métodos de solução de problemas de auto-valor os métodos de solução em consideração podem...
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Métodos de Solução de Problemas de Auto-Valor
MK
rp
nrMKp
MKp
rr
rrrrr
a associado restrito problema
ésimo- do ticocaracterís polinômio o é onde
1 ..., ,1 ;det
e
det
ticoscaracterís polinômios dos Sturm de
Sequência da ePropriedad a empregam que Métodos D)
MKp
p i
det onde
0
Polinomial Iteração de Métodos C)
iii MK Vetorial Iteração de Métodos A)
, ..., n, iλ
IMK
in
TT
1diag e ..., , onde
e
çãoTransforma de Métodos B)
1
qqq
MK
, ..., ,, autopares primeiros dos cálculo o ,particular em e,
valor-auto de problema do solução a Seja
11
Os métodos de solução em consideração podem ser sub-divididos em quatro grupos, correspondentes à propriedade básica que é usada como base do algorítmo de solução
Métodos de Solução de Problemas de Auto-Valor
iT
iiT
i
ii
i
KM
MK
ii
i
i
;1
usando calculadoser pode conhecido,for Se
0
resolvendo calculadoser pode conhecido,for Se
Todos os métodos de solução têm que ser iterativos por natureza porque, basicamente, a
solução do problema de auto-valor [K]{} = [M]{} é equivalente a calcular as raízes do
polinômio p(), cuja ordem é igual à ordem das matrizes [K] e [M].
Embora iteração seja necessária para a solução de um auto-par (i,{i}), deve ser notado
que uma vez que um dos elementos do auto-par tenha sido calculado, pode-se obter o outro
elemento sem que seja necessária uma iteração adicional:
Métodos de Iteração VetorialIteração Inversa
kX
MX
MX
XMX
XX
, ..., kXMX
X
k
T
k
T
k
kk
kk
quando
que se- tem, 0 seja,ou , a
ortogonal- seja não que desde onde,
21, K
dado
Básico Algoritmo
11
111
1
11
11
1
1
a) ITERAÇÃO INVERSA
A técnica de iteração inversa é muito eficaz para calcular um auto-vetor e, ao mesmo tempo, o
auto-valor correspondente. Assume-se que [K] seja positiva definida, enquanto que [M] pode
ser uma matriz diagonal, com ou sem elementos nulos, ou uma matriz de banda. Se [K] é
somente positiva semi-definida, um “shift” deve ser usado antes da iteração.
k
XMY
Y
YX
YY
YX
YXX
XMY
, ..., kYX
XMY
X
kk
T
k
T
k
kk
k
T
k
k
T
kk
kk
kk
quando
, e
0 que desde onde,
21, K
dado
eficiente) (mais Modificado Algoritmo
INVERSA ITERAÇÃO a)
1111
11
11
11
11
11
11
1
11
1
11
11
11
1
21k
1
k1
1k1
11
1
:se- temiteração, última afor Se
maior.ou dígitos,- de será então, vetor,-auto
do precisãoA dígitos.-2 de precisão com requerido é
valor-auto o quando ,10 onde ,
quando assumida é iaconvergênc , Se
l
T
l
l
l
s
kk
YX
X
X
l
s
s
toltol
X
Métodos de Iteração VetorialIteração Inversa
TT l
Tln
lT
lT
ll
Tln
llTl
T
kk
TT
n
kk
kk
eZZ
Z
Z
ZZ
I
ZX
, ..., kXMX
1lim
121111
n21
211
T1
1
21
1
0,...,0,1 ,...,,1
... Se
1,...,1,1
se-obtém (I) Usando.1,...,1,1 agora, Seja,
(I)
se-obtém , M ; K relações as Usando
vetores-auto dos ortormal matriz a é ,...,, onde
;
Seja
21, K
elementos) dos ntoescaloname o iando(negligenc
é inversa iteração na usada lfundamenta equaçãoA
Métodos de Iteração VetorialIteração Inversa
.vetor -auto ao converge iteração devetor
o erápidament quão determina que para de relativa magnitude a é
, se Portanto, adicional. iteração cada em razão a com menos
pelo fazem o assim zero, a tender devem que em elementos Aqueles
.0,...,0,1 ,...,,1
: iteração de vetor mo tambémmostrada é iaconvergênc de razãoA
. é iaconvergênc de razão a e linear, é iaconvergêncA
,1 caso, este para se,- tem,
ia,convergênc de definição a Usando
1
21
2121
1
1lim
121111
1
21
2
1
21
211lim1lim
l
TT l
Tln
lT
lT
ll
l
l
l lp
k
k l
Z
eZZ
Z
eZ
eZcp
XX
XXc
Métodos de Iteração VetorialIteração Inversa
. à igual razão com linear, é tambémiaconvergêncA
quando
múltiplo,ou simplesvalor -auto um para Portanto,
.
