METODO DE PREDICTOR - CORRECTOR

1. INTRODUCCION: Trabajo de investigacin que se realiza con la finalidad de adquirir los conocimientos necesarios sobre la simulacion de un sistema analitico en el computador desde sus inicios hasta la era moderna.

2. Objetivo: Trabajo de investigacin que se realiza con la finalidad de adquirir los conocimientos necesarios sobre la simulacion de un sistema analitico en el computador desde sus inicios hasta la era moderna. Con el desarrollo de estemtodo seconsiguedisminuir el margen de error, en los resultados del calculo de dosincgnitasde las derivadas parciales enmatemtica, realizadopor losmtodosanteriores (Euler - Runge-Kutta), y de esta manera facilitando su mejor capacidad de rendimiento para el trabajo.

3.MARCO TEORICO: Hasta ahora hemos visto mtodos de un solo paso. Tanto los mtodos predictores-correctores como los algoritmos de Gear que veremos a continuacin son mtodos multipaso. Los mtodos multipaso son algoritmos en que al pasar de un valor aproximado al siguiente, se tiene en cuenta la informacin recibida desde el principio de la integracin, ayudando a mantener una mejor concordancia entre la solucin aproximada y la exacta. Los mtodos predictores-correctores son de los ms empleados, y consiste en calcular cuando se conocen unos valores previos mediante un mtodo explcito (predictor) que conduce a . Seguidamente se emplea un mtodo implcito (corrector) en el que se toma como valor inicial. Un par cualquiera de mtodos de estas caractersticas puede ser usado como conjunto predictor-corrector, desendose que ambos algoritmos tengan un ELT del mismo orden. Un par predictor corrector muy usado se puede ofrecer a partir del mtodo explcito de Euler y del mtodo implcito del trapecio:

Mtodos multipasosLos mtodos estudiados hasta ahora son llamados mtodos de un paso, porque la aproximacin de la solucin en el punto i + 1 de la malla se obtiene con informacin proveniente de la aproximacin obtenida en el punto i. Aunque hay algunos mtodos (Runge-Kutta) que utilizan informacin en puntos interiores del intervalo [ti, ti+1], no la conservan para utilizarla directamente en aproximaciones futuras. Toda la informacin que emplean se obtiene dentro del subintervalo en que va a aproximarse la solucin.Como, en el momento de calcular la aproximacin en el punto ti+1, la solucin aproximada est disponible en los puntos to, t1, , ti de la malla, antes de obtener la aproximacin en ti+1, y como el error |wi y(ti)| tiende a aumentar con i, parece razonable desarrollar mtodos que usen estos datos precedentes ms precisos al obtener la solucin en ti+1. Se conocen como mtodos multipasos a aquellos que emplean la aproximacin en ms de uno de los puntos de red precedentes para determinar la aproximacin en el punto siguiente.

Definicin: Un mtodo multipasos de p pasos para resolver el problema de valor inicial (1)

es aquel mtodo cuya ecuacin de diferencias para obtener la aproximacin wn+1 en el punto tn+1 de la malla definida por {tn = a + h n, n = 1, ..., N}, con h = (b-a)/N, puede representarse por medio de la siguiente ecuacin, donde p es un entero mayor que 1:(2)

