mfl chap1 2012

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Cours „mécanique des fluides‟ - par Zgolli Ridha - ENIT

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MECANIQUE DES FLUIDES

INTRODUCTION :

L'objet de cette partie du programme consiste à établir les relations fondamentales décrivant

l'équilibre d'un fluide. Ce dernier peut être :

En repos STATIQUE DES FLUIDES ,

permet de déterminer la répartition de pression et des forces de contact .

ou en mouvement DYNAMIQUE DES FLUIDES ,

dans le cas général, l'équilibre d'un fluide en mouvement peut être décrit par les principes

fondamentaux de la mécanique et de la thermodynamique;

PRINCIPE DE CONSERVATION DE LA MASSE :

Un fluide voit sa masse se conserver au cours de son mouvement

(équation de continuité)

PRINCIPE DE CONSERVATION DE LA QUANTITE DE MOUVEMENT :

La dérivée de la quantité de mouvement d'un système matériel est égale à la somme des forces

extérieures s'exerçant sur ce système .

(lois fondamentales de la dynamique)

PRINCIPE DE CONSERVATION DE L'ENERGIE :

qui se traduit par l'égalité entre la somme des différentes énergies apportées au domaine fluide

considéré, par unité de temps et la variation d'énergie totale du fluide contenu dans le domaine

pendant le même temps (variation d'énergie interne plus variation d'énergie cinétique).

Certaines notions et définitions qui vont nous faciliter l'établissement des équations correspondantes,

vont êtres introduites au premier chapitre de ce document.

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Chapitre1 : NOTIONS FONDAMENTALES

1.1. MILIEUX CONTINUS - FLUIDES:

Un fluide est constitué à chaque instant par les mêmes éléments de matière appelées particules

fluides. Du point de vu mathématique une particule est assimilée à un point (analogie avec la notion

de point matériel en mécanique rationnelle).

Un fluide peut être considéré comme étant formé d'un grand nombre de particules matérielles, très

petites et libres de se déplacer les unes par rapport aux autres. Un fluide est donc un milieu matériel

continu, déformable, sans rigidité et qui peut s'écouler. Parmi les fluides, on fait souvent la

distinction entre liquides et gaz.

Les liquides et gaz habituellement étudiés sont isotropes, mobiles et visqueux. La propriété physique

qui permet de faire la différence entre les deux est la compressibilité.

l'isotropie assure que dans le domaine occupé par le fluide (domaine fluide), les propriétés sont

identiques dans toutes les directions de l'espace.

la mobilité fait qu'un fluide n'a pas de forme propre et qu'il prend la forme du récipient qui le

contient.

la viscosité caractérise le fait que tout changement de forme d‟un fluide réel s'accompagne d'une

résistance au mouvement des particules ( : frottements).

Exemples:

l'air (mélange de gaz), est considéré comme un milieu continu (fluide homogène) .

à très basse pression, le gaz raréfié voit les distances intermoléculaires trop grandes pour qu'on

puisse admettre que ses propriétés varient continûment (milieu non continu).

Dans un gaz, c‟est le libre parcours moyen qui fixe la limite de l‟hypothèse de continuité. Lorsque la

pression est suffisamment basse pour que la distance moyenne entre molécules devienne plus grande

que les dimensions caractéristiques de l‟´ecoulement, on ne peut plus appliquer les lois classiques de

la mécanique des fluides. Une telle situation se rencontre dans la très haute atmosphère (rentrée des

véhicules spatiaux) et dans les systèmes d‟ultravide utilisés en physique du solide. Dans la suite de ce

cours, nous considérerons tous les fluides comme des milieux continus dont les propriétés physiques

et la dynamique peuvent être d´ecrits par des fonctions des coordonnées spatiales.

un domaine fluide constitué d'une suspension d'un liquide dans un autre, n'est pas un milieu

continu.

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1.2. MASSE VOLUMIQUE: ( )

Soit D de volume V, le domaine occupé par le fluide à l'instant t. Il existe

à cet instant une fonction scalaire non négative (M,t) tel que la masse m

du fluide contenu dans D soit défini par :

m = D

( , )M t dv

avec (M,t) : la masse volumique du fluide à l'instant t au point M, en Kg/m3

dans le (S.I.).

