mfi mfk vjezbe
DESCRIPTION
Vježbe iz Mehanike fluida I.TRANSCRIPT
-
MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM ZAGRABIENSIS
UDBENICI SVEUILITA U ZAGREBU
FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE
Zdravko Virag, Mario avar, Ivo Dijan
M E H A N I K A F L U I D A I
Vjebe
Zagreb, 2015
-
Mehanika fluida I vjebe
Predgovor
U skriptama su dani osnovni materijali za vjebe iz kolegija Mehanika fluida I koji
se na Fakultetu strojarstva i brodogradnje, Sveuilita u Zagrebu predaje studentima
smjerova: Procesno energetski, Brodostrojarstvo, Inenjersko modeliranje i raunalne
simulacije te na studiju Zrakoplovstva, i Mehanika fluida K koji se predaje studentima
Konstrukcijskog smjera. Skripta su prvenstveno namijenjena za lake razumijevanje
praktinih i primijenjenih znanja u realnim situacijama. Svrha i cilj ovih skripata nije bio
da zamijene zbirke zadataka iz Mehanike fluida I, ve da studentima olakaju praenje
vjebi i omogue bre usvajanje praktinih znanja iz Mehanike fluida I.
Izbor zadataka koji je iznesen u ovim skriptama rezultat je gotovo etrdeset godina
kontinuiranog nastavnog rada na Katedri za mehaniku fluida. Na ovome mjestu se elimo
zahvaliti naim uiteljima i prethodnicima prof. dr. Mladenu Fancevu i prof. dr. Zdravku
Dolineru, koji su znaajno doprinijeli dananjem obliku nastave iz Mehanike fluida I.
U Zagrebu, 20.02.2015.
Zdravko Virag, Mario avar, Ivo Dijan
-
Mehanika fluida I vjebe I
POPIS NAJVANIJIH OZNAKA
Fizikalna veliina Oznaka Dimenzija Jedinica u
SI sustavu
povrina A, S L2 m2
brzina zvuka c LT-1
m/s
promjer D, d L m
sila F MLT-2
N
gravitacija g LT-2
m/s2
volumenski modul elastinosti K ML-1T-2 Pa
maseni protok m MT-1 kg/s
moment sile M ML2T
-2 Nm
snaga P ML2T
-3 W
tlak p ML-1
T-2
Pa
volumenski protok Q L3T
-1 m
3/s
potencijal masene sile U L2T
-2 m
2/s
2
specifina unutranja energija u L2T-2 J/kg
volumen fluida V L3 m
3
brzina strujanja fluida v LT-1
m/s
rad sile, energija W, E ML2T
-2 J
geodetska visina z L m
gustoa fluida ML-3
kg/m3
koeficijent kinematike viskoznosti L2T
-1 m
2/s
koeficijent dinamike viskoznosti ML-1
T-1
Pas
kutna brzina T-1
rad/s
koeficijent otpora trenja - -
naprezanje , ML-1
T-2
N/m2
kut - rad
-
II Mehanika fluida I vjebe
PREPORUENA LITERATURA
Virag, Z.: Mehanika fluida odabrana poglavlja, primjeri i zadaci, Sveuilite u Zagrebu,
Fakultet strojarstva i brodogradnje, Zagreb, 2002.
Fancev, M.: Mehanika fluida, Tehnika enciklopedija, 8, Hrvatski leksikografski zavod,
Zagreb, 1982.
Munson, B. R., Young, D. F., Okiishi, T. H.: Fundamentals of Fluid Mechanics, John
Wiley&Sons, Toronto, 1990.
White, F. M.: Fluid Mechanics, McGraw-Hill, 2003.
Cengel, Y. A., Cimbala, J. M.: Fluid Mechanics Fundamentals and Applications,
McGraw-Hill, 2006.
-
Zadaci
Mehanika fluida I vjebe 1
0. Vjebe
0.1 Na visini h=1 m, prema slici, nalazi se otvor cijevi iz koje izlazi mlaz fluida stalnom
brzinom v=8 m/s, pod kutom =49. Uz pretpostavku idealnog fluida i uz
zanemarenje trenja izmeu zraka i fluida odredite maksimalnu visinu H i duljinu L
koju e mlaz dosegnuti.
0.2 estica fluida giba se po zakrivljenoj putanji, prema slici. Odredite ubrzanje estice
fluida za sluaj da je brzina zadana u funkciji puta s, koji se mjeri du putanje.
0.3 Fluid konstantne gustoe struji stalnom brzinom v kroz svinutu cijev konstantnog
poprenog presjeka koja se nalazi u horizontalnoj ravnini. Primjenom zakona koliine
gibanja odredite smjer sile fluida na stijenku cijevi.
gpa
v
en
es
v=ves v=v s( )
s
estica fluida ili materijalna toka
-
Zadaci
2 Mehanika fluida I vjebe
1. Vjebe
1.1 Izraunati sljedee izraze primjenom pravila za mnoenje Kroneckerovim delta
simbolom:
a) ii , b) ij ij , c) ij ik jk , d) ij jk , e) ij ikA
1.2 Zapiite u indeksnoj notaciji komponente vektora 2f j .
1.3 Direktnim razvojem pokazati da za permutacijski simbol ijk vrijedi:
a) 6ijk kij
b) 0ijk j ka a
1.4 Odredite 2f komponentu vektorskog izraza: ji
j ji
j i
ccf b b
x x
.
1.5 Koristei indeksnu notaciju dokazati vektorske identitete:
a) a b c a c b a b c
b) 0a b a
1.6 Prikazati u indeksnoj notaciji sljedee vektorske identitete:
a) a b c d c a b d d a b c
b) a b c d a c b d b c a d
z = konst.
v
v
-
Zadaci
Mehanika fluida I vjebe 3
1.7 Razviti u indeksnu notaciju i prikazati simboliki sljedee izraze:
a) uv
b) ua
c) ua
d) u
1.8 Primjenom indeksne notacije izraunajte izraz a b b , uz pretpostavku da je a
okomito na b .
1.9 Zapiite u indeksnoj notaciji izraze za:
a) moment sile F u odnosu na ishodite
b) rad sile F na putu d r .
1.10 Izraunajte sferni, simetrini i antisimetrini dio tenzora
0 6 4
T 4 6 2
8 0 6
2. Vjebe
2.1 Odredite fluks vektora : dS
Q v n S po povrini S kocke brida a=2 s centrom u
ishoditu. Povrina S je orijentirana vektorom vanjske normale n , a vektor v je
1 2 1 2 3 2 2 3 3 33 6 3v x x e x x e x x x e .
-
Zadaci
4 Mehanika fluida I vjebe
2.2 Izraunajte vrijednost integrala dS
F pn S , gdje je S povrina kugle polumjera R =
3, sa sreditem u toki S (2,1,3) a n je vanjska normala na povrinu, ako je
2 2 2
1 2 3p x x x . Kolika bi bila vrijednost F za sluaj p = konst?
2.3 Odredite jedan jedinini vektor si u ijem smjeru nema promjene polja 2
1 2 36p x x x
u toki T (1,2,3).
2.4 U toki T fluida tenzor naprezanja ima sljedee komponente u odnosu na koordinatni
sustav 1 2 3x x xO
7 0 2
0 5 0
2 0 4
ij
Odredite :
a) vektor naprezanja na ravninu orijentiranu normalom i2 2 1
, ,3 3 3
n
, te apsolutnu
vrijednost toga vektora.
b) normalnu komponentu naprezanja u toj ravnini, i apsolutnu vrijednost tangencijalnog
naprezanja.
c) kut izmeu vektora normale i vektora naprezanja.
2.5 Zadano je stanje tlanih naprezanja u fluidu tenzorom ij ijp Pokaite da je
vektor naprezanja uvijek paralelan vektoru vanjske normale, te da je komponenta
normalnog naprezanja jednaka p nezavisna od orijentacije povrine.
3. Vjebe
3.1 Blok mase m=10 kg klie po glatkoj povrini kosine nagnute pod kutom =20.
Odredite brzinu U bloka koja e se ustaliti, ako se izmeu bloka i kosine nalazi uljni
film debljine h=0,1 mm. Koeficijent dinamike viskoznosti ulja je =0,38 Pas, a
povrina bloka u dodiru s uljem A=0,15 m2. Pretpostavite linearni profil brzine u
uljnom filmu.
-
Zadaci
Mehanika fluida I vjebe 5
3.2 Newtonska kapljevina gustoe =920 kg/m3, kinematikog koeficijenta viskoznosti
=510-4 m2/s struji preko nepomine stijenke. Profil brzine uz stijenku dan je izrazom
33 1
2 2
u y y
U
gdje je y udaljenost od stijenke, a udaljenost na kojoj je brzina u U . Odredite
veliinu i smjer tangencijalnog naprezanja na povrini stijenke, u zavisnosti od U i
.
3.3 U cilindrinoj posudi polumjera R0=220 mm, nalazi se cilindar polumjera R=216 mm
koji rotira stalnom brzinom vrtnje n=200 o/min za to se troi snaga P = 46 W.
Odredite koeficijent dinamike viskoznosti kapljevine koja ispunjava prostor
izmeu cilindra i posude u kojem pretpostavite linearni profil brzine, a utjecaj dna
zanemarite. Zadano je: h=20 cm.
U=?
m
A
y
u( )y
U
-
Zadaci
6 Mehanika fluida I vjebe
3.4 U jedan krak U-cijevi u kojoj se nalazi voda gustoe =999,1 kg/m3 nadoliveno je
ulje gustoe 0=820 kg/m3, prema slici. Ako je visina stupca ulja h0=150 mm,
odredite razliku visina h razina ulja i vode.
3.5 Odredite apsolutni i manometarski tlak u toki A spremnika, za otklone manometra i
barometra prema slici. Zadano je: =999 kg/m3, 1 =771 kg/m3, 0 =13560 kg/m3,
h=5 cm, h0=17,5 cm, h1=12,5 cm, ha=752 mm.
R
h
=?
n=konst
POSUDA
R0
g
cilindar
pa pag
h=?
h0ulje
-
Zadaci
Mehanika fluida I vjebe 7
3.6 Hidrostatski manometar moe se iskoristiti za mjerenje koliine fluida u spremniku
oblika paralelopipeda. Odredite zavisnost visine l ive gustoe 0 u lijevom kraku
manometra o volumenu V nafte gustoe u spremniku dimenzija dna LxB. Visina h
se mjeri od ravnotenog poloaja ive prije punjenja spremnika i prikljune cijevi
naftom.
4. Vjebe
4.1 Osjetljivost hidrostatskog manometra (definirana odnosom otklon manometra /
mjerena razlika tlakova) poveava se naginjanjem kraka manometra. Za
h
h0
h1
haA
pa
pa
l
l
h
spremnik dimen ija dnax
z L B
ravnoteni poloaj ive
nafta
priklju na cijev
iva
-
Zadaci
8 Mehanika fluida I vjebe
mikromanometar na slici, duljina l u nagnutom kraku mjeri se od poloaja meniskusa
kod jednakih tlakova p1 i p2. Odredite kut nagiba kraka da bi osjetljivost manometra
bila 1mm/Pa. Zadano je: =800 kg/m3.
4.2 Na slici je shematski prikazan princip rada hidraulike pree. Odredite kojom silom F
treba gurati ruicu da se ostvari sila preanja F2=4800 N. Zadano je: m=25 kg,
D=200 mm, h=1,3 m, l1= 52 cm, l2=12 cm, A1=19,6 cm2, =820 kg/m3.
4.3 Odredite rezultantnu silu tlaka (veliinu, smjer i hvatite) na kvadratni poklopac
dimenzije a=0,8 m, ije se teite nalazi na dubini H=1,8 m, za sluajeve prema
slikama (a), (b) i (c). Zadano je: h=0,8 m, H1=1,2 m, =998,2 kg/m3, 1 =820 kg/m3,
=70o.
D= d10
d
h1 h2
l
l1
h
A1 l2
D
m
F2
F=?
otpresak
g
-
Zadaci
Mehanika fluida I vjebe 9
4.4 Potrebno je odrediti na koju visinu h treba spustiti razinu vode, da bi se poklopac
jedinine irine, okretljiv u toki O, prema slici, otvorio uslijed vlastite teine.
