métodos de física teórica ii - instituto de física /...
TRANSCRIPT
![Page 1: Métodos de Física Teórica II - Instituto de Física / UFRJboschi/ensino/bacharelado/metodos/2010-1/Aulas/... · Assim, operadores que satisfazem essa relação são chamados de](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020415/5beee98e09d3f2112f8bf4a3/html5/thumbnails/1.jpg)
Métodos de Física Teórica II Prof. Henrique Boschi
IF - UFRJ
1º. semestre de 2010
Aula 7
Ref. Butkov, cap. 9, seções 9.3 e 9.4
![Page 2: Métodos de Física Teórica II - Instituto de Física / UFRJboschi/ensino/bacharelado/metodos/2010-1/Aulas/... · Assim, operadores que satisfazem essa relação são chamados de](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020415/5beee98e09d3f2112f8bf4a3/html5/thumbnails/2.jpg)
O problema de Sturm-Liouville
• A separação de variáveis da equação de Helmholtz, em coordenadas cilíndricas ou esféricas, leva a equações do tipo
Essas equações são conhecidas como equa-ções de Sturm-Liouville, onde λ é uma cons-tante a ser determinada e as funções p(x),
s(x) e r(x) são conhecidas.
![Page 3: Métodos de Física Teórica II - Instituto de Física / UFRJboschi/ensino/bacharelado/metodos/2010-1/Aulas/... · Assim, operadores que satisfazem essa relação são chamados de](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020415/5beee98e09d3f2112f8bf4a3/html5/thumbnails/3.jpg)
A equação de Sturm-Liouville pode ser escrita em termos do operador
como ,
Propositalmente, deixamos o termo envolvendo λ fora do operador .
Esta equação pode ser pensada, então, como uma equação de autovalores para λ, e autofunções y(x). A função r(x) é chamada função peso, e nos casos mais simples r(x)=1.
![Page 4: Métodos de Física Teórica II - Instituto de Física / UFRJboschi/ensino/bacharelado/metodos/2010-1/Aulas/... · Assim, operadores que satisfazem essa relação são chamados de](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020415/5beee98e09d3f2112f8bf4a3/html5/thumbnails/4.jpg)
Esse operador é dito linear, graças à proprie-dade
análoga a outros operadores diferenciais.
Como nos casos estudados anteriormente, esperamos que as soluções (autofunções de ) formem um conjunto completo de funções ortonormais como as funções seno e cosseno, no caso das séries de Fourier.
![Page 5: Métodos de Física Teórica II - Instituto de Física / UFRJboschi/ensino/bacharelado/metodos/2010-1/Aulas/... · Assim, operadores que satisfazem essa relação são chamados de](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020415/5beee98e09d3f2112f8bf4a3/html5/thumbnails/5.jpg)
Para mostrar este resultado explicitamente, vamos considerar que a variável x está definida no intervalo (a,b), que pode ser conveniente-mente estendido ao infinito, se necessário.
• Vamos, então, considerar, duas autofunções quaisquer e , não triviais, cujos autovalores são e , então
![Page 6: Métodos de Física Teórica II - Instituto de Física / UFRJboschi/ensino/bacharelado/metodos/2010-1/Aulas/... · Assim, operadores que satisfazem essa relação são chamados de](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020415/5beee98e09d3f2112f8bf4a3/html5/thumbnails/6.jpg)
Vamos multiplicar a primeira equação por e a segunda por , subtrair as duas e então integrar entre a e b. O termo em s(x) se cancela. Já os termos com derivada podem ser reescritos fazendo uma integração por partes:
e uma equação análoga trocando por . A subtração dessas equações cancela as inte-grais contendo o produto .
![Page 7: Métodos de Física Teórica II - Instituto de Física / UFRJboschi/ensino/bacharelado/metodos/2010-1/Aulas/... · Assim, operadores que satisfazem essa relação são chamados de](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020415/5beee98e09d3f2112f8bf4a3/html5/thumbnails/7.jpg)
Assim, encontramos
• Note que o lado esquerdo desta equação con-tém fatores que vão a zero, caso sejam impostas condições de contorno. Sendo este o caso, en-contramos
![Page 8: Métodos de Física Teórica II - Instituto de Física / UFRJboschi/ensino/bacharelado/metodos/2010-1/Aulas/... · Assim, operadores que satisfazem essa relação são chamados de](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020415/5beee98e09d3f2112f8bf4a3/html5/thumbnails/8.jpg)
que é a condição de ortogonalidade das auto-funções correspondentes a diferentes autova-lores , levando em conta a função peso r(x).