Remarques :

- Ne pas confondre avec la densité qui est sans unité. Rappelons que la densité d‟un liquide est le

rapport entre la masse volumique du liquide considéré et la masse volumique de l‟eau pure (à

1000Kg/m3). Alors que la densité d‟un gaz est le rapport entre la masse volumique du gaz considéré

et la masse volumique de l‟air sec à la pression atmosphérique à 20°C.

- Les fluides évoluant à masse volumique invariante (Cteseront appelés „fluides isovolumes‟

ou aussi „fluides incompressibles‟.

1.3. PRESSION DANS UN FLUIDE : (p)

Dans un milieu fluide, la force df

que la partie (1) exerce sur la partie

(2) à travers un élément de surface dS (au sein même du fluide ou le

long de sa frontière) a une direction quelconque. Cette force

élémentaire peut toujours être décomposée en :

- une composante tangentielle : tdf

- une composante normale : ndf

La quantité tdf

dS

représente la contrainte tangentielle et ndf

dS

represente la contrainte normale.

Par définition, la pression p au point M representera la limite de la contrainte normale, lorsque

l‟élément de surface dS

centré en M, tend vers 0

(donc tend vers le point M);

lim( )

0

ndfp

dS dS

Unités de p dans le Système Universel (S.I): le [N/m²] ou aussi le [Pa] (Pascal) ; 1 Pa = 1 N/m²

On utilise aussi le « bar » ; 1 bar = 105

Pa = 1daN/cm2

.

Remarque : les unités industrielles habituellement utilisées sont le mm C.E. (mm Colonne d‟Eau) ou

le mm C.Hg (mm Colonne de mercure). Leur conversion dépend évidemment des masses volumisues

(voir chapitre „Statique‟).

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1dS

dfN

dfT

df

D, t.

x M

M ;t)

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1.4. FLUIDE REEL - VISCOSITE D'UN FLUIDE:

Sous l'effet des forces d'interaction, les particules fluide ne s'écoulent pas à la même vitesse.

Si on représente par un vecteur, la vitesse de chaque particule située dans une section droite

perpendiculaire à l'écoulement d'ensemble, la courbe lieu des extrémités de ces vecteurs représente le

« profil de vitesse ». Le mouvement du fluide peut être considéré comme résultant du glissement des

couches de fluide les unes sur les autres.

La force de frottement qui s'exerce à la surface de séparation de deux couches fluides contiguës,

s'oppose au glissement d'une couche sur l'autre et elle est généralement proportionnelle au coefficient

de viscosité dynamique µ (considéré constant pour les fluides classiques , voir ch. 2)

a) coefficient de viscosité dynamique µ : Pour les fluides classiques en écoulement

incompressible, le coefficient de viscosité dynamique µ est considéré constant ne dépendant que de

la température du fluide (cette dernière étant considérée constante ).

L'expérience montre que, pour les gaz (considérés incompressibles) µ lorsque T , alors que pour

les liquides µ lorsque T (plus de détails au &1.5).

Unités de µ dans le Système International (S.I) : le Poiseuille (Pl); 1 Pl = 1 Ns/m2

on utilise aussi le Poise (Po) ou le centipoise ( cPo); 1 Po = 0,1 Pl , 1 cPo = 0,01 Pl.

Exemple : à 20°C, quelques valeurs de µ en cPo

eau...........1 Huile de graissage:10 à 1200

Air........... 0,018 mercure... 1,6

essence.... 0,6 Glycérine.............:870

b) Viscosité cinématique : La viscosité du fluide peut être aussi caractérisée par le

coefficient de viscosité cinématique, noté et défini par la relation suivante ;

= µ /

l‟unité de dans le Système International (S.I) est le „m2/s‟.

On utilise souvent le Stokes (St) ou le centiStokes (cSt) ou aussi le mm2/s ;

1 cSt = 10-2

St = 10-6

m2/s = 1 mm

2/s.

c) Fluide parfait (ou idéal) pour lequel la viscosité est nulle. Dans ce cas les forces de

frottement (entre les différéntes particules fluide et entre le fluide et le milieu adjacent) sont nulles, et

les forces surfaciques se réduisent aux forces de pression. La notion de fluide parfait est une pure

abstraction destinée à faciliter certains calculs de mécanique des fluides théoriques.

