metodologia alternativa para o ensino de funções a partir de … · partir do modo como esse...

Metodologia Alternativa Para o Ensino de Funções a Partir de Uma

Abordagem Baseada em Problemas do Cotidiano

Hélio Schimieguel

Programa de Desenvolvimento da Educação - PDE

Secretaria de Estado da Educação – SEED

E-mail: [email protected]

Formado em Biologia pela UnC – Universidade do Contestado

Pós-graduado em Desenho Aplicado ao Ensino da Expressão Gráfica pela UFPR

Professor de ensino fundamental e médio desde 1991

RESUMO

O estudo de funções na disciplina de matemática tem sido dirigido através de uma abordagem feita a

partir do modo como esse conteúdo está apresentado nos livros didáticos dos principais autores

brasileiros, que o introduzem de uma forma muito abstrata e com pouca ou nenhuma vinculação às

questões relacionadas ao cotidiano. Deste modo a aprendizagem de funções não oferece elementos

motivadores para tal, uma vez que se fundamenta (naquele momento para o aluno), em aprender por

aprender. Ou ainda, porque em séries ou níveis de ensino subseqüentes, eles poderão ser úteis.

Tendo essa constatação como ponto de partida, o presente trabalho se propõe a construir uma

metodologia na qual estejam inseridos problemas do cotidiano que tratam de situações de interesse

das pessoas, como alternativa à forma como atualmente os professores costumam iniciar e

desenvolver o conteúdo funções. Essa metodologia alternativa será utilizada na introdução do

referido conteúdo, de modo a oferecer com isso, uma linguagem apropriada e uma abordagem que

permita melhor compreensão por parte do aluno, além de facilitar o entendimento, e gerar maior

motivação para o aluno que está iniciando no estudo de funções, o que ocorre na 8ª série do ensino

fundamental e na 1ª série do ensino médio.

PALAVRAS CHAVE: funções; metodologia; cotidiano; motivação.

ABSTRACT

The study of functions in the mathematics discipline has been driven through an approach done

starting from the way as that content is presented in the main didactic books by Brazilian authors, that

introduce it in a very abstract way and with little or any vinculation to the subjects related to the daily.

This way the learning of functions doesn't offer motivation elements for such, once it is based (in that

moment for the student), in learning for learning. Or still, because in series or subsequent teaching

levels, they can be useful. Tends that verification as starting point, the present work proposes to build

2

a methodology in which are inserted problems of the daily that negotiate of situations of the people's

interest, as alternative to the form as now the teachers begin and develop the content functions. That

alternative methodology will be used in the introduction of the referred content, in way to offer with

that, an appropriate language and one approach that allows better understanding on the part of the

student, besides to facilitate the understanding, and to generate larger motivation for the student that

is beginning in the study of functions, what happens in 8th grade of the fundamental teaching and in to

1st grade of the medium teaching.

KEYWORDS: Functions; methodology; daily; motivation

3

SUMÁRIO

RESUMO...................................................................................................................

ABSTRACT...............................................................................................................

1 INTRODUÇÃO .........................................................................................................4

1.1 PROBLEMÁTICA ..................................................................................................4

1.2 OBJETIVOS ..........................................................................................................7

1.2.1 Objetivo Geral ....................................................................................................7

1.2.2 Objetivos Específicos .........................................................................................7

1.3 JUSTIFICATIVA ....................................................................................................7

2 DESENVOLVIMENTO .............................................................................................8

2.1 METODOLOGIA....................................................................................................8

2.1.1 Etapa de Introdução do Conteúdo......................................................................9

2.1.2 Etapa de Desenvolvimento e Fixação com Intervenção Docente ....................10

2.1.3 Etapa de Aprofundamento................................................................................10

2.1.4 Etapa de Avaliação Final..................................................................................11

3 RESULTADOS.......................................................................................................12

4 DISCUSSÃO DOS RESULTADOS........................................................................14

5 CONCLUSÃO ........................................................................................................17

REFERÊNCIAS.........................................................................................................18

APÊNDICES .............................................................................................................19

4

1. INTRODUÇÃO

1.1 PROBLEMÁTICA

O ensino da matemática no Brasil vem passando por uma crise aguda, que o

tem deixado nas últimas colocações do ranking mundial em desempenho nessa

disciplina, nas avaliações feitas com alunos da 4ª e 8ª séries do ensino fundamental.

No ensino médio, o ENEM (exame nacional do Ensino Médio) tem demonstrado uma

queda de rendimento a cada ano. Embora se saiba que são muitos os fatores que

podem ter levado a essa crise nacional, entende-se que um dos motivos para esse

desempenho ruim é a falta de elementos motivadores para a aprendizagem. O modo

como os conteúdos são abordados é excessivamente abstrato e com pouca

vinculação à vida do aluno ou, senão dele, do cotidiano de outras pessoas.

Isto posto faz-se necessário proporcionar abordagens significativas para o aluno.

Este estudo vai nesta direção especificamente em relação ao conteúdo funções, de

modo que o mesmo possa ser mais bem compreendido, a partir de uma nova forma

de abordagem.

O conhecimento matemático formalizado, que hoje é trabalhado nas escolas,

não é absoluto e imutável. Não foi concebido de uma hora para outra. É, sim, o

produto de um acúmulo de experimentações realizadas ao longo da história da

civilização humana, geralmente nascidas da necessidade de construir modelos para

resolver situações a partir de generalizações. Quando apresentamos um conteúdo

aos nossos alunos, é preciso que façamos uma relação do que se vai estudar com

algum aspecto da sua vida pra que eles não vejam aquele conteúdo com absoluta

desconexão com a sua realidade (BRITO, 2005).

De acordo com Faria e Ávila (1998), o ensino da matemática na escola do 1º

e 2º graus vive uma crise crônica. As dificuldades vêm se perpetuando desde o

início da década de sessenta, quando o ensino da matemática passou por uma

reforma profunda, que deu origem ao que se convencionou chamar de Matemática

Moderna. Essa reforma resultou numa ênfase acentuada na utilização da linguagem

de conjuntos e numa “apresentação excessivamente formal das diferentes partes da

matemática”.

