Michael Knorrenschild

Vorkurs Mathematik

Knorrenschild

Vork

urs

Mat

hem

atik

Studienanfängern fällt es häufig nicht leicht, den Einstieg in

das Fach Mathematik von Anfang an erfolgreich zu gestalten.

Die Probleme resultieren erfahrungsgemäß aus mangelnder

Vertrautheit mit schulmathematischem Handwerkszeug.

Dieses Buch möchte helfen, die Lücken durch Selbststudium

zu schließen und bietet dazu ausführliche Darstellungen der

Grundlagen wie Rechenregeln, Aussagenlogik, Funktionen,

Lösen von Gleichungen und Ungleichungen, Logarithmen und

Trigonometrie.

Dabei wird weniger Wert auf Formeln als auf das sichere Ein -

üben der Methoden gelegt. An typischen Beispielen werden

die einzelnen Rechenschritte erläutert und auf Besonderheiten

hingewiesen.

Der Selbstüberprüfung dienen viele Übungsaufgaben mit Lösungen

sowie Beispiele von Hochschuleingangstests.

www.hanser-fachbuch.de

€ 12,99 [D] | € 13,40 [A]

ISBN 978-3-446-43798-2

Prof. Dr. rer. nat. MichaelKnorrenschild lehrt seit vielen Jahren Mathematik

für Ingenieure und Informatiker

an der Hochschule Bochum.

Michael Knorrenschild

Mathematik-Studienhilfen

VorkursMathematikEin Übungsbuch für Fachhochschulen

4., aktualisierte Auflage

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Michael Knorrenschild Vorkurs Mathematik

Mathematik - Studienhilfen Herausgegeben von Prof. Dr. Bernd Engelmann Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur Leipzig (FH) Fakultät Informatik, Mathematik und Naturwissenschaften Zu dieser Buchreihe Die Reihe Mathematik-Studienhilfen richtet sich vor allem an Studierende technischer und wirtschaftswissenschaftlicher Fachrichtungen an Hoch-schulen und Universitäten. Die mathematische Theorie und die daraus resultierenden Methoden wer-den korrekt, aber knapp dargestellt. Breiten Raum nehmen ausführlich durchgerechnete Beispiele ein, welche die Anwendung der Methoden demonstrieren und zur Übung zumindest teilweise selbstständig bearbeitet werden sollten. In der Reihe werden neben mehreren Bänden zu den mathematischen Grundlagen auch verschiedene Einzelgebiete behandelt, die je nach Studienrichtung ausgewählt werden können. Die Bände der Reihe können vorlesungsbegleitend oder zum Selbststudium eingesetzt werden. Bisher erschienen:

Dobner/Engelmann, Analysis 1 Dobner/Engelmann, Analysis 2 Dobner/Dobner, Gewöhnliche Differenzialgleichungen Gramlich, Lineare Algebra Gramlich, Anwendungen der Linearen Algebra Knorrenschild, Numerische Mathematik Knorrenschild, Vorkurs Mathematik Martin, Finanzmathematik Nitschke, Geometrie Preuß, Funktionaltransformationen Sachs, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Stingl, Operations Research – Linearoptimierung Tittmann, Graphentheorie

Vorkurs Mathematik

Ein Übungsbuch für Fachhochschulen von Prof. Dr. Michael Knorrenschild 4., aktualisierte Auflage mit 33 Bildern, 56 Beispielen, 86 Aufgaben und 5 Testklausuren

Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag

Autor Prof. Dr. rer. nat. Michael Knorrenschild Hochschule Bochum FB Elektrotechnik und Informatik http://www.hs-bochum.de/fbe/mathe/ http://homepage.rub.de/Michael.Knorrenschild/ michael.knorrenschild@hs-bochum.de Bibliografische Information der Deutschen Nationalibliothek: Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. ISBN 978-3-446-43798-2 E-Book-ISBN 978-3-446-43628-2 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdruckes und der Vervielfältigung des Buches oder Teilen daraus, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung – mit Ausnahme der in den §§ 53, 54 URG genannten Sonderfälle –, reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag © 2013 Carl Hanser Verlag München www.hanser-fachbuch.de Lektorat: Christine Fritzsch Herstellung: Katrin Wulst Satz: Michael Knorrenschild, Bochum Druck und Binden: Friedrich Pustet KG, Regensburg Printed in Germany