Gustoa poklopca je jednolika, a masa mu je m=250 kg. Zadano je: L=160 cm ,
15 , =998 kg/m3.
H
H1
H
H
h
C
C
C
g
g
g
.
. .
.
. .
..
.
.
.
..
...
..
..
.
a
aa
(a)(b)
(c)
-
Zadaci
10 Mehanika fluida I vjebe
5. Vjebe
5.1 Treba odrediti silu F koja dri u ravnotei poklopac AB jedinine irine, zglobno
vezan u toki A, u poloaju prema slici. Zadano je : a=0,84 m; H=0,65 m; h=35,5 cm;
=999 kg/m3.
5.2 Treba odrediti rezultantnu silu na zatvara, oblika polucilindra, jedinine irine B,
prema slici. Zadano je: H=3 m, R=1 m, =60o, =998,2 kg/m3.
O
L
pa
pa
h=?
g
poklopac
pa
pa
p0=?.. ....
.
..
.
. ..
H
B
A
a
h
F
poklopac
g
-
Zadaci
Mehanika fluida I vjebe 11
5.3 Kvadratina greda zglobno je uvrena u bridu A. Odredite silu F kojom treba
djelovati na gredu jedinine duljine da bi bila u ravnotei u poloaju prema slici.
Zadano je: a=1 m; =999 kg/m3.
5.4 Homogena elina kugla gustoe c=7800 kg/m3 radijusa R=8 cm zatvara otvor na
ravnoj stijenci promjera d=12 cm. Treba odrediti kut nagiba kose stijenke da kuglica
oslobodi otvor kada u spremniku nastupi pretlak od pM=5000 Pa.
6. Vjebe
g
H
C
Rpa
pa
pa
pa
g
A
a
a
F=?
d=?
Rg
plin
pM=konst.
pa
-
Zadaci
12 Mehanika fluida I vjebe
6.1 Treba odrediti silu F u vijcima, kojima je privren poklopac, oblika stoca, mase m
= 474 kg, prema slici. Zadano je: H=1,4 m, h=0,9 m, R=0,8 m, pM0=2800 Pa, =998
kg/m3.
6.2 Drvena homogena greda gustoe =940 kg/m3, duljine L=8 m i promjera D=0,5 m,
privrena je pod vodom gustoe v=999kg/m3 u toki O, oko koje se moe okretati.
Kolika e u ravnotenom poloaju biti duljina l uronjenog dijela grede?
6.3 Tankostijena bava mase m=94 kg, volumena V=600 l, potpuno je potopljena pod
vodu gustoe =998,2 kg/m3. Do polovine volumena ispunjena je zrakom
zanemarive teine i privezana uetom za dno. Odredite silu F u uetu.
g
H
..
.
.
. .
.
.
..
..
...
..
..
.
.. .
.
R
h
poklopacpM0
v
g
O
pa
L
l=?
D
-
Zadaci
Mehanika fluida I vjebe 13
6.4 Kocka gustoe 0=495 kg/m3, brida a=0,44 m, zglobno je vezana u bridu O i zatvara
kvadratini otvor na dnu spremnika, prema slici. Treba odrediti silu F potrebnu za
podizanje kocke. Zadano je: H=1,2 m, =35, =999 kg/m3.
6.5 Na slici je prikazan presjek spremnika jedinine irine, ispunjenog vodom gustoe =
998 kg/m3. Odredite vlane i smine sile u vijcima u spojevima A B i C. Zanemarite
teinu svih dijelova spremnika. Zadano je: H = 2.5 m, h = 0.9 m, R = 0.6 m.
7. Vjebe
g
pa
zrak
.
...
..
..
.
..
.
.
.
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
..
.
. ..
.
..
.
.
..
.
.
.
voda
ue
pa
pa
g
O
a
H
F=?
H
R
pa
g
B C
A
h
pa
-
Zadaci
14 Mehanika fluida I vjebe
7.1 Ravninsko strujanje fluida (slika strujanja je ista u svim ravninama paralelnim s
ravninom x3 = 0) zadano je jednadbama gibanja :
1 1
tx y e
2 2
tx y e
gdje su: =1 s-1 vremenska konstanta, yi Lagrangeove koordinate, a xi prostorne ili
Eulerove koordinate. Odredite :
a) brzinu i ubrzanje estice fluida u Lagrangeovim koordinatama,
b) polje brzine i ubrzanja u Eulerovim koordinatama,
c) trajektoriju estice fluida yi = (1,1),
d) strujnice, te nacrtajte strujnicu koje prolazi tokom xi = (1,1).
7.2 Stap injekcije je promjera D = 9 mm, a igla je promjera d = 0,2 mm. Odredite brzinu
v1 strujanja nestlaivog fluida kroz iglu, ako je brzina pomicanja stapa v = 3 mm/s.
7.3 U mjealite kroz prvu cijev promjera D1 = 100 mm ulazi nestlaivi fluid gustoe
1=850 kg/m3 masenim protokom 1 6,9 /m kg s , a kroz drugu cijev promjera D2 =
150 mm ulazi nestlaivi fluid gustoe 2=980 kg/m3, brzinom v2 = 2,1 m/s. Odredite
kojom e brzinom iz mjealita istjecati homogena mjeavina ovih fluida kroz cijev
promjera D3 = 200 mm. Koja je gustoa mjeavine ?
-
Zadaci
Mehanika fluida I vjebe 15
7.4 U cilindrini spremnik ulazi voda, kroz jednu cijev protokom Q1 = 18 l/s, a kroz
drugu protokom Q2 = 25 l/s. Kroz treu cijev promjera D3 = 100 mm voda istjee
brzinom v3 = 3,8 m/s. Odredite vrijeme potrebno da u spremnik utee 3 m3 vode.
8. Vjebe
8.1 Odredite minimalni protok Q u nestlaivom strujanju fluida kod kojeg e ejektor
poeti usisavati fluid kroz vertikalnu cjevicu. Zadano je A2=14 cm2, A1=3,5 cm
2,
h=0,9 m.
.
h
Q=?A1
pa
pa
A2
g
-
Zadaci
16 Mehanika fluida I vjebe
8.2 Odredite visinu zB kraja B sifona, pri kojoj se u neviskoznom strujanju fluida
ostvaruje maksimalni protok Q nestlaivog fluida gustoe =995,6 kg/m3, tlaka
isparavanja pv=4241 Pa, ako je: pa =1010 mbar, z1=34 m, z0=30,5 m, d=150 mm.
8.3 Voda neviskozno struji izmeu dva velika spremnika u kojima je razlika visina razina
H, kroz cijev promjera d. Odredite postotno poveanje protoka Q ako se na cijev
ugradi difuzor izlaznog promjera D=2d.
8.4 Odredite visinu h koju e dosegnuti mlaz vode (=1000 kg/m3) na izlazu iz ravaste
cijevi, prema slici, ako su manometarski tlakovi pM1= pM2=2,68 bar. Zadano je:
D1=200 mm, D2=150 mm, d=100 mm, H=8 m.
d
g
pa
pa
zB=?
z0
z1
0
1
H
d
D
0
1
g
pa
pa
-
Zadaci
Mehanika fluida I vjebe 17
8.5 Odredite promjer d mlaznice u sustavu prema slici uz uvjet da fluid u prikljunoj
cijevi spremnika 2 miruje. Pretpostavite neviskozno strujanje. Zadano je H=3,4 m,
h=2,6 m, D=100 mm.
8.6 Odredite brzinu v1 i tlak p1 zraka (z =1,23 kg/m3) u simetrali cijevi promjera D=50
mm, pomou mjernog sustava s Prandtl-Pitotovom cijevi prema slici. Pretpostavite
neviskozno strujanje i uzmite u obzir debljinu Prandtl-Pitotove cijevi. Zadano je: d=5
mm, L=100 mm, =11, a=800 kg/m3, h=40 mm, pa=101325 Pa.
h=?
3
4
pM1 pM2
z=021
D1 D2
d
H
pag
D
H
h
1
2 3 d=?
1
2
pa
pa
pa g
-
Zadaci
18 Mehanika fluida I vjebe
9. Vjebe
9.1 Odredite protok vode mjeren Venturijevom cijevi, prema slici. Uzmite u obzir i
koeficijent korekcije brzine. Pri kojem bi protoku, za isti smjer strujanja i apsolutni
tlak p1=1,96 bar nastupila kavitacija u presjeku 2. Zadano je: =998,2 kg/m3, pv
=2337 Pa, 0=13546kg/m3, h0=360 mm, L=0,75 m, D1=300 mm, D2=150 mm,
kinematika viskoznost vode =1,00410-6 m2/s.
9.2 Osnosimetrina posuda prema slici otvorena je prema atmosferi, a u poetnom je
trenutku ispunjena nestlaivim fluidom do visine H. Treba odrediti vrijeme pranjenja
dD1 2
3
p1, =?v1
hL
aa
z
z
h0D1
L
D2
0
,pv
Q
g
-
Zadaci
Mehanika fluida I vjebe 19
posude ako otvor na dnu ima koeficijent protoka Cd=0,96. Zadano je: D=42 cm, d=12
mm, H=59,5 cm, h=29 cm.
9.3 Odredite horizontalnu silu vode na redukcijsku spojnicu prema slici, uz pretpostavku
neviskoznog strujanja fluida. Zadano je: D=200 mm, d=100 mm, =1000 kg/m3,
pM1=1,6 bar, pM2=0,9 bar.
9.4 Odredite rezultantu silu vode na ravu prema slici uz pretpostavku neviskoznog
strujanja. Volumen vode u ravi je V=0,11 m3. Zadano je: H=3,8 m, h=2,1 m, h1=1 m,
D1=300 mm, D2=200 mm, D3=100 mm, =1000 kg/m3.
pa
pa
d Cd
h
H
D
pM1
pM2
D d
pa1
2
Q
-
Zadaci
20 Mehanika fluida I vjebe
9.5 Fluid nastrujava u horizontalnom ravninskom neviskoznom strujanju na plou
jedinine irine nagnutu pod kutom =36. Treba odrediti pretlak u presjeku A-A ako
je ploa uravnoteena silom F=680 N, prema slici. Zadano je: h=25 mm, H=40 mm,
=42, =1000 kg/m3.
10. Vjebe
10.1 Treba odrediti rezultantnu silu fluida (veliinu i smjer) na difuzor s koljenom, prema
slici, uz protok Q=389 l/s. Pretpostaviti strujanje idealnoga fluida. Volumen difuzora
je Vd =3,27 m3, a volumen koljena do prikljuka je Vk=0,16 m
3. Napomena: uzeti u
obzir i silu hidrostatskog tlaka koja djeluje izvana na difuzor. Zadano je: D=1,2 m,
d=0,3 m, H=6,6 m, h=1,2 m, =1011 kg/m3.
D3
D1
D2
H
h
h1
pa
pag
p =M ?
H
F
Q
h
z = konst.
pa
A
A
-
Zadaci
Mehanika fluida I vjebe 21
10.2 Mlaz fluida nastrujava u neviskoznom strujanju u horizontalnoj ravnini protokom
Q=0,03 m3/s, brzinom v=3 m/s, na okomito postavljenu plou prema slici. Treba
odrediti silu fluida na plou ako je Q1=0,01 m3/s. Zadano je: =1000 kg/m3.
10.3 Potrebno je odrediti silu F kojom treba pridravati lopaticu mase m=4,8 kg okretljivu
oko toke O, prema slici, da bi bila u horizontalnom poloaju. Pretpostaviti
neviskozno strujanje fluida. Za proraun obujma vode u lopatici pretpostaviti
popreni presjek mlaza konstantnim i jednakim presjeku na ulazu u lopaticu. Zadano
je: L=1,4 m, L1=0,9 m, R=0,28 m, h=1,9 m, d=40 mm, vm=10,6 m/s, =999 kg/m3.
h
H
d
Q
D
g
pa
z=konst.
pa
Q1
Q2
Q
v
ploa
-
Zadaci
22 Mehanika fluida I vjebe
10.4 Voda se prepumpava iz nieg u vii spremnik, protokom Q=14 l/s. Odredite visinu
dobave hp pumpe i potrebnu snagu PM motora za pokretanje pumpe ako su
iskoristivost pumpe P=0,75, visina gubitaka do ulaza u pumpu hF1-2=1,5 m, visina
gubitaka od izlaza iz pumpe do ulaza u vii spremnik hF3-4=1,5m. Zadano je:
=998,2 kg/m3, D=71,4 mm, z1=6,2 m, z5=12,5 m.
