metrische markow-ketten klaus frieler universität hamburg musikwissenschaftliches institut

Metrische Markow-Ketten

Klaus FrielerUniversität Hamburg

Musikwissenschaftliches Institut


Einleitung

• Metrisch gebundene Musik verfügt über zwei Apsekte musikalischer Zeit:

Lineare Zeit

Zyklische Zeit• Der zyklische Aspekt ist vor allem in genuiner

Rhythmus und Metrumsforschung untersucht worden• Gelegentliche Kreisdarstellungen, meisten

beschränkt auf eintaktige Patterns oder Strukturen von Metren.


Einleitung

• Verallgemeinerung: Metrische Kreisabbildung (MKA)

• Einführung von Metrischen Markow-Ketten (MMK)

• Kompakte Visualisierung von einzelnen oder mehreren Rhythmen auf dem metrischen Kreis.

• Definition der Metrischen Entropie (ME) als Kennzahl für metrische Variabialiät und Strukturiertheit.


Metrische Kreisabbildung

• Rhythmen darsgestellt als streng monoton-wachsende Folge von Zeitpunkten ti

• Annahme hier: Metrische Rhythmen mit Taktlänge T. • Metrische Kreisabbildung vom Rhythmus auf den

Einheitskreis in der komplexen Ebene

• Zeit läuft gegen den Uhrzeigersinn. Der freie Parameter erlaubt,die Taktanfänge auf einen Punkt abzubilden, hier: (1,0) oder 3 Uhr.



• Definiere N nicht-überlappende Kreissegmente mit Mittelpunkten auf den N-ten Einheitswurzeln (bei Winkeln 360°/N)

• Jeder Punkt der MKA ist liegt dann in genau einem Intervall.

• Wir erhalten eine Folge von Kreisindizes für einen Rhythmus.



• Markow-Ketten ergeben sich dann als Besetzungs- und Übergangswahrscheinlichkeiten (0. und 1. Ordnung) zwischen Kreisindizes.

• Bem.: Markow-Ketten lassen sich auch für andere musikalische Parameter definieren und wurden oft für algorithmische Kompositon eingesetzt.


Visualisierung

• Beispiel: Mandy von Barry Manilow


Visualisierung

• Beispiel: Drumgroove „Cross-Fade“ von Steve Coleman (9/4). (OL: Hihat, OR: Cowbell, UL: Kick, UR: Snare)


Metrische Entropie

• Informationsentropie wurde 1948 von Claude Shannon für die Signaltechik eingeführt.

• Sie ist ein Maß für die „Information“ die in einer Wahrscheinlichkeitsverteilung enthalten ist, in diesem Sinne: Wieviele Ja/Nein-Fragen muss man im Mittel

stellen um das Ergebnis eines Zufallsexperiment herauszufinden.

• Einheit: Bits.


Metrische Entropie

• Sei eine Zufallsvariable (Wahrscheinlichkeitsverteilung) mit N Wahrscheinlichkeiten pi gegeben. Dann ist die Entropie

H = - pi log2 pi • Sehr sichere und sehr unsichere Ereignisse

transportieren wenig Information. • Maximale Entropie bei Gleichverteilung:

pi = 1/N


Metrische Entropie

• Wir definieren für die Metrischen Markow-Ketten Entropie 0. und 1. Ordnung, h0 and h1, normalisiert

auf Werte zwischen 0 und 1.

• h0 ist Entropie der Besetzungswahrscheinlichkeiten:

Desto mehr verschiedene metrische Positionen und desto gleichmäßiger sie eingenommen werden, desto höher ist die Entropie.

• Höchste Entropie bei vollkommen gleichmäßigen Schlagfolgen, aber auch bei vollkommen zufälligen.

• Entropie sinkt falls bestimmte Positionen bevorzugt werden („Besetzungakzente“)


Metrische Entropie

• h1 ist Entropie der Übergangswahrscheinlichkeiten. Desto mehr verschiedene Übergänge und desto gleichmäßiger

diese vorkommen, desto höher die Entropie

• Komplett zufällige Folgen haben höhere metrische Entropie 1. Ordnung als komplett strukturierte. Unterscheidungskriterium.

