UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I

Profesor: Ing. Luis Medina Aquino

2013-1

1

16

8 20

A B

C

X2

X1

10

0

METODO SIMPLEX

Es un método sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones situadas en los vértices de optimalidad. El método Simplex termina una vez se haya encontrado la solución óptima.

Como veremos, cada vértice del conjunto factible de programación lineal puede representarse en forma algebraica como una clase particular de solución de un conjunto de ecuaciones lineales.

Se generan soluciones diferentes de tal forma que producen una secuencia de vértices adyacentes. Cada movimiento en la secuencia (de un vértice al adyacente) se llama iteración y el movimiento implica una manipulación en un sistema lineal.

Ejemplo:Se tiene el siguiente programa lineal, en su forma canónica:

Maximizar Z = 200 X1 + 240 X2Sujeto a:

6 X1 + 12 X2 1208 X1 + 4 X2 64 X1 0, X2 0

El conjunto de soluciones factibles estádeterminado por el polígono ABCD, endonde:Para A (0, 10) Z = 2,400Para B (4, 8) Z = 2,720Para C (8, 0) Z = 1,600Para D (0, 0) Z = 0

Variables de Holgura:

El método Simplex requiere que las restricciones sean ecuaciones (o restricciones con relación de igualdad) en vez de inecuaciones (o restricciones con relación de desigualdad).

Cualquier inecuación puede ser convertida en una ecuación agregando una cantidad no negativa en el lado de menor valor de la inecuación.

En la restricción 1 será: 6 X1 + 12 X2 + S1 = 120En la restricción 2 será: 8 X1 + 4 X2 + S2 = 64

El problema de programación lineal incorporando las variables de holgura se convierte en su forma estándar:

Maximizar Z = 200 X1 + 240 X2 + 0 S1 + 0 S2

D

2

Sujeto a:6 X1 + 12 X2 + 1 S1 + 0 S2 = 120 1a8 X1 + 4 X2 + 0 S1 + 1 S2 = 64 2a

X1, X2, S1, S2 0

Variables Básicas y Soluciones Básicas Factibles

El conjunto de soluciones básicas en el problema dado en 1a y 2a:Solución (1): X1 = 0, X2 = 0, S1 = 120, S2 = 64Solución (2): X1 = 8, X2 = 0, S1 = 72, S2 = 0Solución (2): X1 = 0, X2 = 1, S1 = 108, S2 = 60

Observe que las soluciones (1), (2) y (3) satisfacen también las restricciones de no negatividad. Por tanto, son soluciones factibles.

Si tenemos más variables que ecuaciones, podemos tener un conjunto extra de variables iguales a cero, obteniendo así un sistema con igual número de variables y restricciones. Una solución así es llamada una solución básica.

Una solución básica factible para las ecuaciones 1a y 2a es una solución que tenga a lo sumo dos (= número de ecuaciones) variables con valores positivos y el resto de variables con valores iguales a cero.

Las soluciones (1) y (2) son soluciones básicas factibles.

Solución (1): X1 = 0, X2 = 0 S1 = 120, S2 = 64 Variables no básicas (= 0) Variables básicas (> 0)

Solución (2): X2 = 0, S2 = 0 X1 = 8, S1 = 72 Variables no básicas (= 0) Variables básicas (> 0)

Solución (3): X1 = 0, X2 = 1, S1 = 108, S2 = 60En la solución 3 hay tres variables que son positivas, por tanto, es una solución factible pero no una solución básica factible.

Procedimiento de computo Simplex

En general, la forma estándar de un modelo de programación lineal de maximización es la siguiente:

Maximizar Z = C1 X1 + C2 X2 + .... + Cn Xn + Cn+1 Xn+1 + .... + Cn+m Xn+mSujeto a :a11 X1 + a12 X2 + .... + a1n Xn + Xn+1 (=S1) = b1

a21 X1 + a22 X2 + .... + a2n Xn + Xn+2 (=S2) = b2 …… ……. …….. ….am1 X1 + am2 X2 + .... + amn Xn + Xn+m (=Sm) = bm

Xj 0 j = 1, 2, 3, ...., m+n

3

TABLA SIMPLEX

Cj C1 C2 .... Cn Cn+1 Cn+2 ....Cn+mCB VB X1 X2 .... Xn Xn+1 Xn+2 ....Xn+m B

Cn+1 Xn+1 a11 a12 ....a1n 1 0 ....0 b1

Cn+2 Xn+2 a21 a22 ....a2n 0 1 ....0 b2.... .... .... .... .... .... .... .... ........ .... .... .... .... .... .... .... ....

