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Economıas de intercambio puro Economıas con produccion

Microeconomia Avanzada 1

Sjaak Hurkens

2011

Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 1/90


Equilibrio general

Equilibrio General: Estudiaremos como las condiciones de demanday oferta de los diversos mercados determinan simultaneamente losprecios de equilibrio en cada uno de los mercados.

Equilibrio general competitivoEquilibrio general de intercambioEquilibrio general con produccion

Equilibrio general con oligopolio



Equilibrio general



Equilibrio general

Descripcion de la economıa. La economıa esta compuesta prtres elementos: mercancıas, consumidores y productores.

Las mercancıas las identificamos por k = 1, 2, . . . , l y lassuponemos perfectamente divisibles.

El conjunto de consumidores lo denotamos porI = {1, 2, ...,m}. Un consumidor i esta descrito por unatripleta (wi ,%i ,X ) donde wi ∈ IRl

+ representa la dotacioninicial de recursos del consumidor; %i representa una relacionde preferencias sobre el conjunto de mercancıas; y X ⊂ IRl

+

representa el conjunto de consumo.

El conjunto de empresas lo denotamos por F = {1, 2, ..., n}.Una empresa j esta descrita por una tecnologıa representadapor un conjunto de produccion Yj ⊂ IRl

+.



Equilibrio general

Descripcion de la economıa. La economıa esta compuesta portres elementos: mercancıas, consumidores y productores.[

IRl+,

(%i ,wi ,X

)i∈I

,(Yj

)j∈F

].



Intercambio puro

Sin produccion: F = ∅.m consumidores, cada uno con su dotacio inicial wi y supreferencia %i .

El problema al que se enfrentan los agentes de una economıa escomo redistribuir los recursos iniciales w = (w1, . . . ,wm) de lamejor forma posible.

1 economıa de trueque: la negociacion determina el resultadofinal del intercambio → nucleo de la economıa.

2 mercados: los mercados (precios) determinan las cestas finalesde consumo → equilibrio walrasiano.



Asignaciones

Definicion (Asignacion de recursos)

Una asignacion para una economıa E es una funcion que a cadaconsumidor i ∈ I asocia una cesta de consumo xi ,

f :I −→ IRl+

i −→ xi

Definicion (Asignacion factible)

Una asignacion factible para una economıa E es una asignacion fpara E tal que la cantidad agregada de bienes se iguala a lacantidad agregada de dotaciones iniciales∑

i∈I

xi =∑i∈I

wi .



Asignaciones

Definicion (Asignacion eficiente)

Una asignacion factible para una economıa E es eficiente(Pareto-optima) si no hay una asignacion factible alternativa quepermite mejorar a un agente sin que otro agente empeore.



Asignaciones

Definicion (Asignacion eficiente)

Formalmente, una asignacion

x ≡ (x1, . . . , xm)

es eficiente si satisface

(i)∑i∈I

xi =∑i∈I

wi

(ii) 6 ∃ xi t.q.∑i∈I

xi =∑i∈I

wi y

xi %i xi , ∀i ∈ I y

xi �i xi , para algun i ∈ I



Asignaciones

Definicion (Racionalidad individual)

Una asignacion x = (x1, ..., xm), satisface la propiedad deracionalidad individual si

xi %i wi ∀i ∈ I .



Nucleo

Definicion (Coalicion)

Una coalicion S es un subconjunto de I . El conjunto de todas lascoaliciones lo denotamos como Θ.

Definicion (bloquear)

Una coalicion S ∈ Θ puede bloquear una asignacion x para unaeconomıa E , si existe una asignacion alternativa y para S tal que,sea factible para la coalicion y tambien sea preferida para todos losmiembros de la coalicion.

(i) yi �i xi , ∀i ∈ S

(ii)∑i∈S

yi =∑i∈S

wi .



Nucleo

Definicion (Nucleo de la economıa)

El nucleo de una economıa E , C (E ), es el conjunto de lasasignaciones factibles para E que ninguna coalicion S ∈ Θ puedebloquear.



La caja de Edgeworth

Consideremos una economıa con dos consumidores y dosmercancıas. Cada consumidor posee una dotacion inicial de bieneswi = (wi1,wi2), i = 1, 2, de manera que la dotacion total de cadabien en la economıa es wk = w1k + w2k > 0, k = 1, 2.Una asignacion factible es un vector no negativo de consumox = (x1, x2) = ((x11, x12), (x21, x22)) tal quex1k + x2k ≤ wk , k = 1, 2.



