metode numerik pada persamaan integral (new)
TRANSCRIPT
![Page 1: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/1.jpg)
MATEMATIKA 4
METODE NUMERIK PADA PERSAMAAN INTEGRAL
Bagus Hario SetiadjiJurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Universitas Diponegoro
![Page 2: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/2.jpg)
DEFINISI
• Numerical Integration adalah suatu tool yang digunakan untuk memperoleh jawaban perkiraan (approximate answer) dari suatu integral tertentu (definite integral) yang tidak dapat diselesaikan secara analitis.
• Tujuan dari numerical integration adalah untuk menyelesaikan suatu persamaan integral tertentu f(x) pada suatu interval [a, b] dengan melakukan evaluasi terhadap f(x) pada sejumlah titik sampel N.
• Ada 2 metode yang digunakan disini, yaitu:– Penjumlahan luas (Riemann sum)– Quadrature formula
![Page 3: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/3.jpg)
METODE PENJUMLAHAN RIEMANN
• Menghitung luasan yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x• Luasan dibagi menjadi N bagian pada interval [a, b], dimana a = x0 < x1 < …
< xn = b dan xi = xi – xi-1; i = 1, 2, …, N
• Hitung luas Li, dimana Li = f(xi) . xi
x0 x1 x2 x3 x4 xn
y = f(x)
L0 L1 L2
x1 x2
![Page 4: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/4.jpg)
METODE PENJUMLAHAN RIEMANN
• 3 pendekatan pada metode penjumlahan Riemann:– Persegi panjang kiri (left sum), yaitu apabila sudut kiri atas masing-
masing persegi panjang menyentuk kurva– Persegi panjang kanan (right sum), yaitu apabila sudut kanan atas
masing-masing persegi panjang menyentuk kurva– Persegi panjang tengah (middle sum), yaitu apabila titik tengah sisi
atas masing-masing persegi panjang memotong kurva
Left sum Right sum Middle sum
![Page 5: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/5.jpg)
METODE PENJUMLAHAN RIEMANN
• Persamaan umum penjumlahan Riemann:L = L1 + L2 + L3 + … + Ln
= f(x1).x1 + f(x2).x2 + f(x3).x3 + … + f(xn).xn
= dimana xi = x1 = x2 = … = xn = = h
Maka: L = dan xi = a + ih
– Untuk left sum, L =
– Untuk right sum, L =
– Untuk middle sum, L =
N
iii xxf
1
.N
ab
b
a
N
iixfhdxxf
b
a
N
iixfhdxxf
1
0
b
a
N
iixfhdxxf
1
b
a
N
i
ii xxfhdxxf
1
1
2
![Page 6: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/6.jpg)
METODE PENJUMLAHAN RIEMANN
• Contoh 1 Penjumlahan Riemann:Hitung luas yang dibatasi oleh y = x2 pada interval [0, 1] dengan N = 10
Solusi:Hitung nilai x = h = = 0.1
Maka:Untuk Left Sum, L = dan xi = 0 + i (0.1) = 0.1i
L = L0 + L1 + L2 + … + L9 = 0.1 {(0)2 + (0.1)2 + (0.2)2 + … + (0.9)2}
= 0.1 (2.85) = 0.285
1001
9
0
21
0
1.0i
i
N
ii xxfh
![Page 7: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/7.jpg)
METODE PENJUMLAHAN RIEMANN
Untuk Right Sum, L = dan xi = 0 + i (0.1) = 0.1i
L = L1 + L2 + L3 + … + L10 = 0.1 {(0.1)2 + (0.2)2 + (0.3)2 + … + (1.0)2}
= 0.1 (3.85) = 0.385
Untuk Middle Sum, L = dan xi = 0 + i (0.1) = 0.1i
L = L1 + L2 + L3 + … + L10 = 0.1 {0.5(0.1+0)2 + 0.5(0.2+0.1)2 + 0.5(0.3+0.2)2 + … + 0.5(1.0+0.9)2}= 0.1 (3.325) = 0.3325
10
1
2
1
1.0i
i
N
ii xxfh
210
1
1