para n = p-1, p, , N-1, donde h = (b-a)/N, a0, a1, , ap,b-1, , bp son constantes y se especifican los valores iniciales w0 = a0, w1 = a1, w2 = a2, , wp-1 = ap-1. Se toma generalmente de la condicin inicial el valor w0 = a (el dato de la condicin inicial) y los dems valores necesarios para iniciar el mtodo se obtienen con un mtodo de Runge-Kutta u otro mtodo de un paso.Cuando b-1= 0, el mtodo es explcito o abierto, ya que la ecuacin (2) da de manera explcita el valor de wn+1 en funcin de los valores previamente determinados. Cuando b-1 0, el mtodo es implcito o cerrado, ya que en la ecuacin (2), wn+1 se encuentra en ambos lados, quedando especificado slo implcitamente. En la implementacin de un mtodo implcito, se debe resolver la ecuacin implcita para wn+1. No es evidente que siempre se pueda resolver esta ecuacin, ni que siempre se obtenga una solucin nica para wn+1. En caso que no se pueda resolver la ecuacin, se deber recurrir a algn mtodo de aproximacin de ecuaciones no lineales (Newton, por ejemplo).Aproximacin polinomialPara relacionar el mtodo de resolucin del PVI con la aproximacin polinomial, se debe establecer una relacin entre los coeficientes. Un polinomio de grado k est determinado de manera nica por k+1 coeficientes. El mtodo de resolucin del PVI planteado tiene 2 p + 3 coeficientes; por lo tanto, los coeficientes deben ser elegidos de manera que: 2 p + 3 k + 1(3)

El orden del mtodo numrico es el grado ms alto k de un polinomio en t tal que la solucin numrica coincide con la solucin exacta. Los coeficientes de la frmula del mtodo pueden obtenerse eligiendo un conjunto base de funciones {f1, f2, ..., fk} definidas por (4)

y que resuelvan el conjunto de ecuaciones multipasos(5)

para todo j = 0, 1, ..., k. (porque si fj es solucin de la ecuacin, entonces fj' = f(t, fj ), y fj (tn-i)= wn-i )Este mtodo puede aplicarse para derivar varios mtodos de resolucin numrica de PVI de primer orden.Consideremos por ejemplo, el caso donde p = 0 y k = 1. Estos valores de p y k satisfacen la ecuacin (3) (con el signo >), por lo tanto es posible determinar coeficientes que devuelvan como solucin exacta un polinomio de grado 1. El conjunto base para k = 1 es:f0(t) = 1, f1(t) = t (6)

cuyas derivadas son:f0'(t) = 0, f1'(t) = 1 (7)

y la ecuacin multipasos resulta:(8)

Representando el mtodo multipasos de la ecuacin (6) en trminos de las funciones base, resultan las siguientes ecuaciones: (9)

Reemplazando en la ecuacin (9) la eleccin de las funciones base realizada en (6), se tienen las ecuaciones: (10)

De la primera ecuacin en (10), resulta a0 = 1. Teniendo esto en cuenta, y recordando que h = tn+1 - tn, de la segunda ecuacin en (10) tenemos: b-1 + b0 = 1(11)

Esta eleccin de orden y grado, nos conduce entonces a dos ecuaciones con tres incgnitas: a0 = 1b-1 + b0 = 1(12)

Eligiendo por ejemplo, a0 = 1, b-1 = 0 y b0 = 1, se obtiene el ya conocido Mtodo de Euler: wn+1 = wn +h f(wn , tn )(13)

Otra eleccin posible sera a0 = 1, b-1 = 1 y b0 = 0. En este caso, se obtiene otro mtodo para aproximar PVI de primer orden: wn+1 = wn +h f(wn+1 , tn+1)(14)

En este caso, el mtodo resultante es llamado generalmente Euler hacia atrs, o Euler implcito, puesto que wn+1 est definido por la ecuacin (14) en forma implcita:Si ahora se eligen los valores p = 0 y k = 2, se tiene que 2p + 3 = k + 1. En este caso, los coeficientes pueden ser determinados de manera nica. Eligiendo como funciones base f0(t) = 1, f1(t) = t, f2(t) = t2 (15)

sus derivadas son:f0'(t) = 0, f1'(t) = 1, f2'(t) = 2t, (16)

y la ecuacin multipasos, para cada una de ellas, resulta:(17)

que, reemplazando por los valores en (15) y (16), resulta en el sistema:(18)

Haciendo tn = 0, resulta tn+1 = h, por lo tanto, resolviendo el sistema, se tiene la solucin nica: a0 = 1, b0 = 1/2, b-1 = 1/2, resultando entonces la frmula:(19)

