8/14/2019 metric and normed spaces

http://slidepdf.com/reader/full/metric-and-normed-spaces 1/34

    ¡ £ ¥ § ¨

" $ & ( ) 0 3 ( 5 6 $ " @

A B C E B C H H Q C T U H U C E X U ` a ` a B d B f T B ` E U i C H q E f q B E ` U B t f Q f E x U y C E ` a E B B x U T B y t U f y C H

i H U x B C y t q C i B q B E t U t ` B y ` ` a B T B U y T C ` a B T C ` U i t U t ` a B d E f q U y d f Q C E U f t U y x t

f Q f j k B i ` t U y ` f C j t ` E C i ` t q C i B t n a U t d E f q U y d B y C j H B t t ` f B ` B y x f E U y ` U ` U f y

f Q ` a B E B H C ` U f y t a U q j B ` X B B y q f U y ` t U y i H U x B C y t q C i B ` f ` a B E B H C ` U f y t a U q j B ` X B B y

T f E B d B y B E C H U y x t f Q f j k B i ` t H B C x U y d ` f C i H B C E B E C y x x B B q B E y x B E t ` C y x U y d f Q

` a f t B f j k B i ` t

n a B t U T q H B t ` t B ` ` U y d Q f E ` a B t ` x f Q T C y q E f j H B T t U y C y C H t U t U t ` a C ` f Q C T B ` E U i

t q C i B T B ` E U i t q C i B U t C t B ` f Q q f U y ` t X U ` a C t U ` C j H B y f ` U f y f Q ` a B x U t ` C y i B j B ` X B B y

q f U y ` t A B i C y t B ` a B T B ` E U i f E x U t ` C y i B Q y i ` U f y ` f x B y B ` a B Q y x C T B y ` C H

i f y i B q ` t f Q C y C H t U t t i a C t i f y B E d B y i B i f y ` U y U ` C y x i f T q C i ` y B t t

T B ` E U i t q C i B y B B x y f ` a C B C y U y x f Q C H d B j E C U i t ` E i ` E B x B y B x f y U ` y

T C y C q q H U i C ` U f y t a f X B B E ` a B T B ` E U i t q C i B U t C H U y B C E t q C i B X U ` a C T B ` E U i x B E U B x

Q E f T C y f E T ` a C ` d U B t ` a B H B y d ` a f Q C B i ` f E i a t q C i B t C E B i C H H B x y f E T B x

H U y B C E t q C i B t f E B C T q H B x U T B y t U f y C H i H U x B C y t q C i B U t C y f E T B x H U y B C E t q C i B

C Q ` B E ` a B i a f U i B f Q C y C E j U ` E C E q f U y ` C t ` a B f E U d U y i B y ` E C H ` f q U i f Q ` a U t j f f

U t ` a B t ` x f Q U y y U ` B x U T B y t U f y C H y f E T B x H U y B C E t q C i B t U y i H x U y d Q y i ` U f y t q C i B t

U y X a U i a C t U y d H B q f U y ` E B q E B t B y ` t C Q y i ` U f y t X B X U H H t B B ` a B d B f T B ` E U i C H U y

` U ` U f y x B E U B x Q E f T y U ` B x U T B y t U f y C H i H U x B C y t q C i B E B T C U y t B t t B y ` U C H C H ` a f d a

i f T q H B ` B H y B X Q B C ` E B t C E U t B U y ` a B i C t B f Q U y y U ` B x U T B y t U f y C H t q C i B t

y ` a U t i a C q ` B E X B x B y B C y x t ` x T B ` E U i t q C i B t C y x y f E T B x H U y B C E t q C i B t

H f y d ` a B X C X B E B U B X C y T j B E f Q x B y U ` U f y t C y x E B t H ` t Q E f T E B C H C y C H t U t

B ` j B C y C E j U ` E C E y f y B T q ` t B `

« - ® ¯ ° ± f E ² ° ³ ® ´ µ ± - ¶ · µ ± ® ° ¸ µ f y U t C Q y i ` U f y

¹ º » ¼ ¾ ¿

À

8/14/2019 metric and normed spaces

http://slidepdf.com/reader/full/metric-and-normed-spaces 2/34

Á Â Ã Ä Å Æ Ç È É Ê Ë Ì Å Í Ã Ê Î Ï È Ç Ã Ð

Anne

Beth

Diane Ellen Fiona

Claire

Grace

Ñ Ò Ó ÕÀ

ÕÀ Ö Ø Ù Ú

Ò Û Ü Ý Þ ß ß à á ß â Ò ã Ý ä ß â ß å ã Ò Ý Ò æ ã æØ

Ý ä ß à Û Ý ÞÙ Ú

ß Ý Þ Ò ç Ò ã è éÙ Ú ê

Û ßÀ

Õ ë Õ

X U ` a ` a B Q f H H f X U y d q E f q B E ` U B t º

C ¹

ì

¿ í î ï Q f E C H H

ì

¿ í ð C y x ¹

ì

¿ í ñ ï U Q C y x f y H U Q

ì

ñ í ó

j ¹

ì

¿ í ñ¹

í ¿

ì

Q f E C H H

ì

¿ í ð ó

i ¹

ì

¿ í ô¹

ì

¿ õ ö¹

õ ¿ í Q f E C H H

ì

¿ í ¿ õ ð

« - ® ¯ ° ± ³ ÷ ´ ± -

¿¹

U t C t B ` B ø U q q B x X U ` a C T B ` E U i¹

A a B y ` a B T B ` E U i¹

U t y x B E t ` f f x Q E f T ` a B i f y ` B ` X B x B y f ` B C T B ` E U i t q C i B

t U T q H j ` a B t B ` y X f E x t ` a B x B y U ` U f y t ` C ` B t ` a C `º

C x U t ` C y i B t C E B y f y y B d C ` U B C y x ` a B f y H q f U y ` C ` ù B E f x U t ` C y i B Q E f T

ì

U t

ì

U ` t B H Q ó

j ` a B x U t ` C y i B U t C t T T B ` E U i Q y i ` U f y ó

i x U t ` C y i B t t C ` U t Q ` a B ® ¯ ° ´ µ ú û - ° µ - ü · ´ û ° ® þ

f E q f U y ` t U y ` a B i H U x B C y q H C y B ` a B ` E U C y d H B U y B ø C H U ` t ` C ` B t ` a C ` ` a B H B y d ` a f Q

f y B t U x B f Q C ` E U C y d H B U t H B t t ` a C y ` a B t T f Q ` a B H B y d ` a t f Q ` a B f ` a B E ` X f t U x B t

   ¡

£ ¥ §

n a B t B ` f Q E B C H y T j B E t ¾ X U ` a ` a B x U t ` C y i B Q y i ` U f y ¹

ì

¿ í ñ

© ì

í

©

U t C T B ` E U i t q C i B n a B t B ` f Q i f T q H B y T j B E t X U ` a ` a B x U t ` C y i B Q y i ` U f y

¹

õ ¿ ñ

©

õ

©

U t C H t f C T B ` E U i t q C i B

   ¡

£ ¥

B ` j B C t B ` f Q q B f q H B f Q ` a B t C T B d B y B E C ` U f y X U ` a C i f T T f y

C y i B t ` f E Q f E B C T q H B C H H ` a B d E C y x i a U H x E B y f Q C d E C y x T f ` a B E

t B B U d E B A B

x B y B ` a B x U t ` C y i B ¹

ì

¿ í j B ` X B B y C y ` X f U y x U U x C H t

ì

C y x í C t ` a B y T j B E f Q

d B y B E C ` U f y t f y B a C t ` f d f j C i C H f y d Q B T C H B H U y B t ` f y x ` a B E t ` i f T T f y C y i B t ` f E

8/14/2019 metric and normed spaces

http://slidepdf.com/reader/full/metric-and-normed-spaces 3/34

Â Ã Ä Å Æ Ç Ð È É Ê É Ì Å Í Ðë

f E B C T q H B ` a B x U t ` C y i B j B ` X B B y ` X f t U t ` B E t U t f y B ` U t B C t ` f i a B i ` a C ` ¹ U t C

T B ` E U i y Q C i ` ¹

t C ` U t B t C t ` E f y d B E i f y x U ` U f y ` a C y ` a B ` E U C y d H B U y B ø C H U ` y C T B H

¹

ì

¿ í ô T C ! ¹

ì

¿ õ ¿ ¹

õ ¿ í # Q f E C H H

ì

¿ í ¿ õ ð %

T B ` E U i¹

X a U i a t C ` U t B t

U t i C H H B x C y · û ® ¯ ´ « - ® ¯ ° ± ( H ` E C T B ` E U i t a C B j B B y

t B x U y ` C f y f T ` f i a C E C i ` B E U ù B ` a B d B y B ` U i q E f U T U ` f Q t q B i U B t

   ¡

£ ¥ 0

B ` j B ` a B t B ` f Q H B ` ` B E X f E x t U y C 1 i a C E C i ` B E C H q a C j B ` 2   ñ

! 3 5 ¿ 3 8 ¿ % % % ¿ 3 B # T B C y U y d ` a C ` ñ !

ì

5 ¿

ì

8 ¿ % % % ¿

ì F

© ì H

ð 2   # A B x B y B ` a B

x U t ` C y i B¹

ì

¿ í j B ` X B B y ` X f X f E x t

ì

ñ

ì

5 ¿ % % % ¿

ì F

C y x í ñ

í 5 ¿ % % % ¿ í

F

` f j B ` a B

y T j B E f Q q H C i B t U y X a U i a ` a B X f E x t a C B x U Q B E B y ` H B ` ` B E t n a C ` U t

¹

ì

¿ í ñ R ! U

© ì H V

ñ í

H

# %

n a B y

¿¹

U t C T B ` E U i t q C i B

   ¡

£ ¥ W

q q f t B

¿¹

U t C y T B ` E U i t q C i B C y x X U t C t j t B ` f Q A B x B y B

` a B x U t ` C y i B j B ` X B B y q f U y ` t f Q X j E B t ` E U i ` U y d ` a B T B ` E U i¹

` f X n a B E B t H ` U y d

T B ` E U i t q C i B

X ¿ ¹

© a

f E

Xw ¿ ¹ Q f E t a f E ` U t i C H H B x C « - ® ¯ ° ± ³ · b ³ ÷ ´ ± - f Q

m ¿ ¹ f E

t U T q H C t j t q C i B X a B y U ` U t i H B C E ` a C ` X B C E B ` C H U y d C j f ` T B ` E U i t q C i B t f E

B C T q H B

¾ ¿

© d ©

U t C T B ` E U i t j t q C i B f Q

¿

© d ©

C y x ` a B t q C i B f Q E C ` U f y C H y T j B E t

g

¿

© d ©

U t C T B ` E U i t j t q C i B f Q

¾ ¿

© d ©

   ¡

£ ¥ i

Q C y x X C E B t B ` t ` a B y ` a B q ´ ¯ ® - ³ ° ´ µ ÷ ¯ ¸ ² · ± ® » X U t ` a B t B ` f Q

f E x B E B x q C U E t

ì

¿ í X U ` a

ì

ð C y x í ð X Q ¹ t C y x ¹

a

C E B T B ` E U i t f y C y x X

E B t q B i ` U B H ` a B y X B T C x B y B C T B ` E U i ¹ t w

a

f y ` a B q E f x i ` t q C i B j

¹t w

a ì

5¿ í

5 ¿

ì

8¿ í

8 ñ

¹t

ì

5¿

ì

8 ö

¹

a

í5

¿ í8

Q f E C H H

ì

5 ¿

ì

8 ð C y x í 5 ¿ í 8 ð X

A B E B i C H H ` a B x B y U ` U f y f Q C H U y B C E f E B i ` f E t q C i B A B i f y t U x B E f y H E B C H f E

i f T q H B H U y B C E t q C i B t

û ° µ - ´ ¯ ³ ÷ ´ ± - f B E ` a B t i C H C E B H x ¾

f E U t C t B ` f Q q f U y ` t f E

B i ` f E t f y X a U i a C E B x B y B x f q B E C ` U f y t f Q B i ` f E C x x U ` U f y C y x t i C H C E T H ` U q H U i C ` U f y

X U ` a ` a B Q f H H f X U y d q E f q B E ` U B tº

C ` a B t B ` U t C i f T T ` C ` U B d E f q X U ` a E B t q B i ` ` f ` a B f q B E C ` U f y ö f Q B i ` f E

C x x U ` U f y T B C y U y d ` a C ` Q f E C H H

ì

¿ í ¿ õ ð X B a C B

ì

ö í ñ í ö

ì

C y x

ì

ö

í ö õ ñ

ì

ö í ö õ ` a B E B U t C ù B E f B i ` f E ï t i a ` a C `

ì

ö ï ñ

ì

Q f E C H H

ì

ð C y x Q f E B C i a

ì

ð ` a B E B U t C y U ø B B i ` f E

ì

t i a ` a C `

ì

ö

ì

ñ ï ó

j Q f E C H H

ì

¿ í ð C y x ¿ ð ¾

f E X B a C B

ì

ñ

ì

ö

ì

ñ

ì

ö

ì

ì

ñ

ì

C y x

ì

ö í ñ

ì

ö í

8/14/2019 metric and normed spaces

http://slidepdf.com/reader/full/metric-and-normed-spaces 4/34

Â Ã Ä Å Æ Ç È É Ê Ë Ì Å Í Ã Ê Î Ï È Ç Ã Ð

A B C t t T B ` a C ` ` a B E B C x B E U t Q C T U H U C E X U ` a ` a B B H B T B y ` C E ` a B f E f Q H U y B C E t q C i B t

f T B E B Q B E B y i B t C E B d U B y U y B i ` U f y

y f E T f y C H U y B C E t q C i B U t C Q y i ` U f y ` a C ` d U B t C y f ` U f y f Q ` a B H B y d ` a f Q C

B i ` f E

µ ¸ ¯ « f y C H U y B C E t q C i B U t C Q y i ` U f y

d

º ¼ ¾ X U ` a ` a B

Q f H H f X U y d q E f q B E ` U B t º

C

ì

î ï Q f E C H H

ì

ð

y f y y B d C ` U B ó

j

ì

ñ

©

©

ì

Q f E C H H

ì

ð C y x ð ¾

f E

a f T f d B y B f t ó

i

ì

ö í ô

ì

ö í Q f E C H H

ì

¿ í ð

` E U C y d H B U y B ø C H U ` ó

x

ì

ñ ï U T q H U B t ` a C `

ì

ñ ï

t ` E U i ` H q f t U ` U B

µ ¸ ¯ « - ² û ° µ - ´ ¯ ³ ÷ ´ ± -

¿

d

U t C H U y B C E t q C i B B ø U q q B x X U ` a C y f E T

d

y f E T B x H U y B C E t q C i B U t C T B ` E U i t q C i B X U ` a ` a B T B ` E U i

¹

ì

¿ í ñ

ì

í %

H H ` a B i f y i B q ` t X B x B y B Q f E T B ` E U i t q C i B t ` a B E B Q f E B C q q H U y q C E ` U i H C E ` f y f E T B x

H U y B C E t q C i B t n a B T B ` E U i C t t f i U C ` B x X U ` a C y f E T U y ` a U t X C a C t ` a B t q B i U C H q E f q

B E ` U B t f Q ` E C y t H C ` U f y U y C E U C y i B T B C y U y d ` a C ` Q f E C H H õ ð ¹

ì

ö õ ¿ í ö õ ñ¹

ì

¿ í

C y x a f T f d B y B U ` T B C y U y d ` a C ` Q f E C H H ð ¾

f E ¹

ì

¿ í ñ

©

©

¹

ì

¿ í

n a B ± û ¸ ³ - ² · µ ° ® b ´ û û k f Q C y f E T B x H U y B C E t q C i B U t ` a B t B `

k ñ !

ì

ð º

ì

ô # %

t j t B ` m f Q C H U y B C E t q C i B U t ± ¸ µ n - o U Q

ì

ö

í ð m

Q f E C H H

ì

¿ í ð m C y x C H H E B C H y T j B E t ï ô

ô T B C y U y d ` a C ` ` a B H U y B t B d T B y `

k f U y U y d C y ` X f q f U y ` t U y ` a B t B ` H U B t U y ` a B t B ` n a B ` E U C y d H B U y B ø C H U ` U T q H U B t ` a C `

` a B y U ` j C H H U t i f y B C y x U ` t t a C q B d U B t C d f f x q U i ` E B f Q ` a B y f E T t d B f T B ` E

   ¡

£ ¥

n a B t B ` f Q E B C H y T j B E t ¾ X U ` a ` a B C j t f H ` B C H B y f E T

ì

ñ

© ì ©

U t C f y B x U T B y t U f y C H E B C H y f E T B x H U y B C E t q C i B f E B d B y B E C H H ¾

F

X a B E B ñ

¿ ¿ ¿ % % % U t C y x U T B y t U f y C H H U y B C E t q C i B A B x B y B ` a B · ± û ° ² - ´ µ µ ¸ ¯ « f Q C

q f U y `

ì

ñ

ì

5 ¿

ì

8 ¿ % % % ¿

ì F

ð ¾

F

j

ì

ñ {

ì

8

5

ö

ì

8

8

ö

d d d

ö

ì

8

F

¿

C y x i C H H ¾

F

B ø U q q B x X U ` a ` a B i H U x B C y y f E T x U T B y t U f y C H · ± û ° ² - ´ µ ³ ÷ ´ ± - A B

i C y C H t f x B y B f ` a B E y f E T t f y ¾

F

f E B C T q H B ` a B ³ · « f E y f E T U t d U B y j

ì

5 ñ

© ì

5

©

ö

© ì

8

©

ö

d d d

ö

© ìF

©

%

8/14/2019 metric and normed spaces

http://slidepdf.com/reader/full/metric-and-normed-spaces 5/34

Â Ã Ä Å Æ Ç Ð È É Ê É Ì Å Í Ð }

1

-1

-1

1

B

B

1

2

Bmax

Ñ Ò Ó ÕÀ

ÕÁ ~

ä ß à ã Ò Ý Ù

Û Û á Ò ã Ø

æ Þ Ý ä ß è à ç Û Ò â ßÙ

ã ã æ ÞÚ

Ý ä ß á àÚ

ã æ ÞÚ

Ùã â Ý ä ß

Ú Ùé Ò

Úà

Ú

ã æ Þ Ú

Õ

n a B « ´ o ° « · « µ ¸ ¯ « U t d U B y j

ì

ñ T C !