Faria e Ávila, (1998) ainda observam que, com o passar do tempo, a

ineficácia da Matemática Moderna tornava-se evidente. Ele salienta que “o objetivo

5

de todo ensino, seja de matemática, seja de qualquer outra disciplina, é transmitir

idéias, estimular o pensamento independente e a criatividade”. Para proceder assim,

é preciso romper com a didática da formalidade na apresentação do conteúdo.

Sobre essa mesma questão, Ávila (1985), considera que:

“A preocupação excessiva com apresentações formais é uma falha grave no ensino, pois atrapalha o desenvolvimento do aluno já que obscurece o que há de mais importante na Matemática: as idéias. Exemplo típico desse erro é o esforço que se faz no Ensino Médio para apresentar o conceito de função como um caso particular de relação”.

Entretanto, essa, mudança de abordagem a partir de uma significação,

reduzindo a formalidade, tem como principais barreiras, três elementos principais: a)

as faculdades de licenciaturas, nem sempre estão bem estruturadas para preparar

seus alunos para que eles tenham uma postura diferente em relação à forma de

abordagem dos conteúdos, na educação básica; b) as provas de muitos concursos

públicos e exames vestibulares continuam apresentando questões com linguagem e

formalismo inconseqüente. c) os livros didáticos continuam sendo elaborados dentro

de uma sistemática que mantém o formalismo e não estimula o trânsito livre e fácil

das idéias (FARIA e ÁVILA, 1998).

Para bem entendermos o contra-senso do ensino atualmente praticado na

escola do 2º grau nesse domínio da matemática, deve-se lembrar que os

matemáticos profissionais lidaram com funções por quase dois séculos antes de

chegarem à definição geral de função.

..., “o que vemos no ensino de funções é a introdução de diversos conceitos novos, como função injetiva, sobrejetiva, inversa, composta, etc., sem utilização adequada desses conceitos, e, portanto, sem revelar sua real importância. O resultado é negativo, pois ao invés de estimular os alunos, produz neles o efeito contrário de gerar desinteresse pela matemática”. (CHAVES e CARVALHO, 2004).

Ainda a respeito do modo formal como a matemática é apresentada, Ávila

expõe as diferenças entre a matemática anterior à reforma dos anos sessenta e a

“matemática moderna”, assim chamada após a reforma:

“O ensino da matemática, como era feito antes da reforma da matemática moderna dos anos sessenta realmente continha muitas deficiências. Não levava em conta aspectos importantes da psicologia do aprendizado que, infelizmente, vem recebendo, hoje em dia, mais atenção. Mas a reforma trouxe inovações desastrosas, algumas das quais persistem, não obstante as mudanças salutares dos últimos anos. Assim é que os livros de 1º e 2º graus2 continuam carregados de simbolismo e linguagem de conjuntos que mais atrapalham do que ajudam o aluno em seu esforço de aprendizagem”. (1993, p. 2).

6

Faria e Ávila, a respeito da abordagem de funções no ensino fundamental,

consideram o seguinte:

Aos professores de matemática da 8ª série, é dada a responsabilidade de introduzir os alunos ao estudo de funções. Freqüentemente, o programa desta série está reservado a fazer basicamente três coisas: a) estudo de equações do 2º grau; b) introdução ao estudo das funções, começando pelas lineares e quadráticas; c) o estudo da geometria voltada para a proporcionalidade. Tudo isso pode ser feito, com o aluno adentrando ao “mundo” das resoluções das equações quadráticas pela “porta dos fundos”. Aprende-se a fórmula de Bhaskara, resolvem-se várias equações que podem ser transformadas em equações do 2º grau e finalmente adentra-se no estudo de funções. (1998, p. 2).

Normalmente o ensino de funções é iniciado mostrando o que é uma função,

fazem-se as representações gráficas e chega-se ao estudo de sinais. Por não

compreender o que estão fazendo, geralmente os alunos preferem decorar as regras

de estudo de sinais. Não fazem nenhuma relação entre as funções e as equações,

ainda que isso seja trabalhado dando-se ênfase à relação. Apenas algunus alunos

são capazes de fazer algumas relações.

Isso devido à forma como o referido conceito é, comumente apresentado:

“A definição atual de função, usada nos meios matemáticos e científicos, que utiliza a teoria dos conjuntos, é atribuída a Bourbaki (século XX)– grupo de matemáticos franceses, cuja ocupação era estudar e desenvolver teorias matemáticas. Dando maior ênfase à área da álgebra abstrata, esta definição foi proposta em 1939 e pode ser expressa por: Sejam A e B dois conjuntos, uma relação entre uma variável de x ∈ A, e uma variável y ∈ B é dita relação funcional se, qualquer que seja x ∈ A, existe um único elemento y de B, que esteja na relação considerada”. (CHAVES E CARVALHO, 2002, p. 4).

Chaves e Carvalho, ao referirem-se a uma pesquisa realizada por Zuffi &

Pacca (2000), com professores do ensino médio sobre o ensino de

funções,considerou o seguinte:

“...ao fazerem uso da linguagem matemática, o “formal” é colocado a priori, onde idéias inerentes ao conceito de função, tais como, noções de correspondência, domínio e imagem, observação de “leis” ou “regras” como executante de transformações globais entre dois conjuntos, não ficavam devidamente explicitadas nas expressões utilizadas pelos professores” (2004, p. 5).

Para elucidar de forma mais clara, como não se deve iniciar o estudo de

funções, Ávila (1983) diz que: “...para introduzir a idéia de função não é preciso

apelar para produto cartesiano de conjuntos, muito menos para a noção de relação,

como costuma ser feito; isso nada tem de motivador”. Ainda segundo o autor: ...”é

7

muito mais natural e mais fácil dizer “2 e 5 são as raízes da equação x2 – 7x + 10 =

0” do que “o conjunto verdade da sentença x2 – 7x + 10 = 0 é V = {2; 5}””.

1.2 OBJETIVOS

1.2.1 OBJETIVO GERAL

Disponibilizar aos professores das escolas públicas e particulares do Brasil, uma

proposta de desenvolvimento inicial do conteúdo funções no ensino médio, com

base em problemas reais do cotidiano.