1.5. PROPRIETES DE LA VISCOSITE :

Pour les fluides classiques, la viscosité dépend essentiellement de la température T. La figure et le

tableau suivants montrent que la viscosité cinématique de l‟eau décroît lorsque T augmente.

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Temp

°C

Viscosité

cinématique de

l‟eau (x 10-6

m2/s)

°C m2/s

5 1,520

10 1,308

15 1,141

20 1,005

25 0,896

26 0,878

27 0,856

28 0,841

29 0,823

30 0,804

35 0,727

40 0,661

50 0,556

65 0,442

a) Equation de Walter;

Pour toutes les huiles minérales ( et aussi pour les huiles synthétiques mais dans un ordre moindre),

on assiste à une baisse de la viscosité lorsque la température augmente. Il n'existe pas de calcul

mathématique fondamental permettant de déterminer à priori la variation de la viscosité en fonction

de la température pour tous les fluides. Pour les huiles minérales, l'expression la mieu adaptée est de

forme exponentielle. Une transformation logarithmique des coordonnées, viscosité et température,

permet de convertir les courbes de variation de la viscosité en droites. La loi semi empirique la plus

utilisée pour exprimer cette transformation, est la suivante (Walter):

Log[log( + 0,6)] = k1 log T + k2

où k1 et k2 sont deux constantes qui dépendent du liquide considéré, et est le coefficient de

viscosité cinématique du liquide à la température absolue T.

Pour une huile donnée, il suffit de connaître la viscosité à deux températures différentes pour

déterminer la viscosité à une troisième température.

b) Indice de viscosité;

Il permet d'exprimer, au moyen d'un nombre (: I), la variation de viscosité d'une huile en fonction de

sa température. L'indice I=100 a été alloué aux huiles minérales standards.(à tendance paraffinique).

Les huiles de moins bonne qualité (huiles à tendance asphaltique) vont avoir un indice I <100. Et à

l'heure actuelle on obtient à l'aide d'additifs synthétiques, des huiles de synthèse d'indice de viscosité

dépassant largement la valeur moyenne de 100.

Selon la catégorie à laquelle appartient l'huile dont on veut déterminer l'indice de viscosité, on peut

utiliser l'une des deux méthodes suivantes.

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pour les huiles à indice I < 100 ;

Soit à déterminer I(X) correspondant à une huile X de viscosité a(X) à T=99°C et b(X) à T=37,8°C.

Les deux huiles de référence A(indice 100) et B(indice 0) ayant la même viscosité (a) à 99°C, ont

respectivement des viscosités c et d à T=37,8°C.

L'indice de viscosité recherché de l'huile X s'obtient alors par la formule suivante:

I(X) = 100.ocod

oboc

Où ; ob, oc, et od sont des quantités mesurées sur l'axe des ordonnées de la figure suivante.

pour les huiles à indice I > 100;

dans ce cas l'indice de viscosité de l'huile X est déterminé par l'expression suivante:

I(X) = ( log ) 1

1000,0075

anti N

Où N =log log

log

c b

a

, (N=log(antilogN))

1.6. SURFACES DE DISCONTINUITE : (de 1ère espèce: discontinuité finie)

o Surface de glissement: surface de discontinuité(de vitesse) séparant deux domaines d'un même

fluide à vitesses différentes, non traversée par les particules.

Exemple : surface séparant le fluide en écoulement dans la conduite et le flude en répos dans le tube

piézométrique (figure suivante)

o Surface de contact :surface de discontinuité de toute autre propriété que la vitesse et la pression

pour deux domaines adjacents d'un même fluide.

o Surface de séparation :frontière de deux fluides différents (exemple de la suraface libre = surface

de séparation d‟un liquide de l‟air libre de l‟atmosphère)

fluide en écoulement

fluide en en repos Surface de glissement

(cSt)

T(°C)

d

b c

o a

Huile

B Huile

X Huile

A

T1=37,8 T2=99

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1.7. DEFINITIONS DE CINEMATIQUE DES FLUIDES :

On rappelle que l'objet de la cinématique est la description de son mouvement. Et pour ce fait, il

existe deux méthodes ; la méthode dite de Lagrange et la méthode d'Euler.