Cn+m Xn+m am1 am2 ....amn 0 0 ....1 bmZj Z1 Z2 ....Zn Zn+1 Zn+2 ....Zn+m  CBTB

Cj - Zj C1-Z1 C2-Z2 ....Cn-Zn Cn+1-Zn+1 Cn+2-Zn+2 Cn+m -Zn+m

En este problema habrá m variables básicas con un valor positivo y n variables no básicas con valor cero, para que exista una solución básica factible.

ALGORITMO DEL METODO SIMPLEX

PASO #1:Cambiamos el programa lineal, de la forma canónica a la forma estándar, y luego el sistema lo pasamos al formato del tablero inicial. Esta tabla inicial se denomina Iteración 0.

PASO #2:Calculamos la fila Zj de acuerdo a la siguiente expresión: CBTB j = 1, 2, 3, ...., n+m.Zj = Es la disminución indirecta del valor de la función objetivo inducido al considerar en la solución una unidad de la variable asociada a la j-ésima columna no básica de la tabla, mientras las demás variables no básicas se mantienen en cero.

PASO #3:Calculamos la fila Cj – Zj j = 1, 2, 3, ...., n+m. Cj – Zj = es el costo de oportunidad de aumentar, si es positivo, la función objetivo por unidad de aumento de una variable no básica.

Casos:a) Si para al menos un j, Cj – Zj es positivo y si al menos un aij para este j es

positivo, entonces existe una mejor solución básica factible. Aún no se ha llegado a la solución óptima.

b) Si para al menos un j, Cj – Zj es positivo y todos los aij para este j son negativos, entonces la región de soluciones factibles no está acotada. Y la solución tiende a infinito.

c) Si todos los Cj – Zj son negativos y ceros, entonces la solución óptima se ha encontrado.

Para nuestro problema inicial, hemos cambiado de la forma canónica a la estándar. Ahora nos falta colocar los valores al tablero inicial junto con el paso #2. ITERACIÓN # 0

4

Cj 200 240 0 0CB VB X1 X2 S1 S2 B0 S1 6 12 1 0 1200 S2 8 4 0 1 64

Zj 0 0 0 0 0Cj - Zj 200 240 0 0  

PASO #4:Identificamos a la variable que nos da el mayor Cj – Zj tal como Xk (Sk), esta variable no básica es candidata para ingresar en la tabla como variable básica, y su columna se va a llamar columna pivote.

En contraparte, existe una variable básica Xr (Sr) que va a salir de la base. La fila que contiene a esta variable se denomina fila pivote. El criterio para su elección se basa en determinar el cociente bi / aik más pequeño, haciendo caso omiso (y por ende las filas) de los cocientes cuyo denominador sea cero o negativo. El número pivote es la intersección de la fila pivote y la columna pivote: ark.

PASO #5:El número pivote debe ser convertido a uno (+1), y la variable básica entrante reemplaza a la variable básica saliente en la columna de las variables básicas. Luego, cada uno de los coeficientes restantes en la columna pivote tiene que ser convertido a cero.

PASO #6:Repetimos los pasos 3, 4 y 5 hasta que algún tablero cumpla con la condición Cj – Zj 0, j = 1, 2, 3, ...., n+m.

Aplicando las reglas 4, 5 y 6 de nuestro problema ejemplo identificamos la columna pivote como aquella que tiene el mayor valor positivo de los Cj – Zj, y deducimos que la variable no básica X2 es la variable básica entrante. Calculando bi/ai2 obtenemos el menor valor (10), con lo cual identificamos la fila pivote, y determinamos que la variable S1 sale de la base.

