método das cordas cálculo numérico prof. wellington d. previero [email protected] aula de...

24
Método das Cordas Cálculo Numérico Prof. Wellington D. Previero [email protected] www.pessoal.utfpr.edu.br/previero Aula de Cálculo Numérico de Wellington D. Previero foi licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição - NãoComercial - CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada . 1

Upload: internet

Post on 18-Apr-2015

122 views

Category:

Documents


3 download

TRANSCRIPT

Page 1: Método das Cordas Cálculo Numérico Prof. Wellington D. Previero previero@utfpr.edu.br  Aula de Cálculo Numérico de Wellington

Método das Cordas

Cálculo Numérico

Prof. Wellington D. Previero

[email protected]

www.pessoal.utfpr.edu.br/previero

Aula de Cálculo Numérico de Wellington D. Previero foi licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição - NãoComercial - CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada.

1

Page 2: Método das Cordas Cálculo Numérico Prof. Wellington D. Previero previero@utfpr.edu.br  Aula de Cálculo Numérico de Wellington

Método das CordasMétodo das Cordas

Seja f(x) uma função contínua que tenha a segunda derivada com sinal constante no intervalo [a,b] sendo que f(a).f(b)<0 e que existe somente uma raiz para função neste intervalo.

2

Page 3: Método das Cordas Cálculo Numérico Prof. Wellington D. Previero previero@utfpr.edu.br  Aula de Cálculo Numérico de Wellington

Método das CordasMétodo das CordasO método da cordas equivale a substituir a função y=f(x) por uma corda que passa pelos pontos

A=(a , f(a) ) e B=( b, f(b) ).

Vamos desenvolver o processo para calcular as aproximações para o zero da função

3

Page 4: Método das Cordas Cálculo Numérico Prof. Wellington D. Previero previero@utfpr.edu.br  Aula de Cálculo Numérico de Wellington

Método das CordasMétodo das CordasSupondo que f’’ tenha sinal constante no intervalo [a,b], temos quatro situações:Se f’’(x)>0

f(a)<0 e f(b)>0 f(a)>0 e f(b)<0 caso 1 caso 2

4

Page 5: Método das Cordas Cálculo Numérico Prof. Wellington D. Previero previero@utfpr.edu.br  Aula de Cálculo Numérico de Wellington

Método das CordasMétodo das CordasSe f’’(x)<0

f(a)<0 e f(b)>0 f(a)>0 e f(b)<0

caso 3 caso 4

5

Page 6: Método das Cordas Cálculo Numérico Prof. Wellington D. Previero previero@utfpr.edu.br  Aula de Cálculo Numérico de Wellington

Método das CordasMétodo das CordasPara os casos 1 e 3 a solução em cada iteração é dado por:

).()()(

)(1 bx

bfxf

xfxx n

n

nnn

6

Page 7: Método das Cordas Cálculo Numérico Prof. Wellington D. Previero previero@utfpr.edu.br  Aula de Cálculo Numérico de Wellington

Método das CordasMétodo das CordasPara os casos 2 e 4 a solução em cada iteração é dado por:

).()()(

)(1 ax

afxf

xfxx n

n

nnn

7

Page 8: Método das Cordas Cálculo Numérico Prof. Wellington D. Previero previero@utfpr.edu.br  Aula de Cálculo Numérico de Wellington

Método das CordasMétodo das Cordas

O que diferencia a forma geral nos casos 1, 2, 3 e 4 é o ponto fixado no ínicio ou no término da corda. O ponto fixado (a ou b) é aquele no qual o sinal da função f coincide com o sinal da segunda derivada de f. Vamos chamar esse ponto de c.

8

Page 9: Método das Cordas Cálculo Numérico Prof. Wellington D. Previero previero@utfpr.edu.br  Aula de Cálculo Numérico de Wellington

Método das CordasMétodo das CordasAssim, a solução geral será dada por:

).()()(

)(1 cx

cfxf

xfxx n

n

nnn

9

Page 10: Método das Cordas Cálculo Numérico Prof. Wellington D. Previero previero@utfpr.edu.br  Aula de Cálculo Numérico de Wellington

Método das CordasMétodo das Cordas

10

Page 11: Método das Cordas Cálculo Numérico Prof. Wellington D. Previero previero@utfpr.edu.br  Aula de Cálculo Numérico de Wellington

Método das CordasMétodo das Cordas

Exemplo 1: Calcular a raiz da equação f(x)=ex - sen(x) – 2 com 5 iterações.

