¡ia interfe¡ei în cazul varia¡iei debitelor de alimentare. Caracteristicile domeniului ¿i condi¡iile de margine.
¥n vederea determinårii extinderii Z0 a zonei de izvorâre a apei dulci s-a folosit rela¡ia Vappicha-Nagaraja [12] care, pentru parametrii problemei conduce la:
ZQ
Km0
1 20 5 24 0
2 5 0 4 6 0= ⋅ ≅ ÷, ., . .
88
Deoarece sistemul de referin¡å este la baza stratului, condi¡iile de margine de tip sarcinå impuså pe suprfa¡a de contact a acviferului cu marea au fost urmåtoarele: - pe suprafa¡a de izvoråre a apei dulci (M-Z0 ≤ Z ≤ M) : ϕ f = M=50m; - pe suprafa¡a de contact a apei sårate ( 0 ≤ Z < M-Z0) coform rela¡iei rela¡iei (4.23): ϕs = 47.5m, respectiv 45.4m. Pozi¡ia interfe¡ei corespunzåtoare debitelor Q1 = 4 mp/zi este prezentatå în figura 4.7. Aceastå situa¡ie a fost consideratå condi¡ie ini¡ialå pentru analiza pozi¡iei interfe¡ei, când debitele de alimentare scad brusc la Q2 =2.25 mp/zi. ºinând seama de densitatea mare a nodurilor, nu au fost utilizate decât 4 X 4 puncte de integrare Gauss. Pasul de integrare în timp a fost variabil, pornind de la ∆t=0,25 zile, dar valoarea maximå admiså a fost de ∆t= 1 zi. Figura 4.7. prezintå pozi¡iile interfe¡ei dupå 50 ¿i 100 zile situa¡ia de echilibru fiind atinså dupå 118 zile.
• Efectul unui pu¡ într-un acvifer omogen. Modificarea pozi¡iei interfe¡ei ca urmare a debitelor extrase dintr-un pu¡ a fost rezolvatå analitic de Strack [13] ¿i constitue o problemå test pentru verificarea oricårui model numeric [11], [12]. Condi¡iile problemei sunt schematizate în figura 4.8. Se considerå un acvifer sub presiune, în care în regim natural mi¿carea este unuformå având un debit q=2.30m2/zi, orientat pe direc¡ia axei Ox. La distan¡a de 600m de ¡årm este amplasat un pu¡ care extrage un debit Q=400mc/zi. Din condi¡iile prezentate rezultå valabilitatea schematizarii Dupuit: problema a fost analizatå în condi¡iile mi¿cårii plan orizontale, atât pentru apa dulce, cât ¿i pentru apa såratå. Datå fiind simetria problemei, a fost studiat doar semiplanul superior, având dimensiunile de 700m pe axa Ox, respectiv 1500 pe axa Oy. Domeniul a fost discretizat într-o re¡ea uniformå, cu latura de 25 m. S-au utilizat 420 elemente pentru apa dulce ¿i 210 elemente pentru apa såratå. Lå¡imea zonei de izvorâre a apei dulci Z0 a fost calculatå tot cu rela¡ia Vappicha-Nagaraja, care, pentru parametrii acviferului, a condus la valoarea de 2.35m. Cu aceastå valoare a fost calculatå transmisivitatea ini¡ialå a elementelor acviferului aflate la contactul cu marea. Condi¡iile de margine au fost urmåtoarele: - pentru apa dulce: - limitele laterale (Y=0, respectiv Y=1500m) impermeabile; - sarcinå impuså ϕf =M=50m, în nodurile de contact ale acviferului cu marea; - flux impus corespunzåtor debitului q=2.3 m2/zi pe limita x=700m. - pentru apa såratå : - limite laterale impermeabile; - sarcina impuså ϕs = M-Z0 = 47.35m, în nodurile de contact cu marea.
89
Fig.4.8. Modelarea problemei Strack.
Dat fiind numårul mare de elemente, nu s-au utilizat decât 4 puncte de integrare Gauss pentru aproximarea interfe¡ei. ¥n figura 4.8. sunt prezentate comparativ pozi¡iile interfe¡ei calculate numeric ¿i analitic. Rezultatele sunt, în general, concordante, difern¡ele mai mari fiind în vârful intruziunii, unde, datoritå uniformitå¡ii discretizårii, nu a fost posibilå utilizarea unor elemrnte cu latura mai micå. BIBLIOGRAFIE
1. P i e t r a r u , V . , Calculul infiltra¡iilor, Ed. Ceres, 1977. 2. S t e m a t i u , D . , Calculul structurilor hidrotehnice prin metoda elementelor
finite, Ed. Tehnicå, 1988. 3. N e u m a n , S . P . , W i t h e r s p o o n , P . A . , Finite element method of analyzung
steady seepage with a free surface, Water Resources Rewieu, Vol.6, No3, 1970. 4. S t e m a t i u , D . , T o m a , C . , Some coments on the finite element procedures for
analyzing steady seepage with a free surface, Bul. ¿t. al ICB, nr.2, 1989. 5. H â n c u , S . , ¿ i c o l e c t i v , Hidraulicå aplicatå. Simularea numericå a
mi¿cårii nepermanente a fluidelor, Ed. Tehnicå, 1985.
90
6. F r e e z e , A . , Influence of the unsaturated flow domain on seepage through earth dams, Water Resources Rewieu, No 4, 1971.
7. P i n d e r , G . F . , P a g e R . H . , Finite Element Simulaton of Salt Water
Intrusion on the South Fork of Long Island. In : Finite Element in Water Resources. London,1977.
8. B e a r , J . , Hydraulics of Groundwater. Mc. Graw Hill. New York.1979. 9. M a r s i l y , G d e , Quantitative Hydrogeology. Academic, San Diego,
California. 1986. 10. I s s a c s , L . T , H u n t , L . , A Simple Approximation for a Moving Interface in
a Coastal Aqufer. Journal of Hydrology. vol.77,1. 1986. 11. L e d o u x , E . , S a u v a g n a c , S . , R i v e r a , A . , A compatible Single-
Phase/Two-Phase Numerical Model. Groundwater, vol 28, Nr.1,1990.
12. S a u v a g n a c , S . , Les Intrusions Salines. Rapport de Memoire D.E.A. Ecole des Mines de Paris. 1987.
13. S t r a c k , O . D . L , A Single -Potential Solution for Regional Interface
Problems in Coastal Aquifers. Water Resources Research, vol12, Nr.6 , 1976.
91
5
MODELAREA MIªCÅRII APEI ¥N REGIM NESATURAT ¥n analiza ¿i gestiunea acviferelor la scarå regionalå se considerå aproape întotdeauna cå mi¿carea apei este în regim saturat. Chiar în cazul unui acvifer freatic, atunci când se urmåresc doar modificårile suprafe¡ei piezometrice sau ale bilan¡ului de debite, se considerå frecvent cå efectul zonei de aerare este nesemnificativ. Pentru o serie întreagå de probleme înså, procesele care au loc în zona nesaturatå capåtå importan¡å, inclusiv în analiza la scarå regionalå. Un exemplu îl constitue înså¿i alimentarea acviferului, prin infiltrarea apei de la suprafa¡å în adâncime: indiferent de natura sursei, artificialå sau naturalå, apa traverseazå o zonå nesaturatå, fapt care poate modifica atât ordinul de mårime, cât ¿i evolu¡ia în timp a debitelor de alimentare. ¥n zona nesaturatå au loc principalele procese de transformare chimicå sau biologicå, de degradare radioactivå, chimicå sau biologicå. Determinarea concentra¡iilor ini¡iale, sau cum este cazul compu¿ilor azotului, chiar a naturii poluantului face deci absolut necesar studiul curgerii ¿i a transportului în zona de aerare. Regimul de curgere nesaturat este descris de o ecua¡ie cu derivate par¡iale, nelinearå pentru care chiar ¿i în condi¡iile simple ale unei probleme monodimensionale nu dispunem de solu¡ii analitice explicite. Din aceastå cauzå analiza numericå a curgerii în regim nesaturat a permis nu numai evaluarea cantitativå dar ¿i în¡elegerea fenomenului. ¥n prima parte a acestui capitol vom prezenta, pe scurt, principalele caracteristici ale mi¿cårii apei în regim nesaturat ¿i formele ecua¡iei care descrie procesul. Partea a doua descrie aproximarea prin metoda elementelor finite a solu¡iilor acestei ecua¡ii precum ¿i principala metodå de rezolvare a ecua¡iilor nelineare, schema Picard.
92
5.1. RELAºII CONSTITUTIVE SUCºIUNE-UMIDITATE
Fårå a intra în detalii, consideråm înså necesarå pentru unitatea expunerii o prezentare succintå a principalelor caracteristici ale curgerii apei în regim nesaturat. Datoritå for¡elor de tensiune superficialå, la suprafa¡a de contact apå - aer, presiunea suferå o discontinuitate. Diferen¡a de presiune dintre cele douå faze, denumitå presiune capilarå, are atunci expresia:
p p pc a w= − , (5.1)
unde am notat prin: pc - presiunea capilarå; pa - presiunea aerului; pw - presiunea apei. Cum în general aerul din pori este la presiune atmosfericå, consideratå prin conven¡ie presiune de referin¡å (pa = 0), rezultå cå imediat sub menisc presiunea apei este negativå. ¥n condi¡iile modelului conceptual adoptat, acel al mediului continuu, for¡ele care pun în mi¿care fluidul derivå dintr-un poten¡ial scalar ϕ, sarcina hidraulicå având expresia cunoscutå:
ϕ ρ= +p gc z (5.2)
sau, ¡inând seama de semnul presiunii apei:
( )φ θ= +Ψ z , (5.3)
unde am notat cu ψ(θ)= -pc potentialul matricial sau suc¡iunea, iar prin θ umiditatea volumicå [1]. Având semnifica¡ia energiei specifice unitå¡ii de greutate, sarcina hidraulicå repezintå ca ¿i în cazul mi¿cårii în regim saturat suma a douå potentiale: potentialul gravita¡ional z ¿i potentialul presiunilor (matricial) ψ. Diferen¡a esen¡ialå între cele douå situa¡ii constå în faptul cå în regim nesaturat, poten¡ialul presiunilor este întotdeauna negativ. Experien¡a aratå cå suc¡iunea apei variazå pe un domeniu foarte larg, în func¡ie de gradul de satura¡ie: pornind de la zero pentru satura¡ie completå, presiunea tinde cåtre valori negative foarte mari pe måsurå ce satura¡ia tinde cåtre zero. Fiind func¡ie de dimensiunile ¿i geometria porilor, dependen¡a presiunii de gradul de satura¡ie este o caracteristicå specificå fiecårui material,
93
rela¡ia dintre aceste douå mårimi urmând så fie stabilitå empiric, ca rezultat al måsuråtorilor. Studiile experimentale [2], [3], [4]), au eviden¡iat nelinearitatea pronun¡atå a legii constitutive suc¡iune - umiditate, precum ¿i dependen¡a acesteia de drumul de încårcare, curba de drenaj fiind întotdeauna deasupra celei de alimentare (fig. 5.1).
Fig.5.1. Curbe caracteristice suc¡iune-umiditate. Indiferent înså de tipul de material, rela¡ia constitutivå este determinatå de douå valori caracteristice: - presiunea de prag, ψb care marcheazå începutul procesului de drenaj ¿i corespunde drenajului porilor cu diametru maxim; - presiunea remanentå (ireductibilå) ψr care reprezintå valoarea limitå a presiunii capilare pentru care mai este posibilå curgrea apei. Pentru valori care depåsesc valoarea remanentå suc¡iunea este independentå de umiditate, iar apa råmâne sub formå de apå legatå, având forma unor mici inele în jurul granulelor solide. Corespunzåtor presiunilor, distingem umiditatea de satura¡ie, respectiv umiditatea remanentå. Fårå a putea fi complet generalizate rezultatele experiementale realizate în ultimii ani au permis formalizarea empiricå a legii constitutive. Dupå cum se va vedea ulterior, din punct de vedere al modelårii numerice este mult mai avantajoaså exprimarea legii constitutive sub forma unei func¡ii suc¡iune - umiditate, decât sub formå tabelarå. Un studiu de laborator sau în situ presupune deci nu numai måsurarea perechilor de valori suc¡iune- umiditate, dar ¿i identificarea parametrilor empirici care intervin în rela¡iile constitutive.
94
Dintre legile empirice propuse s-au impus douå forme: - Rela¡ia van Genuchten [2], conform cåreia legea constitutivå are expresia:
( )( )θ θ
θ θ
α θ= +
−
+⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
rs r
n m
1 Ψ, (5.4)
cu:
nm
=−1
1; (5.5)
respectiv:
[ ]α = −−1
2 11 1
Ψb
m m/ ; (5.6)
- Rela¡ia Brooks - Corey [4], având forma:
( ) ( )θ θ θ θ
θ= + −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
s rb
nΨΨ
. (5.7)
¥n rela¡iile de mai sus am notat cu: ψ
b
θs,θr - umiditå¡ile la satura¡ie, respectiv remanentå. - presiunea de prag;
5.2. LEGEA DE MIªCARE (DARCY)
Varia¡ia conductivitå¡ii cu umiditatea este o consecin¡å a nelinearitå¡ii legii constitutive. Fizic aceasta se explicå prin faptul cå drenajul unei probe saturate începe prin golirea porilor cu diametrul cel mai mare. Pe måsurå ce umiditatea scade curgerea are loc prin pori cu diametrul din ce în ce mai mic, ceea ce implicå nu numai mic¿orarea sec¡iunii eficace de curgere, dar ¿i cre¿terea tortuozi¡åtii. Conductivitatea va fi deci o func¡ie descrescåtoare cu umiditatea, având valoarea maximå în cazul satura¡iei complete. Aceastå observa¡ie a permis introducerea no¡iunii de conductivitate relativå, Kr definitå ca raport între conductivitatea corespunzåtoare unui anumit grad de satura¡ie ¿i cea corespunzåtoare satura¡iei complete [5]. Dupå cum se poate observa din figura 5.2, conductivitatea variazå nelinear cu umiditatea. ¥n momentul când aceasta atinge valoarea remanentå, conductivitatea atinge valoarea zero ¿i mi¿carea apei înceteazå.
95
Fig.5.2. Curbe caracteristice conductivitate-umiditate. Trebuie men¡ionat faptul cå rela¡iile empirice pentru varia¡ia conductivitå¡ii cu umiditatea pot fi exprimate în func¡ie de aceia¿i parametri ca ¿i în cazul legilor constitutive. Astfel în cazul rela¡iei van Genuchten, varia¡ia conductivitå¡ii în func¡ie de umiditate are expresia:
( )K S Sr r rm mθ = • − −1 2 1 21 1/ /[ ( ) ] ] , (5.8)
unde am notat prin:
Srr
s r
=−−
θ θθ θ
.