10.5 Pumpa dobavlja vodu mlaznici protokom Q=0,056 m3/s. Motor predaje pumpi snagu
PM=40,2 kW, a ukupna iskoristivost pumpe je 85%. Na ulazu u pumpu je izmjeren
manometarski tlak pM2=-0,351 bar. Odredite visinu gubitaka energije hF1-2 od razine
vode u spremniku do ulaza u pumpu, te hF3-5 od izlaza iz pumpe do izlaza iz
mlaznice. Skicirajte energetsku i hidrauliku-gradijentnu liniju. Zadano je: h=1,5 m,
=998,2 kg/m3, D2=150 mm, D3=100 mm, D5=50 mm.
pa
pa
g
R
F=?
O
mg
T
L1
L
h
dvm
1
pumpa
2
4
3
5
pa
Q
g
D
D
z1
z5
p
-
Zadaci
Mehanika fluida I vjebe 23
11. Vjebe
11.1 Centrifugalna pumpa radi na N=1750 o/min, a apsolutna brzina na ulazu u lopatini
prostor je radijalna (1=90o). Kut lopatica na ulaznom bridu u odnosu na negativni
smjer obodne brzine je 1=30o, a na izlaznom 2=45
o. Uz pretpostavku neviskoznog
strujanja i beskonanog broja beskonano tankih lopatica (tangencijalne relativne
brzine na lopatice) odredite protok Q vode gustoe =1000 kg/m3 kroz pumpu, te
visinu dobave hp pumpe, snagu Pp koju pumpa predaje vodi i prirast tlaka p2-p1 kroz
pumpu. Promjer lopatinog vijenca na ulazu je D1=100 mm, a na izlazu D2=250 mm,
visina lopatica na ulazu je b1=15 mm, a na izlazu b2=8 mm.
11.2 Treba odrediti kutnu brzinu vrtnje 0 i protok Q0 kroz slobodno rotirajuu svinutu
cijev prema slici. Kolika je dobivena snaga PT i protok QT za sluaj da cijev rotira
kutnom brzinom T=0/2. Koliku snagu PP (i pri kojem protoku QP) treba uloiti da
bi se cijev okretala kutnom brzinom P=20. Pretpostavite neviskozno strujanje
fluida, a gubitke trenja u leaju zanemarite. Zadano je: H=0,6 m, R=0,6 m, d=60 mm,
pM0=0,31 bar, =35o, =1000 kg/m3.
pumpapa
pa
Q
h
g
D3 D5
D2
p
-
Zadaci
24 Mehanika fluida I vjebe
11.3 Primitivna turbina preko remenice predaje korisnu snagu PM=730 W, pri konstantnoj
brzini vrtnje N=30 o/min i pri ukupnom protoku kroz turbinu Q=28,5 l/s. Treba
odrediti snagu PS koju predaje spremnik, snagu PT turbine i snagu PI fluida na izlazu
iz turbine, mehaniki stupanj korisnosti MmT
P
P i ukupni stupanj korisnosti Mu
S
P
P
. Pretpostavite jednodimenzijsko strujanje idealnog fluida. Zadano je H=1,3 m, R=1,2
m, D=40 mm, =15o, =1000 kg/m3.
H
pM0
R
d
d
g
.
.
..
.
. ... .
.
..
.. .
.
.
.
..
... .. .
.. . ....
. ...
. .
.
...
. ..
..
.
.
.
..
.
. .
..
.
...
.... ..
.. .
tlocrt
pa
1
0
D
RN
H=konst.
pM0
remenica
A A
N=konst.
g
Presjek A-A
-
Zadaci
Mehanika fluida I vjebe 25
11.4 Primjenom primitivne teorije propelera, odredite izraz za maksimalnu snagu
vjetroturbine. Primjenom izvedenog izraza odredite potrebni promjer D rotora
vjetroturbine koja e kod brzine vjetra od 6v m/s davati elektrinu snagu na
izlazu iz akumulatora 1P kW, pri emu je stupanj korisnosti turbine t 0,70,
stupanj korisnosti mehanikog prijenosa energije s vjetroturbine na generator m
0,92, samog generatora G 0,80, i akumulatora za pohranu elektrine energije a
0,85. Gustoa zraka je 31,2 kg/m .
12. Vjebe
12.1 Nestlaivi fluid struji pri atmosferskom tlaku kroz lopatice radnog kola turbine prema
slici protokom 44 l/sQ , brzinom 1 25 m/sv pod kutom 1 u odnosu na smjer
obodne brzine. Odredite kut 1 i stalnu kutnu brzinu vrtnje radnog kola da bi uz
tangencijalno nailaenje mlaza na lopatice apsolutna brzina na izlazu bila okomita na
obodnu brzinu. Za tako odreene kut 1 i kutnu brzinu izraunajte aksijalnu silu
aF na radno kolo i snagu P turbine. Pretpostavite neviskozno strujanje pri stalnom
tlaku i beskonano mnogo beskonano tankih lopatica. S obzirom da je visina
lopatice puno manja od polumjera radnog kola, vijenac lopatica se smije razmotati u
ravninu i strujanje kroz lopatice smatrati ravninskim. Zadano: 1000 kg/m3,
60 cmr , 65 cmR , 1 38 i 2 45 .
12.2 Za pokretanje zubarske builice koristi se turbina pogonjena zrakom. Turbina se vrti
brzinom N 30000 okretaja u minuti, a poznato je da je unutarnji radius radnog kola
R
r
=konst
Q
21
u
-
Zadaci
26 Mehanika fluida I vjebe
(do korijena lopatica) 33 mmr , a vanjski radijus (do vrha lopatica) 42 mmR .
Poznato je da je tangencijalna brzina mlaza zraka na ulazu u turbinu jednaka
dvostrukoj vrijednosti obodne brzine, a apsolutna brzina na izlazu iz turbine je
okomita na obodnu brzinu. Odredite specifinu snagu turbine T T /e P m .
Pretpostavite neviskozno strujanje zraka pri konstantnom tlaku, a problem analizirajte
kao ravninski za razmotani vijenac lopatica.
12.3 Ispitajte dimenzionalnu nezavisnost sljedeih skupova fizikalnih veliina:
a) p, i v
b) Q, L i
c) g, L i Q
d) F, M i t
e) , p i V
gdje su: p - tlak, - smino naprezanje, v - brzina, Q - protok, L - karakteristina duljina,
- dinamika viskoznost, g - ubrzanje sile tee, F - sila, M - moment sile, t - vrijeme i
V - volumen.
12.4 Formirajte bezdimenzijske parametre od veliina: vrijeme t, gravitacija g, sila F,
moment M, tlak p i dinamika viskoznost s pomou dimenzionalno nezavisnog
skupa: gustoa , brzina v i duljina L.
R
r
=konst
Q
-
Zadaci
Mehanika fluida I vjebe 27
13. Vjebe
13.1 Moment M fluida na rotor aksijalne turbine zavisi od gustoe fluida , promjera D
rotora, kutne brzine rotacije rotora i volumenskog protoka Q fluida kroz turbinu.
Primjenom dimenzionalne analize treba odrediti opi oblik zavisnosti momenta M od
preostalih veliina. Ako se zna da moment M linearno zavisi od protoka Q (pri emu
je za Q=0, M=0), treba odrediti postotnu promjenu momenta M za geometrijski slinu
turbinu 10% manjeg promjera koja rotira 15% veom kutnom brzinom i koristi isti
fluid pri istom protoku Q.
13.2 Otvorena cilindrina posuda promjera D, koja na dnu ima otvor promjera d,
koeficijenta protoka Cd je ispunjena fluidom do visine H. Posuda se potpuno isprazni
u vremenu t1=36,5 s. Primjenom Pi-teorema treba odrediti za koje bi se vrijeme t2
ispraznila geometrijski slina posuda tri puta veih dimenzija (to znai da je i otvor
na dnu tri puta vei) istog koeficijenta protoka Cd otvora na dnu posude u istom polju
gravitacije. Uputa: pretpostaviti da je t=f(D, d, Cd, H, g).
13.3 Pumpa koja transportira vodu gustoe 998 kg/m3 protokom Q 5 l/s u
optimalnom reimu rada postie razliku tlaka p 4 bar. Kupac je zainteresiran za
kupnju pumpe koja transportira ulje gustoe 1 800 kg/m3 protokom 1Q 4,5 l/s te
u optimalnom reimu rada postie pretlak 1p 3,5 bar. Potrebno je nainiti
geometrijski slinu pumpu koja zadovoljava uvjet kupca. Odredite za koliko je
potrebno promijeniti (poveati ili smanjiti) sve linearne dimenzije te kutnu brzinu
vrtnje postojee pumpe.
13.4 Sila L uzgona na krilo povrine A zavisi od brzine v leta, gustoe zraka i
napadnog kuta (kuta izmeu pravca vektora brzine i spojnice vrha i repa profila
krila). Ako su u zranom tunelu na krilu povrine 0,4 m2, pri brzini strujanja od 30
m/s i gustoi zraka 1,29 kg/m3 izmjerene sljedee vrijednosti sile uzgona, ovisno o
napadnom kutu
nacrtajte ovisnost bezdimenzijske sile uzgona o napadnom kutu. Izraunajte silu uzgona na
geometrijski slinom krilu povrine 30 m2, koje e letjeti u zraku gustoe 0,9 kg/m3
brzinom 400 km/h, pod napadnim kutom 5.
-
Zadaci
28 Mehanika fluida I vjebe
14. Vjebe
14.1 Odredite promjer D2 cjevovoda da bi razina fluida u spremniku 2 prema slici ostala
konstantna. Zadano je: =997 kg/m3, =0,8610-6 m2/s, H=18,2 m, h=11,4 m, L1=898
m, D1=200 mm, k1=k2=0,02 mm i L2=2610 m.
14.2 Treba odrediti snagu koju pumpa predaje fluidu u sustavu za hlaenje kada je izveden
kao otvoreni, prema slici (a), te kao zatvoreni prema slici (b). U oba je sluaja protok
u sustavu Q=0,005 m3/s, a promjena gustoe i viskoznosti s temperaturom se moe
zanemariti. Zadano je: =998,2 kg/m3, =1,2.10-6 m2/s, La=10,4 m, D=80 mm, k=0,05
mm, H=2,4 m, h=0,5 m, svi lokalni gubici u otvorenom sustavu Ka=4,2, a u
zatvorenom Kb=4,8, Lb=La+H.
pa
pa
pa
H
h
g
L ,D1 1, k1
L , D2 2 =?k2,
1
2
Q=?
pa
H
1
pumpa pumpa
P =a ? P =b ?
La L =L +Hb aD D
k k
h
hladnjak
(a) (b)
QQg
g
hla eniobjekt
hla eniobjekt
-
Zadaci
Mehanika fluida I vjebe 29
14.3 Treba odrediti promjer D cjevovoda da bi se na izlazu iz mlaznice dobilo 92%
raspoloive potencijalne energije u obliku kinetike energije izlaznog mlaza uz protok
od Q=0,552 m3/s. Koliki je promjer D3 mlaznice. Zadano je: =998,2 kg/m
3,
=1,139.10-6 m2/s, L=390 m, k=0,2 mm, H=274 m, Ku=0,1, Km=0,06.
14.4 Treba odrediti visinu h, protok Q i snagu PF koja se troi na svladavanje trenja, u
situaciji prema slici. Koliku bi visinu hid dosegao mlaz i koliki bi bio protok Qid da je
fluid idealan. Zadano je: =999 kg/m3, =1,13.10-6 m2/s, D=65 mm, d=30 mm,
Luk=9,9 m, k=0,045 mm, H=2,4 m, Kk=0,9, Ku=0,5, Km=0,05 (uz izlaznu brzinu),
pM0=0,86 bar.