© ì

5

©

¿

© ì

8

©

¿ % % % ¿

© ì F ©

# %

A B C H t f i C H H ` a B T C U T T y f E T ` a B µ ¸ ¯ « C y x x B y f ` B U ` j

ì

n a B y U `

j C H H t U y ¾

8

Q f E B C i a f Q ` a B t B y f E T t C E B t a f X y U y U d E B A B X U H H B ø U q ¾

F

X U ` a

` a B i H U x B C y y f E T y H B t t t ` C ` B x f ` a B E X U t B

   ¡

£ ¥

û ° µ - ´ ¯ ³ · b ³ ÷ ´ ± - f Q C H U y B C E t q C i B f E t U T q H C ³ · b ³ ÷ ´ ± - X a B y U `

U t i H B C E X B C E B ` C H U y d C j f ` H U y B C E t q C i B t U t C t j t B ` ` a C ` U t U ` t B H Q C H U y B C E t q C i B

t j t B ` f Q C H U y B C E t q C i B U t C t j t q C i B U Q C y x f y H U Q

ì

ö í ð Q f E C H H

¿ ð ¾

f E C y x C H H

ì

¿ í ð t j t q C i B f Q C y f E T B x H U y B C E t q C i B U t C y f E T B x

H U y B C E t q C i B X U ` a y f E T d U B y j ` a B E B t ` E U i ` U f y f Q ` a B y f E T f y ` f

A B X U H H t B B H C ` B E f y ` a C ` C H H y f E T t f y C y U ` B x U T B y t U f y C H H U y B C E t q C i B H B C x ` f

B C i ` H ` a B t C T B y f ` U f y f Q i f y B E d B y i B t f f Q ` B y U ` U t y f ` U T q f E ` C y ` X a U i a y f E T

X B t B U Q B E B y ` y f E T t f y C y U y y U ` B x U T B y t U f y C H H U y B C E t q C i B t i a C t C Q y i ` U f y

t q C i B T C H B C x ` f i f T q H B ` B H x U Q B E B y ` y f ` U f y t f Q i f y B E d B y i B t f ` a B t q B i U i C ` U f y

f Q C y f E T U t i E i U C H U y ` a U t i C t B

A B X U H H C H X C t E B d C E x C y f E T B x H U y B C E t q C i B C t C T B ` E U i t q C i B X U ` a ` a B T B ` E U i

x B y B x U y B ø C ` U f y

y H B t t X B B q H U i U ` H t ` C ` B f ` a B E X U t B B B E ` a B H B t t ` a U t

B ø C ` U f y U t y f ` ` a B f y H X C ` f x B y B C T B ` E U i f y C y f E T B x H U y B C E t q C i B

   ¡

£ ¥

Q

¿

d

U t C y f E T B x H U y B C E t q C i B ` a B y

¹

ì

¿ í ñ

ì

í

ö

ì

í

8/14/2019 metric and normed spaces

http://slidepdf.com/reader/full/metric-and-normed-spaces 6/34

Â Ã Ä Å Æ Ç È É Ê Ë Ì Å Í Ã Ê Î Ï È Ç Ã Ð

x

ε

xN+1

xN

x1

x2

x3

x4

Ñ Ò Ó ÕÀ

Õ ëÖ

á ß à ß ã ç ß

ç æ ã ß Þ Ó Ò ã Ó Ý æ

Õ

x B y B t C y f y a f T f d B y B f t ` E C y t H C ` U f y U y C E U C y ` T B ` E U i f y y ` a U t T B ` E U i ` a B

x U t ` C y i B j B ` X B B y ` X f q f U y ` t U t C H X C t H B t t ` a C y f y B

§

A B E t ` i f y t U x B E ` a B i f y B E d B y i B f Q t B ø B y i B t f Q E B C H y T j B E t ³ - ü · - µ ± - f Q E B C H

y T j B E t U t C T C q Q E f T ` a B y C ` E C H y T j B E t ª ñ ! ¿ ¿ ¿ % % % # ` f ¾ n a C ` U t X U ` a

B C i a ð ª X B C t t f i U C ` B C E B C H y T j B E

ì F

ð ¾ A B x B y f ` B C t B ø B y i B j

ì F

f E

ì F

F ¬

5

X a B y X B X C y ` ` f U y x U i C ` B ` a B E C y d B f Q ` a B U y x B n a B U y x B U t C

x T T U y x B C y x X B T C C H t f X E U ` B ` a B t B ø B y i B C t

ì

B f E

ì

B

B

¬

5

y f ` a B E i f T T f y y f ` C ` U f y Q f E C t B ø B y i B U t !

ì F

# n a U t y f ` C ` U f y U t C H U ` ` H B

C T j U d f t j B i C t B C t B ø B y i B U t y f ` ` a B t C T B ` a U y d C t C t B ` f E B C T q H B

ï ¿ ¿ ï ¿ ¿ ï ¿ % % % C y x

¿ ï ¿ ï ¿ ï ¿ ï ¿ % % %

C E B x U Q B E B y ` t B ø B y i B t j ` ` a B t B ` f Q ` B E T t U t ! ï ¿ # U y B C i a i C t B

³ · b ³ - ü · - µ ± - f Q C t B ø B y i B

ì F

U t C t B ø B y i B f Q ` a B Q f E T

ì F ®

X a B E B Q f E

B C i a 1 ð ª X B a C B B ð ª C y x B ° B ± 5 Q f E C H H 1 n a C ` U t 1 ²¼ B U t C

t ` E U i ` H U y i E B C t U y d Q y i ` U f y Q E f T ` a B t B ` f Q y C ` E C H y T j B E t ` f U ` t B H Q f E B C T q H B

³ 1

8

B

¬

5

U t C t j t B ø B y i B f Q

³

F ¬

5

n a B T f t ` U T q f E ` C y ` i f y i B q ` i f y i B E y U y d t B ø B y i B t U t i f y B E d B y i B

§

t B ø B y i B

ì F

f Q E B C H y T j B E t ± ¸ µ n - ¯ ú - ³ ` f

ì

ð ¾ U Q Q f E B B E

´ µ

ï ` a B E B U t C y ¶ ð ª t i a ` a C `

© ìF

ì ©

°

´

Q f E C H H î ¶ n a B q f U y `

ì

U t i C H H B x

` a B û ° « ° ® f Q

ì F

y ` a U t x B y U ` U f y ` a B U y ` B d B E ¶ x B q B y x t f y

´

t U y i B t T C H H B E

´

t t C H H E B ø U E B

H C E d B E ¶ t C y x X B i f H x X E U ` B ¶

´

` f T C B ` a B x B q B y x B y i B B q H U i U ` · f T T f y

X C t ` f X E U ` B ` a B i f y B E d B y i B f Q

ì F

` f

ì

C E B

ìF

¼

ì

C t ¼ ¿ H U T

F ¹

ìF

ñ

ì

%

t B ø B y i B ` a C ` x f B t y f ` i f y B E d B U t t C U x ` f ² ° n - ¯ ú - Q C t B ø B y i B x U B E d B t

j B i C t B U ` t ` B E T t B B y ` C H H j B i f T B H C E d B E ` a C y C y y T j B E U ` U t f Q ` B y i f y B y U B y `

8/14/2019 metric and normed spaces

http://slidepdf.com/reader/full/metric-and-normed-spaces 7/34

ºÌ É » à Š¼ Ã É Ç Ã ½

` f E B d C E x ` a B t B ø B y i B C t i f y B E d U y d ` f n a C ` U t X B t C

ìF

¼ U Q Q f E B B E

ð ¾ ` a B E B U t C y ¶ ð ª t i a ` a C `

ì F

µ

Q f E C H H î ¶ U T U H C E H X B t C

ì F

¼

U Q Q f E B B E ð ¾ ` a B E B U t C y ¶ ð ª t i a ` a C `

ì F

° Q f E C H H î ¶

   ¡

£ ¥ Á

B E B C E B C Q B X B C T q H B t f Q ` a B H U T U ` t f Q i f y B E d B y ` t B ø B y i B tº

H U T

F ¹

ñ ï ¿ H U T

F ¹

t U y Â

Ã

ñ ¿ H U T

F ¹

 ö

Ã

F

ñ Ä %

n a B t B ø B y i B

H f d x U B E d B t j B i C t B H f d ¼ C t ¼ n a B t B ø B y i B

F

x U B E d B t j B i C t B U ` t ` B E T t f t i U H H C ` B j B ` X B B y

C y x C y x U ` x f B t y f ` i f y B E d B ` f

B U ` a B E f E

t B ø B y i B U t t C U x ` f j B q ´ · ± Å þ U Q U ` t ` B E T t B B y ` C H H d B ` C E j U ` E C E U H i H f t B

` f d B ` a B E

0

t B ø B y i B

ì F

U t C q ´ · ± Å þ ³ - ü · - µ ± - U Q Q f E B B E

´ µ

ï ` a B E B U t

C y ¶ ð ª t i a ` a C `

© ì Ç ì F ©

°

´

Q f E C H H È ¿ î ¶

q q f t B ` a C `

ìF

i f y B E d B t ` f

ì

É U B y

´ µ

ï ` a B E B U t C y U y ` B d B E ¶ t i a ` a C `

© ì F ì ©

°

´

³ X a B y î ¶ Q È ¿ î ¶ ` a B y t B f Q ` a B ` E U C y d H B U y B ø C H U ` U T q H U B t

` a C `

© ì Ç ì F ©

ô

© ì Ç ì ©

ö

© ì ì F ©

°

´

¿

t f

ìF

U t · C i a n a t B B E i f y B E d B y ` t B ø B y i B U t C · C i a t B ø B y i B f E ` a B

E B C H y T j B E t ` a B i f y B E t B U t C H t f ` E B C y x B B E · C i a t B ø B y i B U t i f y B E d B y `

n a B i f y B E d B y i B f Q · C i a t B ø B y i B t U t C Q y x C T B y ` C H x B y U y d q E f q B E ` f Q ` a B

E B C H y T j B E t i C H H B x ± ¸ « ÷ û - ® - µ - ³ ³ A B X U H H x U t i t t i f T q H B ` B y B t t Q f E d B y B E C H T B ` E U i

t q C i B t U y d E B C ` B E x B ` C U H j B H f X

   ¡

£ ¥ W

n a B t B ø B y i B

ìF

X U ` a

ìF

ñ H f d U t y f ` C · C i a t B ø B y i B t U y i B

H f d ¼ B B E ` a B H B t t X B a C B

© ì F

± 5

ì F ©

ñ H f dÂ

ö

Ã

¼ ï

C t ¼ n a U t B C T q H B t a f X t ` a C ` U ` U t y f ` t Ì i U B y ` Q f E t i i B t t U B ` B E T t U y C

t B ø B y i B ` f d B ` C E j U ` E C E U H i H f t B ` f d B ` a B E ` f B y t E B ` a C ` ` a B t B ø B y i B U t · C i a

A B i C y t B ` a B x B y U ` U f y f Q ` a B i f y B E d B y i B f Q C t B ø B y i B ` f x B y B ` a B t T f Q

C y U y y U ` B t B E U B t C t ` a B H U T U ` f Q U ` t t B ø B y i B f Q q C E ` U C H t T t B `

ì F

j B C t B ø B y i B

U y ¾ n a B t B ø B y i B f Q ÷ ´ ¯ ® ° ´ û ³ · « ³

Í F

f Q ` a B ³ - ¯ ° - ³ Ï

ì F

U t x B y B x j

Í F

ñ

F

Ð

B

¬

5

ì

B%

Ñ

8/14/2019 metric and normed spaces

http://slidepdf.com/reader/full/metric-and-normed-spaces 8/34

Ò Â Ã Ä Å Æ Ç È É Ê Ë Ì Å Í Ã Ê Î Ï È Ç Ã Ð

Q

Í F

i f y B E d B t ` f C H U T U `

Í

` a B y X B t C ` a C ` ` a B t B E U B tÏ

ì F

± ¸ µ n - ¯ ú - ³ ` f

Í

C y x

X E U ` B

Ð

F ¬

5

ìF

ñ

Í

%

Q ` a B t B ø B y i B f Q q C E ` U C H t T t x f B t y f ` i f y B E d B f E i f y B E d B t ` f U y y U ` ` a B y X B

t C ` a C ` ` a B t B E U B t ² ° n - ¯ ú - ³ n a B t B E U B tÏ

ìF

U t t C U x ` f j B ´ b ³ ¸ û · ® - û þ ± ¸ µ n - ¯ ú - µ ®

U Q ` a B t B E U B t f Q C j t f H ` B C H B t Ï

© ì F ©

i f y B E d B t j t f H ` B i f y B E d B y i B U T q H U B t

i f y B E d B y i B j ` y f ` i f y B E t B H t B Q H q E f q B E ` f Q C y C j t f H ` B H i f y B E d B y ` t B E U B t

f Q E B C H

f E i f T q H B y T j B E t U t ` a C ` C y t B E U B t f j ` C U y B x Q E f T U ` j C q B E T ` C ` U f y

f Q U ` t ` B E T t i f y B E d B t ` f ` a B t C T B t T C t ` a B f E U d U y C H t B E U B t

n a B x B y U ` U f y t f Q i f y B E d B y ` C y x · C i a t B ø B y i B t d B y B E C H U ù B ` f T B ` E U i t q C i B t

U y C y f j U f t X C t B ø B y i B

ì F

U y C T B ` E U i t q C i B

¿¹

U t C T C q ²¼

ì F

X a U i a

C t t f i U C ` B t C q f U y `

ìF

ð X U ` a B C i a y C ` E C H y T j B E ð ª

i

t B ø B y i B

ìF

U y ± ¸ µ n - ¯ ú - ³ ` f

ì

ð U Q Q f E B B E

´ µ

ï ` a B E B

U t C y ¶ ð ª t i a ` a C `¹

ì F

¿

ì

°

´

Q f E C H H î ¶ n a B t B ø B y i B U t q ´ · ± Å þ U Q Q f E

B B E

´ µ

ï ` a B E B U t C y ¶ ð ª t i a ` a C `¹

ìÇ

¿

ìF

°

´

Q f E C H H È ¿ î ¶

U d E B t a f X t C i f y B E d B y ` t B ø B y i B U y ` a B i H U x B C y q H C y B Õ E f q B E `

C

f Q ` a B T B ` E U i U y B y U ` U f y U T q H U B t ` a C ` U Q C t B ø B y i B i f y B E d B t ` a B y U ` t H U T U `

U t y U ø B n a C ` U t U Q

ì F

¼

ì

C y x

ì F

¼ í ` a B y

ì

ñ í n a B Q C i ` ` a C ` i f y B E d B y `

t B ø B y i B t C E B · C i a U t C y U T T B x U C ` B i f y t B ø B y i B f Q ` a B ` E U C y d H B U y B ø C H U ` C t j B

Q f E B n a B q E f q B E ` ` a C ` B B E · C i a t B ø B y i B i f y B E d B t t U y d H B t f ` C q C E ` U i H C E H

t B Q H i H C t t f Q T B ` E U i t q C i B t i C H H B x i f T q H B ` B T B ` E U i t q C i B t

T B ` E U i t q C i B

¿ ¹ U t ± ¸ « ÷ û - ® - U Q B B E · C i a t B ø B y i B U y

i f y B E d B t ` f C H U T U ` U y t j t B ` X f Q U t ± ¸ « ÷ û - ® - U Q ` a B T B ` E U i t j t q C i B

X ¿¹

© a

U t i f T q H B ` B y f E T B x H U y B C E t q C i B ` a C ` U t i f T q H B ` B X U ` a E B t q B i ` ` f ` a B

T B ` E U i

U t i C H H B x C × ´ µ ´ ± Å ³ ÷ ´ ± -

   ¡

£ ¥

n a B t q C i B f Q E C ` U f y C H y T j B E t

g

U t y f ` i f T q H B ` B t U y i B C t B ø B y i B

f Q E C ` U f y C H y T j B E t X a U i a i f y B E d B t U y ¾ ` f C y U E E C ` U f y C H y T j B E

t i a C t Ø f E

Ù

U t C · C i a t B ø B y i B U y

g

j ` x f B t y f ` a C B C H U T U ` U y

g

   ¡

£ ¥

n a B y U ` B x U T B y t U f y C H H U y B C E t q C i B ¾

F

U t C Ú C y C i a t q C i B X U ` a E B

t q B i ` ` f ` a B t T T C U T T C y x i H U x B C y y f E T t x B y B x U y C T q H B

B B

B E i U t B Û

B E U B t x f y f ` T C B t B y t B U y C d B y B E C H T B ` E U i t q C i B j B i C t B X B i C y y f ` C x x q f U y ` t

` f d B ` a B E A B i C y a f X B B E i f y t U x B E t B E U B t U y C y f E T B x H U y B C E t q C i B Ü t ` C t Q f E

E B C H y T j B E t U Q

ì F

U t C t B ø B y i B U y ` a B y ` a B t B E U B t Ï

F ¬

5

ì F

± ¸ µ n - ¯ ú - ³ ` f

Í

ð U Q ` a B t B ø B y i B

ÍF

f Q q C E ` U C H t T t x B y B x U y

Ñ i f y B E d B t ` f

Í

8/14/2019 metric and normed spaces

http://slidepdf.com/reader/full/metric-and-normed-spaces 9/34

ÝÏ Ï Ã Å È É Ê Þ Ì ß Ã Å à Ì á É Ê Ð â

S Mzm i

A

Ñ Ò Ó ÕÀ

Õ ~

ä ß ã àÚ

ß Þ ã Ò áÙ

ã àê ê

ß Þ æ à ã â æØ ä Ù

ã â å Ò áÙ

Û æ æ ß Þ æ à ã â æØ ä

Õ~

ä ß ã àÚ

ß Þ ç Ò á

ã ß Ò Ý ä ß Þ Ù ã à ê ê ß Þ æ à ã â ã æ Þ Ù Û æ æ ß Þ æ à ã â Õ ~ ä ß ã à Ú ß Þ è Ò á Ý ä ß á à ê Þ ß Ú à Ú æ Ø ä

à Ý â æ ß á ã æ Ý

ß Û æ ã Ó Ý æ ä Õ ~ ä ß ã à Ú ß Þ é Ò á Ý ä ß Ò ãu å Ú à Ú æ Ø ä

Ù ã â á Ò ã ç ß é ê ä Ò Ý ÒÔ á Ù Û á æ Ý ä ß Ú Ò ã Ò Ú à Ú æ Ø ä Õ

ë £ £ ¥ ì í î

n a B E B C H y T j B E t a C B C y C ` E C H f E x B E U y d X a U i a X B i C y t B ` f x B y B ` a B t q E B T T

C y x U y T T f Q C t B ` f Q E B C H y T j B E t C y x ` a B H U T t q C y x H U T U y Q f Q C E B C H t B ø B y i B

B y C T B ` E U i t q C i B C t t U T q H B C t ` a B i H U x B C y q H C y B i C y y f ` j B f E x B E B x U y C X C

` a C ` U t i f T q C ` U j H B X U ` a U ` t T B ` E U i t ` E i ` E B n a t ` a B x B y U ` U f y t U y ` a U t t B i ` U f y

C E B E B t ` E U i ` B x ` f E B C H t B ` t C y x t B ø B y i B t A B j B d U y X U ` a ` a B x B y U ` U f y t f Q · ÷ ÷ - ¯

b ¸ · µ ² C y x û ¸ ï - ¯ b ¸ · µ ²

§

B ` 2   j B C t j t B ` f Q ¾ A B t C ` a C ` ð ¾ U t C y · ÷ ÷ - ¯ b ¸ · µ ² f Q

2   U Q

ì

ô Q f E C H H

ì

ð 2   C y x È ð ¾ U t C û ¸ ï - ¯ b ¸ · µ ² f Q 2   U Q È ô

ì

Q f E C H H

ì

ð 2  

n a B t B ` 2   U t b ¸ · µ ² - ² ¶ ¯ ¸ « ´ b ¸ n - U Q U ` a C t C y q q B E j f y x b ¸ · µ ² - ² ¶ ¯ ¸ « b - û ¸ ï U Q U `

a C t C H f X B E j f y x C y x b ¸ · µ ² - ² U Q U ` a C t j f ` a C y q q B E C y x C H f X B E j f y x

Q 2   a C t C y q q B E j f y x ` a B y 2   a C t T C y q q B E j f y x t f E B C T q H B C y

y T j B E ñ î U t C y q q B E j f y x

§

y T j B E U t ` a B ³ · ÷ ¯ - « · « f E û - ´ ³ ® · ÷ ÷ - ¯ b ¸ · µ ² f Q C t B `

2   ò ¾ U Q U t C y q q B E j f y x f Q 2   C y x ô ñ Q f E C H H q q B E j f y x t ñ f Q 2  

y T j B E È U t ` a B ° µ ó « · « f E ú ¯ - ´ ® - ³ ® û ¸ ï - ¯ b ¸ · µ ² f Q 2   U Q È U t C H f X B E j f y x f Q 2  

C y x È î È

ñ

Q f E C H H H f X B E j f y x t È

ñ

f Q 2   A B x B y f ` B ` a B t q E B T T f Q 2   j t q 2  

C y x ` a B U y T T f Q 2   j U y Q 2  

Q 2   U t d U B y U y ` a B Q f E T 2   ñ !