1.7.1. DESCRIPTION LAGRANGIENNE :

Dans ce cas le comportement du fluide est décrit, en exprimant ses caractéristiques (vitesse,

position, pression, masse volumique et température) à chaque instant t, en fonction de ses

caractéristiques t0à un instant antérieur fixé t0.

Autrement-dit; la particule passant par le point M0 de coordonnées xi0 à t0 , va être à l'instant t au

point M de coordonnées xi(xi0

,t) ; c‟est à dire que l‟on peut écrire M(t)=M(M0,t), et toute grandeur

physique associée à cette particule est exprimée en fonction de M0 et t:

M(t) = M(M0,t)

et(M,t) = (M0,t) ,

Remarque : Pour toute la suite, cette méthode sera abandonnée et nous adopterons plutôt la

description Euleurienne suivante.

1.7.2. METHODE D'EULER :

Dans ce cas le mouvement du fulide est décrit en suivant l'évolution de ses propriétés

physiques(principalement la vitesse) en chaque point M de l'espace occupé par le fluide à chaque

instant t.

Soient x1, x2, x3 les coordonnées

dans un repère Galiléen du point M .

M(xi) et t sont des variables indépendantes.

Ce sont les variables d'Euler.

Pour décrire l'état cinématique du fluide, nous utiliserons la fonction vectorielle U

(M,t), qui

represente en chaque point M de l'espace, le vecteur vitesse de la particule qui à l'instant t se trouve

en M. (ce qui revient à placer un instrument de mesure en ce point M ,et qui mesure une propriété,

telle que la vitesse, des différentes particules du fluide qui passent par ce point.).

1.7.3. TRAJECTOIRE:

C'est une courbe, lieu des positions occupées par une particule donnée au cours de son mouvement

(M(xi ;t)).

L'éqution analytique correspondante s'écrit:

31 2

1 2 3( ; ) ( ; ) ( ; )i i i

dxdx dxdt

u x t u x t u x t

avec xi les coordonnées dans le repère cartésien et ui les composantes du vecteur vitesse en ce point à

cet instant t.

M(xi

)

x1

x2

x3

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1.7.4. LIGNE DE COURANT (à l'instant t0)

C'est la ligne de force du chmp des vitesses à cet instant. En chacun de ses points, une ligne de

courant est tangente au vecteur vitesse de la particule qui passe par ce point à cet instant.

L‟équation analytique correspondante s‟écrit en coordonnées cartésiennes comme suit ;

31 2

1 0 2 0 3 0( ; ) ( ; ) ( ; )i i i

dxdx dx

u x t u x t u x t

1.7.5. SURFACE DE COURANT - TUBE DE COURANT:

une surface de courant est constituée de l‟ensemble des lignes de courant qui reposent sur une courbe

donnée. Lorsque cette dernière est fermée, la surface de courant prend la forme d'un tube appelé

"tube de courant".

Remarque :Une particule qui rentre dans un tube de courant, ne peut plus s'échapper par ses surfaces

latérales.

1.7.6. TOURBILLON-SURFACE DE ROTATION ET CIRCULATION :

Le vecteur 1

2rotU

est appelé vecteur rotation ou tourbillon.

Les lignes de rotation à un instant donné sont les lignes de force de champ des vecteurs

à cet

instant. Une surface de rotation est constituée de lignes de rotation qui s'appyent sur une coube

donnée. Et lorsque cette courbe est fermée, on dit qu'on a un tube de rotation.

Soit un tube de rotation à l'instant t, défini par sa surface latérale

Slat(surface de rotation) délimitée par S1 et S2 deux cloisons

interieurs au tube(voir figure), de normales unitaires n1 et n2.

Alors le flux de

à travers ce tube est constant

et s'appelle intensité du tube de rotation: 1 2

. .S S

dS dS

Consequence: Un tube de rotation d'intensité non nulle ne peut pas se terminer au sein du fluide

considéré.