Caja de Edgeworth

x

x21

x11

x12 x22

w22w12

w11

w21

w

w1

02

01

w2

Figure: La caja de Edgeworth.Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 13/90


Caja de Edgeworth

02

01

u1

u2

u2

u1

Figure: Mapas de indiferencia.Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 14/90


Caja de Edgeworth

Pregunta: ¿Que asignaciones en la caja de Edgeworth son partedel nucleo?



Caja de Edgeworth

Equilibrio general: mercados y precios determinan la asignacionfinal. Los dos consumidores consideran los precios como dados.



Caja de Edgeworth


La riqueza inicial del individuo viene dada por el valor, al sistemade precios dado, de sus dotaciones iniciales. Dado un sistema deprecios p = (p1, p2), la renta del consumidor i es puesmi ≡ pwi = p1wi1 + p2wi2. Esta renta define el conjuntopresupuestario del consumidor, Bi (p) = {xi ∈ IR2

+ : pxi ≤ pwi}.



Caja de Edgeworth


02

01

w

B1(p)

B2(p)

tg(!) = !p1

p2

!

Figure: Los conjuntos presupuestarios.Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 16/90


Caja de Edgeworth

La decision optima del consumidor 1, dados un sistema deprecios p y una renta m1, expresamos como x1(p, pw1).



Caja de Edgeworth

La decision optima del consumidor 1

02

01

B (p)1w.

u1

w11

w12

p

x (p, pw )1 1

Figure: La demanda del consumidor 1.Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 17/90


Caja de Edgeworth

La curva de oferta-precio del consumidor 1, CO1, es decir elconjunto de cestas optimas para diferentes sistemas de precios.

02

01

w.

u1 CO1u 1

Figure: La curva de oferta del consumidor 1.Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 18/90


Caja de Edgeworth

Una vez recordado el analisis grafico del proceso de decision de unconsumidor, podemos combinar los procesos de decision de ambosconsumidores simultaneamente.



Caja de Edgeworth

.

02

01

p

Bien 1

Bien 2

x2(p, pw2)

x1(p, pw1)x12

x22

w22w12

w12 ! x12

w22 ! x22w

u2

u1

Figure: Intercambio incompatible.



Caja de Edgeworth

Definicion (equilibrio walrasiano)

Un equilibrio walrasiano para la economıa de la caja de Edgeworthes un sistema de precios p∗ y una asignacion x∗ = (x∗1 , x∗2 ) en lacaja de Edgeworth tal que

∀xi ∈ Bi (p∗), x∗i %i xi , i = 1, 2.

Observa: si (p∗, x∗) es un equilibrio walrasiano, (λp∗, x∗) tambienlo es ∀λ > 0



Caja de Edgeworth

.

02

01

u1

u2

p!

x!11

x!12

x!21

x!22

x!

w

Figure: Equilibrio walrasiano.



Caja de Edgeworth

Caracterizacion de equilibrios walrasianos

.w

CO1

CO2

u2

u1

x!

p!

02

01

Figure: Caracterizacion del equilibrio walrasiano.Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 22/90


Caja de Edgeworth

Multiplicidad de equilibrios walrasianos

CO102

01

CO2 .w

Figure: Caracterizacion del equilibrio walrasiano.Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 23/90


Caja de Edgeworth

Equilibrio walrasiano en el lımite de la caja de Edgeworth

.01

02

u2

u1

w

x!

p!

Figure: Un equilibrio en el lımite de la caja de Edgeworth.Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 24/90


Caja de Edgeworth: inexistencia de equilibriono monotonicidad fuerte

. 02

01

Bien 1

Bien 2

w

u1

u2

Figure: No existencia de equilibrio walrasiano (1).Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 25/90


Caja de Edgeworth: inexistencia de equilibriono convexidad

CO1

CO2

u2

u1

01

02

w.

Figure: No existencia de equilibrio walrasiano (no convexidad).



Caja de Edgeworth: Bienestar

Definicion

Decimos que una asignacion x en la caja de Edgeworth es optimade Pareto si no existe otra asignacion alternativa x factible tal quexi %i xi para i = 1, 2 y xi �i xi para algun i .

El conjunto de todas las asignaciones optimas de Pareto sedenomina conjunto de Pareto.

La curva de contrato es el conjunto de asignaciones optimas dePareto que satisfacen la racionalidad individual.