ì õ © ö

ð ÷ # X a B E B ÷ U t C y U y x B U y d t B ` X B C H t f

x B y f ` B ` a B t q E B T T f Q 2   j t q

õ ø ù

ìõ

f E t q

ìõ

Q f E t a f E `

n a B t q E B T T C y x U y T T C E B y U ø B U Q ` a B B U t ` f E B C T q H B U Q 5 C y x 8

C E B j f ` a H B C t ` q q B E j f y x t f Q C t B ` 2   ` a B y ` a B x B y U ` U f y U T q H U B t ` a C ` 5 ô 8

C y x 8

ô 5

t f 5

ñ 8

n a B B U t ` B y i B f Q ` a B t q E B T T f Q B B E t B ` j f y x B x

Q E f T C j f B f E ` a B B U t ` B y i B f Q ` a B U y T T f Q B B E t B ` j f y x B x Q E f T j B H f X U t C

i f y t B ø B y i B f Q ` a B i f T q H B ` B y B t t f Q ¾ C y x U t U y Q C i ` B ø U C H B y ` ` f U `

   ¡

£ ¥ § §

n a B t j t B ` 2   ñ !

ì

ð

g © ì

° Ø # f Q ` a B E C ` U f y C H y T j B E t

g

U t

j f y x B x Q E f T C j f B j Ø

j ` a C t y f t q E B T T U y

g

n a B t q E B T T U y ¾ U t ` a B

U E E C ` U f y C H y T j B EØ

y ` a U t B C T q H B ` a B t q E B T T f Q 2   x f B t y f ` j B H f y d ` f 2  

8/14/2019 metric and normed spaces

http://slidepdf.com/reader/full/metric-and-normed-spaces 10/34

À ü Â Ã Ä Å Æ Ç È É Ê Ë Ì Å Í Ã Ê Î Ï È Ç Ã Ð

Q 2   x f B t y f ` a C B C y q q B E j f y x X B x B y B t q 2   ñ C y x U Q 2   x f B t y f `

a C B C H f X B E j f y x X B x B y B U y Q 2   ñ

n a B i f y B y ` U f y ` a C ` B B E y T j B E U t

j f ` a C y q q B E C y x C H f X B E j f y x f Q ` a B B T q ` t B ` ý U t t f T B ` U T B t i f y B y U B y ` t f

` a C ` t q ý ñ

C y x U y Q ý ñ

n a B t q E B T T f Q C t B ` 2   T C f E T C y f ` j B H f y d ` f 2   U ` t B H Q Q U ` x f B t ` a B y

t q 2   U t i C H H B x ` a B « ´ o ° « · « f Q 2   C y x U t C H t f x B y f ` B x j T C 2   U T U H C E H U Q ` a B

U y T T j B H f y d t ` f 2   ` a B y U y Q 2   U t i C H H B x ` a B « ° µ ° « · « f Q 2   C y x U t C H t f x B y f ` B x

j T U y 2   n a B U H H t ` E C ` U f y U y U d E B t a f X t C y B C T q H B

n a t q E f U x B x X B C H H f X ` a B C H B t þ B B E t B ` f Q E B C H y T j B E t a C t C t q E B

T T C y x C y U y T T j ` U ` x f B t y f ` y B i B t t C E U H a C B C T C U T T f E C T U y U T T

B ` X B x B y B ` a B H U T U y Q C y x H U T t q f Q C E B C H t B ø B y i B U E t ` X B i f y t U x B E

T f y f ` f y B t B ø B y i B t t B ø B y i B

ì F

U t t C U x ` f j B « ¸ µ ¸ ® ¸ µ - ° µ ± ¯ - ´ ³ ° µ ú U Q

ì F

ô

ìF

± 5 Q f E B B E C y x « ¸ µ ¸ ® ¸ µ - ² - ± ¯ - ´ ³ ° µ ú U Q

ìF

î

ìF

± 5 Q f E B B E « ¸ µ ¸ ® ¸ µ -

t B ø B y i B U t C t B ø B y i B ` a C ` U t T f y f ` f y B U y i E B C t U y d f E T f y f ` f y B x B i E B C t U y d

T f y f ` f y B U y i E B C t U y d t B ø B y i B i f y B E d B t ` f U ` t t q E B T T

X a U i a i f H x j B C y x C

T f y f ` f y B x B i E B C t U y d t B ø B y i B i f y B E d B t ` f U ` t U y T T

X a U i a i f H x j B

n a t

q E f U x B x ` a C ` X B C H H f X Q f E i f y B E d B y i B ` f þ C H H T f y f ` f y B t B ø B y i B t i f y B E d B

f X t q q f t B ` a C `

ì F

U t C y C E j U ` E C E t B ø B y i B f Q E B C H y T j B E t A B i f y t ` E i ` C

y B X t B ø B y i B

í

F

j ` C U y d ` a B t q E B T T f Q t i i B t t U B H ` E y i C ` B x ` C U H t f Q ` a B

f E U d U y C H t B ø B y i B í

F

ñ t q !

ì

B

©

1 î # n a B t B ø B y i B

í

F

U t T f y f ` f y B x B i E B C t U y d

j B i C t B ` a B t q E B T T U t ` C B y f B E t T C H H B E t B ` t Q f E H C E d B E t n a B E B Q f E B ` a B

t B ø B y i B

í

F

a C t C H U T U ` X a U i a X B i C H H ` a B H U T t q f Q ` a B t B ø B y i B

ì F

C y x x B y f ` B

j H U T t q

ìF

U T U H C E H ` C U y d ` a B U y T T f Q ` a B t i i B t t U B H ` E y i C ` B x ` C U H t f Q

ì F

X B d B ` C T f y f ` f y B U y i E B C t U y d t B ø B y i B A B i C H H ` a B H U T U ` f Q ` a C ` t B ø B y i B ` a B

H U T U y Q f Q

ì F

C y x x B y f ` B U ` j H U T U y Q

ì F

n a t X B a C B ` a B Q f H H f X U y d x B y U ` U f y

§

B `

ì F

j B C t B ø B y i B f Q E B C H y T j B E t n a B y

H U T t q

F ¹

ì F

ñ H U T

F ¹

ÿ

t q !

ì

B

©

1 î #   ¿

H U T U y Q

F ¹

ì F

ñ H U T

F ¹

ÿ

U y Q !

ì

B

©

1 î #   %

y f ` a B E i f T T f y y f ` C ` U f y Q f E ` a B H U T t q C y x H U T U y Q U t

H U T t q

ì F

ñ H U T

ì F

¿ H U T U y Q

ì F

ñ H U T

ì F

%

A B T C B ` a B y C ` E C H i f y B y ` U f y ` a C ` U Q

t q !

ì

B

©

1 î # ñ ¿ f E U y Q !

ì

B

©

1 î # ñ

¿

Q f E B B E ` a B y H U T t q

ì F

ñ f E H U T U y Q

ì F

ñ

E B t q B i ` U B H y i f y ` E C t `

` f ` a B H U T U ` ` a B H U T U y Q C y x H U T t q f Q C t B ø B y i B f Q E B C H y T j B E t C H X C t B U t `

q E f U x B x ` a C ` X B C H H f X ` a B C H B t þ n a B H U T t q f Q C t B ø B y i B X a f t B ` B E T t C E B

j f y x B x Q E f T C j f B U t y U ` B f E

C y x ` a B H U T U y Q f Q C t B ø B y i B X a f t B ` B E T t C E B

j f y x B x Q E f T j B H f X U t y U ` B f E

8/14/2019 metric and normed spaces

http://slidepdf.com/reader/full/metric-and-normed-spaces 11/34

ºÌ É Ä Æ É á Æ Ä ¢ À À

` Q f H H f X t Q E f T ` a B x B y U ` U f y ` a C `

H U T U y Q

F ¹

ì F

ô H U T t q

F ¹

ì F

%

f E B f B E C t B ø B y i B

ìF

i f y B E d B t U Q C y x f y H U Q

H U T U y Q

F ¹

ì F

ñ H U T t q

F ¹

ì F

¿

C y x U y ` a C ` i C t B ` a B H U T U ` U t ` a B i f T T f y C H B f Q H U T U y Q

ì F

C y x H U T t q

ì F

   ¡

£ ¥ § 0

Q

ìF

ñ

F

` a B y

H U T U y Q

F ¹

ì F

ñ

¿ H U T t q

F ¹

ì F

ñ %

n a B H U T U y Q C y x H U T t q a C B x U Q B E B y ` C H B t C y x ` a B t B ø B y i B x f B t y f ` a C B C H U T U `

   ¡

£ ¥ § W

Q !

ì F ¤ õ

ð ¾

©

ð ª ¿

ö

ð ÷ # U t C t B ` f Q E B C H y T j B E t U y x B B x j

` a B y C ` E C H y T j B E t ª C y x C y C E j U ` E C E t B ` ÷ ` a B y

t q

õ ø ù ¦

H U T U y Q

F ¹

ì F ¤ õ ¨

ô H U T U y Q

F ¹

©

t q

õ ø ù

ì F ¤ õ

%

B B B E i U t B ï Q f E ` a B q E f f Q C y x ` a B C y C H f d f t U y B ø C H U ` X U ` a U y Q C y x H U T t q

q q f t B ` a C ` 2   U t C y f y B T q ` t j t B ` f Q C d B y B E C H T B ` E U i t q C i B n a B ² ° ´ « - ® - ¯

f Q 2   U t

x U C T 2   ñ t q ! ¹

ì

¿ í

© ì

¿ í ð 2   # %

n a B t B ` 2   U t b ¸ · µ ² - ² U Q U ` t x U C T B ` B E U t y U ` B ` Q f H H f X t ` a C ` 2   U t j f y x B x U Q C y x

f y H U Q ` a B E B U t C y ð ¾ C y x C y

ì

ð t i a ` a C ` ¹

ì

¿

ì

ô Q f E C H H

ì

ð 2   n a B

² ° ³ ® ´ µ ± -¹

ì

¿ 2   f Q C q f U y `

ì

ð Q E f T ` a B t B ` 2   U t x B y B x j

¹

ì

¿ 2   ñ U y Q !¹

ì

¿ í

©

í ð 2   # %

n a B t ` C ` B T B y `¹

ì

¿ 2   ñ ï x f B t y f ` U T q H ` a C `

ì

ð 2  

A B t C ` a C ` C Q y i ` U f y º

¼ X U t b ¸ · µ ² - ² U Q U ` t E C y d B

U t j f y x B x f E

B C T q H B C E B C H C H B x Q y i ` U f y º

¼ ¾ U t j f y x B x U Q ` a B E B U t C y U ` B y T j B E

t i a ` a C `

©

ì

©

ô Q f E C H H

ì

ð A B t C ` a C ` º

¼ ¾ U t b ¸ · µ ² - ² ¶ ¯ ¸ « ´ b ¸ n -

U Q ` a B E B U t C y ð ¾ t i a ` a C `

ì

ô Q f E C H H

ì

ð C y x b ¸ · µ ² - ² ¶ ¯ ¸ « b - û ¸ ï U Q

` a B E B U t C y ð ¾ t i a ` a C `

ì

î Q f E C H H

ì

ð

0 î

E B C H Q y i ` U f y º ¾ ¼ ¾ U t ± ¸ µ ® ° µ · ¸ · ³ C ` C q f U y `

ì

ð ¾ U Q Q f E B B E

´ µ

ï ` a B E B

U t C #

µ

ï t i a ` a C `

© ì ì ©

° # U T q H U B t

©

ì

ì

©

°

´

n a t i f y ` U y U ` f Q

C `

ì

U t ` a B q E f q B E ` ` a C ` ` a B C H B f Q C ` C q f U y ` i H f t B ` f

ì

U t i H f t B ` f ` a B C H B

8/14/2019 metric and normed spaces

http://slidepdf.com/reader/full/metric-and-normed-spaces 12/34

À Á Â Ã Ä Å Æ Ç È É Ê Ë Ì Å Í Ã Ê Î Ï È Ç Ã Ð

f Q C `

ì

n a B x B y U ` U f y f Q i f y ` U y U ` Q f E Q y i ` U f y t j B ` X B B y T B ` E U i t q C i B t U t C y

f j U f t d B y B E C H U ù C ` U f y f Q ` a B x B y U ` U f y Q f E E B C H Q y i ` U f y t B `

¿¹ t

C y x

X ¿¹

a

j B ` X f T B ` E U i t q C i B t

§ i

Q y i ` U f y º ¼ X U t ± ¸ µ ® ° µ · ¸ · ³ C `

ì

ð U Q Q f E B B E

´ µ

ï

` a B E B U t C #

µ

ï t i a ` a C ` ¹ t

ì

¿

ì

° # U T q H U B t ¹

a

ì

¿

ì

°

´

n a B Q y i ` U f y

U t ± ¸ µ ® ° µ · ¸ · ³ ¸ µ U Q U ` U t i f y ` U y f t C ` B B E q f U y ` U y

Q U t y f ` i f y ` U y f t C `

ì

` a B y X B t C ` a C ` U t ² ° ³ ± ¸ µ ® ° µ · ¸ · ³ C `

ì

n a B E B C E B

i f y ` U y f t Q y i ` U f y t f y C y T B ` E U i t q C i B f E B C T q H B B B E i f y t ` C y ` Q y i ` U f y U t

i f y ` U y f t

   ¡

£ ¥ §

B ` 3 ð C y x x B y B º

¼ ¾ j

ì

ñ¹

ì

¿ 3 n a B y U t

i f y ` U y f t f y

A B i C y C H t f x B y B i f y ` U y U ` U y ` B E T t f Q H U T U ` t Q º

¼ X X B t C ` a C `

ì

¼ í

C t

ì

¼

ì

f E

H U T

7

¹

78

ì

ñ í

¿

U Q Q f E B B E

´ µ

ï ` a B E B U t C #

µ

ï t i a ` a C ` ï °¹ t

ì

¿

ì

° # U T q H U B t ` a C `

¹

a

ì

¿ í

°

´

f E B d B y B E C H H U Q º B

ò ¼ X a C t x f T C U y

B

C y x

ì

U t C

H U T U ` f Q q f U y ` t U y

B

` a B y X B t C

ì

¼ í

C t

ì

¼

ì

U y

B

U Q Q f E B B E

´ µ

ï ` a B E B

U t C #

µ

ï t i a ` a C ` ï °¹

t

ì

¿

ì

° # C y x

ì

ð

B

U T q H U B t ` a C `¹

a

ì

¿ í

°

´

Q y i ` U f y º

¼ X U t i f y ` U y f t C `

ì

ð U Q

H U T

7

¹

7 8

ì

ñ

ì

¿

T B C y U y d ` a C ` ` a B H U T U ` f Q

ì

C t

ì

¼

ì

B U t ` t C y x U t B ø C H ` f ` a B C H B f Q C `

ì

   ¡

£ ¥ §

Q º

ï ¿ 3 ¼ X Q f E t f T B 3

µ

ï C y x

ì

¼ P C t

ì

¼ ï ` a B y X B

X E U ` B

H U T

7

¹ S

ì

ñ P %

U T U H C E H U Q º

3 ¿ ï ¼ X C y x

ì

¼ P C t

ì

¼ ï ` a B y X B X E U ` B

H U T

7

¹ Y

ì

ñ P %

Q º

¼ X C y x ` U t C t j t B ` f Q ` a B y X B t C ` a C ` U t ± ¸ µ ® ° µ · ¸ · ³ ¸ µ ` U Q

U ` U t i f y ` U y f t C ` B B E q f U y `

ì

ð ` n a U t q E f q B E ` U t U y d B y B E C H y f ` B ø U C H B y `

` f ` a B i f y ` U y U ` f Q ` a B E B t ` E U i ` U f y

©c

f Q f y `

   ¡

£ ¥ §

B ` º

¾ ¼ ¾ j B ` a B i a C E C i ` B E U t ` U i Q y i ` U f y f Q ` a B E C ` U f y C H t X a U i a

U t x B y B x j

ì

ñ d

U Q

ì

ð

g

¿

ï U Q

ì

³ð

g

%

8/14/2019 metric and normed spaces

http://slidepdf.com/reader/full/metric-and-normed-spaces 13/34

ºÌ É Ä Æ É á Æ Ä ¢ À

ë

n a B Q y i ` U f y U t x U t i f y ` U y f t C ` B B E q f U y ` f Q ¾ j `

©g

º

g

¼ ¾ U t ` a B i f y t ` C y `

Q y i ` U f y

©g

ì

ñ t f

©g

U t i f y ` U y f t f y

g

t j ` H B j ` U T q f E ` C y ` t ` E B y d ` a B y U y d f Q i f y ` U y U ` U t · µ ° ¶ ¸ ¯ « ± ¸ µ ® ° µ · ° ® þ

Q y i ` U f y º

¼ X U t · µ ° ¶ ¸ ¯ « û þ ± ¸ µ ® ° µ · ¸ · ³ f y U Q Q f E B B E

´ µ

ï ` a B E B U t C #

µ

ï t i a ` a C `¹

t

ì

¿ í ° # U T q H U B t¹

a

ì

¿

í °

´

Q f E C H H

ì

¿ í ð

n a B i E i U C H x U Q B E B y i B j B ` X B B y B y U ` U f y ï C y x B y U ` U f y Û U t ` a C ` ` a B

C H B f Q # x f B t y f ` x B q B y x f y ` a B q f U y `

ì

ð t f ` a C `

í d B ` t i H f t B E ` f

ì

C `

C y U Q f E T E C ` B C t í d B ` t i H f t B E ` f

ì

y ` a B Q f H H f X U y d X B X U H H x B y f ` B C H H T B ` E U i t j# ¹ X a B y U ` U t i H B C E Q E f T ` a B i f y ` B `

X a U i a T B ` E U i U t T B C y `

   ¡

£ ¥

n a B Q y i ` U f y iº

ï ¿ ¼ ¾ x B y B x j i

ì

ñ ³

ì

U t i f y ` U y f t f y

ï ¿ j ` y f ` y U Q f E T H i f y ` U y f t n a B Q y i ` U f y

Í

º¾ ¼ ¾ x B y B x j

Í ì

ñ

ì

8

U t i f y ` U y f t f y ¾ j ` y f ` y U Q f E T H i f y ` U y f t Q

ÿ

3 ¿ p   U t C y j f y x B x U y ` B E C H

` a B y

Í © q s

¤ t uU t y U Q f E T H i f y ` U y f t f y

ÿ

3 ¿ p  

   ¡

£ ¥ §

Q y i ` U f y º

¾

F

¼ ¾

Ç

U t ´ w µ - U Q

ì

ö

í ñ

ì

ö

í Q f E C H H

ì

¿ í ð ¾

F

C y x

ð

ÿ

ï ¿   %

B E C Ì y B Q y i ` U f y U t y U Q f E T H i f y ` U y f t y C Ì y B Q y i ` U f y i C y j B X E U ` ` B y

U y ` a B Q f E T

ì

ñ 2  

ì

ö p X a B E B 2   U t C i f y t ` C y ` È » T C ` E U C y x p U t C i f y t ` C y `

È B i ` f E Ì y B Q y i ` U f y t C E B T f E B d B y B E C H ` a C y H U y B C E Q y i ` U f y t Q f E X a U i a p ñ ï

n a B E B U t C t B Q H B ø U C H B y ` X C ` f i a C E C i ` B E U ù B i f y ` U y f t Q y i ` U f y t f y T B ` E U i

t q C i B t U y ` B E T t f Q t B ø B y i B t

Q y i ` U f y º

¼ X U t ³ - ü · - µ ® ° ´ û û þ ± ¸ µ ® ° µ · ¸ · ³ C `

ì

ð U Q Q f E

B B E t B ø B y i B

ì F

` a C ` i f y B E d B t ` f

ì

U y ` a B t B ø B y i B

ì F

i f y B E d B t ` f

ì

U y X

£ 0

B ` X j B T B ` E U i t q C i B t Q y i ` U f y º

¼ X U t i f y ` U y f t

C `

ì

U Q C y x f y H U Q U ` U t t B ø B y ` U C H H i f y ` U y f t C `

ì

U E t ` X B t a f X ` a C ` U Q U t i f y ` U y f t ` a B y U ` U t t B ø B y ` U C H H i f y ` U y f t

q q f t B ` a C ` U t i f y ` U y f t C `

ì

C y x

ìF

¼

ì

B `

´ µ

ï j B d U B y Ú ` a B

i f y ` U y U ` f Q X B i C y i a f f t B #

µ

ï t f ` a C `¹

ì

¿

ì F

° # U T q H U B t¹

ì

¿

ì F

°

´

Ú ` a B i f y B E d B y i B f Q

ìF

X B i C y i a f f t B ¶ t f ` a C ` î ¶ U T q H U B t¹

ì

¿

ìF

° #

n a B E B Q f E B î ¶ U T q H U B t¹

ì

¿

ì F

°

´

C y x

ì F

¼

ì

n f q E f B ` a B i f y B E t B X B t a f X ` a C ` U Q U t x U t i f y ` U y f t ` a B y U ` U t y f ` t B ø B y