1.2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Levantar, junto aos professores de matemática das diversas redes de ensino,

situações do cotidiano que possam ser utilizadas no ensino de funções de 1º e de 2º

graus.

Oferecer aos professores de matemática, temas alternativos vinculados ao

cotidiano, para iniciar o estudo de funções;

Tornar o estudo de funções mais interessante para os alunos.

Possibilitar aos alunos do ensino fundamental e médio, maior compreensão do

conteúdo funções.

Oportunizar o entendimento de situações diretamente relacionadas ao seu

cotidiano.

Discutir as razões pelas quais os alunos têm tido baixo desempenho na resolução de

problemas.

1.3 JUSTIFICATIVA

A matemática não é uma disciplina odiada pelos estudantes. Pesquisas

realizadas entre 1996 e 2001, indicam que a matemática nas escolas é bem aceita

pelos alunos, além do que, em relação à preferência pela disciplina, os números são

semelhantes aos da língua portuguesa. Essas evidências servem para acabar com o

mito que justifica a dificuldade de aprendizagem da matemática, pela simples

aversão ao seu estudo (BRITO, 2005).

A aplicação da matemática em situações do cotidiano não pode ser

considerada apenas importante. Ela é imprescindível! Ou então, a formação para a

8

cidadania não se efetiva. Entretanto, a matemática ensinada nas escolas, não pode

limitar-se ao objetivo de aplicar tudo o que se estuda, no cotidiano do aluno, pois a

escola é o espaço do saber sistematizado, que deve transcender à simples

aplicabilidade na resolução de problemas. Principalmente porque é possível resolver

problemas da vida, que exijam raciocínio matemático, usando estratégias não

aprendidas na escola.

Acrescente-se a isso, o fato de que a matemática fora da escola não usa

símbolos, e a função da escola é “capacitar o indivíduo a trabalhar simbolicamente”

(BRITO, 2005). É preciso entender, pois, que a aplicação de problemas do cotidiano

em matemática, pode facilitar em muito o entendimento de um conteúdo, na medida

em que o motiva para estudá-lo, mas a sua abordagem não pode se limitar a isso.

2. DESENVOLVIMENTO

2.1 METODOLOGIA

A proposta alternativa de abordagem do conteúdo funções, baseada em

situações-problema, foi implementada no Colégio Estadual Dr. Ovande do Amaral –

ensino fundamental e médio – no Município de Rio Negro – PR, para alunos de 1ª

série do Ensino Médio, no 1º bimestre do ano letivo de 2008, nos meses de março,

abril e maio, num total de 34 aulas de 50 minutos, A distribuição das atividades está

descrita no quadro 1

QUADRO 1 – DESCRIÇÃO DAS ETAPAS DE IMPLEMENTAÇÃO

DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE Nº DE AULAS

Exposição do programa PDE e seus objetivos 01

Apresentação da proposta e definição de objetivos 01

Etapa de introdução do conteúdo 08

Etapa de desenvolvimento e fixação com intervenção docente 10

Etapa destinada ao aprofundamento e à construção de

situações-problema pelo aluno

08

Etapa destinada à avaliação e revisão 06

TOTAL 34

9

Os principais temas escolhidos pelo autor para elaboração das situações-

problema foram os seguintes:

• Cálculo do consumo de eletricidade com base em tabelas das companhias

• Cálculo do consumo de água com base em tabelas das companhias

• Valor de uma corrida de táxi

• Regras e cálculo do imposto de renda

• Valor da mão-de-obra em profissões

• Cálculo do lucro de culturas agrícolas

• Cálculo do lucro em vendas diversas

• Cálculo de porcentagem em aplicações financeiras

• Cálculo do tempo gasto no deslocamento, em função da distância.

Esta escolha foi feita com base em trabalhos anteriormente desenvolvidos,

mencionados nas referências, e na experiência do mesmo.

Tendo elaborado os problemas para cada uma das etapas da implementação e

definido a estratégia para desenvolvimento das aulas, o autor organizou as mesmas,

dividindo-as nas etapas descritas a seguir.

2.1.1 ETAPA DE INTRODUÇÃO DO CONTEÚDO

Esta etapa consistiu de uma exposição sobre a importância de se aprender a

resolver situações que surgem no dia-a-dia e que exigem raciocínio e conhecimento

matemático. Foram apresentados os objetivos das atividades seguintes, os quais

seriam: 1º) a busca da solução dos problemas propostos; 2º) a tentativa de

identificar uma lei, regra ou fórmula, que permitisse resolver situações semelhantes,

em que apenas os valores fossem diferentes. A princípio, não foi mencionado o

termo função, o qual foi sendo introduzido na forma de perguntas feitas pelo autor,

tais como: “em função de que tal fenômeno ocorre”?

Procurou-se reduzir, tanto quanto possível, a linguagem simbólica e abstrata,

principalmente por ocasião da apresentação inicial do conteúdo, de forma que a

compreensão das questões fosse prioridade, em detrimento da linguagem

matemática. Desta forma pretendeu-se que os alunos sentissem que estavam

redescobrindo modelos matemáticos.

Cada problema foi colocado no quadro de giz e aos alunos, foi solicitado que

buscassem uma solução para o mesmo. Nesta etapa, prevaleceu a interação, o

10

diálogo entre o autor e os alunos e as discussões sobre possíveis soluções. Dessa

forma, o autor buscava evidenciar que existem relações entre grandezas, e que, à

medida que são identificadas, o problema pode ser mais bem compreendido e sua

solução, mais facilmente encontrada.

As situações-problema utilizadas nesta etapa estão descritas no apêndice 1.

2.1.2 ETAPA DE DESENVOLVIMENTO E FIXAÇÃO COM INTERVENÇÃO

DOCENTE

Nesta etapa foram aplicados alguns problemas semelhantes aos propostos na

etapa de introdução, sendo, porém, apresentados impressos em papel. Estes foram

resolvidos pelos alunos com liberdade para reunirem-se e discutirem estratégias

para resolução. O autor atuou como orientador, estimulando os alunos a buscarem a

solução por conta própria, mas explicando sempre que solicitado.

