método dedutivo prof. marcone sotéro [email protected]
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Método Dedutivo
Demonstramos implicações e equivalências pelo método das tabelas-verdade.
Problema:
O nvmero de linhas cresce muito rapidamente, à medida que aumenta o nvmero de proposições simples envolvidas no argumento. Com 10 proposições a tabela necessita de 1024 linhas, e com 11, o nvmero de linhas vai a 2048!
Método Dedutivo
O método dedutivo também é um método para demonstração de implicações e equivalências.
Como utilizar
Aplicando propriedades, leis e regras apresentadas até aqui.
Método Dedutivo
Demonstrar a implicação: P ^ Q => P
Regra da SimplificaçãoP ^ Q P Condicional~(P ^ Q) v P De Morgan(~P v ~Q) v P Associatividade(~P v P) v ~Q 3º Excluído (Tautologia)V v ~QV
Método Dedutivo
Demonstrar a implicação:(P Q) ^ ~Q => ~P (Modus Tollens)
(P Q) ^ ~Q Condicional(~P v Q) ^ ~Q Distributividade(~P ^ ~Q) v (Q ^ ~Q) (Contradição)(~P ^ ~Q) Simplificação ~P~P => ~P
Método Dedutivo
Demonstrar a implicação:(P Q) ^ ~Q => ~P (Modus Tollens)
(P Q) ^ ~Q Condicional(~P v Q) ^ ~Q Distributividade(~P ^ ~Q) v (Q ^ ~Q) (Contradição)(~P ^ ~Q)(~P ^ ~Q) ~P~(~P ^ ~Q) v ~PP v Q v ~PP v ~P v QV v Q
Forma Normal das Proposições
Diz-se que uma proposição está na forma normal (FN) se e somente se, quando muito, contém os conectivos ~, v,^.
Exemplos:
~P ^ ~Q
~(~P v ~Q)
(P ^ Q) v (~Q v R)
Forma Normal das Proposições
Há duas espécies de FN para uma proposição:
–Forma Normal Conjuntiva (FNC)
–Forma Normal Disjuntiva (FND)
São vteis em aplicações, principalmente em circuitos elétricos.
Forma Normal Conjuntiva (FNC)
Diz-se que uma proposição está na FNC se e somente se são verificadas as seguintes condições:
•Está na FN;•Não existe dupla negação;•A disjunção não tem alcance sobre a conjunção (não há componentes do tipo P v (Q ^ R) ).
Forma Normal Conjuntiva (FNC)
Exemplos:
~P ^ ~Q
~P ^ Q ^ R
(~P v Q) ^ (~Q v ~R)
Forma Normal Conjuntiva (FNC)
Determinar a FNC da proposição
P Q v ~R
(P (Q v ~R)) ^ ((Q v ~R) P) Condicional
(~P v (Q v ~R)) ^ (~(Q v ~R) v P) De Morgan
(~P v (Q v ~R)) ^ ((~Q ^ R) v P) Distributividade
(~P v (Q v ~R)) ^ ((P v ~Q) ^(P v R))
(~P v Q v ~R) ^(P v ~Q) ^(P v R)
Forma Normal Disjuntiva (FND)
Diz-se que uma proposição está na FND se e somente se são verificadas as seguintes condições:
•Está na FN;•Não existe dupla negação;•A conjunção não tem alcance sobre a disjunção (não há componentes do tipo P ^ (Q v R)).
Forma Normal Disjuntiva (FND)
Exemplos:
~P v Q
P v (~Q ^ R)
(~P ^ Q) v (P ^ Q ^ R)
Forma Normal Disjuntiva (FND)
Determinar a FND da proposição
(P Q) ^ (Q P)
(~P v Q) ^ (~Q v P)
((~P v Q) ^ ~Q) v ((~P v Q) ^P)
(((~P ^ ~Q) v (Q ^ ~Q)) v ((~P ^ P) v (Q ^ P)))
(~P ^ ~Q) v (Q ^ ~Q) v (~P ^ P) v (Q ^ P)
Argumentos
Exemplificando, a “condicional associada” ao argumento:P ^ ~Q, P ~R, Q v ~S ├ ~(R v S)
é:(P ^ ~Q) ^ (P ~R) ^ (Q v ~S) ~(R v S)
e o “argumento correspondente” à condicional:(P Q v R) ^ ~S ^ (Q v R S) (S P ^ ~Q)
é:P Q v R, ~S, Q v R S ├ (S P ^ ~Q)
Argumentos
Argumentos válidos fundamentais ou básicos:
Adição (AD) P ├ P v Q
Simplificação (SIMP) P ^ Q ├ P
Conjunção (CONJ) P, Q ├ P ^ Q
Absorção (ABS) P Q ├ P (P ^ Q)
Modus Ponens (MP) P Q, P ├ Q
Modus Tollens (MT) P Q, ~Q ├ ~P
Argumentos
Argumentos válidos fundamentais ou básicos:
Silogismo Disjuntivo (SD)
P v Q, ~P ├ Q
Silogismo hipotético (SH)
P Q, Q R ├ P R
Dilema Construtivo (DC)
P Q, R S, P v R ├ Q v S
Dilema Destrutivo (DD)
P Q, R S, ~Q v ~S ├ ~P v ~R
Regras de Inferência
Os argumentos básicos são usados para fazer inferências, e por isso chamam-se também regras de inferência.
Regras de Inferência permitem gerar formas de argumentos numa série de etapas simples e precisas de raciocínio chamada prova ou derivação.Cada etapa numa derivação é uma instância de uma das regras de inferência.
Regras de InferênciaPara escrever uma regra, utiliza-se a forma padrão: premissas sobre um traço horizontal e, em seguida, a conclusão sob o mesmo traço.
–Regra da Adição (AD): P____P v Q
–Regra Modus Ponens (MP):PP Q_____Q
Regras de Inferência
Exemplos de usos das regras de inferência:Regra Modus Ponens: Permite deduzir Q (conclusão) a
partir de P Q e P (premissas):
a) (1) ~P ~Q (2) ~P (3) ~Q
b) (1) X ≠ 0 X + Y > 1(2) X ≠ 0(3) X + Y > 1
Regras de Inferência
Regra do Silogismo disjuntivo: Permite deduzir da disjunção P v Q de duas proposições e da negação ~P (ou ~Q) de uma delas a outra proposição Q (ou P) :
a) (1) (P ^ Q) v R (2) ~R (3) (P ^ Q)
b) (1) X = 0 v X = 1(2) X ≠ 0(3) X = 1