, Para
.
:Rayleigh de quociente pelo iterativo, método no obtida, foi para oaproximaçãA
. é iteração de vetor do iaconvergênc de razão a e
,...,,1,...,1,1
que se- tem,... ... múltiplos, valores-auto de caso No
. que assumido Foi
211
11
1
1
21
1
1211
1
11
11
1
11
1111
n1mm21
21
m
l
n
i
li
n
i
li
l
kT
k
kT
kk
m
Tln
lm
T
l
lλZρ
Z
lk
ZZ
ZZZ
λ
Z
Métodos de Iteração VetorialIteração Inversa
kX
X
XX
XX
, ..., kXX
X
nk
nT
k
T
k
kk
kk
quando
0M que desde onde,
K
21, KM
dado
FRENTEPARA ITERAÇÃO b)
1
1
11
11
1
1
nn
ln
l
T
l
ln
T
k
T
k
kk
k
T
k
k
T
kk
kk
kk
c
kXλYX
X
Y
YX
YY
YX
YXX
XY
, ..., kYX
XY
1
1
1
1
11
1
11
1
111
11
1
11
em resulta K1M problema
no iaconvergênc de análise da resultados os Aplicando
quando , e
0 que desde onde,
K
21, M
K
eficiente) (mais oalternativ Algoritmo
Métodos de Iteração VetorialIteração para Frente
ni
η
MMK
MMMMK
MK
i
i
n
,...,2,1 ,
expressão pela original, problema do valores-auto os com osrelacionad são valores
-auto os e original, problema do aqueles iguais são modificado problema do vetores-auto Os
.
ou ,
problema ao aplicado shift"" um Considere
., o e , o não quepar -auto outro para iaconvergênc aobter para b)
ou ia;convergênc aacelerar a)
:para Vetorial Itreração em utilizado é Shifting""
VETORIAL ITERAÇÃO EM SHIFTING"" c)
i
i
n11
Métodos de Iteração Vetorial“Shifting” em Iteração Vetorial
então
21 ,
:absoluto valor em menor, o Seja
.,...,2,1 , 0 hipótese,por onde,
1 ...
1
1
distintos são valores-auto os todosque
assumindo e inversa iteração doConsideran
Seja
VETORIAL ITERAÇÃO EM SHIFTING"" c)
222
21
1
r,...,n; i, i
ni
Z
I
MMK
ir
r
i
n
Tl
TT
maior.for que o , ou , ou
i.e. magnitude, emmaior é que
pelo adeterminad é iaconvergênc de razãoA
. para converge iteração de vetor o que
dosignifican ,Z portanto, iteração, Na
.qualquer para ,1 onde
1
11
r
1l
1
1
1
1
r
r
r
r
jr
r
jr
l
n
r
l
r
r
l
r
r
l
r
l
cc
e
rj
Z
Métodos de Iteração Vetorial“Shifting” em Iteração Vetorial
. a entecorrespond
espaço-sub no está que vetor
um para ocorre iaconvergênc a e
é iteração de vetor do iaconvergênc de
razão a,... se b)
maior;for que o
,ou ,
é , para converge
de perto mais para que Rayleigh, de
quociente do iaconvergênc de razão a a)
:queconcluir se-pode ente,Adicionalm
max 1,...,1,
1-mr1rr
2
1
2
1
r
j
rmrrrj
r
r
r
r
rr
λ
μλ
μλc
μλ
μλ
μλ
μλ
μλλ
MKp det
1
2
r
1 2 354
6
2
1
VETORIAL ITERAÇÃO EM SHIFTING"" c)
Métodos de Iteração Vetorial“Shifting” em Iteração Vetorial
shift. o com problema do absolutos) valores
em medidos (ambosvalor -automaior pelo
valor-automaior segundo do razão a é que
por dada é iaconvergênc de razãoA
onde
,K problema do
valor -automaior ao ecorrespond
que vetor o para converge shift com
frente para iteração na iteração, de vetor O
max
max todos
j
μλ
μλ r
μλμλ
MM
μλ
j
p j p
iij
j
FRENTEPARA ITERAÇÃO EM SHIFTING"" c)
MKp det
6
5r
1 2 354
6
5
251
6
Métodos de Iteração Vetorial“Shifting” em Iteração para Frente
k
XMY
YX
YY
XYX
YXX
XMY
,..., , kYXMXK
X
XMYX
ikik
k
T
k
kk
k
k
T
k
k
T
kk
kk
kkk
quando
e
agora, onde,
21
)0 e(usualment dado
dado
11
11
11
11
11
11
1
1
111
RAYLEIGH DE QUOCIENTE DO ITERAÇÃO d)
Cúbica iaConvergênc
1
componente primeira à relação em doNormalizan
1
então se,Obtém
1 e " de ordem da" onde
... 1
3331
1131221
21
11
11
1
ε ... οε οε οZ
λλ
εο ...
