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Método de Gauss-Seidel
É o mais usado para resolver sistemas de
equações lineares.
Suponhamos que temos um sistema
Ax=b
e que n=3
Vamos resolver cada equação em ordem a
uma das variáveis e escrevemos
2013/03/19 MN 1
Método de Gauss-Seidel
em que
são os valores da incógnita i nas iterações j
e j-1, respectivamente.
2013/03/19 MN 2
33
23213133
22
1
32312122
11
1
313
1
21211
a
xaxabx
a
xaxabx
a
xaxabx
jjj
jjj
jjj
1 e j
i
j
i xx
Método de Gauss-Seidel
Tem, portanto que se fornecer uma aproxi-
mação inicial.
O critério de paragem pode ser por
progressão ou por número de iterações.
2013/03/19 MN 3
a,i xij xi
j1
xij
100%
Método de Gauss-Seidel
Exemplo
2013/03/19 MN 4
4,71102,03,0
3,193,071,0
85,72,01,03
321
321
321
xxx
xxx
xxx
10
4,712,03,0
7
3,193,01,0
3
85,72,01,0
213
312
321
xxx
xxx
xxx
Método de Gauss-Seidel
Se fizermos x2=x3=0
x1=2,616667
Assumimos x3=0 e calculamos x2=-2,794524
Com estes dois valores obtemos
x3=7,005610
e assim sucessivamente.
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Método de Gauss-Jacobi
Neste método, em vez de se irem empre-
gando os melhores valores em cada
iteração, empregam-se conjuntos
completos de valores (para todas as
incógnitas).
Em geral emprega-se o método de Gauss-
Seidel
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Comparação G.-Seidel com G.-
Jacobi
a)Gauss-Seidel
b)Gauss-Jacobi
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Convergência
Se, para um dado sistema de equações
temos
dizemos que o sistema é de diagonal
dominante e o método de Gauss-Seidel é
convergente. Este critério é suficiente,
mas não necessário.
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n
ijj
ijii aa1
Método de Gauss-Seidel
Matlab/Octave
Damos-lhe a forma
2013/03/19 MN 9
33
23213133
22
1
32312122
11
1
313
1
21211
a
xaxabx
a
xaxabx
a
xaxabx
jjj
jjj
jjj
jjj
jjj
jjj
xxa
bx
xxa
bx
xxa
bx
2
33
321
33
31
33
33
1
3
22
231
22
21
22
22
1
3
11
131
2
11
12
11
11
a
a-
a
a-
a
a-
a
a-
a
a-
a
a-
Cxdx
em que
2013/03/19 MN 10
33
3
22
2
11
1
ab
ab
ab
d
0
0
0
33
32
33
31
22
23
22
21
11
13
11
12
aa
aa
aa
aa
aa
aa
C
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2013/03/19 MN 12
Relaxação
Trata-se de um processo em que se
modificam os valores obtidos para se
obter uma convergência mais rápida ou
corrigir uma divergência:
com 0<<2.
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1)1( j
i
j
i
j
i xxx
Relaxação
Com = 1 não há modificação
Com 0< <1 temos subrelaxação, que é
utilizado quando o método não converge.
Com 1< <2 temos sobrerelaxação e pode
ser empregue para acelerar a
convergência no caso de um sistema
que já sabemos ser convergente. A
determinação de faz-se empiricamente.
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Sistemas não lineares
Consideremos
o sistema de
equações
que é um
sistema não
linear. A
solução será
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57
10
2
212
21
2
1
xxx
xxx
Sistemas não lineares
Emprega-se um método designado por
substituição sucessiva, que é um
sucedâneo do método de ponto fixo e do
de Gauss-Seidel. Resolvem-se as
equações de forma a isolar uma das
incógnitas no 1º membro e a partir dos
valores iniciais inicia-se um ciclo.
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Sistemas não lineares
Em casa
Considerando os valores iniciais de
x1=1,5 e x2=3,5
Calcule três iterações para duas versões de
progressão.
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Newton-Raphson
Este método pode ser derivado, com as
devidas reservas, a partir da aproximação
por série de Taylor, primeira ordem.
Onde xi é a aproximação inicial e xi+1 é o
ponto de intercepção com o eixo OX.
Como neste ponto
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)(')()()(x 11i iiii xfxxxff
0)( 1 ixf
Newton-Raphson
vem
O que é a equação simples para o método
de Newton-Raphson.
Para sistemas de equações podemos
derivar o procedimento de forma
equivalente.
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)('
)(1
i
iii
xf
xfxx
Newton-Raphson
Claro que x1 e x2 são valores que
correspondem a zeros de f1,i+1 e de f2,i+1. O
sistema do lado direito pode ser resolvido
como “habitualmente”.
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f1,i1 f1,i x1,i1 x1,i f1,i
x1 x2,i1 x2,i
f1,i
x2x1,i1 x1,i
f1,if2,ix2
f2,if1,ix2
f1,ix1
f2,ix2
f1,ix2
f2,ix1
f2,i1 f2,i x1,i1 x1,i f2,i
x1 x2,i1 x2,i
f2,i
x2x2,i1 x2,i
f2,if1,ix1
f1,if2,ix1
f1,ix1
f2,ix2
f1,ix2
f2,ix1
Newton-Raphson
O denominador de cada fracção, chama-se
o Jacobiano, ou matriz Jacobiana, do
sistema em estudo.
Aplique o método referido ao sistema:
com as aproximações iniciais de x1=1,5 e
x2=3,5
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10
57
21
2
1
2
212
xxx
xxx
Newton-Raphson
No caso de sistemas de equações subsiste
o problema da determinação das
aproximações iniciais. Na maior parte dos
casos utiliza-se o nosso conhecimento
sobre o sistema físico em estudo para as
de terminar.
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Newton-Raphson
Generalizemos agora para um sistema de n
equações.
Usando a notação matricial
Jxi+1 = -f + Jxi
em que
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Newton-Raphson
n
ininin
n
iii
n
iii
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
J
,
2
,
1
,
,2
2
,2
1
,2
,1
2
,1
1
,1
2013/03/19 MN 24
inii
T fff ,,2,1 ... f
Newton-Raphson
O sistema pode ser resolvido por eliminação
de Gauss, LU ou outro método.
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1,1,21,11
,,2,1
...
...
inii
T
inii
T
xxx
xxx
i
i
x
x
Newton-Raphson
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Newton-Raphson
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Newton-Raphson
É muito importante saber que a função func
tem de dar os valores da função e do
Jacobiano num determinado ponto. Este
ponto é definido pelas n coordenadas
presentes na função f.
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