TUTORA DE:METODOS NUMRICOS

TEMA DE LA TUTORA:RESOLUCIN DE DOS PROBLEMAS DE MTODOS NUMRICOS APLICADOS A LA METODOLOGA DE PROYECTOS

INTEGRANTES:JUAN CARLOS CHIMBOLEMA

CICLO: XI Ciclo; Nivel 350 APROFESOR(A): Ing. Luis Rodrguez Ojeda MSC.CARRERA: Ing. en Sistemas ComputacionalesFACULTAD: Facultad de Ingeniera

GUAYAQUIL - ECUADOR

SEMESTRE B2013

INTRODUCCIN

Para Esta Tutora Tenemos La visualizacin que tenemos respecto al programa del laboratorio matemtico MATLAB es que sirve para realizar clculos numricos con vectores y matrices que cumple con el objetivo de modelar matemticamente y simular por medio del computador y de la herramienta matemtica simblica con diferentes sistemas fsicos sus importancias del programa de Matlab es crear objetos grficos , cientficos e incluso artstico en la pantalla mediante expresiones matemticas tambin ayuda a lo que es el calculo matemtico avanzado lo que nos dice como es el comportamiento de la grafica ya sea una figura en el plano o una superficie en el espacio llegando incluso hasta poder desarrollar ecuaciones diferenciales e incluso llegando al estudio de una integral nos podemos apoyar en el matlab y este nos indicara el significado y conocimientos del propio programa por eso para nosotros es todo un reto que el grupo de oyentes pueda entender y captar con conocimientos adecuados un programa que nos brinda.

OBJETIVO:

Matlab proporciona un entorno al usuario que facilita enormemente el anlisis, diseo y simulacin de sistemas de control, al incluir una serie de rutinas que resuelven los clculos matemticos de fondo, junto con una sencilla interface para su uso.

El objetivo de este proyecto esta utilizado mediante el lenguaje de Matlab, este lenguaje como objetivo principal se permite resolver mediante no solo una si no miles de problemas que se reemplazara a las calculadoras, y que se puede resolver muy rpido apara obtener respuestas imposible de resolver un problema, para eso tambin se utiliza muchos mtodos que resuelve los problemas muy fcil y rpido de obtener una respuesta de mucha precisin. El objetivo de esta practica es familiarizarse con Matlab, una herramienta de calculo asistido por ordenador, y especialmente con el subconjunto de rutinas especcas de control automtico (El Control toolbox).

ANLISIS DEL PROBLEMA

Definicin de modelo matemtico

X=TX+D(I-T)X=D (Sistemas De Ecuaciones Lineales)Para Obtener La Solucin nica De Forma General Para Esta Ecuacin

Descripcin de Las Variables

T= Matriz De La EconomaD=Vector De Trminos Independientes de la DemandaX= Vector de la Produccin Total de la Economa (Solucin)Diagonal_= Matriz Diagonal De T (Economa)Dwn=Matriz Diagonal Inferior de T (Economa)Sup= Matriz Diagonal Superior de T (Economa)

Diseo Del Problema

Mtodo Numrico Elegido

Mtodo de Jacobi

En laiteracin de Jacobi, se escoge una matrizQque es diagonal y cuyos elementos diagonales son los mismos que los de la matrizA. La matrizQtoma la forma:

y la ecuacin generalse puede escribir comoQx(k)= (Q-A)x(k-1)+b

Si denominamosRa la matrizA-Q:

La Ecuacin se puede reescribir como:

Qx(k)= -Rx(k-1)+b

El producto de la matrizQpor el vector columnax(k)ser un vector columna. De modo anlogo, el producto de la matrizRpor el vector columnax(k-1)ser tambin un vector columna. La expresin anterior, que es una ecuacin vectorial, se puede expresar pornecuaciones escalares (una para cada componente del vector). De este modo, podemos escribir, para un elementoicualquiera y teniendo en cuenta que se trata de un producto matriz-vector:

Si tenemos en cuenta que en la matrizQtodos los elementos fuera de la diagonal son cero, en el primer miembro el nico trmino no nulo del sumatorio es el que contiene el elemento diagonalqii, que es precisamenteaii. Ms an, los elementos de la diagonal deRson cero, por lo que podemos eliminar el trminoi=jen el sumatorio del segundo miembro. De acuerdo con lo dicho, la expresin anterior se puede reescribir como:

De donde despejandoxi(k)obtenemos:

En Que es la expresin que nos proporciona las nuevas componentes del vectorx(k)en funcin de vector anteriorx(k-1)en la iteracin de Jacobi.

