Metodo grafico

SOLUCION DE PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL POR EL METODO GRAFICO.

El mtodo grfico se emplea para resolver problemas que presentan slo 2 variables de decisin. El procedimiento consiste en trazar las ecuaciones de las restricciones en un eje de coordenadas X1, X2para tratar de identificar el rea de soluciones factibles (soluciones que cumplen con todas las restricciones).La solucin ptima del problema se encuentra en uno de los vrtices de esta rea de soluciones creada, por lo que se buscar en estos datos el valor mnimo o mximo del problema.EJEMPLO 1:Una compaa de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditoras de empresas pequeas. Tienen inters en saber cuantas auditoras y liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisin. Una auditora en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de revisin, adems aporta un ingreso de 300 dls. Una liquidacin de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisin, produce un ingreso de 100 dls. El mximo de liquidaciones mensuales disponibles es de 60.OBJETIVO : Maximizar el ingreso total.VARIABLE DE DECISION: Cantidad de auditoras (X1).Cantidad de liquidaciones (X2).RESTRICCIONES : Tiempo disponible de trabajo directoTiempo disponible de revisinNmero mximo de liquidaciones.Maximizar Sujeto a:

La solucin ptima siempre se encuentra en uno de los vrtices del conjunto de soluciones factibles. Se analizan estos valores en la funcin objetivo. El vrtice que representa el mejor valor de la funcin objetivo ser la solucin ptima.

EJEMPLO 2.Un departamento de publicidad tiene que planear para el prximo mes una estrategia de publicidad para el lanzamiento de una lnea de T.V. a color tiene a consideracin 2 medios de difusin: La televisin y el peridico.Los estudios de mercado han mostrado que:1. La publicidad por T.V. Llega al 2 % de las familias de ingresos altos y al 3 % de las familias de ingresos medios por comercial.2. La publicidad en el peridico llega al 3 % de las familias de ingresos altos y al 6 % de las familias de ingresos medios por anuncio.La publicidad en peridico tiene un costo de 500 dls. por anuncio y la publicidad por T.V. tiene un costo de 2000 dls. por comercial. La meta es obtener al menos una presentacin como mnimo al 36 % de las familias de ingresos altos y al 60 % de las familias de ingresos medios minimizando los costos de publicidad.OBJETIVO : Minimizar los costos de publicidad.VARIABLE DE DECISION: Anuncios para las familias de ingreso alto (X1).Anuncios para las familias de ingreso medio (X2).RESTRICCIONES : Porcentaje de presentacin.Minimizar Sujeto a:

SOLUCION OPTIMA:

EJEMPLO 3.Un expendio de carnes acostumbra preparar carne para hamburguesa con una combinacin de carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res contiene 80 % de carne y 20 % de grasa y le cuesta a la tienda 80 centavos por libra. La carne de cerdo contiene 68 % de carne y 32 % de grasa y cuesta 60 centavos por libra. Qu cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda por cada libra de carne para hamburguesa si desea minimizar el costo y mantener el contenido de grasa no mayor de 25 %?Minimizar Sujeto a:

SOLUCION OPTIMA:

http://www.phpsimplex.com/ejemplo_metodo_grafico.htm

Ejemplo (parte 2): mtodo GrficoResolver mediante el mtodo Grfico el siguiente problema:MaximizarZ = f(x,y) = 3x + 2y

