metodele seidel - seidel – gauss ‍i newton - raphson

Download METODELE SEIDEL -   SEIDEL – GAUSS ‍I NEWTON - RAPHSON

Post on 31-Mar-2019

238 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

Laborator Transportul i distribuia energiei electrice - B. Neagu

1

ALGORITMI I PROGRAME DE CALCUL DESTINATE ANALIZEI

REGIMURILOR PERMANENTE SIMETRICE DE FUNCIONARE

ALE SISTEMELOR DE DISTRIBUIE FOLOSIND

METODELE SEIDEL GAUSS I NEWTON - RAPHSON

1. Introducere

Analiza regimurilor permanente simetrice de funcionare reprezint o component

indispensabil n activitile de exploatare i de planificare a dezvoltrii, att pentru sistemele de

distribuie a energiei electrice, ct i a sistemelor electroenergetice. Aceste sisteme se disting prin

anumite trsturi specifice, care le deosebesc net de alte sectoare de producie i anume:

Simultaneitatea produciei i consumului de energie electric, deoarece energia electric nu poate fi stocat n cantiti mari, iar controlul produciei trebuie s se adapteze permanent

variaiilor cererii de consum.

Sensibilitatea la perturbaii, deoarece orice perturbaie aprut ntr-un anumit loc se propag, practic, instantaneu, n ntreg sistemul, reacionnd n funcie de natura, locul i amplitudinea

perturbaiei.

Avariile grave aprute n aceste sisteme pot conduce la pagube majore, att la nivelul consumatorilor alimentai, ct i la nivelul economiei naionale.

Calculul regimurilor permanente de funcionare ale sistemelor de distribuie a energiei

electrice, respectiv ale sistemului electroenergetic, constituie practic punctul de plecare n orice analiz

de sistem, fie pentru optimizarea regimurilor permanente de funcionare ale acestora, fie pentru

calculul regimurilor perturbatoare.

Analiza regimurilor perturbatoare permanente de funcionare ale acestor sisteme constituie o

problem de mare complexitate, care face apel tot mai mult la concepte i metode dezvoltate de teoria

general a sistemelor i la tehnologii perfecionate de transmitere i prelucrare a informaiilor. Orice

analiz de regim are la baz elaborarea modelelor matematice ale fenomenelor studiate, modele de

mari dimensiuni i, n general, neliniare, a cror soluionare nu este posibil fr mijloace adecvate de

calcul automat. Evoluia sistemelor de calcul automat, n ultimele decenii, spre performane deosebite

privind capacitatea de memorie i viteza de calcul, a influenat direct perfecionarea metodelor i

algoritmilor de calcul i a impulsionat, n mod deosebit, implementarea conducerii n timp real a

proceselor din sistemele de distribuie a energiei electrice, respectiv din sistemul electroenergetic.

Studiul regimurilor permanente simetrice de funcionare poate fi definit ca o analiz a retelelor

electrice trifazate din cadrul sistemelor de distribuie a energiei electrice, n care, fiind cunoscute

datele reelei electrice impedanele longitudinale i admitanele transversale ale laturilor i puterile

aparente complexe nodale se determin parametrii de stare ai regimului permanent analizat i anume

tensiunile nodale, n modul i argument. Odat cunoscute valorile tensiunilor nodale, se pot stabili

circulaiile puterilor active i reactive, cderile de tensiune i pierderile de putere, pe diferitele

elemente ale sistemului.

Pentru a rezolva aceast problem, este necesar s se rezolve relaiile de legtur dintre

mrimile electrice specifice laturilor i mrimile electrice specifice la nivelul nodurilor sistemului.

Atunci cnd consumatorii i generatoarele se reprezint prin puteri active i reactive, situaie apropiat

de realitate, calculele se complic, deoarece relaiile ntre mrimile electrice sunt neliniare. Utilizarea

ecuaiilor sau sistemelor de funcionare n regim permanent simetric ale instalaiilor de transport i

Laborator Transportul i distribuia energiei electrice - B. Neagu

2

distribuie a energiei electrice, dei sunt totdeauna neliniare, iar rezolvarea lor este mai dificil,

corespunde modului de raionament i experienei energeticienilor.

Algoritmul de calcul al regimului permanent de funcionare a sistemelor de distribuie a

energiei electrice, respectiv sistemului electroenergetic, cuprinde, n ansamblu, o succesiune de etape

individualizate n funcie de mai muli factori, cum ar fi: modelul matematic de regim permanent,

metoda numeric de rezolvare, posibilitile sistemului de calcul automat etc.

n vederea rezolvrii sistemelor de ecuaii neliniare, care descriu funcionarea sistemelor de

distribuie a energiei electrice, se folosesc, de regul, metode iterative ce permit obinerea soluiilor

(mrimile de stare) dup efectuarea unui numr nedeterminat de operaii, prin pai succesivi, apropiind

rezultatul de valoarea final. Din aceast categorie fac parte metodele de tip Seidel-Gauss i metodele

de tip Newton-Raphson.

