Universidad Nacional

“Santiago Antúnez De Mayolo”

Filial – Barranca

Facultad de Ingeniería Civil

TEMA: METODO DE RAYLEIGH

CURSO: INGENIERIA ANTISISMICA

DOCENTE: ING. LOPEZ SOTO, José

ALUMNO: ZEVALLOS MEJIA, Roberto William

BARRANCA - 2014

MÉTODO DE RAYLEIGH

Este método fue desarrollado utilizando la ley de la conservación de la energía, permitiendo analizar sistemas de múltiples grados de libertad como un sistema equivalente de un grado de libertad, en función de una sola coordenada generalizada.

Funciones de desplazamiento y propiedades generalizadas

La mayoría de las estructuras pueden ser idealizadas como un voladizo vertical, cuyos desplazamientos se relacionan con las coordenadas generalizadas mediante

( , ) ( ) ( )u x t N x q t

Dónde:

Es la coordenada generalizada dependiente del tiempo que corresponde al

desplazamiento del extremo libre del voladizo

Es la función de forma para cualquier punto a lo largo del mismo.

En los sistemas con múltiples grados de libertad se hace necesario expresar las fuerzas elásticas y amortiguadoras en función de los desplazamientos relativos.

El desplazamiento virtual puede ser escrito como:

Dónde:

( )

Las fuerzas de inercia, amortiguamiento y elástica pueden ser expresadas como

Que siendo sustituidas en la aplicación del trabajo virtual, resulta la siguiente ecuación de movimiento en términos de las coordenadas generalizadas

Dónde: , , y son los parámetros generalizados.

= masa generalizada

= amortiguamiento generalizado

= rigidez generalizada

= fuerza generalizada

Definidos por:

∑

∑

∑

∑

Para una aceleración en la base dependiente del tiempo, la fuerza generalizada se convierte en:

Dónde: L es el factor de participación del terremoto

∑

Puede resultar conveniente expresar el amortiguamiento generalizado en términos del porcentaje de amortiguamiento crítico de la siguiente manera

∑

Dónde: representa la frecuencia circular del sistema generalizado y está dada por

√

El Método de Rayleigh

Dado un sistema elástico sin amortiguamiento, la máxima energía potencial en términos de la coordenada generalizada puede escribirse como.

Máxima Energía Potencial

∑

Máxima Energía Cinética

∑

De acuerdo con el principio de conservación de la energía, estos valores máximos deben ser iguales entre sí e iguales a la energía total del sistema. Por tanto, el método de Rayleigh consiste en determinar la frecuencia natural del sistema mediante la igualación de ambas energías máximas.

Frecuencia natural: √

Período: √

EJERCICIO DE APLICACIÓN– MÉTODO DE RAYLEIGH

1.- Calcule el periodo fundamental, la configuración del primer modo y la frecuencia natural de la estructura mostrada a continuación, usando el método de Rayleigh.

Solución

1. Selección de las fuerzas laterales

Las cargas laterales en el método de Rayleigh vienen dadas por las fuerzas de inercia, es decir, el producto de cada masa con su respectiva aceleración. Puesto que solo conocemos las masas, las fuerzas de inercia se escogen arbitrariamente, con valores descendentes desde las masas superiores hacia las inferiores. Como en nuestro caso las propiedades de la estructura son similares en cada nivel, se asume que las aceleraciones, y por tanto las cargas inerciales, varían linealmente desde el nivel del techo. Dado que la magnitud de las fuerzas de inercia es irrelevante, asumimos los valores de 8, 6, 4 y 2 kip para cada nivel (de las masas superiores a las inferiores) por conveniencia en los cálculos.

2. Cortante de piso

Empleando el método de las secciones, con las fuerzas de inercia como cargas externas, calculamos el cortante en cada uno de los niveles de la estructura. Dicho de una manera simple, el cortante en un nivel es igual a la suma de las fuerzas laterales en las masas superiores al mismo.

3. Desplazamientos relativos de cada nivel

De la ley de Hooke se tiene que el desplazamiento relativo de las masas es igual al cortante dividido por la rigidez del entrepiso.

4. Desplazamiento total de cada nivel

Es la acumulación de los desplazamientos relativos por cada nivel.

5. Función de forma

Se obtiene dividiendo los desplazamientos de cada nivel entre el máximo desplazamiento (el del nivel superior)

6. Masa generalizada

∑

* 2 2 2 2

* 2

(0.23)(1) (0.25)(0.8667) (0.25)(0.6333) (0.25)(0.3333)

0.5458 . /

m

m kip s m

7. Fuerza generalizada

∑

8. Período fundamental

√

√

9. Frecuencia natural

√

√

10. Configuración del primer modo de vibración

11. Resumen de los cálculos

METODO DE RAYLEIGH

Nivel K (k/in)

m

(K*s^2/in) P (K) V (K) ∆ ( V/K) v Φ (mi)(Φi^2) (Pi)(Φi)

4 0.23 8 0.3333 1 0.2300 8

180 8 0.0444

3 0.25 6 0.2889 0.8667 0.1878 5.2000

180 14 0.0778

2 0.25 4 0.2111 0.6333 0.1003 2.5333

180 18 0.1000

1 0.25 2 0.1111 0.3333 0.0278 0.6667

180 20 0.1111 0.0000 0.0000 0.5458 16.4000