El mtodo de Jacobi se basa en escribir el sistema de ecuaciones en la forma:(66)

Partimos de una aproximacin inicial para las soluciones al sistema de ecuaciones y sustituimos estos valores en la ecuacin. De esta forma, se genera una nueva aproximacin a la solucin del sistema, que en determinadas condiciones, es mejor que la aproximacin inicial. Esta nueva aproximacin se puede sustituir de nuevo en la parte derecha de la ecuaciny as sucesivamente hasta obtener la convergencia.

Formulacin Matemtica

(MODELO MATEMATICO ITERATIVO DE JACOBI) Parecido A: X=G(X) (Mtodo del Punto Fijo). Realizando Las Operaciones Iterativas

INSTRUMENTACIN

Algoritmo De Jacobi

function x = jacobi(a,b,x)n=length(x); t=x; % t es asignado con el vector X ingresado for i=1:n s=a(i,1:i-1)*t(1:i-1)+a(i,i+1:n)*t(i+1:n); x(i) = (b(i) - s)/a(i,i); end

Desarrollo Del Problema 1:

>> T=[0.40 0.03 0.02; 0.06 0.37 0.10; 0.12 0.15 0.19]

T =

0.4000 0.0300 0.0200 0.0600 0.3700 0.1000 0.1200 0.1500 0.1900

>> D=[80; 140; 200]

D =

80 140 200

>> Dwn=[0 0 0; 0.06 0 0; 0.12 0.15 0]

Dwn =

0 0 0 0.0600 0 0 0.1200 0.1500 0

>> Sup=[0 0.03 0.02; 0 0 0.10; 0 0 0]

Sup =

0 0.0300 0.0200 0 0 0.1000 0 0 0

>> X=[1; 1; 1]

X =

1 1 1

>> X=(inv(Diagonal_)*D)-(inv(Diagonal_)*(Dwn+Sup)*X)

X =

1.0e+003 *

1.9988 0.3779 1.0512

>> X=(inv(Diagonal_)*D)-(inv(Diagonal_)*(Dwn+Sup)*X)

X =

1.0e+003 *

1.1909 -0.2299 -0.5081

>> X=(inv(Diagonal_)*D)-(inv(Diagonal_)*(Dwn+Sup)*X)

X =

1.0e+003 *

2.4264 0.3226 0.4819

>> X=(inv(Diagonal_)*D)-(inv(Diagonal_)*(Dwn+Sup)*X)

X =

1.0e+003 *

1.5171 -0.1453 -0.7345

Haciendo 100 Iteraciones. Nos queda As:

>> X=(inv(Diagonal_)*D)-(inv(Diagonal_)*(Dwn+Sup)*X)

X =

1.0e+003 *

2.0802 0.1419 -0.3732

>> X=(inv(Diagonal_)*D)-(inv(Diagonal_)*(Dwn+Sup)*X)

X =

1.0e+003 *

2.0802 0.1419 -0.3732

>> X=(inv(Diagonal_)*D)-(inv(Diagonal_)*(Dwn+Sup)*X)

X =

1.0e+003 *

2.0802 0.1419 -0.3732

Observamos que el sistema si va a converger puesto que la suma de los coeficientes que o estn en la diagonal principal es menor que el coeficiente que est en la misma.

