metodo simplex

Juan José Bravo B., M.Sc.

Solución de Modelos de Programación Lineal

El Metodo Simplex

Juan José Bravo B, M.Sc. ©


EL MÉTODO SIMPLEX

Es un método genérico de solución de problemas lineales, desarrollado por George Dantzig en 1947.

Como tal, el método simplex es un procedimiento algebraico, pero puede entenderse más fácilmente como un método geométrico.

Antes de explicar los aspectos geométricos del Simplex, veremos el tratamiento que debe hacerse a cualquier modelo de PL antes de aplicar el Método Simplex sobre él para solucionarlo.


Conversión de modelos de PL a la Forma Estándar

Todo modelo de PL, para efectos de resolverse con el Método Simplex, debe llevarse a una Forma Estándar con las siguientes características:

1. El lado derecho de las ecuaciones debe ser no-negativo

2. Todas las restricciones deben convertirse a Ecuaciones

3. Todas las variables deben ser no-negativas

EJEMPLO: Maximizar Z = 2x1 + 3x2 + x3

Sujeto a: x1 + x2 + x3 = 10

-2x1 + 3x2 + 2x3 ≤ -5

7x1 - 4x2 + 5x3 ≤ 6

x1 + 4x2 + 3x3 ≥ 8

x1 no restringida, x2 ≤ 0, x3 ≥0

/1



/2

Maximizar Z = 2x1 + 3x2 + x3

Sujeto a: x1 + x2 + x3 = 10

-2x1 + 3x2 + 2x3 ≤ -5

7x1 - 4x2 + 5x3 ≤ 6

x1 + 4x2 + 3x3 ≥ 8



Sujeto a: x1 + x2 + x3 = 10

2x1 - 3x2 - 2x3 ≥ 5

7x1 - 4x2 + 5x3 ≤ 6

x1 + 4x2 + 3x3 ≥ 8



Sujeto a: x1 + x2 + x3 = 10

2x1 - 3x2 - 2x3 – S1 = 5

7x1 - 4x2 + 5x3 + S2 = 6

x1 + 4x2 + 3x3 – S3 = 8

x1 no restringida, x2 ≤ 0, x3 ≥0, S1≥0, S2≥0, S3≥0

1

2

Maximizar Z = 2x1 – 3x’2 + x3

Sujeto a: x1 – x’2 + x3 = 10

2x1 + 3x’2 - 2x3 – S1 = 5

7x1 + 4x’2 + 5x3 + S2 = 6

x1 - 4x’2 + 3x3 – S3 = 8

x1 no restringida, x’2 ≥ 0, x3 ≥ 0, S1≥0, S2≥0, S3≥0

3a

x2=-x’2



/3

3b

Maximizar Z = 2x1 – 3x’2 + x3

Sujeto a: x1 – x’2 + x3 = 10

2x1 + 3x’2 - 2x3 – S1 = 5

7x1 + 4x’2 + 5x3 + S2 = 6

x1 - 4x’2 + 3x3 – S3 = 8

x1 no restringida, x’2 ≥ 0, x3 ≥ 0, S1≥0, S2≥0, S3≥0

x1= x’1 - x’’1

Maximizar Z = 2x’1 – 2x’’1 - 3x’2 + x3

Sujeto a: x’1 – x’’1 – x’2 + x3 = 10

2x’1 – 2x’’1 + 3x’2 - 2x3 – S1 = 5

7x’1 – 7x’’1 + 4x’2 + 5x3 + S2 = 6

x’1 – x’’1 - 4x’2 + 3x3 – S3 = 8

x’1≥ 0, x’’1 ≥ 0, x’2 ≥ 0, x3 ≥ 0, S1≥0, S2≥0, S3≥0

Forma Estándar donde:

S1 y S3 Variables de Exceso

S2 Variable de Holgura


Soluciones Básicas

EJEMPLO: Minimizar Z = -3x1 - 5x2

Sujeto a: x1 ≤ 4

2x2 ≤ 12

3x1 + 2x2 ≤ 18

x1 , x2 ≥ 0

Minimizar Z = -3x1 - 5x2

Sujeto a: x1 + S1 = 4

2x2 + S2 = 12

3x1 + 2x2 + S3 = 18

x1 , x2 , S1, S2, S3 ≥ 0

Forma

Estándar

El Método Simplex observa el conjunto de ecuaciones resultantes en la forma estándar, y dado que hayan “m” ecuaciones y ”n” incognitas (en este caso m = 3 y n = 5) le corresponde hacer (n-m) variables iguales a “cero” para poder tener soluciones consistentes. Las soluciones que logra de esta manera se llaman Soluciones Básicas.