Este foi o momento em que houve muita interação entre o autor e os alunos,

pois era preciso deixar que os mesmos buscassem insistentemente uma função que

solucionasse o problema. Se, entretanto, alguns não conseguissem, seriam

auxiliados. Todos deveriam descobrir que caminho ou caminhos, e que seqüência

de cálculos levaria ao resultado. O trabalho de orientação foi muito intenso e tinha

como foco, estimular a solução do problema, sem, entretanto, exigir dos alunos que

escrevessem a função, mas sempre tentando mostrar que em cada situação havia

uma “fórmula”, que, uma vez descoberta, facilitaria não apenas a compreensão, mas

também serviria como modelo para aquele tipo de situação.

Ao final desta etapa foi aplicada uma avaliação que constou de 6 situações

problema, as quais foram resolvidas em equipes de 2 alunos em duas aulas de 50

minutos. Naquele dia estavam presentes 86 alunos.

Os problemas constantes desta avaliação estão relacionados no apêndice 2 e

os resultados obtidos por questão, serão apresentados no item resultados.

2.1.3 ETAPA DE APROFUNDAMENTO

Nesta etapa o autor solicitou aos alunos que formassem grupos de 2 a 4

integrantes para fazer um levantamento de alguma profissão ou atividade, em

relação às quais eles deveriam descobrir de que maneira é definido o salário, o valor

da hora de trabalho ou uma planilha de custos de produção de bens e/ou serviços e

seus respectivos lucros. Foi orientado que pesquisassem pessoas próximas, tendo

11

como finalidade principal, descobrir “em função de quê” se dá o valor definido para o

referido bem ou serviço pesquisado.

Essa atividade, denominada pelo autor como “O valor das profissões e

tarefas” foi muito bem elaborada pelos alunos e teve um aproveitamento excelente,

pois os mesmos puderam ter uma idéia de quão grandes são as diferenças entre a

renda e o lucro que cada atividade econômica (dentre as envolvidas na pesquisa)

proporciona. Na ocasião, cada equipe procurou demonstrar uma função que

pudesse definir o valor do serviço ou produto.

Cada equipe apresentou para os colegas, de forma expositiva, as suas

conclusões a respeito da profissão ou produção investigada. Dessas apresentações

surgiram debates e discussões a respeito das diferenças percebidas entre lucros de

diferentes tarefas e acerca de quais seriam as razões para tais diferenças, o que

enriqueceu em muito o trabalho feito por eles.

2.1.4 ETAPA DE AVALIAÇÃO FINAL

Nesta etapa foi aplicada uma avaliação do desenvolvimento e da evolução na

compreensão das funções, contendo cinco situações-problema. Esta avaliação foi

elaborada pelo autor, tendo como base os problemas trabalhados nas etapas

anteriores, com ênfase na identificação da função e na obtenção do resultado. Os

problemas constantes desta avaliação apresentavam grau de dificuldade crescente,

expondo os alunos a situações desafiadoras, testando sua capacidade de solucioná-

los. Não houve interferência do autor, pois a finalidade era verificar em que medida

cada aluno resolveria as situações propostas, com base na proposta de metodologia

alternativa apresentada pelo mesmo. A aplicação foi individual, com duração de

duas aulas de 50 minutos, estando presentes neste dia, 74 alunos.

Utilizou-se o termo acerto parcial nos resultados apresentados a seguir, para

aquelas questões em que o autor pôde perceber uma linha de raciocínio por parte

do aluno, que poderia levá-lo à solução do problema, mas que por algum equívoco

de interpretação, falta de domínio de operações básicas ou erro de cálculo, não se

concretizou.

As questões desta avaliação estão apresentadas no apêndice 3 e os

resultados obtidos por questão, serão apresentados no item resultados.

Após a aplicação do instrumento de avaliação, foi feito um levantamento

diagnóstico do conhecimento dos alunos em conteúdos básicos para a resolução

12

dos problemas, buscando com isso, avaliar em que medida a falta de conhecimento

destes conteúdos interferiu nos resultados obtidos.

3. RESULTADOS

O quadro 2 e o gráfico 1 apresentam o desempenho dos alunos nas questões propostas pelo autor na etapa de introdução do conteúdo. O percentual é relativo aos acertos sem a intervenção do autor. Cada um dos problemas foi colocado no quadro de giz e os alunos deveriam resolver, sem auxílio do autor ou dos colegas.

QUADRO 2 – RESULTADO DO DESEMPENHO NA ETAPA DE INTRODUÇÃO QUESTÕES 01 - a 01 - b 01 - c 02 03 04 05 06

Acerto total (%) 100 10,3 4,5 13,6 9,1 22,7 20,4 3,4

GRÁFICO 1 – DESEMPENHO DOS ALUNOS NA ETAPA DE INTRODUÇÃO

0

20

40

60

80

100

01 - a 01 - b 01 - c 2a 3a 4a 5a 6a

questões

Acerto total por questão (%)

O quadro 3 e o gráfico 2 apresentam o desempenho dos alunos nas questões propostas pelo autor na etapa de desenvolvimento do conteúdo. As questões foram resolvidas em duplas sem a intervenção do autor. QUADRO 3 – RESULTADO DA AVALIAÇÃO NA ETAPA DE DESENVOLVIMENTO

QUESTÕES 01 - a 01 - b 02 - a 02 - b 03 04 05 06

Acerto total (%) 9,3 68 75 7 68 25,6 0 63

Acerto parcial (%) 4,7 0 0 32,6 7 40 2,3 22

Erro (%) 44,2 34 25 40,7 17,5 28 44 15

Sem resposta (%) 41,8 0 0 19,7 7,5 6,4 53,7 0

13

GRÁFICO 2 – DESEMPENHO DOS ALUNOS NA ETAPA DE DESENVOLVIMENTO

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1a 1b 2a 2b 3a 4a 5a 6a

Questões

Resultados por questão (%)

Acerto total (%)

Acerto parcial (%)

Erro (%)

Sem resposta (%)

O quadro 4 e o gráfico 3 apresentam o desempenho dos alunos nas questões

propostas pelo autor na etapa de avaliação final. Os resultados indicam o percentual de acerto obtido individualmente pelos alunos.

