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Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

INTEGRACIÓN YDIFERENCIACIÓN NUMÉRICA

2.2.1. COMENTARIOS

2.2.2. MÉTODOS DE NEWTON – COTES

2.2.3. ERRORES DE TRUNCAMIENTO

2.2.3. INTEGRACIÓN DE ROMBERG

2.2.4. CUADRATURA GAUSSIANA

2.2.5. CUADRATURA ADAPTABLE

2.2.6. INTEGRALES MÚLTIPLES

2.2.7. INTEGRALES IMPROPIAS

2.2.8. DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA

2.2.8.1. FORMULAS DE ALTA EXACTITUD

2.2.8.3. APLICACIONES.

Integración y Diferenciación Numérica Página 1


2.2. INTEGRACIÓN Y DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA2.2.1. COMENTARIOS

En materias anteriores se han estudiado una diversidad de técnicas para

evaluar las integrales de manera exacta, sin embargo debemos destacar que

estas técnicas no pueden resolver muchos problemas que aparecen en el

mundo real físico consensual; para esto necesitamos métodos de

aproximación de integrales se le llaman métodos de cuadratura porqué

“cuadratura” pues se trata de la palabra clásica para denominar el cálculo

de áreas.

Debemos decir que la principal herramienta para evaluar integrales

definidas es la Regla de Barrow, la que para su aplicación requiere la

determinación de una primitiva de la función cuya integral queremos evaluar

el cual en general no es un proceso constructivo, lo que induce a la

necesidad de disponer técnicas para obtener aproximaciones precisas.

La integración es el proceso inverso de la diferenciación, en donde la

integración es juntar partes en un todo, matemáticamente se representa por

, que representa la integral de f(x) con respecto a la variable x.

La integración numérica es utilizada para funciones analíticas o

tabulaciones dadas.

En el caso de las funciones tabulares dados se ha determinado un polinomio

de aproximación Pn (x) en un intervalo de interés, que aproxima la curva que

representa a la función f(x), pero su diferenciación e integración presentan

discrepancias



1. El proceso de integración esta dado por el área bajo la curva de f (x)

2. La integral aproximada está dado por el área bajo la curva Pn (x)

,

3. Los errores que se cometen al integrar los diferentes segmentos, tienden

a cancelarse entre si o reducirlo lo que permite afirmar que el error total

al integrar Pn (x) desde x0 a xn puede ser muy pequeño; aun cuando Pn

(x) no sea una buena aproximación de f (x).

4. Por otro lado que proporciona la pendiente de la recta

tangente a Pn (x) en un punto; puede variar en magnitud respecto a

en el mismo punto aunque Pn (x) sea una buena aproximación

Los métodos de integración usadas pueden clasificarse en dos grupos:

i) Fórmulas de Newton Cotes: Los que usan valores dados de la función

f (x) en abscisas equidistantes.


nx

x n

n

dxxP

xP

0

)(

:)(


ii) Fórmulas de Cuadratura Gaussiana: Los que usan valores de f (x) en

abscisas desigualmente espaciadas determinadas por ciertas

propiedades de familias de polinomio ortogonales.

2.2.2. MÉTODO DE NEWTON – COTESSon los tipos de integración numérica mas comunes, su estrategia es

remplazar a la función complicada o de datos tabulados por un polinomio

de aproximación que es fácil de integrar.

Es decir supongamos que nos interesa determinar ; entonces,

tenemos:

,

En donde pn(x) es el polinomio aproximación,

,

Donde n es el grado del polinomio el método en estudio lo realiza en

general en dos pasos.

Observemos que cuando el polinomio de aproximación es lineal se trata de

una línea recta como observamos en el caso (a) y cuando se trata de un

polinomio de segundo orden tenemos el caso (b)

Figura N0 caso (a) Caso (b)


f(x)

a b x

f(x)

a b x


En otros términos:

Primero: Dividir el intervalo [a, b] en “n” intervalos de igual magnitud en

donde sus valores extremos son:

, siendo , (1)

Segundo: Se aproxima f (x) por un polinomio de grado “n”, Pn (x) y se

integra para obtener la aproximación de f(x).

2.2.2.1. MÉTODO TRAPEZOIDAL1. Este método de integración numérica se fundamenta en la

integración de la fórmula de interpolación lineal.

2. Que ocurre con (*) si n = 1, i.e., x0 = a , x1 = b, entonces la

aproximación polinomial de f (x) es una línea recta, i.e., P1 (x)

3. La aproximación a la integral es el área del trapezoide bajo la

línea recta.