Vorwort

In einer großen Anzahl von Studiengangen sehen sich Studienanfanger mitdem Fach Mathematik konfrontiert. Dies lost erfahrungsgemaß unterschied-liche Erwartungshaltungen bei den Betroffenen aus. Wahrend die Bedeutungdes Faches gerade in den Ingenieurstudiengangen unumstritten ist, klafft zwi-schen den Vorkenntnissen der Studienanfanger und dem anfanglichen Niveauder Hochschulmathematik eine immer großer werdende Lucke. Diese hat ver-schiedene Ursachen, dazu zahlen ein verandertes schulisches Lernverhaltenund teilweise Mangel in den Rahmenbedingungen fur die Grundlagenlehre inden Hochschulen.Vielfach angebotene Vorkurse der Hochschulen dienen der Auffrischung derSchulmathematik, jedoch wo Schulabganger Lucken aufweisen, gibt es wenigaufzufrischen, sondern manche Themen erst noch neu zu vermitteln. Das istin wenigen Wochen vor Beginn des Studiums nicht zu bewerkstelligen, trotzallen Bemuhens und guten Willens auf beiden Seiten.So bleibt es vielfach der Eigeninititative der Studierenden uberlassen, sichum das Schließen der Lucken zu kummern. Zu diesem Zweck gibt es bereitseine Reihe von Vorkurs-Buchern auf dem Markt.Meiner Erfahrung nach mangelt es Studienanfangern vielfach an Vertrautheitmit elementaren mathematischen Konzepten und an Sattelfestigkeit in derAnwendung mathematischer Techniken. Sind diese Fundamente erst einmalgelegt, bereitet das Verstandnis fortgeschrittener mathematischer Konzeptewie Ableitungen und Integrale kaum Probleme.Ziel dieses Buches ist, elementare mathematische Begriffe und Methodengrundlich zu vermitteln. Es setzt auf eine Kombination von vertieftem Ver-standnis und Einubung der Techniken an typischen Beispielen. Bewusst wirdauf fortgeschrittenere Themen wie Grenzwerte, Differenzial- und Integral-rechnung verzichtet. Stattdessen konzentriert es sich auf elementares Rech-nen, den Funktionsbegriff, Techniken zum Losen von Gleichungen und Un-gleichungen, elementare Geometrie und Trigonometrie. Dabei handelt es sichum Themen aus dem schulischen Curriculum etwa der zehnten Klasse – Kon-zepte, die zum mathematischen Rustzeug in praktisch allen natur- und inge-nieurwissenschaftlichen Studiengangen gehoren.Leserinnen und Leser sollen in diesem Buch angeregt werden, diese Konzepteim Selbststudium zu durchdringen und wirklich Verstandnis zu erwerben – imStudium kommt spater noch genug auf sie zu, was sie einfach als verkunde-te Weisheit hinnehmen mussen. Eine solide Grundlage hilft aber enorm beieinem guten Start in die neue Lernumgebung und einem zugigen Vorankom-men, auch in anderen Fachern.

6 Vorwort

Diesem Zweck dienen viele Beispiele und Ubungsaufgaben, die so ausgewahltsind, dass typische Problemstellungen abgedeckt werden. Zur Kontrolle gibtes Losungen am Ende des Buches. Der kritischen Prufung des eigenen Wis-sensstands dient eine Auswahl von Eingangstests, die schon von vielen Hoch-schulen eingesetzt werden, um Studienanfangern die Auseinandersetzung miteventuell vorhandenen Lucken zu ermoglichen.

In die Darstellungsweise fließen viele Erfahrungen ein, die ich als Lehrenderfur Studierende der Ingenieurwissenschaften an der Fachhochschule Bochumgesammelt habe. Die Arbeit mit Studierenden ist fur mich ein immerwahren-der Ansporn, die Darstellung zu verbessern, und ich danke meinen Studieren-den fur viele gezielt oder unbeabsichtigt gegebene Anregungen, meine Lehr-veranstaltungen zu hinterfragen.