1
1
21.0
2
i
iiN
i
ii xxxxfh
![Page 8: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/8.jpg)
METODE PENJUMLAHAN RIEMANN
Solusi eksak y =
Galat/error:
Dengan left sum = 0.333 – 0.285 = 0.048Dengan right sum = 0.333 – 0.385 = -0.052Dengan middle sum = 0.333 – 0.3325 = 0.0005
333.03
1
0
31
0
2 x
dxx
![Page 9: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/9.jpg)
METODE PENJUMLAHAN RIEMANN
• Contoh 2 Penjumlahan Riemann:Tentukan solusi hampiran untuk y = 1/x + e-2x pada interval [1, 5] dengan N = 10
Solusi:Hitung nilai x = h = = 0.4 dan xi = 1 + i (0.4) = 1 + 0.4i
Maka:Untuk Left Sum, L =
L = L0 + L1 + L2 + … + L9
1015
ix
i i
N
ii e
xxfh 2
9
0
1
0
14.0
8803.12175.0...5829.07751.01353.14.0
6.41
...8.1
14.1
114.0 2.96.38.22
eeee
![Page 10: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/10.jpg)
METODE PENJUMLAHAN RIEMANN
Untuk Right Sum, L =
L = L1 + L2 + L3 + … + L10
Untuk Middle Sum, L =
L = L1 + L2 + L3 + … + L10
ix
i i
N
ii e
xxfh 2
10
11
14.0
5602.12000.0...4668.05829.07751.04.0
51
...2.2
18.1
14.1
14.0 104.46.38.2
eeee
10
1
5.02
11
1
5.01
4.0i
xx
ii
N
ii
iiexx
xfh
6691.12084.0...5183.06658.09241.04.0
6.455.01
...8.12.25.0
1
4.18.15.01
14.15.01
4.06.455.028.12.25.02
4.18.15.0214.15.02
ee
ee
![Page 11: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/11.jpg)
METODE PENJUMLAHAN RIEMANN
Solusi eksak y =
Galat/error:
Dengan left sum = 1.6771 – 1.8803 = -0.2032Dengan right sum = 1. 6771 – 1.5602 = 0.1709Dengan middle sum = 1. 6771 – 1.6691 = 0.0080
Kesimpulan:Galat/error terkecil umumnya diperoleh dengan menggunakan middle sum
6771.12
ln1
5
1
25
1
2
xx e
xdxex
![Page 12: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/12.jpg)
QUADRATURE FORMULA
• Anggaplah a = x0 < x1 < … < xN = b. Persamaan dengan bentuk
dimana:
disebut sebagai numerical integration atau quadrature formula.
N
kNNkk xfwxfwxfwxfwfQ
01100 ...
b
a
fEfQdxxf
![Page 13: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/13.jpg)
DEFINISI
• E [f] disebut sebagai truncation error atau kesalahan pemotongan yaitu kesalahan yang diperoleh dikarenakan tidak melakukan hitungan sesuai dengan prosedur yang benar (misalnya pada proses tidak berhingga diganti dengan proses berhingga)
disebut sebagai quadrature nodes. Besarnya nodes ini bisa bervariasi. Misalnya pada aturan trapezoidal, aturan Simpson dan aturan Boole, besarnya nodes ini adalah sama. Sedangkan untuk Gauss-Legendre quadrature, besarnya nodesnya ini adalah sama dengan nol (untuk Legendre polynomial tertentu).
disebut sebagai weight atau bobot.
Niix 0
Niiw 0
![Page 14: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/14.jpg)
NEWTON-COATES QUADRATURE
• Penurunan kuadratur formula didasarkan pada interpolasi polynomial. Jika terdapat persamaan polynomial PM (x) berderajat (degree) M melalui M + 1 titik-titik yang berjarak sama . Jika polynomial ini digunakan untuk menghampiri persamaan f(x) pada rentang [a, b], dan integral dari persamaan f(x) dihampiri oleh integral dari PM (x), maka persamaan yang dihasilkan disebut sebagai persamaan Newton-Coates Quadrature.