Área del trapecio con vértices

4. Para realizar la integración , se requiere usar una

de las representaciones del polinomio P1 (x).


h h h h h . . . x0 x1 x2 x3 xi xi + 1

a b

…


5. Pero f (x) está dado para valores equidistantes de x con distancia h, la

relación lógica es una de las fórmulas en diferencias divididas finitas

(hacia delante, hacia atrás)

6. Supongamos que elegimos las diferencias divididas finita

hacia delante tendremos.

En nuestro caso:

, luego

Tenemos la integral

(2)

La integral de lado derecho debe estar en función de s, i.e.,

Para los límites de integración x0 y x1:

Luego:



Luego tenemos:

, (3)

Algoritmo del Método Trapezoidal

Ejemplo: Usar el método trapezoidal

a) Aproximar el área A1 bajo la curva de la función dada por la tabla

siguiente, en el intervalo a = 500, b = 1800

Puntos 0 1 2 3 4 5

f (x) 9 13 18 25 25 27

x 500 900 1400 1800 2000 2200

b) Aproximar: ; c) Aproximar:

d) Aproximar: ; e) Aproximar:

Solución:

a) h = 1800 – 500 = 1300 ; x0 = 500 , x1 = 1800

b) h = 6 – 0 = 6 ; x0 = 0 , x1 = 6



c) h = 4 - (-2) = 6 ; x0 = -2 , x1 = 4 : f (x) = 2 + 3x + 4x2

d)

e)

2.2.2.2. MÉTODO DE SIMPSONSupongamos que el intervalo de integración es dividido en n

subintervalos con longitudes iguales, i.e.,

Supongamos que n=2 es decir al intervalo [a,b] se le divide en dos

subintervalos en tonces tendremos:

,

,

Se aproxima f(x) por una parábola

,

Usemos la formula de Newton en diferencias finitas hacia delante



En consecuencia

,

;

;

Considerando la primera y segunda diferencia hacia delante tenemos

;

,

Considerando estas relaciones en la relación

, tenemos

,.........(4)



Ejemplos usando los datos anteriores aplicar el algoritmo de Simpson

f(X1) se encuentra interpolando

(2) Aproximar

(3) Aproximar

Generalizando

Consideremos el intervalo [a,b] dividido en n subintervalos proporcionando

n+1 puntos equidistantes en donde x0=a; xn=b, en esta

oportunidad el polinomio de interpolación es de n-esimo grado, luego la

aproximación de la integral



Entonces la aproximación de la integral estará dado por:

Que ocurre si integramos los cinco primeros términos

Que ocurre si n = 1

Trapezoidal

Pues:

Que ocurre para n = 2



Pero:

Simpson 1/3

Si n = 3

Simpson 3/8

2.2.2.3. MÉTODOS COMPUESTOS DE INTEGRACIÓN En ocasiones el intervalo de integración tiene una longitud grande, entonces

resulta conveniente dividirlo en subintervalos y aproximar cada una por

medio de un polinomio.

2.2.2.3.1. Método Trapezoidal Compuesto


a = X0 X1 X2 = b

f (X0)f (X1)

f (X2)

XX0 x1

a b

f(x0)

f(x1)

f(X)

f(x0)

f(x1)f(X)

f(x2)f(xn-1) f(xn)

f(x)

X0 x1 x2 xn-1 xn

a b


Figura. Representación del Método de Trapecio Compuesto

En vez de aproximar la integral de f(x) en [a,b] por una recta. Conviene

dividir [a, b] en n subintervalos y aproximar la integral de f(x) en cada

subintervalo por un polinomio de primer grado como muestra la figura.

Aplicamos la fórmula Trapezoidal a cada subintervalo y se obtiene el área

del trapezoide de tal manera que la curva de todos ellos nos proporciona el

área aproximada bajo la curva f(x).

Donde:

Pi(x): es un polinomio de primer orden, i.e., la recta que pasa por (X i-1, f(Xi-

1)), (Xi, f(Xi)).

Aplicando el método del trapezoide en cada subintervalo:

Que ocurre si todos los intervalos tienen la misma longitud h, i.e., Xi+1 - Xi =

hi; i=0, 1,2,…,(n-1).

(5)



EJERCICIOS RESULTOS1

1) Usar el método trapezoidal compuesto para aproximar el área bajo la

curva de la función dada por tabulación en x = -1 y x = 4

Solución

Observación:

Se aplicó cinco veces el método del trapezoide. h=1

2) Aplicar el método en análisis si f(x)=x4 – 2x2 + x + 10; x0= -1 xn =4; h = 1

2.2.2.3.2. Método Compuesto de SimpsonRecordemos que para aplicar el método de Simpson se necesita dos

subintervalos y como queremos aplicarlo n-veces entonces se debe dividir

el intervalo [a, b] en un número de subintervalos igual a 2n.

