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MIAS 2 - Chap 5 - page 1
VI Interférences - Diffraction
VI.1 Interférences
VI.1.1 Avant propos
C’est en 1801 que Thomas Young (1773-1829) démontra la nature ondulatoire de la lumière et réalisa sa fameuse expérience de la double fente de Young.
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Le phénomène d’interférences se produit lorsque les composantes parallèles de deux ou
plusieurs champs de même fréquence se superposent dans une même région de l’espace. Les
applications du phénomène d’interférences sont très importantes notamment dans le
domaine de la mesure.
VI.1.2 Conditions d’existence des interférences
L’obtention des interférences est étroitement liée aux caractéristiques de la source et aux
types de montages utilisés.
La cohérence spatiale
La cohérence temporelle
Sources :
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VI.1.2.1 Cohérence spatiale
La figure d'interférence d’une source étendue est la somme en intensité des figures d'interférences des sources "ponctuelles" constituant la source étendue.
Pour les interférences à division d'amplitude (rayon incident unique), l'étendue de la source ne pose pas de problème.
Pour la division de front d'ondes, il convient que la source soit "suffisamment ponctuelle".
Montages :
Dépendant du type d’onde mise en jeu, pour obtenir des interférences, ces conditions seront
plus ou moins faciles à obtenir.
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Pour qu'il y ait interférence, il convient que la différence entre les temps mis par l’onde pour
parcourir SP par le chemin 2 (t2) et par le chemin 1 (t1) soit inférieur temps de cohérence ().
12
1tt
VI.1.2.2 Cohérence temporelleLorsqu’une source émet de la lumière on peut voir cette émission comme un succession de trains d’onde identique et de même durée :
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VI.1.3 Interférences à division du front d’ondes (fentes d’Young)
Dd
On introduit généralement la longueur de cohérence définie par
Pour qu'il y ait interférences, il convient qu'elle soit supérieure à la
différence de marche.
.CL
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La source S à une distance d des fentes. L’écran d’observation est placé à une distance distance D des fentes. Ces distances sont telles que d, D >> a.
111
tjeASL’onde semblant provenir de la fente F1 s’écrie :
222
tjeASL’onde semblant provenir de la fente F2 s’écrie :
Au niveau de l’écran d’observation l’amplitude de l’onde résultante est la superposition des deux ondes S1 et S2 :
212121
tjtj eAeASSS
Finalement on peut calculer l’intensité :
212122
21
212122
21
2121
2121
2121
cos2
.
.
2112
2121
AAAA
eAAeAAAA
eAeAeAeA
SSSS
SSSSSSI
jj
tjtjtjtj
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cos2 2121 IIIII
21 Le déphasage :Finalement : Avec
22222
21111
AAAI
AAAI
Le déphasage entre les deux ondes est dû au fait que le chemin optique F1M et différent du
chemin F2M. Cette différence est notée et est appelé différence de marche, elle est reliée au
déphasage par la relation :
2
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La distance D étant grande devant x,
les angles et ’ sont petits et peuvent
être considérés égaux :
sintantan Dx
Dxa.
La distance D étant bien supérieur à
a, il est possible de considérer que
la distance F1M est pratiquement
égale à la distance MH. La
différence de marche s’identifie à
la longueur F2H:
sin.a
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Suivant les valeurs de , l’intensité des interférences évolue sinusoïdalement entre une valeur maximale et minimale.
Valeur maxi :
m
m
22
2
1cos
221 III
aD
mx
m
M
M
Valeur mini :
122
12
1cos
m
m
221
21
212
III
aD
mx
m
m
m
InterfrangeL’interfrange, notée i, représente la distance entre deux franges brillantes ou deux franges sombres.
aD
i
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Contraste
Le contraste C est défini par le rapport :
mM
mM
IIII
C
Les interférences seront les plus visible lorsque le contraste sera maximum, c’est-à-dire égale à C = 1.On obtient cette condition dans le cas où I1 égale à I2. On pose donc I1=I2=I0
2cos4
cos12
20
0
I
II
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Comme dans le cas des fentes de Young il est nécessaire de créer à partir d’une même source deux sources virtuelles pour avoir des interférences optiques. C’est donc le rôle de M1 et M2 de générer les deux sources par le biais de la lame séparatrice.
VI.1.4 Interférences à division d’amplitude
C’est Albert Michelson qui en 1881 a construit pour la première fois ce type d’interféromètre.
La division de l’amplitude est obtenue par une lame semi-transparente Sp appelée séparatrice.
Elle permet de réfléchir 50% de l’énergie lumineuse et donc de transmettre les 50% restant.
Sp
Interférences
Suivant l’orientation des deux miroirs M1 et M2 l’interféromètre de Michelson peut-être réglé en : Lame d’air
ou Coin d’air
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Michelson réglé en “lame d’air” ou “lame à faces parallèles”
Dans cette configuration nous allons supposer que les deux miroirs sont parfaitement
orthogonaux. On peut le voir autrement, si on fait l’image d’un des miroirs par rapport à la
séparatrice, les miroirs sont parfaitement parallèles.