15. Vjebe
15.1 Odredite gubitke tlaka pri strujanju zraka (=1,225 kg/m3=konst., =1,460710-5
m2/s) protokom Q=5 m
3/s kroz cjevovod duljine L=60 m pravokutnog presjeka
axb=600x300 mm. Cijev je od galvaniziranog eljeza.
H
pa
pa
L,k
Km D3
Ku D=? g
D
Kk Kk
H
pM0
Ku
h=?
d
pa
g
, k
Luk
Km
-
Zadaci
30 Mehanika fluida I vjebe
15.2 Za cjevovod prema slici, kojim se pretae fluid iz lijevog u desni spremnik, odredite:
a) protok i visinu dobave pumpe, ako je u sustavu jedna pumpa ija visina dobave Ph
ovisi o protoku Q prema zadanoj funkciji 32
P m m /sh a b Q
b) protok kroz cjevovod i visinu dobave svake pumpe za sluaj da su u sustavu dvije
paralelno ugraene pumpe iste karakteristike kao pod a)
c) protok kroz cjevovod i zajedniku visinu dobave obje pumpe za sluaj da su u sustavu
dvije serijski ugraene pumpe iste karakteristike kao pod a)
Sve lokalne gubitke zanemarite. Radi lakeg prorauna pretpostavite konstantni koeficijent
trenja 0,025 . Zadano je: 9H m, 23L m, 0,05D m, 998 kg/m3,
31,52 10 Pas, 12a m , 510b s2/m5.
15.3 U cjevovodnom sustavu prema slici fluid struji od spremnika 1 prema spremniku 2
protokom Q=170 m3/h. Treba odrediti protok Q1 koji bi se ustalio u sustavu kada bi
na polovini duljine (od toke B) postojao paralelni cjevovod do spremnika 2, istih
geometrijskih karakteristika. Zadano je: =999 kg/m3, =1,05.10-6 m2/s, D=200 mm,
k=0,2 mm, L1B=LB2=844 m.
a
b
pa
pa
g
D pumpa ,
H
L
-
Zadaci
Mehanika fluida I vjebe 31
pa
pa
1
D, k
D k, B
H = ?
2
Q
L L1B B2=
15.4 Odredite maksimalnu snagu P koju je mogue ostvariti na Peltonovoj turbini prema
slici. Zadano je: D = 5 cm, L = 250 m (ukupna duljina cjevovoda), k = 0.16 mm
(hrapavost cijevi) = 999 kg/m3, = 1.13910-6m2/s, Kkolj = 0.75, Kul = 0.5, Ks 0,
H1 = 51 m, H2 = 1.2 m, Ds = 10 mm, = 1600
(izlazni kut lopatice Peltonove turbine).
u
R
g
H2 Kul
Ds
L, k D
pa
pa
,
Kkolj
Kkolj Ks
H1
-
0. Vjebe
Mehanika fluida I vjebe 1
0. VJEBE
0.1 Na visini h=1 m, prema slici, nalazi se otvor cijevi iz koje izlazi mlaz fluida stalnom
brzinom v=8 m/s, pod kutom =49. Uz pretpostavku idealnog fluida i uz
zanemarenje trenja izmeu zraka i fluida odredite maksimalnu visinu H i duljinu L
koju e mlaz dosegnuti.
Rjeenje:
Mlaz fluida je sa svih strana okruen zrakom pod konstantnim atmosferskim tlakom, tako
da je rezultirajua sila tlaka na svaku esticu fluida u mlazu jednaka nuli, te od vanjskih
sila ostaje samo sila teine. Prema tome, svaka estica fluida u mlazu gibat e se poput
materijalne toke u polju gravitacije (kosi hitac). Budui da svaka estica u izlaznom
mlazu ima brzinu v, dovoljno je promatrati gibanje jedne estice fluida, a gibanje svih
ostalih estica e biti potpuno identino. Stoga e oblik mlaza biti jednak obliku putanje
to bi ga opisala jedna materijalna toka izbaena brzinom v pod kutom s visine h u
odnosu na koordinatni sustav prikazan na slici.
gpa
v
-
0. Vjebe
2 Mehanika fluida I vjebe
Gibanje se rastavlja u smjeru osi x i osi z. U svakom trenutku na esticu djeluje samo sila
teine d dF m g , te prema drugom Newtonovom zakonu d dm a F , vrijedi a g , ili
2
x 2
d= 0
d
xa x
t
2
z 2
d= -
d
za z g
t (1)
Jednadbe (1) se integriraju u vremenu nakon ega slijedi:
x 1
d= =
d
xx v C
t
z 2
d= = - +
d
zz v g t C
t (2)
Konstante C1 i C2 se odreuju iz poetnih uvjeta. Vremenski trenutak t=0 odgovara
trenutku nailaska estice fluida u toku A u kojoj se komponente brzine
x = cosv v
z = sinv v ; za t=0 (3)
Uvrtavanjem (3) u (2) slijedi da je
1 = cosC v i 2 = sinC v (4)
odnosno vrijedi
x
d= = cos
d
xv v
t
z
d= = sin
d
zv v g t
t (5)
z
x
v =vA
g
vC
vB
t =A 0
tB
tC
dm g.
dm g.
dm g.
-
0. Vjebe
Mehanika fluida I vjebe 3
Integriranjem jednadbi (5) dobije se promjena puta estice fluida u vremenu:
3= cosx v t C
2
4
1= sin
2z v t gt C (6)
Konstante integracije C3 i C4 se ponovo dobiju iz poetnih uvjeta, tj. U trenutku t=0 estica
fluida se nalazi u toki A s koordinatama x=xA=0 i z=zA=h, to uvrteno u (6) daje: 3 = 0C
i 4 =C h , odnosno:
= cosx v t
21= + sin2
z h v t gt (7)
Poloaje toaka B i C mogue je odrediti iz jednadbi (5) i (7).
Do toke B mlaz fluida ide prema gore, odnosno brzina vz je pozitivna, a nakon toke B
brzina vz je negativna, to znai da je u toki B brzina vz jednaka nuli, te se iz jednadbe (5)
moe izraunati vrijeme tB potrebno da estica fluida doe od toke A do toke B.
zB B B
sin= 0 = sin
vv v g t t
g
(8)
Iz jednadbe (7) za t= tB slijede koordinate toke B
2
B
sin sin cos= cos 3,23 m
v vx v
g g
2
B
sin= = + 2,86 m
2
vz H h
g
(9)
U toki C je t=tC i zC=0 te iz jednadbe (7) slijedi
2
C C
10 = + sin
2h v t g t (10)
Rjeenje kvadratne jednadbe (10) je:
2 2
C
sin sin 2=
v v ght
g
(11)
gdje je oito samo jedno rjeenje fizikalno (tC mora biti pozitivno)
2 2
C
sin sin 2= 1,379 s
v v ght
g
Uvrtenjem tC u jednadbu (7) za x-koordinatu toke C slijedi:
C C= = cos 7,24 mx L v t .
-
0. Vjebe
4 Mehanika fluida I vjebe
0.2 estica fluida giba se po zakrivljenoj putanji, prema slici. Odredite ubrzanje estice
fluida za sluaj da je brzina zadana u funkciji puta s, koji se mjeri du putanje.
Rjeenje:
Definirat emo lokalne jedinine vektore se u smjeru putanje i ne u smjeru normale na
putanju. Vektor brzine je tada
s s
d( ) ( )
d
sv v s e s e
t
Ako je putanja zakrivljena, tada je vektor se promjenljiv.
Ubrzanje estice fluida je po definiciji
d
d
va
t
Budui da je ( )v v s , po pravilima sloenog deriviranja vrijedi:
2 ss sdd d d d
d d d d d
v
ev s va v ve v e v
s t s s s
U svrhu odreivanja derivacije sd
d
e
s
putanja se lokalno zamijeni krunicom
polumjera R.
Tada se moe pisati
d ds R
s ss0
dlim
d s
e s s e se
s s
en
es
v=ves v=v s( )
s
estica fluida ili materijalna toka
en es( )s
es( )s+ s
R
-
0. Vjebe
Mehanika fluida I vjebe 5
Iz slike je:
s s ne s s e s e
iz slinosti trokuta ABC i ABC slijedi:
1
s
R
pa vrijedi: s n nd
d
e e e
s R R
to uvrteno u izraz za ubrzanje daje:
2
s n t s n n
normalnatangencijalnakomponentakomponentaubrzanjaubrzanja
d
d
v va v e e a e a e
s R
Zakljuak: Tangencijalna komponenta ubrzanja moe gledati u smjeru se ili obrnuto, a
normalna komponenta ubrzanja uvijek gleda prema sreditu zakrivljenosti putanje.
Specijalni sluaj: Gibanje estice fluida po krunoj putanji polumjera R, uz konstantnu
kutnu brzinu d
konst.d t
konst.v R
t = 0a
22
n
va R
R
- ( )es s
e s()s
es( )s+ s
s
en-
R
C
A
B
A
C
en es
at
an
v
R
= konst
-
0. Vjebe
6 Mehanika fluida I vjebe
0.3 Fluid konstantne gustoe struji stalnom brzinom v kroz svinutu cijev konstantnog
poprenog presjeka koja se nalazi u horizontalnoj ravnini. Primjenom zakona koliine
gibanja odredite smjer sile fluida na stijenku cijevi.
Rjeenje:
Koliina gibanja mv jedininog volumena fluida mv
vV
, je konstantna po veliini, a
promjenjiva po smjeru. Za promjenu smjera koliine gibanja od ulaza do izlaza iz cijevi je
prema zakonu koliine gibanja potrebna sila. Da bi fluid promijenio smjer strujanja
potrebna je sila koja gleda prema sreditu zakrivljenosti putanje estice fluida. Sila kojom
fluid djeluje na stijenku cijevi je suprotnog predznaka tj. djeluje kao na slici
Ako bi cijev bila fleksibilna imala bi tendenciju izravnavanja.
Primjer: to se dogaa sa fleksibilnim crijevom namotanim u kolut?
z = konst.
v
v
Ffluida na stijenku
-
1. Vjebe
Mehanika fluida I vjebe 7
1. VJEBE
1.1 Izraunati sljedee izraze primjenom pravila za mnoenje Kroneckerovim delta
simbolom:
a) ii , b) ij ij , c) ij ik jk , d) ij jk , e) ij ikA
Rjeenje:
a) 11 22 33 3ii
b) 3ij ij ii jj
c) 3ij ik jk kj jk kk
kj
d) ij jk ik
e) ij ik jkA A
1.2 Zapiite u indeksnoj notaciji komponente vektora 2f j .
Rjeenje:
22i if
1.3 Direktnim razvojem pokazati da za permutacijski simbol ijk vrijedi:
a) 6ijk kij
b) 0ijk j ka a
Rjeenje:
a)
1 1 2 2 3 3
2,3 3,2 1,3 3,1 1,2 2,1
231 123 321 132 132 213 312 231 123 312 213 321
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
6
ijk kij ij ij ij ij ij ij
1
23
+
-
1. Vjebe
8 Mehanika fluida I vjebe
b) 0a a
1 123 2 3 132 3 2 2 3 3 2
1 1
1 0jk j ki a a a a a a a a a a
2 231 3 1 213 1 3 3 1 1 3
1 1
2 0jk j ki a a a a a a a a a a
1.4 Odredite 2f komponentu vektorskog izraza: ji
j ji
j i
ccf b b
x x
.
Rjeenje:
2 2 21 2
22 1 2
j
j j
j
cc c cf b b b b
x x x x
2 1 23 1 2
3 2 2
c c cb b b
x x x
33
2
32 1 21 3
1 2 3 2
cb
x
cc c cb b
x x x x
1.5 Koristei indeksnu notaciju dokazati vektorske identitete:
a) a b c a c b a b c
b) 0a b a
Rjeenje:
a) j k j i j jl j i
m
i
a b c a c b a b c
Prikaz u indeksnoj notaciji:
ijm j mkl k l j j i j j ia b c a c b a b c
Dokaz:
ijm mkl j k l ik jl il jk j k lj j i j j i
a b c a b c
a c b a b c
-
1. Vjebe
Mehanika fluida I vjebe 9
b) 0j k i
i
a b a
Prikaz u indeksnoj notaciji:
0ijk j k ia b a
Dokaz:
simetrino po ij
antisimetrino po ij
i j j i
ijk jik
a a a a
Produkt simetrinog i antisimetrinog tenzora je jednak nuli.