QUADRO 4– DESEMPENHO DOS ALUNOS NA AVALIAÇÃO FINAL QUESTÕES (%) 01 02 03 04 05

Acerto total (%) 21,6 33,8 14,8 32,4 2,7

Acerto parcial (%) 2,7 27 10,8 0 6,7

Erro (%) 73 5,4 65 48,6 25,7

Sem resposta (%) 2,7 33,8 9,4 19 64,9

GRÁFICO 3 – DESEMPENHO DOS ALUNOS NA AVALIAÇÃO FINAL

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1a 2a 3a 4a 5a

Questões

Resultados por questão (%)

Acerto total (%)

Acerto parcial (%)

Erro (%)

Sem resposta (%)

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4. DISCUSSÃO DOS RESULTADOS

Observando-se os acertos do resultado de desempenho na etapa de

introdução, apresentados no quadro 2, vê-se que, à exceção da questão 01 a, que

referia-se a uma relação de dobro, nas demais, os alunos obtiveram baixos índices

percentuais de acerto. Isso torna evidente que os alunos não estavam habituados a

buscar sozinhos um caminho para desvendar um problema. Ou ainda, demonstra a

falta de contato com situações problema em que se precise encontrar um “caminho,

fórmula ou função” que leve à sua solução. As diferenças entre as questões, no que

se refere ao nível de dificuldade também explicam os diferentes níveis de acerto.

A análise dos acertos do quadro 3 revela um avanço na compreensão dos

problemas e na sistematização para resolve-los. Entretanto, nesta etapa, os alunos

trabalharam em duplas e havia algum tipo de auxílio do autor. Não no sentido de

solucionar os problemas, mas de apontar caminhos e principalmente no auxílio à

interpretação dos problemas. A dificuldade de interpretação foi apontada por eles

mesmos como a principal dificuldade para solucionar os problemas.

Entre as questões havia diferenças no nível de dificuldade, difíceis de

mensurar, pois são diversos os fatores que podem interferir num processo de

compreensão de um problema, tais como: o grau de concentração do aluno, seu

interesse em aprender, as faltas, o tempo dedicado a cada problema, entre outros.

Há que se destacar ainda, as diferenças de cada aluno na capacidade de lidar

com situações-problema. Diferenças estas, que existem naturalmente entre os

indivíduos. A esse respeito, GARDNER (1995) em seus estudos feitos sobre a teoria

das inteligências múltiplas, destaca que cada indivíduo tem diferentes potenciais ou

níveis de desenvolvimento em cada uma das oito inteligências por ele descritas.

Dentre elas, a lógico-matemática.

Entretanto, foi possível perceber que houve um significativo avanço em

relação aos acertos nas questões da etapa de introdução. Além disso, os problemas

constantes da etapa de desenvolvimento exigiam dos alunos um melhor

desempenho, pois eram relativamente mais difíceis.

Finalmente, observando os resultados de desempenho na etapa de avaliação

final, apresentadas no quadro 4, percebeu-se que a evolução na capacidade de

identificar uma função e de encontrar a solução de um problema, não foi

significativa. É importante salientar que, em relação ao problema 5, que tratou do

15

cálculo do lucro sobre uma cultura de fumo, havia uma dificuldade particular: o fato

de a maioria dos alunos não dominarem o assunto porcentagem,o que se

comprovou pela aplicação de um teste diagnóstico após a etapa de avaliação final

(apêndice 4).

Muitas são as variáveis que podem ter contribuído para que tal situação se

verificasse. Dentre todas, pode-se destacar as seguintes:

- defasagem dos alunos nos conceitos e operações essenciais;

Isso pode ser comprovado através dos resultados obtidos pelos alunos que

fazem parte deste estudo, e que no ano de 2007 foram submetidos à “Prova Brasil”,

avaliação feita pelo SAEB (Sistema de Avaliação da Educação Básica), em todas as

escolas do Brasil. Nesta avaliação a média em matemática foi 3,9. Além disso, foi

aplicada uma avaliação diagnóstica para verificar se realmente procedia a

constatação de que havia defasagem de conteúdos por parte dos mesmos, o que foi

confirmado As questões aplicadas e os respectivos resultados estão no apêndice 4.

- dificuldade dos alunos em interpretar o que estava sendo solicitado nos

problemas;

Isto pode ser comprovado a partir da observação e acompanhamento do

professor, nas atividades desenvolvidas, do questionamento junto aos alunos a

respeito das principais dificuldades encontradas por eles para a resolução dos

problemas e de uma avaliação diagnóstica que constou de conteúdos considerados

essenciais para o ensino médio. Além disso, as perguntas feitas pelos alunos ao

pedirem explicações ao professor indicaram que havia muita falta de compreensão

do que deveria ser feito. Insistentemente os alunos pediam que lhes fosse dito

“como deveriam fazer” ou ainda “que contas deveriam fazer”. Isso indica claramente

o despreparo dos mesmos para resolver situações que não obedeçam a uma

seqüência lógica e previamente programada pelo professor. Considerando-se que

em todas as atividades, o uso da calculadora era permitido, nada mais restava ao

aluno, senão desvendar as operações que deveriam ser feitas. Antes da dificuldade

em raciocinar para resolver, vinha a dificuldade de interpretação. Isso pode ser

percebido em alguns casos em que o problema não foi resolvido ou quando a

resposta não correspondia à pergunta feita.

Embora não se tenha instrumentos de pesquisa que nos permitam afirmar

que os alunos, à medida que avançam de uma série para outra, vão acumulando

defasagens de conteúdos, é notório que isso esteja acontecendo. Um indicativo

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disso é o resultado da Prova Brasil. Outro que pode ser facilmente verificado, é que

a exigência de aprendizagem mínima para a promoção à série seguinte, é de 50%

daquilo que é abordado*. Acrescente-se a isso o fato de que as avaliações não são

centradas unicamente em conteúdos, havendo outros quesitos que juntos

determinam a média bimestral.

Esse sistema admite que um aluno cumpra todas as etapas da educação

básica, chegando ao final sem conhecer alguns conteúdos considerados

indispensáveis.

Exemplo disso foi a constatação de que a maior parte dos alunos com os

quais a proposta em questão foi desenvolvida, não sabia calcular porcentagem.