Cj 200 240 0 0CB VB X1 X2 S1 S2 B b i / a i2 0 S1 6 12 1 0 120 10 Fila pivote0 S2 8 4 0 1 64 16

Zj 0 0 0 0 0Cj - Zj 200 240 0 0  

Columnapivote

El siguiente paso convertimos a 1 el valor del número pivote (12). Para ello dividimos toda la primera fila R0

1 (restricción uno de la iteración 0) entre 12.X1 X2 S1 S2 B

R01 1/2 1 1/12 0 10

5

R02 8 4 0 1 64

Luego, los demás valores de la columna pivote (X2) deben tener valor cero. Para ello hacemos la siguiente operación: A los valores de la fila R0

2 se le resta cuatro veces la fila R0

1, y se obtiene R12 (la restricción 2 de la iteración 1):

R02 8 4 0 1 64

- 4R01 -2 -4 -1/3 0 -40

R12 6 0 -1/3 1 24

La tabla resultante se muestra a continuación:

Cj 200 240 0 0CB VB X1 X2 S1 S2 B240 X2 1/2 1 1/12 0 100 S2 6 0 -1/3 1 24

Zj 120 240 20 0 2400Cj - Zj 80 0 -20 0  

Ya que existe un valor positivo (80) en la fila de Cj – Zj, entonces la tabla no es óptima, y se debe seguir trabajando con los pasos 4, 5 y 6, hasta que se cumpla la condición Cj – Zj 0, j = 1, 2, 3, ...., n+m.

El siguiente paso es identificar la columna pivote que es el mayor valor positivo de los Cj – Zj, vemos que este criterio se cumple para la columna de X1, por tanto esta variable no básica va a ingresar a la base, mientras que la variable básica que sale de la base es aquella que tiene el menor cociente bi/ai1, en este caso es S2. ITERACIÓN # 1

Cj 200 240 0 0CB VB X1 X2 S1 S2 B b i / a i2 240 X2 1/2 1 1/12 0 10 200 S2 6 0 -1/3 1 24 4 Fila pivote

Zj 120 240 20 0 2400Cj - Zj 80 0 -20 0  

Columnapivote

Luego, convertimos el número pivote (6) en 1, dividiendo la fila pivote entre 6.

El siguiente paso convertimos a 1 el valor del número pivote (12). Para ello dividimos toda la primera fila R0

1 (restricción uno de la iteración 0) entre 12.X1 X2 S1 S2 B

R11 1/2 1 1/12 0 10

R12 1 0 -1/18 1/6 4

6

Luego, los demás valores de la columna pivote (X2) deben tener valor cero. Para ello hacemos la siguiente operación: A los valores de la fila R0

2 se le resta cuatro veces la fila R0

1, y se obtiene R12 (la restricción 2 de la iteración 1):

R11 1/2 1 1/12 0 10

-1/2R12 -1/2 0 1/36 -1/12 -2

R21 0 1 1/9 -1/12 8

La tabla resultante se muestra a continuación:

ITERACIÓN # 2Cj 200 240 0 0

CB VB X1 X2 S1 S2 B240 X2 0 1 1/9 -1/12 8200 X1 1 0 -1/18 1/6 4

Zj 120 240 140/9 40/3 2720Cj - Zj 0 0 -140/9 -40/3  

Ya que todos los Cj – Zj, 0 entonces la tabla es óptima.La respuesta final es: X1 = 4 y X2 = 8 (variables básicas) y S1 = S2 = 0 (variables no básicas), y el valor de Z = 2720.

Nos podemos dar cuenta que, en cada tabla del procedimiento Simplex, los valores de X1 y X2 tienen valores de los vértices del polígono de la región factible. Esto quiere decir que cada tabla va recorriendo los vértices del polígono hasta llegar al vértice óptimo que me da el máximo valor de Z.