sujeto a:2x + y 18

2x + 3y 42

3x + y 24

x 0 , y 0

1. Inicialmente se dibuja el sistema de coordenadas asociando a un eje la variable "x" y al otro la "y" (generalmente se asocia 'x' al eje horizontal e 'y' al vertical), como se puede ver en la figura.2. Se marca en dichos ejes una escala numrica apropiada a los valores que pueden tomar las variables de acuerdo a las restricciones del problema. Para ello en cada restriccin se hacen nulas todas las variables excepto la correspondiente a un eje concreto, determinndose as el valor adecuado para dicho eje. Este proceso se repite para cada uno de los ejes.3. A continuacin se representan las restricciones. Comenzando con la primera, se dibuja la recta que se obtiene al considerar la restriccin como igualdad. Aparece representada como el segmento que une A con B y la regin que delimita sta restriccin viene indicada por el color AMARILLO. Se repite el proceso con las dems restricciones, quedando delimitadas la regin de color AZUL y ROJO para la segunda y tercera restriccin respectivamente.4. La regin factible es la interseccin de las regiones delimitadas tanto por el conjunto de restricciones, como por las condiciones de no negatividad de las variables, es decir, por ambos ejes de coordenadas. Dicha regin factible est representada por el polgono O-F-H-G-C, de color VIOLETA.

5. Como existe una regin factible, se procede a determinar sus puntos extremos, o vrtices del polgono que representa. Estos vrtices son los puntos candidatos a soluciones ptimas. En este ejemplo son los puntos O-F-H-G-C de la figura.6. Finalmente, se evala la funcin objetivo (3x + 2y) en cada uno de esos puntos (resultado que se recoge en la tabla siguiente). Como el punto G proporciona el mayor valor a la funcin Z y el objetivo es maximizar, tal punto constituye la solucin ptima: Z = 33 con x = 3 e y = 12.Punto extremoCoordenadas (x,y)Valor objetivo (Z)

O(0,0)0

C(0,14)28

G(3,12)33

H(6,6)30

F(8,0)24

Comparacin del mtodo Grfico y el mtodo SimplexLas sucesivas tablas construidas durante el mtodo Simplex van proporcionando el valor de la funcin objetivo en los distintos vrtices de la regin factible, ajustndose, a la vez, los coeficientes de las variables iniciales y de holgura.En la tabla inicial se ha calculado el valor de la funcin objetivo en el vrtice O, cuyas coordenadas (0,0) se corresponden con el valor que tienen las variables bsicas, siendo el resultado 0.Tabla I . Iteracin n 1

32000

BaseCbP0P1P2P3P4P5

P301821100

P404223010

P502431001

Z0-3-2000

La variable que entra a la base en el mtodo Simplex determina hacia qu nuevo vrtice se realiza el desplazamiento. En este ejemplo, como entra P1 (correspondiente a 'x'), el desplazamiento se lleva a cabo por la arista OF hasta llegar al vrtice F, donde se calcula el valor que toma la funcin Z. Este paso se produce en la segunda iteracin del mtodo Simplex, mostrado en la Tabla II. En ella se ha calculado el valor que corresponde al vrtice F obtenindose un valor Z = 24 para la funcin.Tabla II . Iteracin n 2

32000

BaseCbP0P1P2P3P4P5

P30201/310-2/3

P402607/301-2/3

P13811/3001/3

Z240-1001

Se realiza un nuevo desplazamiento por la arista FH, hasta llegar a H (datos en la Tabla III). En esta tercera iteracin se calcula el valor de la funcin en el vrtice H, obtenindose Z = 30.Tabla III . Iteracin n 3

32000

BaseCbP0P1P2P3P4P5

P2260130-2

P401200-714

P13610-101

Z300030-1

Se contina el proceso a travs de la arista HG, hasta llegar al vrtice G. Los datos obtenidos se reflejan en la Tabla IV. En este punto acaba el proceso, pudindose comprobar que la solucin no mejora al desplazarse por la arista GC hasta el vrtice C (no supera el valor actual de la funcin).Tabla IV . Iteracin n 4

32000

BaseCbP0P1P2P3P4P5

P221201-1/21/20

P50300-7/41/41

P133103/4-1/40

Z33005/41/40

El valor mximo de la funcin objetivo es 33, y corresponde a los valores x = 3 e y = 12 (coordenadas del vrtice G).Con el mtodo Grfico es necesario calcular el valor de la funcin objetivo en todos los vrtices de le regin factible, mientras que el mtodo Simplex acaba en cuanto halla el valor ptimo.Resolver con PHPSimplex: mtodo Simplex.