1.6 Prikazati u indeksnoj notaciji sljedee vektorske identitete:
a) a b c d c a b d d a b c
b) a b c d a c b d b c a d
Rjeenje:
a) l m p i m n k i mn k n
i i ij
k
a b c d c a b d d a b c
kij ilm l m jnp n p k i imn m n k i imn m na b c d c a b d d a b c
b) j k m i j j i j jl i i
ii
a b c d a c b d b c a d
ijk j k ilm l m i i j j i i j ja b c d a c b d bc a d
-
1. Vjebe
10 Mehanika fluida I vjebe
1.7 Razviti u indeksnu notaciju i prikazati simboliki sljedee izraze:
a) uv
b) ua
c) ua
d) u
Rjeenje:
a) uv
j j j
v uuv u v
x x x
uv u v v u
b) ii
u a
ii ii i i
a uua u a
x x x
ua u a a u
c)
i
kj
u a
k kijk ijk ijk k
j j j
ua a uu a
x x x
ua u a u a
d) i i
u
2
2 2 2
2 2 2
1 2 3
i i i i
u u
x x x x
u u u
x x x
u u
-
1. Vjebe
Mehanika fluida I vjebe 11
1.8 Primjenom indeksne notacije izraunajte izraz a b b , uz pretpostavku da je a
okomito na b .
Rjeenje:
Uvjet okomitosti:
0a b odnosno j j 0a b
kij ilm l m j j k j
l m j
i ijk ilm
kjl km kljm
a b b a b b a b b
2
k j j k j ja b b a b b b a
1.9 Zapiite u indeksnoj notaciji izraze za:
a) moment sile F u odnosu na ishodite
b) rad sile F na putu d r .
Rjeenje:
a)
i j k
i
M r F
i ijk j kM x F
b)
d dW F r i id dW F x
Napomena:
Snaga je d
=d
WP
t
ii i i
d xd WP F F v
d t d t
(a b) b aa
a b
b
F
r
x1x2
x3
F
d r
x1
x2
x3
r
-
1. Vjebe
12 Mehanika fluida I vjebe
1.10 Izraunajte sferni, simetrini i antisimetrini dio tenzora
0 6 4
T 4 6 2
8 0 6
Rjeenje:
- Sferni dio tenzora
4 0 01
0 4 0 43
0 0 4
kk ij ijT
- Simetrini dio tenzora
0 6 4 0 4 8 0 1 61 1
4 6 2 6 6 0 1 6 12 2
8 0 6 4 2 6 6 1 6
ij ij jiS T T
-Antisimetrini dio tenzora
0 6 4 0 4 8 0 5 21 1
4 6 2 6 6 0 5 0 12 2
8 0 6 4 2 6 2 1 0
ij ij jiA T T
Napomena: ij ij ijT S A
-
2. Vjebe
Mehanika fluida I vjebe 13
2. VJEBE
2.1 Odredite fluks vektora : dS
Q v n S po povrini S kocke brida a=2 s centrom u
ishoditu. Povrina S je orijentirana vektorom vanjske normale n , a vektor v je
1 2 1 2 3 2 2 3 3 33 6 3v x x e x x e x x x e .
Rjeenje:
Formula Gauss-Ostrogradski
ii i
iS V
vQ v n d S d V
x
2 3
1 2 2 3 2 3 3
1
(3 ;6 ; 3 )iv x x x x x x x
v v v
1
1
23
i
i
v v
x x
x
3 2
32
2 3
6 3
vv
x x
x x
1
36 1i
i
vx
x
010203
3 36 1 6 1 8xxx
V
Q x dV x V V
linearna promjena pa je integral jednak vrijednosti u teitu volumena pomnoen s
volumenom
2.2 Izraunajte vrijednost integrala dS
F pn S , gdje je S povrina kugle polumjera R =
3, sa sreditem u toki S (2,1,3) a n je vanjska normala na povrinu, ako je
2 2 2
1 2 3p x x x . Kolika bi bila vrijednost F za sluaj p = konst?
Rjeenje:
i i
iS V
pF pn d S dV
x
2 2 2
1 2 3p x x x 11
2p
xx
; 2
2
2p
xx
; 3
3
2p
xx
-
2. Vjebe
14 Mehanika fluida I vjebe
3
1 1 1
42 2 ( ) 2 2 3 144
3V
F x dV x s V
3
2 2 2
42 2 ( ) 2 1 3 72
3V
F x dV x s V
3
3 3 3
42 2 ( ) 2 3 3 216
3V
F x dV x s V
144 ,72 ,216iF
ili 2 2 2
1 2 3 j jp x x x x x
2 2j
j i
i i
ij
xpx x
x x
2 2 ( )i i iiV V
iteita V
pF dV x dV x s V
x
x
definicija teita volumena!!!
Za sluaj p = konst, 0i
p
x
Fi=0
2.3 Odredite jedan jedinini vektor si u ijem smjeru nema promjene polja 2
1 2 36p x x x
u toki T (1,2,3).
Rjeenje:
- openito:
- si moe biti bilo koji
vektor u ravnini koja je
tangencijalna na p = konst.
u toki T
1
1
12p
xx
; 3
2
px
x
; 2
3
px
x
U toki T
12;3;2i T
p
x
grad p
si
p=konst.
T
x1x2
x3
-
2. Vjebe
Mehanika fluida I vjebe 15
Uvjet okomitosti grad p i s
0ii
ps
x
1 2 3
1 2 3
0p p p
s s sx x x
1 2 312 3 2 0s s s
Proizvoljno odabiremo 1 2 1s s pa je
22 2
3 1 2
1 1512 3 7,5 1 1 7,5 58,25
2 2i is s s s s
i1 1 7,5
; ; 0,131;0,131; 0,98358,25 58,25 58,25
s
2.4 U toki T fluida tenzor naprezanja ima sljedee komponente u odnosu na koordinatni
sustav 1 2 3x x xO
7 0 2
0 5 0
2 0 4
ij
Odredite :
a) vektor naprezanja na ravninu orijentiranu normalom i2 2 1
, ,3 3 3
n
, te
apsolutnu vrijednost toga vektora.
b) normalnu komponentu naprezanja u toj ravnini, i apsolutnu vrijednost
tangencijalnog naprezanja.
c) kut izmeu vektora normale i vektora naprezanja.
Rjeenje:
a)
7 0 2
0 5 0
2 0 4
ij
2 2 1
, ,3 3 3
in
i j j jin n
1 1 11 2 21 3 312 1
7 2 43 3
jn n n n
2 1 12 2 22 3 322 10
53 3
jn n n n
-
2. Vjebe
16 Mehanika fluida I vjebe
3 1 13 2 23 3 332 1
2 4 03 3
jn n n n
104; ;0
3i
2
2 2 2 2
1 2 3
104 5,21
3i jn
b)
1 1 2 2 3 3
2 10 2 444
3 3 3 9
nn i in
n n n
2 2
2
2 445,21 1,799
nt i nn
c)
44
9cos 0,9385,21
i i nn
i i
n
arccos 0,938 20,2
2.5 Zadano je stanje tlanih naprezanja u fluidu tenzorom ij ijp
Pokaite da je vektor naprezanja uvijek paralelan vektoru vanjske normale, te da je
komponenta normalnog naprezanja jednaka p nezavisna od orijentacije povrine.
Rjeenje:
i j j ji j ji in n n p pn
1
nn i i i in p n n p
0 0
0 0
0 0
ij
p
p
p
sferni tenzor
Zakljuak: sila tlaka je uvijek okomita na povrinu
ninn
nt
i
ni
ni
-pni
-pni
T
T
-
3. Vjebe
Mehanika fluida I vjebe 17
3. VJEBE
3.1 Blok mase m=10 kg klie po glatkoj povrini kosine nagnute pod kutom =20.
Odredite brzinu U bloka koja e se ustaliti, ako se izmeu bloka i kosine nalazi uljni
film debljine h=0,1 mm. Koeficijent dinamike viskoznosti ulja je =0,38 Pas, a
povrina bloka u dodiru s uljem A=0,15 m2. Pretpostavite linearni profil brzine u
uljnom filmu.
Rjeenje:
U
h
F A
sinF mg
sinU
A mgh
sinmg hU
A
310 9,80665 sin 20 0,1 10
0,38 0,15U
0,0588 m/sU
Napomena: Za konstantu g se koristi vrijednost 29,80665 m/sg .
U=?
m
A
h
mg
mgsin
F
-
3. Vjebe
18 Mehanika fluida I vjebe
3.2 Newtonska kapljevina gustoe =920 kg/m3, kinematikog koeficijenta viskoznosti
=510-4 m2/s struji preko nepomine stijenke. Profil brzine uz stijenku dan je izrazom
33 1
2 2
u y y
U
gdje je y udaljenost od stijenke, a udaljenost na kojoj je brzina u U . Odredite
veliinu i smjer tangencijalnog naprezanja na povrini stijenke, u zavisnosti od U i
.
Rjeenje:
0 0
d d
d dy y
u u
y y
2
3
0
d 3 1 3 d 3
d 2 2 d 2y
u y u UU
y y
3
2
U
4 3920 5 102
U
2
/
/0,69 m s
N m
m
U
Tangencijalno naprezanje fluida na stijenku djeluje u smjeru relativne brzine fluida u
odnosu na stijenku.
y
u( )y
U
-
3. Vjebe
Mehanika fluida I vjebe 19
3.3 U cilindrinoj posudi polumjera R0=220 mm, nalazi se cilindar polumjera R=216 mm
koji rotira stalnom brzinom vrtnje n=200 o/min za to se troi snaga P = 46 W.
Odredite koeficijent dinamike viskoznosti kapljevine koja ispunjava prostor
izmeu cilindra i posude u kojem pretpostavite linearni profil brzine, a utjecaj dna
zanemarite. Zadano je: h=20 cm.
Rjeenje:
30
n
; u R ;
0
u
R R
2F R h ; M F R ; P M
2 2
0
2 2u
P F R R h R hR R
2 3 3 2 3
0 0
2 2900
R n RP h h
R R R R
03 2 3
450P R R
n R h
3 2 3
450 46 0,220 0,216
200 0,216 0,20
0,0331 Pa s
R
h
=?
n=konst
POSUDA
R0
g
cilindar
-
3. Vjebe
20 Mehanika fluida I vjebe
3.4 U jedan krak U-cijevi u kojoj se nalazi voda gustoe =999,1 kg/m3 nadoliveno je
ulje gustoe 0=820 kg/m3, prema slici. Ako je visina stupca ulja h0=150 mm,
odredite razliku visina h razina ulja i vode.
Rjeenje:
Jednadba manometra od A do B:
0 0 0a ap g h h gh p
0 0 0 0h h h
00 1h h
8200,15 1
999,1h
0,0269 m 26,9 mmh
pa pag
h=?
h0ulje
pa
pa hA
B
h0h0-h
-
3. Vjebe
Mehanika fluida I vjebe 21
3.5 Odredite apsolutni i manometarski tlak u toki A spremnika, za otklone manometra i
barometra prema slici. Zadano je: =999 kg/m3, 1 =771 kg/m3, 0 =13560 kg/m3, h=5
cm, h0=17,5 cm, h1=12,5 cm, ha=752 mm.