Exprimând umiditatea în func¡ie de suc¡iune, conform legii constitutive (5.4) ob¡inem rela¡ia echivalentå între conductivitate ¿i suc¡iune:
96
( )( ) ( )[ ]
( )[ ]Kr
n n m
n mΨ
Ψ Ψ
Ψ=
− ⋅ +⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
+
− −1 1
1
12
2
α α
α/
. (5.9)
Dupå cum se observå, atât legea constitutivå, cît ¿i varia¡ia conductivitå¡ii cu umiditatea, depind, în afara valorilor caracteristice de curgere (satura¡ie completå ¿i remanentå), de un singur parametru empiric, n, care urmeazå så fie identificat. Odatå definitå varia¡ia conductivitå¡ii cu umiditatea (sau suc¡iunea), legea Darcy poate fi generalizatå ¿i pentru mi¿carea în regim nesaturat, în forma:
( ) ( )q K K Ki r ijs
x jxj
x j
= − = −θ∂ϕ∂
θ ∂ϕ∂
, (5.10)
unde s-au notat prin: qi - componentele fluxului; Ksij(θ) - componentele conductivitå¡ii în regim saturat. Legea Darcy poate fi exprimatå ¿i în func¡ie de suc¡iune, ¡inând seama de rela¡ia (5.3):
( )q K li i jx j
z=⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
θ∂∂Ψ
− , (5.11)
în care am notat prin 1z, versorul axei verticale, orientatå în jos.
5.3. ECUAºII DE MIªCARE A APEI ÎN REGIM NESATURAT
¥n schematizarea mediului continuu, ecua¡ia de mi¿care a apei în regim nesaturat se ob¡ine, ca ¿i în cazul curgerii în regim saturat, din combinarea legii de conservare a masei ¿i a legii Darcy. Conservarea masei revine la cunoscuta ecua¡ie de continuitate [5], care pentru densitate constantå a apei are forma:
∂θ∂
∂∂t
qx
i
i
= . (5.12)
97
Introducând legea Darcy în forma (5.10) ¿i ¡inând seama de expresia (5.3), ob¡inem formularea mixtå, umiditate - suc¡iune a ecua¡iei de curgere a apei în regim nesaturat:
( ) ( )∂θ∂
∂∂
θ ∂∂
θt x
Kx
Ki
ijj
z= −⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
Ψ. (5.13)
Ecua¡ia (5.13) este o ecua¡ie parabolicå, nelinearå cu douå necunoscute θ ¿i ψ. Forma acestei ecua¡ii poate fi simplificatå, prin eliminarea unor necunoscute, dar introducând caracteristici suplimentare de material. Astfel, exprimând varia¡ia temporalå a umiditå¡ii în func¡ie de suc¡iune, ob¡inem formularea în suc¡iune a ecua¡iei de mi¿care în regim nesaturat:
∂θ∂
∂θ∂
∂∂t t
= ⋅Ψ
Ψ, (5.14)
¿i:
( ) ( ) ( )Ct x
Kx
Ki
ijj
zΨΨ
ΨΨ
Ψ∂∂
∂∂
∂∂
= −⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
, (5.15)
unde prin Kz(ψ) am notat componenta verticalå a conductivitå¡ii. ¥n rela¡ia (5.15) am introdus o nouå caracteristicå de material, analoagå capacitå¡ii de înmagazinare din mi¿carea în regim saturat ¿i anume acumularea specificå, definitå de:
( )C ΨΨ
=∂θ∂
. (5.16)
Spre deosebire de regimul saturat unde capacitatea de înmagaziare este constantå în fiecare punct, acumularea specificå este func¡ie de umiditate, dar nu este o variabilå independentå: neglijând hysteresisul, acumularea specificå se determinå direct din curba caracteristicå, fiind inversul pantei acesteia. Dacå prin identificare, s-a ob¡inut o formå analiticå pentru legea constitutivå, de tipul rela¡iilor (5.4) sau (5.7), acumularea specificå se ob¡ine direct, prin derivare. ¥n forma datå de (5.15), mi¿carea în regim nesaturat este descriså tot de o ecua¡ie parabolicå, nelinearå, dar cu o singurå necunoscutå: suc¡iunea.
98
Ecua¡ia de mi¿care a apei în regim nesaturat poate fi formulatå numai în umiditate. Exprimând gradientul suc¡iunii în func¡ie de umiditate, legea Darcy devine:
( ) ( )q Kx
z Dx
Ki ijj
i jj
z= − ⋅ −⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
= −θ ∂∂θ
∂θ∂
∂θ∂
θΨ1 . (5.17)
Dupå cum se observå, ¿i de aceastå datå s-a introdus o nouå caracteristicå de material, difuzivitatea capilarå, definitå de:
( ) ( ) ( )( )
D KK
Ci j i ji jθ θ
∂∂θ
θθ
= =Ψ
. (5.18)
Cu aceste observa¡ii ob¡inem a treia formå a ecua¡iei de mi¿care în regim nesaturat sau formularea în umiditate:
( ) ( )∂θ∂
∂∂
θ ∂∂
θt x
Dx
Ki
ijj
z= −⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
Ψ. (5.19)
Indiferent de forma utilizatå, ecua¡ia de mi¿care a apei în regim nesaturat are solu¡ie unicå pentru condi¡ii ini¡iale ¿i de contur (Dirichlet sau Neumann) cunoscute. Exemplificarea acestor condi¡ii va fi fåcutå în paragraful urmåtor pentru problema monodimensionalå.
5.4. CAZ PARTICULAR. PROBLEMA MONODIMENSIONALÅ
(ECUAºIA RICHARDS)
Modelul monodimensional de curgere reprezintå schematizarea frecventå în analiza alimentårii prin infiltra¡ii din precipita¡ii. Forma cea mai råspânditå este formularea mixtå, în suc¡iune - umiditate, cunoscurå sub numele de ecua¡ia Richards:
( ) ( )∂θ∂
∂∂
∂∂
∂∂t z
Kz
K
z=
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ −Ψ
Ψ Ψ . (5.20)
¥n principiu, condi¡iile ini¡iale ¿i de margine pentru ecua¡ia Richards pot fi formulate fie în umiditate, fie în suc¡iune. ¥n practicå înså este dificil de determinat un profil vertical de suc¡iune. ¥n schimb, distribu¡ia umiditå¡ii pe
99
verticalå se poate måsura relativ u¿or, fie pe probe prelevate de la diverse adâncimi sau, mai precis, prin carotaj geofizic. Din aceastå cauzå condi¡ia ini¡ialå cea mai frecventå este formulatå în umiditå¡i :
( ) ( )θ z t z, = =0 0θ . (5.21)
Cunoscând înså ecua¡ia caracteristicå, putem calcula condi¡iile ini¡iale ¿i în suc¡iune:
( ) ( )( )[ ] ( )Ψ Ψθ θz t z z, = = =0 0 Ψ0 , (5.22)
unde θ0 este o func¡ie cunoscutå de z. Analog, condi¡ia de margine de tip Dirichlet poate fi exprimatå, prin intermediul legii constitutive, atât în umiditate, cât ¿i în suc¡iune în punctul de cotå z = 0.
( ) ( )θ θz t t= =0 1, , (5.23)
sau:
( ) ( )Ψ z t= =0 1, Ψ t , (5.24)
unde ψ1(t), respectiv θ1 (t) sunt func¡ii cunoscute de timp. Condi¡ia de margine cea mai frecventå este înså de tip Neumann, care exprimå fie infiltra¡ia eficace, fie pierderile din iriga¡ii sau tehnologice. Dacå notåm cu q(t) debitele de alimentare, atunci continuitatea componentei verticale a acestora conduce la:
( ) ( ) ( )q Kz
Kz
Kz ij= − = −θ∂ϕ∂
θ∂∂
θΨ
. (5.25)
Exprimatå numai în suc¡iune condi¡ia Neumann devine:
( )q Kz
=⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥Ψ Ψ∂
∂1− . (5.26)
100
5.5. SIMULAREA MIªCÅRII APEI ÎN REGIM NESATURAT PRIN
METODA ELEMENTULUI FINIT
¥n modelarea proceselor de curgere nelineare, aproximarea cea mai comodå este datå de metoda Galerkin. Vom rescrie ecua¡ia de mi¿care formulatå în suc¡iune (5.14), descriså de operatorul:
( ) ( ) ( ) ( )L x t Ct x
Kx
Kii
i jj
zΨ ΨΨ
ΨΨ
Ψ, , ≡ − −⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
=∂∂
∂∂
∂∂
0 . (5.27)
Pentru simplificarea expunerii, vom considera o problemå bidimensionalå ¿i vom aproxima varia¡ia suc¡iunii pe fiecare element, prin intermediul func¡iilor de interpolare Nj(xj) în forma:
( ) ( )Ψ ≈ = ⋅h N x y ti , Ψi , (5.28)
unde ψi sunt valorile nodale ale suc¡iunii. Fie R(h) reziduala operatorului L(h), ob¡inutå prin înlocuirea solu¡iei exacte ψ cu solu¡ia aproximativå h. Conform metodei Galerkin vom alege func¡iile de interpolare Nj, astfel încât reziduala R så fie "în medie" anulatå pe tot domeniul [6]. Avem deci:
( )L h N dVD j∫ = 0 , (5.29)
sau:
CNt x
KNt
K N dVji
ii j
ij z j iD
∂∂
∂∂
∂∂
Ψ Ψ Ψ− ⋅ −⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
⎧⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪=∫ 0 . (5.30)
Integrând prin pår¡i termenul care con¡ine derivata a doua se va transforma în:
KNx
N
xdV K
Nx
dV C N N dVi jDi
i
j
jj zD
i
ii jD∫ ⋅ + ∫ + ∫ −
∂∂
∂∂
∂∂
Ψ
(5.31)
− ∫ +⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟K
xe n di j
jj iΓ
Ψ Γ∂∂
.
101
¥n rela¡ia precedentå D reprezintå întregul domeniu analizat, mårginit de frontiera Γ, ej componentele versorilor axelor de coordonate ¿i ni componentele normalei exterioare la frontiera Γ. Deoarece în metoda elementului finit, func¡iile de interpolare sunt diferite de zero doar pe elementul analizat, ecua¡ia precedentå revine la rezolvarea sistemului diferen¡ial de ordinul întâi [6]:
A Bd
dtQi j j i j
ji⋅ + ⋅ − =Ψ
Ψ0 , (5.32)
unde matricile de influentå Aij ¿i B ij,, respectiv vectorul termenilor liberi Q i au expresiile:
( )A KN
x
N
xdVi j
Ni jD
i
i
j
jee
= ∑ ∫ ⋅Ψ∂∂
∂∂
, (5.33)
B C N Ni j
NDe i j edV= ∑ ∫ ( )Ψ , 6.34)
Q Kx
e n d KNz
dVij j j e zDei
eN e
11
= ∫ +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ − ∫∑ Γ Γ∂ψ
∂∂∂
. (5.35)
¥n rela¡iile precedente am notat cu De domeniul corespunzåtor unui element finit, mårginit de frontiera e, având versorii normalei exterioare ni,,; ej reprezintå versorii axelor de coordonate, iar N numårul total de elemente în care este discretizat domeniul. Examinând expresiile matricilor de influen¡å A ¿i B, constatåm cå ele sunt identice în formå cu cele din cazul mi¿cårii în mediul saturat. Diferen¡a esen¡ialå constå în dependen¡a conductivitå¡ii de suc¡iune ¿i implicit de timp. De aici rezultå caracterul nelinear al problemei. ¥n ceea ce prive¿te termenul liber Qi, el reprezintå suma a doi termeni: primul termen exprimå condi¡ia de tip Neumann pe frontiera elementului, iar cel de-al doilea are semnifica¡ia unui debit suplimentar, acumulat pe volumul elementar datoritå caracterului nesaturat al curgerii. Dupå cum se observå, însumarea se face pe toate elementele domeniului; cu alte cuvinte matricile generale se ob¡in prin simpla însumare a matricilor elementare. ¥n consecin¡å, termenii corespunzåtori condi¡iei Neumann vor fi nuli pentru orice nod interior sau pentru o limitå de flux nul ¿i diferi¡i de zero doar pentru limite cu flux impus diferit de zero.
102
5.6. INTEGRAREA SISTEMULUI DE ECUAºII. METODA PICARD
Sistemul de ecua¡ii care aproximeazå curgerea este nelinear, datå fiind varia¡ia coductivitå¡ii cu suc¡iunea. Integrarea sistemului de ecua¡ii ¿i impicit ¿i linearizarea acestuia, urmeazå înså aceea¿i cale ca ¿i în cazul mediului saturat: se împarte timpul pe care se desfå¿oarå procesul, în intervale suficient de mici ∆t, astfel încât varia¡ia coductivitå¡ii pe acest interval så fie linearå. ¥n acest fel poate fi aplicatå oricare din tehnicele de diferen¡e finite cunoscute. Så notåm deci cu ψ k, respectiv ψ k+1, valorile suc¡iunii la doi pa¿i succesiv de timp t ¿i
t+ ∆t. Fie ψk+ ω media ponderatå a suc¡iunii pentru un interval intermediar de timp t+ω∆t (ω<1), cuprins între t ¿i t+ ∆t, conform rela¡iei:
( )Ψ ΨK K+ = − +ω ω ω1 1Ψ K+ . (5.36)
¥n cazul în care ω =12
, valoarea medie este media aritmeticå a suc¡iunii la
capetele intervalului ∆t. Dacå în sistemul diferen¡ial (5.32) aproximåm derivatele temporale prin diferen¡e finite, ob¡inem:
A Bt
Qi j j i jjk
jk
iΨΨ Ψ
∆+
−− =
+1
0 . (5.37)
Pentru acela¿i interval de timp, matricile de influen¡å Aij, Bij ¿i vectorul Qi
sunt evaluate pentru valoarea medie Ψ k +ω a suc¡iunii Avem atunci:
( ) A Bt
Qijk k k
i jk j
kjk
ik+ + +
++− + +
−− =ϖ ω ϖω ωΨ1 01
1
ΨΨ Ψ
∆ . (5.38)
Schema Picard constå în simpla separare a termenilor la cele douå capete ale intervalului de timp. Ob¡inem deci:
( )ω ωωω
ω ωω
AB
tQ A
Bti j
kk
kik
i jk
jk
k
jk+
++ + +
+
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = + − +
∆Ψ Ψ
∆Ψ1 1 . (5.39)
Atât matricile de influen¡å, cât ¿i termenii liberi, trebuiesc deci evalua¡i la pasul de timp intermediar k+ω, ceea ce conduce la un aparent cerc vicios:
103
calculul solu¡iilor sistemului la pasul de timp k+1 necesitå valorile matricilor de influentå la pasul de timp intermediar k+ω, care la rândul lor, prin intermediul legii constitutive pentru conductivitate, depind de valorile suc¡iunilor la pasul de timp k+1, conform rela¡iei (5.36). Pentru rezolvarea acestei probleme schema Picard implicå estimarea valorilor la pasul k+1 prin extrapolarea suc¡iunilor la pasul de timp t, conform rela¡iilor [6]:
; Ψ Ψk k k+ =1 1, =
( )Ψ Ψ Ψ Ψ ∆∆
k k k k k
k
tt
k+ − += + − =1 1 1
22, ; (5.40)
( ) ( )Ψ Ψ Ψ Ψk k k kk k k kt t t t k+ −
+ −= + − >1 11 1 2log / / log / , .