EJERCICIOS

Maximizar Z = 3 X1 + 4 X2 Sujeto a:

X1 + 2 X2 10003 X1 + 2 X2 1800

X2 400X1 0, X2 0

Maximizar Z = 3 X1 + 2 X2 + X3 Sujeto a:

X1 + 2 X2 + X3 10X1 + X2 + 2 X3 92 X1 + 3 X3 12

X1, X2, X3 0

Maximizar Z = 4 X1 2 X2 + 3 X3 Sujeto a:

X1 X2 X3 8 X2 X3 4

X1 + X3 12X1, X2, X3 0

Maximizar Z = 5 X1 3 X2 + X3 Sujeto a:

X1 + X2 10 X2 + X3 6 X1 X3 2

X1, X2, X3 0

Maximizar Z = X1 + 3 X2 + 2 X3 Sujeto a:

X1 + X2 X3 6 X1 + 2 X2 + X3 9

2 X1 + 3 X2 + X3 15X1, X2, X3 0

MAX Z = 4 X1 X2 + 3 X3 + 2 X4 Sujeto a:

5 X1 + X2 – 3 X3 + 5 X4 504 X1 X2 + X3 + 3 X4 44

X1 X3 + 2 X4 15X1, X2, X3, X4 0

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VARIABLES DE EXCESO O SUPERFLUAS

Una restricción lineal de la forma aij Xj bi se puede convertir en una igualdad, restando una nueva variable no negativa del lado izquierdo de la desigualdad.

Esta variable es numéricamente igual a la diferencia entre los lados izquierdo y derecho de la desigualdad, y se conoce como variable de exceso.

Ejemplo: 4 X1 + 6 X2 + X3 544 X1 + 6 X2 + X3 S1 = 54

Generación de una solución factible inicial

Después de que todas las restricciones lineales (con lados derechos no negativos) se han transformado en igualdades, introduciendo variables de holgura y de exceso donde sea necesario, agregue una nueva variable, llamada variable artificial, al lado izquierdo de cada ecuación de restricción que no contenga una variable de holgura. Ahora cada ecuación de restricción contendrá o una variable de holgura o una variable artificial.

Una solución inicial no negativa para este conjunto de restricciones se obtiene haciendo cada variable de holgura y cada variable artificial igual al lado derecho de la ecuación en la cual aparecen; y haciendo las otras variables, incluyendo las variables de exceso, iguales a cero.Ejemplo:

X1 + 2 X2 3 4 X1 + 5 X2 67 X1 + 8 X2 = 15

Se convierte en: X1 + 2 X2 + S1 = 3 4 X1 + 5 X2 S2 = 67 X1 + 8 X2 = 15

Si ahora se agregan respectivamente las variables artificiales a1 y a2 al lado izquierdo de las dos últimas restricciones, es decir, a las restricciones que no tengan variable de holgura; el resultado es:

X1 + 2 X2 + S1 = 3 4 X1 + 5 X2 S2 + a1 = 67 X1 + 8 X2 + a2 = 15

Una solución inicial no negativa a este último sistema es S1 = 3, a1 = 6, a2 = 15, como variables básicas, y X1 = X2 = S2 = 0 como variables no básicas.

Ocasionalmente, se puede generar fácilmente una solución sin un conjunto completo de variables de holgura y artificiales.

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Costos de penalización

La introducción de variables de holgura y de exceso no altera ni a la naturaleza de las restricciones ni a la función objetivo. Por consiguiente, estas variables se incorporan a la función objetivo con coeficientes cero.

Las variables artificiales, sin embargo, cambian la naturaleza de las restricciones. Ya que se agregan solo a un lado de una desigualdad, el nuevo sistema es equivalente al sistema anterior de restricciones solo si las variables artificiales tienen valor cero.

Para garantizar estas condiciones en la solución óptima (en contraste con la solución inicial), las variables artificiales se incorporan en la función objetivo con coeficientes positivos muy grandes si se trata de un programa de minimización, o con coeficientes negativos muy grandes si se trata de un programa de maximización.

Estos coeficientes, que se denotan con + M o –M, donde M se considera un número positivo muy grande, representan el severo costo de penalización en las variables artificiales.