` U C H H i f y ` U y f t Q U t x U t i f y ` U y f t C `

ì

` a B y ` a B E B U t C y

´ µ

ï t i a ` a C ` Q f E

B B E ð ª ` a B E B B U t ` t

ì F

ð X U ` a ¹

ì

¿

ì F

° ³ C y x ¹

ì

¿

ì F

î

´

n a B

t B ø B y i B

ìF

i f y B E d B t ` f

ì

j `

ìF

x f B t y f ` i f y B E d B ` f

ì

8/14/2019 metric and normed spaces

http://slidepdf.com/reader/full/metric-and-normed-spaces 14/34

À

Â Ã Ä Å Æ Ç È É Ê Ë Ì Å Í Ã Ê Î Ï È Ç Ã Ð

f(x)

x

Ñ Ò Ó ÕÀ

Õ} ~

ä ßØ

à ã ç Ý Ò æ ã Ò á àê ê

ß Þ á ßÚ

Ò ç æ ã Ý Ò ã à æ à á

à Ý ã æ Ý ç æ ã Ý Ò ã à æ à á

ÙÝ Ý ä ß

êæ Ò ã Ý

Õ

n a B E B C E B ` X f U y x t f Q a C H Q i f y ` U y f t E B C H C H B x Q y i ` U f y t x B y B x C t Q f H

H f X t

W

Q y i ` U f y º

¼ ¾ U t · ÷ ÷ - ¯ ³ - « ° ± ¸ µ ® ° µ · ¸ · ³ f y U Q Q f E C H H

ì

ð C y x B B E t B ø B y i B

ìF

¼

ì

X B a C B

H U T t q

F ¹

ì F

ô

ì

%

Q y i ` U f y U t û ¸ ï - ¯ ³ - « ° ± ¸ µ ® ° µ · ¸ · ³ f y U Q Q f E C H H

ì

ð C y x B B E t B ø B y i B

ì F

¼

ì

X B a C B

H U T U y Q

F ¹

ì F

î

ì

%

n a B x B y U ` U f y U t U H H t ` E C ` B x U y U d E B

Ñ

Q y i ` U f y º

¼ ¾ U t i f y ` U y f t

U Q C y x f y H U Q U ` U t q q B E C y x H f X B E t B T U i f y ` U y f t

W

£ ¥

q B y t B ` t q E f U x B C y f ` a B E X C ` f Q f E T H C ` B ` a B i f y i B q ` t f Q i f y B E d B y i B C y x i f y

` U y U ` y ` a U t t B i ` U f y X B x B y B f q B y t B ` t U y C T B ` E U i t q C i B A B X U H H x U t i t t f q B y

t B ` t U y ` a B T f E B d B y B E C H i f y ` B ` f Q ` f q f H f d U i C H t q C i B t U y · a C q ` B E

B `

¿¹

j B C T B ` E U i t q C i B n a B ¸ ÷ - µ b ´ û û k

3 X U ` a E C x U t i

µ

ï C y x i B y ` B E

3 ð U t ` a B t B `

k

3 ñ !

ì

ð

©

¹

ì

¿ 3 ° i # %

n a B ± û ¸ ³ - ² b ´ û û k

3 U t ` a B t B `

k

3 ñ !

ì

ð

©

¹

ì

¿ 3 ô i # %

8/14/2019 metric and normed spaces

http://slidepdf.com/reader/full/metric-and-normed-spaces 15/34

k

Ï Ã É È É Ê Ç Þ Ì Ð Ã Ê Ð Ã Ä Ð À }

i

t j t B ` l f Q C T B ` E U i t q C i B U t ¸ ÷ - µ U Q Q f E B B E

ì

ð l ` a B E B

U t C y i

µ

ï t i a ` a C ` k

ì

U t i f y ` C U y B x U y l t j t B ` m f Q U t ± û ¸ ³ - ² U Q U ` t

i f T q H B T B y ` m o ñ m U t f q B y

f E B C T q H B C y f q B y j C H H U t C y f q B y t B ` C y x C i H f t B x j C H H U t C i H f t B x t B ` n a B

Q f H H f X U y d q E f q B E ` U B t f Q f q B y C y x i H f t B x t B ` t C E B B C t ` f q E f B Q E f T ` a B x B y U ` U f y

£

B ` j B C T B ` E U i t q C i B

C n a B B T q ` t B ` ý C y x ` a B X a f H B t B ` C E B f q B y C y x i H f t B x

j y U ` B U y ` B E t B i ` U f y f Q f q B y t B ` t U t f q B y

i y C E j U ` E C E y U f y f Q f q B y t B ` t U t f q B y

x y U ` B y U f y f Q i H f t B x t B ` t U t i H f t B x

B y C E j U ` E C E U y ` B E t B i ` U f y f Q i H f t B x t B ` t U t i H f t B x

   ¡

£ ¥

n a B U y ` B E C H

F

ñ

³ ¿ U t f q B y U y ¾ Q f E B B E ð ª j ` ` a B

U y ` B E t B i ` U f y

F ¬

5

F

ñ

ÿ

ï ¿

U t y f ` f q B y n a t C y U y y U ` B U y ` B E t B i ` U f y f Q f q B y t B ` t y B B x y f ` j B f q B y

   ¡

£ ¥

B ` !

F©

ð ª # j B C y B y T B E C ` U f y f Q ` a B E C ` U f y C H y T j B E t

g

C y x

´ µ

ï A B x B y B ` a B f q B y U y ` B E C H

F

U y ¾ j

F

ñ

F

´

F

¿

F

ö

´

F z

%

n a B y l ñ {

F ¬

5

F

U t C y f q B y t B ` X a U i a i f y ` C U y t

g

n a B t T f Q ` a B H B y d ` a t f Q

` a B U y ` B E C H t

F

U t

´

X a U i a i C y j B T C x B C t t T C H H C t X B X U t a B B E ` a B H B t t B B E

U y ` B E C H UP y ¾ i f y ` C U y t U y y U ` B H T C y E C ` U f y C H y T j B E t C y x ` a B E B Q f E B U y y U ` B H

T C y U y ` B E C H t

F

t j t B ` f Q ¾ a C t } - b - ³ ú · - « - ´ ³ · ¯ - ~ - ¯ ¸ U Q Q f E B B E

´ µ

ï ` a B E B U t C i f y ` C j H B

i f H H B i ` U f y f Q f q B y U y ` B E C H t X a f t B y U f y i f y ` C U y t ` a B t j t B ` t i a ` a C ` ` a B t T f Q

` a B H B y d ` a t f Q ` a B U y ` B E C H t U t H B t t ` a C y

´

n a t ` a B q E B U f t B C T q H B t a f X t ` a C `

` a B t B ` f Q E C ` U f y C H y T j B E t

g

f E C y f ` a B E i f y ` C j H B t j t B ` f Q ¾ a C t T B C t E B ù B E f

q E f q B E ` X a U i a a f H x t B B E X a B E B B i B q ` f y C t B ` f Q T B C t E B ù B E f U t t C U x ` f a f H x

´ û « ¸ ³ ® - n - ¯ þ ï Å - ¯ - C j j E B U C ` B x ´ - f E B C T q H B ` a B Q y i ` U f y

g

º¾ ¼ ¾ ` a C `

U t f y B f y ` a B E C ` U f y C H y T j B E t C y x ù B E f f y ` a B U E E C ` U f y C H y T j B E t U t ù B E f C H T f t `

B B E X a B E B

B E f q B y t B ` U y ¾ U t C i f y ` C j H B y U f y f Q x U t k f U y ` f q B y U y ` B E C H t n a B t ` E i ` E B

f Q f q B y t B ` t U y ¾

F

Q f E î T C j B T i a T f E B i f T q H U i C ` B x

8/14/2019 metric and normed spaces

http://slidepdf.com/reader/full/metric-and-normed-spaces 16/34

À Â Ã Ä Å Æ Ç È É Ê Ë Ì Å Í Ã Ê Î Ï È Ç Ã Ð

   ¡

£ ¥ 0

A B x B y B C i H f t B x t B ` m5

U y ¾ j E B T f U y d ` a B T U x x H B ` a U E x

³ ¿ ³ f Q ` a B U y ` B E C H

ÿ

ï ¿   n a C ` U t

m

5ñ

ÿ

ï ¿ ³  

ÿ

³ ¿   %

A B x B y B m 8 j E B T f U y d ` a B T U x x H B ` a U E x t f Q ` a B U y ` B E C H t U y m 5 t f ` a C `

m8 ñ

ÿ

ï ¿ ³  

ÿ

³ ¿ ³  

ÿ

³ ¿ ³  

ÿ

³ ¿   %

· f y ` U y U y d ` a U t E B T f C H f Q T U x x H B ` a U E x t X B f j ` C U y C y B t ` B x t B ø B y i B f Q i H f t B x t B ` t

m

F

n a B U y ` B E t B i ` U f y m ñ

F ¬

5

m

F

U t C i H f t B x t B ` i C H H B x ` a B q ´ µ ® ¸ ¯ ³ - ® y T j B E

ì

ð

ÿ

ï ¿   j B H f y d t ` f ` a B · C y ` f E t B ` U Q C y x f y H U Q U ` a C t C j C t B ` a E B B B q C y t U f y ` a C `

i f y ` C U y t y f t n a B B y x q f U y ` t f Q ` a B i H f t B x U y ` B E C H t U y ` a B m

F

t x f y f ` a C B C

y U ø B B q C y t U f y f E B C T q H B X B i C y X E U ` B ³ ð m U y j C t B ` a E B B C t ï % ï ï ï % % %

C y x C t ï % ï % % % n a B · C y ` f E t B ` U t C y y i f y ` C j H B t B ` f Q B j B t d B T B C t E B ù B E f

X a U i a i f y ` C U y t y f f q B y U y ` B E C H t C y x U t C t U T q H B B C T q H B f Q C ¶ ¯ ´ ± ® ´ û

Á

B E U t ` U i C H H

C y q C E ` f Q ` a B t B ` Q f E B C T q H B ` a B H B Q ` q C E ` i f y ` C U y B x U y ` a B U y ` B E C H

ÿ

ï ¿ ³  

U t C t i C H B x B E t U f y f Q ` a B X a f H B t B ` n a B y C T B Q E C i ` C H E B Q B E t ` f ` a B Q C i ` ` a C `

X U ` a C t U ` C j H B x B y U ` U f y f Q ` a B

Á

C t x f E Q x U T B y t U f y f Q C t B ` ` a B · C y ` f E t B ` a C t C

Q E C i ` U f y C H x U T B y t U f y f Q H f d ³ H f d ï % Û n a B

Á

C t x f E Q x U T B y t U f y f Q ` a B · C y ` f E

t B ` H U B t j B ` X B B y ` a C ` f Q C q f U y ` X a U i a a C t x U T B y t U f y ï C y x C y U y ` B E C H X a U i a a C t

x U T B y t U f y

· H f t B x t B ` t U y C T B ` E U i t q C i B i C y j B d U B y C y C H ` B E y C ` U B t B ø B y ` U C H i a C E C i ` B E U

ù C ` U f y C t t B ` t ` a C ` i f y ` C U y ` a B U E H U T U ` q f U y ` t

£ 0

t j t B ` m f Q C T B ` E U i t q C i B U t i H f t B x U Q C y x f y H U Q B B E

i f y B E d B y ` t B ø B y i B f Q B H B T B y ` t U y m i f y B E d B t ` f C H U T U ` U y m n a C ` U t U Q

ì F

¼

ì

C y x

ì F

ð m Q f E C H H ` a B y

ì

ð m

   ¡

£ ¥ 0 §

t j t B ` f Q C i f T q H B ` B T B ` E U i t q C i B U t i f T q H B ` B U Q C y x f y H U Q U ` U t

i H f t B x

n a B ± û ¸ ³ · ¯ - 2   f Q C t B ` 2   ò U t ` a B t T C H H B t ` i H f t B x t B ` i f y ` C U y U y d 2   E f T

q E f q B E `

B f Q Õ E f q f t U ` U f y ` a B i H f t E B 2   U t ` a B U y ` B E t B i ` U f y f Q C H H i H f t B x t B ` t

` a C ` i f y ` C U y 2   y C T B ` E U i t q C i B ` a B i H f t E B f Q C t B ` 2   i C y C H t f j B f j ` C U y B x j

C x x U y d ` f 2   C H H H U T U ` t f Q i f y B E d B y ` t B ø B y i B t f Q B H B T B y ` t f Q 2   n a C ` U t

2   ñ !

ì

ð

©

` a B E B B U t ` 3

F

ð 2   t i a ` a C ` 3

F

¼

ì

# %

Û

n a B i H f t E B f Q ` a B t B ` f Q E C ` U f y C H y T j B E t

g

U y ` a B t q C i B f Q E B C H y T j B E t ¾ U t

` a B X a f H B t q C i B ¾ B ` t X U ` a ` a U t q E f q B E ` C E B t C U x ` f j B x B y t B

0

t j t B ` 2   f Q C T B ` E U i t q C i B U t ² - µ ³ - U y U Q 2   ñ

8/14/2019 metric and normed spaces

http://slidepdf.com/reader/full/metric-and-normed-spaces 17/34

Ã Ç Ì Í Ï Þ Ã Ä Æ Ì É Ì È Í Ã Ä Å Æ Ç Ð Ï È Ç Ã À ½

` Q f H H f X t Q E f T

Û ` a C ` 2   U t C x B y t B t j t B ` f Q ` a B T B ` E U i t q C i B U Q C y x f y H U Q

Q f E B B E

ì

ð ` a B E B U t C t B ø B y i B

3

F

U y 2   t i a ` a C ` 3

F

¼

ì

n a t B B E q f U y `

U y i C y j B C q q E f U T C ` B x C E j U ` E C E U H i H f t B H j q f U y ` t U y ` a B x B y t B t B ` 2   A B X U H H

B y i f y ` B E T C y x B y t B t B ` t H C ` B E f y n a B f E B T ` a B A B U B E t ` E C t t C q q E f U T C ` U f y

` a B f E B T d U B t f y B B C T q H B

0 0

T B ` E U i t q C i B U t ³ - ÷ ´ ¯ ´ b û - U Q U ` a C t C i f y ` C j H B x B y t B t j t B `

f E B C T q H B ¾ X U ` a U ` t t C H T B ` E U i U t t B q C E C j H B j B i C t B

g

U t C i f y ` C j H B x B y t B

t j t B `

y ` a B f ` a B E a C y x ¾ X U ` a ` a B x U t i E B ` B T B ` E U i¹

ì

¿ í ñ X a B y

ì V

ñ í U t

y f ` t B q C E C j H B

0 W

B `

ì

j B C q f U y ` U y C T B ` E U i t q C i B t B ` ò U t C µ - ° ú Å

b ¸ ¯ Å ¸ ¸ ² f Q

ì

U Q ` a B E B U t C y f q B y t B ` l ò X U ` a

ì

ð l

ø U C H B y ` H C t B ` U t C y B U d a j f E a f f x f Q

ì

U Q i f y ` C U y t C j C H H k

ì

i B y ` B E B x

C `

ì

Q f E t f T B i

µ

ï B y U ` U f y Û Q f E ` a B i f y B E d B y i B f Q C t B ø B y i B i C y ` a B E B Q f E B

j B E B q a E C t B x U y ` a B Q f H H f X U y d X C t B ø B y i B

ìF

± ¸ µ n - ¯ ú - ³ ` f

ì

U Q Q f E B B E

y B U d a j f E a f f x f Q

ì

` a B E B U t C y ¶ ð ª t i a ` a C `

ì F

ð Q f E C H H î ¶

n a B Q f H H f X U y d q E f q f t U ` U f y i a C E C i ` B E U ù B t i f y ` U y f t Q y i ` U f y t C t Q y i ` U f y t ` a C `

q H H j C i f q B y t B ` t ` f f q B y t B ` t

£ 0 i

B ` X j B T B ` E U i t q C i B t C y x º ¼ X n a B Q y i ` U f y U t

i f y ` U y f t f y U Q C y x f y H U Q

5

l U t f q B y U y Q f E B B E f q B y t B ` l U y X

q q f t B ` a C ` U t i f y ` U y f t C y x l ò X U t f q B y Q 3 ð

5

l ` a B y

` a B E B U t C p ð l X U ` a p ñ

3 U y i B l U t f q B y ` a B E B U t C y

´ µ

ï X U ` a k

p ò l

U y i B U t i f y ` U y f t ` a B E B U t C #

µ

ï t i a ` a C ` ¹

ì

¿ 3 ° # U T q H U B t ¹

ì

¿ p °

´

` Q f H H f X t ` a C ` k

3 ò

5

l t f

5

l U t f q B y

· f y B E t B H t q q f t B ` a C ` U t x U t i f y ` U y f t C ` t f T B q f U y ` 3 U y n a B y ` a B E B

U t C y

´ µ

ï t i a ` a C ` Q f E B B E #

µ

ï ` a B E B U t C y

ì

ð X U ` a¹

ì

¿ 3 ° # C y x

¹

ì

¿

3 î

´

` Q f H H f X t ` a C ` C H ` a f d a 3 j B H f y d t ` f ` a B U y B E t B U T C d B f Q ` a B

f q B y t B ` k

3 y x B E ` a B U y B E t B U T C d B x f B t y f ` i f y ` C U y k

3 Q f E C y #

µ

ï

t f U ` U t y f ` f q B y

   ¡

£ ¥ 0

Q

Í

º¾ ¼ ¾ U t ` a B Q y i ` U f y

Í ì

ñ

ì

8

` a B y

Í

5

¿ ñ

¿

U t f q B y C t E B ø U E B x j i f y ` U y U `

y ` a B f ` a B E a C y x

Í

¿ ñ

ÿ

ï ¿ U t y f `

f q B y n a t i f y ` U y f t Q y i ` U f y t y B B x y f ` T C q f q B y t B ` t ` f f q B y t B ` t

i

£ ¥ £

A f E U y d X U ` a U y i f T q H B ` B T B ` E U i t q C i B t U t B E U y i f y B y U B y ` f E B C T q H B t q q f t B

X B X U t a ` f t f H B C y B ø C ` U f y Q f E X a U i a X B i C y y f ` X E U ` B C y B q H U i U ` B q E B t t U f y Q f E

` a B t f H ` U f y A B T C U y t ` B C x i f y t ` E i ` C t B ø B y i B

ìF

f Q C q q E f U T C ` B t f H ` U f y t

8/14/2019 metric and normed spaces

http://slidepdf.com/reader/full/metric-and-normed-spaces 18/34

À Ò Â Ã Ä Å Æ Ç È É Ê Ë Ì Å Í Ã Ê Î Ï È Ç Ã Ð

Q f E B C T q H B j t B f Q C y U ` B E C ` U B T B ` a f x f E t f T B U y x f Q y T B E U i C H t i a B T B Q

` a B C q q E f U T C ` B t f H ` U f y t d B ` i H f t B E C y x i H f t B E ` f d B ` a B E X U ` a U y i E B C t U y d T B C y U y d