Aceste rela¡ii permit utilizarea unor pa¿i variabili de integrare. Trebue remarcat faptul cå valorile extrapolate sunt utilizate doar pentru estimarea matricilor de influentå la începutul procesului iterativ. Cu aceastå observa¡ie, schema Picard comportå urmåtoarele secven¡e: 1. Pornind dela condi¡iile ini¡iale se extrapoleazå valorile suc¡iunii la pasul de timp urmåtor, conform rela¡iilor de mai sus. 2. Se calculeazå apoi valorile intermediare ale suc¡iunii, conform rela¡iei (5.36) ¿i, pe baza legii constitutive, se determinå valoarea corespunzåtoare a conductivitå¡ii relative. Aceasta permite calculul matricilor de influentå ¿i a termenilor liberi din sistemul general de ecua¡ii . 3. Odatå calculate matricile de influentå, se rezolvå sistemul de ecua¡ii (5.39), ob¡inând prima aproximatie ale valorilor ψk+1 .
4. Cu noile valori ψk+1 se recalculeazå valorile intermediare ψk+ω, respectiv conductivitå¡ile corespunzåtoare acestor valori ¿i, implicit, noile matrici de influen¡å. 5. Se repetå procedeul pânå când diferen¡a dintre douå valori succesive ale lui ψk+1 este mai micå decât o toleran¡å arbitrar aleaså. Se poate demonstra [8] cå pentru ω ≥ 1/2 procesul este necondi¡iont stabil. Avantajul metodei Picard constå în faptul cå, spre deosebire de alte metode, matricea generalå a sistemului î¿i påstreazå simetria pe tot parcursul procesului iterativ.
104
5.7. PARTICULARITźI ALE SIMULÅRII
PROBLEMELOR NELINEARE
Dupå cum se observå, schema Picard implicå un volum important de calcule, datorat în special numårului mare de itera¡ii pentru rezovarea nelinearitå¡ilor. ¥n plus, pentru fiecare itera¡ie nelinearå, este necesarå recalcularea matricilor de influe¡å ¿i a termenilor liberi. ¥n vederea mic¿orårii timpului de calcul se poate accelera convergen¡a solu¡iei prin tehnici de suprarelaxare ¿i, respectiv, se poate simpifica recalcularea matricilor, utilizând metoda coeficien¡ilor de influen¡å.
5.7.1. ACCELERAREA CONVERGENºEI
Fie ψo valorile lui ψk+1, ob¡inute în urma unei itera¡ii oarecare, ¿i ψa valorile ob¡inute în itera¡ia precedentå (secven¡a 3). Pentru a accelera convergen¡a solu¡iilor, în calculul suc¡iunilor la pasul intermediar de timp
ψ k+ω se introduc valori subrelaxate ale lui ψ k+1, conform rela¡iei :
( )Ψ Ω ΨK a+ = − +1 1 ΩΨ 0 , (5.41)
unde am notat cu ψK+1 valorile subrelaxate ¿i cu Ω factorul de subrelaxare. Valorile coeficientului de subrelaxare pot fi modificate empiric în cursul itera¡iilor [8] sau påstrate constante, având valori de cca 0.8. Procedeul s-a dovedit eficient, accelerând convergen¡a prin mic¿orarea numårului de itera¡ii [7].
5.7.2. METODA COEFICIENºILOR DE INFLUENºÅ ¥n cazul în care se utilizeazå elemente izoparametrice în determinarea matricilor de influen¡å, numårul cel mai mare de calcule este datorat integrårii Gauss, procedeu care trebuie repetat la fiecare itera¡ie. Metoda coeficien¡ilor de influen¡å [7] eliminå acest inconvenient, recurgând la urmåtoarele schematizåri:
− domeniul este discretizat doar în elemente dreptunghiulare sau triunghiulare;
− conductivitatea este constantå pe element; − pe întregul domeniu axele generale ale sistemului de referin¡å sunt
paralele cu componentele principale ale tensorului de conductivitate. ¥n aceste ipoteze, matricea de conductivitate Aij a unui element oarecare are expresia:
105
( )A KN
x
N
xdVei j
i
i
j
j
= ∫Ψ∂∂
∂∂
. (5.42)
Pentru exemplificare, så consideråm un element dreptunghiular de laturi m
¿i l. Func¡iile de interpolare au atunci expresiile:
( )
( )
( )
( )
N x yxl
ym
N x yxl
ym
N x yxl
ym
N x yxl
ym
1
2
3
4
14
12
12
14
12
12
14
12
12
14
12
12
, ;
, ;
, ;
, .
= −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
(5.43)
Aceasta permite integrarea analiticå a termenilor corespunzåtori din rela¡iile
( 5.42). Vom ob¡ine în final:
( ) ( )A Kml
A Klm
Ai j xxx
yyy= +Ψ Ψ , (5.44)
unde am notat cu Axx, Ayy matricile:
A ¿i Axx yy=
− −− −− −
− −
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
=
− −− −
− −− −
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
16
2 2 1 1
2 2 1 1
1 1 2 2
1 1 2 2
16
2 1 1 2
1 2 2 1
1 2 2 1
2 1 1 2
. (5.45)
Analog, ob¡inem pentru matricea B, respectiv pentru termenii liberi, expresiile:
106
cu:
( )[ ) Blm
C M ¿i QlK
F
M F
z
= = −
=
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
=−−
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
4 2
19
4 2 1 2
2 4 2 1
1 2 4 2
2 1 2 4
1
1
1
1
Ψ ,
.
(5.46)
Matricile Axx, Ayy ¿i M sunt independente de caracteristicile de material ¿i de dimensiunile elementului, fiind denumite din aceastå cauzå coeficien¡i de influen¡å. Expresii analoge pot fi calculate ¿i pentru elementele triunghiulare. Dupå cum se observå, în calculul coeficien¡ilor de influen¡å pentru termenii liberi F, s-au considerat doar condi¡ii de flux nul. Separarea termenilor nelinear ¿i integrarea analiticå simplificå foarte mult calculele în cadrul elementului, care sunt practic reduse la înmul¡irea coeficien¡ilor de influen¡å cu o constantå K(ψ).
5.8. EXEMPLE
• Infiltra¡ia verticalå într-un mediu stratificat. Problema propuså este tipicå pentru alimentarea acviferelor în regiuni semiaride, fie datoritå factorilor naturali (precipita¡ii) sau ai celor artificiali (pierderi industriale, agricole, etc). Structura geologicå a amplasamentului constå dintr-o alternantå de materiale slab permeabile (nisipuri pråfoase), semipermeabile (prafuri argiloase) ¿i slab permeabile (argile), fiecare având grosime de 15m. Caracteristicile materialelor (fig. 5.3) prezentate în tabelul 5.1, pun în eviden¡å contrastul mare de conductivitate de cca 1/1000.
Tabelul 5.1 Caracteristicile fizice ale materialelor
Material Ks
[cm/sec] θr
[%] θs
[%] ε
[%] α
[10-2cm-1] n [-]
Nisip 10-4 7.5 30 30 2.2 1.35 Praf 10-5 7.5 30 30 4.8 1.40
Argilå 10-8 7.5 40 40 2.8 2.40
107
Fig.5.3. Schematizarea condi¡iilor de margine în cazul infiltra¡iilor într-un mediu stratificat.
Fig.5.4. Caracteristicile materialelor pentru exemplul 5.1.
Pe baza acestor valori s-au calculat curbele caracteristice umiditate -suc¡iune, respectiv conductivitate relativå - suc¡iune conform rela¡iilor (5.4) ¿i (5.9). Figura 5.4 prezintå caracteristicile conductivitate - suc¡iune. Modelul a simulat evolu¡ia umiditå¡ii considerând cå la momentul ini¡ial toate materialele erau la satura¡ia remanentå. Condi¡iile de margine au fost de tip Neumann, sistemul fiind alimentat continuu cu un flux de 100 mm/an.
108
Deoarece s-a studiat doar infiltra¡ia pe verticalå, problema poate fi consideratå monodimensionalå. ¥n aceste condi¡ii, domeniul a fost discretizat în 600 de elemente dreptunghiulare, cu latura maximå de 50 cm, dimensiunile minime de 5 cm fiind la contactul dintre strate. Procesul poate fi analizat atât în umiditate, cât ¿i în suc¡iuni. Deoarece la contactul dintre strate umiditatea este discontinuå, simularea acestui parametru este improprie metodei elementului finit, care presupune continuitatea necunoscutei în noduri. ¥n consecin¡å, s-a modelat evolu¡ia suc¡iunii, iar umiditatea a fost recalculatå pe baza legii constitutive. Datoritå contrastului mare de proprietå¡i, s-a utilizat un pas variabil de timp, valorile minime fiind de 0.1 zile, iar cele maxime de 10 zile. Toleran¡a admiså a fost de 0.01 cm pentru suc¡iune, admi¡ând un numår maxim de 20 itera¡ii.
Fig.5.5. Evolu¡ia umiditå¡ii pe verticalå în cazul mediului stratificat.
109
Figura 5.5 prezintå varia¡ia umiditå¡ii pe verticalå, la diferite intervale de timp. Datoritå contrastului mare de conductivitate, mi¿carea este de tip piston: propagarea infiltra¡iei pe verticalå are loc numai dupå ce stratul superior a ajuns la satura¡ie. Procesul atinge regimul permanent dupå cca. 325 ani.
• Efectul unei lentile din material slab permeabil. Al doilea exemplu se referå la un mediu neomogen, caracterizat prin prezen¡a unor lentile slab permeabile, alcåtuite din mâluri ¿i argile [6]. Structura domeniului este prezentatå în figura 5.6.
Fig.5.6. Condi¡ii de curgere în cazul unei lentile slab permeabile. Curbele caracteristice prezintå în general varia¡ii lente ale suc¡iunii cu umiditatea. Din aceastå cauzå, nelinearitå¡iile în conductivitate sunt relativ slabe pentru nisipuri ¿i mâluri, iar pentru argile, caracteristica este practic linearå (fig. 5.7). ¥n consecin¡å, nu a fost posibilå identificarea parametrilor legilor constitutive, acestea fiind introduse tabular. Domeniul a fost discretizat într-o re¡ea neregulatå de 135 elemente, re¡ea care a fost rafinatå în zona de contact lentilå - nisip. Dimensiunile minime ale elementelor dreptunghiulare au fost de 0.75x 0.40m iar cele maxime de 1.2x1.4 m. Problema a fost din nou formulatå în suc¡iune, condi¡ia ini¡ialå fiind de suc¡iune nulå pe domeniu. Pe limitele superioare ¿i inferioare au fost impuse condi¡ii de tip Dirichlet: ψ=0 pe limita inferioarå, respectiv ψ= -7.5 m pe limita superioarå. Pe limitele laterale s-a impus condi¡ia de flux nul.
110
Fig.5.7. Curbe caracteristice pentru materialele exemplului 5.2.
Fig.5.8. Evolu¡ia umiditå¡ii pe verticalå. Efectul de lentilå.
111
Toleran¡a admiså pentru suc¡iune a fost de 10-4m, iar numårul maxim de itera¡ii de 12. Figura 5.8 prezintå douå profile de suc¡iune ¿i umiditate, rezultate pentru regimul sta¡ionar final. Prezen¡a lentilei este caracterizatå prin cre¿teri locale ale umiditå¡ii, înso¡ite de mic¿oråri corespunzåtoare ale suc¡iunii, efect cunoscut sub numele de efect de lentilå. BIBLIOGRAFIE
1. F e t t e r , C . W . , Contaminant Hydrogeology. John Willey & Sons, New York, 1990.
2. v a n G e nu c h t e n , M . , N i e l s e n , D . , On Describing and Predicting The
Hydraulic Properties of Unsaturated Soils. Ann.Geophysics vol. 3, No5.1985. 3. B r o ok s , R . , M . , C o r e y , D . , Properties of Porous Media Affecting Fluid
Flow. Proceedings of American Association of Civil Engineers. Irrigation and Drainage Division, Vol 92, Nr.IR 2, 1966.
4 . B e a r , J . , Hydraulics of Groundwater. Mc. Graw Hill, New York, 1979. 5. D o m e n ic o , P . , S . , S w a r t z , F . , Physical and Chemical Hydrogeology.
Macmillan Publishing Company, New York, 1992. 6. H u ya k o r n P . , T h om a s , S . ,T h oms o n , B . , Techniques for Making Finite
Elements Competitive In Modeling Flow in a Variable Saturated Porous Media. Water Resources Research, vol 20, Nr. 8, 1984.
7. H u ya k o rn P . , Sp r in ge r E . , G u va n se n V . , W a d sw o r t h . ,T . , A Three-Dimensional Finite Element Model for Simulating Water Flow in Variably Saturated Porous Media.Water Resources Research, vol. 22, Nr.13, 1986.
8. C oo l e y , R . L . , Some New Procedures for Numerical Solution of Variable-
Saturated Flow Problems. Water Resources Research, vol. 9,Nr. 5, 1983. 9. A l da ma , A . , W o o d , E . , Numerical Evaluation of Iterative and Noniterative
Methods for the Solution of the Nonlinear Richards Equation. Water Resources Research, vol. 27, Nr. 6, 1991.
10. P a n i c o n i C . , Pu t t i , M . , A Comparrison of Picard and Newton Iteration in
the Numerical Solution of Multidimensional Variably Saturated Flow Problems. Water Resources Research, vol. 30, Nr.12, 1994.
112
11. H u ya k o rn , P . , Sp r in ge r , E . , G u va n se n , V . , W a d s w o r t h ,T . , A Three-Dimensional Finite Element Model for Simulating Water Flow in Variably Saturated Porous Media. Water Resources Research, vol.22, Nr.13, 1986.
12. H uy a k o rn , P . , J o ne s , B . , A mde r se n , P . , Finite Element Algorithms
for Simulating Three-Dimensional Grounwater Flow and Solute Transport in Multilayer Systems. Water Resources Research, vol. 22, Nr.3, 1986.