x1 x2 s1 s2 s3

0 0 4 12 18

0 6 4 0 6

0 9 4 -9 0

4 6 0 0 -6

2 6 2 0 0

4 3 0 6 0

6 0 -2 12 0

4 0 0 12 6


Soluciones Básicas Factibles (SBF)

x1 x2 s1 s2 s3

P1 0 0 4 12 18 Fact

P2 0 6 4 0 6 Fact

P3 0 9 4 -9 0 NO

P4 4 6 0 0 -6 NO

P5 2 6 2 0 0 Fact

P6 4 3 0 6 0 Fact

P7 6 0 -2 12 0 NO

P8 4 0 0 12 6 Fact

Los puntos resaltados con verde representan Soluciones Básicas Factibles ya que cumplen con todas las restricciones. Los demás puntos violan restricciones de no-negatividad. El Método Simplex únicamente considera para su análisis las SBF.

Las SBF son los vértices de la Región Factible y por tanto allí estará el óptimo.


P1

P5P2

P6

P8

Búsqueda Geométrica del Optimo

Punto Factibles

Puntos Adyacente

s

Valor Z en el Punto

Valor Z en los Adyacentes

P1 P2 y P8 Z = 0 P2 (Z = -30) y P8 (Z = -12)

P2 P1 y P5 Z = -30 P1 (Z = 0) y P5 (Z = -36)

P5 P2 y P6 Z = -36 P2 (Z = -30) y P6 (Z = -27)

P6 P5 y P8 Z = - 27 P5 (Z = -36) y P8 (Z = -12)

P8 P1 y P6 Z = -12 P1 (Z = 0) y P6 (Z = -27)

El Método Simplex inicia explorando uno de los puntos, usualmente el origen (en este caso P1), y saltará a un punto adyacente sólo si éste salto mejora el valor de Z.

Si estando en un punto se determina que ninguno de los adyacentes a él mejora el valor de Z, entonces se ha encontrado el óptimo.

En este caso el óptimo es el punto P5, y se encuentra en 3 iteraciones (P1 P2 P5).


Simplex TabularMinimizar Z = -3x1 - 5x2

Sujeto a: x1 + S1 = 4

2x2 + S2 = 12

3x1 + 2x2 + S3 = 18

x1 , x2 , S1, S2, S3 ≥ 0

Tabla 1

El Método Simplex inicia en el punto P1, que corresponde a la Tabla 1.

x1 x2 s1 s2 s3

P1 0 0 4 12 18

Variables Básicas

Coeficientes en la Función Objetivo

(Cj)

x1 x2 S1 S2 S3 Solución (R.H.S.)

S1 0 1 0 1 0 0 4

S2 0 0 2 0 1 0 12

S3 0 3 2 0 0 1 18

Zj - Cj 3 5 0 0 0 0

Variables No Básicas

Variables Básicas

Coeficientes de las restricciones

Valor Objetivo

/1


Simplex Tabular /2

Ya obtenida la Tabla 1, el Método Simplex se pregunta: ¿La Tabla 1 es óptima? (es decir, ¿el punto P1 es óptimo?).

Para ello observamos el renglón (Zj – Cj), que da sólo informacion de las Variables No Basicas

Para Minimización• Si un valor del renglón (Zj – Cj) es

positivo, indica que al darle valores a la variable no basica respectiva, mejora la funcion objetivo.

• Si un valor del renglón (Zj – Cj) es negativo, indica que al darle valores a la variable no basica respectiva empeora la funcion objetivo.

• Si un valor del renglón (Zj – Cj) es cero, indica que al darle valores a la variable no basica respectiva, no hay cambio en la funcion objetivo.