` a C ` ` a B Q f E T C · C i a t B ø B y i B U y C T B ` E U i t q C i B ` a B y X B X f H x H U B ` f i f y i H x B

` a C ` ` a B C q q E f U T C ` B t f H ` U f y t a C B C H U T U ` C y x ` a B y ` E ` f t a f X ` a C ` ` a B H U T U ` U t

C t f H ` U f y A B i C y y f ` x f ` a U t y H B t t ` a B T B ` E U i t q C i B U y X a U i a ` a B C q q E f U T C ` U f y t

H U B U t i f T q H B ` B

y ` a U t t B i ` U f y X B B q H C U y a f X ` f B ` B y x C y U y i f T q H B ` B T B ` E U i t q C i B ` f C

H C E d B E i f T q H B ` B T B ` E U i t q C i B i C H H B x ` a B i f T q H B ` U f y f Q A B i f y t ` E i ` ` a B i f T

q H B ` U f y f Q C t C t B ` f Q B ø U C H B y i B i H C t t B t f Q · C i a t B ø B y i B t U y X a U i a f d a `

` f i f y B E d B ` f ` a B t C T B q f U y ` f E C j E U B Q E B U B X f Q B ø U C H B y i B E B H C ` U f y t C y x B ø U

C H B y i B i H C t t B t t B B B E i U t B q f U y `

ì

ð U t y C ` E C H H U x B y ` U B x X U ` a ` a B i H C t t

f Q · C i a t B ø B y i B t U y ` a C ` i f y B E d B ` f

ì

X a U H B i H C t t B t f Q · C i a t B ø B y i B t

` a C ` x f y f ` i f y B E d B U y i f E E B t q f y x ` f y B X q f U y ` t U y ` a B i f T q H B ` U f y y B Q B i ` X B

i f y t ` E i ` ` a B i f T q H B ` U f y j H H U y d ` a B a f H B t U y ` a C ` C E B x B ` B i ` B x j U ` t · C i a

t B ø B y i B t

   ¡

£ ¥ 0

n a B i f T q H B ` U f y f Q ` a B t B ` f Q E C ` U f y C H y T j B E t

g

U t ` a B t B ` f Q E B C H

y T j B E t ¾ E B C H y T j B E

ì

U t U x B y ` U B x X U ` a ` a B B ø U C H B y i B i H C t t f Q E C ` U f y C H

· C i a t B ø B y i B t ` a C ` i f y B E d B ` f

ì

A a B y X B X E U ` B C E B C H y T j B E U y x B i U T C H

y f ` C ` U f y X B d U B C · C i a t B ø B y i B f Q E C ` U f y C H y T j B E t ` a C ` i f y B E d B t ` f U `

y f E x B E ` f d U B C Q f E T C H x B y U ` U f y f Q ` a B i f T q H B ` U f y X B E B ø U E B ` a B y f ` U f y f Q

C y U t f T B ` E j B ` X B B y ` X f T B ` E U i t q C i B t

¿¹ t

C y x

X ¿¹

a

0

T C q º

¼ X X a U i a t C ` U t B t

¹

a

ì

5 ¿

ì

8 ñ ¹ t

ì

5¿

ì

8

Q f E C H H

ì

5¿

ì

8ð U t i C H H B x C y ° ³ ¸ « - ® ¯ þ f E C y ° ³ ¸ « - ® ¯ ° ± - « b - ² ² ° µ ú f Q U y ` f X

y U t f T B ` E X a U i a U t f y ` f U t i C H H B x C « - ® ¯ ° ± ³ ÷ ´ ± - ° ³ ¸ « ¸ ¯ ÷ Å ° ³ « f E C y ° ³ ¸ « ¸ ¯ ÷ Å ° ³ «

X a B y U ` U t i H B C E Q E f T ` a B i f y ` B ` ` a C ` X B C E B x B C H U y d X U ` a T B ` E U i t q C i B t n X f T B ` E U i

t q C i B t C y x X C E B ° ³ ¸ « ¸ ¯ ÷ Å ° ± U Q ` a B E B U t C y U t f T f E q a U t T º

¼ X

ø C ` U f y

U T q H U B t ` a C ` C y U t f T B ` E U t f y B ` f f y B C y x i f y ` U y f t A B

` a U y f Q C t U x B y ` U Q U y d C q f U y `

ì

ð X U ` a U ` t U T C d B

ì

ð X t f ` a C `

U t C

i f q f Q B T j B x x B x U y X n X f U t f T f E q a U i T B ` E U i t q C i B t C E B U y x U t ` U y d U t a C j H B

C t T B ` E U i t q C i B t C H ` a f d a ` a B T C x U Q B E U y f ` a B E X C t

   ¡

£ ¥ W

n a B T C q º ¼ ¾

8

x B y B x j

ì

ö U í ñ

ì

¿ í U t C T B ` E U i

t q C i B U t f T f E q a U t T j B ` X B B y ` a B i f T q H B y T j B E t

¿

© d ©

C y x ` a B i H U x B C y q H C y B

¾

8

¿

d

y Q C i ` t U y i B U t H U y B C E ` a B t q C i B t C y x ¾

8

C E B U t f T f E q a U i C t E B C H

y f E T B x H U y B C E t q C i B t

A B i C y y f X x B y B ` a B i f T q H B ` U f y f Q C T B ` E U i t q C i B n a B B C T q H B f Q ` a B E B C H

C y x E C ` U f y C H y T j B E t U t a B H q Q H ` f B B q U y T U y x X a U H B E B C x U y d ` a U t x B y U ` U f y

8/14/2019 metric and normed spaces

http://slidepdf.com/reader/full/metric-and-normed-spaces 19/34

Ã Ç Ì Í Ï Þ Ã Ä Æ Ì É Ì È Í Ã Ä Å Æ Ç Ð Ï È Ç Ã À â

W

T B ` E U i t q C i B

¿

¹ U t i C H H B x ` a B ± ¸ « ÷ û - ® ° ¸ µ f Q

¿¹

U Q ` a B

Q f H H f X U y d i f y x U ` U f y t C E B t C ` U t B x º

C ` a B E B U t C y U t f T B ` E U i B T j B x x U y d º

¼

ó

j ` a B U T C d B t q C i B

U t x B y t B U y

ó

i ` a B t q C i B

¿

¹ U t i f T q H B ` B

n a B T C U y ` a B f E B T C j f ` ` a B i f T q H B ` U f y f Q T B ` E U i t q C i B t U t ` a B Q f H H f X U y d

W §

B E T B ` E U i t q C i B a C t C i f T q H B ` U f y n a B i f T q H B ` U f y U t y U ø B

q ` f U t f T f E q a U t T

U E t ` X B q E f B ` a C ` ` a B i f T q H B ` U f y U t y U ø B q ` f U t f T f E q a U t T U Q U `

B U t ` t q q f t B ` a C `

5 ¿

¹5 C y x

8 ¿

¹8 C E B ` X f i f T q H B ` U f y t f Q

¿¹

X U ` a

i f E E B t q f y x U y d U t f T B ` E U i B T j B x x U y d t 5

º ¼

5

C y x 8

º ¼

8

A B X U H H t B 5

` f B ` B y x 8 Q E f T ` f ` a B i f T q H B ` U f y

5 C y x f j ` C U y C y U t f T f E q a U t T

º

5 ¼

8

n f x B y B

f y

ì

ð

5

X B q U i C t B ø B y i B

ì F

U y t i a ` a C `

5

ì F

i f y B E d B t

` f

ì

U y

5 i a C t B ø B y i B B U t ` t j B i C t B 5

U t x B y t B U y

5 n a B t B ø B y i B

5

ì F

U t · C i a j B i C t B U ` i f y B E d B t U y i B 5 C y x 8 C E B U t f T B ` E U B t U ` Q f H H f X t

` a C `

ìF

C y x

8

ìF

C E B C H t f · C i a n a B t q C i B

8 U t i f T q H B ` B a B y i B

8

ìF

i f y B E d B t U y

8 A B x B y B

ì

ñ H U T

F ¹

8

ì F

%

Q

ì

ñ

F

U t C y f ` a B E t B ø B y i B U y t i a ` a C `

5

ì

ñ

F

i f y B E d B t ` f

ì

U y

5 ` a B y

¹8

8

ì ñ

F

¿ 8

ì F

ñ¹

ì ñ

F

¿

ì F

ñ

¹5

5

ì ñ

F

¿ 5

ì F

¼ ï

C t ¼ n a t

8

ì

ñ

F

C y x

8

ì F

i f y B E d B ` f ` a B t C T B H U T U ` C y x

ì

U t

X B H H x B y B x

Q

ì

í j B H f y d ` f

8 C y x

ì

ñ H U T

F ¹

8

ì F

¿

í ñ H U T

F ¹

8

í

F

¿

` a B y

¹ 8

ì

¿

í ñ H U T

F ¹

¹ 8

8

ì F

¿ 8

í

F

ñ H U T

F ¹

¹

ì F

¿ í

F

ñ

¹ 5

ì

¿

í %

n a B E B Q f E B

U t C y U t f T B ` E f Q

5

U y ` f

8

Ú t U y d i f y t ` C y ` t B ø B y i B t U y X B t B B

` a C `

5

ì

ñ 8

ì

Q f E C H H

ì

ð t f ` a C `

U x B y ` U B t ` a B U T C d B f Q U y

5 y x B E

5 X U ` a ` a B U T C d B f Q U y

8 y x B E 8

n f t a f X ` a C `

U t f y ` f X B f j t B E B ` a C `

5 i f y ` C U y t ` a B H U T U ` f Q C H H · C i a

t B ø B y i B t U y 5

t f ` a B U t f T f E q a U i t q C i B

5 i f y ` C U y t ` a B H U T U ` f Q C H H · C i a

t B ø B y i B t U y 8

n a B E B Q f E B

8

ò

5

Ú C t t T q ` U f y 8

U t x B y t B U y

8 t f

8

ñ

8 C y x

5 ñ

8 n a U t t a f X t ` a C ` C y ` X f i f T q H B ` U f y t C E B

U t f T f E q a U i

8/14/2019 metric and normed spaces

http://slidepdf.com/reader/full/metric-and-normed-spaces 20/34

Á ü Â Ã Ä Å Æ Ç È É Ê Ë Ì Å Í Ã Ê Î Ï È Ç Ã Ð

B i f y x X B q E f B ` a B i f T q H B ` U f y B U t ` t n f x f ` a U t X B i f y t ` E i ` C i f T q H B ` U f y

Q E f T · C i a t B ø B y i B t U y A B x B y B C E B H C ` U f y j B ` X B B y · C i a t B ø B y i B t

ì

ñ

ì F

C y x í ñ

í

F

U y j

ì

í U Q C y x f y H U Q H U T

F ¹

¹

ì F

¿ í

F

ñ ï %

n X f i f y B E d B y ` · C i a t B ø B y i B t

ì

í t C ` U t Q

ì

í U Q C y x f y H U Q ` a B a C B ` a B

t C T B H U T U ` ` U t t ` E C U d a ` Q f E X C E x ` f i a B i ` a C ` U t C y B ø U C H B y i B E B H C ` U f y f y ` a B

t B ` f Q · C i a t B ø B y i B t U y B `

j B ` a B t B ` f Q B ø U C H B y i B i H C t t B t f Q U y

A B i C H H C y B H B T B y `

ì F

ð

ì

f Q C y B ø U C H B y i B i H C t t

ì

ð

C ¯ - ÷ ¯ - ³ - µ ® ´ ® ° n - f Q

ì

A B x B y B

¹ º

»

¼ ¾ j

¹

ì

¿

í ñ H U T

F ¹

¹

ì F

¿ í

F

¿

X a B E B

ì F

C y x

í

F

C E B C y ` X f E B q E B t B y ` C ` U B t f Q

ì

C y x

í E B t q B i ` U B H n a B H U T U `

U y

B U t ` t j B i C t B

¹

ì F

¿ í

F

F ¬

5

U t C · C i a t B ø B y i B f Q E B C H y T j B E t f E

` a U t x B y U ` U f y ` f T C B t B y t B U ` U t B t t B y ` U C H ` a C ` ` a B H U T U ` U t U y x B q B y x B y ` f Q X a U i a

E B q E B t B y ` C ` U B t f Q

ì

C y x

í C E B i a f t B y q q f t B ` a C `

ì F

ì

ñ

F

E B q E B t B y `

ì

C y x

í

F

í ñ

F

E B q E B t B y `

í n a B y j ` a B ` E U C y d H B U y B ø C H U ` X B a C B

¹

ì F

¿ í

F

ô¹

ì F

¿

ì ñ

F

ö¹

ì ñ

F

¿ í

ñ

F

ö¹

í

ñ

F

¿ í

F

¿

¹

ìF

¿ í

F

î ¹

ìñ

F

¿ í

ñ

F

¹

ìF

¿

ìñ

F

¹

í

ñ

F

¿ í

F

%

n C U y d ` a B H U T U ` C t ¼ f Q ` a B t B U y B ø C H U ` U B t C y x t U y d ` a B C t t T q ` U f y ` a C `

ìF

ì

ñ

F

C y x

í

F

í ñ

F

X B y x ` a C `

H U T

F ¹

¹

ì F

¿ í

F

ñ H U T

F ¹

¹

ìñ

F

¿ í

ñ

F

%

n a t ` a B H U T U ` U y

U t U y x B q B y x B y ` f Q ` a B E B q E B t B y ` C ` U B t C y x

¹U t X B H H x B y B x

` U t t ` E C U d a ` Q f E X C E x ` f i a B i ` a C `

¹ U t C T B ` E U i f y

n f t a f X ` a C ` ` a B T B ` E U i t q C i B

¿

¹ U t C i f T q H B ` U f y f Q

¿¹

X B x B y B C y

B T j B x x U y d º ¼

C t ` a B T C q ` a C ` ` C B t C q f U y `

ì

ð ` f ` a B B ø U C H B y i B

i H C t t f Q · C i a t B ø B y i B t ` a C ` i f y ` C U y t ` a B i f y t ` C y ` t B ø B y i B

ì F

X U ` a

ì F

ñ

ì

Q f E

C H H n a U t T C q U t C y U t f T B ` E U i B T j B x x U y d t U y i B U Q

ì F

C y x

í

F

C E B ` a B i f y t ` C y `

t B ø B y i B t X U ` a

ì F

ñ

ì

C y x í

F

ñ í X B a C B

¹

ì

¿

í ñ H U T

F ¹

¹

ì F

¿ í

F

ñ¹

ì

¿ í %

n a B U T C d B

i f y t U t ` t f Q ` a B B ø U C H B y i B i H C t t B t U y

X a U i a a C B C i f y t ` C y `

E B q E B t B y ` C ` U B · C i a t B ø B y i B n f t a f X ` a B x B y t U ` f Q

U y

H B `

ìF

j B C

E B q E B t B y ` C ` U B f Q C y C E j U ` E C E q f U y `

ì

ð

A B x B y B C t B ø B y i B

í

F

f Q i f y t ` C y `

t B ø B y i B t j

í

F

ñ

í

F ¤

B

B

¬

5

X a B E B í

F ¤

B ñ

ìF

Q f E C H H ¿ 1 ð ª E f T ` a B x B y U ` U f y

f Q

í

F

C y x ` a B Q C i ` ` a C `

ì F

U t C · C i a t B ø B y i B X B a C B

H U T

F ¹

¹

í

F

¿

ì

ñ H U T

F ¹

H U T

B

¹

¹

ìF

¿

ì

B ñ ï %

8/14/2019 metric and normed spaces

http://slidepdf.com/reader/full/metric-and-normed-spaces 21/34

Ã Ç Ì Í Ï Þ Ã Ä Æ Ì É Ì È Í Ã Ä Å Æ Ç Ð Ï È Ç Ã Á À

n a t

U t x B y t B U y

U y C H H X B q E f B ` a C `

¿

¹ U t i f T q H B ` B A B X U H H t B · C y ` f E t x U C d f y C H

C E d T B y ` X a U i a U t t B Q H U y T C y f ` a B E i f y ` B ` t C t X B H H B `

ìF

j B C · C i a

t B ø B y i B U y

y f E x B E ` f q E f B ` a C ` C · C i a t B ø B y i B U t i f y B E d B y ` U ` U t B y f d a

` f q E f B ` a C ` U ` a C t C i f y B E d B y ` t j t B ø B y i B j B i C t B ` a B X a f H B t B ø B y i B i f y B E d B t

` f ` a B H U T U ` f Q C y t j t B ø B y i B Õ U i U y d C t j t B ø B y i B U Q y B i B t t C E X B i C y C t t T B

` a C `

ì F

t C ` U t B t

¹

ìÇ

¿

ìF

ô

¶

Q f E C H H È ¿ î ¶ %

ï

f E B C i a ` B E T

ì F

X B i a f f t B C E B q E B t B y ` C ` U B · C i a t B ø B y i B U y x B y f ` B x j

ì F ¤

B

B

¬

5

y t j t B ø B y i B f Q C E B q E B t B y ` C ` U B · C i a t B ø B y i B f Q

ì F

U t C H t f C

E B q E B t B y ` C ` U B f Q

ì F

A B i C y ` a B E B Q f E B i a f f t B ` a B E B q E B t B y ` C ` U B t f ` a C `

¹

ì F ¤

B ¿

ì F ¤

°

Q f E C H H 1 ¿ î %

A B i H C U T ` a C ` ` a B x U C d f y C H t B ø B y i B

ì

B

¤

B

B

¬

5

U t C · C i a t B ø B y i B C y x ` a C `

` a B B ø U C H B y i B i H C t t

ì

` f X a U i a U ` j B H f y d t U t ` a B H U T U ` f Q

ì F

U y

n a B Q C i ` ` a C `

X B i C y f j ` C U y ` a B H U T U ` f Q C · C i a t B ø B y i B f Q t B ø B y i B t j ` C U y d C x U C d f y C H

t B ø B y i B U t ` a B B q f U y ` U y q E f U y d ` a B B U t ` B y i B f Q ` a B i f T q H B ` U f y

n f q E f B ` a C ` ` a B x U C d f y C H t B ø B y i B U t · C i a X B f j t B E B ` a C ` Q f E C y U ð ª

¹

ì

B

¤

B ¿

ì ¤

ô ¹

ì

B

¤

B ¿

ì

B

¤H

ö ¹

ì

B

¤H

¿

ì ¤ H

ö ¹

ì ¤ H

¿

ì ¤

%

n a B x B y U ` U f y f Q

¹ C y x

ï U T q H ` a C ` Q f E C H H 1 ¿ î ¶

¹

ì

B ¿

ì

ñ H U T

H ¹

¹

ì

B

¤H

¿

ì ¤ H

ô

¶

%

n C U y d ` a B H U T t q f Q

C t U ¼ C y x t U y d

C y x

U y ` a B E B t H ` X B

y x ` a C ` Q f E C H H 1 ¿ î ¶

¹

ì

B

¤

B¿

ì ¤

ô

¶

%

n a B E B Q f E B

ì

B

¤

B U t · C i a

Ú C t U T U H C E C E d T B y ` X B y x ` a C ` Q f E C H H 1 ¿ î ¶

¹

ì F ¤

B ¿

ì

B

¤

B ô H U T t q

H ¹

!¹

ì F ¤

B ¿

ì F ¤ H

ö¹

ì F ¤ H

¿

ì

B

¤H

ö¹

ì

B

¤H

¿

ì

B

¤

B # ô

¶

%

n a B E B Q f E B Q f E î ¶ X B a C B

¹

ì F

¿

ì

ñ H U T

B

¹

¹

ì F ¤

B ¿

ì

B

¤

B ô

¶

%

Á

B y i B ` a B · C i a t B ø B y i B

ìF

i f y B E d B t ` f

ì

C t ¼ C y x

U t i f T q H B ` B

8/14/2019 metric and normed spaces

http://slidepdf.com/reader/full/metric-and-normed-spaces 22/34

Á Á Â Ã Ä Å Æ Ç È É Ê Ë Ì Å Í Ã Ê Î Ï È Ç Ã Ð

` U t t H U d a ` H C y y f U y d ` a C ` ` a B i f T q H B ` U f y

U t i f y t ` E i ` B x C t C t q C i B f Q B ø U

C H B y i B i H C t t B t f Q t B ø B y i B t U y E C ` a B E ` a C y C t C T f E B x U E B i ` B ` B y t U f y f Q f E