En notant par la circulation du vecteur vitesse U

le long d'un arc (AB), on a : AB

Uds

Le théorème du rotationnel (de Stokes) donne; .L

U dl

= .S

rotU ndS

; L étant un contour fermé

entourant S. L‟intensité du tube tourbillon est égale à la circulation le long d'une courbe fermée

tracée sur la surface du tube tourbillon, lorsque cette courbe est décrite dans le sens direct autour de

la direction n

liée au sens de parcours sur le contour L(règle du tire-bouchon), et qu'elle entoure une

fois le tube.

n2

S1

S2 n1

Slat

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1.8. DERIVEE MATERIELLE:

la dérivée materielle ou particulaire est la dérivée par rapport au temps lorsqu‟on suit la particule

dans son mouvement. On la notera ici par d

dt.

1.8.1. DERIVEE MATERIELLE D'UNE FONCTION SCALAIRE:

Considérons une fonction scalaire f rattachée à la particule fluide P de coordonnées x, y et z. A

chaque instant t, f (P ;t) s‟écrit ;

o En variables de Lagrange ; f = f(x0,y0,z0 ; t) et dans ce cas la dérivée particulaire de f se réduit à

la dérivée partielle par rapport au temps puisque x0,y0,z0 sont des constantes.

df f

dt t

Par exemple si f est la position de la particule, la dérivée particulaire est sa vitesse.

o En variables d‟Euler ; x,y,z et t sont des variables indépendantes. En suivant la particule dans

son mouvement, x,y, et z sont les coordonnées de la particule en question et sont donc fonction de t.

c.à.d. f(x,y,z,t) = f(x(t),y(t),z(t),t)

f f f f

df dx dy dz dtx y z t

et en divisant par dt, on fait apparître les termes

, ,dx dy dz

u v et wdt dt dt

représantant les composantes du vecteur U

vitesse de la particule fluide

passant par P à l‟instant t. Et on peut écrire ;

( . )df f

U fdt t

f

t

: dérivée instantanée ou locale( pour rappeler que P reste fixe dans cette dérivation,

et ( . ) .U f U grad f

: partie convective ;elle est nulle s‟il n‟y a pas de mouvement.

1.8.2 . DERIVEE MATERIELLE D'UNE FONCTION VECTORIELLE:

Par application de la dérivée particulaire d‟une fonction scalaire aux composates du vecteur V

, on

montre facilement que l‟on peut écrire en variables d‟Euleur ;

( . )dV V

U Vdt t

Pour aura :V U on

21 ( . ) ( )

2

dU UU U U

dt t

; dite expression de Helmoltz.

1.8.3. DERIVEE MATERIELLE D'UNE INTEGRALE DE VOLUME:

Consdérons la fonction g(P,t) représentant la densité d‟une certaine grandeur G relative à tout le

domaine D occupé par le fluide à cet instant.G s‟écrit :

( , )D

G g P t dv

A l‟instant t, le domaine D occupé par le fluide est de volume V délimité par une surface S considéré

régulière. On montre que l‟on peut écrire dans ces cas ;

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.V S

dGgdv gU ndS

dt t

.

n

étant le vecteur unitaire normal à dS

, dirigée vers l‟exterieur du domaine D

Le premier terme est la partie instationnaire de la dérivée materielle, et le second terme est la partie

convective représentant le flux de f U

à travers S.

Avec l‟Hypothèse que le volume V ne renferme pas de surface de discontinuité pour g et pour la

vitesse U

, on peut écrire ;V V

ggdv dv

t t

.

De plus, en appliquant le théorème de Green on a ; . ( )S V

gU ndS div gU dv

, d‟où :

( )V

dG gdiv gU dv

dt t

On étend les résultants précédents à une intégrale de fonction vectorielle en considérant séparément

les composantes de cette fonction. Soit V

J rdv

; on a :

( . )V S

d Jrdv r U n dS

dt t

1.8.4. APPLICATION : Equation de continuité

Le principe de conservation de la masse traduit le fait qu'il n'y a ni apparition ni disparition de

matière au sein du fluide en mouvement. Et dans ce cas, l‟ écoulement est dit conservatif.