Si todos los valores del renglón (Zj – Cj) ≤ 0 entonces la Tabla es óptima

Debe ingresar a la solución la Variable No Basica que tenga el mayor valor positivo en el renglón (Zj – Cj)

ó

Criterio de Parada

Criterio de Entrada


Tabla 1Variables Básicas

Coeficientes en la Función Objetivo

(Cj)


Razón Mínima

(θ)

S1 0 1 0 1 0 0 4 -

S2 0 0 2 0 1 0 12 12/2 = 6

S3 0 3 2 0 0 1 18 18/2 = 9

Zj - Cj 3 5 0 0 0 0

Simplex Tabular /3

Para darle valores a la variable X2 (es decir, volver básica a X2), debe salir de la solución actual una de las variables básicas (es decir, una de ellas deberá volverse no basica ó “cero”).

Para saber cual variable básica actual sale, el Criterio de Salida es con base en la Razón Mínima (θ)

Columna entrante

Se calcula dividiendo el elemento de la columna R.H.S con el elemento de la columna entrante, siempre que el elemento de esta última columna sea positivo.

sale S2



Coeficientes en la Función Objetivo (Cj)


S1 0 1 0 1 0 0 4

S2 0 0 2 0 1 0 12

S3 0 3 2 0 0 1 18

Zj - Cj 3 5 0 0 0 0

Simplex Tabular/4



x1 X2 S1 S2 S3 Solución (R.H.S.)

S1 0 1 0 1 0 0 4

x2 -5 0 1 0 1/2 0 6

S3 0 3 0 0 -1 1 6

Zj - Cj 3 0 0 -5/2 0 -30

000053

1810023

1201020

400101

000053

1810023

602/1010

400101

3002/5003

611003

602/1010

400101

r2 / 2r4 -5r2

r3 -2r2


Simplex Tabular/5Tabla 2Variables Básicas



Razón θ

S1 0 1 0 1 0 0 4 4/1 =4

x2 -5 0 1 0 1/2 0 6 -

S3 0 3 0 0 -1 1 6 6/3 =2

Zj - Cj 3 0 0 -5/2 0 -30




S1 0 0 0 1 1/3 -1/3 2

x2 -5 0 1 0 1/2 0 6

x1 -3 1 0 0 -1/3 1-3 2

Zj - Cj 0 0 0 -3/2 -1 -36

x1 x2 s1 s2 s3

P2 0 6 4 0 6 Fact

x1 x2 s1 s2 s3

P5 2 6 2 0 0 Fact

Tabla OPTIMA


El Simplex y las Variables ArtificialesMinimizar Z = 4x1 + x2

Sujeto a: 3x1 + x2 = 3

4x1 + 3x2 ≥ 6

x1 + 2x2 ≤ 4

x1 , x2 ≥ 0

Minimizar Z = 4x1 + x2


4x1 + 3x2 – S2 = 6

x1 + 2x2 + S3 = 4

x1 , x2,S2, S3 ≥ 0

Estandarizacion Tradicional

Como n=4 y m=3, el Simplex hace n-m variables “cero” (en este caso una) para crear un sistema de ecuaciones consistente que arroje una Solucion Inicial Inmediata y Factible .

¿Puede Lograrlo con este ejemplo?

En general, las restricciones de “=“ y de “≥” generan problemas al Simplex al momento de construir la tabla inicial que arranca el procedimiento. En cambio cuando las restricciones son de “≤” no existen estos inconvenientes y el metodo puede iniciar sin problemas con las variables de holgura.

El Simplex soluciona estos inconvenientes de arranque creando Variables Artificiales.

/1


El Simplex y las Variables Artificiales/2

Min Z = 4x1 + x2


4x1 + 3x2 ≥ 6

x1 + 2x2 ≤ 4

x1 , x2 ≥ 0

Min Z = 4x1 + x2

Sujeto a:

3x1 + x2 = 3

4x1 + 3x2 – S2 = 6

x1 + 2x2 + S3 = 4

x1 , x2,S2, S3 ≥ 0

Min Z = 4x1 + x2 + MR1+ MR2

Sujeto a:

3x1 + x2 + R1 = 3

4x1 + 3x2 – S2 + R2 = 6

x1 + 2x2 + S3 = 4

x1 , x2, S2, S3, R1, R2 ≥ 0

Aquí n = 6 y m = 3, siendo (n-m) = 3. Es decir, al hacer 3 variables iguales a “cero” sale una Solucion Inicial Inmediata Factible. [Puede observar que estas 3 variables no básicas iniciales deben ser x1, x2, s2].