Veamos gráficamente esto:

1 Ver Métodos Numericos aplicados a Ingenieria de Nieves y Domínguez



Figura. Representación del Método de Simpson Compuesto

Observamos que cada par de subintervalos sucesivos aproximamos f(x) por

medio de un polinomio de segundo orden (parábola) y se integra usando el

método de Simpson de tal manera que la suma de las áreas parciales

proporcione el área total, es decir:

Donde Pi; i=1,2,…; es el polinomio de grado dos que pasa por tres puntos

consecutivos usando el método del Trapezoide.

Donde:

Si h1= h2=…= hn, entonces tenemos:

Luego:

(6)



Ejemplos:

3) Usando el método de Simpson compuesto, aproximar el área bajo la curva

considerando los datos anteriores

Aplicamos Simpson cuando i=0, 1, 2, 3, 4

*) Aplico el método trapezoidal X4, X5

Luego:

4) Hallar la integral aproximada de entre -1 y 1

Usar el método trapezoidal compuesto compare el resultado con 0.682

obtenido de tablas.

Solución:

Con n = 1

El error relativo considerando el valor de la tabla

ó 29%



Si n = 2

ó 5.87%

Si n = 4

Ó 1.47%

5) Usar el método de Simpson varias veces y comparar el resultado con

0.682 valor obtenido por tabla considerando el ejercicio anterior.

Solución:

Si n=2

Ó 1.62%

Si n =4



Ó 0.15%

2.2.3. ERRORES DE TRUNCAMIENTO EN LA APROXIMACIÓN TRAPEZOIDAL

En esta oportunidad analizamos el error en una integración trapezoidal

compuesta iniciemos por tener en cuenta el i–esimo trapezoide, consideremos

los puntos xi-1 y xi con una distancia de h=(b-a)/n, además supongamos que

F(x) es la primitiva del integrando f(x) luego entonces podemos integrar f(x) en

el intervalo [xi-1, xi ] es decir:

, (7)

Por otro lado la aproximación numérica de la integral usando el método del

Trapezoide es:

, (8)

Suponiendo que no existe errores en el cálculo entonces se puede suponer

que:

, (9)

Aplicamos la serie de Taylor alrededor de x= x i en f(x) de tal manera que

obtenemos f(xi-1).

,

Como h=xi-xi-1.

, (10)



,

, (11)

De manera análoga tenemos para F(xi-1 )

, (11)

Entonces consideramos en (7) se tiene,

,

Pero se tiene que

, (12)

Considerando (12) y (11) en (10) se tiene,

,

,

Considerando que h<<1 los términos h4, h5,... pueden despreciarse de tal

manera que el error de truncamiento del i-esimo trapezoide es dado por.



, (13)

Si además para , entonces,

, de donde se tiene para n trapezoides

, (14)

Consecuentemente para fines de análisis el error de truncamiento en el método

trapezoidal se expresa así.

, (15)

2.2.4. EJERCICIOS Y APLICACIONES DIVERSAS

I. Determinar las integrales aproximadas usando los Métodos de Simpson,

Trapezoidal simple y compuesto de:

1.

2.

3.

5.



6.

7. ,

8.

9.

10.

11.

12.

II. Hallar el área de la región limitada por:

1. y las rectas .

2. .

3. , y las rectas

4. .

5. .

6. .

7. entre .

8. .

9. .

10. .

11.- .

12.- y el eje Y.

13.- .



14.- .

15.- .

16.

III. Calcular el volumen generado por la curva:

a) al rotar en torno al eje X

b) entre al rotar en trono del eje X

c) entre al rotar en trono del eje X

d) entre al rotar en trono del eje X

e) entre al rotar en trono del eje X

2.2.4. INTEGRACIÓN DE ROMBERGLlamado también como técnica de extrapolación de Richardson se usa

finalidad de acelerar la convergencia de muchas técnicas de aproximación.

Estas técnicas tienen su base en el análisis del error de truncamiento. Veamos

la metodología.

Supongamos una aproximación y que su error de truncamiento

sea expresado de la siguiente manera , en donde c es

independiente de h , r es entero positivo y es un punto desconocido del

intervalo (a,b).

Supongamos que obtenemos dos aproximaciones de I empleando h1 y h2 es

decir I1 y I2, y despreciamos los errores de redondeo podemos escribir:

;

,

Dividiendo miembro a miembro y considerando que y son

iguales entonces se tiene,



;

, (16)

Considerando h2=h1/2 se tiene de (16)

, (17)

Debemos resaltar que a este proceso se le llama integración de Romberg el

cual es muy efectivo cuando f(r) (x) no vara bruscamente en el intervalo [a,b] y

no cambia de signo en este intervalo. En estas circunstancias las relaciones

(17) y (16) permiten obtener una mejor aproximación a I a partir de I1 y I2 sn

repetir el proceso de integración.