Ils forment donc une lame d’air à faces parallèles
M1 M2
e
Lumière
n
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Déterminons maintenant la différence de marche
entre les rayons provenant de M1 et de M2 afin de
connaître le pas des interférences.
Prenons l’exemple générale ci-contre, d’une lame
d’indice n et d’épaisseur e plonger dans l’air (n=1.0).
Elle est éclairée avec un faisceau parallèle sous une
incidence i.
Lorsque le rayon lumineux change de milieu il y a
création d’un rayon réfléchit et d’un rayon transmit,
leurs intensités dépendant de la différence des indices
de réfraction. Ce phénomène se répète tant que le
rayon possède assez d’énergie.
Du fait que les faces de la lame sont parallèles, tous
les rayons sortant de la lame auront la même
inclinaison i. Ils forment donc de chaque coté un
faisceau parallèle, qui peut être visualisé à l’aide
d’une lentille convergente et d’un écran placé en son
point focal.
A
BH
C D
E
La différence de marche est :
AFABC
F i
rr
enAF
re
ABC
cossin
2
cos2
2
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Finalement :
r
ren
rr
ennr
ecossin1
2cossin
2cos
2 22
Le trajet [ABC] se fait dans le milieu d’indice n
rne cos..2
Etant donné que les réflexions ne sont pas de même nature on doit rajouter une différence de marche de /2, donc :
2
cos..2 rne
2cos..2
reMichelson : n=1.0
Aspect des franges d’interférences
On a vu précédemment qu’une frange lumineuse correspond à des interférences constructives :
tete
te
CiCi
Cne
mr
mrne
cos
..221
cos
2cos..2
On a vu précédemment qu’une frange sombre correspond à des interférences destructives :
te
te
Ci
Cne
mr
mrne
..2cos
212
2cos..2
Michelson : n=1.0
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L’observation de la figure d’interférences sur un écran E situé dans le plan focal image de la
lentille L montre des anneaux concentriques alternativement brillants et sombres. Tous les
rayons émergent qui interfèrent au niveau d’un même anneau correspondent à des rayons
incidents ayant le même angle d’incidence. Ces franges d’interférences sont appelées
anneaux d’égale inclinaison.
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Michelson réglé en “lame prismatique” ou “coin d’air”
Ici les deux miroirs ne sont plus parfaitement orthogonaux dans une ou dans les deux
directions. On va réalisé donc une lame prismatique ou un coin d’air.
Remarque : nous avons ici des interférences localisées au voisinage de la lame.
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Lorsque la lame prismatique est illuminée les mêmes phénomènes que précédemment
apparaissent. On peut utiliser le même raisonnement et donc la différence de marche est :
ADABC
2coscos
r
xer
xeABC
rrtgrtgxenAD sin2..
En supposant que l’angle est petit : 2
cos....2 rnx
A
B
CH
i i
r
r+
D
x
Franges brillantes
rnmx
mrnx
m
M cos...221
2cos....2
Franges sombres
rnm
x
mrnx
m
m cos...2
21
2cos....2
21
interfrange
rni
cos...2
Michelson : n=1.0
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VI.2 Diffraction
Ce phénomène apparaît lorsqu’un faisceau de lumière éclaire un écran opaque percé d’une petite
ouverture. Là encore les dimensions sont relatives à la longueur d’onde de la lumière incidente.
La tache lumineuse observée sur un écran placé en arrière de l’écran percé montre un étalement
angulaire du faisceau transmis. Par exemple, si un faisceau incident tombe sur une fente,
l ’ouverture angulaire du faisceau émergent augmente lorsque la largeur de la fente diminue.
Ouverture carrée Ouverture circulaire
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VI.2.1 Principe de Huygens
Tout élément de la surface dS centré en M de la surface d’onde (t) peut-être considéré
comme une source élémentaire, secondaire, d’ondes sphériques dont l’amplitude complexe en
un point P est proportionnel à : dSK
re
incident
jkr
A
Où K() est un facteur d ’inclinaison
L’amplitude en un point P est proportionnelle à la
somme des amplitudes de toutes les ondes émises par
les sources fictives réparties sur la surface (t) .
Dans la suite nous nous placerons dans le cas particulier où est petit K() = 1.
Diffraction de Fraunhofer
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VI.2.2 Diffraction de Fraunhofer
Tentons d'écrire la répartition
d’intensité ou d’amplitude
créer par un objet diffractant
quelconque (ouverture
rectangulaire ou circulaire, …)
et observée sur écran placé a
une grande distance de
l ’objet. Nous utiliserons ici
l’approximation de Fraunhofer
qui suppose que les rayons
lumineux incidents sont
faiblement inclinés par rapport
à l ’axe.