0.03+0.02 X=Jacobi(T,D,X)

X =

139.6871 142.3186 711.6643

>> X=Jacobi(T,D,X)

X =

153.7429 163.3847 852.0514

>> X=Jacobi(T,D,X)

X =

145.1436 123.1629 826.5429

>> X=Jacobi(T,D,X)

X =

149.4356 131.4516 863.7280

>> X=Jacobi(T,D,X)

X =

146.9547 120.7056 854.4736

>> X=Jacobi(T,D,X)

X =

148.2234 123.6091 864.5242

>> X=Jacobi(T,D,X)

X =

147.5031 120.6870 861.4307

>> X=Jacobi(T,D,X)

X =

147.8769 121.6399 864.1925

>> X=Jacobi(T,D,X)

X =

147.6674 120.8328 863.2042

>> X=Jacobi(T,D,X)

X =

147.7773 121.1339 863.9737

>> X=Jacobi(T,D,X)

X =

147.7163 120.9081 863.6665

>> X=Jacobi(T,D,X)

X =

147.7486 121.0010 863.8833

>> X=Jacobi(T,D,X)

X =

147.7308 120.9372 863.7896

>> X=Jacobi(T,D,X)

X =

147.7402 120.9654 863.8512

>> X=Jacobi(T,D,X)

X =

147.7350 120.9472 863.8230

>> X=Jacobi(T,D,X)

X =

147.7378 120.9557 863.8406

>> X=Jacobi(T,D,X)

X =

147.7363 120.9505 863.8322

>> X=Jacobi(T,D,X)

X =

147.7371 120.9530 863.8372

Realizando 80 Iteraciones Y Nos queda El Rsultado

>> X=Jacobi(T,D,X)

X =

147.7368 120.9520 863.8358

>> X=Jacobi(T,D,X)

X =

147.7368 120.9519 863.8357

>> X=Jacobi(T,D,X)

X =

147.7368 120.9519 863.8358

>> normaR1=norm(X,inf)

normaR1 =

863.8358

>> (I-T)

(I-T) =

0.6000 -0.0300 -0.0200 -0.0600 0.6300 -0.1000 -0.1200 -0.1500 0.8100

>> D

D =

80 140 200

>> X=GaussJordan02((I-T),D)

a =

1.0000 -0.0500 -0.0333 133.3333 0 0.6270 -0.1020 148.0000 0 -0.1560 0.8060 216.0000

a =

1.0000 0 -0.0415 145.1356 0 1.0000 -0.1627 236.0447 0 0 0.7806 252.8230

a =

1.0000 0 0 158.5657 0 1.0000 0 288.7323 0 0 1.0000 323.8737

X =

158.5657 288.7323 323.8737

>>Xt=X

Xt =

158.5657 288.7323 323.8737

>> Cond(T)

ans =

4.0354

Este Sistema De Ecuaciuones Lineales Es MuyMal Condicionado, A Razn de Que Valor poco grande pasando de Su Lmite como (k> nmT=norm(T,inf)

nmT =

0.5300

>> Kt=cond(T)*nmT

Kt =

2.1388 => 213.88%

Es Bien Grande Por Su Nivel De Aceptacin En El Porcentaje, Puesto Que Los Valores De La Matriz T de la Economa Afectan A Todos y Que Los Valores No Son Confiable que Tienen Sus Desventajas.

PROBLEMA 2

Luego de efectuarse un experimento se anotaron los resultados:(xi, fi) y se tabularon las diferencias finitas. Accidentalmente se borraron algunos valores quedando nicamente lo que se muestra a continuacin:

xi fi fi 2fi 3fi 4fi1.3 3.534--------0.1920.0530.0021.5 --------------------------------1.7 ------------------------1.9 ----------------0. --------

Tambin se haba hecho una interpolacin lineal con el polinomio de diferencias finitas en x = 1.4 obtenindose como resultado de la interpolacin el valor 4.0755

1. Reconstruya la tabla de diferencias finitas 1. Encuentre el valor de f(1.62) con un polinomio de interpolacin de Diferencias Finitas Avanzadas de tercer grado, y estime el error en la interpolacin.1. Encuentre el valor de x tal que f(x) = 5.4 con un polinomio de interpolacin de diferencias finitas avanzadas de tercer grado. Para obtener la respuesta debe resolver una ecuacin cbica. Use el Mtodo de Newton y obtenga el resultado con cuatro decimales exactos. Previamente encuentre un intervalo de convergencia.1. Encuentre las coordenadas del punto mximo del polinomio de intepolacin que incluye a los cinco puntos tabulados.