• Apabila titik-titik sampel x0 = a dan xm = b digunakan, maka persamaan tersebut disebut sebagai persamaan Closed Newton-Coates.
Miii xfx 0,
![Page 15: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/15.jpg)
NEWTON-COATES QUADRATURE
• Persamaan-persamaan Closed Newton-Coates dengan derajat M = 1, 2, 3, 4 pada interval [x0, xM] adalah sebagai berikut.
Step size, h = dan xi = x0 + ih dimana i = 0, 1, 2, …, M
M = 1, trapezoidal rule dengan h = b - a
M = 2, Simpson’s rule dengan h =
M = 3, Simpson’s rule dengan h =
M = 4, Boole’s rule
dengan h =
102
1
0
ffh
dxxfx
x
210 43
2
0
fffh
dxxfx
x
83 3210 33
83
3
0
ffffh
dxxfx
x
43210 73212327452
4
0
fffffh
dxxfx
x
Mab
2ab
3ab
4ab
![Page 16: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/16.jpg)
NEWTON-COATES QUADRATURE
Trapezoidal rule y = P1(x) pada [x0, x1) = [0.0, 0.5]
Simpson’s rule y = P2(x) pada [x0, x1) = [0.0, 1.0]
Simpson’s 3/8 rule y = P3(x) pada [x0, x1) = [0.0, 1.5]
Boole’s rule y = P4(x) pada [x0, x1) = [0.0, 2.0]
![Page 17: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/17.jpg)
NEWTON-COATES QUADRATURE
• Pembuktian persamaan Newton-Coates QuadratureUntuk M = 1, Lagrange interpolating polynomial untuk P1(x) adalah
dengan [x0, xM] = [0, 1]
f0 dan f1 diasumsikan konstan, dan digunakan relasi berikut untuk x dan xi:
x = x0 + ht dan dx = h dt; xi = x0 + ih sehingga x1 = x0 + h, maka:
01
01
10
101 xx
xxf
xxxx
fxP
dthhht
fdthh
thf
110
dtthfdtthf 11
01
1
00
dth
xhxxhtx
fdthhxx
hxhtxfxP
00
001
00
0001
10
1
0
2
1
1
0
2
0 222ff
hthf
tthf
![Page 18: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/18.jpg)
NEWTON-COATES QUADRATURE
Untuk M = 2, Lagrange interpolating polynomial untuk P2(x) adalah
dengan [x0, xM] = [0, 2]
f0 , f1 dan f2 diasumsikan konstan, dan digunakan relasi berikut untuk x dan xi:
x = x0 + ht dan dx = h dt; xi = x0 + ih sehingga x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h, maka:
1202
102
2101
201
2010
2102 xxxx
xxxxf
xxxxxxxx
fxxxxxxxx
fxP
![Page 19: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/19.jpg)
NEWTON-COATES QUADRATURE
22
22
2
2
0000
00002
0000
00001
0000
000002
dthhxhxxhxhxhtxxhtx
f
dthhxhxxhxhxhtxxhtx
fdthhxxhxx
hxhtxhxhtxfxP
210210 433
223
432
2 fff
hf
hhff
h
2
1
2
221
210 dthhhthht
fdthhh
thhtfdth
hhthth
f
2
2 232
2
0
22
2
0
21
2
0
20 dtttf
hdttthfdtttf
h
23232
23
32
2
0
23
2
2
0
23
1
2
0
23
0
ttf
ht
thft
ttf
h
1202
102
2101
201
2010
2102 xxxx
xxxxf
xxxxxxxx
fxxxxxxxx
fxP
![Page 20: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/20.jpg)
NEWTON-COATES QUADRATURE
Silakan dicoba untuk M = 3 dan M = 4.Untuk M = 3, Lagrange interpolating polynomial untuk P3(x) adalah
dengan menggunakan relasi berikut untuk x dan xi:
x = x0 + ht dan dx = h dt; xi = x0 + ih sehingga x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h,
dan x3 = x0 + 3h.