13. H u ya ko rn , P . , T h om a s , S . , T h o m s on , B . , Techniques for Making Finite Elements Competitive In Modeling Flow in a Variable Saturated Porous Media. Water Resources Research, vol .20, Nr.8, 1984.
113
6
PROCESE CUPLATE ¥N ACVIFERE
¥n abordarea curentå a proceselor de curgere ¿i de transport în medii poroase, se considerå cå densitatea fluidului råmâne constantå. Consecin¡a acestei ipoteze este aceea cå vitezele alcåtuiesc un câmp solenoidal (rota¡ional nul). Datoritå acestui fapt curgerea ¿i transportul (masic sau termic) pot fi descrise de douå ecua¡ii independente. Chiar dacå ecua¡ia de transport presupune cunoa¿terea vitezelor, componentele acestora pot fi calculate numai din ecua¡ia de curgere, sarcina hidraulicå ¿i implicit viteza fluidului fiind independente de concentra¡ie sau de temperaturå. Sub ac¡iunea unor câmpuri exterioare, cum este câmpul geotermic, au loc varia¡ii importante ale densitå¡ii apei pe verticalå. Contrastul local de densitate conduce la apari¡ia for¡elor arhimedice care schimbå direc¡iile de curgere. In acela¿i timp mi¿carea fluidului modificå distribu¡ia normalå a temperaturilor. Are loc deci un proces cuplat în care vitezele de curgere ¿i temperaturile sunt interdependente, proces care nu mai poate fi descris de douå ecua¡ii independente ci de un sistem de ecua¡ii. Nu este neapårat necesar un câmp exterior pentru a avea loc un proces cuplat. Este suficient de exemplu ca acviferul så fie alimentat cu o solu¡ie a cårei desitate så difere mult de cea a apei din acvifer. Varia¡iile de concentra¡ie din timpul transportului conduc la un contrast de densitate ¿i implicit la apari¡ia unor for¡e arhimedice. Pe parcursul acestui capitol vom cosidera fluidul incompresibil, având deci densitatea independentå de presiune, dar dependentå de temperaturå sau concentra¡ie. Ipoteza este în evidentå contradic¡ie cu primul principiu al termodinamicii, dar rezultatele råmân valabile, atâta vreme cât nu se face echivalen¡a lucru mecanic - energie. Vom considera de asemenea varia¡ii mici ale densitå¡ii cu temperatura sau concentra¡ia, astfel încât legile constitutive så fie aproximate prin rela¡ii lineare de tipul [1] :
( ) ( ) ( )[ ]ρ ρ α ηC T T T C C, = − − + −0 01 0 , (6.1)
114
unde: ρ0 este densitatea apei la valorile de referin¡å ale temperaturii T0
¿i concentra¡iei C0; α - coeficientul de dilatare a apei; η - coeficientul de cuplaj masic. Pentru exemplificarea cuplajului densitar, så consideråm cazul proceselor termice ¿i, fie un punct oarecare situat la cota z. Varia¡ia densitå¡ii fluidului cu temperatura modificå termenul gravita¡ional din expresia sarcinii piezometrice H, mårimea care se måsoarå :
HpT g
z=ρ( )
+ , (6.2)
¥n cazul în care densitatea ar fi independentå de temperaturå, sarcina piezometricå ar fi egalå cu nivelul piezometric h definit de:
h=p/ρ0 g+z. (6.3)
Eliminând presiunea, ob¡inem rela¡ia dintre cele douå mårimi:
h H= + −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
ρρ
ρρ0 0
1 z (6.4)
sau în func¡ie de temperaturå:
( )h T H Tz H= zT− + ≅ +1 α α α . (6.5)
Datoritå valorilor reduse ale coeficientului de dilatare termicå, de cca. 10-4, diferen¡a dintre sarcina ¿i nivelul piezometric este de ordinul α T z. Aceastå diferen¡å este nesemnificativå în cazul unui gradient termic scåzut sau a unei cote reduse a punctului de måsurå; în cazul unor varia¡ii importante ale acestor douå mårimi pot apare înså modificåri esen¡iale ale procesului de curgere. Pentru a eviden¡ia acest aspect, så consideråm for¡ele generalizate care pun în mi¿care fluidul, reprezentate de gradientul hidraulic definit de:
i grad p g= − + ρ . (6.6)
Deoarece câmpul presiunilor este întotdeauna solenoidal (rot grad p = 0), rota¡ionalul gradientului devine:
115
rot i g x grad= ρ (6.7)
sau, ¡inând seama de legea constitutivå:
rot i grad T x g= − ⋅α ρ0 . (6.8)
Cum vitezele sunt propor¡ionale cu gradientul, conform legii Darcy, câmpul acestora este solenoidal numai dacå gradientul termic este vertical (izoterme orizontale). Este deci suficient ca într-o zonå a acviferului aceastå condi¡ie så nu fie îndeplinitå (spre exemplu, datoritå neomogeneitå¡ilor), pentru ca rota¡ionalul så nu mai fie nul. ¥n acest caz, particulele de fluid sunt supuse unui cuplu care le imprimå o mi¿care de rota¡ie. Acest proces, denumit convexie liberå sau naturalå prezin¡å douå aspecte: - instabilitå¡i locale în care rota¡ia particulelor are extindere limitatå în spa¡iu ¿i timp; - instabilitå¡i generale în care traiectoriile de rota¡ie ale particulelor sunt corelabile pe distan¡e mari; procesul este sta¡ionar ¿i genereazå celule de convexie ale cåror formå depinde de condi¡iile particulare ale acviferului. Spre deosebire de convexia for¡atå a fluidului, în care mi¿carea acestuia este datoratå surselor externe (diferen¡å de sarcinå pe contur, pu¡uri, etc), convexia liberå loc are în absen¡a oricåror altor surse ¿i este datoratå doar efectului densitar.
6.1. TRANSFERUL TERMIC ¥N ACVIFERE
Principala aproxima¡ie fåcutå la nivelul unui volum elementar reprezentativ este aceea cå transferul cåldurii între fazele solidå ¿i fluidå ale mediului poros este mult mai rapid decât viteza de propagare a frontului termic în acvifer. ¥n aceste condi¡ii, modelul conceptual al mediului continuu este justificat: mediul poros real este echivalat cu un mediu continuu care permite definirea parametrilor de stare (presiune, temperaturå, etc) sau de material (conductivitate termicå, cåldurå specificå, etc), ca func¡ii continui de punct. Viteza mare de transfer între cele douå faze va permite calculul unor parametrii de material echivalen¡i în func¡ie de parametrii corespunzåtori ai fluidului ¿i ai solidului. Vom considera de asemeni curgerea monofazicå, temperaturile ¿i presiunile având valori suficient de mici pentru a nu permite formarea vaporilor. Ecua¡ia de transfer termic se ob¡ine din combinarea a douå tipuri de legi: de continuitate ¿i legi de mi¿care.
116
Dacå legea de continuitate este o consecin¡å a modelului conceptual al mediului continuu, exprimând în fapt conservarea cåldurii la nivel local, legile de mi¿care exprimå legåtura dintre douå mårimi: fluxuri ¿i for¡e generalizate. Fluxul termic caracterizeazå viteza de transfer a cåldurii ¿i este definit drept cåldura care trece în unitatea de timp prin unitatea de suprafa¡å normalå pe direc¡ia de propagare. Conform defini¡iei date, fluxul termic este un vector, având componentele:
dQdt
J dAi= ν i , (6.9)
unde: Ji sunt componentele fluxului termic [ W/m.sec] ;
dQ - varia¡ia cåldurii [ J ] ; dA - elementul de arie [m2] ; νI
- componentele normalei exterioare la suprafa¡a dA.
For¡ele generalizate, care pun în mi¿care fluidul sunt reprezentate în cazul transferului termic de gradientul de temperaturå. Legåtura dintre fluxuri ¿i gradient reprezintå legea de mi¿care, care prin intermediul unor mårimi de material, parametri empirici, exprimå faptul cå prezen¡a unui gradient termic genereazå un flux termic, flux care are tendin¡a de a anula gradientul respectiv, aducând corpul într-o stare de echilibru. ¥n consecin¡å, procesele de transfer termic în acvifere sunt ireversibile relativ la curgere, în sensul cå inversiunnea sensului vitezelor nu restabile¿te distribu¡ia ini¡ialå de temperaturå.
6.2. FLUXURI TERMICE ¥N ACVIFERE
Transferul termic în acvifere este realizat prin suprapunerea simultanå a trei efecte: conductie, convexie ¿i dispersie termicå.
− Conduc¡ia termicå descrie transportul cådurii din aproape în aproape ca urmare a agita¡iei moleculare. La scarå macroscopicå transferul cåldurii prin conduc¡ie este descris de legea Fourier, care, în forma ei linearå, stabile¿te propor¡ionalitatea între componentele fluxului de conduc¡ie ¿i cele ale gradientului de temperaturå:
JTxCi i j
j
= −λ ∂∂
, (6.10)
117
unde: Jci sunt componentele fluxului de conductie; λij - tensorul conductivitå¡ii termice [ W/m . sec ] . ºinând seama de ipotezele enun¡ate (timp redus de transfer între fazele solide ¿i lichide) conductivitatea termicå din rela¡ia (6.10) este un coeficient global al mediului poros echvalent ¿i poate fi exprimat în func¡ie de valorile sale în cele douå faze [1], [2]:
( )λ λi j i js
fn= − +1 λ , (6.11)
unde: λ ij este conductivitatea fazei solide;
λ f - conductivitatea fluidului. ¥n faza solidå conductivitatea termicå este un tensor, date fiind proprietå¡iile anizotrope ale rocilor, pe când conductivitatea termicå a fluidului este un scalar.
− Convexia for¡atå. Acest proces constå în transportul cåldurii prin intermediul apei, cu viteza medie a acesteia. Spre deosebire de convexia naturalå (liberå), unde mi¿carea fluidului este datoratå exclusiv modificårii for¡elor masice, în cazul convexiei for¡ate cauza mi¿cårii este reprezentatå de sursele externe. Consecin¡å a defini¡iei date, legea de mi¿care în cazul convexiei for¡ate are forma:
J C Vai f i T= , (6.12)
unde: Jai sunt componentele fluxului de convexie; Cf - cåldura specificå a fluidului (J/Kg . grd K); Vi - componentele vitezei medii ale fluidului.
• Dispersia termicå este analogå dispersiei hidrodinamice ¿i descrie ca ¿i aceasta efectul neomogeneitå¡ii curgerii la nivel microscopic [3] . Fluxul dispersiv este deci descris de o lege analogå legii Fourier:
J DTxd i i j
i
= −∂∂
, (6.13)
unde Dij este tensorul macrodispersiei termice având, în aproxima¡ia Scheiddegger, expresia:
118
( )D a V a aV V
Vi j T i j L Ti j= + −δ , (6.14)
unde am notat cu: aL,aT - componentele longitudinale, respectiv transversale ale dispersivitå¡ii; Vi,Vj - componentele vitezei medii ale fluidului; V - viteza medie a fluidului; δij - matricea unitarå. Måsuråtorile aratå cå valorile dispersivitå¡ilor longitudinale aL, respectiv transversale aT sunt foarte apropiate de cele ale dispersivitå¡ilor mecanice [4]. Fluxul termic total qi este suma celor trei fluxuri elementare conduc¡ie, convectie for¡atå ¿i dispersie ¿i având deci componentele:
( )q DTx
C V Ti i j i ji
f i= − + +λ ∂∂
. (6.15)
6.3. ECUAºIA CÅLDURII
¥n absen¡a surselor, conservarea energiei pe un volum elementar, exprimå faptul cå diferen¡a diferenta dintre cåldura care intrå ¿i cea care påråseste volumul este egalå cu energia termicå acumulatå în volumul respectiv. ¥n ipoteza continuumului, ecua¡ia de bilan¡ are forma:
∂∂
∂∂
q
xC
Tt
i
i
= , (6.16)
unde C reprezin¡å cåldura specificå a mediului poros echivalent, definitå ca ¿i conductivitatea termicå în func¡ie de valorile solidului Cs, ¿i ale fluidului Cf
[1], [2]:
C = (1-nCs) + nCf .
ºinând seama de expresia fluxului termic total ob¡inem forma definitivå a ecua¡iei de transfer a cåldurii:
∂∂
∂∂
∂∂x
Tx
C VT CTti
i jj
fΛ −⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥= , (6.17)
119
unde Λ este conductivitatea generalizatå definitå ca sumå a conductivitå¡ii ¿i dispersiei termice:
Λi j i j i jD= +λ . (6.18)
Dupå cum se observå, conductivitatea generalizatå este un parametru global de material care grupeazå efectele disipative ale conductiei ¿i dispersiei termice care pentru majoritatea situatiilor întâlnite în practicå au acela¿i ordin de mårime. Pentru un domeniu D mårginit de frontiera Γ, ecua¡ia (6.17) are solu¡ie unicå pentru condi¡ii ini¡iale date:
( ) ( )T x y z t T x y z, , , , ,0 0= , (6.19)
respectiv condi¡ii de margine de tip Dirichlet sau Neumann: - temperaturå impuså pe contur (Dirichlet):
( )T x y z t TC, , ,Γ= ; (6.20)
- flux impus pe contur (Neumann):
− =Λ∂∂
Tn
qn . (6.21)
¥n rela¡iile (6.19)- (6.21) am notat prin: T0: temperatura ini¡ialå; TC: temperatura impuså pe frontierå; qn
T: fluxul impus pe frontierå;
6.4. CUPLAJUL PROCESELOR DE CURGERE ªI TRANSPORT
TERMIC
Dupå cum am aråtat mi¿carea apei în procesele termogravifice este generatå de gradientul presiunii ¿i de contrastul de densitate indus de varia¡ia temperaturii. Conform legii Darcy vitezele au atunci expresia:
Vk p
xgei
i j
jz= +
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟µ
∂∂
ρ , (6.22)
120
cu nota¡iile : kij - componentele permeabilitå¡ii; µ - vâscozitatea dinamicå; ez - versorul axei z, orientatå vertical în jos. Densitatea fiind func¡ie de temperaturå, este comod atunci så se exprime curgerea în func¡ie de nivelul piezometric ¿i nu în sarcinå sau presiuni. Vom introduce atunci o nouå mårime denumitå poten¡ial fictiv al curgerii sau un pseudopoten¡ial [5], definit ca nivel piezometric echivalent al apei la temperatura, respectiv densitatea de referin¡å:
hpg
z= +ρ0
. (6.23)
Legea Darcy poate fi la rândul ei formulatå în pseudosarcinå. Avem:
∂∂
ρ ∂∂
px
ghx
ej j
j= −⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟0
¿i:
Vk
ghx
Teii j
jj= − −
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟µ
ρ ρ∂
α0 . (6.24)
sau, explicitând componentele gradientului:
Vk
ghx
ehy
ehz
T ei j= − ⋅ + + −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥µ
ρ ∂∂
∂∂
∂∂
α1 2 3 . (6.25)
¥n forma (6.25), legea Darcy exprimå legåtura, cuplajul, dintre cele douå câmpuri care pun în mi¿care fluidul: gradientul sarcinii hidraulice fictive, respectiv câmpul termic. Revenind la ecua¡ia de mi¿care a apei, ecua¡ia de continuitate are forma cunoscutå:
( ) ( )∂∂
ρ ∂∂
ρx
qt
ni
f i = . (6.26)
121
Introducând legea Darcy (6.24 ) ¿i ¡inând seama de varia¡ia porozitå¡ii cu presiunea [3], [6], putem exprima ecua¡ia de continuitate în func¡ie de pseudosarcinå:
∂∂
ρµ
∂∂
ρ ∂∂
∂ρ∂
∂∂
∂ρ∂
∂∂x
k px
gept
nt
Sg
pt
nt
Tti
fi j
jj−
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥= + = ⋅ + ⋅ . (6.27)
unde am notat cu S capacitatea de înmagazinare. Derivatele densitå¡ii pot fi exprimate în func¡ie de temperaturå, conform legii constitutive (6.1):
∂ρ∂
ρ αT= − 0 . (6.28)
¥n mod asemånåtor, derivatele temporale ale presiunii pot fi exprimate la rândul lor în func¡ie de pseudosarcinå:
∂∂
ρ ∂∂
pt
ght
= 0 . (6.29)
Dacå într-o primå aproxima¡ie vom considera conductivitatea hidraulicå independentå de temperaturå, ecua¡ia de curgere (6.27) devine:
∂∂
∂∂
α ∂∂
α ∂∂x
Khx
Te Sht
nTti
i jj
j−⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥= − . (6.30)
¥n forma prezentatå, ecua¡ia precedentå pune în evidentå efectul temperaturii asupra procesului de curgere a apei prin modificarea for¡elor masice, (termenul αT ej), respectiv varia¡ia volumului acumulat datoritå dilatårii apei (termenul n.α∂T/∂t). ¥mpreunå cu ecua¡ia (6.17), rela¡ia (6.30) alcåtuie¿te un sistem de ecua¡ii care descriu mi¿carea simultanå a apei ¿i respectiv transportul cåldurii. Aceste douå procese sunt intercondi¡ionate (cuplate): mi¿carea apei influen¡eazå transportul cåldurii prin termenii convectivi ¿i dispersivi, iar cåldura, la rândul ei, influen¡eazå curgerea prin modificarea for¡elor masice.