11

Page 12: Método das Cordas Cálculo Numérico Prof. Wellington D. Previero previero@utfpr.edu.br  Aula de Cálculo Numérico de Wellington

Método das CordasMétodo das CordasVamos considerar o intervalo [0,5; 1,5]

12

Page 13: Método das Cordas Cálculo Numérico Prof. Wellington D. Previero previero@utfpr.edu.br  Aula de Cálculo Numérico de Wellington

Método das CordasMétodo das Cordas

Início

f(0,5)= - 0.830704268 < 0

f(1,5)= 1.484194083 > 0

c = 1,5

13

Page 14: Método das Cordas Cálculo Numérico Prof. Wellington D. Previero previero@utfpr.edu.br  Aula de Cálculo Numérico de Wellington

Método das CordasMétodo das CordasIteração k=0

370,85885129

)5,15,0(12,31489835

80,830704265,0

).()()(

)(

5,0

1

1

00

001

0

x

x

cxcfxf

xfxx

x

14

Page 15: Método das Cordas Cálculo Numérico Prof. Wellington D. Previero previero@utfpr.edu.br  Aula de Cálculo Numérico de Wellington

Método das CordasMétodo das CordasIteração k=0

15

Page 16: Método das Cordas Cálculo Numérico Prof. Wellington D. Previero previero@utfpr.edu.br  Aula de Cálculo Numérico de Wellington

Método das CordasMétodo das Cordas

Iteração k=1

830.99406136

)5,1370,85885129(21.88083901

90.39664492370,85885129

).()()(

)(

370,85885129

2

2

11

112

1

x

x

cxcfxf

xfxx

x

16

Page 17: Método das Cordas Cálculo Numérico Prof. Wellington D. Previero previero@utfpr.edu.br  Aula de Cálculo Numérico de Wellington

Método das CordasMétodo das Cordas

Iteração k=1

17

Page 18: Método das Cordas Cálculo Numérico Prof. Wellington D. Previero previero@utfpr.edu.br  Aula de Cálculo Numérico de Wellington

Método das CordasMétodo das Cordas

91,03654750

)5,1830,99406136(01,62025480

70,13606071830,99406136

).()()(

)(

830,99406136

3

3

22

223

2

x

x

cxcfxf

xfxx

x

Iteração k=2

18

Page 19: Método das Cordas Cálculo Numérico Prof. Wellington D. Previero previero@utfpr.edu.br  Aula de Cálculo Numérico de Wellington

Método das CordasMétodo das Cordas

Iteração k=2

19

Page 20: Método das Cordas Cálculo Numérico Prof. Wellington D. Previero previero@utfpr.edu.br  Aula de Cálculo Numérico de Wellington

Método das CordasMétodo das Cordas

11,04906076

)5,191,03654750(31,52537944

00,0411853691,03654750

).()()(

)(

91,03654750

4

4

33

334

3

x

x

cxcfxf

xfxx

x

Iteração k=3

20

Page 21: Método das Cordas Cálculo Numérico Prof. Wellington D. Previero previero@utfpr.edu.br  Aula de Cálculo Numérico de Wellington

Método das CordasMétodo das Cordas

Iteração k=3

21

Page 22: Método das Cordas Cálculo Numérico Prof. Wellington D. Previero previero@utfpr.edu.br  Aula de Cálculo Numérico de Wellington

Método das CordasMétodo das Cordas

81,05267360

)5,111,04906076(71,49618122

40,0119871411,04906076

).()()(

)(

11,04906076

5

5

44

445

4

x

x

cxcfxf

xfxx

x

Iteração k=4

22

Page 23: Método das Cordas Cálculo Numérico Prof. Wellington D. Previero previero@utfpr.edu.br  Aula de Cálculo Numérico de Wellington

Método das CordasMétodo das Cordas

Iteração k=4

23

Page 24: Método das Cordas Cálculo Numérico Prof. Wellington D. Previero previero@utfpr.edu.br  Aula de Cálculo Numérico de Wellington

Método das CordasMétodo das Cordas

24