Caja de Edgeworth: Optimalidad de Pareto

01

02

01

02

(a) (b)

u1u1

u2

u2

x

x

01 (c)

02

u1

u2x

Figure: Optimalidad de Pareto.



Caja de Edgeworth: conjunto de Pareto

.

02

01

w

Figure: El conjunto de Pareto y la curva de contrato.




Teorema (Primer teorema del bienestar)

Supongamos que las preferencias son un preorden completo,convexas, y no saciables localmente. Entonces, las asignaciones deequilibrio walrasiano son optimas de Pareto.




Teorema (Segundo teorema del bienestar)

Cuando las preferencias de ambos consumidores son convexas,continuas y fuertemente monotonas, cualquier asignacion optimade Pareto puede soportarse como equilibrio walrasiano con lasadecuadas transferencias entre los consumidores.




p*

xx

Figure: El segundo teorema del bienestar (1).




!x

x

Figure: El segundo teorema del bienestar (2).




01

02

(a)

.p*

01

02

(b)

.p*

. .x! x!

ww

!ww

Figure: El segundo teorema del bienestar.Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 34/90


Analisis formal del intercambio

Supongamos que las demandas del consumidor i , i = 1, 2 vienendadas por xi1(p), xi2(p). Para que estas demandas puedan ser deequilibrio han de satisfacer que para el sistema de preciosp, x1k(p) + x2k(p) = wk , k = 1, 2.

En terminos de las demandas netas obtenemos

(x11(p)− w11) + (x21(p)− w21) = 0,

(x12(p)− w12) + (x22(p)− w22) = 0.




Supongamos que las demandas del consumidor i , i = 1, 2 vienendadas por xi1(p), xi2(p). Para que estas demandas puedan ser deequilibrio han de satisfacer que para el sistema de preciosp, x1k(p) + x2k(p) = wk , k = 1, 2.En terminos de las demandas netas obtenemos

(x11(p)− w11) + (x21(p)− w21) = 0,

(x12(p)− w12) + (x22(p)− w22) = 0.




Definamos la funcion de exceso de demanda del bien k para elconsumidor i como

eik(p) = xik(p)− wik .

Entonces, para que p sea parte de un equilibrio walrasiano,necesariamente ,

e11(p) + e21(p) = 0,

e12(p) + e22(p) = 0.

Sea zk(p) = e1k(p) + e2k(p) la funcion de exceso de demandaagregada del bien k. Entonces un equilibrio walrasiano es un vectorde precios p∗ y una asignacion x∗ tal que

zk(p∗) = 0, k = 1, 2




Lemma (Ley de Walras)

∀p, p1z1(p) + p2z2(p) = 0





∀p, p1z1(p) + p2z2(p) = 0

Proof.

Consideremos el consumidor 1.

∀p, p1x11(p) + p2x12(p) = p1w11 + p2w12,

lo que es equivalente a p1e11(p) + p2e12(p) = 0.Similar para consumidor 2: p1e21(p) + p2e22(p) = 0.Sumando ambas expresiones obtenemos

p1(e11(p) + e21(p)) + p2(e12(p) + e22(p)) = 0

que es el contenido de la ley de Walras.





∀p, p1z1(p) + p2z2(p) = 0

Corollary

Si la demanda se iguala a la oferta en uno de los dos mercados dela economıa, en el otro mercado tambien se verifica la igualdadentre oferta y demanda.



Ejemplo

Sea w1 = (5, 3), w2 = (3, 2), u1(x1, x2) = x21x2, u2(x1, x2) = x1, x2.

Calcula el equilibrio walrasiano.




Una economıa de intercambio con conjunto I de consumidores y lbienes.

(i) el espacio de mercancıas: IRl+,

(ii) el conjunto de consumidores I , donde i ∈ I esta descrito por

un conjunto de consumo: Xi = X ⊂ IRl+,

unas preferencias: %i∈ P,una dotacion inicial de recursos: wi ∈ IRl

+,

(iii) un sistema de precios: p ∈ IRl+,

(iv) un conjunto presupuestario: Bi (p,wi ), ∀i ∈ I ,

(v) un conjunto de demanda: Φi (%i ,wi , p), ∀i ∈ I .




Definicion (Equilibrio de Walras)

Un equilibrio de Walras para una economıa E es una asignacionx ∈ IRl

+, y un sistema de precios p ∈ IRl+ tal que,

xi ∈ Φi (%i ,wi , p), ∀i ∈ I ,∑

i∈I

xi =∑i∈I

wi .