Alguns nem sequer entendiam o que é porcentagem. O mais grave, porém, é que

algumas respostas não condiziam com a pergunta feita, embora isso tenha ocorrido

em poucos casos.

Diante desse quadro, a análise que fazemos, é que, seja qual for o conteúdo

desenvolvido em matemática, é preciso estimular o raciocínio e deixar os alunos

buscarem a solução dos problemas que estiverem resolvendo, com o mínimo de

ajuda possível, intervindo apenas quando todas as possibilidades esgotarem-se para

eles, pois percebeu-se nitidamente que esse é um problema que dificulta a

aprendizagem baseada na resolução de problemas, e por entender-se que esta é

uma alternativa viável para melhorar a aprendizagem de funções, há que se

reconhecer que tal habilidade precisa ser estimulada.

Em contrapartida, aquilo que realmente justifica essa mudança de abordagem

do conteúdo funções, é que os alunos tiveram contato com questões que

invariavelmente não são exploradas no âmbito escolar, tais como:

- as regras e funções para o cálculo do imposto de renda;

- os fatores que determinam o valor pago por serviços prestados em

diferentes profissões;

- o entendimento das funções do preço da água e da energia elétrica;

- a relação entre a quantidade de álcool ingerida e a diminuição do reflexo;

- a distância de frenagem como função quadrática da velocidade;

- a transposição dos dados encontrados, de uma tabela para um gráfico, com

o entendimento do que está sendo ali colocado, e não apenas como o cruzamento

de pontos gerados a partir de uma função desprovida de significado;

- a clara distinção entre variável dependente e independente.

17

Assim, pode-se afirmar que além de poder perceber um avanço significativo

por parte de vários alunos, na identificação de uma função e da solução de um

problema, houve também um grande avanço na compreensão de situações que

dizem respeito ao cotidiano da sociedade.

5. CONCLUSÃO

De tudo o que se pode observar, por ocasião dos momentos de explicações,

questionamentos, conversas, argüições dos alunos e suas angústias tentando

encontrar um jeito de resolver, pode-se perceber que pareciam meninos e meninas,

de certo modo perdidos frente à necessidade de encontrar um caminho para

solucionar o que lhes foi proposto, e, na maioria das vezes, sem conseguir traçar

caminhos para tal.

Vê-se, então, que nossos alunos são muito diferentes entre si, e que alguns

têm, pela história de vida favorável e pela inteligência lógico-matemática mais

desenvolvida, facilidade para interpretar e resolver problemas, enquanto que para os

outros, tudo parece uma língua estranha, desprovida de sentido. Não faltou esforço

ou dedicação por parte da maioria dos alunos. Para alguns faltou tempo para

executar as atividades propostas. A grande riqueza, entretanto, de se abordar o

conteúdo funções a partir de situações-problema que tenha relação com o cotidiano

dos alunos, é que o aproveitamento é muito maior, que a visão de mundo que eles

adquirem é indiscutivelmente valiosa.

É importante, pois, que professores de todos os níveis de ensino, procurem

introduzir conteúdos a partir de situações-problema, sempre insistindo para que os

alunos tracem um caminho que possa levar à solução dos mesmos. Esse tipo de

procedimento tem a vantagem de fazer o estudante perceber que, se um problema

real está posto diante dele, é porque há uma razão para que se encontre uma

maneira de solucioná-lo.

Conduzindo as aulas dessa forma, ainda que não seja a única maneira,

minimiza-se uma questão tida como problema das escolas de hoje, que é convencer

o aluno de que aquele conteúdo que está sendo desenvolvido tem importância real

para ele, e não é apenas uma etapa de sua vida escolar que precisa ser cumprida.

18

REFERÊNCIAS

ALEXANDRA, M., et al Utilizando modelagem para ensinar matemática e

conscientizar sobre a problemática da água. In: ENCONTRO PARANAENSE DE

EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 9., 2007,. Assischateaubriand, PR

ÁVILA G. Evolução do Conceito de Função e de Integral. In: publicação da

Sociedade Brasileira de matemática. p.14-46, julho 1985, São Paulo.

ÁVILA G. Publicação da Revista do Professor de Matemática nº 23, 1º semestre.

p. 1-7, 1º semestre, 1993, São Paulo.

BRITO, M.R.F. Psicologia da Educação Matemática. Florianópolis, SC: Editora

Insular, 2005.

CHAVES, M. I. A. e CARVALHO, H. C. Formalização do Conceito de Função no

Ensino Médio: Uma Seqüência de Ensino-aprendizagem. Apud. VIII Encontro

Nacional de Educação Matemática. Disponível em:

<http://orbita.star.média.com/escolaviva/função, acesso em 15 de jun. de 2007.

DANTE, L. R. Matemática – contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 1999.

FARIA. C. O e ÁVILA, J. B. O Uso de Geradores de Representações Gráficas no

Ensino de Funções e Equações Lineares e Quadráticas. IV Congresso Ribie,

Brasília, 1998. Disponível em >http://www.niee.ufrgs.br/ribie98. Acesso em 15 de jun

de 2007.

GARDNER, Howard. Estruturas da mente: A Teoria das Inteligências Múltiplas.

Porto Alegre: Artes Médicas, 1994.

IMENES, L. M. e LELLIS, M. Matemática para todos. 8ª série. São Paulo: Scipione,

2002.

PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares de

Matemática Para a Educação Básica. Curitiba, 2006.

19

APÊNDICE 1 PROBLEMAS APRESENTADOS PARA INTRODUÇÃO DE

FUNÇÕES

Situação – problema 1

O professor explica que vai colocar no quadro uma tabela com duas linhas.

Na 1ª linha colocará números naturais escolhidos pelos alunos (de preferência

menores que 20). A partir de cada número dito pelos alunos, o professor colocará

outro na coluna ao lado, fazendo um cálculo simples (função definida pelo

professor). Os alunos deverão descobrir qual é o cálculo, ainda sem que o professor

mencione o termo função.

y = 2x

nº dito pelos alunos 8 20 0 5

nº calculado pelo professor 16 40 0 10

y = 2x – 3

nº dito pelos alunos 2 5 8 10 6 20

nº calculado pelo professor 1 7 13 17 9 37

y = x/2 + 2

nº dito pelos alunos 1 2 3 4 5 6

nº calculado pelo professor 2,5 3 3,5 4 4,5 5


José vem à escola de bicicleta. O espaço (S) que ele percorre em função do tempo

(t), está descrito na tabela abaixo:

t (segundos) 10 20 30

S (metros) 30 60 90

Se José gasta 20 minutos para chegar à escola (supondo que sua velocidade seja

constante), qual é a distância da sua casa até a escola?