B C T q H B U Q U t C t q C i B f Q Q y i ` U f y t ` a B y ` a B E B U t y f d C E C y ` B B ` a C ` U ` t i f T q H B ` U f y

i C y j B U x B y ` U B x X U ` a C t q C i B f Q Q y i ` U f y t ` a C ` U t f j ` C U y B x j C x x U y d T f E B Q y i ` U f y t

` f ` a B f E U d U y C H t q C i B

   ¡

£ ¥ W

B ` m

ÿ

ï ¿   j B ` a B t B ` f Q i f y ` U y f t Q y i ` U f y t º

ÿ

ï ¿   ¼ ¾ A B

x B y B ` a B P

8

y f E T f Q j

ñ Â

5

©

ì

©

8

¹

ì

Ã

5 8

%

n a B C t t f i U C ` B x T B ` E U i¹

¿ ñ

U t C B E t B Q H f y B C y C H f d f t ` f ` a B

i H U x B C y T B ` E U i f y ¾

F

j ` ` a B t q C i B m

ÿ

ï ¿   U t y f ` i f T q H B ` B X U ` a E B t q B i ` ` f

U ` n a B i f T q H B ` U f y U t x B y f ` B x j P

8

ÿ

ï ¿   C y x U ` i C y y B C E H j B U x B y ` U B x X U ` a

` a B t q C i B f Q B j B t d B T B C t E C j H B t ø C E B U y ` B d E C j H B Q y i ` U f y t f E B q E B i U t B H C

q f U y ` U y P

8

ÿ

ï ¿   i C y j B U x B y ` U B x X U ` a C y B ø U C H B y i B i H C t t f Q t ø C E B U y ` B d E C j H B

Q y i ` U f y t U y X a U i a ` X f Q y i ` U f y t ` a C ` x U Q B E f y C t B ` f Q B j B t d B T B C t E B ù B E f C E B

B ø U C H B y ` i i f E x U y d ` f ` a B U B t ù U t a B E ` a B f E B T U Q

F

U t C · C i a t B ø B y i B X U ` a

E B t q B i ` ` f ` a B P

8

y f E T ` a B y ` a B E B U t C t j t B ø B y i B

F ®

` a C ` i f y B E d B t q f U y ` X U t B

C B ` f C t ø C E B U y ` B d E C j H B Q y i ` U f y C y x ` a U t Q C i ` q E f U x B t f y B X C ` f U x B y ` U Q C y

B H B T B y ` f Q ` a B i f T q H B ` U f y X U ` a C y B ø U C H B y i B i H C t t f Q Q y i ` U f y t C y f Q ` a B

t C H f q B E C ` U f y t f y Q y i ` U f y t i C y j B x B y B x f y B ø U C H B y i B i H C t t B t U y x B q B y x B y ` H

f Q X a U i a E B q E B t B y ` C ` U B Q y i ` U f y U t i a f t B y j ` ` a B q f U y ` X U t B C H B f Q C y B H B T B y `

ð

P

8

ÿ

ï ¿  

i C y y f ` j B x B y B x y C T j U d f t H

y C t U T U H C E X C ` a B t q C i B P

8

¾ f Q B ø U C H B y i B i H C t t B t f Q B j B t d B T B C t E C j H B

t ø C E B U y ` B d E C j H B Q y i ` U f y t f y ¾ U t ` a B i f T q H B ` U f y f Q ` a B t q C i B m

o

¾ f Q i f y ` U y f t

Q y i ` U f y t f y ¾ X U ` a i f T q C i ` t q q f E `

t B B B y U ` U f y Û X U ` a E B t q B i ` ` f ` a B P

8

y f E T

ñ Â

©

ì

©

8

¹

ì

Ã

5 8

%

A B X U H H t B B H C ` B E f y ` a C ` ` a B t B P

8

t q C i B t C E B Q y x C T B y ` C H B C T q H B t f Q U y y U ` B

x U T B y t U f y C H

Á

U H j B E ` t q C i B t A B x U t i t t T B C t E B ` a B f E U y d E B C ` B E x B ` C U H U y · a C q

` B E A B X U H H t B Q C i ` t Q E f T ` a C ` i a C q ` B E C t y B B x B x ` a E f d a f ` ` a B j f f U y i H x U y d

j U y U t ` a B f E B T Q f E ` a B B i a C y d B U y ` a B f E x B E f Q U y ` B d E C ` U f y C y x ` a B x f T U y C ` B x

i f y B E d B y i B ` a B f E B T Q f E q C t t C d B ` f ` a B H U T U ` y x B E C y U y ` B d E C H t U d y

£

· f T q C i ` y B t t U t f y B ` a B T f t ` U T q f E ` C y ` i f y i B q ` t U y C y C H t U t t U T q H B C y x t B Q H

X C ` f x B y B i f T q C i ` t B ` t U y C T B ` E U i t q C i B U t j T B C y t f Q t B ø B y i B t

8/14/2019 metric and normed spaces

http://slidepdf.com/reader/full/metric-and-normed-spaces 23/34

ºÌ Í Ï È Ç Ä É Ã Ð Ð Á

ë

W 0

t j t B ` ª f Q C T B ` E U i t q C i B U t ³ - ü · - µ ® ° ´ û û þ ± ¸ « ÷ ´ ± ® U Q B B E

t B ø B y i B U y ª a C t C i f y B E d B y ` t j t B ø B y i B X a f t B H U T U ` j B H f y d t ` f ª

A B i C y ` C B ª ñ U y ` a U t x B y U ` U f y t f ` a C ` U t t B ø B y ` U C H H i f T q C i ` U Q B B E

t B ø B y i B U y a C t C i f y B E d B y ` t j t B ø B y i B t j t B ` ª f Q

m ¿ ¹ U t t B ø B y ` U C H H

i f T q C i ` U Q C y x f y H U Q ` a B T B ` E U i t j t q C i B

ª¿ ¹

©«

U t t B ø B y ` U C H H i f T q C i `

   ¡

£ ¥ W W

n a B t q C i B f Q E B C H y T j B E t ¾ U t y f ` t B ø B y ` U C H H i f T q C i ` f E

B C T q H B ` a B t B ø B y i B

ì F

X U ` a

ì F

ñ a C t y f i f y B E d B y ` t j t B ø B y i B j B i C t B

© ìÇ

ìF

©

î Q f E C H H È

V

ñ n a B i H f t B x j f y x B x U y ` B E C H

ÿ

ï ¿   U t C t B ø B y ` U C H H

i f T q C i ` t j t B ` f Q ¾ C t X B q E f B j B H f X n a B a C H Q f q B y U y ` B E C H

ï ¿   U t y f ` C

t B ø B y ` U C H H i f T q C i ` t j t B ` f Q ¾ j B i C t B ` a B t B ø B y i B

³ i f y B E d B t ` f ï C y x

` a B E B Q f E B a C t y f t j t B ø B y i B X U ` a H U T U ` U y

ï ¿   n a B H U T U ` x f B t a f X B B E j B H f y d

` f

ÿ

ï ¿  

n a B Q H H U T q f E ` C y i B f Q i f T q C i ` t B ` t X U H H j B i f T B i H B C E f y H U y ` a B t B ` ` U y d f Q

U y y U ` B x U T B y t U f y C H y f E T B x t q C i B t ` U t y B B E ` a B H B t t U y ` B E B t ` U y d ` f t ` C E ` X U ` a ` a B

y U ` B x U T B y t U f y C H i C t B · f T q C i ` t j t B ` t f Q ¾

F

a C B C t U T q H B B q H U i U ` i a C E C i ` B E U

ù C ` U f y

W i ¬ - ® ¯ ¥ °

t j t B ` f Q ¾

F

U t t B ø B y ` U C H H i f T q C i ` U Q C y x f y H

U Q U ` U t i H f t B x C y x j f y x B x

n a B Q C i ` ` a C ` i H f t B x j f y x B x t j t B ` t f Q ¾

F

C E B t B ø B y ` U C H H i f T q C i ` U t C i f y

t B ø B y i B f Q ` a B Q f H H f X U y d ` a B f E B T i C H H B x ` a B Ú f H ù C y f A B U B E t ` E C t t ` a B f E B T B B y

` a f d a Ú f H ù C y f a C x H U ` ` H B ` f x f X U ` a U ` t q E f f Q A B H B C B U ` ` f ` a B E B C x B E ` f t B ` a U t

` a B f E B T ` f i f T q H B ` B ` a B q E f f Q f Q ` a B

Á

B U y B Ú f E B H ` a B f E B T

W ¬ ¯ ¥ ± ® ² °

B E j f y x B x t B ø B y i B U y ¾

F

a C t C

i f y B E d B y ` t j t B ø B y i B

A B X U H H i f y t ` E i ` C · C i a t j t B ø B y i B Q E f T C y C E j U ` E C E j f y x B x t B

ø B y i B U y i B ¾

F

U t i f T q H B ` B ` a B t j t B ø B y i B i f y B E d B t

B `

ì

B j B C j f y x B x t B ø B y i B U y ¾

F

n a B E B U t C y

µ

ï t i a ` a C `

ì

Bð

ÿ

¿  

F

Q f E C H H 1 n a B t B `

ÿ

¿  

F

U t C y x U T B y t U f y C H i j B f Q t U x B A B

x B y f ` B ` a U t i j B j m

A B q C E ` U ` U f y m

U y ` f

F

i j B t f Q t U x B A B x B y f ` B j m 5

f y B f Q ` a B t T C H H B E i j B t ` a C ` i f y ` C U y t U y y U ` B H T C y ` B E T t f Q ` a B t B ø B y i B

ì

B

T B C y U y d ` a C `

ì

B ð m 5 Q f E U y y U ` B H T C y 1 ð ª i a C i j B B U t ` t j B i C t B ` a B E B

U t C y U ` B y T j B E f Q i j B t C y x C y U y y U ` B y T j B E f Q ` B E T t U y ` a B t B ø B y i B B `

1 5 j B ` a B t T C H H B t ` U y x B t i a ` a C `

ì

B ³ ð m 5 A B q U i

ì

B ³ C t ` a B E t ` ` B E T f Q ` a B

t j t B ø B y i B

n f i a f f t B ` a B t B i f y x ` B E T X B Q f E T C y B X t B ø B y i B

íB

j x B H B ` U y d Q E f T

ì

B

` a B ` B E T

ì

B ³ C y x C H H ` B E T t X a U i a x f y f ` j B H f y d ` f m 5 A B E B q B C ` ` a B q E f i B x E B

x B t i E U j B x U y ` a B q E B U f t q C E C d E C q a j ` X U ` a

ì

B E B q H C i B x j

í B C y x m

E B q H C i B x

8/14/2019 metric and normed spaces

http://slidepdf.com/reader/full/metric-and-normed-spaces 24/34

Á

Â Ã Ä Å Æ Ç È É Ê Ë Ì Å Í Ã Ê Î Ï È Ç Ã Ð

ε

Ñ Ò Ó Õ À Õ Ö á ß Ý æ Ò Ýª ä Ù å ã Ò Ý ß ´ µ ã ß Ý Ø æ Þ Ò Ý Õ

j m 5 n a U t q E f i B x E B d U B t C t j i j B m 8 f Q m 5 f Q t U x B ³ X a U i a i f y ` C U y t

U y y U ` B H T C y ` B E T t f Q ` a B f E U d U y C H t B ø B y i B C y x C y B H B T B y ` í B ³ A B q U i

ì

B · ñ

íB

³C t ` a B t B i f y x B H B T B y ` f Q ` a B t j t B ø B y i B

Ú E B q B C ` U y d ` a U t q E f i B x E B X B f j ` C U y C t j t B ø B y i B

ì

B ¸

H ¬

5

A B y B B E B

a C t ` ` a B f E U d U y C H t B ø B y i B j B i C t B B B E i j B U y ` a B i f y t ` E i ` U f y i f y ` C U y t U y

y U ` B H T C y ` B E T t A B a C B

ì

B ¸ ð m ¹ Q f E C H H U î º X a B E B m ¹ U t C i j B f Q t U x B

³

¹

5

n a B E B Q f E B

ì

B ¸ U t C · C i a t B ø B y i B C y x a B y i B U ` i f y B E d B t

n a B Q f H H f X U y d i E U ` B E U f y Q f E ` a B t B ø B y ` U C H i f T q C i ` y B t t f Q C T B ` E U i t q C i B U t f Q ` B y

B C t U B E ` f B E U Q ` a C y ` a B x B y U ` U f y B ` 2   j B C t j t B ` f Q C T B ` E U i t q C i B A B t C

` a C ` C i f H H B i ` U f y ! l

õ© ö

ð ÷ # f Q t j t B ` t f Q U t C ± ¸ n - ¯ f Q 2   U Q U ` t y U f y i f y ` C U y t

2   T B C y U y d ` a C `

2 ò ¼

õ ø ù

l

õ

%

n a B y T j B E f Q t B ` t U y ` a B i f B E U t y f ` E B ø U E B x ` f j B i f y ` C j H B Q B B E l

õ

U y ` a B

i f B E U t f q B y ` a B y X B t C ` a C ` ! l

õ

# U t C y ¸ ÷ - µ ± ¸ n - ¯ f Q 2  

B `

´ µ

ï t j t B ` !

ìõ

© ö

ð ÷ # f Q U t i C H H B x C y

´

µ - ® f Q ` a B t j t B ` 2   U Q

` a B Q C T U H f Q f q B y j C H H t ! k

ì õ

© ö

ð ÷ # U t C y f q B y i f B E f Q 2   Q ` a B t B ` !

ì õ

# U t

y U ` B ` a B y X B t C ` a C ` !

ìõ

# U t C ó µ ° ® -

´

µ - ® f Q 2  

t B B U d E B Û

W

t j t B ` f Q C T B ` E U i t q C i B U t ® ¸ ® ´ û û þ b ¸ · µ ² - ² U Q U ` a C t C y U ` B

´

y B `

Q f E B B E

´ µ

ï

n a C ` U t C t j t B ` 2   f Q C T B ` E U i t q C i B U t ` f ` C H H j f y x B x U Q Q f E B B E

´ µ

ï

` a B E B U t C y U ` B t B ` f Q q f U y ` t !

ì

5 ¿

ì

8 ¿ % % % ¿

ìF

# U y t i a ` a C ` 2   ò{

F

H ¬

5

k

ìH

8/14/2019 metric and normed spaces

http://slidepdf.com/reader/full/metric-and-normed-spaces 25/34

ºÌ Í Ï È Ç Ä É Ã Ð Ð Á }

W

t j t B ` f Q C T B ` E U i t q C i B U t t B ø B y ` U C H H i f T q C i ` U Q C y x f y H U Q U `

U t i f T q H B ` B C y x ` f ` C H H j f y x B x

n a B q E f f Q ` a C ` C i f T q H B ` B ` f ` C H H j f y x B x t B ` ª U t t B ø B y ` U C H H i f T q C i `

U t ` a B t C T B C t ` a B q E f f Q f Q ` a B Ú f H ù C y f A B U B E t ` E C t t ` a B f E B T Ñ q q f t B ` a C `

ì F

U t C t B ø B y i B U y ª n a B y t U y i B ª U t ` f ` C H H j f y x B x ` a B E B U t C t B ø B y i B f Q j C H H t

k B t i a ` a C ` k B a C t E C x U t ³

B

C y x B B E U y ` B E t B i ` U f y 2   B ñ

B

H ¬

5

k

H

i f y ` C U y t

U y y U ` B H T C y ` B E T t f Q ` a B t B ø B y i B A B i C y ` a B E B Q f E B i a f f t B C t j t B ø B y i B

ì F ®

t i a ` a C `

ì F ®

ð̀ 2 ¢ B Q f E B B E 1 n a U t t j t B ø B y i B U t · C i a C y x t U y i B ª U t

i f T q H B ` B U ` i f y B E d B t

n f q E f B ` a B i f y B E t B X B t a f X ` a C ` C t B ø B y ` U C H H i f T q C i ` t q C i B U t i f T q H B ` B

C y x ` a C ` C t q C i B X a U i a U t y f ` ` f ` C H H j f y x B x U t y f ` t B ø B y ` U C H H i f T q C i `

Q

ì F

U t C · C i a t B ø B y i B U y C t B ø B y ` U C H H i f T q C i ` t q C i B ª ` a B y U ` a C t C

i f y B E d B y ` t j t B ø B y i B n a B X a f H B · C i a t B ø B y i B i f y B E d B t ` f ` a B H U T U ` f Q C y

i f y B E d B y ` t j t B ø B y i B

Á

B y i B ª U t i f T q H B ` B

f X t q q f t B ` a C ` ª U t y f ` ` f ` C H H j f y x B x n a B y ` a B E B U t C y

´ µ

ï t i a ` a C `

ªa C t y f y U ` B

´

y B ` f E B B E y U ` B t j t B ` !

ì

5 ¿ % % % ¿

ì F

# f Q ª ` a B E B U t C q f U y `

ì F

± 5ð ª t i a ` a C `

ì F

± 5³ð {

F

H ¬

5

k

ì H

· f y t B ø B y ` H X B i C y y x C y U y y U ` B

t B ø B y i B

ì F

U y ª t i a ` a C `¹

ì Ç

¿

ì F

î

´

Q f E C H H È

V

ñ n a U t t B ø B y i B x f B t y f `

i f y ` C U y C · C i a t j t B ø B y i B C y x a B y i B a C t y f i f y B E d B y ` t j t B ø B y i B n a B E B Q f E B

ªU t y f ` t B ø B y ` U C H H i f T q C i `

y f ` a B E X C ` f x B y B i f T q C i ` y B t t U t U y ` B E T t f Q f q B y t B ` t A B t C ` a C `

C i f B E ! l

õ

# f Q 2   a C t C y U ` B t j i f B E U Q ` a B E B U t C y U ` B t j i f H H B i ` U f y f Q t B ` t

! l

õ

³¿ % % % ¿ l

õ ¿

# t i a ` a C ̀ 2 ò{

F

H ¬

5

l

õ

¸

i

t j t B ` ª f Q C T B ` E U i t q C i B U t ± ¸ « ÷ ´ ± ® U Q B B E f q B y i f B E f Q

ªa C t C y U ` B t j i f B E

   ¡

£ ¥ i

n a B t q C i B f Q E B C H y T j B E t ¾ U t y f ` i f T q C i ` t U y i B ` a B f q B y i f B E

!

¿ ö

©

ð À # f Q ¾ a C t y f y U ` B t j i f B E n a B a C H Q f q B y U y ` B E C H

ï ¿  

U t y f ` i f T q C i ` t U y i B ` a B f q B y i f B E !

