MTODO DE BAIRSTOW

Introduccin

En anlisis numrico, el mtodo de Bairstow es un mtodo numrico de gran eficiencia para encontrar

las races de un polinomio de coeficientes reales y grado arbitrario. El mtodo fue descrito por primera

vez en el sumario del libro Aerodinmica aplicada, escrito por Leonard Bairstow y publicado en el ao

1920.

Descripcin del mtodo

El mtodo de Bairstow es un esquema iterativo para encontrar un factor cuadrtico de un polinomio en

cada aplicacin sin que se tenga ningn conocimiento previo. Al aplicar varias veces el mtodo de

Bairstow a los polinomios reducidos, se pueden calcular todos los factores cuadrticos de un polinomio.

Este mtodo sigue, fundamentalmente, los siguientes pasos:

i. Se da un valor inicial para la raz tx .

ii. Se divide el polinomio entre el factor tx .

iii. Se determina si hay un residuo diferente de cero. Si no, el valor inicial es perfecto y la raz es

igual a t. Si existe un residuo, se ajusta el valor inicial en forma sistemtica y se repite el

procedimiento hasta que el residuo desaparezca y se localice la raz. Una vez hecho esto, se repite

el procedimiento totalmente, ahora con el cociente para localizar otra raz.

Por lo general, el mtodo de Bairstow se basa en esta manera de proceder. Por consiguiente, depende del

proceso matemtico de dividir un polinomio entre un factor. Recuerde de su estudios de lgebra que la

divisin sinttica implica la divisin del polinomio entre un factor tx . Por ejemplo, el polinomio

general: n

nn xaxaxaaxf ...)(2

210 (1)

se divide entre el factor tx para dar un segundo polinomio que es de un grado menor:

12

2101 ...)(

n

nn xbxbxbbxf (2)

con un residuo 0bR , donde los coeficientes se calculan por la relacin de recurrencia

nn ab

tbab iii 1 para 1 ni hasta 0

Observe que si t es una raz del polinomio original, el residuo b0 sera igual a cero. Para permitir la

evaluacin de races complejas, el mtodo de Bairstow divide el polinomio entre un factor cuadrtico

x2 rx s. Si esto se hace con la ecuacin (1), el resultado es un nuevo polinomio

23

1322 ...)(

n

n

n

nn xbxbxbbxf (3)

con un residuo

01 )( brxbR (4)

Como con la divisin sinttica normal, se utiliza una relacin de recurrencia simple para realizar la

divisin entre el factor cuadrtico:

Notas de clase

Mtodos numricos en ingeniera Francisco Javier Garca Acevedo

[2]

nn ab (5)

nnn rbab 11 (6)

21 iiii sbrbab para 2 ni hasta 0 (7)

El factor cuadrtico se introduce para permitir la determinacin de las races complejas. Esto se relaciona

con el hecho de que, si los coeficientes del polinomio original son reales, las races complejas se

presentan en pares conjugados. Si x2 rx s es un divisor exacto del polinomio, las races complejas

pueden determinarse con la frmula cuadrtica. As, el mtodo se reduce a determinar los valores de

r y s que hacen que el factor cuadrtico sea un divisor exacto. En otras palabras, se buscan los valores

que hacen que el residuo sea igual a cero.

La inspeccin de la ecuacin (4) nos lleva a concluir que, para que el residuo sea cero, b0 y b1 deben ser

cero. Como es improbable que los valores iniciales para evaluar r y s conduzcan a este resultado, debemos

determinar una forma sistemtica para modificar los valores iniciales, de tal forma que b0 y b1 tiendan a

cero. Para lograrlo, el mtodo de Bairstow usa una estrategia similar a la del mtodo de Newton-Raphson.