λλ
εο
λλ
εο
εοZ
Z
ε
Z
ZZZ
ZZZ
ZZIZ
T
l
n
Tl
l
Tl
k
kT
k
kT
kk
kkk
Métodos de Iteração VetorialIteração do Quociente de Rayleigh
nip
ppP
P
iT
k
nk
k
kk
,...,2 , 0 que se-Necessita
,...,,
. calculadovetor -auto o é coluna
primeira cuja ortogonal matriz uma se-achando
daestabeleciser pode deflação de estável matriz Uma
K
padrão
forma navalor -auto de problema o Considere
iteração. de vetores
osou matrizes asr deflaciona se-necessita
autopar, mesmo o para novamente dê se não
iaconvergênc a queassegurar Para calculado.
sido tenha,autopar o que Suponha
2
MATRICIAL DEFLAÇÃO e)
deflação. de processo no
osintroduzid serão acumulação de erros forma, outra de
pois, precisão alta com calculadosser que têmvetores
-auto os que é matricial deflação da mdesvantageA
e.propriedad esta destrua não que
ação transformuma desejada seria banda, de é Como
ação. transformde apropriada matriz umaconstruir para
utilizadasser podem técnicas váriase única, é não
que se- tem, por de
vetores-auto os denotando disto, Além . exceto
, de sautovalore mesmos os ter deve
ia,consequênc em e, de valores-auto mesmos
os tem que é importante ponto O
0
0
se- tem, 1 hipótese,por Como,
i
1
1
K
P
P
PKP
KK
K
PKP
KPKP
ii
T
k
T
TkT
kT
k
Métodos de Iteração VetorialDeflação Matricial
111
111
1
11
11 x
11
11
11
11
~ K :fica inversa
iteração de método o e calculados já vetores-auto os
varre"" que matriz a Defina
0
se- tem, que notando
e , por ndomultiplicaPré
onde
:vetores-auto estes a ortogonalseja
que tal Ache dado. , Seja .calculados
sido tenham..., , , que Suponha
XMXSMX
MΦIS
XMΦIXX
XMΦ
XMΦXMΦ
IΦMΦ
MΦ
,....,Φ
XXX
M
XX
mk
Tmmm
Tmmm
Tm
Tm
Tm
mmT
m
Tm
mmn
m
m
m
iii
m
SCHMIDT-GRAM DE ZAÇÃOORTOGONALI f)
do.acrescenta
modo cadapor ivosignificat dígito um
menteaproximada de perda há geral, Em
precisão. elconsideráv com calculados
ser que têmvetores-auto Os .