Fonte: Imenes e Lellis Matemática para todos 4ª edição, São Paulo, 2002 Ed

Scipione.


20

Em Salvador, a bandeirada de uma corrida de táxi é de R$ 2,50 e o quilômetro

rodado custa R$ 0,90.

a) Sendo x o nº de quilômetros rodados e P o preço da corrida, complete a tabela a

seguir.

x (km) 0 0,5 1,0 1,5 2,0

P (reais) 2,50

b) Paguei R$ 18,70 por uma corrida de táxi em Salvador. Quantos km rodei?

Fonte: Imenes e Lellis Matemática para todos 4ª edição, São Paulo, 2002 Ed

Scipione.


Cálculo do valor da fatura de água (baseada na tabela de valores da CASAN).

TABELA DA CASAN

Categoria Faixa de consumo m3 Água em R$

1 Até 10 3,74/mês

2 11 a 25 1,0499/m3

3 26 a 50 5.0475/m3

Residencial “A”

(Social)

4 Maior que 50 6,1605?m3

Categoria Faixa de consumo m3 Água em R$

1 Até 10 19,99/mês

2 11 a 25 3,6644/m3

3 26 a 50 5,1410/m3

Residencial “B”

4 Maior que 50 6,1605/m3

Fonte: Trabalho apresentado no IX EPREM – Marciana Alexandra

Calcular o valor da conta de água para as seguintes situações de consumo:

a) Família classificada como categoria social (residencial “A”) que teve um

consumo de 15 m3.

b) Família classificada como Residencial “B” que teve um consumo de 28 m3.

21

c) Construir um gráfico comparativo entre as duas categorias de consumo para

os seguintes valores de consumo:

10 m3

20 m3

30 m3

40 m3

50 m3

60 m3


Utilizar os mesmo valores e as mesmas questões da situação-problema 4,

baseando-se na tabela da Sanepar.

TABELA DA SANEPAR

TARIFA SOCIAL ATÉ 10 m3 MAIS DE 10 m3

Água 5,00 5,00 + 0,50/m3

Água e esgoto 7,50 7,50 + 0,75/ m3

TARFA NORMAL ATÉ 10 m3 MAIS DE 10 m3 MAIS DE 30 m3

Água 16,35 16,35 + 2,45/ m3 65,35 + 4,18/ m3

Água e esgoto 13,08 13,08 + 1,96/ m3 52,28 + 3,34/ m3

Fonte: Trabalho apresentado no IX EPREM – Marciana Alexandra


O governo de um Estado brasileiro mudou a contribuição previdenciária de seus

contribuintes: de 6% sobre qualquer salário passou para 11% sobre o que excede

R$ 1200,00 nos salários. Por exemplo, sobre um salário de R$ 1700,00, a

contribuição era

0,06 x R$ 1700,00 = R$ 102,00 e a atual é

22

0,11 x (R$ 1700,00 – R$ 1200,00) = R$ 55,00

Resumindo:

Contribuição anterior à mudança, sendo o valor do salário representado por x:

C1 (x) = 0,06 x

Contribuição após a mudança:

C2 (x) = { 0 se 0 < x < 1200

{ 0,11 (x – 1200) se x > 1200

1. Para um salário de, aproximadamente, R$ 2700,00, o valor da contribuição

permanece o mesmo, por volta de R$ 160,00. Para obter o valor exato do salário

que mantém a contribuição, basta resolver a equação

0,06x = 0,11 (x – 1200), chegando a x = 2640 e

C1 (2640) = C2 (2640) = 158,40

2. Para salários abaixo de R$ 2640,00 a contribuição previdenciária diminuiu,

enquanto que os maiores, a contribuição aumentou. Para verificar basta escolher

valores quaisquer e aplicar a função anterior e posterior à mudança.

A partir das situações apresentadas, calcule o valor da contribuição previdenciária

com os valores anterior e posterior à mudança nas regras, para os seguintes

salários:

a) R$ 2000,00

b) R$ 3500,00

23

APÊNDICE 2 QUESTÕES PARA AVALIAÇÃO DA ETAPA DE

APROFUNDAMENTO COM INTERVENÇÃO DOCENTE

Situação-problema 1

Um cabeleireiro cobra R$ 12,00 pelo corte para clientes com hora marcada e R$

10,00 sem hora marcada. Ele atende por dia um número fixo de 6 clientes com hora

marcada e um número variável x de clientes sem hora marcada. Ele trabalha 6 dias

por semana. Suponha que em uma semana ele tenha atendido 25 clientes sem hora

marcada.

a) Escreva a fórmula matemática (função) que fornece a quantia de $ arrecadada

por dia.

b) Qual foi a quantia arrecadada na semana?


Para prestar serviços domiciliares, um técnico em informática cobra R$ 50,00 a visita

e um adicional de x reais por hora de trabalho. Veja na tabela seguinte o preço total

do serviço por número de horas trabalhadas.

Número de horas de Trabalho Preço total do serviço (R$)

2 94

3 116

5 160

8 226

a)Quanto ele cobra a hora de trabalho?

b) Qual é a função que determina o preço a ser cobrado?


Para um atendimento domiciliar, um técnico em informática X cobra R$ 60,00 a visita

e R$ 45,00 a hora de trabalho; um técnico Y cobra R$ 40,00 a visita e R$ 50,00 a

hora de trabalho. A partir de quanto tempo de serviço é mais econômico contratar o

técnico X?


Considere os seguintes valores praticados para as corridas de táxi:

Bandeirada: R$ 4,50

24

UT (unidade taxiométrica – valor por km rodado): R$ 1,10

Acréscimo após 22 h: 20% sobre o valor total

Acréscimo corrida intermunicipal: 10%.