Esta frmula de segundo orden, implcita, se llama mtodo trapezoidal. Se llama as ya que el segundo trmino de la ecuacin (19) puede interpretarse como el rea bajo un trapezoide. Esta frmula es considerada de segundo orden, porque se requiere informacin en dos puntos: tn y tn+1.Hasta aqu los ejemplos que se desarrollaron resultaron mtodos de un paso. Segn cmo se eligen los coeficientes ai y bi en la frmula (2), resultan distintas frmulas multipasos. Hay dos grandes familias de mtodos, los mtodos de Adams y los mtodos de Gear. Ambas familias proveen frmulas de mtodos multipasos propiamente dicho, porque utilizan informacin en ms de un punto previo de la malla. Veamos ahora los mtodos de Adams, los mtodos de Gear son utilizados para ecuaciones rgidas, y se describen en la pestaa correspondiente.Mtodos de AdamsLa frmula general de los mtodos multipasos est dada por:(20)

Se puede demostrar que esta frmula da el valor exacto para y(tn+1) cuando y(t) es un polinomio de grado menor o igual a k si se cumplen las siguientes restricciones de exactitud:(21)

Las restricciones de exactitud dadas en (21) suelen ser llamadas restricciones de consistencia. Los mtodos numricos multipasos dados por (20) que cumplen la condicin (21) se dicen "consistentes".Para un polinomio dado de grado k, estas restricciones pueden ser satisfechas por una amplia variedad de posibilidades. Muchas familias de mtodos han sido desarrolladas predefiniendo algunas de las relaciones entre los coeficientes.La familia de los mtodos de Adams, por ejemplo, est definida mediante la asignacin del valor 0 a los coeficientes a1, a2, ..., ap de la frmula (20), quedando slo el coeficiente a0, que deber tomar el valor 1 para cumplir con la primera de las restricciones de consistencia (21), y se toma p = k -1,. As, la frmula de los mtodos de Adams, queda reducida a:(22)

Los mtodos de Adams, dados por la frmula (22), pueden ser clasificados en dos grupos, explcitos o implcitos, segn cmo se haga la eleccin del coeficiente b-1. La clase de los mtodos explcitos de Adams, tambin llamados mtodos de "Adams-Bashforth", se obtiene haciendo b-1 = 0 y los restantes bi, se obtienen aplicando la segunda restriccin de consistencia de (21), tomando p = k-1):(23)

En forma matricial, el sistema dado en (23) resulta:(24)

Seleccionando el valor de k deseado (y consecuentemente, el orden p que es igual a k-1) y resolviendo el sistema (24), se obtienen los restantes coeficientes bi de la frmula (23), para obtener la frmula de el mtodo de Adams-Bashforth de orden p. La versin implcita de los mtodos de Adams, llamados mtodos de "Adams-Moulton", se obtiene con b-1 0 y los restantes bi, se obtienen aplicando la segunda restriccin de consistencia de (21) (p = k-2):(25)

En forma matricial, el sistema dado en (25) resulta:(26)

Seleccionando el valor de k deseado (y consecuentemente, el orden p que es igual a k-1) y resolviendo el sistema (26) se obtienen los restantes coeficientes bi de la frmula (25), para obtener la frmula de el mtodo de Adams-Moulton de orden p. Se dan a continuacin los mtodos de Adams-Bashforth de cuatro pasos, y el de Adams-Moulton de tres pasos.

Mtodo de Adams-Bashforth de cuatro pasosSe calculan los valores iniciales w0 = a0, w1 = a1, w2 = a2, w3 = a3 (con el mtodo de Runge-Kutta), y se aplica la frmula:(27)

Se deja como ejercicio verificar, resolviendo el sistema dado en (24) para p = 4, los coeficientes de la ecuacin (27). Puede demostrarse que el error local de truncamiento |wi y(ti)| en el mtodo de Adams-Bashforth de cuatro pasos est dado por la expresin:(28)

para algn i[ti-3, ti+1]. Es decir, este mtodo es del orden de h4.Se muestra a continuacin el pseudocdigo del algoritmo de este mtodo. Los parmetros de entrada de este algoritmo son: los extremos del intervalo inicial a y b, el valor de la condicin inicial, a, y la cantidad de puntos a considerar en la malla, N.