Como tanto b0 como b1 son funciones de r y s, se pueden expandir usando una serie de Taylor, as:

ss

br

r

bbssrrb

1111 ),( (8)

ss

br

r

bbssrrb

0000 ),( (9)

donde los valores del lado derecho se evalan en r y s. Observe que se han despreciado los trminos de

segundo orden y de orden superior. Esto representa una suposicin implcita de que r y s son

suficientemente pequeos para que los trminos de orden superior puedan despreciarse. Otra manera de

expresar esta suposicin es que los valores iniciales son adecuadamente cercanos a los valores de r y s

en las races.

Los incrementos, r y s, necesarios para mejorar nuestros valores iniciales, se estiman igualando a cero

las ecuaciones (8) y (9) para dar

111 bss

br

r

b

(10)

000 bss

br

r

b

(11)

Si las derivadas parciales de las b pueden determinarse, hay un sistema de dos ecuaciones que se resuelve

simultneamente para las dos incgnitas, r y s. Bairstow demostr que las derivadas parciales se

obtienen por divisin sinttica de las b en forma similar a como las b mismas fueron obtenidas:

nn bc (12)

nnn rcbc 11 (13)

21 iiii scrcbc para 2 ni hasta 1 (14)

Notas de clase

Mtodos numricos en ingeniera Francisco Javier Garca Acevedo

[3]

donde b0/r = cl, b0/s = b1/r = c2 y b1/s = c3. As, las derivadas parciales se obtienen por la

divisin sinttica de las b. Entonces, las derivadas parciales se sustituyen en las ecuaciones (10) y (11)

junto con las b para dar

132 bscrc (15)

021 bscrc (16)

Estas ecuaciones se resuelven para r y s, las cuales, a su vez, se emplean para mejorar los valores

iniciales de r y s. En cada paso, se estima un error aproximado en r y s:

100

r

rar (17)

100

s

sas (18)

Cuando ambos errores estimados caen por debajo de un criterio especificado de terminacin a , los

valores de las races se determinan mediante

2

42 srrx

(19)

En este punto, existen tres posibilidades:

1. El cociente es un polinomio de tercer grado o mayor. En tal caso, el mtodo de Bairstow se aplica

al cociente para evaluar un nuevo valor de r y s. Los valores anteriores de r y s pueden servir

como valores iniciales en esta aplicacin.

2. El cociente es cuadrtico. Aqu es posible evaluar directamente las dos races restantes con la

ecuacin (19).

3. El cociente es un polinomio de primer grado. En este caso, la raz restante se evala simplemente

como x = s/r.

Resumen

1. Determine los valores de bi empleando las ecuaciones (5) a (7).

2. Determine los valores de ci empleando las ecuaciones (12) a (14).

3. Se reemplazan los valores obtenidos en el paso 2 en las ecuaciones (15) y (16), y se resuelve el

sistema para r y s.

4. Se corrigen los valores r0 y s0 adicionndoles los valores de r y s respectivamente.

5. Se evalan los errores empleando las ecuaciones (17) y (18). Si el valor de ambos errores es

menor o igual al esperado, se procede al paso 6. Si no, se retorna al paso 1 con los nuevos valores

de r y s obtenidos en el paso 4.

6. Se evala x empleando los valores hallados en el paso 4 mediante la ecuacin (19).

Notas de clase

Mtodos numricos en ingeniera Francisco Javier Garca Acevedo

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Ejemplo

Encuentre las races complejas del polinomio p(x) = 5x3 3x2 + x + 7 con r0 = 1,5 y s0 = 0,5. Itere hasta

un error |a| 5%.

Iteracin 1

Se aplican las ecuaciones (5) a (7) y (12) a (14) para calcular

b3 = 5 b2 = 4,5 b1 = 10,25 b0 = 24,625 c3 = 5 c2 = 12 c1 = 30,75

As, las ecuaciones simultneas para encontrar r y s son

12r + 5s = 10,25

30,75r + 12s = 24,625

al ser resueltas se encuentra que r = 0,0128205 y s = 2,019231. Por lo tanto, nuestros valores

iniciales se corrigen a

r = 1,5 0,0128205 = 1,487180

s = 0,5 2,019231= 1,519231

y se evala el error aproximado con las ecuaciones (17) y (18)

0,862069%1001,487180

0,0128205-ar %132,911392100

1,519231-

2,019231as

Vemos que |a| es an mayor al 5%. Por tal motivo, continuamos iterando.

