metodo runge kutta para o pendulo(não interessa para o 1)

UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE

Escola Superior de Cincias Marinhas e Costeiras

Oceanografia

III nvel

MODELAO E SIMULAO DOS PROCESSOS OCEANICOS

Modelao de um pndulo simples

Discentes: Docente:

Edson da Conceio Matos Prof.Dr. Fialho Nehama

Quelimane, Agosto de 2013

Modelo de Pndulo Simples

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ndice pag

Introduo ......................................................................................................................................... 4

Objectivos Geral................................................................................................................................ 5

Especifico ...................................................................................................................................... 5

Mtodos Utilizados............................................................................................................................ 5

Clculo da E.D.O. de 2. Ordem do pndulo simples no Programa Matlab 7.0 ................................ 8

Resultados ....................................................................................................................................... 11

Discusso ........................................................................................................................................ 12

Concluso ....................................................................................................................................... 13

Referncia Bibliogrfica .................................................................................................................. 14


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1. Introduo

Actual mente, a automao de sistemas de controles est se tornando cada vez mais associada com o

expressivo sector da informtica. Vrios tipos de controle so construdos, de maneira acelerada,

por sofisticados mtodos e recursos da computao. Abundantemente, podemos encontrar no campo

industrial, alguns desses sistemas de controles automticos: inovao espacial e blica, robtica,

transportes, sector de montagem automatizada, produo de equipamentos, controle de qualidade,

entre outros.

Desta forma, o controle torna-se indispensvel na vida moderna, de forma contnua e diversificada de

actuao, com abrangncia completa e ampla, em que o uso de sistemas automticos de controle tem

se difundido em larga escala, podendo mesmo ser considerados como alicerces para o

desenvolvimento tecnolgico. E entre os muitos desses sistemas existentes, podemos citar o pndulo

simples e o invertido.

A principal relevncia do pndulo simples a convenincia de possibilitar a determinao da

gravidade e tambm na verificao do movimento rotacional terrestre. E no caso especfico do

pndulo invertido, do ponto de vista tecnolgico, este sistema de extrema relevncia aos estudos e

pesquisas nesta rea, pois possibilita o esclarecimento dos problemas prticos integrados, que so

empregados no controle de sistemas na actualidade.

O pndulo simples constitudo por um corpo suspenso num fio leve e inextensvel. Quando

afastado da posio de equilbrio e solto, o pndulo oscila no plano vertical, em torno do

ponto de fixao do fio, por aco da gravidade. O seu movimento, rege-se pela lei de

Newton.

A originalidade do pndulo reside no fato de possuir liberdade de oscilao em qualquer

direco, ou seja, o plano pendular no fixo. A rotao deste se d com a rotao da Terra e

sua velocidade e direco de rotao permitem, igualmente, determinar a latitude do local da

experincia sem nenhuma observao astronmica exterior.


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2. Objectivos Geral

O objectivo geral do trabalho de modelar o movimento do pndulo, a variao da

velocidade e da elongao em funo do tempo para a soluo numrica e analtica.

2.1. Especifico

Analisar e modelar o movimento do pndulo especificamente a variao da velocidade e da

elongao versus tempo de no intervalo de zero a trs mil e seiscentos segundos para a

soluo numrica e analtica.

3. Mtodos Utilizados

A reviso bibliogrfica foi utilizada durante o desenvolvimento do trabalho, visando a

fundamentao terica dos assuntos referentes ao tema em questo, explorando

principalmente os aspectos de modelao, tanto de mbito fsico e matemtico. Para isto

foram consultadas pginas electrnicas, relatrios, e livros. usou-se o programa Matlab7.0

instalado no computador porttil INSYS StyleNote 2 CT49 Para se fazer correr o modelo do

pndulo simples Fig.1,

Fig.1 O pndulo simples e as forcas actuantes consideradas na modelagem simplificada


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Calculou-se Equaes Diferenciais Ordenarias (E.D.O) da segunda ordem

Usou-se equao diferencial ordinria que descreve o movimento angular do pndulo que obtida a partir das leis de Newton:

F = m.a (1)

(2)

(3)

Neste caso a condio inicial (condio de contorno) do problema q (0) =q0 (ngulo inicial

do pndulo).