231303
2103
321202
3102
312101
3201
302010
32103
xxxxxxxxxxxx
fxxxxxx
xxxxxxf
xxxxxxxxxxxx
fxxxxxx
xxxxxxfxP
![Page 21: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/21.jpg)
• Contoh 1 Closed Newton-Coates:Hitung luas yang dibatasi oleh y = x2 pada interval [0, 1]
Solusi:Untuk M = 1, Trapezoidal’s rule, h = b – a = 1 – 0 = 1 xi = x0 + ih sehingga x0 = 0 dan x1 = 1
Untuk M = 2, Simpson’s rule, h = xi = x0 + ih sehingga x0 = 0, x1 = 0.5 dan x2 = 1
NEWTON-COATES QUADRATURE
5.01021
2 22
10
1
0
21
0
xfxfh
dxxdxxfx
x
5.0
201
2
ab
333.015.04035.0
43
222210
1
0
22
0
xfxfxfh
dxxdxxfx
x
![Page 22: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/22.jpg)
Untuk M = 3, Simpson’s rule, h = xi = x0 + ih sehingga x0 = 0, x1 = 0.333, x2 = 0.666 dan x3 = 1
Untuk M = 4, Boole’s rule, h = xi = x0 + ih sehingga x0 = 0, x1 = 0.25, x2 = 0.5, x3 = 0.75 dan x4 = 1
NEWTON-COATES QUADRATURE
333.0
301
3
ab83
333.01667.03333.0308333.03
3383
2222
3210
1
0
23
0
xfxfxfxfh
dxxdxxfx
x
25.0
401
4
ab
333.01775.0325.01225.0320745
25.02
73212327452
22222
43210
1
0
24
0
fffffh
dxxdxxfx
x
![Page 23: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/23.jpg)
NEWTON-COATES QUADRATURE
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
f(x)
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
f(x)
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
f(x)
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
f(x)
x
Trapezoidal rule Simpson’s rule
Simpson’s 3/8 rule Boole’s rule
![Page 24: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/24.jpg)
Galat/error:
Dengan Penjumlahan Riemann left sum = 0.333 – 0.285 = 0.048Dengan Penjumlahan Riemann right sum = 0.333 – 0.385 = -0.052Dengan Penjumlahan Riemann middle sum = 0.333 – 0.3325 = 0.0005 Dengan Trapezoidal Rule = 0.333 – 0.500 = -0.167Dengan Simpson’s Rule = 0.333 – 0.333 = 0.000 Dengan Simpson’s 3/8 Rule = 0.333 – 0.333 = 0.000 Dengan Boole’s Rule = 0.333 – 0.333 = 0.000
NEWTON-COATES QUADRATURE
![Page 25: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/25.jpg)
• Contoh 2 Closed Newton-Coates:Tentukan solusi hampiran untuk y = 1/x + e-2x pada interval [1, 5]
Solusi:Untuk M = 1, Trapezoidal’s rule, h = b – a = 5 – 1 = 4 xi = x0 + ih sehingga x0 = 1 dan x1 = 5
Untuk M = 2, Simpson’s rule, h = xi = x0 + ih sehingga x0 = 1, x1 = 3 dan x2 = 5
NEWTON-COATES QUADRATURE
6708.251
11
24
2 e
1 5212
10
5
1
2x-1
0
eexfxf
hdx
xdxxf
x
x
2
215
2