Cuando se trata de una aproximación trapezoidal se usa r=2 en consecuencia

tenemos,

,

Para sistematizar la integración de Romberg en la aproximación trapezoidal,

denotemos por , las aproximaciones de I usando 2k trapezoides. Ahora si

queremos obtener mejores aproximaciones de I usando , se

aplica la extrapolación de Richardson,

, el cual se denotara con y se genera la cuarta columna de

la tabla y as.



, esto lo denotamos con y se puede continuar el proceso

tanto que responda el algoritmo.

, (18)

Si los valores de converge a I al crecer k los valores de la diagonal de la tabla convergen

a I .

k Numero de

trapezoides 2k

Aproximación

trapezoidal

Primera

extrapolación

Segunda

extrapolación .......

0 1

1 2

2 4

3 8

4 16

:

Tabla No Aplicación del método de Romberg



Ejemplo

Encuentre una aproximación de la integral

, usando 1,2,4,8, 16 trapezoides. Con los resultados obtenidos

usar la aproximación de Romberg para mejorar la integración compare los

valores obtenidos con el valor calculado analíticamente 0.6366197.

Solución Construir un programa para el ejemplo y obtener los valores:

k 2k

0 1 0.0

1 2 0.5

2 4 0.6035534

3 8 0.6284174

4 16 0.6345731

Obsérvese que converge al valor analítico al aumentar k, sin embargo al

emplear mas subintervalos implica aumentar los errores de redondeo y un un

considerable incremento en el numero de cálculos.

En cambio, si se aplica la integración de Romberg con m=1 se obtiene:

,

,

,



Obsérvese con estos tres breves cálculos se obtienen mejores aproximaciones

de la integral.

Si aplicamos Romberg con m=0 tenemos

,

,

,

Para valores de m=3, m=4

k 2k

0 1 0.00000

1 2 0.500000 0.6666667

2 4 0.6035534 0.6380712 0.6361648

3 8 0.6284174 0.6367054 0.6366143 0.6366214

4 16 0.6345713 0.6366250 0.6366196 0.6366197 0.6366197

:

Obsérvese que el último valor es el analítico de la integral. Esta metodología

se puede usar hasta que dos elementos consecutivos coincidan hasta cierta

cifra decimal.

2.2.5. CUADRATURA GAUSSIANA Las formulas usadas hasta la actualidad para aproximar integrales se basaban

en polinomios de interpolación, considerando valores de la función igualmente

espaciados fenómeno que conducen a cierta imprecisión.

Con la finalidad de mejorar esta condición la cuadratura Gaussiana se usan

puntos de evaluación, o nodos que no son igualmente espaciados se eligen



nodos en el intervalo [a,b] y coeficientes que

minimicen el error que se espera obtener en la aproximación.

,

Los coeficientes son tomados arbitrariamente con la única

restricción de que los nodos se encuentren en [a,b]. Estos nodos nos

proporciona 2n parámetros para elegir, s se considera los coeficientes de un

polinomio como parámetros, entonces la clase de polinomios de grados

menores o iguales a 2n-1 también tienen 2n parámetros y esto es la clase de

polinomios donde se espera que la formula sea exacta.

Los siguientes gráficos muestran como se integra usando el trapezoide

uniendo el punto A de coordenadas (a,f(a)) con el punto B de coordenadas

(b,f(b)) con h=(b-a)

.

Método Trapezoidal Método de Gaussiana con dos puntos

Pues el área del trapecio es

,

Que se podría escribirse como,

,

Por otro lado aplicando el método de Gauss en lugar de tomar los dos puntos

extremos A y B del intervalo seleccionamos dos puntos interiores C y D como


B

A

f(x)

a b x

yY

D

C

f(x)

a b x


se muestra en la figura y de manera adecuada la integral resultante

proporcionaría un valor mas exacto esa técnica de adecuar los puntos C y D

que proporcione mas exactitud mostramos a seguir.

DEDUCCIÓN DE LA TÉCNICA GAUSSIANAConsideremos la figura a seguir donde se desea encontrar la integral de la

función mostrada entre los limites -1 y 1 si los limites fueran diferentes se hace

un cambio de variable con la finalidad de pasar a -1 y +1 , los puntos C y D

se seleccionan sobre la curva y se forma el trapezoide , E,F, G y H .

Figura No Deducción del método de integración de Gauss.