Definicion (Asignacion de Walras)

Una asignacion x para una economıa E para la que existe unsistema de precios p tal que (x , p) es un equilibrio de Walras, sedenomina una asignacion de Walras. El conjunto de asignacionesde Walras lo denotamos como W (E ).

Definicion (Sistema de precios de Walras)

Un sistema de precios p para una economıa E para la que existeuna asignacion x tal que (x , p) es un equilibrio de Walras, sedenomina un sistema de precios de equilibrio. El conjunto de estossistemas de precios lo denotamos como Π(E ).




Si (p, x) es un equilibrio walrasiano, tambien lo es (λp, x). Portanto, en la busqueda de un equilibrio walrasiano podemosnormalizar el precio:

Suponer que para la mercancıa k, pk = 1 (es decir, λ = 1/pk).

Suponer que

p ∈ ∆l−1 = {p : p ∈ IRl+,

l∑k=1

pk = 1}




Demanda del consumidor

xi (p,wi ).

Exceso de demanda agregada

z(p) = (z1(p), ..., zl(p)),

dondezk(p) =

∑i∈I

xik(p,wi )−∑i∈I

wik .




Proposicion

Si para cada consumidor i ∈ I , la funcion de utilidad ui escontinua, estrictamente creciente y estrictamente cuasiconcava enIRl

+, entonces para cualquier sistema de precios estrictamentepositivos, la funcion de exceso de demanda agregada satisface

1. Continuidad. z(p) es una funcion continua.

2. Homogeneidad de grado cero.

∀p λ > 0, z(λp) = z(p).

3. Ley de Walras

∀p pz(p) =l∑

k=1

pkzk(p) = 0.




Definicion (Equilibrio de Walras)

Decimos que un vector p∗ ∈ ∆l−1 es un vector de precios deequilibrio si z(p∗) ≤ 0, con p∗k = 0 para aquellos bienes k tales quezk(p∗) < 0.En otras palabras, p∗ es un vector de precios de equilibrio si ofertay demanda se igualan en todos los mercados (con posible excesode oferta de bienes libres).




Teorema (Existencia de equilibrio de Walras)

Supongamos z : ∆l−1 → IRl es continua y satisface la ley deWalras, pz(p) = 0. Entonces, existe un vector de preciosp∗ ∈ ∆l−1 tal que z(p∗) = 0, es decir p∗ es un vector de precios deequilibrio (en el sentido de la definicion anterior).




Demostracion existencia:

Definamos T : ∆l−1 → ∆l−1 de la siguiente manera:

Tk(p) =max[0, pk + zk(p)]∑lh=1 max[0, ph + zh(p)]

.

Existe p∗ ∈ ∆l−1 con T (p∗) = p∗.

Este p∗ es un vector de precios de equilibrio.



Relacion nucleo y asignaciones walrasianos

Proposicion

Consideremos una economıa de intercambio en la que la funcion deutilidad de cada consumidor, ui , es continua y estrictamentecreciente en IRl

+. Entonces, todas las asignaciones walrasianas seencuentran en el nucleo, es decir

W (E ) ⊂ C (E ).




Proof.

Sea p∗ tal que la asignacion x(p∗) es una asignacion de equilibriode Walras. Supongamos tambien que x(p∗) 6∈ C (E ).

Entoncesexiste coalicion S ∈ Θ y una asignacion alternativa y para S tal que

yi �i xi ∀i ∈ S (1)∑i∈S

yi =∑i∈S

wi . (2)

Dado que x(p∗) es una asignacion de Walras, (1) implica quep∗yi > p∗wi para todo i ∈ S . Es decir, p∗(yi − wi ) > 0.De manera que p∗

∑i∈S(yi − wi ) > 0 que, a su vez, implica∑

i∈S(yi − wi ) > 0 lo que es contradictorio con (2).




Proof.

Sea p∗ tal que la asignacion x(p∗) es una asignacion de equilibriode Walras. Supongamos tambien que x(p∗) 6∈ C (E ). Entoncesexiste coalicion S ∈ Θ y una asignacion alternativa y para S tal que

yi �i xi ∀i ∈ S (1)∑i∈S

yi =∑i∈S

wi . (2)







Proof.


yi �i xi ∀i ∈ S (1)∑i∈S

yi =∑i∈S

wi . (2)

Dado que x(p∗) es una asignacion de Walras, (1) implica quep∗yi > p∗wi para todo i ∈ S . Es decir, p∗(yi − wi ) > 0.