Calculando a soluo da E.D.O de 2 ordem (3) atravs do Mtodo de Runge_Kutta de 2

ordem, de seguida converteu-se em um sistema de E.D.O de 1 ordem:

(4)

De modo a obter o sistema de E.D.O de 1 ordem:

(5)

Com condies iniciais (0) = 0 e P(0) = P0.

De seguida calculou-se a equao (5) de forma a resolver este sistema de equaes afim de

obter o valor da varivel p, e a equao (6) para obter a soluo em cada intervalo de

tempo.

A partir da aplicao de mtodo de Runge-Kutta nas equaes (5) e (6) resultou:

)

(6)


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K1 = Pi , K2 = Pi

Considerou-se os seguintes valores numricos: g = 9.8m/s2 , l = 0.5m , (0) = 60 e p(0) =

d/dt = 0 (velocidade inicial), usando o Mtodo de Runge-Kutta de 2 ordem (h = t = 0,01

s), verifica se instabilidade das solues para os valores crescentes de tempo Fig2.

Fig. 2. 1 Grfico ilustra elongao na soluo numrica o 2 grfico ilustra a variao da

velocidade angular p = d/dt e do deslocamento angular versus tempo no intervalo de 0-

10segundos.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

-5

0

5

10Elongao dum pndulo simples

T [s]

Elo

ngao [

m]

Soluo Numrica

Soluo Analtica

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

-5

0

5

10Velocidade dum pndulo simples

Tempo [s]

Velo

cid

ade [

m/s

] Soluo Numrica

Soluo Analtica


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Usando o Mtodo de Runge-Kutta de 2 ordem com (h = t = 0,001 s) com valores

numricos: g = 9.8m/s2 , l = 0.5m , (0) = 60 e p(0) = d/dt = 0 (velocidade inicial), as

solues so estveis e no apresenta instabilidade na resposta para tempos crescentes fig3.

Fig3 1 Grfico ilustra elongao na soluo numrica o 2 grfico ilustra a variao da

velocidade angular p = d/dt e do deslocamento angular versus tempo no intervalo de 0-10

segundos.

4. Clculo da E.D.O. de 2. Ordem do pndulo simples no Programa Matlab 7.0

Usou-se o Mtodo de Runge - Kutta de 2 ordem com condies de contorno: p(0) = 0, q(0) =

60

clear;

% constantes para o clculo da elongao e velocidade:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-5

0


T [s]

Elo

ngao [

m]

Soluo Numrica

Soluo Analtica

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-5

0


Tempo [s]

Velo

cid

ade [

m/s

] Soluo Numrica

Soluo Analtica


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t(1) = 0; % tempo inicial

p(1) = 0; % velocidade angular

q(1) = 60; q(1) = q(1)*pi/180; % Converso de ngulo de graus para radianos

g = 9.81; % Acelerao da gravidade

L = 0.5; % Comprimento do pndulo

%Condies

h = input('Incremento h: '); % (h = t)

tf = input('Valor final de t: ');% tempo final

n = floor((tf - t(1)) / h + 1); % Nmero de intervalos

for i = 1:n-1

t(i+1) = t(i) + h;

% Mtodo de Runghe-Kutta de 2a ordem

% Calculo da p(t) para a soluo numrica

k11 = -g/L*sin(q(i));

k21 = -g/L*sin(q(i));

p(i+1) = p(i) + h/2*(k11 + k21);

% Calculo de q(t) para a soluo analtica

k12 = p(i);

k22 = p(i);

q(i+1) = q(i) + h/2*(k12 + k22);

end

% Grficos das solues analtica e numrica de p(t) e q(t)

% Graficos das solucoes de p(t) e q(t)

figure(2); clf;

subplot(2,1,1)

plot(t,p,'color','g');

subplot(2,1,2)

plot(t,p,'color','k');

figure(3);clf;

subplot(2,1,1)

plot(t,p,'.b')


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hold on

plot(t,q,'k')

title('Elongao dum pndulo simples','fontsize',14)

legend('Soluo Numrica','Soluo Analtica')

xlabel('T [s]')

ylabel('Elongao [m]')

grid

subplot(2,1,2)

plot(t,p,'.r')

hold on

plot(t,q,'color','k')

title('Velocidade dum pndulo simples','fontsize',14)

legend('Soluo Numrica',' Soluo Analtica')

xlabel('Tempo [s]')

ylabel('Velocidade [m/s]')

grid


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5. Resultados

No estudo feito resulto se na Fig.4 a ilustrao da variao da elongao e velocidade angular

p = d/dt e do deslocamento angular versus tempo no intervalo de zero a trs mil e

seiscentos segundos, a elongao os valores da soluo numrica e analtica no

apresentaram variaes considervel nos primeiros segundos na condio de h = t = 0.001 s,

mais com o aumento do tempo verifica se uma instabilidade cresce provavelmente por terem

percorrido diferente espao e em unidade de tempo similares.

