Michael F. Atiyah Isadore M. Singer

Om Atiyah-Singer Indeks-teoremet

Professor John RognesUniversitetet i Oslo

Atiyah-Singer indeks-teoremet

Teorem (M.F. Atiyah og I.M. Singer): La P(f) = 0 være et system av differensial-likninger. Da er

analytisk indeks(P) = topologisk indeks(P) .

Ordet "teorem" (fra gresk "theorein", å se på, jfr. "teater") betyr at dette er en matematisk bevist påstand som det er verdt å se nærmere på.

Summen av vinklenei en trekant er 180 grader

Summen av vinklenei en firkant er 360 grader

Trekanter og firkanter

Innhold

• Systemer av differensial-likninger• Analyse• Topologi• Matematiske modeller• Indeks-teoremet• Konklusjon

Systemer av differensial-likninger

Siden Newton og Leibniz er disse matematiske modellene nesten alltid blitt beskrevet ved et system av differensial-likninger. For å bruke matematikken til den tenkte anvendelsen søker man å finne løsningene til dette systemet.

Atiyah-Singer indeks-teoremet er en fundamental innsikt som sier at vi kan finne ut hvor mange løsninger systemet har, essensielt bare ved å kjenne en del enkle, fleksible opplysninger om formen til det området som modelleres.

Selv om indeks-teoremet er et rent matematisk resultat, som knyttersammen analyse og topologi, så kan det altså brukes som et verktøyi nesten alle anvendelser av matematikk.

Analyse

Et seil?Areal under en kurve

I analyse studeres et objekt ved først å dele det opp i små biter og deretter åsette dem sammen igjen (syntese).

Topologi

M.Thistlethwaite: “Symmetric knot” G. Francis, J. Sullivan og S. Levy: “Spherical eversion”

I topologi studeres hvordan et objekt kan ha en form, eller et romlig aspekt. Dersom formen er beskrevet ved et avstandsbegrep snakker vi gjerne om geometri.

Matematiske modeller

Geometrisk modell av torsomed elektrisk potensial

Et elektrokardiogram (EKG)

Simula Research Laboratory

Løsninger av differensial-likninger

Tilstanden i en matematisk modell er beskrevet ved en rekkefunksjoner f definert på området X der modellen finner sted.Lovene som styrer modellen kan formuleres som en samlingav likninger, dvs. et likningssystem.

Disse likningene involverer også de deriverte funksjonene f'(x) = df/dx til de opprinnelige funksjonene, og kalles derfor et system av differensial-likninger.

Et slikt system kan kort skrives på formen P(f) = 0 . En rekke funksjoner f på X som oppfyller alle likningene beskriver en fysisk mulig tilstand, og kalles en løsning til likningssystemet.

Elektrisk potensial i hjertet og på huden

Simula Research Laboratory

Analytisk indeks

Den analytiske indeksen til systemet P(f)=0 er et helt tall som essensielt er antallet løsninger til denne likningen.

Mer presist er

analytisk indeks(P) := dim ker(P) – dim coker(P)

lik antallet parametre som må til for å beskrive alle løsningene til likningene, minus antallet relasjoner som finnes mellom uttrykkene P(f) .

Indeks-teoremet, en gang til

Teorem (M.F. Atiyah og I.M. Singer):La P(f) = 0 være et elliptisk system av partielle differensial-likninger definert over en lukket, glatt, orientert n-dimensjonal mangfoldighet X .

Da er den analytiske indeksen (antallet løsninger) gitt vedfølgende eksplisitte formel:

][),(td))((ch)1( : )indeks( topologisk XCTXPP n

][),(td))((ch)1( XCTXPn

M.C. Escher: “Treppauf und treppab”

Konklusjon

Atiyah-Singer indeks-teoremet er et rent matematisk resultat. Det forteller at et fundamentalt problem i analyse, nemlig hvor mange løsninger som finnes til et system av differensial-likninger, har et konkret svar i topologi. Dette er en snarvei til spørsmålet om slike løsninger finnes eller ikke.

Teoremet er verdifullt fordi det forbinder analyse og topologi på en vakker og innsiktsfull måte. Det er praktisk fordi detforklarer hvordan de mangfoldige anvendelser som finnes av den matematiske analysen kan nyttiggjøre seg av de romlige, eller topologiske, strukturene i problemstillingen.