De manera que p∗∑

i∈S(yi − wi ) > 0 que, a su vez, implica∑i∈S(yi − wi ) > 0 lo que es contradictorio con (2).




Proof.


yi �i xi ∀i ∈ S (1)∑i∈S

yi =∑i∈S

wi . (2)







Definicion (Distancia entre C (E ) y W (E ))

Sea δE el numero mas pequeno δ que satisface la propiedadsiguiente

∀x ∈ C (E ), ∃x ∈ W (E ) t.q.∣∣xi − xi

∣∣ ≤ δ ∀i ∈ I .




Replica de la economıa E : I −→ P × IRl+:

E r : I × {1, 2, . . . , r} −→ P × IRl+

donde en la k-esima replica las dotaciones iniciales y laspreferencias de cada agente de tipo i en la replica k, quedenotamos (i , k), son iguales, es decir

wki = wi y %i ,k=%i , i ∈ I ; k = 1, 2, . . . , r .

Replica de una asignacion x :

x r : I × {1, 2, . . . , r} −→ IRl+

donde para un agente i ∈ I , en la k-esima replica le corresponde

xki = xi , i ∈ I ; k = 1, 2, . . . , r .




Si una asignacion es competitiva (walrasiano), la asignacion queresulta tras replicarla r veces tambien sera competitiva y por lotanto, de acuerdo con la proposicion [W (E ) ⊂ C (E )] seencontrara en el nucleo (de la economıa replicada).

Teorema

Sea E : I −→ P × IRl+ una economıa en la que los consumidores

tienen preferencias monotonas y estrictamente convexas, y sea E r

esta economıa replicada r veces. La distancia entre el conjunto deasignaciones competitivas y el nucleo tiende a cero conforme elnumero de replicas tiende a infinito, es decir limr→∞ δ(E r ) = 0.




Proposicion (Tratamiento igual)


tienen preferencias monotonas y estrictamente convexas, y sea E r

esta economıa replicada r veces. Si x ∈ C (E r ) entonces los agentesdel mismo tipo obtienen la misma cesta de consumo, es decir,

xki = x j

i ∀i ∈ I , j , k = 1, 2, . . . , r




demostracion tratamiento igual:Escoge de cada tipo de consumidor i el peor tratado. Podemossuponer que es la primera replica de este consumidor.

xki %i x1

i , k = 1, 2, . . . , r .

Calculemos ahora la asignacion media para cada tipo deconsumidor

xi =1

r

r∑k=1

xki .

Dado que las preferencias son estrictamente convexas podemosestar seguros que

xi %i x1i




demostracion tratamiento igual:Suponiendo que no todos los consumidores del tipo 1 son tratadosigual,

x1 �1 x11 .

La coalicion de los peor tratados de cada tipo(S = {((1, 1), ..., (n, 1)}) puede bloquear x con la asignacionmedia, porque es factible para ella:

n∑i=1

xi =n∑

i=1

1

r

r∑k=1

xki =

1

r

n∑i=1

r∑k=1

xki

=1

r

n∑i=1

r∑k=1

wki =

1

r

n∑i=1

rwi =n∑

i=1

wi





x1 �1 x11 .


n∑i=1

xi =n∑

i=1

1

r

r∑k=1

xki

=1

r

n∑i=1

r∑k=1

xki

=1

r

n∑i=1

r∑k=1

wki =

1

r

n∑i=1

rwi =n∑

i=1

wi





x1 �1 x11 .


n∑i=1

xi =n∑

i=1

1

r

r∑k=1

xki =

1

r

n∑i=1

r∑k=1

xki

=1

r

n∑i=1

r∑k=1

wki =

1

r

n∑i=1

rwi =n∑

i=1

wi





x1 �1 x11 .


n∑i=1

xi =n∑

i=1

1

r

r∑k=1

xki =

1

r

n∑i=1

r∑k=1

xki

=1

r

n∑i=1

r∑k=1

wki

=1

r

n∑i=1

rwi =n∑

i=1

wi





x1 �1 x11 .


