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Sistemas Lineares-

- -Métodos Iterativos

Sistemas Lineares-

- -Métodos Iterativos

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Métodos Iterativos

Método de Gauss-Seidel para se chegar às fórmulas de iterações, na forma algébrica:


Métodos Iterativos

Método de Gauss-Seidel para se chegar às fórmulas de iterações, na forma matricial:


𝒙𝒌+𝟏=(𝑵 ¿¿−𝟏)𝒃+(𝑵 ¿¿−𝟏𝑷 )𝒙𝒌 ¿¿

𝑨=𝑵 −𝑷

N

(com diagonal zero)

Métodos Iterativos


. =

Métodos Iterativos


2º) Calcula os Cofatores;3º) Trabalha a regra dos sinais dos cofatores;4º) Multiplica pelo inverso do det;5º) Acha .

Métodos Iterativos – Critério das Linhas para Seidel


• Segundo esse critério, um determinado sistema irá convergir pelo método de Gauss-Seidel, se:

ii

n

ijj

ij aa 1

, para i=1, 2, 3, ..., n.

7

Distância entre duas iterações

d(k) = max xi(k) - xi

(k-1)

Critério de parada

dr(k) = d(k)/ (max xi

(k) ) <

Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares

Métodos Iterativos - Critério de Parada

8

EXEMPLO

Seja o sistema 10 x1 + 2x2 + 3x3 = -7

x1 + 5x2 + x3 = -8

2x1 + 3x2 + 10x3 = -6



9

Com x0 = 0,7

-1,6

0,6

e = 0,05



10

obtemos x(1) =

-0,56

-1,86

-0,26

= 0,05

|x1(1) – x1

(0)| = 1,26

|x2(1) – x2

(0)| = 0,26

|x3(1) – x3

(0)| = 0,86

dr(1) = 1,26/ (max xi(1) )

= 0,677 >



11

x(2) =-0,25

-1,44

0,07

= 0,05

dr(2) = 0,42/ 1,44 = 0,29 >

x(3) =-0,43

-1,56

-0,11

dr(3) = 0,18/ 1,56 = 0,12 >



12

x(4) =-0,35

-1,49

-0,04

= 0,05

dr(4) = 0,08/ 1,49 = 0,054 >

x(5) =-0,39

-1,52

-0,08

dr(5) = 0,04/ 1,52 = 0,03 <



13

SOLUÇÃO10 x1 + 2x2 + 3x3 = -7

x1 + 5x2 + x3 = -8

2x1 + 3x2 + 10x3 = -6

x* =

-0,39

-1,52

-0,08



Exemplos


2) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel,

tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,03.


3) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05.

6x + y + 2z = 10

x – 3y + 0,5z = 2,80,75x + 3y – 10z = -6,9


Exercícios


1) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05.


10 x1 + 2x2 + 3x3 = 7

x1 + 5x2 + x3 = -8

2x1 + 3x2 + 10x3 = 6




Inversão de Matrizes e Cálculo de

Determinantes

Inversão de Matrizes e Cálculo de

Determinantes


Praticar e relembrarPraticar e relembrar

Determine o Determinante e a Matriz inversa dos seguintes sistemas lineares abaixo:


𝑁=2 −15 3



𝑁= 0 1−4 −3



𝑁=−3 04 1



𝑁=−1 0

014



𝑁=2 1 1−1 5 2−3 6 7



𝑁=4 1 11 6 12 1 8



𝑁=

−7 0 0

013

0

0 0 1



𝑁=1 1 22 −3 21 2 1

Equações Algébricase

Transcendentes

Equações Algébricase

Transcendentes


Zero Reais de Funções ReaisZero Reais de Funções Reais

Zeros de Funções Reais

1. Introdução

Nas mais diversas áreas das ciências exatas ocorrem, frequentemente, situações que envolvem a resolução de uma equação do tipo f(x)=0. Consideremos, por exemplo, o seguinte circuito:


Kirchoff’s Law


1. Introdução


Estruturas Isostáticas


1. Introdução



1. Introdução

Serão analisados os casos dos Zeros Reais da função f(x)=0.