• Zusammengenommen bilden h0 und h1 Maß für metrische Variabilität.

• Interpretation im Sinne von Vorhersagbarkeit von Rhythmen.

• Frage: Metrisches Komplexitätsmaß? (keine Berücksichtung der Phasenlage und der metrischen Hierarchie)


Metrische Analyse von Melodiesammlungen

• Zur Demontstration der Methoden wurden 5 Liedsammlungen untersucht:– 61 Irische Volkslieder– 586 LuxemburgischeWeisen, – 149 Ostpolnische Kirchenlieder aus Warmia– 207 deutsche Kinderlieder – 53 zeitgenössische Pop songs (Boygroup-Songs

aus den Charts, Daten von Frank Riedemann)

• Transformation mit der MKA, Berechnung von MMK, Berechnung der ME


Verteilung der Signaturen

Signatur Kinder Warmia Luxemb. Irisch Pop

2/4 70,5 4,1 33,6 11,0

4/8 0,2

4/4 8,7 72,3 27,0 33,0 96,2

8/4 2,0

3 /8 3,9 1,4 2,0

3 /4 12,1 7,4 21,5 33,0

6/4 1,4 3,0 3,8

6/8 4,8 1,4 15,7 16,0

9/8 3,0

9/4 8,1

5/4 1,4

7/4 0,7

Zweier 79,2 78,4 60,8 44,0 96,2

Dreier 20,8 19,6 39,2 56,0 3,8

Ungerade 2,0


Visualisierung der Liedsammlungen

• Links Kinderlieder, rechts Warmia


Visualisierung der Liedsammlungen

• Links:Luxemburg, Mitte: Irische, Rechts: Pop


Verteilung der Metrischen Position

• Pop songs

0

50

100

150

200

250

300

350

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Index on the Metrical Circle (N=48)

Rel

. F

req

. (%

/10)

Irish Pop Children East-Polish Luxembourg


Verteilung der Metrischen Position

• Oben: Kinderlieder, unten: Pop songs

0

50

100

150

200

250

300

350

0 6 12 18 24 30 36 42 48

Circle Index

Rel.

Fre

q (

%*1

0)

0

2

4

6

8

10

12

14

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Circle Index (N=48)

Rel.

Fre

q.

(%)


Übergangswahrscheinlichktien

0

6

12

18

24

30

36

42

0 6 12 18 24 30 36 42

Circle Index (N=48)

Cir

cle

In

de

x (

N=

48

)

Pop

East-Polish

Luxembourg

Irish

Children


Metrische Entropien

• Links: 0. Ordnung, rechts: 1. Ordnung


Metrische Entropien: Vergleich

• Hochsignifikante Unterschiede in den Entropieverteilungen (p<.00). Ausnahme: Luxemburg und Warmia.

• Kinderlieder sind am „einfachsten“: Weniger metrische Variabilität (2/4 Takte!), Besetzungswahrscheinlichkeiten am stärksten akzentuiert.

• Popsongs zeigen größte Variabilität. Jede Achtelposition im 4/4 ist nahezu gleichwahrscheinlich. Viele Synkopen resultieren in höherer Zahl von Übergängen

• Kinderlieder und Luxemburgische Songs zeigen homogenste Verteilung, die Irischen Lieder haben die breiteste Streuung


Zusammenfassung und Ausblick

• Die MKA und die Metrischen Markow-Ketten sind zur Beschreibung und Charakterisierung von Rhythmen geeignet.

• Kompakte Visualisierung• Metrische Entropien sind zur Differenzierung von

Stilen geeignet (auf der Ebene von Sammlungen)• Mögl. Erweiterungen:

– Tonhöhe als Radius – Lineare Zeit als 3. Koordinate (Spiralen auf Zylindern) – Tonhöhe auf dem Quintenzirkel führt auf Torusdarstellung…– Metrische Ähnlichkeitsmaße

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