n∑i=1

xi =n∑

i=1

1

r

r∑k=1

xki =

1

r

n∑i=1

r∑k=1

xki

=1

r

n∑i=1

r∑k=1

wki =

1

r

n∑i=1

rwi

=n∑

i=1

wi





x1 �1 x11 .


n∑i=1

xi =n∑

i=1

1

r

r∑k=1

xki =

1

r

n∑i=1

r∑k=1

xki

=1

r

n∑i=1

r∑k=1

wki =

1

r

n∑i=1

rwi =n∑

i=1

wi




Observa que C (E r ) ⊂ IRlnr . Conforme r aumenta, la dimension delespacio aumenta.Ahora bien, con la propiedad de tratamiento igual solo necesitamosconsiderar la parte de nucleo consistente en la asignacioncorrespondiente a un representante de cada tipo de agente.Denotemos a este nucleo reducido como

C r ⊂ IRln

.




Proposicion (Caracterizacion de las asignaciones de Walras)


tienen preferencias monotonas, y w > 0. Entonces x ∈ W (E ) si ysolo si x r ∈ C (E r ), r = 1, 2, . . . , donde x r representa la asignacionx replicada r veces.

x ∈ W (E ) ⇒ x r ∈ W (E r ) ⇒ x r ∈ C (E r ).







x ∈ W (E ) ⇒ x r ∈ W (E r )

⇒ x r ∈ C (E r ).







x ∈ W (E ) ⇒ x r ∈ W (E r ) ⇒ x r ∈ C (E r ).




.w01

02

C(E)W (E)

Figure: W (E ) y C (E ) en una economıa 2× 2.




.x

01

02

w..x1

x2

Figure: Fig 4.24




Consideremos una asignacion x para la economıa E . Sea x r laasignacion asociada tras replicar la economıa r veces. Porhipotesis, x r ∈ C (E r ) para todo r . Tenemos que demostrar queexiste un sistema de precios p tal que (p, x) es un equilibriocompetitivo, es decir

(i) pxi = pwi ∀i ∈ I (3)

(ii) y �i xi ⇒ py > pwi , ∀i ∈ I . (4)

Definamos para cada i el conjunto de intercambios netos de ladotacion inicial que dan lugar a una asignacion preferida a xi como

Ψx(i) = {z ∈ IRl : z + wi �i xi}.




.p

L(p)

xi ! wi

!x(i)

Figure: El hiperplano L(p) y el conjunto Ψx(i).




Geometricamente, la propiedad (ii) quiere decir que para cadaconsumidor i el conjunto Ψx(i) se encuentra por encima delhiperplano

L(p) = {x ∈ IRl : px = 0}

es decir, pz > 0 ∀z ∈ Ψx(i).




Lemma

La union de los conjuntos Ψx(i) convexificados tiene unainterseccion vacıa con el interior del ortante negativo, formalmente

co ∪i∈I Ψx(i) ∩ int(IRl−) = ∅

La demostracion utiliza el hecho que x r ∈ C (E r )

El Teorema de separacion de conjuntos convexos implica que existeun vector de precios p tal que L(p) separa los dos conjuntos. Estevector de precios es un vector de precios de Walras.




Lemma

La union de los conjuntos Ψx(i) convexificados tiene unainterseccion vacıa con el interior del ortante negativo, formalmente

co ∪i∈I Ψx(i) ∩ int(IRl−) = ∅

La demostracion utiliza el hecho que x r ∈ C (E r )El Teorema de separacion de conjuntos convexos implica que existeun vector de precios p tal que L(p) separa los dos conjuntos. Estevector de precios es un vector de precios de Walras.



Economıas con produccion

Vamos a ampliar la perspectiva del modelo de equilibrio generalcompetitivo suponiendo que es posible producir nuevos bienes en laeconomıa utilizando como inputs algunos de los bienes que recibenlos consumidores como dotaciones iniciales.Las cantidades de bienes ya no estaran fijadas por las dotacionesiniciales sino que se determinaran endogenamente a partir de losprecios de los mercados de factores de produccion y productos.



Robinson-Crusoe

un consumidor-trabajador (Robinson-Crusoe)

dotacion inicial L horas de ocio (trabajo)preferencias concavas u(c ,R) (sobre bien de consumo (c) yocio (R))

una empresa (el propietario es Robinson-Crusoe)

funcion de produccion f (L) = q) (trabajo se convierte en biende consumo)



Robinson-Crusoe: enfoque centralizado

Maximizar felicidad decidiendo consumo y produccion

maxc,R

u(c ,R) s.a

c = q,

q = f (L),

R = L− L

es decir,max

Lu(f (L), L− L).