ab
7858.1
51
31
411
32
43
1 523212
210
5
1
22
0
eeexfxfxf
hdxe
xdxxf x
x
x
![Page 26: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/26.jpg)
Untuk M = 3, Simpson’s rule, h = xi = x0 + ih sehingga x0 = 1, x1 = 2.333, x2 = 3.667 dan x3 = 5
Untuk M = 4, Boole’s rule, h = xi = x0 + ih sehingga x0 = 1, x1 = 2, x2 = 3, x3 = 4 dan x4 = 5
NEWTON-COATES QUADRATURE
333.1
315
3
ab83
7343.1
51
667.31
3333.21
311
8333.13
3383
x1
52667.32333.2212
3210
5
1
23
0
eeee
xfxfxfxfh
dxedxxf xx
x
1
415
4
ab
6877.1
51
741
3231
1221
3211
74512
73212327452
x1
)5(2)4(2)3(2)2(2)1(2
43210
5
1
24
0
eeeee
fffffh
dxedxxf xx
x
![Page 27: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/27.jpg)
NEWTON-COATES QUADRATURE
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6
f(x)
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6
f(x)
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6
f(x)
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6
f(x)
x
Trapezoidal rule Simpson’s rule
Simpson’s 3/8 rule Boole’s rule
![Page 28: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/28.jpg)
Galat/error:
Dengan Penjumlahan Riemann left sum = 1.6771 – 1.8803 = -0.2032Dengan Penjumlahan Riemann right sum = 1. 6771 – 1.5602 = 0.1709Dengan Penjumlahan Riemann middle sum = 1. 6771 – 1.6691 = 0.0080Dengan Trapezoidal Rule = 1.6771 – 2.6708 = -0.9937Dengan Simpson’s Rule = 1.6771 – 1.7858 = -0.1087 Dengan Simpson’s 3/8 Rule = 1.6771 – 1.7343 = -0.0572 Dengan Boole’s Rule = 1.6771 – 1.6877 = -0.0106
Kesimpulan:Metode Newton-Coates Quadrature mempunyai kelemahan dalam menghampiri persamaan yang kompleks.
NEWTON-COATES QUADRATURE
![Page 29: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/29.jpg)
• Seperti telah disebutkan, bahwa permasalahan utama dari Newton-Coates Quadrature adalah apabila digunakan untuk menghampiri fungsi y = f(x) yang kompleks.
• Untuk mengatasi hal ini, maka pendekatan yang dapat dilakukan adalah mendekati fungsi y = f(x) yang berinterval [a, b] tersebut dengan sejumlah bentuk trapezoidal.
• Anggap bahwa interval [a, b] dibagi menjadi M subinterval [xi, xi+1] dengan step size h = (b – a)/M, dengan menggunakan titik-titik yang berjarak sama xi = a + ih, untuk i = 0, 1, …, M.
COMPOSITE TRAPEZOIDAL RULE
![Page 30: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/30.jpg)
• Composit Trapezoidal Rule dengan subinterval M dapat dinyatakan dalam tiga bentuk sebagai berikut.
