metody ešení - fce.vutbr.cz · charakteristik) • sestavení vektor zatížení prvk (dle...

1

Metody ešení

• z hlediska kvality dosaženého výsledku

1) přesné metody – p

římé

řešení diferenciálních rovnic, většinou pro jednoduché

konstrukce

• např. řešení ohybu prutu p

římou integrací

2) přibližné metody – náhrada hledané funkce nějakou aproximací, se kterou se lépe pracuje. Nap

ř.:

•řešení pomocí nekonečných trigonometrických

řad (použije se konečný počet č lenů)

• diferenční metoda, metoda sítí (funkce je definována v diskrétních bodech, derivace funkce jsou vyjád

řeny pomocí hodnot v okolních bodech a vzdáleností těchto bodů)

• Ritzova metoda

• metoda konečných prvků

Metody ešení

vycházejí:

• přímo z diferenciálních rovnic sestavených pomocí základních vztahů (statické,

fyzikální, geometrické rovnice, popř. podmínky kompatibility), nap

ř.:

•řešení pomocí nekonečných

řad

• metoda sítí

• z energetických principů (vyjádření potenciální energie, pop

ř. virtuální práce), nap

ř.:

• Ritzova metoda

• metoda konečných prvků

2

Metody ešení

• podle primárních neznámých a využitých rovnic

• silová metoda

• primární neznámé jsou silové velič iny – vnitřní síly nebo napětí

• využijí se podmínky kompatibility, fyzikální a statické podmínky

• např.: stěnová rovnice

• deformační metoda

• primární neznámé jsou přemístění

• využijí se geometrické, fyzikální a statické rovnice

• např.: desková rovnice, ohybová čára prutu

Metody ešení

• příklad silové metody – odvození stěnové rovnice

• výchozí rovnice: podmínka kompatibility (1), fyzikální rovnice (3), statické rovnice (2)

• neznámé: deformace (3), napětí(3)

• výsledná stěnová rovnice

kde

je tzv. Airyho funkce napětí, ze které lze přímo odderivovat složky vektoru napětí

024

4

22

4

4

4

=∂∂+

∂∂∂+

∂∂

y

F

yx

F

x

F

),( yxF

3

• příklad deformační metody – odvození ohybu prutu bez vlivu smyku

• výchozí rovnice:

• statické rovnice (2)

• fyzikální rovnice(1)

• geometrické podmínky (2)

• neznámé:

• vnitřní síly (V,M)

• deformace průřezu (ρ)• p

řemístění (w,φ)

• výsledná rovnice ohybové čáry

Metody ešení

VM

qV

=−=

´

´

ρEIM =

ϕρϕ−=

=´

´

w

qEIw =´´)´´(

Metody ešení

• Kirchhofova – tenká deska (bez vlivu smyku) – deformační metoda

• měrné vnitřní síly

• deformace průřezu

• přemístění

podmínky statické podmínky geometrické podmínky fyzikální

Dosazení podmínek geometrických. do fyzikálních, fyzikálních. do statických a druhé a třetí statické do první -> desková rovnice

