método karnaught

Dpt. TECNOLOGIA – IES CAP DE LLEVANT © 2008 1

Trabajando con Puertas Lógicas

Iniciación a la Electricidad y a la Electrónica


Tabla de Contenido

Introducción Puertas lógicas (símbolos y tablas de verdad) Implementación de funciones lógicas Simplificación de funciones lógicas Mapas de Karnaugh Circuitos con puertas NAND y NOR


Introducción

Cualquier circuito electrónico de control tiene una parte encargada de decidir, en función de unas variables de entrada (información de los sensores), de qué manera deben comportarse los actuadores.

Del estudio y diseño de esta parte del circuito se encarga la electrónica de control.

Los componentes electrónicos más sencillos con los que implementar circuitos de control son las puertas lógicas.

Una vez analizado y estudiado el problema seguiremos los siguientes pasos para su resolución:

Identificar entradas y salidas Diseñar el circuito eléctrico equivalente (con pulsadores) Averiguar el numero de posibles estados de las entradas Hallar la tabla de verdad del circuito equivalente Interpretar la tabla de verdad y describir una red de puertas que componen el sistema digital. Si es preciso, simplificar y minimizar la cantidad de lógica usada en un sistema. (Método de

Karnaugh) Diseño del circuito electrónico completo


Las puertas OR, AND y NOT

Símbolos para OR y AND

Símbolo para NOT

El circulo al final del triángulo es la representación de la negación


Tablas de verdad para las puertasOR. AND y NOTa b a + b

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

a b ab

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

a a’

0 1

1 0


Las puertas NAND y NOR

Como las otras puertas lógicas que estudiamos, también están disponibles en el comercio con dos, tres, cuatro y ocho entradas.

Símbolos para NAND

Símbolos para NOR


Tablas de verdad para las puertas NOR y NAND

a b (a + b)’

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

a b (ab)’

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0


Las puertas OR-Exclusiva y NOR-Exclusiva

a b a xor b

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

a b a xnor b

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Su salida se activa cuando tiene un número impar de entradas activas. Es muy utilizada como comparador de dos entradas.

X = A’B + AB’


Implementación de Funciones con Puertas Lógicas. Redes con AND, OR y NOT Una vez que se define el problema y se halla

la tabla de verdad correspondiente (o la función expresada como la suma de productos) se debe de definir el diagrama lógico, compuesto por una red de puertas lógicas que describan la función.


De la Tabla de Verdad a la Expresión Algebraica En la mayoría de los casos, un problema digital es

presentado en la forma de una declaración o como una tabla de verdad, esto nos obliga a tener la habilidad de llevar los datos de una tabla de verdad a una expresión algebraica.

En la tabla de verdad, cada combinación de las variables de entrada corresponde a un termino de producto estándar.

Es posible extraer una sumatoria de productos estándares sumando cada termino de producto cuyo resultado en la tabla de verdad es igual a 1.


Miniterminosa b c Minitérmino

0 0 0 A’B’C’

0 0 1 A’B’C

0 1 0 A’BC’

0 1 1 A’BC

1 0 0 AB’C’

1 0 1 AB’C

1 1 0 ABC’

1 1 1 ABC

En la tabla se muestra la equivalencia entre las combinaciones de una tabla de verdad y los minitérminos que están asociados a cada uno de los productos estándares de una expresión algebraica.

Los minitérminos pueden ser referidos también por sus números, que están mostrados en la columna de la derecha.


Ejemplozyxzyxyzxzyxf

X’

Y

Z’

X’

Y

Z

X

Y’

Z’

X

Y’

Z

x y z f

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 0


Problema

Implementar con puertas lógicas la siguiente función

F = ACD+BCD+ABC+ABD Diagrama lógico


La simplificación de funciones lógicas El proceso de la simplificación de una función lógica

consiste en hallar una nueva función equivalente a la primera, cuya representación por puertas lógicas resulte más simplificado que el del circuito inicial. Existen dos métodos de simplificación:

Aplicando las propiedades de las operaciones lógicas.

Mediante mapas de Karnaugh


Sobre la simplificación

No existe una sola metodología para realizar la simplificación.

Sólo la práctica es la manera de alcanzar la simplificación óptima.

La aplicación de cualquiera de los métodos nombrados no garantiza el llegar a la simplificación óptima.


Mapas de Karnaugh

Es un método gráfico usado para la simplificación de funciones lógicas

Propuesto por Maurice Karnaugh en 1953 Los mapas de Karnaugh se compone de un

cuadrado por cada minitérmino posible de una función. 2 variables, 4 cuadrados 3 variables, 8 cuadrados 4 variables, 16 cuadrados


Representando funciones en un Mapa de Karnaugh (1) Cuando se quiere llevar una función a un

mapa, se coloca un 1 en el casillero correspondiente al minitérmino que resultó como 1 en la función.

Los otros casilleros se dejan en blanco Si existen condiciones irrelevantes, es

necesario poner una X en los minitérminos correspondientes.