Modelul matematic de regim permanent fiind neliniar poate admite mai multe soluii. Soluia

care prezint interes practic se afl, de regul, ntr-un domeniu de valori, relativ restrns, al

necunoscutelor. Valorile tensiunilor nodale, n modul, sunt cuprinse ntr-o band admisibil de

tensiune, n jurul tensiunii nominale, iar argumentele au, de regul, valori mici, apropiate de zero. Din

acest motiv, o soluie convenabil, de prim aproximaie, se adopt atribuind modulelor tensiunilor

nodale valorile nominale sau medii i argumentelor, valoarea zero. n programele de calcul, n

principiu, prima atribuire pentru soluia de prim aproximaie se execut odat cu introducerea datelor

nodale.

2. Metoda Seidel-Gauss

Primele programe de calcul automat destinate analizei regimurilor permanente de funcionare

ale sistemelor dateaz din perioada anilor 50, avnd la baz metodele numerice iterative Jacobi,

Seidel-Gauss i variante ale acestora. Metodele menionate au fost preferate datorit simplitii

algoritmilor, fiind, n acelai timp, adecvate performanelor sczute ale sistemelor de calcul existente

n acea perioad.

Metoda Seidel-Gauss s-a dovedit, ns, mai avantajoas dect metoda Jacobi, n ceea ce

privete viteza de convergen. Metoda Newton, prin convergena sa rapid, este mult superioar

metodei Seidel-Gauss i constituie, n prezent, principala metod pentru analiza regimurilor

permanente de funcionare ale sistemelor de distribuie a energiei electrice, respectiv ale sistemelor

electroenergetice. Totui, metoda Seidel-Gauss este utilizat i astzi, n special la calculul regimurilor

mai dificile, apropiate de limita stabilitii la mici perturbaii sau ca metod de start la aplicarea

algoritmului Newton. Metodele numerice de rezolvare a sistemelor de ecuaii neliniare (1) sunt, de regul, metode

iterative. Acestea folosesc o succesiune de aproximri liniare ale funciei F, respectiv m,1i,Fi i,

pentru fiecare iteraie, aproximaia vectorului necunoscutelor x, respectiv m,1i,xi se obine prin

rezolvarea unui sistem liniar, operaie ce se poate realiza cu ajutorul unor metode directe.

0xF sau

m,1i,0x,x,xF m21i (1)

Metoda Seidel-Gauss se pot aplica, n anumite condiii, i pentru rezolvarea sistemelor

neliniare. n acest scop, este necesar ca sistemul (1) s poat fi scris sub urmtoarea form:

Laborator Transportul i distribuia energiei electrice - B. Neagu

3

xGx sau

m,1x,x,x,xGx im21ii (2)

unde funcia G i componentele sale Gi se definesc i au aceleai proprieti ca funciile F i Fi.

Folosind metoda Seidel-Gauss la calculul aproximaiei x(p)

n iteraia p, fiecare component xi(p)

odat calculat se introduce n ecuaiile urmtoare, conform modelului:

1p

m

p

1m

p

2

p

1m

p

m

1p

m

1p

2

p

12

p

2

1p

m

1p

2

1p

11

p

1

x,x,,x,xgx

x,,x,xgx

x,,x,xgx

(3)

n scopul accelerrii convergenei, metoda Seidel-Gauss se poate combina cu o metod de

relaxare. La calculul regimului permanent de funcionare a reelelor electrice, procedeele de accelerare

a convergenei sunt eficiente numai dac sirul {x(p)

} este monoton.

Pentru analiza regimului permanent de funcionare a reelelor electrice, sistemul neliniar de

ecuaii nodale poate fi adus, fr dificulti, la urmtoarea form recurent:

ei,n,1i,U

jQPUY

Y

1U

i

iin

ik1k

kik

ii

i

(4)

n cazul utilizrii metodei Seidel-Gauss, tensiunile nodale corespunztoare nodurilor

independente ntr-o iteraie p +1, ce urmeaz iteraiei p, se calculeaz cu ajutorul unei formule de

iterare avnd forma urmtoare:

ei,n,1i,

U

jQPUYUY

Y

1U

p

i

p

iin

1ik

p

kik

1i

1k

1p

kik

ii

1p

i

(5)

n vederea reducerii timpului de calcul, se folosesc relaii de accelerare a procesului de

convergen, care sunt de forma:

ei,n,1i,UUUU pi1pipi1pi (6)

unde este un coeficient de accelerare a convergenei, a crui valoare depinde de numrul de noduri

i de topologia reelei analizate (