[ ]xyy Dm νρρ +=

xyxy Dm ρν2

)1( −=

[ ]yxx Dm νρρ +=0=+

∂∂

+∂∂

py

q

x

q yx

0=−∂

∂+

∂∂

xxyy q

y

m

x

m

0=−∂

∂+

∂∂

xxyx qy

m

x

m

yxxyyx qqmmm ,,,,

xyyx ρρρ ,,

w

2

2

x

wy ∂

∂−=ρ

2

2

y

wx ∂

∂−=ρ

xy

wxy ∂∂

∂−=2

2ρ

D

p

y

w

yx

w

x

w =∂∂+

∂∂+

∂∂

4

4

22

4

4

4

2

4

Energetické principy

• Energetické principy

• princip virtuálních prací

• princip minima potenciální energie


Přetvárná práce vnějších sil

• práce, kterou koná závaží na protažení táhla

Doplňková práce vnějších sil

• práce, která je konána při

přesouvání závaží na plošinu

lineárně pružný materiál

∑ ∫=

=∆=n

i

u

ie

t

duuFuFL1 0

)( ∑ ∫=

=∆=n

i

F

ie

t

dFFuFuL1 0

* )(

ttee uFLL21* == tte uFLL =+ *

5

• Deformační energie

• energie, která se akumuluje v konstrukci při její deformaci vlivem zatěžování

• konstrukce je schopna ji vydat zpět při odtěžování

• odpovídá přetvárné práci vnějších sil

• obecně pro těleso

• pro prut


∫∫∫ ++=ΠLLL

i dxMdxVdxN ργε2

1

2

1

2

1

∫∫∫ ++=ΠLLL

i dxMEIdxVGAdxEA 222

2

1

2

1

2

1 ργε κ

{ } { }∫=ΠV

Ti dVσε

21

ei L=Π

• Mechanický systém

• mechanický systém = konstrukce + zatížení

• Potenciální energie systému

• změna celkové energie mechanického systému vlivem zatěžování

• potenciální energie vnitřních sil – energie akumulovaná v konstrukci (kladná)

• potenciální energie vnějších sil – ztráta polohy břemene (záporná)

• Celková potenciální energie


ei L=Π

)( *eee LLuF +−=−=Π

ei Π+Π=Π** )( eeee LLLL −=+−=Π

6


• Princip minima potenciální energie

• Ze všech možných deformačních stavů pružného tělesa, které neporušují jeho spojitost a respektují veškeré kinematické okrajové podmínky nastane právě ten, p

ři

němž je potenciální energie systému minimální.

min=Π

• Variační metody

• matematické postupy k hledání funkce udělující extrém danému funkcionálu F

• funkcionál – integrál z operátoru nad funkcemi a jejich derivacemi

• variace funkce – infinitesimální změna celého průběhu funkce

• přípustná funkce – funkce splňující okrajové podmínky

• variační metoda převádí úlohu o nalezení funkce udělující minimum funkcionálu F

na tvar

Varia ní metody

∫=l

n dxyyyyLF )´´.....´,,( )( )(xfy =

extrémF =

0=Fδ

7

Varia ní metody

• Případ ohybu prutu

• funkcionál – potenciální energie

• podmínka extrému

• hledaná funkce – funkce průhybu

• přípustná funkce – funkce splňující okrajové podmínky. Nap

ř.:

´´),( wwf=Π

min=Π

)(xw

00 =

==

lx

xw)(xw

Ritzova metoda

• aproximace přemístění

φ(x) .... bázová funkce definovaná na celé oblasti konstrukce, splňuje okrajovépodmínky

ai .... neznámé koeficienty: mají pouze matematický význam – definují váhu danébázové funkce

• Bázové funkce

- volí se omezený počet funkcí.

- variační princip z nich vybere nejlepší možnéřešení z hlediska minima potenciální

energie

- pokud je mezi zvolenými bázovými funkcemi správnéřešení, je variačním

principem vybráno

∑=

=n

ii xaxw

1

)()( φ

8

Ritzova metoda

• podmínka minima

• vyjádřená

• vyjádření variace – parciální derivace podle všech proměnných parametrů

vede na soustavu rovnic

jejížřešením jsou neznámé koeficienty ai.

Ty se zpětně dosadí do původní aproximace a získáme rovnici přemístění.