delugar no~
com nte,anteriorme
como escritosser podem métodos Os
M
M
Métodos de Iteração VetorialOrtogonalização de Gram-Schmidt
rrrr
rT
rT
r
r
r
rT
mmT
m
r
m
rrT
mmT
mm
rrmmT
m
r
mnmnr
nmm
Tm
XMXK
XPMPXPKP
XMXK
XPX
XI
MMXX
X
XMMX
XMXM
r
X
XMM
~~
~
~
~~
~~ou
~~~
~ou
~~0
~~como escritaser pode equação Esta
tes.remanescen liberdade de graus os representa onde
0~
~Seja
1
1
x)(x
SCHMIDT-GRAM DE ZAÇÃOORTOGONALI f)
jrjm
jmjr
r
rT
mmT
m
Tr
Tr
P
,
I
MMP
P MPM ; P KPK
como
calculadoser pode o Obtido
.calculados nteanteriorme vetores-auto
dos livre"" está reduzido problema O
com
onde
1
Métodos de Iteração VetorialOrtogonalização de Gram-Schmidt
Métodos de Transformação
l
ll
k
kk
kkT
kkkkT
kk
TT
PPPPΦ
lIMΛK
M
KP
PMPMPKPK
MMKK
MKΦ
IΦ MΦ ΛΦ KΦ
:Φ
...
e , quando , e
terse-necessita correto, toprocedimen um Para
diagonal. forma da próximos mais
e trazer a forma de osselecionad são os onde
e
e
Seja
:iteração
por la-construí tentar se-pode única, é (1) Eq. da
forma na e adiagonaliz que matriz a Como
(1) e
de básicas espropriedad as
empregam grupo neste dosclassifica tosprocedimen Os
321
11
11
11
121
1
1
1
1
1diag ...
;diag
e , diag
e diag
quando
:(1) de forma na mentenecessaria não -
adosdiagonaliz
tesimplesmen são e prática, Na
lr
l
lr
lr
rl
rl
MPPPΦ
M
KΛ
MM
KK
l
MK
Métodos de TransformaçãoMétodo de Jacobi
forma a tême
i.e., ,ortogonais são ação transformde matrizes As
nulos.ou positivos negativos, valores
-autocalcular para utilizadoser pode e simnples,
e estável é método O simétrica. matriz uma com
:padrão forma na problema
o para dodesenvolvi foi Jacobi de básico método O
JACOBI DE MÉTODO O a)
IPP
P
A
λ A
kT
k
k
1
1
cossen
1
1
sencos
1
1
kP
coluna p
coluna q
linha q
linha p
kqq
kpp
kqq
kppk
qqk
pp
kpq
kpq
kqq
kpp
kqq
kpq
kpq
kpp
kpq
kpq
kpq
kpp
kqq
kqq
kppk
kpq
kqq
kpp
kqq
kppk
pp
kqj
kpj
kqj
kqj
kpj
kpj
kij
kij
kkT
kk
k
aa
aaaa
aθ
aaa
aaaaa
a
aaaaa
a
aaaaa
a
qpjaaa
aaa
qpjiaa
P APA
A(p,q)
se 4
se 2
2tan
ou
02cos12cos12sen21
cossencossencossen
Mas
0
2sen2cos22
2sen2cos22
,cossen
sencos
,,
:zero a de elemento oreduzir é metaA
JACOBI DE MÉTODO O a)
221
1
1
1
1
1
1
1
diagonal). da fora elementos os todossobre vez(uma
varredura"" a para usuário pelo fornecido é onde
se executada é çãotransforma
a e cíclica, forma uma de mentesequencial
testadossão elementos os qual no aquele é
,eficiência com usado sido temque toprocedimen Um
cíclica. a,sistemátic
forma deJacoby de ações transformasefetuar
preferível É tempo.muito consumiria ,entretanto
elemento, por tal buscaA módulo. em diagonal, da fora
elementomaior o semprezerar de aser poderia escolha
Umazerados. serem a elementos dos seqüência a
seja,ou zero, areduzir elemento qual a relativa decisão
umahaver que teriaportanto, princípio, Em seguintes.