Ejemplo:Forma Canónica

Minimizar Z = 20 X1 + 30 X2Sujeto a: 2 X1 + X2 10 (S1, a1)

3 X1 + 4 X2 24 (S2, a2)8 X1 + 7 X2 56 (S3, a3)

X1, X2 0

Forma EstándarMinimizar Z = 20 X1 + 30 X2 + 0 S1 + 0 S2 + 0 S3 + M a1+ M a2 + M a3

Sujeto a: 2 X1 + X2 1 S1 + 0 S2 + 0 S3 + 1 a1 + 0 a2 + 0 a3 = 103 X1 + 4 X2 + 0 S1 1 S2 + 0 S3 + 0 a1 + 1a2 + 0 a3 = 248 X1 + 7 X2 + 0 S1 + 0 S2 1 S3 + 0 a1 + 0 a2 + 1 a3 = 56

X1, X2, S1, S2, S3, a1, a2, a3 0

EL METODO SIMPLEX PARA UN MODELO DE MINIMIZACIÓN

Las modificaciones que se requieren para resolver un modelo de minimización son muy simples.

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Tome el negativo de la función objetivo y resuelva el problema como si fuese un modelo de maximización. Este artificio funciona debido a que para cualquier función (x) maximizará también a - (x).

Por lo tanto, tomando el negativo de una función objetivo de minimización y resolviéndolo como si fuese un modelo de maximización se obtendrá la solución óptima correcta del modelo de minimización original.

Minimizar Z = Maximizar (-Z)

En nuestro ejemplo anterior sería:

Forma EstándarMaximizar (Z) = 20 X1 30 X2 + 0 S1 + 0 S2 + 0 S3 M a1 M a2 M a3

Sujeto a: 2 X1 + X2 1 S1 + 0 S2 + 0 S3 + 1 a1 + 0 a2 + 0 a3 = 10

3 X1 + 4 X2 + 0 S1 1 S2 + 0 S3 + 0 a1 + 1a2 + 0 a3 = 248 X1 + 7 X2 + 0 S1 + 0 S2 1 S3 + 0 a1 + 0 a2 + 1 a3 = 56

X1, X2, S1, S2, S3, a1, a2, a3 0

ITERACION 0Cj -20 -30 0 0 0 -M -M -M

CB VB X1 X2 S1 S2 S2 a1 a2 a3 B- M a1 2 1 -1 0 0 1 0 0 10- M a2 3 4 0 -1 0 0 1 0 24- M a3 8 7 0 0 -1 0 0 1 56

Zj -13M -12M M M M -M -M -M -90MCj - Zj -20+13M -30+12M -M -M -M 0 0 0

PROBLEMAS NO FACTIBLES

Un programa lineal es no factible cuando no hay solución que satisfaga simultáneamente todas las restricciones y condiciones de no negatividad. Esto significa que el conjunto factible es vacío.

La señal de infactibilidad se presenta al obtener una tabla con las propiedades siguientes:1. Todos los costos de oportunidad (Cj – Zj) son no positivos (es decir, se ha

cumplido la terminación o criterio de Optimalidad.2. Una o más variables artificiales permanecen en la solución, con un valor

positivo. Es decir, una o más variables artificiales permanecen en la base y el dato asociado de la columna de los valores del lado derecho (B) es positivo.

Finalmente, ningún problema del mundo real correctamente formulado puede ser no factible. La infactibilidad es una anomalía matemática introducida por los

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analistas. Ya sea que las restricciones sean demasiado estrictas, tan estrictas que en su conjunto no puedan ser satisfechas simultáneamente o que se haya cometido un error de copiado al meter los datos a la computadora.

Minimizar Z = 20 X1 + 30 X2Sujeto a:

2 X1 + X2 10 (S1)3 X1 + 4 X2 24 (S2)

8 X1 + 7 X2 56 (S3, a1)X1, X2 0

PROBLEMAS NO ACOTADOS

Un problema lineal es no acotado si la función objetivo puede mejorarse arbitrariamente sobre la región factible. Esto implica que también la región factible debe ser no acotada.

Los problemas no acotados no es un fenómeno del mundo real. Nadie ha descubierto todavía al manera de obtener utilidades infinitas. La infinitud es otra anomalía matemática introducida ya sea por una formulación incorrecta (por ejemplo, no imponer suficientes restricciones) o por errores en el ingreso de datos.

La señal de no acotabilidad consiste en (1) una columna con un costo de oportunidad positivo y (2) todos los elementos del cuerpo principal de la tabla, en esa columna, son 0.

PROBLEMAS DEGENERADOS

Un vértice degenerado es el que tiene menos de m variables básicas positivas, siendo m el número de restricciones del modelo y por ello el número de filas del cuerpo principal de la tabla.