min=Π

0=Πδ

0=∂Π∂

ia

∑=

=n

ii xaxw

1

)()( φ

Metoda kone ných prvk

• Aproximace přemístění

• Rozdělení konstrukce na prvky a uzly

• Bázové funkce Ni patřící k jednomu uzlovému parametru jsou nenulové pouze na

okolních prvcích k danému uzlu

• Uzlové parametry ∆ mají konkrétní fyzikální význam – hodnota daného přemístění

v uzlu

- představují primární neznámé, pomocí kterých se vše ostatní vyjad

řuje

• Vyjádření p

řemístění po oblasti prvku

}]{[)( ∆= Nxu

9


• Vyjádření deformací – z geometrických podmínek

• Vyjádření napětí – z fyzikálních podmínek

• Vyjádření potenciální energie

• kde K ... matice tuhosti

∆ ... vektor uzlových parametrůF ... vektor uzlových sil

{ } [ ]{ } [ ][ ]{ } [ ]{ }∆=∆∂=∂= BNuε

{ } [ ]{ } [ ][ ]{ }∆== BDD εσ

{ } { } { } [ ] [ ][ ] { } [ ]{ }∆∆=∆==Π ∫∫ KdVBDBdV T

V

TT

V

Ti 2

1

2

1

2

1 σε

{ } { }FTe ∆−=Π

ei Π+Π=Π { } [ ]{ } { } { }FK TT ∆−∆∆=Π2

1


• Vyjádření minima potenciální energie podle variačního principu

lze provést

- pro každý prvek

- pro celou konstrukci

• soustava se stávářešitelnou po zavedení okrajových podmínek

•řešením jsou uzlová p

řemístění ∆, pomocí kterých se zpětně vyjád

ří

- přemístění u

- deformace εεεε- napětí (resp. vnit

řní síly) σσσσ

na jednotlivých prvcích

[ ]{ } { }FK =∆

10


• okrajové podmínky

• homogenní, nehomogenní – dosazení příslušného p

řemístění do uzlového

parametru

• pružné vazby – přidání tuhosti pružiny do matice tuhosti konstrukce na pozici

odpovídající dané síle a posunu

• zatížení

• prvkové (spojitá zatížení po oblasti prvku) – přetransformuje se do uzlů -> vektor

zatížení prvku -> vektor zatížení konstrukce

• uzlové (osamělá břemena p

římo v uzlech) – dosazují se p

římo do vektoru zatížení

konstrukce

[ ]{ } { }FK =∆


Fáze výpoč tu

• analýza prvku

• sestavení matic tuhostí prvků (dle geometrie, průřezových a materiálových charakteristik)

• sestavení vektorů zatížení prvků (dle zatížení po oblasti prvku)

• analýza konstrukce

• sestavení vektoru uzlových parametrů konstrukce

• sestavení matice tuhosti konstrukce (z matic tuhostí jednotlivých prvků)

• sestavení vektoru zatížení konstrukce (z vektorů zatížení prvků a z břemen

působících v uzlech)

• zavedení okrajových podmínek

•řešení soustavy rovnic -> vektor uzlových parametrů konstrukce, reakce

• dokončení analýzy prvku

• sestavení vektoru uzlových parametrů prvku (z vektoru uzlových parametrůkonstrukce)

• výpočet deformací (z geometrických vztahů)

• výpočet napětí (z fyzikálních vztahů)

11


definice úlohy

• typ prvku

• dimenze úlohy

• tvar prvku, uzly na prvku

• uzlové parametry, klouby na prutech

• geometrie modelu

• definice uzlů (souřadnice) a prvků (dle uzlů)

• definice oblastí + automatické generování uzlů a prutů• průřezové charakteristiky + p

řiřazení k prvkům

• číselně, z katalogu

• materiálové charakteristiky + přiřazení k prvkům

• číselně, z katalogu

• podepření

• předepsaná p

řemístění uzlů, pružné vazby

• zatížení + kombinace zatěžovacích stavů• uzlová, prvková


Prvky a jejich stupně volnosti (uzlové parametry)

• rovinná příhradovina

• prostorová příhradovina

• rošt

• rovinný rám

• prostorový rám

12


Prvky a jejich stupně volnosti (uzlové parametry)

• stěnový prvek

• deskový prvek

• deskostěnový prvek

• skořepinový prvek

• prostorový prvek

metody ešení - fce.vutbr.cz · charakteristik) • sestavení vektor zatížení prvk (dle...

Documents