Hora parada: 15 UT

Calcule o preço das seguintes corridas.

1-Em horário normal, com percurso de 32 km, intermunicipal.

2-Após as 22 h, com percurso de 22 km.

3-Em horário normal, com 20 minutos de parada e percurso de 26 km

4-Período noturno, intermunicipal, com 40 minutos de parada, percurso de 44 km.


Baseando-se nas informações e regras para o cálculo do IR, calcule o valor do

imposto a pagar ou a restituir, para a seguinte situação:

• Rendimento anual R$ 38.000,00

• Imposto retido na fonte R$ 840,00

• Salário da empregada R$ 270,00

• Despesas com educação R$ 2480,00

• Despesas médicas R$ 1800,00

• Doações R$ 230,00

• Dependentes (2) R$ 1500,00


Com base na tabela, calcule o valor da conta de água para um consumo de 26 m3

para os dois casos (TARIFA SOCIAL E TARIFA NORMAL)

TARIFA SOCIAL ATÉ 10 m3 MAIS DE 10 m3

Água 5,00 5,00 + 0,50/m3

Água e esgoto 7,50 7,50 + 0,75/ m3

TARIFA NORMAL ATÉ 10 m3 MAIS DE 10 m3 MAIS DE 30 m3

Água 16,35 16,35 + 2,45/ m3 65,35 + 4,18/ m3

Água e esgoto 13,08 13,08 + 1,96/ m3 52,28 + 3,34/ m3

25

APÊNDICE 3 AVALIAÇÃO FINAL SOBRE SITUAÇÕES-PROBLEMA QUE SE

RESOLVEM APLICANDO FUNÇÕES


Numa escola, a 8ª série vende salgados toda quarta-feira. A situação é a seguinte: A

turma foi dividida em equipes. Algumas equipes tem 3 componentes, outras 4 e

outras 5. Cada quarta-feira uma equipe é responsável pela venda. O fornecedor de

salgados traz 100 unidades, pelo preço de R$ 0,60 cada. Os alunos vendem por R$

1,00. Os salgados que sobrarem são divididos entre os alunos da equipe, para

serem consumidos por eles, sendo, pois, um prejuízo, pois eles não pagam por

esses salgados que comem. O lucro também é dividido entre os integrantes da

equipe. Com base nestas informações:

a) Escreva a função (fórmula) que define o lucro de cada aluno.

b) Calcule o lucro de uma equipe de 5 alunos, que vendeu 92 salgados e comeu os

8 que sobraram.


As tabelas a seguir têm números ditos pelos alunos na 1ª linha (x) e na 2ª linha tem

números que o professor colocou depois de fazer um cálculo (y). Descubra qual foi o

cálculo feito pelo professor para chegar àqueles resultados partir de cada número

dito pelos alunos. Escreva a função (fórmula) ao lado de cada tabela.

nº dito pelos alunos (x) 2 5 8 10 6 20

nº calculado pelo professor (y) 1 7 13 17 9 37


nº calculado pelo professor (y) 2,5 3 3,5 4 4,5 5


nº calculado pelo professor (y) 7 12 17 22 27 32

26


Um clube que iniciou com 10 sócios, definiu a seguinte regra para aquisição de

novos sócios: ao final de cada ano, cada sócio pode trazer 2 novos sócios.

a) calcule quantos sócios esse clube terá depois de 5 anos.

b) escreva a função (fórmula) que define o nº de sócios em função do tempo.


Considere uma cultura de bactérias cuja população, num certo instante, é de 1000

indivíduos. Considere também, que cada indivíduo divide-se gerando 2 novos

indivíduos por hora. Determine o tamanho da população dessa cultura, 5 horas após

aquele instante, supondo que nenhum indivíduo morra nesse intervalo de tempo.

Situação – problema 5 Cálculo do lucro (L) sobre a produção de fumo

Para produzir 1 hectare de fumo (10.000 m2), fazem parte do custo de produção, os

seguintes itens:

- insumos (adubos, defensivos, etc), no valor de R$ 10.000,00;

- mão de obra para manutenção da lavoura e colheita, no valor de R$ 6.000,00;

- lenha ou energia elétrica para secagem, no valor de R$ 2.000,00.

Sabendo-se que em 1 hectare são plantados em torno de.....pés de fumo, que cada

planta dá cerca de ........gramas de folhas e que o preço do fumo é definido em

função da qualidade das folhas, sendo classificadas em:

- tipo “A” – R$ ........ por kg

- tipo “B” – R$ ........ por kg

- tipo “C” – R$ ........ por kg

a) Escreva uma função (fórmula) que defina o cálculo do lucro de 1 hectare de fumo.

b) Calcule o lucro da colheita de um hectare de fumo, considerando que:

- 25% das folhas colhidas eram do tipo “A”

- 35% das folhas colhidas eram do tipo “B”

- 40% das folhas colhidas eram do tipo “C”

27

APÊNDICE 4 – TESTE DIAGNÓSTICO DE MATEMÁTICA BÁSICA

QUESTÃO ENUNCIADO ACERTOS

(%)

01 Escreva 4 múltiplos de 6 72

02 Qual é o m.m.c entre 10; 8 e 12? 9,3

03 Qual é, aproximadamente a raiz quadrada de 200? 50

04 Resolva a equação – 3x + 4(x+2) = 20 15,6

05 Calcule – 5 + 8 = 64

06 Calcule – 8 + 4 – 2 = 54,6

07 Calcule ¼ + ¾ = 25

08 Calcule (-5)2 + (-3)2 = 23,4

09 Quanto é 15% de 420 reais? 22

10 Quanto é 3/5 de 300? 37,5

11 Resolva a equação x2 – 25 = 0 6,25

12 O que é um triângulo retângulo? 23,4

13 Qual é o maior valor inteiro para um ângulo agudo? 1,5

14 Quantos graus têm um ângulo reto? 56

15 O que é um polígono regular? 1,5

16 Qual é a medida do ângulo complementar de 60°? 12

17 Escreva algebricamente: a soma de um nº com seu

consecutivo

1,5

18 Escreva algebricamente: um n° mais o seu quadrado 3

metodologia alternativa para o ensino de funções a partir de … · partir do modo como esse...

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