122
6.5. CUPLAJUL MASIC ¥N ACVIFERE
¥n analiza transportului solu¡iilor, s-a fåcut tacit ipoteza independen¡ei concentra¡iei de densitate. Cu alte cuvinte, s-a considerat cå modificarea concentra¡iei solu¡iei este suficient de micå pentru ca varia¡ia densitå¡ii acesteia så poatå fi negljatå. Ca urmare a acestei ipoteze, curgerea ¿i transportul solu¡iilor sunt descrise de douå ecua¡ii independente, singura legåturå dintre ele fiind datå de viteza medie a apei care intervine în termenul convectiv ¿i în componentele coeficientului de dispersie [3], [4]. Linearitatea ¿i independen¡a ecua¡iilor permit analiza decuplatå a procesului de transport: la fiecare pas de timp se rezolvå ecua¡ia de curgere, din legea Darcy se calculeazå vitezele, care, odatå introduse în ecua¡ia de transport, conduc la o ecua¡ie cu derivate par¡iale cu o singurå necunoscutå- concentra¡ia [7]. Satisfåcåtoare în multe cazuri de analizå a transportului poluan¡ilor, ipoteza neglijårii varia¡iei densitå¡ii cu concentra¡ia conduce la un model nereprezentativ atunci când existå un contrast puternic de densitate între fluidul injectat de surså ¿i cel din acvifer. Exemple de acest fel sunt reprezenate de acviferele costiere sau de poluarea cu hidrocarburi. ¥n capitolul precedent, analiza acestor procese a fost fåcutå într-o altå ipotezå ¿i anume s-a considerat o interfa¡å netå între cele douå faze, prin neglijarea zonei de tranzitie ¿i, implicit, a dispersiei hidrodinamice. ¥n multe cazuri ¿i aceastå ipotezå este restrictivå, zona de tranzi¡ie având extindere de ordinul kilometrilor, iar no¡iunea de interfa¡å netå nu mai are sens. ¥n cazul unor condi¡ii izoterme, legea constitutivå exprimå, printr-o rela¡ie linearå, legåtura dintre densitate ¿i concentra¡ie în forma [8]:
( ) ( )[ρ ρ δ ρ η= + −⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ = + −0 0 01 1
CC C C C
s]0 . (6.31)
¥n rela¡ia precedentå, am notat cu Cs concentra¡ia solu¡iei corespunzåtoare densitå¡ii maxime ρs, , cu ρ0 densitatea corespunzåtoare concentra¡iei de referin¡å C0 , iar cu δ contrastul de densitate definit de:
δρ ρρ
=−s
0
0 . (6.32)
Parametrul η definit de:
η δ=
Cs
(6.33)
123
este un parametru de cuplaj între densitate ¿i concentra¡ie, analog coeficientului de dilatatre α în cazul transportului termic. Ecua¡iile de mi¿care se deduc urmând procedeul folosit în cazul transportului termic. Fie deci ecua¡ia de curgere (6.26), care în cazul în care înmagazinarea elasticå este datoratå numai compresibilitå¡ii verticale a acviferului ¿i compresibilitå¡ii apei are forma:
∂∂
ρµ
∂∂
ρ ∂∂
η ∂ρ∂x
k px
geSg
pt ti
i j
jj+
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥= ⋅ + . (6.33)
Exprimând varia¡ia temporalå a densitå¡ii în func¡ie de concentra¡ie ¿i ¡inând seama de legea constitutivå (6.31), ecua¡ia precedentå devine:
∂∂
ρµ
∂∂
ρ ∂∂
∂ρ∂
∂∂x
k px
geSg
pt
nC
Cti
i j
jj+
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥= ⋅ + ⋅ . (6.34)
ªi în acest caz, este mai convenabilå formularea în pseudosarcina definitå pentru densitatea de referin¡å ρ0 [8]:
hpg
z= +ρ0
. (6.35)
Fie deci H sarcina hidraulicå realå, mårimea care se måsoarå, corespunzåtoare densitå¡ii ρ:
( )H p
C gz=
ρ+ . (6.36)
Eliminând presiunile între rela¡iile precedente, ob¡inem, ca ¿i în cazul transportului termic, rela¡ia între sarcinile reale ¿i cele fictive:
( ) ( )( ) ( )H
hh z z
h C C z
C Ch C C= − + =
+ −
+ −≅ + −
ρηη
η0
001
z . (6.37)
Derivatele temporale ¿i cele spa¡iale ale presiunii au atunci expresiile:
124
∂∂
ρ ∂∂
pt
ght
= 0 , (6.38
respectiv:
∂∂
ρ ∂∂
px
ghx
ej j
j= −⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟0 . (6.39)
Substituind rela¡iile (6.38) ¿i (6.39) în ecua¡ia (6.34), ob¡inem forma definitivå a ecua¡iei de curgere:
∂∂
∂∂
η ∂∂
η ∂∂x
khx
Ce Sht
nCtj
i jj
j+⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥= + . (6.40)
Legea Darcy poate fi, la rândrul ei, exprimatå în func¡ie de sarcina fictivå ¿i de coeficientul de cuplaj. Avem:
V Khx
Cei ijj
j= − +⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
∂∂
η . (6.41)
Pentru un domeniu D, mårginit de frontiera Γ, condi¡iile ini¡iale ¿i de margine, care asigurå unicitatea solu¡iei ecua¡iei (6.40), au forma:
( ) ( )h x y z h x y z, , , , ,0 0= . (6.42)
respectiv: - condi¡ii Dirichlet:
( )h x y z t h, , ,Γ= 1 ; (6.43)
- condi¡ii Neumann:
Vi i nqν = , (6.44)
¥n rela¡iile precedente am notat prin: h0 - sarcina la momentul ini¡ial t0 ; h1 - nivelul impus pe frontiera Γ; νi - cosinu¿ii directori ai normalei exterioare pe por¡iunea de frontierå unde compnenta normalå a fluxului este qn.
125
¥n ceea ce prive¿te ecua¡ia de transport, aceasta are forma cunoscutå [3]:
∂∂
∂∂
∂∂x
DCx
V C nCti
i jj
i−⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥= , (6.45)
pentru care condi¡iile ini¡iale ¿i de contur sunt:
( )C x y z C, , ,0 0= , (6.46)
respectiv, pe frontiera Γ a domeniului: - Concentra¡ie impuså (problema Dirichlet)
( )C x y z t C, , ,Γ= 1 (6.47)
sau: - Flux impus (problema Neumann):
DCx
V C qi jj
i i i F ti∂∂
ν ν− = . (6.48)
¥n rela¡iile (6.45-6.48) am notat cu C0 concentra¡iile ini¡iale, cu C1 concentra¡iile impuse pe frontierå, cu qn componentele normale ale
fluxului total impus pe frontierå. Ecua¡iile (6.40) ¿i (6.45) alcåtuiesc, ca ¿i în cazul transportului termic, un sistem de douå ecua¡ii cuplate, în care distribu¡ia sarcinii este dependentå de concentra¡ia solu¡iei prin intermediul coeficientului de cuplaj η, iar la rândul ei concentra¡ia depinde prin termenii convectivi ¿i dispersivi de sarcina fictivå h.
6.6. STABILITATE HIDRODINAMICÅ
Dupå cum am aråtat în primul paragraf, convexia naturalå este datoratå varia¡iei for¡elor masice, care ac¡ioneazå asupra fluidului. Contrastul de densitate se realizeazå direct, datoritå diferen¡ei de concentra¡ie a solu¡iei, sau indirect, ca urmare a dilatårii fluidului sub actiunea gradientului termic. For¡a care induce mi¿carea este deci, for¡a arhimedicå, care se exercitå asupra zonelor cu densitate scåzutå, ordinul de mårime al for¡ei fiind dictat de gradientul termic
126
(sau de concentra¡ie) local. Procesul se complicå prin faptul cå la rândul ei distribu¡ia temperaturii sau a concentra¡iei este modificatå de mi¿carea convectivå a apei. Pentru exemplificare, så consideråm un strat orizontal în echilibru, supus unui gradient termic uniform ¿i så consideråm o particulå încålzitå, mai pu¡in denså decât fluidul înconjuråtor. For¡a ascensorialå fiind orientatå vertical în sus este suficient un impuls oricât de mic pentru ca aceastå particulå så fie puså în mi¿care ¿i så urce spre partea superioarå a stratului. Ra¡ionamentul poate fi repetat ¿i pentru o particulå mai rece - ¿i mai grea - din partea superioarå a stratului, care va începe så coboare. Convexia naturalå este rezultatul acestor mi¿cåri ascendent-descendente. ¥n acela¿i timp, mi¿carea fluidului este atenuatå de doi factori care mic¿oreazå impulsul ini¡ial: frecarea vâscoaså a particulei în mi¿care ¿i disiparea cåldurii prin conduc¡ie termicå lateralå. ¥n consecin¡å, acest proces odatå generat nu este sta¡ionar; ca urmare a celor douå cauze men¡ionate (frecarea ¿i conduc¡ia) fluidul tinde så se omogenizeze din punct de vedere termic ¿i reintrå în echilibru. Aparitia unui proces convectiv sta¡ionar este deci condi¡iionatå de timp: dacå timpul de disipare a cåldurii este mai mic decât timpul de parcurs al unei lungimi oarecare (de exemplu grosimea stratului) impulsul ini¡ial se atenueazå ¿i convexia liberå nu se dezvoltå. Cantitativ, rela¡ia dintre elementele care conduc la apari¡ia celulelor de convexie poate fi exprimatå cu ajutorul unui numår adimensional, numårul Rayleigh, care este raportul dintre for¡a arhimedicå ¿i frecarea vâscoaså. Så consideråm un strat orizontal de grosime H supus unei diferen¡e de temperaturå ∆T ¿i fie o sferå de fluid de razå r [9]. Dacå aceastå sferå se deplaseazå dela o regiune caldå la una mai rece, timpul necesar echilibrului termic, timp de relaxare, τ se deduce din legea Fourier:
( )τλ
ρ=r
Cf
2
. (6.49 )
Deci la un moment dat t, temperatura sferei care se deplaseazå vertical cu viteza V este egalå cu temperatura mediului înconjuråtor la un moment anterior t-τ, ceea ce conduce la o diferen¡å de temperaturå sferå- mediu δT, având expresia:
( )δ τλ
ρTT
HV
TH
Vr
Cf
= =∆ ∆ 2
. (6.50)
Diferen¡a de temperaturå conduce la rândul ei la o diferen¡å de densitate care genereazå o for¡å arhimedicå, având expresia:
127
( )F Ta = ρα δ 2r g . (6.51)
Dacå într-o primå aproxima¡ie vom asimila mediul poros cu o structurå de sfere de razå r, pentru care permeabilitatea este propor¡ionalå cu påtratul razei sferelor, for¡a ascensorialå devine:
F g rT
HV
ka = ρ α
λ03 ∆ . (6 .52)
Conform legii Stockes for¡a vâscoaså de atenuare are expresia:
Fd rV= 6π µ (6.53)
¥n cazul în care for¡a ascensorialå depå¿e¿te frecarea vâscoaså, mi¿carea tinde så se amplifice pe tot domeniul. Cum raportul dintre cele douå for¡e depinde de volumul sferei, se poate considera, într-o primå aproxima¡ie, cå instabilitatea generalå apare când dimensiunile particolei sunt comparabile cu cele ale stratului (r=H), iar raportul dintre for¡a ascensorialå ¿i vâscozitatea depå¿e¿te o anumitå constantå. Deci, pentru r=H, criteriul de instabilitate devine:
( )R g
C kTH Cons ta
f= >αρ
ν λ∆ tan (6.54)
sau:
Ra RaCrt> . (6.55)
Instabilitatea apare atunci când numårul Rayleigh, definit de rela¡ia (6.54) depå¿e¿te un anumit prag. Acest prag, valoarea criticå a numårului Rayleigh, poate fi deduså analitic prin metoda micilor perturba¡ii [2], [9]. Pentru acelea¿i caracteristici ¿i geometrie a stratului, valorile critice depind de condi¡iile de margine. Toate rezultatele sintetizate în tabelul 6.1. se referå la schematizåri simple atât, în ceea ce prive¿te proprietå¡ile mediului (omogenitate, izotropie), cât ¿i condi¡iile de margine legate de limite impermeabile sau adiabate. Acviferul este deci izolat termic ¿i hidraulic de stratele adiacente, iar celulele care se formeazå sunt simetrice ¿i au extinderea egalå cu grosimea stratului (fig. 6.1.).