ações transformas durante nulo não tornaráse
elemento este zero, a diagonal da fora elemento um
reduza ação transforma embora que notadoser Deve
2
m
δaa
am
qqpp
pq
Métodos de TransformaçãoMétodo de Jacobi
Métodos de TransformaçãoMétodo de Jacobi
332211
2
2211
22211
22
22211
112222
2211
22
22211
221111
2
1122211
2211
1
33
22
11
20
02
;
100
01
01
como escritaser pode 1,2 elemento o zera que maçãoA transfor
1cos ; sen
esaproximaçõ asusar
se-pode pequenos, são aplicados serem a rotação de ângulos os Como
sejaou pequenos, forem
diagonal da fora elementos os quando Jacobi, de método o Considere
kkkkk
kkkk
kkk
kkkk
kkk
K
PKPKkk
kk
P
kk
k
k
k
k
K
T
kjj
kii
kij
r.Householde
ou Givens de métodos os utilizadosser podem
tanto,Para diagonal.- triforma à matriz areduzir
teinteressanser pode Jacobi, de método oaplicar de
antes ia,conseqüênc Em iterações. de elevado bastante
número umrequerer pode pequenos não diagonal
da fora elementos os com matriz uma ,quadrática
iaconvergênc apresente Jacobi de método o Embora
0
0
, em (2,3) elemento o zerando ,Finalmente
0
0
se-obtém , em (1,3) zerando análoga, forma De
0
0
233
2
222
2
22211
4
3
233
222
2
2211
3
2
33
222
211
2
k
k
k
K
K
k
k
k
K
K
k
k
k
K
Métodos de TransformaçãoTransformação do Problema para a Forma
Padrão
. por dado é , e Obtidos
Jacobi. de método o se-utilizando resolvidoser
pode que padrão, forma na problema-auto um é Este
agora se,-tem
e
Definindo
forma na ainda, ou,
forma na colocadoser pode que
problema o agora, Considere,
21-
2121-21-
212121-2121-21-
ΦMΦΦΦ
ΦΦK
ΦMΦMKMK
ΦMMMΦMMKM
ΦMΦK
MK
T
TT
T
TT
T
ZΩ ZM
MM
Z Ω ZZΩ Z
Z ΩΩ ZM
ΩZMZZZ
IZZ
Z
Ω ZZ M
M
M
1
1
1
1
21
que modo De
Também
e
Então
sejaou ,ortonormal é onde
problema-auto o Considere
:utilizadoser pode toprocedimen seguinte
o cheia,ou banda de matriz uma de caso
No diagonal. é se calculado facilmente
é ação transforma para requerido O
Métodos de TransformaçãoMétodo Generalizado de Jacobi
k
qqk
pp
kk
k
kqq
kpp
k
kqq
kpp
kqq
kkqq
kpp
kqq
kpp
kqq
kpp
kqq
kqq
kpp
k
kqq
k
kqq
kqq
kqq
kpq
kpq
kqq
kqq
kpp
kpq
kpq
kpp
kpp
kqq
kpp
kpq
kpq
kkk
kk
x
kkxkx
kxkxkkxk
x
xkxkkk
mkmkk
kk
m
k
mkmkk
mkmkk
kk
m
k
2
2
2sinal
2
é estável) ( solução cuja 0ou
0 1
como escrita então é , de termosem (IV), equaçãoA
que modo de ,
se- tem(III) De
onde (IV) 0 1
:se- tem,por damultiplica (I) equação
à resultado o somando e -por (II) ndoMultiplica
onde (III) 0
:se- tem,por damultiplica (I) equação
à resultado o somando e -por (II) ndoMultiplica
(II) 0 1
(I) 0 1
:se-tem
0 ; 0
condições as usando e
e operações as Efetuando
1
1
1
1
1
1
mente.simultanea e ar diagonaliz é idéiaA
JACOBI DE DOGENERALIZA MÉTODO b)
11
kqq
kpq
kpp
kqq
kpq
kpp
kpq
kpq
kkT
kkkT
k
k
mmm
kkk
mk
P MPP KP
P
MK
linha p
linha q
coluna p
coluna q
ia.convergênc de a tolerância é 10 e
, ; onde
;, todos;10 ;10
e
,...,2,1 ;10
:iaConvergênc
.0 e positivo
é ntediscrimina o definida, positiva é Quando
1
11
11
21
11
21
1
1
s
lii
liil
ilii
liil
i
sljj
lii
lijs
ljj
lii
lij
sl
i
li
li
m
kλ
m
kλ
jijimm
m
kk
k
niλ
λλ
x
M
Métodos de TransformaçãoMétodo Generalizado de Jacobi
2186 varredurauma para Total
2 ...vetor -auto do Cálculo
4 ; elementozerar
para çãoTransforma
;
2sinal
2
12 ação transformde
matriz da Cálculo