Des Weiteren mochte ich mich bei Frau Christine Fritzsch vom Fachbuchver-lag Leipzig fur die aufmerksame Zusammenarbeit sowie beim HerausgeberProf. Dr. Bernd Engelmann fur fachliche Ratschlage bedanken. Herrn Dr.Thomas Schenk gebuhrt Dank fur die kritische Durchsicht weiter Teile desManuskripts.

Seit dem Erscheinen 2004 hat dieses Buch eine erfreuliche Aufnahme gefun-den, und nun ist wiederum eine Neuauflage erforderlich. Fur die vorliegendevierte Auflage wurden nur geringfugige Korrekturen vorgenommen, so dassweiterhin alle Auflagen parallel benutzt werden konnen.

Hinweise und Anregungen aus dem Leserkreis sind auch weiterhin jederzeitwillkommen.

Bochum, im Juli 2013 Michael Knorrenschild

Inhaltsverzeichnis

Symbolverzeichnis 10

1 Elementares Rechnen 11

1.1 Die Grundrechenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Bruchrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3 Prozentrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4 Rechnen mit Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5 Summen- und Produktzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.6 Fakultat und Binomialkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . 31

2 Elementare Strukturen 37

2.1 Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2 Anordnung von Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3 Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3 Funktionen 49

3.1 Grundlegendes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2 Umkehrbarkeit und Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3 Komposition von Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.4 Translationen, Skalierungen und Spiegelungen . . . . . . . . . 61

3.5 Die Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.6 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.6.1 Polynome vom Grad 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.6.2 Polynome vom Grad 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.6.3 Polynome vom Grad 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.7 Rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.8 Die e-Funktion und ihre Umkehrfunktion, der naturliche Lo-garithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.8.1 Rechnen mit Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.8.2 Logarithmische Skalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.8.3 Andere Logarithmen als der naturliche . . . . . . . . . 82

8 Inhaltsverzeichnis

4 Losen von Gleichungen und Ungleichungen 88

4.1 Grundlegendes zu Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.2 Lineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.3 Gleichungen mit Bruchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.4 Gleichungen mit Betragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.5 Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.6 Gleichungen mit Quadratwurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.7 Bestimmung von Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 100

4.8 Weitere Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.9 Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.10 Textaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.11 Grundlegendes zu Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.12 Lineare Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.13 Ungleichungen mit Bruchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.14 Ungleichungen mit Betragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.15 Quadratische Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.16 Weitere Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5 Ein wenig elementare Geometrie 120

5.1 Rechtwinklige Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.2 Kreis und Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.3 Hyperbeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.4 Parabeln und Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.5 Die Strahlensatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6 Trigonometrische Funktionen 133

6.1 Trigonometrie am Einheitskreis . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.2 Wissenswertes uber sin und cos . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.3 Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6.4 Wissenswertes uber tan und cot . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.5 Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen . . 143

Inhaltsverzeichnis 9

7 Einige Tests 146

7.1 Test Nr. 1 der Fachhochschule Bochum . . . . . . . . . . . . . 148

7.2 Test Nr. 2 der Fachhochschule Bochum . . . . . . . . . . . . . 150

7.3 Test der Fachhochschule Koblenz . . . . . . . . . . . . . . . . 152

7.4 Test Nr. 1 der Hochschule Wismar . . . . . . . . . . . . . . . 153

7.5 Test Nr. 2 der Hochschule Wismar . . . . . . . . . . . . . . . 155

Losungen 157

Literaturverzeichnis 173

Sachwortverzeichnis 174

Zum Umgang mit diesem Buch:

Ziel des Buches ist es, den Lesern eine selbststandige Aufarbeitung der fur denBeginn eines Hochschulstudiums notigen schulmathematischen Vorkenntnissezu ermoglichen. In die Darstellung eingestreut sind Aufgaben, die in der Re-gel analog zu vorherigen ausfuhrlichen Beispielen gelost werden konnen. AmEnde einiger Kapitel wurden daruber hinaus Thesen unter der Uberschrift

”wahr oder falsch?“ formuliert, die der Leser kritisch auf ihren Wahrheitsge-halt hinterfragen soll. Auf diese Weise kann das eigene Verstandnis uberpruftwerden. Zur weiteren Selbstkontrolle dienen einige klausurahnliche Tests, diezum Teil bereits an Hochschulen eingesetzt wurden. Losungen zu allen Auf-gaben und den Tests sowie die Auswertungen der Thesen finden sich am Endedes Bandes.