Como obter raízes reais de uma equação qualquer?


1. Introdução


Sabemos que, para algumas equações, como por exemplo às

equações polinomiais do segundo grau, existem fórmulas explicitas

que nos mostram as raízes em função dos coeficientes (Bháskara,

por exemplo).

No entanto, no caso de polinômios de grau mais elevado e no

caso de funções mais complicadas, é praticamente impossível se

achar zeros exatamente.


1. Introdução


Por isso, temos que dos contentar em encontrar apenas

aproximações para esses zeros (soluções numéricas); mas isto não é

uma limitação muito séria, pois, com os métodos que veremos,

vamos conseguir encontrar os zeros de uma função com qualquer

precisão prefixada.


1. Introdução


A ideia central destes métodos numéricos é partir

de uma aproximação inicial para a raiz (um intervalo onde

imaginamos a raiz estar contida) e em seguida refinar essa

aproximação através de um processo iterativo.


1. Introdução



1. Introdução


Para se calcular uma raiz de uma equação algébrica ou

transcendente, algumas etapas devem ser seguidas:

1) Isolar a raiz, ou seja, achar um intervalo [ a ; b ], o

menor possível, que contenha a raiz;

2) Melhorar o valor da raiz aproximada, isto é, refiná-la até

o grau de exatidão requerido pelo problema.

Alguns livros, trazem essas etapas de forma análoga, da

seguinte maneira:

3) Utilizar programas que traçam gráficos de funções

disponíveis em algumas calculadoras ou softwares

matemáticos.


1. Introdução



Fase I: Isolamento das Raízes


Nesta fase é feita uma análise teórica e gráfica da função

f(x). É importante ressaltar que o sucesso da fase II depende

fortemente da precisão desta análise. Na analise teórica,

usamos frequentemente o Teorema de Bolzano:

Seja f(x) uma função contínua em um intervalo [a, b] e assume valores de sinais opostos nos extremos deste intervalo, isto é, f ( a ) . f ( b ) < 0, então existe pelo menos uma raiz real de f(x), (x = ), no intervalo [ a ; b ].

Pois (+)×(+) → (+), (-)×(-) → (+); (+)×(-) ou (-)×(+) → (-)




Graficamente, temos:




Se f(a) x f(b) > 0, pode-se ter outras situações no intervalo

estudado, como as mostradas abaixo:




Observação:

Sob as hipóteses do Teorema de Bolzano, se f’(x)

existir, preservando sinal dentro de (a, b), então este

intervalo contém um único zero de f(x).

Graficamente, temos:




Uma forma de se isolar as raízes de f(x) usando resultados

anteriores é tabelar f(x) para vários valores de x e analisar

as mudanças de sinal de f(x) e o sinal da derivada nos

intervalos em que f(x) mudou de sinal.




Exemplo 1: Determinar quantas e em quais intervalos são

e estão as raízes da função: 𝑓 (𝑥 )=𝑥 ³−9𝑥+3

Primeira análise: Construindo uma tabela de valores

para f(x) e considerando apenas os sinais, temos:

𝜉1 𝜉2 𝜉3






Assim, f(x) é contínua para .

= [-5, -3]

= [0, 1]

= [2, 3]






Como f(x) é um polinômio de 3º grau, podemos afirmar

que cada intervalo contém um único zero de f(x); assim,

localizamos todas as raízes de f(x)=0.

Uma segunda análise da função, por meio do sinal da sua

derivada, não se faz necessário, neste exemplo, tendo em vista

sua trivialidade. Veja:


Fase I: Análise Gráfica


Pode-se utilizar um dos seguintes processos:





e estão as raízes da função:

𝑓 (𝑥 )=𝑥 ³−9𝑥+3


Fase I: Isolamento das Raízes. Método (i):


𝑓 (𝑥 )=𝑥 ³−9𝑥+3


Fase I: Isolamento das Raízes. Método (ii):


𝑓 (𝑥 )=𝑥 ³−9𝑥+3

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