Vamos, agora, supor que:
a) existe um número infinito de autofunções
b) as autofunções são todas ortogonais entre si
c) uma função f(x) pode ser representada pela série infinita
![Page 9: Métodos de Física Teórica II - Instituto de Física / UFRJboschi/ensino/bacharelado/metodos/2010-1/Aulas/... · Assim, operadores que satisfazem essa relação são chamados de](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020415/5beee98e09d3f2112f8bf4a3/html5/thumbnails/9.jpg)
Multiplicando ambos os lados desta expansão por , integrando entre a e b, e usando a ortogonalidade das autofunções, vemos que todos os termos se cancelam, exceto para aqueles nos quais n = m. Logo,
Com isso, determinamos o n-ésimo coeficiente da série
![Page 10: Métodos de Física Teórica II - Instituto de Física / UFRJboschi/ensino/bacharelado/metodos/2010-1/Aulas/... · Assim, operadores que satisfazem essa relação são chamados de](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020415/5beee98e09d3f2112f8bf4a3/html5/thumbnails/10.jpg)
Resta, agora, analisar as condições de contorno sobre as autofunções do operador de Sturm-Liouville.
• Para obter a ortogonalidade das autofunções, impusemos que
admitindo que essa expressão se anula devi-do às condições de contorno. Quais são essas condições?
![Page 11: Métodos de Física Teórica II - Instituto de Física / UFRJboschi/ensino/bacharelado/metodos/2010-1/Aulas/... · Assim, operadores que satisfazem essa relação são chamados de](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020415/5beee98e09d3f2112f8bf4a3/html5/thumbnails/11.jpg)
Existem várias possibilidades de satisfazer essa equação e portanto várias condições de contor-no possíveis. Vejamos:
a) As funções e se anulam em x=a
e x=b . Condição (homogênea) de Dirichlet.
b) As derivadas e se anulam em x=a e x=b. Condição (homogênea) de Neumann)
Esses são os casos mais comuns e que encon-traremos frequentemente no nosso curso.
![Page 12: Métodos de Física Teórica II - Instituto de Física / UFRJboschi/ensino/bacharelado/metodos/2010-1/Aulas/... · Assim, operadores que satisfazem essa relação são chamados de](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020415/5beee98e09d3f2112f8bf4a3/html5/thumbnails/12.jpg)
Outras condições de contorno possíveis
c) Uma combinação linear das funções e suas derivadas se anula em x=a e x=b, ou seja
onde α e β são constantes, ou seja fixas para todas as funções . Essas são as condições intermediárias (homogênas).
![Page 13: Métodos de Física Teórica II - Instituto de Física / UFRJboschi/ensino/bacharelado/metodos/2010-1/Aulas/... · Assim, operadores que satisfazem essa relação são chamados de](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020415/5beee98e09d3f2112f8bf4a3/html5/thumbnails/13.jpg)
Mais casos
d) Uma das condições anteriores para x = a e outra para x = b.
e) Condições mistas, isto é, misturam as condições sobre e/ou suas derivadasnos pontos x = a e x = b. O exemplo maissimples é:
desde quef) Outro caso é p(a)=0 e p(b)=0. Este caso ocorre na ED de Legendre.
![Page 14: Métodos de Física Teórica II - Instituto de Física / UFRJboschi/ensino/bacharelado/metodos/2010-1/Aulas/... · Assim, operadores que satisfazem essa relação são chamados de](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020415/5beee98e09d3f2112f8bf4a3/html5/thumbnails/14.jpg)
Operadores Autoadjuntos
• Vimos a pouco que o problema de Sturm-Liouville
onde o operador é definido como
pode ser escrito na forma
![Page 15: Métodos de Física Teórica II - Instituto de Física / UFRJboschi/ensino/bacharelado/metodos/2010-1/Aulas/... · Assim, operadores que satisfazem essa relação são chamados de](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020415/5beee98e09d3f2112f8bf4a3/html5/thumbnails/15.jpg)
• O procedimento usado na discussão da orto-gonalidade do operador de Sturm-Liouvillepode ser resumido como
Conforme nossa discussão anterior, o lado esquerdo desta equação pode ser reescrito como
![Page 16: Métodos de Física Teórica II - Instituto de Física / UFRJboschi/ensino/bacharelado/metodos/2010-1/Aulas/... · Assim, operadores que satisfazem essa relação são chamados de](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020415/5beee98e09d3f2112f8bf4a3/html5/thumbnails/16.jpg)
e portanto, se as funções satisfazem à alguma das condições de contorno, então elas são ortogonais e
• De fato, podemos repetir o argumento acima para quaisquer funções f(x) e g(x) que satisfaçam às condições de contorno, e portanto implicam na relação
![Page 17: Métodos de Física Teórica II - Instituto de Física / UFRJboschi/ensino/bacharelado/metodos/2010-1/Aulas/... · Assim, operadores que satisfazem essa relação são chamados de](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020415/5beee98e09d3f2112f8bf4a3/html5/thumbnails/17.jpg)
Como as funções f(x) e g(x) são quaisquer (exceto pela exigência das c.c.) podemos enten-der a equação
como uma condição sobre sobre o operador .
Assim, operadores que satisfazem essa relação são chamados de autoadjuntos.
Obs.: Essa discussão é válida para funções e operadores reais.