Supongamos que

,

En donde deseamos obtener c1, c2, x1, y x2, y consideremos que la integración

proporcione un resultado exacto con f(x) de menor grado es decir 2(2)-1 =3

en otros términos

, esto para ciertos coeficientes a0,a1,a2,a3

,

Esto es equivalente probar que la formula proporciona resultados exactos

cuando f(x) es , 1, x, x2 y x3, entonces tenemos,


F(x)

F(x2)F(x1)

GDC

F

-1 x1 0 x2 1

E H


,

De donde se obtiene,

,

En consecuencia tenemos la siguiente equivalencia de integrales, que una

aproximación a la integral, que proporciona el resultado exacto para cada

polinomio de grado menor o igual a tres.

,

Consideramos que esta formula es mas simple que la regla trapezoidal a

demás se trabaja perfectamente para un polinomio se segundo orden.

Mientras que el trapezoidal lo realiza para lineales.

Debemos decir que esta metodóloga se puede generalizar para polinomios de

grados superiores, pero existe un método alternativo para obtener de manera

mas simple y es la llamada aproximación continua en mínimos cuadrados que

será tocado mas adelante.

Pero una alternativa para nuestro problema son los “polinomios de Legendre” es un conjunto {P0(x), P1(x),...,Pn (x),... } que tienen las s iguientes

propiedades,

Para cada n, Pn(x) es un polinomio de grado n.

,

Siendo los primeros polinomios de Legendre

,

,

Debemos decir que todos estos polinomios tienen raíces distintas y se

encuentran en el intervalo [-1,1] y se ubican simétricamente con respecto al



origen y lo mas importante son los nodos que se utilizan para resolver nuestro

problema.

Debemos tener en cuenta los nodos que son necesarios para

generar una formula de integración numérica que sea exacta en los

polinomios de grado menor o igual a 2n-1 son las raíces del polinomio de

Legendre de grado n. En donde los coeficientes apropiados para evaluar las

funciones en cada nodo son dado de la siguiente manera:

,

Para la comodidad debemos decir que tanto las raíces de los polinomios de

Legendre como los coeficientes se encuentran tabulados.

Numero de puntos rn,i Raíces Coeficientes cn,i

2 0.5773502692 1.0000000000-0.5773502692 1.0000000000

30.7745966692 0.55555555560.0000000000 0.8888888889-0.7745966692 0.5555555556

4

0.8611363116 0.34785484510.3399810436 0.6521451549-0.3399810436 0.6521451549-0.8611363116 0.3478548451

5

0.9061798459 0.23692688500.5384693101 0.47862867050.0000000000 0,5688888889-0.5384693101 0.4786286705-0.9061798459 0.2369268850

Si consideramos la siguiente relación lineal

,

Transforma la variable x del intervalo [a, b] en la variable t del intervalo [-1,1]

esto quiere decir que podemos usar el polinomio de LEGENDRE

,



Usando las raíces y los coeficientes dados en

la tabla de arriba lo que permite obtener la relación de aproximación que

proporciona resultados exactos para polinomios de grado menor o igual a 2n-1

Llamado aproximación Gaussiana

exacta con f(x) un polinomio de grado menor o igual a 2n-1.

Ejemplos:

Determinar la aproximación de cuyo valor con siete decimales, es

0.1093643.

SoluciónPrimero. Transformar el intervalo [1,1.5] en un intervalo [-1,1]

,

Considerando la tabla y n=2 se tiene:

Para n=3

2.2.3. INTEGRALES MÚLTIPLES

Las técnicas usadas para aproximar integrales pueden ser modificadas de

manera natural para usarlas en aproximaciones de integrales múltiples,



Supongamos que tenemos , donde R es una región rectangular

en el plano,

Donde a, b, c y d son constantes. Usando Simpson compuesto , determinamos

el tamaño de paso h =(b-a)/n; k=(d-c)/m en consecuencia se tiene:

,

Usamos la metodología de Simpson compuesto para determinar,

, considerando x como constante, sea yj =c+jk para j=0,1,2,...,m

,

,

Aplicando Simpson Compuesto en cada intervalo con x i=a+ih para cada

i=1,2,...,n y j=0,1,2,...,m.

,

Ejemplo1. Aplicar la metodología de Simpson para aproximar,



Primero, determinar h y k para ello consideramos n=4 y m=2, entonces,

h=0.15, y k=0.25 .la región de integración será:

Segundo: calculo

Ejemplo.