6 ; oacoplament de
fatores dos Cálculo
2
11
1
1
2
22
nnn
n PPP
nP MPMPKPK(i,j)
x
k
x
k
kkk
kk
x
kmmkk
kmmkk
kmmkk
mm
m
kk
k
kk
kkT
kkkkT
kk
kjj
kii
kjj
kii
kk
k
kjj
kii
kjj
kjj
k
kij
kjj
kij
kjj
kjj
kij
kii
kij
kii
kii
kjj
kii
kij
kjj
kii
kij
Operação Cálculo Número de Operações
Métodos de TransformaçãoMétodo Generalizado de Jacobi
Métodos de TransformaçãoA Redução de Householder
. ordem de entescorrespond
matrizes as se- tem passo do geral caso No .1 ordem de são 0 e , , , onde
0
0
01
partições seguintes as Considere
típico.é que 1, k caso o considere definido, é define que vetor o comomostrar Para
11111
111
1111
11
1
1
(n-k)
k)(n-kwKP
Kk
kkK;
ww;
PP
Pw
TT
kk
plano de reflexão a {w}
{v}
{w}
[P] {v}
k
Tk
Tkkk
kkT
kk
T
T
ww; wwIP
nkPKPK
K
α
ww
v
ww; αwwαIP
2 com
2,...,2,1 ;
ações tranformusando al, tridiagonforma a para matriz
aar transformde ér Householde de método do objetivo O
.por provida é ãonormalizaç a
que vezuma e,irrelevant é de módulo o que Note . a
ortogonal plano no vetor dado um reflete matriz Esta
2
reflexão de matriz a Considere
rHouseholde de ReduçãoA
1
Métodos de TransformaçãoA Redução de Householder
papel.qualquer temnão e eirrelevant é de módulo o que Note
módulo. em possívelmaior a de componente primeira afazer para escolhido foi sinal o onde
sinal
numérica. deestabilidamelhor para
oselecionadser pode -ou sinal o e 0,...,0,1 :1 ordem de unitário vetor um é onde
ou nula, não componente primeira sua a tenhasó que vetor num
vetor orefletir para usada seja reflexão de matriz a que é requerido é que o palavras, Em
;
0
0
00
i.e., al, tridiagonforma da sejam de coluna e linha primeira a que é agora, condição,A
0
01
0
01
1
1
12121111111211111
11
121111
1
1
111
122
11
2
2
11111
1111
1111
1111
1
11
12
1111
1111
1111
11111
w
w
ekkkwwkwθ ek wkwθ k
en-e
ekk wwθ I
k
P
PKPKK
x
xk
K
K
PKPk
Pkk
PKk
Pkk
PPKPK
PKk
Pkk
PKk
kkPK
TT
T
T
T
T
TT
T
TT
TTT
Métodos de TransformaçãoA Redução de Householder
1
1
11
1111111
11111
111
11112
11
1111111111
1111111
1111
11
2 1111111
111111111
12
2 ; ;
ou ;
que também,Note, amente). temporariaumenta matriz da
reduzida não ainda parte da banda de largura (a original matriz bandada a destroir Householde de reduçãoA
reduzida. sendo ntecorrenteme está que matriz na issubdiagona elementos dos abaixo espaços nos armazenado
ser pode 21 lado, outroPor .armazenadaser necessita deinferior parte a somente que
modo de ,simétricas são ... reduzidas matrizes As notados.ser devem numéricos aspectos Alguns
wwwpwθpq
wKθp
wqpwKK
wwwKθ wθwKθwKθwK
wwKw wθwKθKwwθKP KP
,...,n-, kwK
KK
T
T
TT
TTT
TTT T
k
n
Métodos de TransformaçãoIteração QR
. elemento ozerar para aselecionad é onde
...
i.e., Jacobi, de matrizes utilizandosuperior triangular
forma a para reduzir efetivo mais é prática, Na
. de colunas àsSchmidt -Gram de zaçãoortogonali a
se-aplicando obtidaser poderia (I) em ofatorizaçãA
. tipodo ãodecomposiç uma fato,
de efetuando, se está calcular se ao Portanto,
(II)
:se- tem(I) oManipuland superior. triangular
matriz uma é e ortonormal matriz uma é onde
(I)
:forma na decompor é iteração da básico passo O
QR ITERAÇÃOA c)
12131
1
i,jP
RKPPP
K
K
P KPK
Q R
Q RQ R QQQ KQ
Q R QQ K
RQ
R QK
K
i,j
T,
T,
Tn,n
k T
k
T T
.