Mtodo de Adams-Moulton de tres pasosSe calculan los valores iniciales w0 = a0, w1 = a1, w2 = a2 (con el mtodo de Runge-Kutta), y se aplica la frmula:(29)

Se deja como ejercicio verificar los coeficientes de la frmula (29), resolviendo el sistema de ecuaciones dado en (26).Puede demostrarse que el error local de truncamiento |wi y(ti)| en el mtodo de Adams-Moulton de tres pasos est dado por la expresin:(30)

para algn i[ti-2, ti+1]. Es decir, este mtodo tambin es del orden de h4. Por ello se comparan siempre los resultados de aplicar el mtodo de Adams-Bashford de n + 1 pasos, contra el mtodo de Adams-Moulton de n pasos.Se muestra a continuacin el pseudocdigo del algoritmo de este mtodo.

Este mtodo requiere menos puntos y tiene la misma precisin que el anterior, pero tiene la dificultad de tener que resolver en cada paso una ecuacin, que puede ser no lineal, en cuyo caso se deber aplicar un mtodo de aproximacin de soluciones de ecuaciones no lineales.

El Metodo Predictor Corrector fue diseado por dos Fisicos Matematicos de edades diferentes en su epoca, cuando cada uno en forma independiente crearon su metodo ellos son.Mtodo predictor-correctorEn la prctica, los mtodos multipasos implcitos no se emplean como se mostr aqu. Se utilizan para mejorar las aproximaciones obtenidas con mtodos explcitos. La combinacin de un mtodo explcito con uno implcito recibe el nombre de mtodo predictor-corrector: El mtodo explcito predice una aproximacin, y el mtodo implcito la corrige.Consideremos el siguiente mtodo de cuarto orden para resolver un problema de valor inicial. El primer paso consiste en calcular los valores iniciales w0, w1,w2 y w3 para el mtodo de Adams-Bashforth de cuatro pasos. Para ello, se puede usar el mtodo de Runge-Kutta. El siguiente paso consiste en calcular una primer aproximacin w4(0) en el punto t4 de la malla usando como predictor el mtodo de Adams-Bashforth:(38)

Luego, se mejora esta aproximacin utilizando el mtodo de Adams-Moulton de tres pasos como corrector, introduciendo el valor de w4(0) en el lado derecho:(39)

En este procedimiento, la nica nueva evaluacin de la funcin que se necesita calcular es f(t4, w4(0)) en la ecuacin del corrector. El resto de las evaluaciones de f ya haban sido calculadas para la aproximacin anterior.Luego, se utiliza el valor w4(1) como aproximacin de y(t4), y se repite la tcnica que consiste en utilizar como predictor el mtodo de Adams-Bashforth y como corrector el de Adams-Moulton para obtener w5(0) y w5(1), las aproximaciones inicial y mejorada de y(t5), y as sucesivamente.A continuacin se presenta el pseudocdigo del mtodo predictor-corrector de Adams de cuatro pasos.

ADAMS BASHFORTH creo el metodo Predictor y ADAMS MOULTON creo el metodo CorrectorGenerando de su union el Metodo Predictor / Corrector-

En matemticas , en particular el anlisis numrico , un mtodo predictor-corrector es un algoritmo que procede en dos pasos. En primer lugar, el paso de prediccin calcula una aproximacin de la cantidad deseada. En segundo lugar, el paso corrector refina la aproximacin inicial utilizando otros medios.