2. Calcular la aproximación de

SoluciónPrimero. Calculamos el k=(3-0)/6.=0.5

Segundo. Aplicamos Simpson compuesto a la integral manteniendo constante

a la variable y

Tercero. Integramos el eje y dividendo en m=8 subintervalos,


| | | | |

1.40 1.55 1.70 1.85 2.00

1.50 –

1.25 –

1.00 --

Y

X

1 4 2 4

4 16 8 16

1 4 2 41

1

4


Cuarto. Aplicamos Simpson compuesto a la integral

2.2.4. INTEGRALES IMPROPIAS

Debemos decir que las integrales impropias hacen su aparición cuando

se extienden la noción de integral a un intervalo con extremo infinito o los

dos. En cualquiera de los casos las reglas de aproximación deben de

modificarse.

En primer lugar nos interesa analizar cuando el integrando no se

encuentra acotado en el extremo izquierdo del intervalo de integración

como se muestra en la siguiente figura.

En el caso anterior se dice que f (x) tiene una singularidad en el extremo

a

En otras palabras la integral impropia con una singularidad izquierda.

, converge si solo si 0<p<1 en tal caso,

, al rededor de a

Si f(x) es una función que podemos escribir como


a b

y=f(x)

y

x


, con 0<p<1, g continua en [a, b], entonces la integral

impropia, , también existe y aproximaremos la integral usando la

metodóloga de Simpson Compuesto, si g pertenece a C5[a, b], en

consecuencia podemos escribir el cuarto polinomio de Taylor de g al

rededor de a.

,

Podemos determinar exactamente el valor de,

,

Esta relación es generalmente la aproximación dominante

especialmente cuando el polinomio de Taylor es de cuarto grado y se

acerca mucho a la función g(x) en todo el intervalo [a, b].. Para

determinar la aproximación de f(x) se debe de agregar el valor de

aproximación,

,

Para la aproximación definimos,

,



EjemploUsar la metodología de Simpson Compuesto con h=0.25 para aproximar

el valor de la integral impropia ,

SoluciónEl cuarto polinomio de Taylor de ex alrededor de x=0 es

,

Una parte de la aproximación de , viene dada por

,

,

Para la otra parte de aproximación de es necesario aproximar la

integral , siendo

,

Para aplicar Simpson compuesto se necesita

x G(x)

0.00 0

0.25 0.0000170

0.50 0.0004013

0.75 0.0026026

1 0.0099485



,

,

La integral impropia con singularidad en el extremo derecho, podemos

aplicar la técnica que terminamos de usar solo que debemos desarrollar

la función en el extremo derecho alrededor de b, por cuestiones

pedagógicas hacemos el cambio de variable z=-x , dz =- dx , obteniendo,

, que tiene su singularidad en el extremo

izquierdo observar la figura adjunta, y aplicar la aproximación de

con la metodología anterior y obtenemos la aproximación

deseada de .

Una integral impropia con singularidad en c tal que a<c<b, este caso se

trata como la suma de dos integrales impropias con singularidad en los

extremos, es decir:

Otro tipo de integrales impropias son las que consideran limites infinitos


a b

y=f(x)

y

x-b -a

y=f(-z)

y

z


de integración el modelo básico de integración convergente es:

, para p>1 Esta integral se convierte en una integral impropia con

una singularidad en el extremo izquierdo haciendo el siguiente cambio

de variables.

t=x-1, dt=-x-2dx en consecuencia dx=-x2dt=-t2dt,

Entonces se tiene,

,,

De la misma manera el cambio anterior convierte a la integral impropia

, en una integral con singularidad en el extremo izquierdo.

,

Las integrales revisadas finalmente se pueden aproximar con la

metodología expuesta.

EjerciciosUsar el método de Simpson compuesto para aproximar las integrales

dobles con n=m=4

a.

b.

2.2.8. DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA

2.8.1. FORMULAS DE ALTA EXACTITUD

Ya se comento sobre las operaciones que se pueden practicar sobre una

función tabulada, el camino fue de aproximar la tabla o la función, por alguna

función y efectuar la operación en la función aproximante. De esta manera se



realiza en la integración numérica y así lo realizaremos en la diferenciación

numérica. En nuestro caso diferenciamos el polinomio de aproximación Pn(x).

Veamos como se realiza esto, supongamos que la aproximación es polinomial,

entonces la diferenciación numérica consiste en diferenciar la fórmula del

polinomio interpolante que se utilizó , la aproximación de la

primera derivada estará dado por

,

En general

Al diferenciar la formula fundamental de Newton se tiene,

Donde: es el error que se comete al aproximar por .

Si suponemos que son los valores de las x que son

espaciados igualmente luego Pn(x) se puede escribir en términos de diferencias

finitas

Donde:

En nuestro caso:



Luego diferenciando

Consideremos para:

n =1: Esto quiere decir que la aproximación P1(x) es una recta, i.e.