Por lo tanto, se encontrará un vértice degenerado cuando la tabla presente un cero en la columna de los valores del lado derecho (B). Si esto sucede en la tabla, es posible que la variable que estemos tratando de introducir ingrese a la base a nivel cero, por lo que en este pivoteo quedaremos en el mismo vértice, con el simple cambio del conjunto básico, en tanto que no cambia la función objetivo.

Maximizar Z = X1 2 X2 Sujeto a:

X1 2 X2 4X1 3 X2 3

X1, X2 0

Maximizar Z = 3 X1 + 2 X2 + 4 X3 Sujeto a:

3 X1 + X2 5 X3 10X1 + X2 + 2 X3 8 2 X1 + 2 X3 2

X1, X2, X3 0

MAX Z = 4 X1 3 X2 + 2 X3 + X4 Sujeto a:

X1 X2 5X2 X3 2

X2 2 X3 + X4 4X1, X2, X3, X4 0

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OPTIMOS ALTERNATIVOS

Recuerde que la señal de Optimalidad en una tabla simplex es que todos los elementos de la última fila (Cj – Zj) sean 0.

Cuando se encuentra una tabla óptima con un elemento cero en la última fila, dentro de una columna no básica, esa variable se puede llevar a la base sin cambiar el valor objetivo. Si la solución óptima es no degenerada, la variable llevada a la base será positiva. Esto significa que se habrá obtenido un nuevo vértice y que por lo tanto existen soluciones óptimas alternas.

Maximizar Z = X1 2 X2 Sujeto a:

2 X1 + X2 4 X1 – 3 X2 32 X1 4 X2 8

X1, X2 0

Maximizar Z = 4 X1 + 3 X2 + 2 X3 Sujeto a:

2 X1 + X2 X3 102 X1 + 2 X2 + X3 14 3 X1 + X2 + X3 12

X1, X2, X3 0

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EJERCICIOS

Maximizar Z = 2 X1 X2 + X3 Sujeto a:

X1 + X3 1 - X1 + 2 X2 + X3 2

X1, X2, X3 0

Minimizar Z = X1 2 X2 – 3 X3 Sujeto a:

X1 + X2 + 2 X3 4 X1 + X2 + X3 6

X3 2X1, X2, X3 0

Maximizar Z = 2 X1 4 X2 + 3 X3 Sujeto a:

X1+ X2 + 2 X3 9 6 X1 – 2 X2 + 2 X3 6

2 X1 2 X2 + X3 4X1, X2, X3 0

Minimizar Z = 2 X1 X2 – X3 Sujeto a:

X1 X2 + 2 X3 9 3X1 + 2 X2 + 2 X3 6

2 X1 2 X2 – X3 3X1, X2, X3 0

Maximizar Z = 6 X1 4 X2 + 5 X3 Sujeto a:

2 X1+ X2 + 2 X3 45 3 X1 + X2 + 2 X3 542 X1 2 X2 + X3 42

X1, X2, X3 0

MIN Z = 3 X1 + 2 X2 + 4 X3 + X4 Sujeto a:

2 X1 + 3 X3 – 2 X4 6 2 X2 2 X3 + X4 10

X3 – X4 5X1, X2, X3, X4 0

Maximizar Z = X1 4 X2 + 6 X3 Sujeto a:

X1+ 2 X2 + X3 11 2 X1 + X2 + 2 X3 10

- 3 X1 X2 + X3 3X1, X2, X3 0

MIN Z = 2 X1 3 X2 + X3 Sujeto a:

2 X1 2 X2 + 2 X3 10 X1 + 2 X2 + X3 13

3 X1 X2 X3 15X1, X2, X3 0

Maximizar Z = 2 X1 3 X2 + X3 Sujeto a:

X1+ 2 X2 + X3 13 2 X1 2 X2 + 2 X3 10

3 X1 X2 X3 15X1, X2, X3 0

MIN Z = X1 4X2 6 X3 Sujeto a:

X1 2 X2 + X3 11 2 X1 + X2 + 2 X3 10 3 X1 X2 X3 3

X1, X2, X3 0

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