Bentuk 1:
atau
Bentuk 2:
atau
Bentuk 3:
COMPOSITE TRAPEZOIDAL RULE
M
iii xfxf
hhfT
112
,
MMM ffffffh
hfT 12210 22...222
,
1
12,
M
iixfhbfaf
hhfT
![Page 31: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/31.jpg)
• Dari contoh 2 :Tentukan solusi hampiran untuk y = 1/x + e-2x pada interval [1, 5]
Solusi: Asumsikan nilai M = 5, maka h = xi = a + ih sehingga x0 = 1, x1 = 1.8, x2 = 2.6, x3 = 3.4, x4 = 4.2 dan x5 = 5
Gunakan bentuk 3 dari Composite Trapezoidal Rule
COMPOSITE TRAPEZOIDAL RULE
8.0
515
Mab
432150
1
1 22xfxfxfxfhxfxf
hxfhbfaf
hh,fTdx xf
M
ii
b
a
7394.12383.02952.03901.05828.08.02000.01353.14.0
2.41
4.31
6.21
8.11
8.0
51
11
28.0
2.424.326.228.12
5212
eeee
ee
![Page 32: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/32.jpg)
Dicoba dengan menggunakan M = 10, maka h = xi = a + ih sehingga x0 = 1, x1 = 1.4, x2 = 1.8, x3 = 2.2, x4 = 2.6, x5 = 3,
x6 = 3.4, x7 = 3.8, x8 = 4.2, x9 = 4.6, dan x10 = 5
Gunakan bentuk 3 dari Composite Trapezoidal Rule
COMPOSITE TRAPEZOIDAL RULE
4.0
1015
Mab
921100
1
1 22xf...xfxfhxfxf
hxfbfaf
hh,fTdx xf
M
ii
b
a
6933.12175.02383.0...5829.07751.04.02000.01353.12.0
6.41
2.41
...8.1
14.1
14.0
51
11
24.0
6.422.428.124.12
5212
eeee
ee
![Page 33: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/33.jpg)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6
f(x)
x
COMPOSITE TRAPEZOIDAL RULE
Comp. Trapezoidal Rule, M = 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6
f(x)
x
Comp. Trapezoidal Rule, M = 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6
f(x)
x
Trapezoidal rule
![Page 34: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/34.jpg)
COMPOSITE TRAPEZOIDAL RULE
Galat/error:
Dengan Penjumlahan Riemann left sum = 1.6771 – 1.8803 = -0.2032Dengan Penjumlahan Riemann right sum = 1. 6771 – 1.5602 = 0.1709Dengan Penjumlahan Riemann middle sum = 1. 6771 – 1.6691 = 0.0080Dengan Trapezoidal Rule = 1.6771 – 2.6708 = -0.9937Dengan Composite Trapezoidal Rule (M = 5) = 1. 6771 – 1.7394 = -0.0623Dengan Composite Trapezoidal Rule (M = 10) = 1. 6771 – 1.6933 = -0.0162
Kesimpulan:Composite Trapezoidal Rule memberikan perbaikan terhadap pendekatan Trapezoidal Rule, walaupun galat yang diberikan masih relatif cukup besar.Penghalusan (refinement) bisa dilakukan dengan meningkatkan nilai M.
![Page 35: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/35.jpg)
• Anggap bahwa interval [a, b] dibagi menjadi 2M subinterval [xi, xi+1] dengan step size h = (b – a)/2M, dengan menggunakan titik-titik yang berjarak sama xi = a + ih, untuk i = 0, 1, …, 2M.
• Composit Simpson’s Rule dengan subinterval 2M dapat dinyatakan dalam tiga bentuk sebagai berikut. Bentuk 1:
atau
Bentuk 2:
atau
Bentuk 3:
COMPOSIT SIMPSON’S RULE
M
iiii xfxfxf
hhfS
121222 4
3,
MMM fffffffh
hfS 212223210 42...4243
,
1
112
1
12 3
432
3,
M
ii
M
ii xf
hxf
hbfaf
hhfS
![Page 36: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/36.jpg)
• Dari contoh 2 :Tentukan solusi hampiran untuk y = 1/x + e-2x pada interval [1, 5]
Solusi: Asumsikan nilai 2M = 10, maka h = xi = a + ih sehingga x0 = 1, x1 = 1.4, x2 = 1.8, x3 = 2.2, x4 = 2.6, x5 = 3,
x6 = 3.4, x7 = 3.8, x8 = 4.2, x9 = 4.6, dan x10 = 5
COMPOSITE SIMPSON’S RULE
4.0
1015
2
Mab
![Page 37: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/37.jpg)
Gunakan bentuk 3 dari Composite Simpson’s Rule
COMPOSITE SIMPSON’S RULE
1
1 1122 3
432
3,
M
i
M
iii
b
a
xfh
xfh
bfafh
hfSdxxf
97531
8642
34
32
3
xfxfxfxfxfh
xfxfxfxfh
bfafh
6779.1
2175.0...7751.05333.02383.0...5829.02667.0)2000.01353.1(333.1
6.41
8.31
0.31
2.21
4.11
34.04
6.41
4.31
6.21
8.11
34.02
51
11
34.0
6.428.320.322.224.12
6.424.326.228.12
5212
eeeee
eeee
ee
![Page 38: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/38.jpg)
Galat/error:
Dengan Penjumlahan Riemann left sum = 1.6771 – 1.8803 = -0.2032Dengan Penjumlahan Riemann right sum = 1. 6771 – 1.5602 = 0.1709Dengan Penjumlahan Riemann middle sum = 1. 6771 – 1.6691 = 0.0080Dengan Composite Trapezoidal Rule (M = 10) = 1. 6771 – 1.6933 = -0.0162Dengan Simpson’s Rule = 1.6771 – 1.7858 = -0.1087Dengan Composite Simpson’s Rule = 1.6771 – 1.6779 = -0.0008
Kesimpulan:Composite Simpson’s Rule memberikan perbaikan yang signifikan terhadap pendekatan Simpson’s Rule. Dan galat yang diberikan jauh lebih baik dibandingkan dengan metode Penjumlahan Riemann maupun Composite Trapezoidal Rule.