Rjeenje:
Barometar: 0 99999,6 1000 1000a ap gh Pa mbar hPa
0,001 bar 1mbar 1hPa
Manometar: 0 0 1 1 1A ap p g h h gh gh
Apsolutni tlak u toki A: 138458 Pa=1385 mbarAp
Manometarski tlak u toki A: 38458 Pa = 385 mbarMA A ap p p
h
h0
h1
haA
-
3. Vjebe
22 Mehanika fluida I vjebe
3.6 Hidrostatski manometar moe se iskoristiti za mjerenje koliine fluida u spremniku
oblika paralelopipeda. Odredite zavisnost visine l ive gustoe 0 u lijevom kraku
manometra o volumenu V nafte gustoe u spremniku dimenzija dna LxB. Visina h
se mjeri od ravnotenog poloaja ive prije punjenja spremnika i prikljune cijevi
naftom.
Rjeenje:
VV L B H H
L B
(1)
02a ap g H h l gl p (2)
u (2)
02V
h lL B
02
Vl h
L B
Sluaj V=0, prikljuna cijev puna, 0l l
0
02
hl
pa
pa
l
l
h
spremnik dimen ija dnax
z L B
ravnoteni poloaj ive
nafta
priklju na cijev
iva
-
4. Vjebe
Mehanika fluida I vjebe 23
4. VJEBE
4.1 Osjetljivost hidrostatskog manometra (definirana odnosom otklon manometra /
mjerena razlika tlakova) poveava se naginjanjem kraka manometra. Za
mikromanometar na slici, duljina l u nagnutom kraku mjeri se od poloaja meniskusa
kod jednakih tlakova p1 i p2. Odredite kut nagiba kraka da bi osjetljivost manometra
bila 1mm/Pa. Zadano je: =800 kg/m3.
Rjeenje:
2 sinh l (1)
2 1 2 1J.M. p g h h p (2)
2 2
14 4
D dh l
(3)
2
1iz (3)d
h lD
(3a)
(1) i (3a) u (2)
2
1 2sind
g l p pD
(4)
3
21 2
1osjetljivost 10 m Pa
sin
l
p p dg
D
(5)
2 233 1010 sin 1 sin 0,117
d dg
D g D
sin 0,117
6,75 6 44 45
D= d10
d
h1 h2
l
-
4. Vjebe
24 Mehanika fluida I vjebe
4.2 Na slici je shematski prikazan princip rada hidraulike pree. Odredite kojom silom F
treba gurati ruicu da se ostvari sila preanja F2=4800 N. Zadano je: m=25 kg,
D=200 mm, h=1,3 m, l1= 52 cm, l2=12 cm, A1=19,6 cm2, =820 kg/m3.
Rjeenje:
l1
h
A1 l2
D
m
F2
F=?
otpresak
g
h l1
A1
A2
F1 F1
l2
F
F2
F2
F2
p2
mg
mg
otpresak
ulje
stap 2
F2
p2
p1
p1
-
4. Vjebe
Mehanika fluida I vjebe 25
Poluga: 1 2 1 2F l l F l (1)
Stap 1: 1
1 1 1 1 1
1
a a
Fp A p A F p p
A
(2)
Jednadba
manometra
2 1p p gh (3)
Stap 2: 2
2 2 a 2 2 2 a 2
4
F mgp A p A F mg p p
D
(4)
Nepoznanice: F, F1, p1, p2
(2) i ( 4) u (3)
2 1
2
1
4
a a
F mg Fp p gh
D A
21 1 2
4
F mgF A gh
D
1 335 NF
21
1 2
lF F
l l
62,9 NF
-
4. Vjebe
26 Mehanika fluida I vjebe
4.3 Odredite rezultantnu silu tlaka (veliinu, smjer i hvatite) na kvadratni poklopac
dimenzije a=0,8 m, ije se teite nalazi na dubini H=1,8 m, za sluajeve prema
slikama (a), (b) i (c). Zadano je: h=0,8 m, H1=1,2 m, =998,2 kg/m3, 1 =820 kg/m3,
=70o.
H
H1
H
H
h
C
C
C
g
g
g
.
. .
.
. .
..
.
.
.
..
...
..
..
.
a
aa(a)
(b)
(c)
-
4. Vjebe
Mehanika fluida I vjebe 27
Rjeenje:
(a)
2 11277 NhF gH a
C 1.92 msin
Hy
4
2
2
12 0,0278 m12C C C
aI a
yy S y a y
Sile konstantnog tlaka pa izvana i iznutra se
ponitavaju.
(b) 1. nain
Izvana djeluje sila uslijed atmosferskog tlaka
pa, a iznutra sila uslijed konstantnog tlaka p0.
Razlika tih dviju sila je sila F0 pretlaka pM0
iznutra.
Sila Fh uslijed hidrostatskog tlaka je ista kao
pod (a).
Jednadba manometra
0ap gh p
0 0 7831PaM ap p p gh
2
00 5012 NMF p a
H
O
C
z
Fh
yC
y
70o
h
H
.
. .
.
. .
..
.
.
.
..
...
..
..
.
C
a
-
4. Vjebe
28 Mehanika fluida I vjebe
Rezultantna sila :
0 16289 NR hF F F
RC FM M
RR hF y F y
0,0193 mhR R
Fy y
F
(b) 2. nain
Ako se pretlak 0Mp pretvori
u visinu tlaka 0Mp
hg
dolazi se do fiktivne
slobodne povrine na kojoj
vlada atmosferski tlak, te na
povrinu djeluje samo sila
uslijed hidrostatskog tlaka
raunata na osnovu dubine
mjerene od fiktivne
slobodne povrine.
2
16289 N
RhF F g H h a
2,77 msin
C
H hy
4
2
2
12
0,0193 m12
R
C C
R
C
aI
yy S y a
ay
y
CFh
F0FR
y
y
R
poklopac
H
h
z
. .
.
.
..
.
.
.
..
...
..
..
.
H
O
C
fiktivna slobodnapovrina
yC
y
R
-
4. Vjebe
Mehanika fluida I vjebe 29
(c)
H 1
H
C
F h
F h 1
F R
y 1
y R
y
Sile konstantnog tlaka pa se
ponitavaju.
Sila Fh uslijed hidrostatskog
tlaka je ista kao pod (a).
2
1 1 1 6176 NhF gH a
11 1,28 m
sinC
Hy
4
1 2
1 1
12 0,0418 mC C
aI
yy S y a
1 5101 NR h hF F F
RC F
M M
1 1 Rh h RF y F y F y
11 0,0109 mh hR R
F y F yy
F
4.4 Potrebno je odrediti na koju visinu h treba spustiti razinu vode, da bi se poklopac
jedinine irine, okretljiv u toki O, prema slici, otvorio uslijed vlastite teine.
Gustoa poklopca je jednolika, a masa mu je m=250 kg. Zadano je: L=160 cm ,
15 , =998 kg/m3.
O
L
pa
pa
h=?
g
poklopac
-
4. Vjebe
30 Mehanika fluida I vjebe
Rjeenje:
Na poklopac djeluje
vlastita teina i sila
hidrostatskog tlaka.
Poklopac e se otvoriti
kada moment sile teine
u odnosu na toku O
bude vei od momenta
sile hidrostatskog tlaka.
Krak sile teine u odnosu
na toku O je, cos2
L a
krak sile Fh hidrostatskog
tlaka je 2
Ly , te vrijedi
cos2 2
h
L Lmg F y
(a)
Sila hidrostatskog tlaka je definirana izrazom
sin 1h C CF gh A g y L (b)
a pomak
3 21
12 1 12C C C
I L Ly
y A y L y
(c)
Uvrtavanjem izraza (b) i (c) u (a) slijedi izraz za yC
0,851 m6
C
m Ly ctg
L
(d)
Iz slike (a) slijedi granina visina h fluida
sin sin 0,427m2
C
Lh x y
(e)
Oito je sinh L = 0,414 m, to znai da je razina fluida iznad gornjeg ruba poklopca,
kao to je pretpostavljeno na slici (a). Da to nije tako, trebalo bi ponoviti proraun uz
pretpostavku da je samo dio povrine poklopca u dodiru s fluidom.
O
L
pa
mg
Fh
y C
x
y
pa h
C
-
5. Vjebe
Mehanika fluida I vjebe 31
5. VJEBE
5.1 Treba odrediti silu F koja dri u ravnotei poklopac AB jedinine irine, zglobno
vezan u toki A, u poloaju prema slici. Zadano je : a=0,84 m; H=0,65 m; h=35,5 cm;
=999 kg/m3.
Rjeenje:
Slika (a) Sile na poklopac
U ovom primjeru nije pogodno
uvoditi fiktivnu slobodnu
povrinu, jer povrina AB nije
itava uronjena u fluid. Na dio
povrine poklopca koji se
nalazi iznad fluida, djeluje
samo sila konstantnog tlaka p0,
a na potopljeni dio povrine i
sila tlaka p0 i sila
hidrostatskog tlaka.
Zbog toga je u ovom sluaju jednostavnije raunati silu F0 (uslijed konstantnog tlaka p0) na
itavu povrinu, koja djeluje u teitu poklopca AB i silu hidrostatskog tlaka Fh, na dio
poklopca ispod stvarne slobodne povrine, kao to je prikazano na slici (a).
Sila teine poklopca prolazi tokom A, te u ravnotei momenata nije bitna. S obzirom da
fluid u spremniku miruje, tlak p0 e se odrediti iz jednadbe manometra od toke 1 u
piezometrikoj cijevi do toke 2 na slobodnoj povrini, koja glasi
pa
pa
p0=?.. ....
.
..
.
. ..
H
B
A
a
h
F
poklopac
g
pa
p0.
. ..
.. ..
.
. ..
H
B
A
a
a/2
h =y HC C= /2
H/2h
12
F
Fh
F0
y
-
5. Vjebe
32 Mehanika fluida I vjebe
0ap gh gH p (a)
iz koje je manometarski tlak
0 0 2890PaM ap p p g h H (b)
Negativni predznak ukazuje da se radi o podtlaku, te e sila F0
0 0 1 2428NMF p a (c)
biti negativna, odnosno usmjerena suprotno nego to je ucrtano na slici (a). Sila Fh je
1 20702
h
HF g H N (d)
a pomak hvatita sile Fh je
3
C
1
12 0,108 m6
12
HI H
yHy A
H
(e)
Sila F se odreuje iz uvjeta ravnotee momenata u odnosu na toku A, koja glasi
02 2 6
h
a H HF a F F
(f)
U gornjoj se jednadbi sila F0 uvrtava s negativnim predznakom, te slijedi sila F=-680 N,
to znai da na poklopac treba djelovati silom F u suprotnom smjeru od smjera na slici (a).
S obzirom da se poklopac naslanja na stijenku u toki B, sila F e biti sila reakcije izmeu
poklopca i stijenke, te za dranje poklopca u ravnotei nee trebati djelovati silom izvana.
5.2 Treba odrediti rezultantnu silu na zatvara, oblika polucilindra, jedinine irine B,
prema slici. Zadano je: H=3 m, R=1 m, =60o, =998,2 kg/m3.
g
H
C
R
pa
pa
-
5. Vjebe
Mehanika fluida I vjebe 33
Rjeenje:
Slika (a) Sile na zatvara
Ishodite koordinatnog sustava Oxz je smjeteno
na slobodnu povrinu. Sile atmosferskog tlaka pa
izvana i iznutra se ponitavaju tako da na
zatvara djeluje samo sila hidrostatskog tlaka,
koja se razlae na horizontalnu i vertikalnu
komponentu. Horizontalna komponenta sile se
rauna iz izraza
x Cx xF p S (a)
gdje je Sx projekcija povrine zatvaraa, a pCx
hidrostatski tlak u njenu teitu. Gledajui sliku
(a), horizontalne sile na dijelu povrine DEF
zatvaraa se meusobno ponitavaju jer je
projekcija dijela EF jednaka projekciji DE, a
suprotnog je predznaka.
Projekcija Sx se dakle odnosi na dio ABD povrine zatvaraa, oblika je pravokutnika
povrine 2BRsin i pozitivna je, jer vektor normale n na povrinu ini s pozitivnim
smjerom osi x kut manji od 90o. Teite projekcije povrine Sx je u toki C u kojoj je
hidrostatski tlak Cxp gH , te je
x 2 sin 50,9 kNF gH R B (b)
Negativni predznak sile Fx kazuje da sila gleda u negativnom smjeru osi x, tj. u lijevo.