ANALISIS DEL PROBLEMA

Definicin De Modelo Matemtico

No Est Definido El Modelo Matemtico Ya Que Los Vectores: X: Los Puntos En El Plano, F Los Puntos De La Funcin Polinmica De Lagrange Ya Que Cuando Ingresamos Esos Datos Obtenemos Este resultado del Polinomio Durante La Eficiencia Computacional

Descripcin de La Variables

Xr= Valores de La Coordenada X El En Plano Reconstruidas.Fr= Valores de La Coordenada F Del Resultado de una Cierta Funcin Polinmica de Lagrange Reconstruidas.P= Polinomio de Lagranget= Valor Constante y Resultante Para Evaluar Una Iteracin de una Ecuacin Polinmica De Lagranged= Tabla de Diferencias Finitasr= Valor Numrico Evaluado de la Ecuacin Polinmica De Lagrange

DISEO DEL PROBLEMA

Mtodo Numrico Elegido

Mtodo De Polinomio De Lagrange

En anlisis numrico, el polinomio de Lagrange, llamado as en honor a Joseph-Louis de Lagrange, es el polinomio que interpola un conjunto de puntos dado en la forma de Lagrange. Fue descubierto por Edward Waring en 1779 y redescubierto ms tarde por Leonhard Euler en 1783.

Dado que existe un nico polinomio interpolador para un determinado conjunto de puntos, resulta algo confuso llamar a este polinomio el polinomio interpolador de Lagrange. Un nombre ms conciso es interpolacin polinmica en la forma de Lagrange.La interpolacin de polinomios de Lagrange es simplemente una formulacin del polinomio de Newton que evita el clculo por diferencias divididas. Se puede expresar de manera concisa como:

Donde

Donde designa el producto de. Por ejemplo, la versin lineal e:

Y la versin de segundo orden es:

La ecuacin (1) se puede derivar de manera directa a partir del polinomio de Newton. Sin embargo, el racional resaltado de la formulacin de Lagrange se puede captar de manera directa al darse cuenta que cada trmino ser en y 0 en todos los otros puntos de la muestra. De esa manera, cada producto toma el valor de en el punto de muestra . En consecuencia, la sumatoria de todos los productos designados para la ecuacin (1) es el nico polinomio de n-simo orden que pasa de manera exacta a travs de todos los n+1 puntos.

Diferencias Finitas

Unadiferencia finitaes una expresin matemtica de la formaf(x+b) f(x+a). Si una diferencia finita se divide porbase obtiene una expresin similar alcocientediferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar deinfinitesimales. La aproximacin de las derivadas por diferencias finitas desempea un papel central en losmtodos de diferencias finitasdelanlisis numricopara la resolucin deecuaciones diferenciales.

Formulacion Del Mtodo Numrico

(Existe Una Relacin Entre Derivadas Y Diferencias Finitas)

INSTRUMENTACIN

Algoritmo De Lagrange

function p = lagrange(x, f, v)n=length(x);syms t;%Variable para el polinomiop=0;for i=1:n L=1; for j=1:n if i ~= j L=L*(t-x(j))/(x(i)-x(j)); end end p=p+L*f(i);%entrega p(t) en forma simblicaendp=simplify(p);%simplificacin algebraicaif nargin==3%verifica si existe un parmetro adicional t=v; p=eval(p);% entrega el resultado de p evaluado en vend

Algoritmo De Diferencias Finitas

function d=Dfinitas(x,f)% Tabla de DIFERENCIAS FINITASclear d;n=length(f);for i=1:n d(i,1)=x(i); d(i,2)=f(i);endfor k=1:n-1 for i=1:n-k d(i,k+2)=d(i+1,k+1)-d(i,k+1); endend

Algoritmo Del Polinomio De Difrencias Finitas

function p = Poldif(x,f)d= finitas(x,f);syms t;h= x(2)-x(1);p=f(1);q=1;n=length(x);for i = 1: n-1 q=q*(t-x(i)); p=p+q*d(i)/(factorial(i)*(h^i));end

p=simplify(p);

function d= finitas(x,f)y=f;n=length(f);for k=1:n-1 for i =1:n-k f(i)=f(i+1)-f(i); end d(k)=f(1);end