![Page 18: Métodos de Física Teórica II - Instituto de Física / UFRJboschi/ensino/bacharelado/metodos/2010-1/Aulas/... · Assim, operadores que satisfazem essa relação são chamados de](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020415/5beee98e09d3f2112f8bf4a3/html5/thumbnails/18.jpg)
No caso funções e operadores complexos, um operador é dito autoadjunto se
• Neste caso, a ortogonalidade das autofunções é escrita como
para r(x) real. Operadores autoaudjuntos com-plexos são também chamados de Hermitianos.
![Page 19: Métodos de Física Teórica II - Instituto de Física / UFRJboschi/ensino/bacharelado/metodos/2010-1/Aulas/... · Assim, operadores que satisfazem essa relação são chamados de](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020415/5beee98e09d3f2112f8bf4a3/html5/thumbnails/19.jpg)
Polinômios de Legendre
• Na discussão da separação de variáveis da e-quação de Helmholtz em coordenadas esféri-cas encontramos a ED de Legendre
As soluções para esta equação foram estudadas no curso de Métodos I, usando o método de séries de Frobenius.
![Page 20: Métodos de Física Teórica II - Instituto de Física / UFRJboschi/ensino/bacharelado/metodos/2010-1/Aulas/... · Assim, operadores que satisfazem essa relação são chamados de](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020415/5beee98e09d3f2112f8bf4a3/html5/thumbnails/20.jpg)
Vimos que as soluções são finitas entre x = +1 e x = -1 desde que
de modo a truncar a série num polinômio.
Os primeiros polinômios de Legendre são
onde escolhemos uma certa normalização, como mostraremos adiante.
![Page 21: Métodos de Física Teórica II - Instituto de Física / UFRJboschi/ensino/bacharelado/metodos/2010-1/Aulas/... · Assim, operadores que satisfazem essa relação são chamados de](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020415/5beee98e09d3f2112f8bf4a3/html5/thumbnails/21.jpg)
Vamos ver como aparecem esses polinômios associados à equação de Laplace na eletros-tática:
• Ao invés de começar pela solução de Frobe-nius, vamos partir da solução conhecida para o potencial de uma partícula carregada (na origem do sistema de coordenadas)
02
![Page 22: Métodos de Física Teórica II - Instituto de Física / UFRJboschi/ensino/bacharelado/metodos/2010-1/Aulas/... · Assim, operadores que satisfazem essa relação são chamados de](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020415/5beee98e09d3f2112f8bf4a3/html5/thumbnails/22.jpg)
Se, agora, deslocarmos a partícula por uma distância igual a 1, na direção do eixo z, temos
onde k é o unitário nessa direção.
Essa escolha é conveniente, por exemplo, para tratar de dipolos elétricos.
Vamos ver que essa solução nos levará diretamente aos polinômios de Legendre!
![Page 23: Métodos de Física Teórica II - Instituto de Física / UFRJboschi/ensino/bacharelado/metodos/2010-1/Aulas/... · Assim, operadores que satisfazem essa relação são chamados de](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020415/5beee98e09d3f2112f8bf4a3/html5/thumbnails/23.jpg)
Escrevendo essa solução em coordenadas esféricas temos que (mostrar diagrama vetorial)
que é independente da coordenada φ, devido à simetria azimutal do problema.
Vamos, agora, voltar à equação de Laplace, que em coordenadas esféricas é
02
![Page 24: Métodos de Física Teórica II - Instituto de Física / UFRJboschi/ensino/bacharelado/metodos/2010-1/Aulas/... · Assim, operadores que satisfazem essa relação são chamados de](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020415/5beee98e09d3f2112f8bf4a3/html5/thumbnails/24.jpg)
Note que o último termo desta equação se anula devido à simetria azimutal.
• Assim, separando a parte em θ desta equação, temos
que corresponde à equação de Legendre, cujas soluções são os polinômios de Legendre , já que
![Page 25: Métodos de Física Teórica II - Instituto de Física / UFRJboschi/ensino/bacharelado/metodos/2010-1/Aulas/... · Assim, operadores que satisfazem essa relação são chamados de](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020415/5beee98e09d3f2112f8bf4a3/html5/thumbnails/25.jpg)
Assim, a equação radial fica
que identificamos como a equação de Euler, cujas soluções são
e
Como queremos uma solução não singular em r = 0 (partícula fora da origem), vamos ficar somente com
![Page 26: Métodos de Física Teórica II - Instituto de Física / UFRJboschi/ensino/bacharelado/metodos/2010-1/Aulas/... · Assim, operadores que satisfazem essa relação são chamados de](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020415/5beee98e09d3f2112f8bf4a3/html5/thumbnails/26.jpg)
Logo, a solução para o potencial , pode ser escrita como
desde que r < 1, para que a série seja bem comportada.
Por outro lado, sabemos que o potencial para a partícula deslocada da origem no eixo z, é
![Page 27: Métodos de Física Teórica II - Instituto de Física / UFRJboschi/ensino/bacharelado/metodos/2010-1/Aulas/... · Assim, operadores que satisfazem essa relação são chamados de](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022020415/5beee98e09d3f2112f8bf4a3/html5/thumbnails/27.jpg)
Naturalmente, essas duas expressões devem ser idênticas, para o problema em questão, ou seja
• onde fizemos