e , Quando
, se
:(II) e (I) equações pelas
indicado processo do repetição a via
obtido é QR iteração da algorítmo O
por dada é que evidente É
11
1
1
1
11312
ΦQ Q ... Q
ΛKl
Q RK
R QK
KK
P ... P PQ
Q
ll
l
kkk
kkk
n,n,,
Métodos de TransformaçãoIteração QR
, ..., k TT
nQR
T
QRQR
ΦQ Q ... Q ΛKl
IQ RK
R QIK
KK
QR
QR
inversa.iteração
à elacionadoimamente rR está into método QQR
QR
kk
lll
kkkk
kkkk
21 , de elementos os com de elementos os relacionam
que explícitas fórmulas de usofazer possível É valores.-auto os todosde solução a para requeridas
são operações 9 menteaproximada que mostra aexperiênci a i.e., eficiente, muito é processo
o al, tridiagoné matriz a Quando . de chamaremos aqui que diagonal- trimatriz à aplicadaser
deve solução a i.e., r,Householde de redução a após aplicadaser deve iteração a prática, Na
e , Quando
, se
:shifting"de" uso do através obtidaser pode iteração na
iaconvergênc de aceleração uma que sugere simples inversa iteração e método o entre relaçãoA
que se-Conlui . iteração de algorítmo do
iaconvergênc de ticascaracterís as se-estudando observadoser pode Isto distinto. ntecompletame
fato, de é, método o Jacobi, de toprocedimen ao semelhanteparecer possa iteração a Embora
1
2
1
111
1
1
Métodos de TransformaçãoIteração QR
ini
i
ψP P P
ψTK
T
T
QR
...
se- tem, por devetor -auto ésimo-i o denotando i.e., ; matriz da vetores-auto os
se-obter parar Householde de ações transformpelas ormadosser transf que então, têm, de vetores-auto Os
s.suficiente são usualmente scomponente as
todasem unitário vetor um com iniciando inversa iteração de passos Dois entes.correspond valores-auto
aos iguais shifts"" com simples, inversa iteraçãopor , al tridiagonmatriz da vetores-auto os se-calcula
precisão, grande com obtidos sido tenhamvalores-auto os que vez Umarápida. muito é shifting"" com
método do iaconvergênc a porque máquina, da precisão na calculados usualmente são valoresauto Os
VETORES-AUTO DOS CÁLCULO
221
1
1
1
Métodos de TransformaçãoAlgoritmo HQRI
pnnpnp
npn, ..., p ,; ixP ... P P
pn,...,p,,...; i, kxxIKp
n ,..., kQTQT
KTQR
nn,...,n-, kPKPK
KK
ini
ki
kiin
kkT
kk
n
kkT
kk
92
21
3
2 sautovetore e sautovalore os todospara Total
1 21 sautovetore de
çãoTransforma
10 2121; sautovetore
de Cálculo
9 21;
Iterações
2
3
3
2
221;
rHouseholde de
çõesTransforma
23
3211
11
2
1
11
23
1
1
Operação Cálculo Número de Operações
Métodos de Iteração PolinomialIteração Polinomial Implícita
Secante. Iteração da Método como conhecido é que
:em resulta (I) em doSubstituin
:forma na de oaproximaçã uma Seja
(I)
Newton de Método
0
ponto do tornoem
Taylor, de série numa p de expansão a Considere
detdet
0det
IMPLÍCITA POLINOMIAL ITERAÇÃO
11
1
1
1
1
1
kkkk
kkk
kk
kkk
k
k
kkk
k
kk
kkk
k
n
iii
T
T
μpμp
μp
μpμpμp
μp
μp
μp
μp
μp
T.O.S.μμμpμpμp
:μ
d L D L MλK
L D LMλK
MλK λp
p() = det([K] – [M])
k-1 k k+1
. que do
menores ambos forem e se garantida é
Secante Iteração da Método do iaConvergênc
1
1
λ
μμ kk-
Métodos Baseados na Propriedade da Seqüência de Sturm
i.e., problema, ésimo- do
aqueles separam restrito problema ésimo-1 do
valores-auto os que se- tem, especial caso o para e,
det
é associado restrito problema
ésimo- do ticocaracterís polinômio O colunas.