3.1 Frmulas directas, Mtodos de Adams-BashforthLas frmulas directas (abiertas) pueden utilizarse solas. Al uso de las frmulas directas de Adamssolas, se les llama mtodos o predictores de AdamsBashforth.Los mtodos de Adams-Bashforth ms utilizados son los de segundo y cuarto orden. Como sepodr apreciar en sus ecuaciones, estas requieren del conocimiento de la derivada evaluada enuno o hasta tres instantes anteriores respectivamente, por lo que la solucin de la ecuacin diferencial debe iniciarse con un procedimiento del tipo Runge-Kutta del mismo orden paraobtener la informacin inicial requerida por el mtodo de Adams.3.1.1 Mtodo de segundo ordenEste mtodo est dado por la ecuacin

cuyo error por truncamiento es

3.2 Frmulas implcitas, Mtodos de Adams-MoultonLas frmulas implcitas (cerradas) no pueden utilizarse solas y se les llamar mtodos o correctoresde Adams-Moulton.3.2.1 Mtodo de segundo ordenEste mtodo est dado por la ecuacin

el cual es comnmente llamado mtodo trapezoidal cerrado3.3 Mtodos predictor - correctorSi bien las frmulas directas se pueden utilizar solas, proveyndoles la informacin de arranquenecesaria, las frmulas implcitas no pueden emplearse solas.Para poder hacer uso de las frmulas de integracin numrica para el clculo de yn+1 cuando b10 , se debe obtener primero una estimacin del valor de yn+1 denominado, calcular luego

Se debe entonces predecir primero el valor de yn+1 utilizando una frmula de integracin directa yluego corregir el valor predicho con una frmula de integracin implcita, crendose as los mtodosdel tipo predictor corrector, los cuales emplean una frmula directa como predictor y unafrmula implcita como corrector, ambas con errores por truncamiento del mismo orden.3.3.1 Mtodo trapezoidal modificado (2 orden)Uno de los mtodos ms sencillos del tipo predictor - corrector se obtiene utilizando los mtodos de Adams de 2 orden (el de Adams-Bashforth como predictor y el de Adams Moulton, integracin trapezoidal cerrada, como corrector). En su versin ms simple el corrector se utilizara una sola vez en cada iteracin, haciendo del mismo un mtodo de paso fijo cuyas ecuaciones estn dadas por:

3.3.2 Mtodo de Adams-Bashforth-Moulton de 4 ordenAl uso de una frmula de Adams abierta (predictor) junto con una frmula de Adams cerrada (corrector) se le conoce como mtodo de Adams-BashforthMoulton, siendo el de 4 orden

3.3.3 Mtodo de Milne de 4 ordenEste es otro mtodo predictor corrector con un error Ot5 cuyas ecuaciones son: 3.3.4 Mtodo de Milne de 6 orden3.4 Algoritmo de solucinLa utilizacin combinada de los mtodos de integracin del tipo Runge-Kutta con los mtodosnumricos predictor corrector, permite desarrollar un algoritmo de solucin de ecuaciones diferencialesde paso variable el cual en trminos generales comprendera:1. Utilizar un algoritmo RungeKutta para iniciar la solucin y obtener la informacin requeridapor el mtodo predictor corrector2. En cada iteracin

3. Si la diferencia porcentual ente el valor predicho y el corregido es menor que un valor arbitrariamente pequeo, pero mayor que un valor dado, entonces continuar.4. Si la diferencia anterior no es menor que , utilizar entonces nuevamente el corrector obteniendo yn1 2 . Si en dos iteraciones del corrector no se logra la precision deseada, entonces el paso de integracion debe dividirse a la mitad y volver a utilizar el metodo de Runge.Kutta a partir del punto n para continuar la solucion, cambiando nuevamente al metodo predictor . corrector cuando se tenga la informacion requerida por este.5. Si la diferencia ente el valor predicho y el corregido es menor que , entonces el error cometidoes muy pequeno y se puede acelerar la solucion aumentando el paso de integracion aldoble, continuar con el metodo Runge.Kutta y luego el predictor . Corrector nuevamente6. El metodo continuara doblando o dividiendo por dos el paso de integracion de manera de mantener el error por truncamiento local dentro de los limites establecidos y tratando en todo caso de usar el paso de integracion mayor posible para obtener una solucion rapida.