³ ¿ ³

©

ð ª # a C t y f y U ` B t j i f B E

Q ` a U t f q B y i f B E U t B ` B y x B x ` f C y f q B y i f B E f Q

ÿ

ï ¿   ` a B y ` a B B ` B y t U f y T t `

i f y ` C U y C y f q B y y B U d a j f E a f f x f Q ï n a U t f q B y y B U d a j f E a f f x ` f d B ` a B E X U ` a C y U ` B

y T j B E f Q t B ` t Q E f T ` a B i f B E f Q

ï ¿   U t C y U ` B t j i f B E f Q

ÿ

ï ¿  

f E T B ` E U i t q C i B t i f T q C i ` y B t t C y x t B ø B y ` U C H i f T q C i ` y B t t C E B B ø U C H B y `

i §

t j t B ` f Q C T B ` E U i t q C i B U t i f T q C i ` U Q C y x f y H U Q U ` U t t B ø B y ` U C H H

i f T q C i `

U E t ` X B q E f B ` a C ` t B ø B y ` U C H i f T q C i ` y B t t U T q H U B t i f T q C i ` y B t t A B X U H H

t a f X ` a C ` C y C E j U ` E C E f q B y i f B E f Q C t B ø B y ` U C H H i f T q C i ` t B ` a C t C i f y ` C j H B

t j i f B E C y x ` a C ` C i f y ` C j H B i f B E a C t C y U ` B t j i f B E

8/14/2019 metric and normed spaces

http://slidepdf.com/reader/full/metric-and-normed-spaces 26/34

Á Â Ã Ä Å Æ Ç È É Ê Ë Ì Å Í Ã Ê Î Ï È Ç Ã Ð

Á

i

t B ø B y ` U C H H i f T q C i ` T B ` E U i t q C i B U t t B q C E C j H B

Ú n a B f E B T Ñ ` a B E B U t C y U ` B

³ y B ` 2  

F

f Q C t B ø B y ` U C H H i f T q C i `

t q C i B ª Q f E B B E ð ª B ` 2   ñ{

F ¬

5

2  

F

n a B y 2   U t i f y ` C j H B j B i C t B U ` U t C

i f y ` C j H B y U f y f Q y U ` B t B ` t C y x 2   U t x B y t B U y ª j i f y t ` E i ` U f y

q q f t B ` a C ` ! l

õ © ö

ð ÷ # U t C y C E j U ` E C E f q B y i f B E f Q C t B ø B y ` U C H H i f T q C i `

t q C i B ª E f T B T T C Û ` a B t q C i B ª a C t C i f y ` C j H B x B y t B t j t B ` 2   B ` Â

j B ` a B i f H H B i ` U f y f Q f q B y j C H H t X U ` a E C ` U f y C H E C x U t C y x i B y ` B E U y 2   C y x H B ` j B

` a B t j i f H H B i ` U f y f Q j C H H t U y  ` a C ` C E B i f y ` C U y B x U y C ` H B C t ` f y B f Q ` a B f q B y t B ` t

l

õ

n a B i f H H B i ` U f y  U t i f y ` C j H B j B i C t B U ` U t C i f y ` C j H B y U f y f Q i f y ` C j H B t B ` t

Á

B y i B ` a B t j i f H H B i ` U f y U t C H t f i f y ` C j H B

f E B B E

ì

ð ª ` a B E B U t C t B ` l

õ

U y ` a B f q B y i f B E f Q ª X U ` a

ì

ð l

õ

U y i B

l

õ

U t f q B y ` a B E B U t C y

´ µ

ï t i a ` a C ` k

ì

ò l

õ

U y i B 2   U t x B y t B U y ª ` a B E B U t

C q f U y ` í ð 2   t i a ` a C ` ¹

ì

¿ í °

´

³ n a B y

ì

ð k

Ã

í C y x k

8 Ã

í ò l

õ

`

T C a B H q ` f x E C X C q U i ` E B Ä n a t U Q U t C E C ` U f y C H y T j B E X U ` a

´

³ ° °

´

³

` a B y

ì

ð k Å

í C y x k Å

í ò l

õ

` Q f H H f X t ` a C ` k Å

í ð t f C y q f U y `

ì

U y ª

j B H f y d t ` f C j C H H U y

Á

B y i B U t C y f q B y i f B E f Q ª f E B B E k ð X B q U i C y

ö Ç

ð ÷ t i a ` a C ` k ò l

õ É

n a B y ! l

õ É©

k ð # U t C i f y ` C j H B t j i f B E f Q ª

j B i C t B {

Çø Ê

l

õÉ

i f y ` C U y t {

Çø Ê

k X a U i a i f y ` C U y t ª

A B X U H H t a f X j i f y ` E C x U i ` U f y ` a C ` C i f y ` C j H B f q B y i f B E a C t C y U ` B t j i f B E

q q f t B ` a C ` ! l

F©

ð ª # U t C i f y ` C j H B f q B y i f B E f Q C t B ø B y ` U C H H i f T q C i `

t q C i B ª ` a C ` x f B t y f ` a C B C y U ` B t j i f B E n a B y ` a B y U ` B y U f y { Ë

F ¬

5

l

F

x f B t

y f ` i f y ` C U y ª Q f E C y ¶ A B i C y ` a B E B Q f E B i f y t ` E i ` C t B ø B y i B

ì

B U y ª C t

Q f H H f X t A B q U i C q f U y `

ì

5 ð ª U y i B ! l

F

# i f B E t ª ` a B E B U t C y ¶ 5 t i a ` a C `

ì

5 ð l

Ë

³ A B q U i

ì

8 ð ª t i a ` a C `

ì

8 ³ð { Ë

³

F ¬

5

l

F

C y x i a f f t B ¶ 8 t i a ` a C `

ì

8ð l

Ë

· n a B y X B q U i

ì

Ã ð ª t i a ` a C `

ì

à ³ð {Ë

·

F ¬

5

l

F

C y x t f f y U y i B

ì

Bð l

Ë

®

¿ C y x

ì

B³ð

Ë

®

Y

³

¼

F ¬

5

l

F

¿

` a B f q B y t B ` l

Ë

®

U t y f ` B ø C H ` f l

F

Q f E C y ô ¶B

5 n a t ` a B t B ø B y i B

¶B

U t t ` E U i ` H U y i E B C t U y d C y x ¶ B ¼ C t 1 ¼ ` Q f H H f X t ` a C ` Q f E C y ` a B E B

U t C y U y ` B d B E ª

F

t i a ` a C `

ì

B³ð l

F

X a B y 1 î ª

F

Q

ì

ð l

F

` a B y C H H q f U y ` t f Q

` a B t B ø B y i B B B y ` C H H H B C B ` a B f q B y y B U d a j f E a f f x l

F

f Q

ì

t f y f t j t B ø B y i B

f Q

ì

B i C y i f y B E d B ` f

ì

U y i B ` a B i f H H B i ` U f y ! l

F

# i f B E t ª ` a B t B ø B y i B

ì F

a C t y f t j t B ø B y i B ` a C ` i f y B E d B t ` f C q f U y ` f Q ª n a U t i f y ` E C x U i ` t ` a B t B ø B y ` U C H

i f T q C i ` y B t t f Q ª C y x q E f B t ` a C ` t B ø B y ` U C H i f T q C i ` y B t t U T q H U B t i f T q C i ` y B t t

n f q E f B ` a B i f y B E t B X B t a f X ` a C ` U Q C t q C i B U t y f ` t B ø B y ` U C H H i f T q C i `

` a B y U ` U t y f ` i f T q C i ` q q f t B ` a C ` ª a C t C t B ø B y i B

ì F

X U ` a y f i f y B E d B y `

t j t B ø B y i B i a C t B ø B y i B T t ` i f y ` C U y C y U y y U ` B y T j B E f Q x U t ` U y i ` q f U y ` t

t f X B i C y C t t T B X U ` a f ` H f t t f Q d B y B E C H U ` ` a C `

ìÇ

V

ñ

ìF

Q f E È

V

ñ

B `

ì

ð ª Q ` a B f q B y j C H H k

ì

i f y ` C U y t C q f U y ` U y ` a B t B ø B y i B ` a C ` U t x U t ` U y i `

Q E f T

ì

Q f E B B E

´ µ

ï ` a B y

ì

U t ` a B H U T U ` f Q C t j t B ø B y i B X a U i a i f y ` E C x U i ` t ` a B

8/14/2019 metric and normed spaces

http://slidepdf.com/reader/full/metric-and-normed-spaces 27/34

ºÌ Í Ï È Ç Ä É Ã Ð Ð Á ½

C t t T q ` U f y ` a C ` ` a B t B ø B y i B a C t y f i f y B E d B y ` t j t B ø B y i B U y ª

Á

B y i B ` a B E B U t

C y

´

7

µ

ï t i a ` a C ` ` a B f q B y j C H H k Í

ì

i f y ` C U y t B U ` a B E y f q f U y ` t U y ` a B t B ø B y i B

U Q

ì

U ` t B H Q x f B t y f ` j B H f y d ` f ` a B t B ø B y i B f E f y B q f U y ` U Q

ì

j B H f y d t ` f ` a B t B ø B y i B

n a B i f H H B i ` U f y f Q f q B y j C H H t ! k Í

ì

© ì

ð ª # U t C y f q B y i f B E f Q ª B E

y U ` B t j i f H H B i ` U f y f Q f q B y j C H H t i f y ` C U y t C ` T f t ` ` B E T t f Q ` a B t B ø B y i B U y i B

` a B ` B E T t f Q ` a B t B ø B y i B C E B x U t ` U y i ` y f y U ` B t j i f H H B i ` U f y i f B E t ª n a t ª

a C t C y f q B y i f B E X U ` a y f y U ` B t j i f B E C y x ª U t y f ` i f T q C i `

y Q ` E B X B X U H H C j j E B U C ` B t B ø B y ` U C H H i f T q C i ` ` f i f T q C i ` X a B y E B Q B E

E U y d ` f T B ` E U i t q C i B t n a B Q f H H f X U y d ` B E T U y f H f d U t f Q ` B y i f y B y U B y `

i 0

t j t B ` 2   f Q C T B ` E U i t q C i B U t ÷ ¯ - ± ¸ « ÷ ´ ± ® U Q U ` t i H f t E B U y

U t i f T q C i `

n a B ` B E T E B H C ` U B H i f T q C i ` U t Q E B ø B y ` H t B x U y t ` B C x f Q q E B i f T q C i ` n a U t

x B y U ` U f y T B C y t ` a C ` 2   U t q E B i f T q C i ` U Q B B E t B ø B y i B U y 2   a C t C i f y B E d B y `

t j t B ø B y i B n a B H U T U ` f Q ` a B t j t B ø B y i B i C y j B C y q f U y ` U y C y x U t y f `

E B ø U E B x ` f j B H f y d ` f 2   U y i B i f T q C i ` t B ` t C E B i H f t B x C t B ` U t i f T q C i ` U Q C y x f y H

U Q U ` U t i H f t B x C y x q E B i f T q C i ` t j t B ` f Q C i f T q H B ` B T B ` E U i t q C i B U t q E B i f T q C i `

U Q C y x f y H U Q U ` U t ` f ` C H H j f y x B x

   ¡

£ ¥ i W

t j t B ` f Q ¾

F

U t q E B i f T q C i ` U Q C y x f y H U Q U ` U t j f y x B x

· f y ` U y f t Q y i ` U f y t f y i f T q C i ` t B ` t a C B t B B E C H y U i B q E f q B E ` U B t E f T Õ E f q f

t U ` U f y i f y ` U y f t Q y i ` U f y t q E B t B E B ` a B i f y B E d B y i B f Q t B ø B y i B t ` Q f H H f X t

U T T B x U C ` B H Q E f T B y U ` U f y Ñ ` a C ` i f y ` U y f t Q y i ` U f y t q E B t B E B i f T q C i ` y B t t

i i

B ` ºª

¼ X j B i f y ` U y f t f y ª X a B E B ª U t C i f T q C i ` T B ` E U i

t q C i B C y x X U t C y T B ` E U i t q C i B n a B y

ª U t i f T q C i `

U y i B i f T q C i ` t B ` t C E B j f y x B x i f y ` U y f t Q y i ` U f y t f y C i f T q C i ` t B ` C E B

j f y x B x f E B f B E i f y ` U y f t Q y i ` U f y t f y i f T q C i ` t B ` t C E B y U Q f E T H i f y ` U y f t

i

B ` º ª

¼ X j B C i f y ` U y f t Q y i ` U f y f y C i f T q C i ` t B ` ª

n a B y U t y U Q f E T H i f y ` U y f t

q q f t B ` a C ` U t y f ` y U Q f E T H i f y ` U y f t n a B y ` a B E B U t C y

´ µ

ï t i a

` a C ` Q f E C H H #

µ

ï ` a B E B C E B

ì

¿ í ð X U ` a¹

ì

¿ í ° # C y x¹

ì

¿

í î

´

n C U y d

#ñ ³ Q f E ð ª X B y x ` a C ` ` a B E B C E B t B ø B y i B t

ì F

C y x

í

F

U y t i a ` a C `

¹

ìF

¿ í

F

°

¿ ¹

ìF

¿

í

F

î

´

%

U y i B ª U t i f T q C i ` ` a B E B C E B i f y B E d B y ` t j t B ø B y i B t f Q

ì F

C y x

í

F

X a U i a

Q f E t U T q H U i U ` X B C d C U y x B y f ` B j

ìF

C y x

í

F

E f T

` a B t j t B ø B y i B t

i f y B E d B ` f ` a B t C T B H U T U ` j ` ` a B t B ø B y i B t

ì F

C y x

í

F

B U ` a B E x U B E d B f E

i f y B E d B ` f x U Q B E B y ` H U T U ` t n a U t i f y ` E C x U i ` t ` a B i f y ` U y U ` f Q

8/14/2019 metric and normed spaces

http://slidepdf.com/reader/full/metric-and-normed-spaces 28/34

Á Ò Â Ã Ä Å Æ Ç È É Ê Ë Ì Å Í Ã Ê Î Ï È Ç Ã Ð

¡

C U T T C y x T U y U T T q E f j H B T t C E B f Q i B y ` E C H U T q f E ` C y i B U y C q q H U i C ` U f y t f E

B C T q H B U y T C y q a t U i C H t t ` B T t ` a B B ø U H U j E U T t ` C ` B U t f y B X a U i a T U y U T U ù B t

B y B E d f E T C U T U ù B t B y ` E f q C y x U y f q ` U T U ù C ` U f y q E f j H B T t ` a B x B t U E C j H B t ` C ` B f Q

C t t ` B T U t f y B X a U i a T U y U T U ù B t C y C q q E f q E U C ` B i f t ` Q y i ` U f y n a B T C ` a B T C ` U i C H

Q f E T H C ` U f y f Q ` a B t B q E f j H B T t U t ` a B T C U T U ù C ` U f y f E T U y U T U ù C ` U f y f Q C E B C H C H B x

Q y i ` U f y f y C t ` C ` B t q C i B C i a q f U y ` f Q ` a B t ` C ` B t q C i B X a U i a U t f Q ` B y C T B ` E U i

t q C i B E B q E B t B y ` t C q f t t U j H B t ` C ` B f Q ` a B t t ` B T n a B B U t ` B y i B f Q C T C U T U ù U y d f E

T U y U T U ù U y d q f U y ` f Q U y T C y f ` j B C ` C H H i H B C E ó U y x B B x t i a C q f U y ` T C

y f ` B U t ` n a B Q f H H f X U y d ` a B f E B T d U B t t Ì i U B y ` i f y x U ` U f y t Q f E ` a B B U t ` B y i B f Q

T C U T U ù U y d f E T U y U T U ù U y d q f U y ` t y C T B H ` a C ` ` a B Q y i ` U f y U t i f y ` U y f t C y x

` a B t ` C ` B t q C i B U t i f T q C i ` H ` a f d a ` a B t B i f y x U ` U f y t C E B Q y x C T B y ` C H ` a B C E B

` f f t ` E f y d ` f j B t B Q H U y T C y C q q H U i C ` U f y t A B X U H H E B ` E y ` f ` a B t B U t t B t H C ` B E

f y

i

B ` ª j B C i f T q C i ` T B ` E U i t q C i B C y x º ª

¼ ¾ C i f y ` U y f t

E B C H C H B x Q y i ` U f y n a B y U t j f y x B x f y ª C y x C ` ` C U y t U ` t T C U T T C y x T U y U

T T n a C ` U t ` a B E B C E B q f U y ` t

ì

¿ í ð ª t i a ` a C `

ì

ñ U y Q

Î

ø

«

õ ¿

í ñ t q

Î

ø

«

õ %

Ñ

E f T n a B f E B T Û Û ` a B U T C d B

ª U t C i f T q C i ` t j t B ` f Q ¾ C y x ` a B E B

Q f E B U t j f y x B x j ` a B

Á

B U y B Ú f E B H ` a B f E B T U y n a B f E B T Ñ Û

` U t B y f d a ` f q E f B ` a C ` C ` ` C U y t U ` t U y T T j B i C t B ` a B C q q H U i C ` U f y f Q ` a U t

E B t H ` ` f

U T q H U B t ` a C ` C ` ` C U y t U ` t t q E B T T U y i B U t j f y x B x U ` U t j f y x B x

Q E f T j B H f X C y x ` a B U y T T È f Q f y ª U t y U ` B Ú ` a B x B y U ` U f y f Q ` a B U y T T

Q f E B C i a ð ª ` a B E B U t C y

ì F

ð ª t i a ` a C `

È ô

ìF

° È ö

%

n a U t U y B ø C H U ` U T q H U B t ` a C `

H U T

F ¹

ìF

ñ È %

Û

n a B t B ø B y i B

ì F

F ¬

5

y B B x y f ` i f y B E d B j ` t U y i B ª U t i f T q C i ` ` a B t B ø B y i B

a C t C i f y B E d B y ` t j t B ø B y i B X a U i a X B x B y f ` B j

ìF

®

B

¬

5

A B x B y f ` B ` a B H U T U `

f Q ` a B t j t B ø B y i B j

ì

n a B y t U y i B U t i f y ` U y f t X B a C B Q E f T

Û ` a C `

ì

ñ H U T

B

¹

ì F ®

ñ È %

n a B E B Q f E B C ` ` C U y t U ` t U y T T È C `

ì

n a B t ` E C ` B d f Q ` a U t q E f f Q U t ` q U i C H f Q T C y i f T q C i ` y B t t C E d T B y ` t A B i f y

t ` E i ` C t B ø B y i B f Q C q q E f U T C ` B t f H ` U f y t f Q f E q E f j H B T U y ` a U t i C t B C T U y U T U ù U y d

8/14/2019 metric and normed spaces

http://slidepdf.com/reader/full/metric-and-normed-spaces 29/34

Â È Ï Æ Í È È É Ê Í Æ É Æ Í È Á â

t B ø B y i B

ì F

` a C ` t C ` U t B t

Û A B t B i f T q C i ` y B t t ` f B ` E C i ` C i f y B E d B y ` t j

t B ø B y i B C y x t a f X ` a C ` ` a B H U T U ` f Q ` a B i f y B E d B y ` t j t B ø B y i B U t C t f H ` U f y f Q f E

q E f j H B T U y ` a U t i C t B C q f U y ` X a B E B C ` ` C U y t U ` t U y T T n a B Q f H H f X U y d B C T q H B t

U H H t ` E C ` B n a B f E B T Û

C y x t f T B q f t t U j H B j B a C U f E t f Q T U y U T U ù U y d t B ø B y i B t

   ¡

£ ¥ i

n a B Q y i ` U f y

ì

ñ

ì Ð

³

ì

8

³ U t i f y ` U y f t C y x j f y x B x f y

ÿ

¿   ` C ` ` C U y t U ` t T U y U T T C `

ì

ñ þ y B C T q H B f Q C T U y U T U ù U y d t B ø B y i B

ì F

U t d U B y j

ì F

ñ

F

y Q C i `

ì F

ñ U y Q

ì

Q f E C H H n a U t T U y U T U ù U y d

t B ø B y i B x f B t y f ` i f y B E d B j B i C t B U ` t ` B E T t k T q j C i C y x Q f E ` a j B ` X B B y

ì

ñ

C y x

ì

ñ n a B t j t B ø B y i B t

ì

8 B ± 5 C y x

ì

8 B i f y B E d B ` f

ì

ñ

C y x

ì

ñ

E B t q B i ` U B H

t ` a U t B C T q H B t a f X t ` a B i f T q C i ` y B t t C E d T B y ` x f B t y f ` U T q H ` a C ` C q f U y `

X a B E B C ` ` C U y t U ` t T U y U T T U t y U ø B n a B E B C E B T C y q f t t U j H B T U y U T U ù U y d t B

ø B y i B t C y x ` a B E B T C j B t j t B ø B y i B t f Q C d U B y T U y U T U ù U y d t B ø B y i B ` a C ` i f y