La solucion de

maxL

u(f (L), L− L).

viene dada por

∂u

∂c(f (L), L− L)× f ′(L)− ∂u

∂R(f (L), L− L) = 0.

Por lo tanto,∂u

∂R∂u

∂c

= f ′ =

∂F

∂(−L)∂F

∂q

donde F (−L, q) = f (L)− q.

−RMSR,c = −TMTL,q.




q

R

M

0L0R

L

!L

c

Figure: Asignacion eficiente en la economıa de Robinson Crusoe.



Robinson-Crusoe: Enfoque descentralizado

La empresa maximiza beneficios, el consumidor maximizapreferenciasRobinson productor

maxL

pf (L)− wL.

Solucion:pf ′(L) = w ,

da lugar a demanda de trabajo L(p,w), produccion q(p,w) ybeneficios π(p,w).




La empresa maximiza beneficios, el consumidor maximizapreferencias

0

q

!L!L !L(p, w)

(p, w)

q(p, w)q = F (L)

!(p, w)

p!

tg! = w/p

Figure: El problema de la empresa.Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 70/90



La empresa maximiza beneficios, el consumidor maximizapreferenciasRobinson consumidor

maxR,c

u(R, c) s.a pc ≤ w(L− R) + π(p,w).

Solucion:

RMS = w/p

pc + wR = wL + π(p,w)

da lugar a demandas R(p,w) y c(p,w).




Robinson consumidor

c q

!L

L

R

c(p, w)

0L0R R(p, w)

!(p, w)

p

!

tg ! =w

p

q(p, w)

!L(p, w)

Figure: El problema del consumidor.Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 72/90



Equilibrio walrasiano

qc

R-L

L_

0L0R

(p*,w*)

c(p*,w*) q(p*,w*)

R(p*,w*) L(p*,w*)

Figure: El equilibrio walrasiano.Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 73/90



recta presupuestaria = recta isobeneficio


pc + w(R − L) = π(p,w)

pq + w(−L) = π(p,w)




Ley de Walras


pc + wR = wL + [pq + w(−L)]

p(c − q)) + w(R − L + L) = 0



Modelo generalizado: Robinson y Viernes

Dos consumidores (Robinson y Viernes, 1 y 2),dos empresas (cocos y pesca, 1 y 2)dos factores de produccion (trabajo calificado (1) y trabajo nocalificado (2))dos bienes de consumo (cocos y pescado (1 y 2))

consumidores tienen preferencias sobre bienes de consumoui (xi1, xi2) (aquı no hay ocio!)consumidores tienen dotaciones iniciales de factores de produccion:w1 = (0, 0, z1, 0), w2 = (0, 0, 0, z2)funcion de produccion: qj = fj(zj1, zj2)



Asignaciones de factores de produccion

02

01 z11

z12

z21 z22

z

z2

z1

Figure: Asignaciones de factores de produccion.Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 77/90



Definicion (Asignacion eficiente de factores de produccion)

Decimos que una asignacion de factores de produccion z eseficiente en el sentido de Pareto si no existe otra combinacion defactores alternativa que permita aumentar la produccion de algunaempresa sin disminuir la produccion de alguna otra.




(a) (b)01 01

02 02

z

A

B

Cq1

q2

A

B

C

q2

q1

(c)

Figure: Asignaciones eficientes de factores.



Enfoque centralizado

Un planificador central se enfrenta al problema de determinar unaasignacion eficiente de inputs z = (z11, z12, z21, z22) que generaranunos volumenes de produccion qj = qj(zj1, zj2), j = 1, 2. A su vez,y dada esta disponibilidad de bienes de consumo, debe determinarun plan de consumo para Robinson y para Viernesx = (x11, x12, x21, x22) que maximicen sus utilidades respectivas yagoten el producto, es decir x1j + x2j = qj , j = 1, 2.



Enfoque centralizado

bien 2

bien1

!!

q(z!)

q2(z!)

q1(z!)

x!

x!11

x!12

x!21

x!22

Figure: Equilibrio centralizado.

Una asignacion (z∗, x∗) eficiente se caracteriza por

TMS1x1,x2

= TMS2x1,x2

= TMTq1,q2 .