La Tabla Simplex Inicial se construye teniendo en cuenta que en el renglón (Zj – Cj) las variables básicas tienen necesariamente valores de “cero”.

Tenga en cuenta que en la Tabla 1:

- Variables No Básicas: x1, x2, s2

- Variables Básicas: R1, R2, S3


Min Z = 4x1 + x2 + MR1+ MR2

Sujeto a:

3x1 + x2 + R1 = 3

4x1 + 3x2 – S2 + R2 = 6

x1 + 2x2 + S3 = 4

x1 , x2, S2, S3, R1, R2 ≥ 0

De la primera y segunda restricción:

R1 = 3 - 3x1 - x2

R2 = 6 - 4x1 - 3x2 + S2

Transformación necesaria en la Función Objetivo:

Min Z = 4x1 + x2 + M(3 - 3x1 - x2) + M(6 - 4x1 - 3x2 + S2)

Min Z = (4 - 7M) x1 - (4M - 1)x2 + MS2 + 9M


Coeficientes en la Función

Objetivo (Cj)

x1 x2 S2 S3 R1 R2 Solución (R.H.S.)

R1 0 3 1 0 0 1 0 3

R2 0 4 3 -1 0 0 1 6

S3 0 1 2 0 1 0 0 4

Zj - Cj - (4-7M) (4M -1) -M 0 0 0 9M





Objetivo (Cj)

x1 x2 S2 S3 R1 R2 Solución (R.H.S.)

R1 0 3 1 0 0 1 0 3

R2 0 4 3 -1 0 0 1 6

S3 0 1 2 0 1 0 0 4

Zj - Cj - (4-7M) (4M -1) -M 0 0 0 9M




Objetivo (Cj)

X1 x2 S2 S3 R1 R2 Solución (R.H.S.)

X1 4 1 0 0 -1/5 2/5 0 2/5

X2 1 0 1 0 3/5 -1/5 0 9/5

S2 0 0 0 1 1 1 -1 1

Zj - Cj 0 0 0 -1/5 7/5-M -M 17/5

Tabla OPTIMA

NOTA: Las variables artificiales siempre deben ser al final No Básicas, o tener valor de “cero”, ya que solo fueron creadas para arrancar el procedimiento.


El Método Simplex _ CASOS ESPECIALES

Problema de múltiples soluciones Maximice Z = (5/2)X1 + X2 Sujeto a:

3X1 + 5X2 ≤ 15

5X1 + 2X2 ≤ 10

Xj > 0 ; j = 1, 2

Tabla Final OPTIMAVariables Básicas


x1 X2 S1 S2 Solución (R.H.S.)

S1 0 0 3.8 1 -0.6 9

X1 5/2 1 0.4 0 0.2 2

Zj - Cj 0 0 0 0.5 5

Entonces aquí la variable que entra es la que variable no-básica que tenga el valor (Zj - Cj) más negativo. Observe la variable No Básica x2 con un valor de “0”. Si esta variable entra, la funcion objetivo permanece inmodificable.

Observe que una Tabla Optima de MAXIMIZACION tiene todos los valores del renglón (Zj – Cj) ≥ 0. Es decir, el criterio funciona a la inversa de la Minimizacion.

Puede encontrarse otra solución con el mismo valor de Z!

Múltiples Soluciones


Problema de solución infinita (ó No Acotada)Minimice Z = - X1 + X2

Sujeto a: - X1 + X2 ≤ 0 - 0,5X1 + X2 ≤ 1 Xj > 0 ; j = 1, 2

Problema sin solución Cuando en la Tabla Final existe como solución una Variable Artificial con valor mayor que cero.

Tabla InicialVariables Básicas


x1 X2 S1 S2 Solución (R.H.S.)

S1 0 -1 1 1 0 0

S2 5/2 -0.5 1 0 1 1

Zj - Cj 1 -1 0 0 0

Entra x1 pero: ¿Cuál variable sale?

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