128
Tabelul 6.1
Valorile numårului Rayleigh pentru diferite condi¡ii de margine [10]
Limita inferioarå
Limita superioarå RaCr
hidraulic termic hidraulic termic Impermeabil Izoterm Impermeabil Izoterm 4π2
Impermeabil Izoterm Impermeabil Adiabatå 27.1 Impermeabil Adiabatå Impermeabil Adiabatå 12.0 Impermeabil Izoterm Suprafa¡a
liberå Izoterm 27.1
Impermeabil Adiabatå Suprafa¡a liberå
Izoterm 17.65
Impermeabil Izoterm Suprafa¡a liberå
Adiabatå π2
Fig.6.1. Valori critice ale numårului Rayleigh în func¡ie de rapoartele de anizotropie. Prezen¡a anizotropiei schimbå geometria celulelor, acestea devenind asimetrice ¿i extinse pe direc¡ia principalå de anizotropie. La rândul såu, numårul Rayleigh î¿i schimbå expresia, iar valorile sale critice pot fi exprimate în func¡ie de raportul de anizotropie [10]:
( )Ra
g H TK K
K K
f H v
H H v v
=+
>ρ αγ
µ λ λπ
∆2
2 , (6.59)
unde Kv, KH sunt permeabilitå¡ile verticale, respectiv orizontale iar λv, λ H sunt conductivitå¡ile termice verticale, respectiv orizontale.
129
Fig.6.2. Celule de convexie generate într-un strat izolat. Figura 6.2 prezintå distribu¡ia valorilor critice pentru diverse rapoarte de anizotropie termicå ¿i hidraulicå. Din examinarea valorilor, se constatå cå anizotropia orizontalå a conductivitå¡ii termice conduce, chiar în condi¡iile unui mediu izotrop din punct de vedere hidraulic, la mic¿orarea valorii critice a numårului Rayleigh. Dacå pentru aceste condi¡ii simple ¿i în cazul unui acvifer izolat metoda micilor perturba¡ii permite analiza termoconvexiei, situa¡iile mai complicate nu pot fi analizate decât numeric.
BIBLIOGRAFIE
1. B u r g e r , A . , R e c o r d o n , E . , B o v e t , D . , C o t t o n , L . , S a u g u y , B . , Thérmique des Nappes Souterraines. Presses Polytechniques Romandes, 1985.
2. C o m b a r n o u s , M . , B o r i e s , S . , Hydrothermal Convection in Saturated
Porous Media. Advances in Hydrosciences, vol 10, Mc Grow-Hill, New-York, 1975. 3. B e a r , J . , Hydraulics of Groundwater, Mc. Graw Hill, New York.1979. 4. M a r s i l y , G d e , Quantitative Hydrogeology, Academic, San Diego, California, 1986.
130
5. W o o d b u r y , A . D . , S m i t h , L . , On the Thermal Effects of Threedimensional Groundwater Flow, Journal Geophysical Research, vol 90, no B1, 1985. 6. Z a m f i r e s c u , F l . , Hidrogeologie. Dinamica apelor Subterane, Ed. Universitå¡ii, Bucure¿ti 1995. 7. D a n c h i v , A l . , Simularea Numericå a Transportului Contaminan¡ilor în Acvifere. Hidrotehnica, vol 24, Nr.3, 1987. 8. H u y a k o r n , P . , A n d e r s o n , P . , M e r c e r , J . , W h i t e , H . , Saltwater Intrusion Developement and Testing of a Three-Dimensional Finite Element Model. Water Resources Research, vol 23, Nr.2, 1987.
9. B o r i e s , S . , Natural Convection in Porous Media. Advances in Transport Phenomena in Porous Media (editori J.Bear siY.Corpacioglou). M. Nijhof Publishers, Dordrecht, 1985. 10. W u , H . , F . , Modelisation Tridimensionnelle du Transport d’Eau, de Chaleur et de Masse dans l’Aquifere Geothermique du Dogger dans le Bassin de Paris. These, Ecole des Mines De Paris.
131
7
SIMULAREA NUMERICÅ A PROCESELOR CUPLATE
Indiferent de natura lui, masicå sau termicå, cuplajul densitar conduce la modificarea termenului gravita¡ional din expresia sarcinii hidraulice. Consecin¡å a acestui fapt, componenta verticalå a vitezei variazå în lungul grosimii acviferului, iar principala schematizare utilizatå în hidrogeologie - schematizarea Dupuit î¿i pierde valabilitatea. Problemele cuplate sunt deci tridimensionale, iar rezolvarea lor necesitå, pe lângå un volum important de calcul, ¿i o memorie internå apreciabilå. Extinderea memoriei este cerutå de rezolvarea sistemului de ecua¡ii prin metode exacte, datoritå lå¡imii mari de bandå a matricilor de influen¡å, chiar dacå aceste matrici sunt matrici rare, majoritatea termenilor acestora fiind nuli. Pornind de la aceastå observa¡ie, metoda fâ¿iilor succesive, pe care o vom prezenta în continuare, eliminå în mare måsurå inconvenientul memoriei extinse. Dezvoltatå în perioada 1984-1987, metoda fâ¿iilor succesive permite rezolvarea problemelor tridimensionale ca o succesiune de probleme plane [1], [2]. Particularitatea metodei constå într-o aparentå restric¡ie ¿i anume aceea cå orice discretizare spa¡ialå poate fi realizatå printr-o succesiune de fâ¿ii verticale sau orizontale (fig. 7.1). ¥n acest fel sistemul general de ecua¡ii este parti¡ionat într-un numår de subsisteme, corespunzåtoare fiecårei fâ¿ii care sunt rezolvate succesiv printr-o metodå exactå, iar legåturile dintre fâ¿ii se calculeazå prin metode iterative. Din punct de vedere numeric, al rezolvårii sistemului de ecua¡ii, metoda fâ¿iilor succesive este deci o combina¡ie între metodele de rezolvare exactå ¿i cele iterative. Restric¡ia constå în faptul cå toate fâ¿iile trebuie så aibå acela¿i numår de noduri, ceea ce, ca orice uniformitate în discretizare, conduce la un numår mai mare de necunoscute. Prin rezolvarea succesivå pe fâ¿ii se realizeazå înså o importantå economie de memorie, datoratå nu numai faptului cå se påstreazå în memorie un numår de ecua¡ii egal cu numårul de noduri corespunzåtor unei fâ¿ii, dar mai ales faptului cå lå¡imea maximå a benzii este datå de numårul de
132
noduri interconectate pe o singurå fa¡å a fâ¿iei, ca în orice problemå bidimensionalå ¿i nu de toate legåturile unui nod, ca în problemele tridimensionale.
Fig.7.1. Discretizarea unui domeniu tridimensional în fâ¿ii plane: a - fâ¿ii orizontale; b - fâ¿ii verticale.
7.1. METODA ELEMENTELOR FINITE ¥N MODELAREA
PROCESELOR CUPLATE
Pentru exemplificare, vom considera cuplajul termic ¿i vom rescrie ecua¡iile
(5.17) ¿i (5.30) care descriu transferul de cåldurå, respectiv curgerea apei:
L Tx
Tx
C VT CTti
ijj
f1 ( ) ≡ −⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥=
∂∂
λ ∂∂
∂∂
; (7.1)
133
L hx
Khx
Te Sht
nTti
ijj
j2 ( ) ≡ −⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥= −
∂∂
∂∂
α ∂∂
α ∂∂
. (7.2)
Vom discretiza domeniul în fâ¿ii verticale sau orizontale (fig. 7.2) ¿i fie un element oarecare în care nodurile 1 - 2 - 3 - 4, respectiv 5 - 6 - 7 - 8, apar¡in celor douå fe¡e ale fâ¿iei.
Fig.7.2. Tipuri de elemente prizmatice: a - patrulatere; b - triunghiulare. Fie Ni func¡iile de interpolare, astfel încât distribu¡iile temperaturilor ¿i ale sarcinilor pe întregul element sunt aproximate prin:
T x y z N Ti ii
( , , ) = ∑=1
8 (7.3)
¿i:
h x y z N hi ii
( , , = ∑=1
8, (7.4)
unde am notat cu Ti ¿i hi valorile nodale ale temperaturilor, respectiv ale sarcinii hidraulice. Prin aplicarea metodei Galerkin, cei doi operatori, L1 ¿i L2 sunt aproxima¡i cu douå sisteme diferen¡iale de ordinul întâi. Astfel mi¿carea apei este descriså de sistemul:
A h Bdh
dtFij j ij
ji+ = , (7.5)
iar transportul cåldurii este aproximat de un sistem analog:
134
E T HT
tPij j ij
ji+
∂=
∂ . (7.6)
Conform algoritmului prezentat în capitolele anterioare, matricile de influen¡å, respectiv vectorii termenilor liberi au urmåtoarele expresii:
A KN
x
N
xdVij ijV
i
i
j
jel= ∫
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟∑
∂∂
∂
∂ (i, j = x, y, z) ; (7.7)
B SN Nij j iV
eldV= ∫∑ ; (7.8)
F N V d nN NT
tdV K
N
ZN T dVi i n
elV i j
i
el elij V
ij j= ∫ +∑ ∫∑ − ∑ ∫
ρρ
α∂∂
α∂∂
0 ΓΓ . (7.9)
Analog, pentru ecua¡ia de transport termic avem:
EN
x
N
xVN
N
xdVij ij
j
j
j
ji
j
jV
el= +
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟∫∑ λ
∂∂
∂∂
∂∂
; (7.10)
H nN Nij V i j
eldV= ∫∑ ; (7.11)
P NTx
di i ij ij
iel
=⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟∫∑ λ ∂
∂ν ΓΓ . (7.12)
¥n rela¡iile (7.7) - (7.11), unde însumarea se face pe toate elementele domeniului, iar integrarea pe un singur element, s-au folosit urmåtoarele nota¡ii: V - volumul elementului "e"; Γ - suprafa¡a care mårgine¿te elementul; T - temperatura impuså pe suprafa¡a B; ni - componentele versorului normalei exterioare la suprafa¡a Γ. Dupå cum se observå, matricile de influen¡å Aij ¿i Bij sunt identice cu cele din cazul curgerii unui fluid omogen din punct de vedere termic. Ele sunt deci matrici simetrice ¿i de tip bandå. Singura modificare fa¡å de mi¿carea unui fluid omogen apare în termenii liberi ¿i exprimå cuplajul termic, care, a¿a cum am aråtat în capitolul 5, modificå for¡ele masice. Termenul liber este suma a trei componente. Prima componentå are forma:
135
F N Vi ie
1 0= ∫∑ dn
ρρ
ΓΓ (7.13)
¿i reprezintå condi¡ia Neumann pe suprafa¡a Γ, care mårgine¿te elementul. Continuitatea debitelor implicå anularea acestui termen în orice nod interior. Ultimii doi termeni caracterizeazå cuplajul transport de cåldurå - curgere ¿i anume influen¡a varia¡iei temperaturii asupra mi¿cårii apei . Astfel componenta a doua, având forma:
F KN
ZN T dVi V ij
ij j
e
2 = − ∫∑ α∂∂
(7.14)
reflectå modificarea for¡elor masice datorate varia¡iei densitå¡ii apei cu temperatura. ¥n fine, ultimul termen:
F nN NT
tVi i j
j
el
3 = ∫∑ α∂∂
∂ , (7.15)
reflectå varia¡iile înmagazinårii apei, datoritå varia¡iei temperaturii. Aparent, ecua¡ia de transport este independentå de sarcinå. ¥n fapt, sarcina hidrodinamicå intervine, atât în expresia vitezei Darcy, care apare în termenul convectiv, cât ¿i în componentele tensorului de dispersie termicå (rel. 5.9, 5.13 ¿i 5.25). Ecua¡iile (7.5) ¿i (7.6) alcåtuiesc deci un sistem cuplat, în care necunoscutele sunt interdependente. Formal, cuplajul densitar este analog cu cel termic, matricile de influen¡å ob¡inându-se prin înlocuirea lui a cu n în expresia coeficientului de cuplaj definit de rela¡ia (5.33), respectiv ale temperaturilor cu valorile nodale ale concentra¡iilor. Diferen¡ele apar înså în formularea condi¡iilor de contur ¿i vor fi prezentate în descrierea exemplelor.
7.2. METODA FªIILOR SUCCESIVE
Integrarea în timp a sistemelor diferen¡iale se rezolvå prin metode pas cu pas: pornind de la condi¡iile ini¡iale se determinå succesiv valorile necunoscutelor la intervalele de timp t0, t1, ... ,tn, tn+1. Aplicând o schemå implicitå de diferen¡e finite sistemele (7.5) ¿i (7.6) devin:
136
( )θ θAB
th
B
th A hij
ij
kjk ij
kjk
ij jk
ik+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = + − ++
∆ ∆1 1 F (7.16)
¿i, analog pentru temperaturi:
( )θ θEH
tT
H
tT E Tij
ij
kjk ij
kjk
ij jk
ik+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = + − ++ +
∆ ∆1 11 P , (7.17)
unde k+1 ¿i k reprezintå valorile sarcinii hidraulice sau ale temperaturii la momentele tk+1 respectiv tk, ∆tk intervalul tk+1 - tk , iar θ este un coeficient de pondere a timpului, având valori cuprinse între 1 ¿i 0. Astfel, dacå θ = 1/2, rela¡iile (7.16) ¿i (7.17) se reduc la cunoscuta schemå Crank - Nicholson [5]. Termenii Fk+θ ¿i Pk+θ se ob¡in prin ponderea valorilor respective la tk+1 ¿i tk . ¥n definitiv, schema propuså este analogå cu schema Picard prezentatå în capitolul 6, cu observa¡ia cå matricile de influen¡å sunt independente de proprietãtile materialelor. Nelinearitatea este datoratã cuplajului: distribu¡ia sarcinii este condi¡ionatã de temperaturi care la rândul lor depind de sarcina hidraulicã. Din aceastå cauzå, oricare din sistemele de mai sus poate fi pus sub forma genericå:
[Gij xj = R, (7.18) unde, pentru curgere, am notat cu:
[G] = Aij + Bij / ∆tk ; (7.19)
R = Fi
t+0 + [(θ -1) Aij + Bij / ∆tk] hk , (7.20)
iar, pentru transportul cåldurii:
[G] = Eij + Hij / ∆tk ; (7.21)
R = Pi
t+0 + [(θ -1) Eij + Hij / ∆tk] Tk . (7.22) Vectorul x reprezintå evident valorile nodale ale sarcinii hidraulice sau ale temperaturii. Så consideråm (fig. 7.2) cå am discretizat domeniul într-un numår N de fâ¿ii ¿i fie un element tridimensional oarecare, apartinând fâ¿iei "e", unde nodurile 1-4, respectiv 5-8, apar¡in celor douå fe¡e verticale ale fâ¿iei.