Enfoque descentralizado

produccion

max(zj1,zj2)

pj fj(zj1, zj2)− w1zj1 − w2zj2, j = 1, 2

Las cuatro condiciones de primer orden

pj∂fj∂zjk

= wk para j = 1, 2 y k = 1, 2

junto con la condicion de equilibrio en el mercado de factores,∑j

zjk = zk para k = 1, 2

determinan la demanda optima de inputs zj1(p,w) y zj2(p,w),volumen de produccion qj(p,w) y el nivel de beneficios πj(p,w).




consumoLa renta de cada consumidor procede de dos fuentes: la rentasalarial (como oferente de trabajo) y la renta no salarial (comopropietario de las empresas). Denotemos como θij la participaciondel consumidor i en la propiedad de la empresa j , de manera que∑

i θij = 1 ∀j .La renta disponible de Robinson es

Y1 = w1(z11 + z21) + θ11π1(p,w) + θ12π2(p,w).

De forma similar la renta de Viernes es

Y2 = w2(z12 + z22) + θ21π1(p,w) + θ22π2(p,w).




consumo

maxx1

u1(x1) s.a p1x11 + p2x12 = w1(z11 + z21) + θ11π1(p,w) + θ12π2(p,w)

maxx2

u2(x2) s.a p1x21 + p2x22 = w2(z12 + z22) + θ21π1(p,w) + θ22π2(p,w)

Los planes de consumo resultantes deben permitir el equilibrio delos mercados de bienes de consumo, es decir

q1 = x11 + x21 y q2 = x12 + x22.




un equilibrio walrasiano en la economıa de Robinson y Viernes esun sistema de precios (p∗,w∗) y una asignacion (q∗, x∗) donde

q∗ = (q1(z∗11(p

∗,w∗), z∗12(p∗,w∗)), q2(z

∗21(p

∗,w∗), z∗22(p∗,w∗)) y

x∗ = (x11(p∗,w∗), x12(p

∗,w∗), x21(p∗,w∗), x22(p

∗,w∗))

tal que las empresas maximizan beneficios, los consumidoresmaximizan utilidad y los mercados se vacıan. Esta asignacion secaracteriza por

TMSx11,x12 = TMSx21,x22 = TMTq1,q2 =p1

p2



Enfoque descentralizado: enfoque dual de costes

Consideramos otra vez el problema de la empresa:Las condiciones de primer orden

pj =∂cj(w , qj)

∂qjj = 1, 2

nos dicen que el nivel de produccion de cada empresa es el quemaximiza los beneficios. Entonces, podemos aplicar el lema deShephard para determinar la demanda optima de inputs de laempresa j . Esta viene dada por

zjk =∂cj(w , qj)

∂wk.

Por ultimo, la condicion ∑j

zjk = zk

asegura que el mercado de factores se vacıa.Sjaak Hurkens Microeconomia avanzada 1 86/90



Suponemos rendimientos constantes de escala. Denotamosaj(w) = (aj1(w), aj2(w)) la combinacion de factores minimizadoradel coste de la empresa j (por unidad). Supongamos que laproduccion del bien 1 es relativamente mas intensiva en el factor 1que la produccion del bien 2, es decir

a11(w)

a12(w)>

a21(w)

a22(w)∀w = (w1,w2).




Supongamos que tenemos un equilibrio interior en el que los nivelesde produccion de ambos bienes es estrictamente positivo. Paradeterminar los precios de los factores de equilibrio (w∗

1 ,w∗2 ) una

condicion necesaria es que w∗ satisfaga el sistema de ecuaciones

p1 =∂c1(w)

∂q1, p2 =

∂c2(w)

∂q2. (5)




w2

w!1

w1

c!1(w) = p1

c!2(w) = p2

[a21(w!), a22(w

!)]

[a11(w!), a12(w

!)]

w!2

Figure: Equilibrio en el mercado de factores.




Una vez determinados los precios de los factores, podemosidentificar los niveles de produccion determinando el punto (z∗1 , z∗2 )en la caja de Edgeworth de asignaciones de factores para el que lasintensidades asociadas de factores se corresponden con lasencontradas para los precios w∗, es decir, el vector z∗ es aquelpunto en la caja de Edgeworth que verifica

z∗11z∗12

=a11(w

∗)

a12(w∗)

z∗21

z∗22

=a21(w

∗)

a22(w∗)




a11(w!)

a12(w!)

a21(w!)

a22(w!)

z!

01

02

Figure: Niveles de produccion de equilibrio.


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