Desarrollo Del Problema

PROBLEMA 2

Luego de efectuarse un experimento se anotaron los resultados:(xi, fi) y se tabularon las diferencias finitas. Accidentalmente se borraron algunos valores quedando nicamente lo que se muestra a continuacin:

xififi2fi3fi4fi1.33.534--------0.1920.0530.0021.5--------------------------------1.7------------------------1.9----------------0. --------

Tambin se haba hecho una interpolacin lineal con el polinomio de diferencias finitas en x = 1.4 obtenindose como resultado de la interpolacin el valor 4.0755

a) Reconstruya la tabla de diferencias finitas. xififi2fi3fi4fi1.33.5341.0830.1920.0530.0021.54.6171.2750.2450.0551.75.8921.5200.3001.97.4121.8200. 9.232

b) Encuentre el valor de f(1.62) con un polinomio de interpolacin de Diferencias Finitas Avanzadas de tercer grado, y estime el error en la interpolacin.

>> x=[1.3 1.5 1.7 1.9];>> f=[3.534 4.617 5.892 7.412];>> p=poldif(x,f);>> digits 4;>> p=vpa(p) p =-2.486+6.104*t-2.569*t^2+1.104*t^3 >> t=1.62;>> r=eval(p)

r = 5.3541

c) Encuentre el valor de x tal que f(x) = 5.4 con un polinomio de interpolacin de diferencias finitas avanzadas de tercer grado. Para obtener la respuesta debe resolver una ecuacin cbica. Use el Mtodo de Newton y obtenga el resultado con cuatro decimales exactos. Previamente encuentre un intervalo de convergencia.

>> f='-2.486+6.104*t-2.569*t^2+1.104*t^3-5.4';>> diff(f) ans =6.104-5.138*t+3.312*t^2 >> g=inline('t-((-2.486+6.104*t-2.569*t^2+1.104*t^3-5.4)/(6.104-5.138*t+3.312*t^2))');>> t=1.5;>> t=g(t)

t = 1.6341

>> t=g(t)

t = 1.6271

>> t=g(t)

t = 1.6271

>> t=g(t)

t = 1.6271

CONCLUSIONES

En conclusin vemos que MATLAB es una potente herramienta que disponemos para realizar clculos en el ambiente de ingeniera y otras especialidades, con capacidades que gradualmente podemos ir incluyendo a nuestros conocimientos y aplicaciones DE LAS Actividades tanto laboral como intelectual.

El software MatLab, como un recurso didctico, para la enseanza-aprendizaje de los Mtodos Numricos, representa un verdadero reto para la Carrera, ya que deben buscar estrategias que permitan su integracin en el aprendizaje para nosotros como Estudiantes y esto requiere esfuerzo y dedicacin.

Hoy en da, MATLAB es un programa muy potente, con un entorno agradable, que incluye herramientas de clculo cientfico y tcnico y de visualizacin grfica, as como un lenguaje de programacin de alto nivel que nos permite ir como siempre gradualmente incrementando las capacidades de las posibles aplicaciones que se puedan realizar. Finalmente se puede decir que el objetivo principal de conocer el funcionamiento, los comandos y operaciones matemticas en MATLAB es el de involucrarse en este campo de la ingeniera para as desarrollar cualquier inquietud o darle solucin a algn problema en el campo de trabajo, contando con el apoyo y de una manera rpida y sencilla que me permita optimizar los procesos y obtener rapidez en los mismos.

BIBLIOGRAFA UTILIZADA PARA ESTE PROYECTO:

http://www.uv.es/~diaz/mn/node35.html http://matlabxsiemprexd.blogspot.com/2007/11/introduccion.html http://www.mty.itesm.mx/dmti/materias/ma2008/lecturas/ma2008-09a.pdf http://metodosnumericos2012-1.wikispaces.com/file/detail/lagrange.docx http://www.uv.es/~diaz/mn/node35.html