COMPOSITE SIMPSON’S RULE
![Page 39: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/39.jpg)
• Contoh 3 :Bandingkan solusi hampiran yang diberikan Composite Trapezoidal Rule dan Composite Simpson’s Rule untuk y = 2 + pada interval [1, 6] dengan nilai M = 10 (Composite Trapezoidal Rule) dan M = 5 atau 2M = 10 (Composite Simpson’s Rule).
Mohon dicek jawabannya dan penyelesaian dengan Penjumlahan Riemann!
COMPOSITE SIMPSON’S RULE
x2sin
![Page 40: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/40.jpg)
• Solusi dengan Composite Trapezoidal Rule.
h =
xi = 1 + 0.5h sehingga x0 = 1, x1 = 1.5, x2 = 2.0, x3 = 2.5, x4 = 3.0, x5 = 3.5,
x6 = 4.0, x7 = 4.5, x8 = 5.0, x9 = 5.5, dan x10 = 6
COMPOSITE SIMPSON’S RULE
5.010
16
921100
1
1
...2
2
, xfxfxfhxfxfh
xfhbfafh
hfTM
ii
5.5...25.1612
fffhffh
0002.10287.11083.12432.14353.16831.19793.13081.26382.25.0
0174.19093.225.0
1939.84244.145.0 9267.3.250
![Page 41: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/41.jpg)
• Solusi dengan Composite Simpson’s Rule.
h =
xi = 1 + 0.5h sehingga x0 = 1, x1 = 1.5, x2 = 2.0, x3 = 2.5, x4 = 3.0, x5 = 3.5,
x6 = 4.0, x7 = 4.5, x8 = 5.0, x9 = 5.5, dan x10 = 6
COMPOSITE SIMPSON’S RULE
05.020
012
Mab
9753134
864232
613
34
32
3,
1
1 1122
fffffh
ffffh
ffh
xfh
xfh
bfafh
hfSdxxfM
i
M
iii
b
a
0002.11083.14353.19793.16382.23
5.04
0287.12432.16831.13081.23
5.020174.19093.2
35.0
1830.81613.832
2630.631
9267.361
![Page 42: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/42.jpg)
METODE PENJUMLAHAN RIEMANN
Solusi eksak y =
(lihat http://integrals.wolfram.com/index.jsp untuk mencari solusi eksak)
Galat/error:
Dengan Composite Trapezoidal Rule = 8.1835 – 8.1939 = -0.0104Dengan Composite Simpson’s Rule = 8. 1835 – 8.1830 = 0.0005
1835.8
22sin
2cos22sin25
1
6
1
x
xxxdxx
![Page 43: Metode numerik pada persamaan integral (new)](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081502/559223da1a28abc5068b46f3/html5/thumbnails/43.jpg)
AKHIR MATERI METODE NUMERIK
TERIMA KASIH.