Es decir la primera derivada de f(x) queda aproximada por

Y como se esperaba cualquier otra derivada de orden superior de f(x)

quedara aproximada a cero.

Observación:

(1) En general equivale a tomar como primera derivada a la pendiente de la

recta que pasa por y .

(2) La primera derivada de f(x) en [x0, x1] queda aproximada por el valor

constante



(3) El valor de es muy diferente al de

(4) Gráficamente:

Analicemos para n = 2; es decir aproximaremos f(x) por un polinomio P2(x) de

grado 2.

Desarrollando las diferencias:

(*)

La segunda derivada puede calcularse derivando una vez más con respecto a

x esto es,


0

)(tan

)()(tan

)()()()()(

01

01

01001

xxdxxdf

xxxfxf

hxfxf

xxxfxP

f(x0)

X0 x1

f(x1)


De la misma manera se puede calcular derivando para n2.

El error cometido al aproximar por esta dado por

donde Rn(x) es:

Observemos que existe una estrecha relación entre las diferencias divididas y

las derivadas en general esta relación esta dada por:

Con perteneciente a (min. xi, máx. xi) con ,

esto quiere decir que es un valor de x desconocido del cual solo se sabe

que se encuentra entre los valores menor y mayor del argumento.

La Ecuación (*) se puede escribir en términos del error de la siguiente

manera,

,

o simplemente por

También para x1



Para x2

2.8.2. EJEMPLOS DE APLICACIÓN RESUELTOS

1) Dada la ecuación Donde si

T =350 K, se obtiene la siguiente tabla:

puntos 0 1 2 3

y(atm) 13.782 12.577 11.565 10.704

x(cm3) 2000 2200 2400 2600

Calcular la derivada de y con respecto a x cuando x = 2300 cm3, y compárelo

con el valor de las derivadas analíticas

Solución

Aplicando

en

los puntos x = 0; 1; y 2, tenemos x = 2300cm3

Con h = 200



La derivada analítica es

Debemos destacar que la aproximación es muy buena puesto que el error

relativo es de -0.24%,

Obtener la Primera derivada del polinomio de LaGrange.

Derivando el polinomio de LaGrange con respecto a x

,

Si hacemos

, y linealizamos

,

Derivando tenemos



,

Consecuentemente

,

Finalmente tenemos

,

Observemos que esta relación tiene una falencia en el caso que se quiera

dividir por una abscisa cero, pero esto se salva con la siguiente expresión que

es equivalente,



,

2) Calcular la derivada de f(x) = cos x en y con h = 0.01 cual es la

respuesta y cual es su grado de precisión

Solución

Se puede obtener una cota más precisa usando

el hecho de que lo que induce a que no

proporcione una cota superior de 0.0035355.

3) En una reacción química A +B, k productos la concentración del reactante A es una función de la presión P y la temperatura T. la siguiente tabla presenta la concentración de A en gmol /litro como función de estas dos variables

P(kg/cm2)T(K)

273 300 325 3601 0.99 0.97 0.96 0.932 0.88 0.82 0.79 0778 0.62 0.51 0.48 0.4515 0.56 0.49 0.46 0.4220 0.52 0.44 0.41 0.37

Calcular la variación de la concentración de A con la temperatura a P = 8

Kg./cm2 y T = 300K, usando un polinomio de segundo grado.



Solución

Lo que se pide es la derivada de la concentración con respecto a la

temperatura T valorado en T = 300 y p = 8 esto se puede evaluar usando la

siguiente relación, que es resultado de la derivada del polinomio de LaGrange.

, se sugiere aplicar derivación logarítmica y se llegará a la relación

siguiente.

En nuestro caso se tiene

, en esta

relación debemos tener en consideración que f(x) representa la concentración

de A y x a T de tal manera que al sustituir los tres puntos que se obtiene de

la tabla tenemos,

4) Obtenga la primera y segunda derivada evaluadas en x = 1, para la siguiente tabulación

I 0 1 2 3 4x -1 0 2 5 10f(x) 11 3 23 143 583

Solución

La tabulación siguiente representa las diferencias divididas

i x f(x)Diferencias Divididas Primeras Segundas

0 -1 11 -81 0 3 10 62 2 23 40 63 5 143 88 64 10 583



Debemos observar que un polinomio de según do grado puede representar

exactamente la función, puesto que la segunda diferencia dividida es

constante.