Symbolverzeichnis

IN Menge der naturlichen Zahlen S. 11IN0 Menge der naturlichen Zahlen inkl. 0 S. 11Q Menge der rationalen Zahlen S. 13IR Menge der reellen Zahlen S. 14IR+ Menge der reellen Zahlen, die ≥ 0 sind S. 14Z Menge der ganzen Zahlen S. 11:= ist definiert als S. 26∑

Summenzeichen S. 27∏

Produktzeichen S. 30n ! n Fakultat S. 31(nk

)n uber k, Binomialkoeffizient S. 31

¬ logische Negation S. 38∨ logisches Oder S. 38∧ logisches Und S. 38

⇐⇒ aquivalent S. 38=⇒ Implikation, logische Folgerung, wenn-dann S. 38

: ⇐⇒ aquivalent per Definition S. 39∈ ist Element von S. 45⊂ ist Teilmenge von S. 45∅ leere Menge S. 45

{ x | . . . } die Menge aller x, fur die . . . gilt S. 45P(M) Potenzmenge von M S. 47[a, b] abgeschlossenes Intervall S. 47(a, b) offenes Intervall S. 47f eine Funktion f S. 49

f(x) Funktionswert einer Funktion f an der Stelle x S. 49f : x 7→ f(x) die Funktion f bildet x ab auf f(x) S. 49

f(X) Bildmenge einer Menge X unter einer Funktion f S. 49tc eine Translation um c S. 61sc eine Skalierung um c S. 61

a ∼ b a ist proportional zu b S. 70e Euler’sche Zahl e = 2.718281828 . . . S. 78

exp Exponentialfunktion S. 78ln naturlicher Logarithmus S. 79log (allgemeiner) Logarithmus S. 82lg dekadischer Logarithmus S. 82π die Zahl π = 3.141592654 . . . S. 14

sin, cos Sinus- bzw. Cosinus-Funktion S. 134tan, cot Tangens- bzw. Cotangens-Funktion S. 141

arcsin, arccos Arcussinus- bzw. Arcuscosinus-Funktion S. 143arctan, arccot Arcustangens- bzw. Arcuscotangens-Funktion S. 144

1 Elementares Rechnen

1.1 Die Grundrechenarten

Die einfachste Verknupfung zweier Zahlen a und b ist die Addition, das Er-gebnis ist die Summe a+b. Die Umkehrung der Addition ist die Subtraktion,die zur Differenz a− b fuhrt. Die Subtraktion von b ist nichts anderes als dieAddition der

”Gegenzahl“ −b, also

a− b = a+ (−b)

Geht man von den sogenannten”naturlichen Zahlen“ 1, 2, 3, . . . aus, so sind

deren Gegenzahlen keine naturlichen Zahlen mehr. Man bezeichnet die naturli-chen Zahlen als IN. Wenn die Null noch dazu kommt, schreiben wir IN0. DieZahlen, die durch Addition und Subtraktion naturlicher Zahlen erzeugt wer-den konnen, sind die

”ganzen Zahlen“, symbolisch Z. Die ganzen Zahlen um-

fassen die naturlichen Zahlen und ihre Gegenzahlen und enthalten auch dieNull (die gleich ihrer Gegenzahl ist).Die Gegenzahl von b kann man auch als das Produkt (−1) · b berechnen. Esist jedoch keineswegs so, dass −b immer eine negative Zahl ist. Beispielsweiseist zu b = −3 die Gegenzahl −b = −(−3) = 3.Da die Subtraktion insbesondere also auch eine Addition ist, also keine wirk-lich neue Operation, werden wir im Folgenden, wenn wir

”Addition oder

Subtraktion“ meinen, einfach nur von”Addition“ sprechen. In einer Summe

darf man die Reihenfolge der summierten Zahlen (”Summanden“) vertau-

schen, das Ergebnis ist davon unabhangig. In einer Differenz andert sich beiVertauschung von a und b das Vorzeichen, es gilt:

b− a = −(a− b)