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L’objet diffractant est caractérisé par sa transparence en amplitude définie comme le rapport de
l’amplitude complexe émergent par l’amplitude complexe incidente :
incident
émergentyxA
A,
Objet totalement opaque : 0, yx
Objet totalement transparent : 1, yx
L’amplitude émergente peut s ’écrire : D
yxjk
eyxM 2
22
,A
L’amplitude incidente est de la forme : D
yxjk
eM 2i
22
A
D’après le principe de Huygens : dSr
eeyxPMd
jkrD
yxjk
...,,A 2
22
Avec : 222 yxDMPr
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Finalement l’amplitude complexe du champ électrique en P :
dydx
re
eyxPMPjkr
D
yxjk
....,,dAA 2
22
La distance d’observation étant grande on peut écrire :
D
yD
xDr
Dy
Dx
DD
yD
xDr
22
2211
22
2
2
2
2
2
2
2
2
dydxeeeeyxD
e
dydxeeyxD
e
dydx
Dy
Dx
D
eeyxP
D
yxjk
Djk
D
yxjk
D
yxjkjkD
D
y
D
xjk
D
yxjkjkD
D
y
D
xDjk
D
yxjk
......,
....,
..
22
..,A
222
222
22
22
2
222222
2222
22
22
L’amplitude en P devient :
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On obtient après simplification :
dydxeyxD
eeP D
yxjkjkD
Djk
...,,AA 2
22
dydxeyxy
Dx
Dj
...,,A2
DD
,,A
On reconnaît dans cette dernière écriture l’expression de la transformée de Fourier de la transparence (x,y).
,,Aou avec
Dtg
Dtg
L ’intensité s ’écrira :
2
,,,,A,A,I
DDDDDD
On négligera ce terme car il va s’annuler lorsqu’on cherchera l’expression de l’intensité obtenue en multipliant par le conjugué complexe de A.
Constante
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VI.2.3 Exemples
Fente infiniment longue
La fonction transparente peut-être décrite par la fonction rectangle de largeur e :
ex
rectx
L’amplitude en un point P de l’écran est proportionnelle à la transformée de Fourier de :
e
DceP
sin.)(A)(A
Donc pour l’intensité, on a :
e
DcI
2
0 sin.)(I
Avec I0 l’éclairement maximal pour =0
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Répartition en intensité
Répartition en amplitude
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Fente rectangulaire
La fonction transparente peut-être décrite par la fonction rectangle à deux dimensions :
by
rectby
rectby
ax
rectyx ,,
L’amplitude en un point P :
b
Dca
Dcab
sin.sin.),(A
Donc pour l’intensité, on a :
b
Dca
DcI
22
0 sin.sin.),(I
Avec I0 l’éclairement maximal pour =0 et =0
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Répartition en intensité de la diffraction d’une fente rectangulaire.
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Ouverture circulaire
La fonction transparente peut-être décrite par la fonction :
Ry
Rx
Circyx ,,
Donc pour l’intensité, on a :
21)(I
ZZJ
L’amplitude en un point P :
ZZJ12),(A avec
DRZ
22
2
Fonction de Bessel de première espèce
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Cette tache de diffraction est plus connue sous le nom de “Tache d’Airy”. On peut en première approximation donner la valeur du rayon de l’anneau central :
R222.1
Avec R rayon du trou
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Deux fentes infiniment longues
y
x
a- a
L
(x)
x
1
0
ailleurs 0
2,2
2,2 si 1
LaLa
LaLax
x
max
min
2min
max
2)(Ax
x
uxjx
x
uxj dxedxeu
2min
2maxLax
Laxavec
uauLu
uxuxu
eeeeuj
uuxjuxjuxjuxj
2cossin2
2sin2sin1
21
)(A
maxmin
min2max2max2min2
avecD
u
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Finalement : uauLcu 2cossin)(I 22
InterférencesDiffraction
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VI.2.4 Théorème de Babinet
Les figures de diffraction produites par deux écrans complémentaires sont identiques, sauf au voisinage immédiat de l’image géométrique.
L’écran complémentaire :
ailleurs 1
2,
2 si 0
aax
xc
uacuLcu
eeeeuj
u uajuLjuLjuaj
sin2sin)(A
21
)(A
c
22c
Prenons l’exemple d’une fente, on sait que la figure de diffraction est :
uacIu 20 sin.)(I
ailleurs 0
2,
2 si 1
aax
x
L
a
uxja
L
uxj
a
uxja
uxj dxedxedxedxeu2
22
2
2
22
2c )(A
avec aL
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uLcuLcuacuacu
uacuLcuu
2sin2sinsin2sin)(I
sin2sin)(A)(I22
c
22cc
Les figures de diffraction sont uniquement différentes dans la zone proche de l’axe.
L=1000*a
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
I
Ic
L=100*a
0
0.5
1
1.5