Vertikalna komponenta sile je po veliini jednaka teini fluida u volumenu od povrine
zatvaraa do slobodne povrine. Volumen je definiran vertikalama AH i FI, povuenim iz
rubnih toaka povrine zatvaraa. Vertikala BG dijeli povrinu zatvaraa na dijelove s
pozitivnom i negativnom projekcijom Sz. Dio AB povrine ima negativnu projekciju Sz, te
vertikalna sila na taj dio povrine gleda u pozitivnom smjeru osi z, a definirana je
volumenom ABGHA. Dio povrine BDEF ima pozitivnu projekciju Sz, na koju vertikalna
komponenta sile hidrostatskog tlaka gleda prema dolje, a definirana je teinom fluida u
volumenu BDEFIGB.
H
C
A
B
D EF
2si
nR
2 cosR
n
n
V
H I xG
z
O
-
5. Vjebe
34 Mehanika fluida I vjebe
Kada se ove dvije sile zbroje dobije se ukupna vertikalna komponenta sile hidrostatskog
tlaka koja gleda prema dolje, a definirana je volumenom ABDEFIHA, koji je osjenan na
slici (a). Veliina tog volumena se rauna kao umnoak zbroja povrina polukruga i
trapeza AFIH sa irinom B zatvaraa, te je izraz za silu Fz
2
z 2 cos 44,7 kN8
DF g R H B (c)
Negativni predznak sile Fz ukazuje da ona gleda prema dolje.
Za odreivanje hvatita rezultante u opem bi sluaju bilo potrebno prvo odrediti poloaj
hvatita horizontalne i vertikalne komponente sile hidrostatskog tlaka. Za sluaj cilindrine
povrine to nije nuno, jer se unaprijed zna da e rezultanta prolaziti tokom C jer i sve
elementarne sile dpn S prolaze tokom C.
Slika (b) Poloaj rezultantne sile
Rezultantna sila je po veliini jednaka
2 2
R x z 67,7 kNF F F (d)
a djeluje pod kutom prema slici (b)
oz
x
arctg 41,3F
F (e)
AA
BBB
DD EEFF
V
HH IIG G
+ =
C
FR
-
5. Vjebe
Mehanika fluida I vjebe 35
5.3 Kvadratina greda zglobno je uvrena u bridu A. Odredite silu F kojom treba
djelovati na gredu jedinine duljine da bi bila u ravnotei u poloaju prema slici.
Zadano je: a=1 m; =999 kg/m3.
Rjeenje:
1. nain
2l a
1
1
2F g a l B
3
112
1 6
2
l Bl
l
l l B
2
3
2F g a l B
3
212
3 18
2
l Bl
l
l l B
1 1 2 2
1 12 0
2 2F a F l l F l l
2 21 1 5
12 3 12F gl B gl B
8164 NF
pa
pa
g
A
a
a
F=?
pa
C1F1
F2
C2a
a
F
A
C1
C2
-
5. Vjebe
36 Mehanika fluida I vjebe
2. nain povrina se tretira kao zakrivljena povrna
x 2S B a
3 32 2
12 3
B a aI
Horizontalna komponenta Fh
22 2 19593h C xF g h S g a a ga N
3
C x
2
13 0,333 m2 3
aI
h ah S a a
Vertikalna komponenta Fv
22
2
a aV a
2
v 9797F gV ga N
1
0,333 m3
x a
Uvjet ravnotee:
A 0M
v h2F a F x F a h
v h
1 2
2 3 3
a aF F F
a
8164 NF
pa
A
C2
x
z
hC=a
H= a2h
B=1
projekcija povrine
Cx
H
Sx
A
A
T2a
a
=
pa
A
F
Fh 2aFv
-
5. Vjebe
Mehanika fluida I vjebe 37
5.4 Homogena elina kugla gustoe c=7800 kg/m3 radijusa R=8 cm zatvara otvor na
ravnoj stijenci promjera d=12 cm. Treba odrediti kut nagiba kose stijenke da kuglica
oslobodi otvor kada u spremniku nastupi pretlak od pM=5000 Pa.
Rjeenje:
Slika (a) Sile na kuglu
Od vanjskih sila na kuglu djeluju sila teine G
u teitu C kugle, te sila F0 uslijed pretlaka pM
koja je okomita na projekciju dijela povrine
kugle izloene pretlaku pM, te takoer prolazi
teitem C kugle, kao to prikazuje slika (a).
Gledajui raspored sila moe se zakljuiti da e
se kuglica pomaknuti kada moment sile F0
bude vei od momenta teine, a kuglica e se
gibati oko toke O u kojoj e biti nepoznata sila
reakcije, koju nije nuno odrediti jer se
postavlja momentna jednadba oko toke O u
obliku
02
dF G k (a)
Sila F0 konstantnog tlaka je jednaka umnoku pretlaka i projekcije povrine pod pretlakom,
to u ovom sluaju glasi
2
0 56,5 N 4
M
dF p
(b)
Sila teine je
d=?
Rg
plin
pM=konst.
pa
d/2
G
F0
C
A
k
O
R
-
5. Vjebe
38 Mehanika fluida I vjebe
34 164 N
3cG mg R g (c)
Krak k sile teine, prema slici (a) je
cosk R (d)
gdje se kut moe odrediti iz pravokutnog trokuta AOC prema slici (a), iz jednadbe
o2cos 41,4
d
R (e)
Uvrtavanje izraza (d) u izraz (a) daje
0cos2
F d
R G
(f)
odakle je
o75 , odnosno o33,6 . (g)
-
6. Vjebe
Mehanika fluida I vjebe 39
6. VJEBE
6.1 Treba odrediti silu F u vijcima, kojima je privren poklopac, oblika stoca, mase
m = 474 kg, prema slici. Zadano je: H=1,4 m, h=0,9 m, R=0,8 m, pM0=2800 Pa,
=998 kg/m3.
Rjeenje:
Slika (a) Sile na poklopac
Na slici (a) su prikazane sile koje djeluju na
poklopac. Osim sile teine samog poklopca i sile Fv
u vijcima (koja je pretpostavljena tako da izaziva
vlana naprezanja u vijcima), djeluje jo vertikalna
sila F0 konstantnog pretlaka pM0 i sila Fz
hidrostatskog tlaka. Horizontalne sile tlaka se
meusobno ponitavaju. Sila F0 konstantnog
pretlaka je jednaka umnoku pretlaka i plotine
projekcije Sz povrine stoca sa strane pretlaka pM0.
Projekcija Sz je oblika kruga polumjera R i
negativna je, te je sila jednaka
2
0 M0 5630 NF p R (a)
i gleda prema gore.
Vertikalna komponenta Fz sile hidrostatskog tlaka je po veliini jednaka teini fluida u
prostoru od povrine stoca u dodiru s fluidom do slobodne povrine. Taj volumen je
osjenan na slici (a). Njegov je obujam
2 2 2
3
hV R h R r R r (b)
g
H
..
.
.
. .
.
.
..
..
...
..
..
.
.. .
.
R
h
poklopacpM0
H
..
.
..
.. ..
..
.
R
h
pM0
F0
Fz
mg
Fv
sl. pov inar
rV
-
6. Vjebe
40 Mehanika fluida I vjebe
Nepoznati polumjer r se odreuje iz slinosti trokuta, prema kojoj je
0,286 mr R H h
r RH h H H
(c)
to uvrteno u izraz (b), daje obujam V=0,914 m3. Sila Fz takoer gleda prema gore (jer je
projekcija povrine u dodiru s fluidom negativna), a po veliini je
z 8945 NF gV (d)
Iz ravnotee vertikalnih sila, prema slici (a), slijedi traena sila u vijcima
v 0 z 9930 NF F F mg (e)
Slika (b)
Do istog se rezultata moglo doi i na drugi
nain. Ako se poklopcem smatra sve ono to
se nalazi iznad ravnine A-B, prema slici (b),
odnosno iznad otvora polumjera R, tada e i
fluid unutar stoca pripadati poklopcu. Ako se
sa F M0h p g , prema slici (b), oznai
visinu pretlaka pM0, koja definira poloaj
fiktivne slobodne povrine, tada e sila F na
poklopac biti jednaka teini fluida u
osjenanom volumenu.
Slika (c)
Ako se toj sili oduzme teina fluida u
zatvarau, dobije se situacija prikazana na
slici (c), gdje osjenani dio volumena od
stvarne do fiktivne slobodne povrine definira
silu F0, a osjenani volumen ispod stvarne
slobodne povrine definira silu Fz, jednako
kao u prvom nainu.
.
.
.
.
..
. ... .
.
h
pM0
Fiktivna slobodna povr ina
hF
A B
.
.
.
.
..
. ... .
.
h
pM0
Fiktivna slobodna povr ina
hF
A B
-
6. Vjebe
Mehanika fluida I vjebe 41
6.2 Drvena homogena greda gustoe =940 kg/m3, duljine L=8 m i promjera D=0,5 m,
privrena je pod vodom gustoe v=999kg/m3 u toki O, oko koje se moe okretati.
Kolika e u ravnotenom poloaju biti duljina l uronjenog dijela grede?
Rjeenje:
2
4
DG g L
2
b v4
DF g l
O 0M
bcos cos2 2
L lG F
2 2 2 2
vcos cos4 2 4 2
D L D lg g
v
7,76 ml L
v
g
O
pa
L
l=?
D
O
L/2
l/2
Fb
G
-
6. Vjebe
42 Mehanika fluida I vjebe
6.3 Tankostijena bava mase m=94 kg, volumena V=600 l, potpuno je potopljena pod
vodu gustoe =998,2 kg/m3. Do polovine volumena ispunjena je zrakom
zanemarive teine i privezana uetom za dno. Odredite silu F u uetu.
Rjeenje:
b2
VF g
G mg
b 0F F G
b2
VF F G g mg
2015 NF
g
pa
zrak
.
...
..
..
.
..
.
.
.
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
..
.
. ..
.
..
.
.
..
.
.
.
voda
ue
Fb
F
mg
.
...
.
..
..
.
.
.
.
.
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
-
6. Vjebe
Mehanika fluida I vjebe 43
6.4 Kocka gustoe 0=495 kg/m3, brida a=0,44 m, zglobno je vezana u bridu O i zatvara
kvadratini otvor na dnu spremnika, prema slici. Treba odrediti silu F potrebnu za
podizanje kocke. Zadano je: H=1,2 m, =35, =999 kg/m3.
Rjeenje:
Slika (a) Sile tlaka na kocku
Slika (b)
Na slici (a) su prikazane sile tlaka koje djeluju na kocku. Sile koje djeluju na plohe kocke
koje su paralelne ravnini slike, meusobno se ponitavaju. Ako se na plohi OA doda i
oduzme sila F4 hidrostatskog tlaka, kao to je prikazano na slici (b), tada suma sila 1F , 2F ,
3F i sile 4F izvana, daju silu uzgona, koja djeluje u teitu kocke, te osim nje ostaje sila
hidrostatskog tlaka F4 iznutra na plohu OA, kao to je prikazano na slici (c), na kojoj je
ucrtana i sila teine kocke, odgovarajui krakovi sila, te veliine yC i y za silu F4. Iz slike
(c) slijedi
pa
pa
g
O
a
H
F=?
pa
paO
A
H
F2
F1
F3
pa
pa
A
O
HF2
F1
F3F4
F4
-
6. Vjebe
44 Mehanika fluida I vjebe
sin cos 0,613 mL a a (a)
2 0,306 mk L (b)
Slika (c) Sile na kocku
C 1,46 mcos 2
H ay (c)
C C cos 1,38 mh y (d)
Na temelju ega je
2
4 C C
4
cos
2618 N
F g h A g y a
F
4
2
C C
2
C
12
0,011 m12
aI
yy A y a
ay
y
3
b 834,5 NF gV ga
Kocka e se podii kada moment sile F (u odnosu na toku O) svlada momente ostalih sila,
tj.