B E d B ` f x U Q B E B y ` H U T U ` t Q a f X B B E ` a B Q y i ` U f y C ` ` C U y t U ` t T U y U T T C ` C

y U ø B q f U y ` ` a B y U ` Q f H H f X t Q E f T B E i U t B ` a C ` B B E T U y U T U ù U y d t B ø B y i B

T t ` i f y B E d B ` f ` a C ` q f U y `

   ¡

£ ¥

n a B Q y i ` U f y

ì

ñ Ä 7

U t i f y ` U y f t C y x j f y x B x Q E f T j B H f X

f y ` a B y f y i f T q C i ` t B ` ¾ n a B U y T T f Q f y ¾ U t ù B E f j ` x f B t y f ` C ` ` C U y

U ` t U y T T y B C T q H B f Q C T U y U T U ù U y d t B ø B y i B

ì F

U t d U B y j

ì F

ñ n a B

` B E T t f Q ` a B T U y U T U ù U y d t B ø B y i B B t i C q B ` f U y y U ` C y x U ` a C t y f i f y B E d B y `

t j t B ø B y i B

   ¡

£ ¥

n a B x U t i f y ` U y f t Q y i ` U f y f y ` a B i f T q C i ` t B `

ÿ

ï ¿   x B y B x j

ì

ñ

d

H f d

ì

U Q ï °

ì

ô ¿

ï U Q

ì

ñ ï ¿

U t y f ` j f y x B x Q E f T j B H f X t B ø B y i B

ì F

U t C T U y U T U ù U y d t B ø B y i B U Q

ì F

¼ ï C t

¼ y ` a C ` i C t B

ì F

¼

C t ¼ j ` U t x U t i f y ` U y f t C ` ` a B H U T U `

q f U y `

ì

ñ ï

f T B f Q ` a B i f y i H t U f y t f Q n a B f E B T Û

t ` U H H a f H x Q f E t B T U i f y ` U y f t Q y i ` U f y t

y C H T f t ` U x B y ` U i C H q E f f Q t a f X t ` a B Q f H H f X U y d E B t H `

§

B ` ª j B C i f T q C i ` T B ` E U i t q C i B Q ºª

¼ ¾ U t q q B E t B T U i f y

` U y f t ` a B y U t j f y x B x Q E f T C j f B C y x C ` ` C U y t U ` t t q E B T T Q º ª

¼ ¾ U t

H f X B E t B T U i f y ` U y f t ` a B y U t j f y x B x Q E f T j B H f X C y x C ` ` C U y t U ` t U y T T

   ¡

£ ¥

A B x B y B ¿ º

ÿ

ï ¿   ¼ ¾ j

ì

ñ d

ì

U Q ï °

ì

ô ¿

U Q

ì

ñ ï ¿

ì

ñ d

ì

U Q ï °

ì

ô ¿

U Q

ì

ñ ï %

n a B Q y i ` U f y U t q q B E t B T U i f y ` U y f t C y x x f B t y f ` C ` ` C U y U ` t U y T T X a U H B

U t H f X B E t B T U i f y ` U y f t C y x C ` ` C U y t U ` t T U y U T T C `

ì

ñ ï

8/14/2019 metric and normed spaces

http://slidepdf.com/reader/full/metric-and-normed-spaces 30/34

ëü Â Ã Ä Å Æ Ç È É Ê Ë Ì Å Í Ã Ê Î Ï È Ç Ã Ð

Ò

f E U y ` E f x i ` U f y t ` f j C t U i E B C H C y C H t U t t B B C E t x B y C y x

Á

f Q T C y

ÿ

  f E x U y

ÿ

  U T T f y t

ÿ

Ñ ï   d U B t C i H B C E C y x C i i B t t U j H B x U t i t t U f y f Q T B ` E U i y f E T B x C y x

` f q f H f d U i C H t q C i B t f E H U y B C E C H d B j E C t B B

Á

C H T f t

ÿ

  C y x C

ÿ

ï   n X f f ` a B E

j f f t X U ` a C t U T U H C E q E q f t B ` f ` a U t f y B C E B C H f E C y x B H H

ÿ

ï   C y x ` C d f H x

ÿ

Ñ  

   ¡

   ¡

t B ` 2   U t ± ¸ · µ ® ´ b û þ ° µ ó µ ° ® - U Q ` a B E B U t C f y B ` f f y B f y ` f T C q Q E f T 2  

` f ª t B ` U t ± ¸ · µ ® ´ b û - U Q U ` U t y U ` B f E i f y ` C j H U y y U ` B f ` a B E X U t B U ` U t · µ ± ¸ · µ ® ´ b û -

C Õ E f B ` a C ` ` a B t B `

g

f Q E C ` U f y C H y T j B E t U t i f y ` C j H U y y U ` B

j Õ E f B ` a C ` ` a B t B ` ¾ f Q E B C H y T j B E t U t y i f y ` C j H B

   ¡

§

É U B C y

´

# q E f f Q ` a C `

Ð

F ¬

ì

F

ñ

ì

¿

X a B y

© ì ©

°

   ¡

Q

ì

í õ C E B q f U y ` t U y C T B ` E U i t q C i B

¿¹

t a f X ` a C `

¹

ì

¿ í î

©

¹

ì

¿ õ

¹

í ¿ õ

©

%

   ¡

0

q q f t B ` a C `

¿¹

t C y x

X ¿¹

a

C E B T B ` E U i t q C i B t Õ E f B ` a C ` ` a B

· C E ` B t U C y q E f x i ` Ô ñ » X U t C T B ` E U i t q C i B X U ` a T B ` E U i¹

x B y B x j

¹

õ5

¿ õ8

ñ¹

t

ì

5¿

ì

8 ö

¹

a

í5

¿ í8

¿

X a B E B õ5

ñ

ì

5¿ í

5 C y x õ

8ñ

ì

8¿ í

8

   ¡

W

q q f t B ` a C `

¿

d

U t C y f E T B x H U y B C E t q C i B Õ E f B ` a C `

C y x

x B y B T B ` E U i t f y

   ¡

i

` C E ` U y d Q E f T ` a B Q C i ` ` a C ` ¾ B ø U q q B x X U ` a U ` t t C H x U t ` C y i B Q y i

` U f y U t i f T q H B ` B q E f B ` a C ` ¾

F

B ø U q q B x X U ` a ` a B t T T C U T T f E i H U x B C y

y f E T U t i f T q H B ` B

   ¡

a f X ` a C ` ` a B t B E U B t

Ð

F ¬

5

F

U t y f ` C j t f H ` B H i f y B E d B y ` a f X ` a C ` j q B E T ` U y d ` a B ` B E T t f Q ` a U t t B E U B t f y B

i C y f j ` C U y t B E U B t X U ` a x U Q B E B y ` H U T U ` t

8/14/2019 metric and normed spaces

http://slidepdf.com/reader/full/metric-and-normed-spaces 31/34

ÕÏ

Ã Å Ç Æ Ð Ã Ðë

À

   ¡

B `

ì F

j B C t B ø B y i B f Q E B C H y T j B E t q f U y ` Ö ð ¾ ! þ # U t

i C H H B x C ± û · ³ ® - ¯ ÷ ¸ ° µ ® f Q

ì F

U Q ` a B E B U t C i f y B E d B y ` t j t B ø B y i B f Q

ì F

X U ` a H U T U `

Ö B ` m x B y f ` B ` a B t B ` f Q i H t ` B E q f U y ` t f Q

ìF

Õ E f B ` a C ` m U t i H f t B x C y x

H U T t q

ì F

ñ T C m C y x H U T U y Q

ì F

ñ T U y m %

   ¡

B `

ì F

j B C j f y x B x t B ø B y i B f Q E B C H y T j B E t

C Õ E f B ` a C ` Q f E B B E

´ µ

ï C y x B B E ¶ ð ª ` a B E B C E B 5 ¿ 8 î ¶ t i a ` a C `

H U T t q

F ¹

ì F

ô

ì F

³ö

´

¿

ì F

·

´

ô H U T U y Q

F ¹

ì F

%

j Õ E f B ` a C ` Q f E B B E

´ µ

ï ` a B E B U t C y ¶ ð ª t i a ` a C `

ì Ç

ô H U T t q

F ¹

ì F

ö

´

¿

ì Ç

î H U T U y Q

F ¹

ì F

´

Q f E C H H È î ¶

i Õ E f B ` a C `

ì F

i f y B E d B t U Q C y x f y H U Q

H U T U y Q

F ¹

ìF

ñ H U T t q

F ¹

ìF

%

   ¡

· f y t U x B E C Q C T U H !

ì F ¤ õ

# f Q E B C H y T j B E t U y x B B x j ð ª C y x

ö

ð 2   Õ E f B ` a B Q f H H f X U y d E B H C ` U f y t º

H U T t q

F ¹

U y Q

õ

ìF ¤ õ

z

ô U y Q

õ

ÂH U T t q

F ¹

ìF ¤ õ

Ã

ó

t q

õ

H U T U y Q

F ¹

ì F ¤ õ

z

ô H U T U y Q

F ¹

 t q

õ

ì F ¤ õ

Ã

%

   ¡

Q

ìF

U t C t B ø B y i B f Q E B C H y T j B E t t i a ` a C `

H U T

F ¹

ì F

ñ

ì

¿

C y x 3

F

ô

ì F

ô p

F

q E f B ` a C `

H U T t q

F ¹

3

F

ô

ì

ô H U T U y Q

F ¹

p

F

%

   ¡

§

B `

¿¹ t

¿

X ¿¹

a

C y x

Ô¿

¹ × j B T B ` E U i t q C i B t C y x H B `

º ¼

X C y x º

X ¼ Ô j B i f y ` U y f t Q y i ` U f y t a f X ` a C ` ` a B i f T q f t U ` U f y

Ø

ñ º

¼ Ô ¿

x B y B x j

Ø

ì

ñ

ì

U t C H t f i f y ` U y f t

   ¡

Q y i ` U f y º

¾ ¼ ¾ U t t C U x ` f j B ² °Ù

- ¯ - µ ® ° ´ b û - C `

ì

U Q ` a B Q f H H f X U y d

H U T U ` B U t ` t C y x U t y U ` B º

ñ ì

ñ H U T

Ú

¹

ì

ö

Ø

ì

Ø

%

8/14/2019 metric and normed spaces

http://slidepdf.com/reader/full/metric-and-normed-spaces 32/34

ëÁ Â Ã Ä Å Æ Ç È É Ê Ë Ì Å Í Ã Ê Î Ï È Ç Ã Ð

C Õ E f B ` a C ` U Q U t x U Q B E B y ` U C j H B C `

ì

` a B y U t i f y ` U y f t C `

ì

j a f X ` a C ` ` a B Q y i ` U f y

ì

ñ d

ì

8

t U y Û ³

ì

8 Ü

U Q

ì V

ñ ï ¿

ï U Q

ì

ñ ï %

U t x U Q B E B y ` U C j H B C `

ì

ñ ï j ` ` a B x B E U C ` U B U t y f ` i f y ` U y f t C `

ì

ñ ï

i Õ E f B ` a C ` U Q U t x U Q B E B y ` U C j H B C `

ì

C y x a C t C H f i C H T C U T T f E T U y U T T

C `

ì

` a B y ñ

ì

ñ ï

   ¡

0

Q º

ÿ

3 ¿ p   ¼ ¾ U t i f y ` U y f t f y

ÿ

3 ¿ p   C y x x U Q B E B y ` U C j H B U y

3 ¿ p

` a B y q E f B ` a C ` ` a B E B U t C 3 ° Ý ° p t i a ` a C `

p

3 ñ

ñ

Ý

p

3 %

n a U t E B t H ` U t i C H H B x ` a B « - ´ µ n ´ û · - ® Å - ¸ ¯ - « B x i B ` a C ` U Q ñ

ì

ñ ï Q f E C H H

3 °

ì

° p ` a B y U t C i f y t ` C y ` Q y i ` U f y

   ¡

W

Õ E f B ` a C ` B B E i f T q C i ` t j t B ` f Q C T B ` E U i t q C i B U t i H f t B x C y x

j f y x B x Õ E f B ` a C ` C i H f t B x t j t B ` f Q C i f T q C i ` t q C i B U t i f T q C i `

   ¡

i

q q f t B ` a C ` m C y x l C E B i H f t B x C y x f q B y t j t B ` t f Q ¾

F

E B t q B i

` U B H t i a ` a C ` m ò l a f X ` a C ` ` a B E B U t C i f y ` U y f t Q y i ` U f y º

¾

F

¼ ¾ t i a

` a C `º

C ï ô

ì

ô ó

j

ì

ñ Q f E

ì

ð m ó

i

ì

ñ ï Q f E

ì

ð l

o

Þß à á · f y t U x B E ` a B Q y i ` U f y

ì

ñ

¹

ì

¿ l o

¹

ì

¿ l

o

ö¹

ì

¿ m

%

n a U t E B t H ` U t i C H H B x â ¯ þ ³ ¸ Å µ ã ³ û - « « ´

   ¡

B `

m ¿ ¹ j B C i f T q H B ` B T B ` E U i t q C i B C y x X ò Õ E f B ` a C `

X ¿¹

U t i f T q H B ` B U Q C y x f y H U Q X U t C i H f t B x t j t B ` f Q

   ¡

B `

¿¹

j B C T B ` E U i t q C i B C y x H B `

ì F

j B C t B ø B y i B U y

Õ E f B ` a C ` U Q

ì F

a C t C · C i a t j t B ø B y i B ` a B y Q f E C y x B i E B C t U y d t B ø B y i B f Q

q f t U ` U B

´

B ¼ ï ` a B E B U t C t j t B ø B y i B

ìF

®

f Q

ìF

t i a ` a C `

¹

ìF ®

¿

ìF ä

ô

´

BQ f E C H H 1 ô %

   ¡

f H H f X U y d ` a B i f y t ` E i ` U f y f Q ` a B · C y ` f E t B ` m j ` a B E B T f C H f Q

T U x x H B ` a U E x t X B x B y B C Q y i ` U f y m f y ` a B i f T q H B T B y ` f Q ` a B · C y ` f E t B `

ÿ

ï ¿   m

C t Q f H H f X t U E t ` X B x B y B m

ì

ñ ³ Q f E ³ °

ì

° ³ n a B y m

ì

ñ ³ Q f E

³ °

ì

° ³ C y x m

ì

ñ ³ Q f E ³ °

ì

°

³ C y x t f f y Õ E f B ` a C ` m B ` B y x t

8/14/2019 metric and normed spaces

http://slidepdf.com/reader/full/metric-and-normed-spaces 33/34

ÕÏ

Ã Å Ç Æ Ð Ã Ðë ë

` f C y U ø B i f y ` U y f t Q y i ` U f y mº

ÿ

ï ¿   ¼ ¾ Õ E f B ` a C ` m U t x U Q B E B y ` U C j H B C `

B B E

ì

ð ¾ m C y x m ñ

ì

ñ ï n a U t Q y i ` U f y U t i C H H B x ` a B q ´ µ ® ¸ ¯ ¶ · µ ± ® ° ¸ µ ` t

d E C q a U t t f T B ` U T B t i C H H B x ` a B ² - n ° û ã ³ ³ ® ´ ° ¯ ± ´ ³ -

   ¡

§

B ` j B C y f E T B x H U y B C E t q C i B t B E U B tÏ

ìF

U y U t ´ b ³ ¸ û · ® - û þ

± ¸ µ n - ¯ ú - µ ® U QÏ

ì F

i f y B E d B t ` f C y U ` B C H B U y ¾ Õ E f B ` a C ` U t C Ú C y C i a

t q C i B U Q C y x f y H U Q B B E C j t f H ` B H i f y B E d B y ` t B E U B t i f y B E d B t

   ¡

§

q q f t B ` a C ` U t C Ú C y C i a t q C i B C y x

ì Ç F

U t C x f j H U y x B B x

t B ø B y i B U y t i a ` a C `

Ð

Ç ¬

5

Ð

F ¬

5

ì Ç F

° %

Õ E f B ` a C `

Ð

Ç ¬

5 å

Ð

F ¬

5

ì Ç F æ

ñ

Ð

F ¬

5 å

Ð

Ç ¬

5

ì Ç F æ

%

   ¡

§ §

B ` ç j B C t B ` E B H C ` U f y j B ` X B B y q f U y ` t f Q ç U t i C H H B x C y

- ü · ° n ´ û - µ ± - ¯ - û ´ ® ° ¸ µ U Q Q f E C H H 3 ¿ p ¿ Ö ð ç X B a C B º

C 3 3 ó

j 3 p U T q H U B t p 3 ó

i 3 p C y x p Ö U T q H U B t 3 Ö

B y B ` a B B ø U C H B y i B i H C t t m

s

C t t f i U C ` B x X U ` a 3 ð ç j

m

s

ñ ! p ð ç

©

3 p # %

Õ E f B ` a C ` ` X f B ø U C H B y i B i H C t t B t C E B B U ` a B E x U t k f U y ` f E B ø C H t f q C E ` U ` U f y t ç U y ` f

C y U f y f Q x U t k f U y ` B ø U C H B y i B i H C t t B t a f X ` a C ` ` a B E B H C ` U f y j B ` X B B y · C i a

t B ø B y i B t x B y B x U y ` a B q E f f Q f Q n a B f E B T Ñ U t C y B ø U C H B y i B E B H C ` U f y

   ¡

§

q q f t B ` a C ` º

¼ ¾ U t H f X B E t B T U i f y ` U y f t C y x U t C E B C H

y T j B E B y B èº

¼ ¾ j

è

ì

ñ T U y

ì

¿ %

Õ E f B ` a C ` è U t H f X B E t B T U i f y ` U y f t

   ¡

§ 0

B ` º

¼ ¾ j B C E B C H C H B x Q y i ` U f y f y C t B ` n a B - ÷ ° ú ¯ ´ ÷ Å

B q U f Q U t ` a B t j t B ` f Q » ¾ i f y t U t ` U y d f Q q f U y ` t ` a C ` H U B C j f B ` a B d E C q a f Q º

B q U ñ !

ì

¿

ð » ¾

©

î

ì

# %

Õ E f B ` a C ` C Q y i ` U f y U t H f X B E t B T U i f y ` U y f t U Q C y x f y H U Q U ` t B q U d E C q a U t C i H f t B x

t B `

8/14/2019 metric and normed spaces

http://slidepdf.com/reader/full/metric-and-normed-spaces 34/34

ë Â Ã Ä Å Æ Ç È É Ê Ë Ì Å Í Ã Ê Î Ï È Ç Ã Ð

   ¡

§ W

Q y i ` U f y º ¾

F

¼ ¾ U t ± ¸ - ¯ ± ° n - U Q

H U T

é

7

é

¹

ì

ñ %

q H U i U ` H ` a U t i f y x U ` U f y T B C y t ` a C ` Q f E C y

µ

ï ` a B E B U t C y ê

µ

ï t i a ` a C `

ì

î ê U T q H U B t

ì

î Õ E f B ` a C ` U Q º

¾

F

¼ ¾ U t H f X B E t B T U i f y ` U y f t C y x

i f B E i U B ` a B y U t j f y x B x Q E f T j B H f X C y x C ` ` C U y t U ` t U y T T

   ¡

§ i

B ` ëº

¾

8

¼ ¾ j B C q f H y f T U C H Q y i ` U f y f Q ` X f E B C H C E U C j H B t

q q f t B ` a C ` ë

ì

¿ í î ï Q f E C H H

ì

¿ í ð ¾ f B t B B E t i a Q y i ` U f y C ` ` C U y U ` t

U y T T ì Õ E f B f E x U t q E f B

   ¡

§

q q f t B ` a C `

ìF

U t C t B ø B y i B U y C i f T q C i ` T B ` E U i t q C i B X U ` a

` a B q E f q B E ` ` a C ` B B E i f y B E d B y ` t j t B ø B y i B a C t ` a B t C T B H U T U `

ì

Õ E f B ` a C `

ìF

¼

ì

C t ¼