Considérons un fluide en mouvement, occupant à l‟instant t un domaine D de frontière S. Sa masse

m définie par :D

m dv reste inchangée ; c‟est à dire :(voir „dérivation matérielle‟)

0dm

dt

S

U.ndS 0dvt

C‟est l‟équation de conservation de la masse sous forme intégrale. Dans un domaine fluide le taux

d'accumulation de la masse est compensé par le flux de masse à travers la frontière de ce domaine.

Cette équation peut écrite aussi sous la forme suivante ;

D

[ div( U) ] dv 0t

et comme D peut être choisi arbitrairement, nous aurons ;

( ) 0div Ut

appelée équation de continuité ; c‟est l‟équation de conservation de la masse sous sa forme locale.

Remarque ;

L’équation précédente (de continuité) peut s’écrire aussi sous la forme ;

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. 0U grad divUt

La somme des deux premiers termes du membre de gauche est la d´erivée “particulaire” (en suivant

le mouvement du fluide) de la masse volumique. Si le fluide est incompressible, la masse volumique

n‟évolue pas au cours du temps ( : 0d

dt

) et l‟´equation de conservation de la masse se réduit à :

0divU

.

1.9. ECOULEMENTS PARTICULIERS :

Ecoulement permanent (ou stationnaire) ; Lorsqu‟en description Eulerienne, le vecteur vitesse

se trouve indépendant du tems t, et ceci en tout point du domaine fluide considéré. Plus

généralement, un mouvement de fluide est dit permanent si toutes ses caractéristiques sont

indépendantes du temps ( 0u v w p T

t t t t t t

).

Remarques :

Il est évident qu'en mouvement permanent les surfaces de discontinuité sont fixes.

les lignes de courant sont les mêmes à tout instant et elles sont confondues avec les trajectoires

Il est à souligner que si un mouvement est permanent relativement à un repère il ne l'est pas

forcément relativement à un autre repère.

écoulement ‘plan’ ; Un mouvement est plan, parallèlement au plan Ox1x2 par exemple, si la

vitesse est parallèle à Ox1x2 (c'est-à-dire si u3 = 0) et si toutes les propriétés du fluide sont

invariantes dans une translation normale à Ox1x2 (c'est-à-dire si 3x

= 0 ).

écoulement ‘méridien’ ;Un mouvement est dit méridien: (ou de révolution) ) par rapport à l'axe

Ox1 par exemple, si la vitesse rencontre Ox1 et si les propriétés du fluide sont invariantes dans une

rotation autour de Ox1.

écouleement unidimensionnel (à une dimension) ; si la vitesse est parallèle à une direction

donnée (unidirectionnel), soit Ox1 par exemple, et si les propriétés du fluide sont invariantes dans

une translation normale à Ox1 .

On a dans ce cas : u2 = u3= 0 et 2x

= 0,

3x

= 0

Il ne faut, pas confondre mouvement à une dimension et mouvement „par droites paral!èles‟. Dans ce

dernier mouvement on a encore u2 = u3= 0 mais les propriétés du fluide peuvent dépendre de x2 et de

x3 . Il s'agit donc d'un mouvement plus général que le mouvement à une dimension.

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Remarque : Dans les mouvements à une dimension ou par droites parallèles (parallèlement à Ox1 par

exemple) les trajectoires et les lignes de courant sont des droites parallèles à Ox1 ; elles sont donc

confondues sans que le mouvement soit permanent, en général.

Ecoulements irrotationnels ou à potentiel des vitesses

L‟écoulement est irrotationnel si 0rotU

. Cette propriété conduit au fait qu‟il existe une

fonction potentiel dont dérive le vecteur vitesse U

; U grad

L‟écoulement est dit à potentiel des vitesses ou plus simplement écoulement potentiel.

La circulation du vecteur vitesse est indépendante du chemin suivi pour un écoulement potentiel.

( ) ( ) ( )

. . ( ) ( )C C C

U dl grad dl d B A

En introduisant l‟équation de conservation de la masse on obtient ( ) 0div gradt

.

Et dans le cas d‟un fluide incompressible , on obtient 0

Ecoulement incompressible-fonction de courant ;

0divU

il existe un potentiel vecteur

tel que : U rot

(le vecteur vitesse dérive d‟un

potentiel vecteur). Nous avons vu que ce type d‟écoulement correspond au cas général de

l‟écoulement de fluide incompressible.