4 b2 2
a LF L F y mg F (e)
odakle je sila 776 NF .
pa
pa
O
H
F
F4
A
yC
y
C
asin acos
L
mg
Fb
k=L/2
-
6. Vjebe
Mehanika fluida I vjebe 45
6.5 Na slici je prikazan presjek spremnika jedinine irine, ispunjenog vodom gustoe =
998 kg/m3. Odredite vlane i smine sile u vijcima u spojevima A B i C. Zanemarite
teinu svih dijelova spremnika. Zadano je: H = 2.5 m, h = 0.9 m, R = 0.6 m.
Rjeenje:
a) Odreivanje sile u spoju C. Da bismo odredili silu u spoju C, oslobodit emo ga donjeg
dijela spremnika, to emo nadoknaditi horizontalnom komponentom CxF , vertikalnom
komponentom CzF i momentom CM , koji se ovdje ne trai. Od vanjskih sila imamo samo
silu hidrostatskog tlaka kojom fluid djeluje na stijenku, jer se sile atmosferskog tlaka
izvana i iznutra ponitavaju, a sila teine je zanemarena.
Horizontalna komponenta CxF je dakle u ravnotei s horizontalnom komponentom
hidrostatskog tlaka, tj. vrijedi
Komponenta CzF je jednaka vertikalnoj komponenti sile hidrostatskog tlaka, koja djeluje
prema gore, a po veliini je jednaka teini fluida u zeleno osjenanom volumenu, prema
gornjoj slici.
H
R
pa
g
B C
A
h
pa
FCx gH
2 H B
FCx 3.058 104
N
FCz g H RR h
2
B FCz 1.204 104
N
H
R
pa
g
C
h
pa
-
6. Vjebe
46 Mehanika fluida I vjebe
b) Odreivanje sile u spoju B. Da bismo odredili silu u spoju B, oslobodit emo ga dijela
spremnika lijevo od toke B, to emo nadoknaditi horizontalnom komponentom BxF ,
vertikalnom komponentom BzF i momentom BM , koji se ovdje ne trai. Od vanjskih sila
ponovo imamo samo silu hidrostatskog tlaka kojom fluid djeluje na stijenku koja se sastoji
od polucilindra BC i dijela povrine kao u sluaju odreivanja sile u spoju C.
S obzirom da se horizontalna komponenta sile hidrostatskog tlaka na polucilindru BC
ponitava, horizontalna komponenta ostaje ista kao i kod odreivanja sile u spoju C, tj.
Vertikalna komponenta sile BzF u spoju B dri u ravnotei vertikalnu komponentu sile
hidrostatskog tlaka, koja je jednaka teini fluida u plavo osjenanom volumenu na gornjoj
slici, pa vrijedi
c) Odreivanje sila u spoju A. Da bismo odredili silu u spoju A, oslobodit emo ga veza, tj
dodati horizontalnom komponentu AxF , vertikalnom komponentu AzF i moment AM , koji
se ovdje ne trai. Od vanjskih sila ponovo imamo samo silu hidrostatskog tlaka kojoi fluid
djeluje na stijenku koja se sastoji od ravnog dijela AB, polucilindra BC i dijela povrine
kao u sluaju odreivanja sile u spoju C.
FBx gH
2 H B FBx 3.058 10
4 N
FBz g H RR h
2
R2
2
B FBz 2.286 104
N
H
pa
g
B
C
pa
H
pa
g
A
C
pa
h
-
6. Vjebe
Mehanika fluida I vjebe 47
Horizontalna komponenta hidrostatskog tlaka je u ovom sluaju manja nego u prethodnom,
jer se horizontalne komponente tlaka ponitavaju i na dijelu povrine AB, pa vrijedi
Vertikalna komponenta ostaje ista kao i u za sluaj odreivanja sile u spoju B, tj.
Napomena: Kod sva tri spoja vertikalne komponente predstavljaju vlane sile, a
horizontalne komponente smine sile za odgovarajue vijke.
FAx 1.253 104
NFAx gH h( )
2
2 B
FAz g H RR h
2
R2
2
B FAz 2.286 104
N
-
7. Vjebe
48 Mehanika fluida I vjebe
7. VJEBE
7.1 Ravninsko strujanje fluida (slika strujanja je ista u svim ravninama paralelnim
s ravninom x3 = 0) zadano je jednadbama gibanja :
1 1tx y e
2 2tx y e
gdje su: =1 s-1 vremenska konstanta, yi Lagrangeove koordinate, a xi prostorne ili
Eulerove koordinate. Odredite :
a) brzinu i ubrzanje estice fluida u Lagrangeovim koordinatama,
b) polje brzine i ubrzanja u Eulerovim koordinatama,
c) trajektoriju estice fluida yi = (1,1),
d) strujnice, te nacrtajte strujnicu koje prolazi tokom xi = (1,1).
Rjeenje:
Jednadbe gibanja estice fluida
1 1
tx y e
2 2
tx y e (1)
Oito vrijedi:
0i ix t y
se mogu napisati i u inverznom obliku
1 1
ty x e
2 2
ty x e (2)
estica fluida yi (1,1) e se prema (1) nakon 3 sekunde nai na poziciji
3
1 1 20,09x e
3
2 1 0,050x e
Iz jednadbe (2) moemo odrediti gdje se nalazila estica fluida, koja se npr. u t =3 s
nalazila u toki
3 3,ix e e
3 3
1 1y e e
3 3
2 1y e e
i 1,1y
a) brzina i ubrzanje u Lagrangeovim koordinatama
,
i
i i
i
y konst
x y tv
t
-
7. Vjebe
Mehanika fluida I vjebe 49
11 1
txv y et
22 2
txv y et
(3)
,
i
i i
i
y konst
v y ta
t
211 1
tva y et
222 2
tva y et
(4)
Iz (3) moemo izraunati brzinu, a iz (4) ubrzanje bilo koje estice yi u bilo kojem
trenutku t.
b) Polje brzine i ubrzanja
Ako se u jednadbu (3) uvrste jednadbe (2)
1 1 1
t tv x e e x
2 2 2
t tv x e e x (5)
Polje brzine je stacionarno jer ne zavisi od vremena
- polje ubrzanja (2) (4)
2 2
1 1 1
t ta x e e x
2 2
2 2 2
t ta x e e x (6)
Ako je izvedena materijalna derivacija:
1 2 3
1 2 3
i i i i i i ii j
j
Dv v v v v v va v v v v
Dt t x t x x x
211 1 1
1
va v x
x
222 2 2
2
va v x
x
Ubrzanje estice fluida u toki 3 3,ix e e je iz (6)
2 3
1a e
2 3
2a e
-
7. Vjebe
50 Mehanika fluida I vjebe
Znamo da se u toki 3 3,ix e e nalazi estica yi =(1,1) u t=3 s, pa bi isto ubrzanje trebali
dobiti i iz jednadbi (4) to je oito.
c) Trajektorija estice fluida yi =(1,1)
Jednadba trajektorije se dobije u Lagrangeovom zapisu eliminacijom vremena t iz
jednadbi gibanja (1). U ovom sluaju ih je dovoljno pomnoiti, te slijedi:
1 2 1 2x x y y
za yi =(1,1) 1 2 1x x jednadba hiperbole
- mijenjanjem poetne pozicije yi
dobiju se razliite trajektorije
Trajektorije se mogu odrediti i iz Eulerova polja brzine:
ii
Dxv
Dt 1 1 1
d
d
xv x
t
2 2 2d
d
xv x
t
11 1 1 1
1
dd ln ln t
xt x t C x C e
x
22 2 2 2
2
dd ln ln t
xt x t C x C e
x
Konstante C1 i C2 se odreuju iz poetnih uvjeta koji glase.
za t=0 x1=y1; x2=y2 to uvrteno daje
1 1
2 2
t
t
x y e
x y e
poetne jednadbe gibanja
1
estica yi1
y2
y11
estica =(1,1)yi1
-trajektorija
y1
1
-
7. Vjebe
Mehanika fluida I vjebe 51
d) strujnice (luk strujnice dxi je kolinearan s vektorom brzine vi)
i id x d v 1 1d dx v
2 2d dx v
1 2 1 2
1 2 1 2
d d d dx x x x
v v x x
1 2ln ln lnx x C
1 2x x C jednadba strujnica -
mijenjanjem konstante C dobivaju se razliite strujnice
Strujnica koja prolazi tokom xi=(1,1) se
poklapa s trajektorijom, to se za
stacionarno strujanje i oekuje.
1
1
=1.
-
7. Vjebe
52 Mehanika fluida I vjebe
7.2 Stap injekcije je promjera D = 9 mm, a igla je promjera d = 0,2 mm. Odredite brzinu
v1 strujanja nestlaivog fluida kroz iglu, ako je brzina pomicanja stapa v = 3 mm/s.
Rjeenje:
Iz jednadbe kontinuiteta
1 2Q Q
2 2
14 4
D dv v
2
1 6,075 m sD
v vd
7.3 U mjealite kroz prvu cijev promjera D1 = 100 mm ulazi nestlaivi fluid gustoe
1=850 kg/m3 masenim protokom 1 6,9 /m kg s , a kroz drugu cijev promjera D2 =
150 mm ulazi nestlaivi fluid gustoe 2=980 kg/m3, brzinom v2 = 2,1 m/s. Odredite
kojom e brzinom iz mjealita istjecati homogena mjeavina ovih fluida kroz cijev
promjera D3 = 200 mm. Koja je gustoa mjeavine ?
.
-
7. Vjebe
Mehanika fluida I vjebe 53
Rjeenje:
Prema jednadbi kontinuiteta
1 2 3m m m ili 22
321 2 2 3 3
4 4
DDm v v
(1)
Zbog nestlaivosti strujanja vrijedi:
1 2 3Q Q Q ili 22
31 22 3
1 4 4
Dm Dv v
(2)
iz (2)
2
1 22
13 2
3
41,44 m s
4
m Dv
vD
iz (1)
2
21 2 2
3
3 2
33
4 956,7 kg m
4
Dm v
Dv
7.4 U cilindrini spremnik ulazi voda, kroz jednu cijev protokom Q1 = 18 l/s, a kroz
drugu protokom Q2 = 25 l/s. Kroz treu cijev promjera D3 = 100 mm voda istjee
brzinom v3 = 3,8 m/s. Odredite vrijeme potrebno da u spremnik utee 3 m3 vode.
Rjeenje:
2
33 3 29,8 l s
4
DQ v
1 2 3 13,15ukQ Q Q Q l s
228uk
Vt s
Q
-
8. Vjebe
54 Mehanika fluida I vjebe
8. VJEBE
8.1 Odredite minimalni protok Q u nestlaivom strujanju fluida kod kojeg e ejektor
poeti usisavati fluid kroz vertikalnu cjevicu. Zadano je A2=14 cm2, A1=3,5 cm
2,
h=0,9 m.
Rjeenje:
Da bi ejektor poeo usisavati fluid kroz vetikalnu cjevicu, tlak p1 u presjeku A1 mora biti
manji od hidrostatskog tlaka koji vlada pri mirovanju fluida u vertikalnoj cjevici.
1 ap p gh (a)
Bernoullijeva jednadba od presjeka A1 do presjeka A2 glasi:
2 2
1 1 2 2
2 2
p v p v
g g g g (b)
Jednadba kontinuiteta
1 1 2 2v A v A Q 1 21 2
iQ Q
v vA A
(c)
Uvrtavanjem (c) i (a) u (b)
2 2
a a
2 2
1 22 2
p gh pQ Q
g gA g gA
odakle je:
3 31 2
2 2
2 1
2 1,52 10 m sA A
Q ghA A
h
Q=?A1
pa
pa
A2
g
-
8. Vjebe
Mehanika fluida I vjebe 55
8.2 Odredite visinu zB kraja B sifona, pri kojoj se u neviskoznom strujanju fluida
ostvaruje maksimalni protok Q nestlaivog fluida gustoe =995,6 kg/m3, tlaka
isparavanja pv=4241 Pa, ako je: pa =1010 mbar, z1=34 m, z0=30,5 m, d=150 mm.
Rjeenje:
Sputanjem izlaznog kraja sifona brzina strujanja se poveava, a tlak u najvioj toki
sifona smanjuje. Pri minimalnom tlaku u najvioj toki, koji odgovara tlaku isparavanja
p1=pv postie se maksimalno mogua brzina v1=vmax.