Iteracin 2

A continuacin, se repiten los clculos usando los valores revisados para r y s. Aplicando las ecuaciones

(5) a (7) y (12) a (14) se obtiene

b3 = 5 b2 = 4,435897 b1 = 8,218277 10-4 b0 = 0,262070 c3 = 5

c2 = 11,871795 c1 = 10,060158

Por lo tanto, se debe resolver el sistema de ecuaciones

11,871795r + 5s = 8,218277 10-4

10,060158r + 11,871795s = 0,262070

al tener la solucin r = 0,0143492 y s = 0,0342346, esta se utiliza para corregir la raz estimada:

r = 1,487180 + 0,0143492 = 1,501529 0,955641%ar

s = 1,519231 0,0342346 = 1,553465 2,203755%as

Dado que ambos errores son menores al 5%, procedemos a evaluar las races utilizando la ecuacin (19):

0,9948960,7507642

)553465,1(4501529,1501529,1 2

x i

Notas de clase

Mtodos numricos en ingeniera Francisco Javier Garca Acevedo

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Ejercicios

1. Encuentre dos races complejas de cada uno de los siguientes polinomios empleando el mtodo de

Bairstow, los valores de r0 y s0 especificados y con un |a| 5%.

a. p(x) = x4 13x3 + 7x2 1, r0 = 0,9 y s0 = 0,2.

b. p(x) = 10x5 + 4x2 + 6, r0 = 1,5 y s0 = 1.

c. p(x) = 1,2x3 7,8x2 + 6,6x 9, r0 = 0,7 y s0 = 2.

2. La impedancia es la medida de oposicin que presenta un circuito a una corriente cuando se aplica

una tensin. La impedancia extiende el concepto de resistencia a los circuitos de corriente alterna, y

posee tanto magnitud como fase, a diferencia de la resistencia, que slo tiene magnitud. Por este

motivo, esta puede representarse matemticamente como el nmero complejo

jC

LRZZZZ CLR

1)( , (20)

donde R [] es la resistencia, L [H] es la inductancia, C [F] es la capacitancia y [rad/s] es la

frecuencia angular de la corriente alterna. [Note que, para el caso de circuitos de corriente alterna, se

emplea la letra j en lugar de la letra i para representar la parte imaginaria de Z. Esto es una simple

convencin utilizada para evitar confusiones con la letra i, que es usualmente empleada para denotar

corriente.]

Suponga que f (Z) = Z3 48Z + 272 es una funcin de la impedancia de un circuito elctrico para el

cual L = 20 [mH] y = 500 [rad/s]. Para el caso en que f (Z) = 1, determine

a. la resistencia del circuito;

b. la capacitancia del circuito.

Nota: Considere r0 = 9 y s0 = 9, e itere hasta obtener |a| 5%.

Respuestas

1. a. x = 0,431837 0,283343i, |ar| = 0,0366348%, |as| = 0,0974110%, iteracin 3.

b. x = 0,700712 0,625026i, |ar| = 0,971701%, |as| = 1,393077%, iteracin 2.

c. x = 0,363868 1,080240i, |ar| = 0,168505%, |as| = 0,422241%, iteracin 2.

2. Z = 4,432189 3,306234j, |ar| = 0,465323%, |as| = 2,482889%, iteracin 2.

a. R = 4,432189 [].

b. C = 298,785467 [F].

Bibliografa

i. Chapra, Steven C. y Canale, Raymond P., Mtodos numricos para ingenieros, 5ta edicin, Mxico,

2007.

ii. Nakamura, Shoichiro, Mtodos numricos aplicados con software, 1ra edicin, Mxico, 1992.