Podemos aplicar el Polinomio de Newton de segundo grado en diferencias

divididas

Observemos que se podía también derivar directamente del polinomio antes

de sustituir los valores de x0 y x1 esto es

, para la segunda derivada se

obtiene

2.8.3. EJERCICIOS Y APLICACIONES PROPUESTOS

1.- La siguiente tabulación representa el gasto instantáneo de petróleo crudo

en un oleoducto en miles de libras por hora. El flujo se mide a intervalo de 12

minutos

Hora 6:00 6:12 6:24 6:36 6:48 7:00 7:12 7:24 7:36 7:48 8:00 8:12Gasto 6.2 6.0 5.9 5.9 6.2 6.4 6.5 6.8 6.9 7.1 7.3 6.9

Cual es la cantidad de petróleo bombeado en 2 horas 12 minutos Calcule el

gasto promedio en ese periodo.

2.- En el interior de un cilindro de aluminio se tiene una resistencia eléctrica que genera una temperatura T1 = 1200º F. En la superficie exterior del cilindro



circula un fluido que mantiene su temperatura a T2 = 300º F. Calcular la cantidad de calor transferido al fluido por unidad de tiempo. Sabiendo que la altura del cilindro es de 12 pulgadas, con radio interno R1 2 pulgadas y radio externo R2 12 pulgadas. La conductividad térmica del aluminio varía con la temperatura según la tabla

kBTU/hr pie2(ºF/pie) 165 150 130 108TºF 1200 900 600 300

Considere un régimen permanente y modelar el proceso con la ecuación de

Fourier en donde:

q = representa el calor transferido

k = Es la conductividad térmica del aluminio en BTU/ hr pie2 (ºF/pie) que es función de T es decir k = f(T) en nuestro caso en forma tabular.

A = área de transferencia de calor en pie2

T = temperatura en ºF

R = distancia radial a partir del centro del cilindro en pies

3.- Determine el centro de masa de una lámina rectangular de 2 por suponiendo que la densidad en un punto P(x,y) de la lámina esta dado por

,

4.- Encuentre la primera derivada numérica de x ex en el punto x = 1, usando un polinomio de aproximación de segundo grado, estime el error cometido use la siguiente relación con h = 0.5

5.- Se

tiene la representación tabular de la temperatura T en ºC de una salmuera como refrigerante y tiempo t minutos encuentre la velocidad de enfriamiento entre los tiempos t = 2.5 y t = 4 minutos. Use con t = x, h =1,

T 0 1 2 3 4 5T 93.1 85.9 78.8 75.1 69.8 66.7

Utilice la siguiente



6.- La siguiente data representa una muestra de medidas observadas en una curva de imantación del hierro, en ella x es el número de kilo líneas por cm2 , y la permeabilidad encuentre la permeabilidad máxima.

X 5 6 7 8 9 10 11 12Y 1090 1175 1245 1295 1330 1340 1320 1250

7.- Obtenga la segunda derivada evaluada en x =3.7, 4.5, para la función tabulada de la siguiente manera

Puntos 0 1 2 3 4 5X 1 1.8 3 4.2 5 5.5f(x) 3 4.34536 6.57735 8.88725 10.44721 13.39223

Utilice el polinomio de Newton en diferencias divididas para aproximar f(x).

8.- Si tenemos la siguiente data

X 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6f(x) 0.24428 0.40496 0.59673 0.82436 1.09327f’(x) 1.75482 2.08855 2.47308

Determine el valor de la primera derivada para x = 0.3; 0.4 y 0.5 y compare con los valores analíticos dados en la data, utilice la siguiente

9.- En la tabla siguiente x es la distancia en metros que recorre una bala a lo largo de un cañón en t segundos. Determine la velocidad de dicha bala cuando x = 3

X 0 1 2 3 4 5T 0 0.0359 0.0493 0.0596 0.0700 0.0786

10.- Mediante los métodos vistos en clase determine:

a) b) ; c) ; d)

2.8.4. EJERCICIOS Y APLICACIONES DIVERSAS PROPUESTOS

I. Determinar las integrales aproximadas usando los Métodos de Simpson, Trapezoidal simple y compuesto de:



1. 2. 3. 5.

6. 7. , 8. 9.

10. 11. 12.

II. Hallar el área de la región limitada por:

1. y las rectas . 2. .

3 . , y las rectas 4. .

5. . 6. .

7. entre . 8. .

9. . 10. .

11.- . 12.- y el eje Y.

13.- . 14.- .

15.- . 16.

III. Calcular el volumen generado por la curva:

a) al rotar en torno al eje X

b) entre al rotar en trono del eje X

c) entre al rotar en trono del eje X

d) entre al rotar en trono del eje X

e) entre al rotar en trono del eje X


métodos numéricos aplicados a la ingeniería mnaiseca · web viewen ocasiones el intervalo de...

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