Die Klammern geben die Reihenfolge der Rechenoperationen vor: In −(b−a)wird zuerst b − a berechnet und dann das Vorzeichen geandert. Wurde manhier die Klammern weglassen, so erhielte man −b− a, das ist nicht dasselbewie −(b− a) = a− b. Man kann b− a auch als Summe von b und −a sehen,also b − a = b + (−a); hier darf die Reihenfolge ohne Schaden vertauschtwerden und man erhalt b− a = b+ (−a) = −a+ b. Wir halten fest:

Steht vor einer Klammer ein Minus-Zeichen, so mussen beimAuflosen der Klammern die Vorzeichen aller Summanden inder Klammer umgekehrt werden:

−(x+ y) = −x− y, −(x− y) = −x+ y, −(−x− y) = x+ y.

12 1 Elementares Rechnen

Naturlich konnen Klammern auch geschachtelt auftreten. Bei Rechnungenper Hand kann man sich dabei die Ubersicht erleichtern, indem man ver-schiedene Sorten Klammern verwendet, etwa (, ), [, ], {, } usw. Diese Hilfesteht in Programmiersprachen nicht zur Verfugung, daher wollen wir hierauch nur die

”runden“ Klammern verwenden und Leserin und Leser zu ge-

nauem Hinschauen motivieren.

Beispiel 1.1

Losen Sie die Klammern in −(a − (b + c − (5 − (a + 3)))) auf undvereinfachen Sie soweit wie moglich.

Losung: Wir losen zuerst die Klammern auf der innersten Ebene auf:

−(a− (b + c− (5− (a+ 3)))) = −(a− (b+ c− (5 − a− 3)))

= −(a− (b+ c− 5 + a+ 3))

= −(a− b− c+ 5− a− 3)

= −a+ b+ c− 5 + a+ 3 = b+ c− 2. �

Aufgabe

1.1 Losen Sie in den folgenden Ausdrucken die Klammern auf und verein-fachen Sie soweit wie moglich.

a) b− (a+ 2− (c+ d− (3 − a)) + b)

b) c+ (−3− d− (−(−4− b))− c− (d− 2))

c) − (b+ a− (c− 3− d+ b− (a+ c+ b− d)))

d) a+ c− (d+ a+ 2− (b + c− (−d+ c)))

Wir erkennen also:

Klammern dienen nicht der Zierde, auch nicht vorrangig derUbersicht, sondern stellen eine nicht vernachlassigbare Infor-mation uber die Reihenfolge von Rechenoperationen dar.

In der Mathematik ist man bestrebt, Formeln moglichst kurz und bundig zuschreiben. Fur wiederholte Additionen desselben Summanden hat man daherdie Multiplikation zur Verfugung. So schreibt man beispielsweise anstelle vona+a+a+a+a einfach das Produkt 5·a, oder noch kurzer 5 a. Die Umkehrung

1.1 Die Grundrechenarten 13

der Multiplikation ist die Division. Da die Division nichts anderes als dieMultiplikation mit dem Kehrwert ist, also keine wirklich neue Operation,werden wir im Folgenden, wenn wir

”Multiplikation oder Division“ meinen,

einfach nur von”Multiplikation“ reden. Bei der Division ist eine Ausnahme

zu beachten: Durch 0 kann nicht dividiert werden: Fur jedes a gilt 0 · a = 0;fur eine Umkehrung mussten wir das Produkt durch 0 dividieren und wiedera erhalten. Im Produkt 0 ist aber nicht mehr erkennbar, ob diese 0 aus 5 · 0,6 · 0, oder wo auch immer herstammt, sodass eine Umkehrung nicht moglichist.Das Ergebnis einer Division a : b, der sog. Quotient, wird meist als Bruch

geschrieben: a : b =a

b(naturlich muss b 6= 0 sein). Dabei heißt a der Zahler

und b der Nenner des Bruchesa

b.

Wir halten also fest:

Die Multiplikation ist eine Abkurzung der Addition.Niemals(!!!) darf durch 0 dividiert werden.Bei Bruchen darf nie 0 im Nenner auftauchen.

Der Quotient zweier ganzer Zahlen muss keine ganze Zahl mehr sein. Manbezeichnet die Menge aller Zahlen, die als Quotient zweier ganzer Zahlendargestellt werden konnen, als

”rationale Zahlen“, symbolisch Q.