Fig. 4 o 1 Grfico ilustra elongao na soluo numrica o 2 grfico ilustra a variao da

velocidade angular p = d/dt e do deslocamento angular versus tempo.

0 20 40 60 80 100 120-10

-5

0

5


T [s]

Elo

ngao [

m]

Soluo Numrica

Soluo Analtica

0 20 40 60 80 100 120-10

-5

0

5


Tempo [s]

Velo

cid

ade [

m/s

] Soluo Numrica

Soluo Analtica


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Na Fig.5 com a condio de h = t = 0.01 s no intervalo de 0-3600 segundos, verifica se a

instabilidade os valores das solues crescem na medida em que o tempo aumenta nota se um

aumento brusco nos primeiros segundos para a elongao tanto para a velocidade, a diferena

de pequena escala no espao da na soluo analtica Fig.2 e no mesmo tempo.

Fig. 5. 1 Grfico ilustra elongao na soluo numrica o 2 grfico ilustra a variao da

velocidade angular p = d/dt e do deslocamento angular versus tempo no intervalo de 0-

10segundos.

6. Discusso

Tendo usado o Mtodo de Runge-Kutta de 2 ordem para a modelagem de pndulos simples

com (h = t = 0,001s no intervalo de tempo(s) de 0-100 na Fig.4, e para h = t = 0,01 no

intervalo de 0-3600s na Fig.4) e valores numricos g = 9.8m/s2 , l = 0.5m , (0) = 60 e p(0)

= d/dt = 0 (velocidade inicial), o processamento de dados levou mais de 6 horas de tempo e

por fim o programa de para a o plote dos grficos, num computador com a Unidade de

Central de Processamento (CPU) de 1.86GHz e Memria de acesso aleatrio (RAM) de 2Gb,

com estas condies precisaremos de fazer uma diminuio do tempo caso for para analises

imediatas no intervalo de 0-10segundos ilustrado na Fig.2 e Fig.3.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000-50

0

50

100


T [s]

Elo

ngao [

m]

Soluo Numrica

Soluo Analtica

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000-50

0

50

100


Tempo [s]

Velo

cid

ade [

m/s

] Soluo Numrica

Soluo Analtica


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7. Concluso

A pois feito o estudo pode-se concluir que a velocidade na soluo analtica ronda nos 1m/s

positivo e negativo e na soluo numrica varia de 5m/s, verificando se o mesmo para a

elongao do pndulo no intervalo de tempo de 0-10segundos sendo h = t = 0,001 s, para o

caso em que tivermos o intervalo de tempo variando de 0-100segundos verifica se a

intabilidade nas solues, isto deve se ao aumento de tempo, em quanto para a soluo a

velocidade e a elongao varia entre 0,5 positivo e negativo nos primeiros segundos, no

incremento de h = t = 0.01s para o intervalo de tempo de 0-3600 segundos, a elongao

aumenta e rondam entre 120 m e tendo se verificado o mesmo na velocidade.


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8. Referncia Bibliogrfica

RIBEIRO, R. Implementao de um Sistema de Controle de um Pndulo Invertido. Dissertao (Mestrado em Engenharia Eltrica) Programa em Ps-Graduao em Engenharia Eltrica. Itajub: UNIFEI, 2007. Disponvel em: Acesso em: 20

jan. 2012.

PET MATEMTICA UFSM; Noes Bsicas de Utilizao e Programao em MATLAB. Santa

Maria, 2008.

CHAPMAN, S.J.; Programao em MATLAB para engenheiros. Traduo tcnica: Flvio Soares

Correa da Silva, So Paulo, Thomson Learning, 2006.

LIMA, F. A. de; et al. Desenvolvimento de uma Plataforma Experimental para o Ensino de Controle de Processos. In: II Congresso de Pesquisa e Inovao da Rede Norte Nordeste de

Educao

Tecnolgica, 2007. CD-ROM.

http://www.demar.eel.usp.br/metodos/programas.html

metodo runge kutta para o pendulo(não interessa para o 1)

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