137
Acest element contribuie la sistemul general (7.18) cu un subsistem elementar de opt ecua¡ii:
G x Rij j ij
=∑=1
8 (i, j = 1, 8) (7.23)
sau utilizând forma comprimatå:
[G]e x = R . (7.24) Dacå vom parti¡iona acest sistem, astfel încât så separåm termenii corespunzåtori celor douå fe¡e ob¡inem:
[G11] x1 = R1 - G12 x2 = R1
* ; (7.25)
[G22] x2 = R2 - G21 x1 = R2
* . (7.26)
Vectorii x1 ¿i x2 , având patru componente, reprezintå valorile nodale ale necunoscutelor din nodurile celor douå fe¡e, respectiv nodurile 1-4 pentru x1 ¿i 5-8 pentru x2. ¥n mod asemånåtor, matricile de la 4x4 termeni G11 ¿i G22 sunt matricile de legåturå numai între nodurile unei singure fe¡e ale fâ¿iei. La rândul lor matricile de ordinul patru G12 , respectiv G21 caracterizeazã legãtura dintre douã fe¡e ale fâsiei. Observa¡ia precedentå poate fi extinså prin însumare la întregul sistem de ecua¡ii, care poate fi parti¡ionat în nf +1 subsisteme, unde nf este numårul fâ¿iilor, având forma:
G
G
G
x
x
x
R
R
Rnl n uf
1
2
1
2
1
2
0 0. . .
.
. .
. .
. .
.
.
.
.
.
.
*
*
*
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⋅
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
=
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
. (7.27)
Acest sistem este diagonal ¿i fiecare din subsistemele G ar putea fi rezolvat separat dacå am cunoa¿te solu¡iile corespunzåtoare nodurilor de pe fe¡ele adiacente. ¥ntr-adevår, dupå cum se poate observa din rela¡iile (7.25) ¿i (7.26), termenii liberi generaliza¡i R1
* ¿i R2
* depind de valorile nodale ale necunoscutelor de pe fe¡ele adiacente: x1 pentru R2
* respectiv x2 pentru R1
*.
138
Pentru rezolvarea acestui impediment vom folosi caracterul iterativ al schemei Picard. Så consideråm cå, în intervalul de timp tk+1 - tk , sunt necesare m itera¡ii pentru realizarea convergen¡ei ¿i fie p < m o itera¡ie oarecare. Atunci când se trece la itera¡ia p+1, se atribuie valorile nodale xP numai componentelor G21 x1 ¿i G12x2 din calculul termenilor liberi R1
* ¿i R2
*, ob¡inând o estimare a acestora. ¥ntr-o primã aproxima¡ie deci, sistemele (7.25) ¿i (7.26) sunt determinate. ¥n acest fel, tehnica discretizårii pe fâ¿ii poate fi perfect încadratå în schema Picard, care va cuprinde atunci urmåtoarea succesiune: - dupå discretizarea domeniului ¿i calculul matricilor elementare, acestea sunt parti¡ionate, ob¡inând pentru fiecare element matricile G11, G12, G21 ¿i G22, atât pentru ecua¡iile de curgere, cât ¿i pentru cele de transport. - în continuare, se rezolvã întâi ecua¡ia de curgere ¿i apoi ecua¡ia de transport termic. Pentru aceasta, la timpul tk se extrapoleazã valorile temperaturii Tk , ob¡inând o primå aproxima¡ie a temperaturilor la timpul tk+1 . Rela¡iile de extrapolare sunt analoage cu (6.40), având forma [6]:
Tk+1 = Tk , k = 1 ;
( )T T T Tt
tk k k k k
k
+ −
−
= + −1 1
12
∆∆
, k = 2 ; (7.28)
( ) ( )( )
T T T Tt t
t tk k k k k k
k k
+ − +
−
= + −1 1 1
1
log /
log / , k > 2 .
Cu ajutorul acestor valori se calculeazå termenii liberi ai ecua¡iei de curgere conform rela¡iilor (7.14) - (7.15). - cu valorile hk ale sarcinii piezometrice, calculate la itera¡ia precedentå, se evalueazå produsele G12h2, respectiv G21h1 , realizând astfel termenii liberi R1
* ¿i R2
*. - se asambleazå succesiv, pe fâ¿ii, matricile ¿i termenii liberi corespunzåtori fiecårei fâ¿ii, ob¡inând subsistemele Gi hi (i = 1,ni) din ecua¡ia (7.26). - se rezolvå succesiv, pe fiecare fâ¿ie, aceste subsisteme, utilizând o metodå exactå. Ob¡inem astfel pentru pasul k+1 o primå aproxima¡ie a solu¡iei generale a ecua¡iei de curgere. - pentru accelerarea convergen¡ei, solu¡iile astfel ob¡inute se suprarelaxeazå conform rela¡iilor:
h* = hv + Ω (h - hv) , (7.29)
139
¥n ecua¡ia precedentå am notat prin: hv - valorile sarcinii piezometrice ob¡inute la itera¡ia precedentå; h - valorile sarcinii rezultate din rezolvarea sistemului ; h* - noile valori, suprarelaxate ale sarcinii ; Ω - factor de suprarelaxare având valori cuprinse între 1 ¿i 2. Noile valori h* sunt utilizate în recalcularea termenilor liberi R1
* ¿i R2
*. ¥n urmåtoarele etape se calculeazå distribu¡ia temperaturilor. - se determinå componentele vitezelor Darcy care intervin în ecua¡ia de transport termic, în calculul termenului convectiv ¿i al coeficientului de dispersie. Se calculeazå apoi matricile de influen¡å E, H, P. - pornind de la condi¡iile ini¡iale, cu valorile Tk ale temperaturii calculate la timpul tk se estimeazå termenii R1
* ¿i R2
* din ecua¡ia de transport termic. - asamblarea pe fâ¿ii ¿i rezolvarea succesivå a sistemelor astfel ob¡inute, ob¡inând temperaturile nodale. Temperaturile calculate se subrelaxeazå pentru accelerarea convergen¡ei conform rela¡iei:
T* = (1 - G)Tv + GT , (7.30) unde: T* sunt valorile subrelaxate ale temperaturilor pentru itera¡ia k + 1; Tv - valorile temperaturilor ob¡inute la itera¡ia k; T - temperaturile calculate în itera¡ia k+1; Γ - factor de subrelaxare având valori cuprinse între 0,5 ¿i 1. - verificarea convergen¡ei solu¡iilor atât pentru sarcina piezometricå cât ¿i pentru temperaturi astfel încât diferen¡a dintre douå itera¡ii succesive så nu depå¿eascå o toleran¡å arbitrar aleaså. Dacå solu¡ia nu converge, se reia procesul, utilizând pentru estimare noile valori h* ¿i T*. ¥n cazul în care nu este realizatå convergen¡a, dupå un anumit numår de itera¡ii, se mic¿oreazå pasul de timp ¿i se reia procesul de calcul. Dupå realizarea convergen¡ei, se continuå integrarea în timp.
7.3. COEFICIENºII DE INFLUENºÅ
¥n volumul mare de calcul pe cale îl implicå modelarea proceselor cuplate, ponderea cea mai mare revine calculului matricilor de influen¡å. Din examinarea rela¡iilor 7.7 - 7.12, se constatå cå, în cazul în care constantele de material nu variazå, matricile de influen¡å A, B, E, H depind numai de geometria elementului ¿i nu î¿i modificå expresiile în timpul itera¡iilor. ¥n schimb termenii liberi, care depind de valorile nodale trebuie recalcula¡i pentru fiecare itera¡ie în parte.
140
Dacå se utilizeazå elemente izoparametrice, atunci integrarea Gauss, fie ¿i într-un numår limitat de puncte, conduce la volumul mare de calcule men¡ionat. Metoda coeficien¡ilor de influen¡å [5], [7], [8] eliminå acest inconvenient, recurgând la urmåtoarele schematizåri: - domeniul este disctretizat doar în prizme dreptunghiulare sau triunghiulare; - constantele de material nu variazå pe element; - pe întregul domeniu axele sistemului de referin¡å sunt paralele cu direc¡iile principale ale tensorilor de conductivitate (termicå, hidraulicå). Så consideråm, pentru exemplificare, un element prismatic dreptunghiular, de laturi m, l, d. Func¡iile de interpolare Ni au atunci expresiile :
Nxl
ym
zdi = ±⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
±⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
±⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
18
12
12
12
, (7.31)
unde semnele + sau - sunt astfel încât så se respecte proprietatea fundamentalå a func¡iilor ¿i anume de a fi egale cu unitatea în nodul respectiv ¿i nule în celelalte noduri. Dezvoltând expresia (7.7) a matricii de conductivitate Aij ob¡inem:
A kN
x
N
xdV k
N
y
N
ydV k
N
z
N
zdVij x
i jy
i jz
i j= ∫ + ∫ + ∫∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
, (7.32)
în condi¡iile în care conductivitatea este constantå pe element. Tinând seama de forma prismaticå a elementului, integralele de volum se calculeazå u¿or ¿i ob¡inem:
A kmd
lA k
ldm
A klmd
Aij xxx
yyy
zzz= + +
2 2 2 , (7.33)
unde am notat cu:
Aa a
a a
xx
x x
x x=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
23
12
12
;
141
Aa a
a a
yy
y y
y y=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
23
12
12
; (7.34)
Aa a
a azz
z z
z z=
−−
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
23
;
respectiv cu:
ax =
− − −− −− −
− −
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
16
2 2 1 1
2 2 1 1
1 1 2 2
1 1 2 2
;
a y =
−− −− −− −
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
16
2 1 1 1
2 2 2 1
1 2 2 1
2 1 1 2
− ; (7.35)
az =
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
19
4 2 1 2
2 4 2 1
1 2 4 2
2 1 2 4
.
¥n acela¿i mod, matricea de înmagazinare devine:
Blmd
S Mij ij=8
, (7.36)
unde:
Ma a
a aij
z z
z=
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
13
2
2 z . (7.37)
Matricile de influen¡å Aij ¿i Bij pot fi deci exprimate ca un produs de trei termeni: un termen caracterizând proprietå¡ile fizice ale elementului (conductivitate kij , coeficient de înmagazinare S), un termen care caracterizeazå
142
dimensiunile elementelor (produsele de tip md/2l) ¿i în fine al treilea termen definit de matricile de tip Axx sau Mij ce caracterizeazå forma acestuia. Pentru o formå datå aceste matrici sunt constante ¿i caracterizeazå legåturile dintre valorile nodale ale sarcinii hidraulice în func¡ie numai de forma elementului, fiind denumite din aceastå cauzå coeficien¡i de influen¡å. Fiecare coeficient de influen¡å reprezintå o matrice constantå de 8x8 elemente alcåtuite din 4 submatrici care - pentru fiecare coeficient diferå doar printr-o constantå. Spre exemplu, în cazul matricii Axx, termenii diagonali sunt egali cu ax , iar ceilal¡i termeni se ob¡in înmul¡ind termenii diagonali cu 1/2. ¥n mod analog, matricile de influen¡å Eij ¿i Hij din ecua¡ia de transport pot fi exprimate cu ajutorul coeficien¡ilor de influen¡å. Astfel, matricea Eij este suma a doi termeni: un termen dispersiv (Eij
d ) ¿i un termen convectiv(Eij
c). Avem deci:
Eij = Eij
d + Eij
C , (7.38)
unde am notat cu:
EN
x
N
xdVij
dij
j
j
j
j
= ∫ λ∂∂
∂∂
(7.39)
¿i respectiv:
E V NN
xdVij
ci
j
i
= ∫∂∂
. (7.40)
Termenul dispersiv Eij
d are forma identicå cu matricea de conductivitate Aij din ecua¡ia de curgere. El poate fi deci pus sub forma unui produs de trei termeni: constanta de material, care în acest caz reprezintå componentele principale ale tensorului de dispersivitate ¿i doi coeficien¡i de influen¡å, identici cu cei din cazul matricii de conductivitate Aij. La rândul lui, termenul convectiv poate fi exprimat cu ajutorul coeficien¡ilor de influen¡å. Fie deci Vx, Vy, Vz componentele vitezei de curgere definite în centrul de greutate al elementului. ºinând seama de expresiile func¡iilor de interpolare (7.30), intergarea pe volumul prismei conduce la urmåtoarele expresii:
E Vmd
E Vld
E Vlm
Eijc
x cx
y cy
tz= + +
4 4 4. (7.41)
143
Coeficien¡ii da influen¡å Ec
x, Ec
y, Ec
z sunt, ca ¿i în cazul curgerii, matrici constante de 8x8, fiind alcåtuite fiecare din 4 submatrici. Avem:
Ee e
e ecx
x x
x x=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
23
12
12
; (7.42)
Ee e
e ecy
y y
y y=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
23
12
12
; (7.43)
Ee e
e ecz
z z
z z=
−−
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
12
, (7.44)
cu:
e x =
− −− −− −− −
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
16
2 2 1 1
2 2 1 1
1 1 2 2
1 1 2 2
; (7.45)
e y =
− −− −− −− −
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
16
2 1 1 2
1 2 2 1
1 2 2 1
2 1 1 2
; (7.46)
e z =
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
19
4 2 1 2
2 4 2 1
1 2 4 2
2 1 2 4
. (7.47)
144
¥n concluzie, atât pentru ecua¡ia de curgere, cât ¿i pentru cea de transport matricile de influen¡å se calculeazå prin simpla înmul¡ire a coeficien¡ilor de influen¡å cu o constantå care reprezintå produsul dintre proprietå¡ile materialului ¿i dimensiunile elementului. Cu excep¡ia termenului convectiv, matricile råmân constante în timpul integrårii în timp, economisind un volum mare de calcul.
7.4. EXEMPLE
¥n realizarea unui model numeric al unei probleme cuplate, atât discretizarea spa¡ialå a domeniului, cât ¿i pasul de timp trebuie så îndeplineascå anumite condi¡ii, deoarece în caz contrar existå riscul apari¡iei dispersiei numerice sau a oscila¡iilor ¿i implicit a instabilitå¡ii solu¡iilor. Aceste criterii, în general empirice, se referå la dimensiunea maximå a elementelor, respectiv la pasul minim de timp. ¥n cazul problemelor termice, lungimea maximå a elementului, Le, este controlatå de numårul Peclet, definit de [9]:
PeC Le Vf f=
⋅ρλ
,
unde V este viteza pe element. Analog, în cazul unei probleme de transport masic, numårul Peclet are expresia:
PeV Le
Dh
=⋅
,
unde Dh este valoarea maximå a dispersiei hidrodinamice. Experien¡a aratå cå dispersia numericå poate fi evitatå numai dacå lungimea maximå a elementului este astfel aleaså încât Pe ≤ 2. Analog, pentru evitarea apari¡iei oscila¡iilor pasul de timp trebuie astfel ales, încât numårul Courant definit de:
CuV t
Le=
⋅ ∆
så fie subunitar. Pentru ilustrarea efectului de cuplaj densitar se vor prezenta trei probleme:
− simularea intruziunii provenind dintr-un lac sårat (problemå bidimensionalå în regim sta¡ionar).