e linhas últimas as se-excluindo obtidas são
e e , ordem de são matrizes as todasonde
é K a entecorrespond associado
restrito problema ésimo- do problema-auto O
detdet
0det
ASSOCIADOS RESTRITOS PROBLEMAS
SEUS DE E KPROBLEMA
-AUTO DO TICOSCARACTERÌS POLINÔMIOS OS
1
r
)(r
MλKλp
r
rM
Kn-r
MλK
M
r
d L D L MλKλp
L D LMλK
MλK λp
M
rrrrr
r
r
rrrrr
n
iii
T
T
. em negativos
elementos exatamente há , se lado, outroPor
.
múltiplos. valores-auto há não
i.e., distintos, sejam valores-auto os todosque assuma
discussão, de desimplicida Para nulo.valor -auto um
temassociados restritos problemas dos nenhum i.e.,
;L D L em matriz afatorizar possa se
que Assuma seguinte. o é valores-auto de separação
de epropriedad da resulta que importante fato Um
...
1
111
122
111
D
iλμλ
s do que res menore auto-valo número deé igual ao
Ds em s negativoe elementoo número d,MμK
de omposição que na decortante é O fato imp
MμK
λλλλλλλ
ii
T
rrn
rrn
rrn
rrrr
Métodos Baseados na Propriedade da Seqüência de Sturm
. em negativos elementos exatamente
há , em negativo elemento um a ecorrespond
envelope um com de cruzamento cada como e
como ,Entretanto . linhas ascruzar pode
não valores,-auto dos separação de epropriedad
à devido e, , linhas ascruzar que
tem à entecorrespond reta a mente,necessaria
que, se-Observa .associados restritos problemas
dos valores-auto aos nterelativame de posição a
estabelece linha Esta . a entecorrespond vertical
linha a tracee que agora, Considere,
figura. na indicado
como das,estabeleci são curvas
as análoga, forma De . de chjamada seja
resultante curva a e retas linhaspor conectados
sejam , com10 valores
-auto os todosticos,caracterís polinômios
dos esboço no que assuma figura, a Referindo
1
1
21
1
32
1
10
11
Di
D
C
dp
,...,CC
, ...C,CC
λμλ
, ...,, CC
C
λλ,..., ,, rλ
k
rn
iii
r
ni
i
ii
r
15
14
13
12
11
34
33
32
31
43
42
41
1
2
3 4 5
p(
p(1)((1)
p(2)((2)
p(3)((3)
p(4)((4)
1)
2)
3)
4)
25
24
23
22
21
C1 C2
C3 C4 C5
Métodos Baseados na Propriedade da Seqüência de Sturm
Método da Bissecção
142
23
1 valores;-auto 2 há e entre
6
2
8
BSBS
BSλλ
BS
q
q
L
L
LU
L
U
secante). iteração (e.g., eficiente mais método
umpor osubstituíd e passo neste abandonado é
bisseção da método o e, Usualmentinversa. iteração
por entescorrespond vetores-auto os ache depois e
requerida precisão a até valores-auto os Calcule 4.
isolados. sejam valores-auto
os todosque até realizada é Sturm de seqüência
da ão verificaça e sbissectado entesucessivam são
valor -auto um de maisconter se-sabe quais nos
intervalos os processo, Neste estão. sindividuai
valores-auto os quais nos sintervaloer identifica
para bissecção de simples esquema um Use3.
valores.-auto
portanto, há, e Entre . que do menores são
, valores-auto quantos determine e
em Sturm de seqüência da ão verificaça Aplique .2
; que do menores são valores
-auto quantos determine e Fatorize 1.
BISSECÇÃODA MÉTODO
LU
ULU
UU
LL
L
λλλ
qMλK
λq
MλK
L U
BS1
p(
BS2 BS3
BS4 BS5
BS6
duas raízes no intervalo
etc.
valores;-auto 2 há e entre
valores;-auto 2 há e entre
valores;-auto 2 há e entre
valores;-auto 4 há e entre
56
53
364
451
31
U1
BSBS
BSBS
BSBS
BSBS
BSBS
BS