Einen Bruch aus zwei ganzen Zahlen kann man alternativ auch als Dezimal-zahl schreiben. Dazu dividiert man Zahler durch Nenner fortlaufend mit Rest,wie man es in der Grundschule gelernt hat, und erhalt beispielsweise:

78

125= 78 : 125 = 0 · 1 + 6 · 1

10+ 2 · 1

100+ 4 · 1

1000= 0.624

1

9= 1 : 9 = 0 · 1 + 1 · 1

10+ 1 · 1

100+ 1 · 1

1000+ . . . = 0.111111 . . .= 0.1

37

33= 37 : 33 = 1 · 1 + 1 · 1

10+ 2 · 1

100+ 1 · 1

1000+ 2 · 1

10000+ . . .

= 1.12121212 . . .= 1.12

Diese Rechnung findet im 10er-System (Dezimalsystem) statt, d. h. man ver-wendet nur die Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Man beachte den Unterschiedzwischen Ziffer und Zahl: Eine Zahl besteht aus Ziffern gerade so wie ein Wortaus Buchstaben besteht. Die rationalen Zahlen besitzen eine abbrechende

14 1 Elementares Rechnen

Dezimaldarstellung (Beispiel: 78125 ) oder eine periodische Dezimaldarstellung

(Beispiel: 3733 ,

19 ). Aus der Dezimaldarstellung von 1

9 sehen wir ubrigens, dass99 = 0.9999 . . . = 0.9; man kann also 1 = 9

9 auch als 1 = 0.9 darstellen1.Es gibt auch Zahlen mit nicht-periodischer, nicht-abbrechender Dezimaldar-stellung, z. B. π = 3.141592654 . . . Diese Zahlen konnen also nicht rationalsein, sie werden daher irrational genannt. Man bezeichnet die Menge allerZahlen mit abbrechender oder nicht-abbrechender Dezimaldarstellung als diereellen Zahlen, symbolisch IR. Die Menge der nicht-negativen reellen Zahlenwird mit IR+ bezeichnet.

Aus verschiedenen Grunden gibt man oft Dezimalzahlen nicht mit allen Zif-fern hinter dem Komma an, sondern nur mit einer begrenzten Anzahl. Dabeiverwendet man Rundung.

Rundungregeln:Ist die erste weggelassene Ziffer 0, 1, 2, 3 oder 4, so bleibt dieletzte geschriebene Ziffer unverandert (

”Abrunden“).

Ist die erste weggelassene Ziffer 5, 6, 7, 8 oder 9, so wird dieletzte geschriebene Ziffer um 1 erhoht (

”Aufrunden“).

Beispiele:π auf 2 Stellen nach dem Komma gerundet : π = 3.141592 . . . ≈ 3.14π auf 3 Stellen nach dem Komma gerundet : π = 3.141592 . . . ≈ 3.142π auf 4 Stellen nach dem Komma gerundet : π = 3.141592 . . . ≈ 3.1416

Wer Genaueres uber die dabei entstehenden Abweichungen wissen mochte,sei z. B. auf [3] verwiesen.

Nach diesem Exkurs uber Dezimalzahlen wenden wir uns wieder den Grund-rechenarten und ihren Regeln zu.

Da die Multiplikation quasi relativ zur Addition eine hohergestellte Opera-tion ist, vereinbart man, um Klammern zu sparen, dass die Multiplikationstarker bindet als die Addition, kurz

”Punktrechnung geht vor Strichrech-

nung“. Es gilt also a · b+ c = (a · b) + c 6= a · (b+ c). Wiederum erkennt man,dass das Weglassen von Klammern die Bedeutung eines Ausdrucks andert.Oft spart man sich bei Produkten auch den Punkt zwischen den Faktoren;man schreibt also beispielsweise anstelle von x · y einfach x y. Dabei gibtes jedoch eine Situation, in der es zu Missverstandnissen kommen kann: Ist

1Eine beliebte Streitfrage unter Mochtegernmathematikern ist, ob 0.9 vielleicht dochnicht gleich 1 sei, sondern eine andere Zahl, die nur eine Winzigkeit kleiner als 1 ist.