145
− analiza stocårii cåldurii într-un acvifer prin injec¡ie - extrac¡ie cu un singur foraj (problemå tridimensionalå în regim tranzitoriu).
− generarea celulelor de convexie datoritå unei limite de temperatura scazutå (problemå bidimensionalå în regim sta¡ionar). ¥n toate cele trei exemple, atât discretizarea spa¡ialå, cât ¿i cea temporalå, au fost astfel realizate încât så conducå la numere Peclet ¿i Courant, având valori sub cele critice. Problema 7.1. Simularea intruziunii sårate. Vom considera cå lacul are o densitate de 1050kg/m3 ¿i o mineraliza¡ie de 75kg/m3, ceea ce revine la coeficien¡i de cuplaj δ = 0,05, respectiv η = 0,667 x10-3-. Condi¡iile de margine ¿i caracteristicile domeniului sunt prezentate în figura 7.3.
Fig.7.3. Condi¡iile de margine ¿i caracteristicile materialelor , în cazul problemei 7.1.
Acviferul este uniform alimentat cu fluxul q = 2x10-4 m/zi, precum ¿i cu debitele din precipita¡ii W = 2x10-4 m/zi. Apa såratå påtrunde doar prin malurile lacului, cuneta acestuia, colmatatå, fiind practic impermeabilå. Problema a fost modelatå în regim permanent în condi¡iile mi¿cårii plan verticale, domeniul fiind discretizat în 386 elemente dreptumghiulare cu 428 noduri. Condi¡iile de margine la contactul acviferului cu lacul au fost sub formå de presiune hidrostaticå, respectiv concentra¡ie impuså. ºinând seama de faptul cå sistemul de referin¡å este la baza acviferului (fig. 7.3.), condi¡ia de presiune hidrostaticå în pseudosarcinå revine la:
146
( )hpg
z M Z00
= + = −ρ
δ ,
unde M este grosimea stratului. ¥n zona de descårcare a acviferului fluxul masic este nul (condi¡ie la
limitå Dh Cn
∂∂
= 0 ). Cum aceastå zonå nu este cunoscutå aprioric, extinderea
ei a fost determinatå prin încercåri succesive: • ¥ntr-o primå etapå, s-a considerat cå acviferul se descarcå pe primii 20m
¿i s-au impus în elementele corespunzåtoare condi¡iile de flux masic nul. • ¥n urma acestui prim calcul s-au determinat direc¡iile vitezelor, selectând
doar elementele pentru care vitezele sunt negative (zone de drenaj). • S-a reluat calculul, impunând condi¡iile de flux nul doar pe aceste
elemente pânå când s-a ob¡inut o solu¡ie stabilå. Figura 7.4 prezintå distribu¡iile concentra¡iilor (a), ale pseudosarcinii (b), respectiv a sarcinii hidraulice (c). Din examinarea rezultatelor se poate observa cå extinderea intruziunii este de cca 550m. Dincolo de aceastå limitå, pentru care concentra¡ia în såruri este nulå, echipoten¡ialele pseodosarcinii ¿i a sarcinii hidraulice coincid,fiind verticale, fapt ce reflectå curgerea uniformå în aceasta zonå. ¥n figura 7.4.a este reprezentatå pozi¡ia probabilå a interfe¡ei în condi¡iile schematizårii Ghyben-Herzberger. Dupå cum se observå, zona de tranzi¡ie este mult mai largå - cca 200m - ceea ce arata limitele calculului în ipoteza unei interfe¡e nete. Distribu¡ia sarcinii reale reflectå în mare måsurå pe cea a concentra¡iei datoritå valorilor ridicate ale coeficien¡ilor de cuplaj. ¥n zona adiacentå lacului, liniile de egalå sarcinå prezintå inversiune la pantå, sugerând schimbarea direc¡iei de curgere. Aceasta este clar ilustratå în câmpul vitezelor. Dupå cum se observå (fig. 7.5.), în partea inferioarå a lacului, apa såratå påtrunde în acvifer. Apoi are loc un mixaj al apei sårate cu apa dulce, ceea ce conduce la mic¿orarea densitå¡ii. Datoritå acestui fapt, are loc ridicarea apei, caracterizatå prin schimbarea direc¡iei de curgere (fenomen analog cu formarea celulelor de convexie termicå) ¿i drenarea acestuia în zona superioarå a acviferului. Extinderea mai mare a zonei de påtrundere, comparativ cu cea calculatå în ipoteza unei interfe¡e, modificå ¿i posibilitå¡ile exploatårii acviferului. Pentru aceasta s-a simulat efectul unei galerii orizontale situatå la 300m de malul lacului, având cota de pozare 30m ¿i un debit de 0,5mc/m.zi.
147
Fig.7.4. Distribu¡ia concentra¡iilor (a), a pseudosarcinilor (b) ¿i a sarcinii hidraulice
(c), în cazul problemei 7.1.
148
Fig.7.5. Distribu¡ia vitezelor în cazul problemei 7.1. (detaliu). ¥n figura 7.6 sunt prezentate câmpurile concentra¡iilor (a) ¿i ale sarcinilor
hidraulice (b).
Distribu¡ia concentra¡iei indicå în mod clar antrenarea apei sårate: dacå în
regim nedrenat concentra¡ia era de 9mg/l în zona galeriei, în condi¡ii de drenaj,
concentra¡ia în aceea¿i zonå este de cca 28mg/l. Deasemenea, întreaga
intruziune î¿i modificå pozi¡ia extinzându-se cu peste 200m.
De remarcat faptul cå în ipoteza unei interfe¡e nete, de¿i erau îndeplinite
condi¡iile de instabilitate de tip Muskat [10], nu avea loc antrenarea propriu-ziså
a apei sårate în galerie.
Problema 7.2. Stocarea cåldurii într-un acvifer omogen. Modelul
schematizeazå procesul de stocare - extrac¡ie cu un singur pu¡, amplasat într-un
acvifer omogen.
Domeniul analizat are o grosime de 50m, o lungime de 250m ¿i o lå¡ime de
200m.
Dat fiind caracterul spa¡ial al probelmei, domeniul a fost discretizat în fâ¿ii
verticale, distan¡ate la 40m.
Fiecare fa¡å a fâ¿iei a fost discretizatå într-o re¡ea regulatå, având 136 noduri
pe direc¡ia x ¿i 11 noduri pe direc¡ia y. ¥n total, re¡eaua a avut 6750 prisme
dreptunghiulare ¿i 8976 noduri.
149
Fig.7.6. Efectul unei galerii verticale asupra concentra¡iilor (a) ¿i a sarcinei hidraulice (b), (c).
Caracterisicile hidraulice ¿i termice ale domeniului sunt prezentate în figura 7.7. Condi¡iile de margine termice au fost:
• adiabate pe limitele orizontale ¿i pe suprafa¡a verticalå pe care s-a modelat forajul; • izotermå pe suprafa¡a verticalå opuså forajului (T = 200).
150
Condi¡iile de margine hidraulice au fost: • flux nul pe limitele orizontale ¿i pe suprafa¡a verticalå pe care s-a modelat forajul; • presiune hidrostaticå pe suprafa¡a verticalå opuså forajului.
Fig.7.7. Condi¡iile de margine ¿i caracteristicile de material, în cazul problemei 7.2.
Deoarece aceastå suprafa¡å este izotermå, ultima condi¡ie exprimatå în pseudosarcinå revine la:
( )h
g M Z
gZ M m=
−+ = =
ρρ
0
0
50 .
Problema a fost analizatå în regim tranzitoriu, condi¡iile ini¡iale fiind T = 200C. Procesul de injec¡ie - extrac¡ie a fost simulat impunând în nodurile corespunzåtoare forajului un debit total de 200 l/sec, timp de 90 zile, apa având temperatura de 600C. Dupå acest interval s-a extras acela¿i debit, timp de 90 zile. Pasul de timp a fost men¡inut constant (o zi) pe tot parcursul calculului. Figura 7.8.a prezintå distribu¡ia temperaturilor la sfâr¿itul intervalului de injec¡ie (t = 90 zile). Dupå cum se observå, simultan cu avansul frontului de cåldurå are loc o extindere a zonei de tranzi¡ie între apa caldå injectatå (T > 200C) ¿i apa rece aflatå ini¡ial la temperatura de 200C.
151
Fig.7.8. Distribu¡ia temperaturilor dupå: a - 90 zile (injec¡ie); b - 180 zile (extrac¡ie).
¥n timpul procesului de extrac¡ie (fig. 7.8.b) zona de tranzi¡ie devine mai largå. Dacå în timpul injec¡iei fiecare izotermå se extinde pe toatå grosimea stratului, în timpul extrac¡iei valorile de temperaturå ridicatå se concentreazå în partea superioarå a forajului, ceea ce sugereazå posibilitatea instabilitå¡ilor. ¥n acela¿i timp, apa rece se concentreazå în partea inferioarå a forajului. Datoritå suprapunerii acestor douå efecte (dispersie termicå ¿i cuplaj termic), randamentul sistemului scade, de¿i debitul extras este egal cu cel injectat. Problema 7.3. Generarea celulelor de convexie. ¥n capitolul 5 s-au prezentat o serie de probleme de generare a celulelor de convexie. ¥n toate cazurile, domeniul era izolat hidraulic (limite impermeabile) ¿i termic de stratele adiacente. Exemplul analizat în problema 7.2 pune în eviden¡å înså perturbåri ale câmpului termic, uneori chiar inversiuni ale acestuia, în condi¡iile exinten¡ei unui gradient hidraulic, chiar dacå numårul Rayleigh nu atinge valori critice. Vom analiza în continuare posibilitå¡ile de apari¡ie ale celulelor de convexie în condi¡iile apari¡iei unui gradient termic lateral. Modelul simuleazå deci efectul unei limite reci [11].
152
Domeniul analizat este alcåtuit din douå strate având grosimea de 500m ¿i
extinderea de 1500m: stratul superior este impermeabil din punct de vedere
hidraulic dar conductiv termic. Stratul inferior prezintå este conductiv atât
termic cât ¿i hidraulic. ¥n plus, s-a considerat o anizotropie a conductivitå¡ii
hidraulice pe orizontalå având un raport de 10:1.
Caracteristicile domeniului ¿i condi¡iile de margine sunt prezentate în
figura 7.9.
Fig.7.9. Condi¡ii de margine ¿i caracteristicile materialelor pentru problema 7.5. Hidraulic, toate limitele modelului sunt impermeabile cu excep¡ia limitei din
stânga a acviferului pe care s-a impus condi¡ia de pseudosarcinå variabilå.
Aceea¿i limitå a fost consideratå izotermå (T = 300C). Pe limita superioarå a
domeniului s-a impus deasemeni condi¡ia de temperaturå constantå (T = 100C).
Simularea a fost efectuatå în regim permanent în condi¡iile problemei plan
verticale, domeniul fiind discretizat într-o re¡ea de 931 elemente
dreptunghiulare, având 1000 noduri. Datoritå acestor condi¡ii au loc modificåri
importante în distribu¡ia câmpului termic astfel încât în apropierea limitei din
dreapta izotermele sunt practic verticale.
¥n apropierea limitei reci curbele de egalå sarcinå piezometricå realå au
aceea¿i alurå cu izotermele, gradientul prezentând varia¡ii importante de direc¡ie
(fig. 7.10).
153
Fig.7.10. Distribu¡ia temperaturilor (a) a sarcinilor hidraulice (b) ¿i a sarcinilor
aparente (c), pentru problema 7.3.
154
Fig. 7.11. Distribu¡ia vitezelor ¿i formarea celulelor de convexie.
Aceastå schimbare de orientare a gradientului hidraulic este clar puså în eviden¡å de distribu¡ia vitezelor (fig. 7.11): mic¿orarea densitå¡ii în zonele cu temperaturå mare conduce la direc¡ii verticale de curgere, ceea ce genereazå celule asimetrice de convexie care se închid pe limita rece.
BIBLIOGRAFIE
1. H u y a k o r n , P . , A n d e r s o n , P . , M e r c e r , J . , W h i t e , H . , Saltwater
Intrusion Developement and Testing of a Three-Dimensional Finite Element Model. Water Resources Research, vol 23, Nr.2, 1987.
2. H u y a k o r n , P . , S p r i n g e r , E . , G u v a n s e n , V . , W a d s w o r t h , T . , A
Three-Dimensional Finite Element Model for ¿i mulating Water Flow in Variably Saturated Porous Media. Water Resources Research, vol 22, Nr.13, 1986. 3. H u y a k o r n , P . , J o n e s , B . , A m d e r s e n , P . , Finite Element Algorithms for ¿i mulating Three-Dimensional Grounwater Flow and Solute Transport in Multilayer Systems. Water Resources Research, vol 22, Nr.3,1986. 4. H u y a k o r n , P . , T h o m a s , S . , T h o m s o n , B . , Techniques for Making Finite Elements Competitive In Modeling Flow in a Variable Saturated Porous Media. Water Resources Research, vol 20, Nr.8, 1984.11
155
5. M a r s i l y , G d e , Quantitative Hydrogeology. Academic, San Diego, California, 1986. 6. C o o l e y , R . L . , Some New Procedures for Numerical Solution of Variable- Saturated Flow Problems. Water Resources Research, vol 19, Nr.5, 1983. 7. P a n i c o n i C . , A l d a m a , A . , W o o d , E . , Numerical Evaluation of Iterative and Noniterative Methods for the Solution of the Nonlinear Richards Equation. Water Resources Research, vol 27, Nr.6, 1991. 8. P a n i c o n i , C . , P u t t i , M . , A Comparrison of Picard and Newton Iteration in the Numerical Solution of Multidimensional Variably Saturated Flow Problems. Water Resources Research, vol 30, Nr.12, 1994 9. W o o d b u r y , A . D . , S m i t h , L . , On the Thermal Effects of Threedimensional Groundwater Flow. Journal Geophysical Research, vol 90, no B1,1985. 10. B e a r , J . , Hydraulics of Groundwater. Mc. Graw Hill. New York, 1979. 11. B e r n a r d , D . , Convection Naturelle dans les Structures Geologoques Poreuses. Bulletin Mineralogique. Vol 111, No.4, 1988.
156