Pour un écoulement plan xOy, on a ( , ) zx y e

; u et vy x

.

Les lignes de courant sont définies par : = 0 ( , )x y

x ydx dy x y Cte

u v

est appelé fonction courant.

Débit volumique et fonction courant ;

Soient deux lignes de courant 1 et 2 passant respectivement par A

et B, les valeurs des fonctions courant sont 1 2 et .

Soit un chemin quelconque allant de A à B.

L‟écoulement est plan, le débit élémentaire

par unité de hauteur est égale à : . .dQ U dS U ndl

. cos sindy dx

U n u v u vdl dl

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.dQ U ndl udy vdx dy dx dy x

Le débit Q entre les deux lignes de courant est indépendant du chemin pris pour aller d‟une ligne

à l‟autre ; Q= 2 1

Ecoulement incompressible et irrotationnel ;

Pour ce type d'écoulement oa a :

0divU U rot

et

0rotU U grad

et dans ce cas les fonctions et et vérifient l‟équation de Laplace : 0

Pour un écoulement plan, parallèlement à xOy par exemple ;

( , ); U u v u et vx y y x

1.11 TENSION DE SURFACE (σ)

À l‟interface entre deux fluides, il existe des interactions moléculaires en général de répulsion : les

milieux n‟étant pas miscibles, il existe une force à la surface de contact qui permet de séparer les

deux fluides et éviter leur imbrication ou leur mélange. On appelle tension de surface ou tension

capillaire cette force surfacique permettant de maintenir deux fluides en contact le long d‟une

interface commune.

On la note σ ; σ a la dimension [Pa·m] ou N/m. On l‟exprime parfois aussi comme une énergie par

unité de

longueur [J/m2].

La tension de surface de l‟eau en contact avec l‟air est σ = 70×10−3 Pa·m;

bulle de gaz en équilibre dans un liquide en repos ;

Considérons une bulle de rayon R d‟un gaz au repos immergée dans un liquide au repos. La pression

dans la bulle est pi ; celle dans le liquide (fluide extérieur) est pe ; comme le montre figure suivante.

bulle sphérique en équilibre

La bulle est à l‟équilibre si le travail des forces de surface est contrebalancé par le travail des forces

de pression (on suppose qu‟on augmente virtuellement le rayon d‟un incrément dR et on impose que

la bulle retrouve sa position d’équilibre, donc tous les travaux des différentes forces doivent se compenser) :

– travail élémentaire des forces δWp de pression (force de volume) : pression × incrément de volume ;

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δWp = −∆p × d (4/3.πR3), avec ∆p = pi − pe ;

– travail élémentaire des forces Wt de tension (force de surface) : tension σ × incrément de surface ;

Wt = σ × d (4πR2).

On doit avoir δWp + δWt = 0. En différentiant, puis en simplifiant, on trouve :

2i ep p p

R

C‟est la loi de Laplace

remontée d’un liquide dans un tube capillaire ;

La tension de surface permet d‟expliquer la remontée capillaire le long d‟une paroi solide. En effet,

expérimentalement on observe que la surface libre d‟un liquide ne marque pas un angle droit avec

une paroi, mais est légèrement incurvée vers le haut (liquide mouillant) ou vers le bas (liquide non

mouillant).

remontée capillaire le long d’un tube cylindrique.

la surface libre dans le tube capillaire est supposée de forme hémisphérique de rayon de courbure R .

Ce rayon de courbure peut être relié au diamètre du tube et à l‟angle de contact de la façon suivante :

r = Rcos θ.

La pression en A (point du liquide en contact avec l‟hémisphère de l‟atmosphère) peut être

déterminée à l‟aide de l‟équation de Laplace précédente (avec dans ce cas ; pi=pa et pe = pA) ;

pA = pa – 2/R.

Au point B, la pression vaut donc :

pB = pA + ϱgh,

or ce point étant à la même altitude que la surface libre non perturbée du liquide, la pression doit être

égale à la pression atmosphérique. On en déduit donc la remontée capillaire

2 cosh

gr

C‟est la loi de Jurin.

mfl chap1 2012

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