Mapa de Karnaugh para dos variables

A’B’ AB’

A’B AB

0 1

0 0

0 1

0

1

A

B

Aquí tenemos dos vistas de una mapa de dos variables, las casillas sombreadas, por ejemplo, corresponden al minitérmino en el que A=1 y B=0

0 1A

B

0

1

F = AB’


Representando funciones en un Mapa de Karnaugh (2)

1

1

0 1

0

1

a

b1

1 1

0 1

0

1

a

b

F = a’b’ + ab F = a’b’ + ab + a’b


Mapa de Karnaugh para 3 y 4 variables

A’B’C’ A’BC’ ABC’ AB’C’

A’B’C A’BC ABC AB’C

00 01 11 10

0

1

AB

C

A’B’C’D’ A’BC’D’ ABC’D’ AB’C’D’

A’B’C’D A’BC’D ABC’D AB’C’D

A’B’CD A’BCD ABCD AB’CD

A’B’CD’ A’BCD’ ABCD’ AB’CD’

00 01 11 10

00

01

11

10

AB

CD


Simplificación usando Mapas de Karnaugh Una vez se ha representado la función en el mapa se marcan los

grupos adyacentes (se agrupan las casillas señaladas con un 1) hasta que no haya ningún 1 sin agrupar, y por este orden: Se procura formar el máximo nº de casillas de 8 unos. A continuación, se forma el máximo nº de grupos de 4 unos que no puedan

formar grupos de 8. Luego, se repite la acción con los grupos de 2 unos que no puedan formar

grupos de 4. Se finaliza tomando todos los 1 que queden sin formar ningún grupo.

Los grupos tienen que reunir el mayor número de 1 posible y no importa que dos grupos compartan algún 1

Una vez efectuados los agrupamientos se procede a eliminar la variable o variables que cambien en cada agrupación.


Ejemplo de adyacencia para un mapa de 4 variables Los 1 en dos celdas adyacentes corresponden a un solo término de

producto.

1 1

00 01 11 10

00

01

11

10

AB

CD

1

1

00 01 11 10

00

01

11

10

AB

CD

AC’D A’B’D’


Extendiendo el concepto de adyacencia para agrupar más celdas

1 1 1 1

00 01 11 10

0

1

AB

C

1 1 1 1

00 01 11 10

0

1

AB

C

A’C AC C


Otros ejemplos para grupos de 4

1

1 1 1

1 1 1

1

00 01 11 10

00

01

11

10

AB

CD

1 1

1 1

1 1

1 1

00 01 11 10

00

01

11

10

AB

CD

A’B’ AD B’D’ BD


Grupos de 8

1 1

1 1

1 1

1 1

00 01 11 10

00

01

11

10

AB

CD

1 1 1 1

1 1 1 1

00 01 11 10

00

01

11

10

AB

CD

A’ D’


Ejemplo de simplificación usando Mapas de Karnaugh

1 1

1 1 1

00 01 11 10

0

1

xy

zF = x’yz’ + x’yz + xy’z’ + xy’z + xyz

1 1

1 1 1

00 01 11 10

0

1

xy

z

x’y + xy’ + xz

x y z f

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 1


Problema f = a’b’c’ + a’bc’ + a’bc + ab’c’ x y z f

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 0

Para la función f encontrar la suma de productos mínima usando un mapa de karnaugh.

Implementar con puertas lógicas la función antes y después de simplificar


Problema: solución sin simplificar c’ab’ bca’ bc’a’ c’b’a’ f

a’

b’

c’

a’

b

c’

a’

b

c

a

b’

c’


1 1 1

1

00 01 11 10

0

1

ab

c

1 1 1

1

00 01 11 10

0

1

ab

c

Problema: solución simplificada

ba’ c’b’ f

a’

b

b’

c’


Implementar con puertas lógicas la función OR exclusiva de 3 entradas antes y después de simplificar

Implementar con puertas lógicas la siguiente función antes y después de simplificar f = a’b’c’d’ + a’bcd’ + ab’c’d + ab’c’d’ + a’b’cd + abcd’ + abcd

Implementar con puertas lógicas las siguientes funciones antes y después de simplificar

Ejercicios:


Ejercicios:x y z S1 S2 S3 S4 S5

0 0 0 0 1 0 1 1

0 0 1 0 1 0 0 0

0 1 0 0 1 0 1 0

0 1 1 0 1 1 0 0

1 0 0 0 1 0 1 1

1 0 1 0 1 1 0 0

1 1 0 0 1 0 1 1

1 1 1 1 0 0 0 0


Circuitos con puertas NAND y NOR (I) ¿Podemos implementar cualquier circuito

expresado como suma de minitérminos con un solo tipo de puertas lógicas?

SOLUCIÓN: SI


Circuitos con puertas NAND y NOR (II) Todas las funciones Booleanas pueden ser

substituibles por una función equivalente que utilice únicamente compuertas NAND y/o NOR, esto con los siguientes objetivos:

Disminución del número de componentes en una tarjeta de circuito impreso.

Dar facilidad de mantenimiento futuro Disminuir el consumo de energía.

La transformación de cualquier función se efectuará mediante la correcta utilización del teorema de Moorgan.


Teorema de MORGAN

CIRCUITO NAND EQUIVALENTE CIRCUITO NOR EQUIVALENTE


Algunas equivalencias


Metodología para transformar una expresión a NAND

1. Una vez obtenida la expresión correspondiente del problema digital, se realiza a todo el conjunto una doble inversión o negación.

2. Como nos encontramos en el caso de implementar con puertas NAND, si la expresión resultante está en función de productos, las dos negaciones deben dejarse tal cual. Si, por el contrario, es una suma, se aplica el teorema de Moorgan sobre dicha suma.

3. Continuar 2, hasta la obtención de una función compuesta exclusivamente como productos negados.


Problema: simplificar a circuito con NAND

a

b’

c’

a

b

a

c’

cba ba ca f

cba ba ca f

cba ba ca f

a

b’

c’

a

b

a

c’


Metodología para transformar una expresión a NOR1. Con la expresión correspondiente se realiza a todo el conjunto

una doble inversión o negación.2. Si la expresión resultante está en función de sumas, las dos

negaciones deben dejarse tal cual. Si se trata de un producto, tendremos que aplicar el teorema de Moorgan sobre el producto.

3. Continuar 2 (realizando el proceso anterior) hasta la obtención de una función compuesta exclusivamente por sumas negadas.

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